Elaboração: Anita Lima Pimenta Orientação: Eliane … · O Origami pode ser simples ou modular,...
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Apêndice B - Produto
Elaboração: Anita Lima Pimenta
Orientação: Eliane Scheid Gazire
2017
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Este paradidático é o resultado aplicado da dissertação de Mestrado “Construindo
Poliedros Platônicos com Origami: uma perspectiva axiomática”. A escolha de esse ser um
livro paradidático se deu, pois esse tipo de material não se limita ao conteúdo de um único
tema e nem a um único ciclo de ensino.
Ele traz assuntos relacionados à Geometria de uma forma lúdica e concreta, a fim de
levar o leitor a se envolver com a confecção de figuras que ele mesmo produz seguindo uma
orientação do passo-a-passo. Assim, o leitor se torna um participante ativo na construção do
seu conhecimento que, nesta proposta, surge através de suas próprias mãos.
Seu objetivo principal é auxiliar o professor, oferecendo a ele um apoio para
complementar suas aulas de Geometria através do uso de material manipulável. As propostas
didáticas aqui apresentadas sugerem o uso do Origami na construção de figuras geométricas
planas e espaciais.
O livro está organizado em cinco unidades:
Unidade I: Axiomas do Origami;
Unidade II: Triângulos e Esquadros;
Unidade III: Quadriláteros;
Unidade IV: Tangram;
Unidade V: Poliedros.
Cada unidade é estruturada a partir de um texto informativo seguido de um convite à
confecção de uma figura geométrica através da dobradura de papel. As instruções do Origami
estão organizadas em uma tabela composta por duas colunas: a da esquerda apresenta as
orientações por escrito e a da direita mostra o desenho dos diagramas.
Após essa abordagem, são apresentadas algumas atividades relacionadas ao tema
proposto a fim de garantir e verificar a aprendizagem dos conteúdos apresentados.
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ESTRUTURA PADRONIZADA DAS UNIDADES
Título do texto informativo
Convite à dobradura
Apresentação das atividades
Agora que você conhece o material, bons estudos e mãos à dobra!
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UNIDADE I ................................................................................................................. 77
AXIOMAS DO ORIGAMI ................................................................................................ 77
UNIDADE II ............................................................................................................. 1515
TRIÂNGULOS E ESQUADROS ..................................................................................... 1515
UNIDADE III ............................................................................................................. 3030
QUADRILÁTEROS ..................................................................................................... 3030
UNIDADE IV ............................................................................................................. 4141
TANGRAM ........................................................................................................... 4141
UNIDADE V ............................................................................................................. 5050
POLIEDROS .......................................................................................................... 5050
REFERÊNCIAS ............................................................................................................. 6868
SUGESTÕES DE LEITURA .......................................................................................... 6868
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SÍMBOLO
SIGNIFICADO
Linha vale (dobra para frente)
Linha montanha (dobra para trás)
Dobrar para frente
Dobrar para trás
Dobrar e abrir novamente (vincar)
Encaixar
Dividir em partes iguais
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UNIDADE I AXIOMAS DO ORIGAMI
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De origem japonesa, a palavra Origami significa dobrar papel. Prieto (2002) explica que
Ori: dobrar – deriva do desenho de uma mão – e Kami: papel – provêm da representação de
uma seda. Essa arte foi estabelecida por todo o mundo. No Brasil, é conhecida com dobradura,
na língua espanhola como papiroflexia, no inglês como paperfolding.
Acredita-se que essa arte seja tão antiga quanto à origem do próprio papel. O Origami
pode ser simples ou modular, sendo o primeiro feito a partir de dobras em uma única folha
de papel, e o segundo consiste no encaixe de diversas peças geometricamente iguais sem o
uso de tesouras ou colas.
Atualmente, está cada vez mais comum o uso de folhas retangulares para a construção
de modelos poliédricos. O retângulo, cuja razão do lado maior para o menor é 1 √2⁄ , é muito
utilizado neste tipo de construção, uma vez que ele permite ampliações dos modelos com
muita facilidade. Um exemplo bem popular desse retângulo é a folha A4, que, além de ideal,
se torna acessível por ser facilmente encontrada no mercado e possuir baixo custo.
As construções geométricas tradicionais feitas por dobraduras também são regidas por
um conjunto de axiomas que permite provar a existência de cada dobra possível de ser
realizada. Rafael (2011) destaca o matemático ítalo-japonês Humiaki Huzita, da universidade
de Pádua na Itália – nasceu no Japão mas viveu muitos anos na Itália – que, na década de 70,
criou as seis operações que ficaram conhecidas como axiomas de Huzita. Em 2001, Koshiro
Hatori mostrou uma dobragem diferente dos axiomas existentes, surgindo, então, o sétimo
axioma. Os créditos deste último axioma também podem ser atribuídos ao francês Jacques
Justin, que o apresentou em uma publicação no ano de 1989. Isso nos leva a refletir que
pesquisas independentes expressaram as mesmas leis universais na linguagem matemática.
Vejamos, na prática, como reproduzir os “Axiomas do Origami”.
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AXIOMAS DO ORIGAMI
Orientações Diagramas
01- Dados dois pontos distintos P1 e P2, há uma
única dobra que passa por eles.
02- Dados dois pontos distintos P1 e P2, há uma
única dobra que os torna coincidentes.
03- Dadas duas retas, r1 e r2, há uma única dobra
que as torna coincidentes.
04- Dados um ponto P e uma reta r, há uma única
dobra perpendicular à r que passa por P.
05- Dados dois pontos, P1 e P2, e uma reta r, se a
distância de P1 a P2 for igual ou superior à
distância de P2 a r, há uma única dobra que faz
incidir P1 em r e que passa por P2.
06- Dados dois pontos P1 e P2, e duas retas r1 e r2,
se as retas não forem paralelas e se a distância
entre as retas não for superior à distância entre
os pontos, há uma única dobra que faz incidir
P1 em r1 e P2em r2.
07- Dado um ponto P e duas retas r1 e r2, se as retas
não forem paralelas, há uma única dobra que
faz incidir P em r1 e é perpendicular a r2.
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DIVISÃO DE UMA FOLHA QUADRADA EM TRÊS PARTES IGUAIS
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e obtenha
sua diagonal.
02- Sobreponha os dois vértices superiores e
faça uma pequena marca obtendo o
ponto médio deste lado do quadrado.
03- Posicione uma régua entre o ponto
médio e o vértice inferior direito.
Marque a interseção da régua com a
diagonal.
04- Dobre o lado esquerdo do quadrado
sobre o ponto de interseção que
representa 1
3 da folha quadrada.
05- Dobre o lado direito sobre o último
vinco obtido.
06- Pronto! A folha quadrada está dividida
em três partes iguais.
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DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS
Orientações Diagramas
01- Divida uma folha quadrada como
mostramos anteriormente.
02- Leve o lado inferior do quadrado até o
ponto de interseção.
03- Repita o procedimento com o lado
superior do quadrado.
04- Dobre os segmentos que fazem a união
dos pontos como indicado na figura ao
lado e obtenha triângulos.
05- Observe que os triângulos obtidos são
congruentes. Dobre para trás os dois
triângulos da parte superior do
quadrado.
06- Note, nesta figura, 3 quadrados formados
a partir dos lados dos triângulos (a, b e c):
Um quadrado formado pelo cateto a;
Um quadrado formado pelo cateto b;
Um quadrado formado pela hipotenusa c.
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07- Colora o quadrado de lado b.
08- Colora com cor distinta o quadrado de
lado a
09- Com o auxílio de uma tesoura,
destaque os dois triângulos inferiores.
10- Agora, coloque os triângulos
recortados sobre a parte branca do
quadrado de lado c, sem sobreposição
de cores.
11- Observe que a soma dos quadrados dos
catetos (a e b) é igual ao quadrado da
hipotenusa (c).
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01- Você acaba de constatar a consequência do quarto axioma do Origami na divisão de
uma folha quadrada em três partes iguais. Refaça o passo-a-passo e mostre onde
esse axioma é encontrado. Apresente sua solução em forma de desenho:
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02- Relacione algum axioma do Origami que, para você, mais se assemelham aos
Postulados de Euclides:
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UNIDADE II TRIÂNGULOS E ESQUADROS
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As civilizações antigas já faziam o uso de algumas noções geométricas, por assim dizer,
em suas atividades diárias, como agricultura, construções e movimento dos astros. Por
necessidade e sobrevivência, os indivíduos que habitavam os arredores do Nilo se viam em
grande conflito quando o rio transbordava e alagava os campos danificando as demarcações
dos limites das propriedades. Para remarcar esses limites, os agrimensores utilizavam cordas
esticadas formando triângulos retângulos que os auxiliavam nos cálculos de extensão dos
terrenos.
O triângulo é considerado uma das figuras mais importantes no estudo da Geometria.
Ele é o menor polígono que pode ser formado, sendo composto por três lados e três ângulos
que são responsáveis por sua classificação. A ele são atribuídas várias relações métricas e a
mais importante delas é o famoso Teorema de Pitágoras. Este revela que:
As principais propriedades de um triângulo são:
A medida de um lado deve ser sempre menor que a soma das medidas dos outros dois
lados;
A soma das medidas dos ângulos internos é igual a 180°.
A medida de um ângulo externo de um triângulo é a soma dos dois internos opostos
a ele.
Agora, para você compreender melhor como classificar e conferir a aplicabilidade das
propriedades dessa figura geométrica que acabamos de apresentar, vamos confeccioná-las
com o Origami.
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos
catetos.
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CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO ISÓSCELES
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e obtenha sua
diagonal.
02- Leve dois lados deste quadrado sobre a
diagonal obtida.
03- Dobre para cima o vértice inferior.
04- Marque bem o vinco a fim de obter os
vértices da base do triângulo (vire).
05- Está pronto seu Triângulo Isósceles
(triângulo que possui dois lados e dois
ângulos congruentes).
Classificando este Triângulo quanto aos ângulos, damos a ele o nome de Acutângulo, pois
ele possui três ângulos agudos.
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CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO ESCALENO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e obtenha sua
diagonal.
02- Leve dois lados deste quadrado sobre a
diagonal obtida.
03- Dobre sobre a diagonal.
04- Está pronto seu Triângulo Escaleno
(triângulo que possui os três lados e
ângulos com medidas distintas).
Classificando este Triângulo quanto aos ângulos, damos a ele o nome de Obtusângulo,
pois ele possui um ângulo obtuso.
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CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO EQUILÁTERO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha retangular e dobre-a ao
meio no sentido horizontal.
02- Leve o vértice superior esquerdo até a
marca central de modo que se obtenha
um novo vértice inferior esquerdo.
03- Sobreponha o lado superior ao lado
esquerdo da figura.
04- Dobre para trás a ponta excedente e em
seguida a introduza dentro do módulo
(vire).
05- Está pronto seu Triângulo Equilátero
(triângulo que possui os três lados e
ângulos congruentes).
Classificando este Triângulo quanto aos ângulos, damos a ele o nome de Acutângulo, pois
ele possui três ângulos agudos.
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CONSTRUÇÃO DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e obtenha sua
diagonal.
02- Está pronto seu Triângulo Retângulo
(triângulo que possui um ângulo de 90°)
Classificando este Triângulo quanto aos lados, damos a ele o nome de Isósceles, pois ele
possui dois lados congruentes.
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O par de esquadros é composto por duas peças geralmente triangulares: um triângulo
retângulo escaleno e um triângulo retângulo isósceles.
Este é um instrumento muito utilizado nas aulas de Geometria e Desenho Geométrico.
Os esquadros possuem muitas utilidades, dentre as quais se destacam o traçado de linhas
perpendiculares / paralelas e a demarcação de ângulos.
Contudo, esta ferramenta didática preferencialmente graduada, pode auxiliar o
traçado de cevianas em um triângulo. Observe:
Cevianas são os segmentos que unem um vértice de um triângulo ao seu lado oposto
ou ao seu prolongamento. Todavia, existem três tipos de cevianas especiais chamadas de
segmentos notáveis de um triângulo, que recebem os nomes de altura, bissetriz e mediana.
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Que tal aprender a fazer o par de esquadros com Origami?
CONSTRUINDO ESQUADRO ESCALENO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha retangular A4 e
dobre-a ao meio no sentido horizontal.
02- Leve o vértice superior esquerdo até a
marca central de modo que se obtenha
um novo vértice inferior esquerdo.
03- Sobreponha o lado superior ao lado
esquerdo da figura e em seguida
introduza-o sob a “aba” obtida.
04- Dobre para trás a ponta excedente e
em seguida a introduza dentro do
módulo (gire 90°).
05- Encaixe a “aba” do lado direito no
“bolso” do lado esquerdo da figura.
06- Está pronto seu Esquadro de 30º e
60º.
07- Com o auxílio de uma régua faça as
devidas marcações de medida.
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CONSTRUINDO ESQUADRO ISÓSCELES
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha retangular A4 e dobre-
a ao meio no sentido horizontal.
02- Agora dobre-a ao meio no sentido
vertical.
03- Leve os vértices superior direito e
inferior esquerdo até o centro da figura.
04- Leve também ao centro os outros dois
vértices.
05- Encaixe as “abas”, como indica a figura
ao lado.
06- Está pronto seu Esquadro de 45º.
07- Com o auxílio de uma régua, faça as
devidas marcações de medida.
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01- Utilize os triângulos que confeccionou através do Origami e preencha a cruzadinha
abaixo:
1. Triângulo que possui um ângulo de 90°.
2. O ângulo principal do triângulo retângulo.
3. O triângulo equilátero têm ângulos...
4. Que triângulo possui os três lados congruentes?
5. Qual o menor polígono possível de ser formado?
6. Qual o nome dos ângulos do triângulo acutângulo?
7. Qual Triângulo possui um ângulo obtuso?
8. Triângulo que possui três lados diferentes.
9. Triângulo com dois lados congruentes.
02- Analise as duas afirmativas abaixo, assinale a correta e justifique:
a) Todo triângulo isósceles também é equilátero.
b) Todo triângulo equilátero também é isósceles.
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03- Utilize sua criatividade e as dobraduras que aprendeu para demonstrar as
propriedades dos ângulos internos e do ângulo externo de um triângulo. Desenhe,
colora ou faça uma colagem com sua solução:
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04- Analise as figuras e escreva o significado de cada ceviana traçada:
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05- Dobre um triângulo equilátero como mostrado anteriormente e com a ajuda do
esquadro que você confeccionou vinque as três alturas relativas a cada lado desse
triângulo. Escreva abaixo suas conclusões a respeito das cevianas marcadas.
06- Repita o procedimento da questão anterior, porém, agora, utilize o triângulo
isósceles. O que você pode concluir?
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07- Utilize seu par de esquadros e diga quanto mede os ângulos �̂� ,�̂�, �̂� 𝑒 �̂�:
08- Veja como fazer um paralelogramo utilizando o par de esquadros que você acabou
de produzir.
1. Com o auxílio do esquadro isósceles, trace uma reta e marque um segmento
AB.
2. Marque dois segmentos de mesma medida e mesma inclinação sobre os
pontos A e B.
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3. Ligue os pontos C e D e estará pronto seu paralelogramo.
4. Informe as medidas de cada ângulo interno dessa figura.
09- Utilize a técnica que você aprendeu, na atividade anterior, e faça um quadrado com
os lados medindo 5 cm.
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UNIDADE III QUADRILÁTEROS
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Quadriláteros são polígonos formados por quatro lados. Alguns deles são especiais e
com características importantes, é o caso dos paralelogramos e os trapézios que pertencem
ao grupo dos quadriláteros convexos. Essas figuras planas possuem, respectivamente, dois
pares e um par de lados paralelos.
Os trapézios podem ser classificados como isósceles, quando possuem dois lados não
paralelos congruentes; escaleno, quando possui os lados com medidas diferentes e retângulo,
quando possuem dois ângulos retos. Já nos paralelogramos, podemos destacar os retângulos,
os losangos e os quadrados.
Todo quadrilátero possui duas diagonais. Essas, por sua vez, são segmentos que unem
dois vértices não consecutivos. Observe suas propriedades no quadro abaixo:
Depois de conhecer um pouco sobre os quadriláteros, é hora de realizar, na prática,
dobras que resultarão em cada uma das figuras aqui apresentadas.
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CONSTRUÇÃO DO PARALELOGRAMO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e obtenha sua
diagonal.
02- Dobre os lados superior e inferior rente à
diagonal.
03- Vinque bem as laterais de modo que
“abas” não se sobreponham no centro da
figura (vire).
04- Está pronto seu Paralelogramo
(quadrilátero que possui lados e ângulos
opostos congruentes e paralelos).
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CONSTRUÇÃO DO RETÂNGULO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e dobre-a ao
meio no sentido vertical.
02- Está pronto seu Retângulo
(paralelogramo que possui ângulos
internos iguais a 90°)
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CONSTRUÇÃO DO LOSANGO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e obtenha sua
diagonal.
02- Leve dois lados deste quadrado sobre a
diagonal obtida.
03- Leve um vértice ao outro como indica a
figura.
04- Retorne a dobra, trazendo consigo as
aberturas nas laterais como indica a
figura ao lado.
05- Reforce bem os vincos (vire).
06- Está pronto o seu Losango
(paralelogramo que possui lados
congruentes e ângulos opostos com a
mesma medida).
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CONSTRUÇÃO DO QUADRADO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha retangular e dobre o
vértice superior esquerdo rente ao lado
inferior da folha retangular.
02- Recorte o excesso como indica a figura
ao lado.
03- Está pronto seu Quadrado
(paralelogramo que possui lados
congruentes e ângulos internos iguais a
90°)
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CONSTRUÇÃO DO TRAPÉZIO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e dobre-a ao
meio no sentido horizontal.
02- Dobre ao meio novamente no sentido
horizontal.
03- Dobre os vértices superiores até o vinco
formado, obtendo as trissetrizes dos
respectivos ângulos inferiores.
04- Está pronto seu Trapézio (quadrilátero
que possui apenas dois lados paralelos)
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01- Utilize os quadriláteros que confeccionou através do Origami e preencha a
cruzadinha abaixo:
1. Polígono formado por quatro lados.
2. Aberturas formadas pelos lados dos quadriláteros.
3. Paralelogramo de lados paralelos congruentes e ângulos retos.
4. Paralelogramo de quatro lados e quatro ângulos congruentes.
5. Pontos de interseção de lados consecutivos de um quadrilátero.
6. Quadrilátero que tem apenas um par de lados paralelos.
7. Quadrilátero que tem os lados opostos paralelos.
8. Trapézio de quatro lados com medidas diferentes.
9. Trapézio que tem dois ângulos retos.
10. Trapézio que tem os dois lados não paralelos congruentes.
11. Distância medida na perpendicular entre as bases do trapézio.
12. Paralelogramo de quatro lados congruentes e ângulos opostos congruentes, sendo
dois agudos e dois obtusos.
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02- Classifique as afirmações em verdadeiras ou falsas.
( ) Todo trapézio também é paralelogramo.
( ) Todo quadrado também é losango.
( ) Todo losango também é quadrado.
( ) Nem todo retângulo é quadrado.
( ) Existem losangos que também são retângulos.
( ) Todo retângulo também é quadrado.
( ) Nem todo retângulo é paralelogramo.
( ) Existem paralelogramos que também são trapézios.
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03- Recorra às orientações das dobraduras e descubra as medidas dos ângulos internos
do paralelogramo, do losango e do trapézio que você confeccionou. Registre, nos
quadros abaixo, os procedimentos que o levou a esta conclusão:
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04- Utilize os quadriláteros que produziu para identificar os eixos de simetria de cada um
deles. Marque os eixos sobre as figuras abaixo e sinalize com um X quando os
mesmos se coincidirem com a diagonal.
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UNIDADE IV TANGRAM
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Existem várias lendas sobre a história do Tangram, e, em uma delas, conta-se que um
imperador chinês, cansado de tanto tédio, chamou um de seus servos e ordenou que este
saísse por seu império e desenhasse em uma cerâmica quadrada toda a beleza que ele
encontrasse em seu caminho.
Então, lá se foi o servo em sua importante missão. Porém, antes mesmo que ele
deixasse o palácio, por um pequeno e fatal descuido, a cerâmica caiu de suas mãos e se dividiu
em sete pedaços. O desespero tomou conta daquele pobre homem que, temendo ser
castigado pelo imperador, tentou, imediatamente, reunir as peças e formar novamente o
quadrado.
Para sua surpresa a cada tentativa de montar o quadrado o servo percebia que se
formava ali uma figura diferente. Ele tentou várias vezes e ficou maravilhado com tantas
imagens que conseguira retratar.
Percebeu, então, que sua missão não estava perdida. E foi de encontro ao temido
imperador mostrar-lhe sua grande descoberta. Ao se aproximar, o imperador estranhou
tamanha agilidade do servo, porém, percebeu que em suas mão haviam apenas pedaços da
cerâmica que lhe fora entregue.
Os soldados foram chamados, mas antes que fosse ordenada qualquer sentença, o
humilde servo mostrou ao imperador que ele não precisava percorrer toda a china para
retratar-lhe as belezas daquele lugar; bastava que aquelas sete peças fossem unidas com
criatividade e as mais belas figuras se formariam. O imperador ficou encantado com tamanha
descoberta e deu o nome de Tangram àquele mágico quebra-cabeças.
E foi assim que o Tangram, um quebra-cabeças diferente do convencional, ficou
conhecido por todo o mundo. Ele é composto por 7 peças geométricas: 2 Triângulos Grandes,
1 Triângulo Médio, 2 Triângulos Pequenos, 1 Quadrado e 1 Paralelogramo. E a única regra do
jogo é que as peças sejam unidas sem que haja sobreposição das mesmas.
Este jogo se tornou um grande aliado da Matemática, pois permite o estudo da
Geometria de uma forma bem divertida. Com ele, é possível reconhecer, compor e decompor
figuras; explorar o cálculo de áreas e perímetros; incentivar o estudo dos ângulos; demonstrar
o Teorema de Pitágoras; dentre outros.
Agora que você já conhece a história e a utilidade do Tangram, vamos confeccionar
este jogo dobrando uma simples folha de papel. É hora de aprender se divertindo!
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CONSTRUÇÃO DO TANGRAM
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha quadrada e obtenha
sua diagonal.
02- Sobreponha os vértices superior
esquerdo e inferior direito e marque o
vinco até o limite da diagonal obtida.
03- Encontre o vértice inferior esquerdo
com o centro do quadrado e obtenha a
dobra.
04- Sobreponha, novamente, os vértices
superior esquerdo e inferior direito e
marque o vinco até o limite da última
dobra obtida.
05- Leve o vértice inferior direito até o
centro da figura e marque o vinco entre
as duas dobras existentes.
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06- Encontre o lado esquerdo do quadrado
com seu centro e faça um vinco entre as
dobras existentes.
07- Está pronto seu Tangram (quebra-
cabeças chinês composto por sete peças
geométricas).
08- Utilize diversas folhas coloridas, recorte
as sete peças e troque entre si para obter
um quebra cabeça bem divertido.
EXISTE UMA SÉRIE DE FIGURAS POSSÍVEIS DE SEREM FORMADAS COM O TANGRAM, VEJA
ALGUMAS IDEIAS:
http://espacotangram.com.br/nome-tangram/
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01- Monte um quadrado utilizando apenas as cinco menores peças do jogo e desenhe as
soluções:
02- Mantenha o quadrado acima montado e, agora, utilizando os 2 triângulos maiores,
obtenha:
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03- Antes de utilizar seu quebra-cabeças geométrico para formar diversas figuras,
marque os ângulos internos de cada uma das 7 peças que o compõem.
04- Este hexágono foi construído com as sete peças do Tangram. Informe as medidas dos
ângulos internos deste polígono:
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05- Utilize o jogo que você acabou de confeccionar para preencher a tabela abaixo,
indicando os triângulos e quadriláteros possíveis de serem formados com as peças do
Tangram e desenhe as soluções:
N° de
peças do
Tangram
Triângulos
Quadrados
Retângulos
Paralelogramos
Trapézios
2
3
4
5
6
7
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06- (ENEM – 2008) O Tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça,
constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1
quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o
esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma
grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.
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Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 cm, então, a área da figura 3, que
representa uma “casinha”, é igual a:
a) 4 m2
b) 8 m2
c) 12 m2
d) 14 m2
e) 16 m2
07- Agora que você já explorou bastante seu Tangram, utilize-o para demonstrar o famoso
Teorema de Pitágoras.
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UNIDADE V POLIEDROS
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Os Poliedros Regulares são conhecidos desde a antiguidade. O livro XIII de Os
Elementos de Euclides é inteiramente dedicado a esses sólidos especiais. Na última proposição
deste livro fica comprovada a existência de apenas cinco Sólidos Regulares.
Mas, de acordo com Dante (2005), foi Platão, um filósofo grego, que deu ênfase e um
destaque místico a estes sólidos. Em sua obra Timaeus, ele explana seus pensamentos sobre
os sólidos em um possível encontro com o pitagórico Timeu de Locri. Neste diálogo, ele expôs
suas ideias sobre os Poliedros Regulares, que ficaram conhecidos como Poliedros Platônicos.
Dante (2005) conta que:
Neste trabalho de Platão, Timeu misticamente associa o tetraedro, o octaedro, o icosaedro e o cubo aos quatro “elementos” primordiais de todos os corpos materiais: fogo, ar, água e terra. Ele associou o quinto poliedro, o dodecaedro, ao Universo que nos cerca. E então? Você acha justo chamar esses poliedros de poliedros de Platão? (DANTE, 2005, p.98).
Assim, devido à associação dos poliedros aos elementos da natureza e ao Universo,
eles ficaram conhecidos também como “figuras cósmicas”. O matemático Johannes Kepler
explicou essa associação feita por Platão. Em uma relação de volume entre o tetraedro e o
icosaedro verificou-se que o primeiro possui um volume menor que o segundo. De acordo
com essa correspondência, se tem a ideia de seco e úmido, ligando, respectivamente, os
sólidos aos elementos fogo e água. O hexaedro e o octaedro foram tidos como mais e menos
instável, logo, se associando o hexaedro à terra, por sua estabilidade e o octaedro ao ar. O
dodecaedro foi associado ao Universo por suas doze estações zodiacais.
Depois desse pequeno resgate histórico sobre os Poliedros Platônicos, vamos aprender
a confeccioná-los através da arte de dobrar papel, o Origami.
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CONSTRUÇÃO DO TETRAEDRO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha retangular.
02- Dobre a folha ao meio.
03- Dobre o lado esquerdo da folha até o
vinco central obtendo1
4 da folha.
04- Leve o vértice superior direito à
marca de 1
4 obtida, tendo como limite
o ponto médio superior.
05- Sobreponha o vértice superior
esquerdo na dobra obtida.
06- Marque bem o vinco e abra a folha
novamente.
07- Leve o vértice inferior direito à
marca de 1
4 obtida, tendo como limite
o ponto médio inferior.
53
08- Sobreponha o vértice inferior
esquerdo na dobra obtida.
09- Marque bem o vinco e abra a folha
novamente.
10- Dobre os vértices superior direito e
inferior esquerdo rente ao primeiro
vinco.
11- Dobre os segmentos obtidos sobre o
segundo vinco.
12- Leve os seguimentos de encontro ao
centro.
13- Dobre as pontas de excesso para trás
e as introduza para dentro do
módulo.
14- Dobre a peça ao meio sobre seu
vinco central. Sobrepondo dois dos
quatro triângulos obtidos.
54
15- Observe os quatro triângulos
equiláteros e sobreponha os dois das
pontas sobre os dois centrais.
16- Para obter o outro módulo simétrico,
pegue outra folha e repita o
procedimento a partir do 10° passo,
porém com os vértices opostos.
17- Introduza os módulos como indicado.
18- Encaixe a segunda ponta sem que a
primeira se solte.
19- Realize os encaixes das duas pontas
restantes formando uma figura
tridimensional.
20- Está pronto seu Tetraedro (poliedro
regular com quatro faces
triangulares).
55
CONSTRUÇÃO DO HEXAEDRO
Orientações Diagramas
01- Partindo de uma folha retangular, dobre o
vértice superior esquerdo rente ao lado
inferior da folha retangular.
02- Recorte o excesso obtendo, assim, um
quadrado.
03- Divida a folha em três partes iguais (como
mostrado anteriormente). Dobre uma das
partes para frente e outra para trás, obtendo
um efeito sanfona.
04- Dobre os vértices superior direito e inferior
esquerdo sobre os respectivos lados
opostos.
05- Dobre as pontas sobre o quadrado central
obtido.
56
06- O módulo finalizado possui duas pontas e,
nas laterais do quadrado central, dois
“bolsos” que servirão de encaixes para a
montagem do sólido. Produza seis
módulos.
07- Pegue três módulos e encaixe como mostra
a figura.
08- Introduza outros dois no módulo central.
09- Encaixe as pontas laterais de modo a
iniciar a formação de um sólido.
10- Agora, introduza a última peça como se
estivesse colocando a tampa em uma
caixa.
11- Está pronto seu Hexaedro (poliedro
regular com seis faces quadradas).
57
CONSTRUÇÃO DO OCTAEDRO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha retangular.
02- Dobre a folha ao meio.
03- Dobre o lado esquerdo da folha até o vinco
central obtendo1
4 da folha.
04- Leve o vértice superior direito à marca de
1
4 obtida, tendo, como limite, o ponto
médio superior.
05- Sobreponha o vértice superior esquerdo na
dobra obtida.
06- Marque bem o vinco e abra a folha
novamente.
58
07- Leve o vértice inferior direito à marca de 1
4
obtida, tendo como limite o ponto médio
inferior.
08- Sobreponha o vértice inferior esquerdo na
dobra obtida.
09- Marque bem o vinco e abra a folha
novamente.
10- Dobre os vértices superior direito e inferior
esquerdo rente ao primeiro vinco.
11- Dobre os segmentos obtidos sobre o
segundo vinco.
12- Leve os segmentos de encontro ao centro.
13- Dobre as pontas de excesso para trás e as
introduza para dentro do módulo.
14- Dobre a peça ao meio sobre seu vinco
central, sobrepondo dois dos quatro
triângulos obtidos.
59
15- Observe os quatro triângulos equiláteros e
sobreponha os dois das pontas sobre os
dois centrais. (confeccione dois módulos)
16- Para obter os módulos simétricos, pegue
outra folha e repita o procedimento a partir
do 10° passo, porém com os vértices
opostos. (confeccione dois módulos)
17- Introduza os módulos como indicado na
figura ao lado. Inicie pelos idênticos.
18- Encaixe as pontas, de modo a obter
vértices com quatro arestas.
19- Realize os encaixes das duas pontas
restantes formando uma figura
tridimensional.
20- Está pronto seu Octaedro (poliedro regular
com oito faces triangulares)
60
CONSTRUÇÃO DO DODECAEDRO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha retangular e dobre-a ao
meio na vertical.
02- Dobre ao meio na horizontal.
03- Leve ao centro os vértices superior direito
e inferior esquerdo.
04- Leve os vértices superior esquerdo e
inferior direito até o centro.
05- Dobre sobre o vinco central, obtendo dois
pentágonos irregulares idênticos. Utilize
apenas um deles no próximo passo.
06- Leve os lados superiores do pentágono, um
a um, sobre sua base.
07- Posicione uma régua entre as marcas
obtidas nas laterais superiores do
pentágono. Marque o ponto de interseção.
61
08- Leve os vértices superior aos da base, um a
um, sobre o ponto de interseção, obtendo
um pentágono regular.
09- Encaixe os dois pentágonos irregulares no
meio do módulo para que ele fique mais
firme. O módulo finalizado possui dois
“bolsos” nas laterais superiores do
pentágono que servirão de encaixe para a
montagem do sólido. Produza doze
módulos.
10- Inicie com três módulos e encaixe-os,
como mostra a figura.
11- A partir daí encaixe os outros módulos um
a um.
12- Encaixe o último módulo, finalizando o
sólido.
13- Está pronto seu Dodecaedro (poliedro
regular com doze faces pentagonais).
62
CONSTRUÇÃO DO ICOSAEDRO
Orientações Diagramas
01- Utilize uma folha retangular.
02- Dobre a folha ao meio.
03- Dobre o lado esquerdo da folha até o vinco
central, obtendo1
4 da folha.
04- Leve o vértice superior direito à marca de
1
4 obtida, tendo, como limite, o ponto
médio superior.
05- Sobreponha o vértice superior esquerdo na
dobra obtida.
06- Marque bem o vinco e abra a folha
novamente.
63
07- Leve o vértice inferior direito à marca de 1
4
obtida, tendo como limite o ponto médio
inferior.
08- Sobreponha o vértice inferior esquerdo na
dobra obtida.
09- Marque bem o vinco e abra a folha
novamente.
10- Dobre os vértices superior direito e inferior
esquerdo rente ao primeiro vinco.
11- Dobre os segmentos obtidos sobre o
segundo vinco.
12- Leve os seguimentos de encontro ao
centro.
13- Dobre as pontas de excesso para trás e as
introduza para dentro do módulo.
14- Dobre a peça ao meio sobre seu vinco
central. Sobrepondo dois dos quatro
triângulos obtidos.
64
15- Observe os quatro triângulos equiláteros e
sobreponha os dois das pontas sobre os
dois centrais. (confeccione cinco módulos)
16- Para obter os módulos simétricos, pegue
outra folha e repita o procedimento a partir
do 10° passo, porém com os vértices
opostos. (confeccione cinco módulos)
17- Introduza os módulos como indicado na
figura ao lado. Inicie os encaixes pelos
módulos simétricos.
18- Encaixe as pontas de modo a obter vértices
com cinco arestas.
19- Realize os encaixes das pontas restantes
formando uma figura tridimensional.
20- Está pronto seu Icosaedro (poliedro regular
com vinte faces triangulares)
65
01- Utilize os sólidos que acabou de confeccionar para preencher a tabela abaixo.
Considere F como face, V como vértice e A como aresta.
Denominação do
Poliedro
Tipo de Face
F
V
A
TETRAEDRO
HEXAEDRO
OCTAEDRO
DODECAEDRO
ICOSAEDRO
02- Faça os cálculos e verifique se Euler tinha razão, ao afirmar essa relação para os
poliedros regulares.
66
03- Classifique em verdadeira ou falsa cada afirmação.
( ) O cubo é um poliedro de Platão.
( ) As faces de um icosaedro são triângulos equiláteros.
( ) As faces de um dodecaedro são hexágonos regulares.
( ) A Relação de Euler é válida somente para poliedros convexos.
( ) Se as faces de um poliedro convexo são polígonos regulares congruentes entre si, então
o poliedro também será regular.
( ) O hexaedro possui 12 vértices.
04- Considere o poliedro regular cujo número de faces é igual ao número de vértices e
responda:
a) Quantas faces, vértices e arestas possuem esse poliedro?
b) Que nome recebe esse poliedro?
c) Qual o formato das faces desse poliedro?
67
05- Preencha a cruzadinha de acordo com os conhecimentos adquiridos sobre os poliedros
regulares.
1. Filósofo que associou os sólidos regulares aos elementos da natureza.
2. Poliedro regular com faces pentagonais.
3. Sólido geométrico cujas superfícies são compostas por um número finito de
faces.
4. Polígono que compõe as faces do tetraedro, octaedro e icosaedro.
5. Poliedro com mesmo número de vértices e faces.
6. Número de arestas do octaedro.
7. Poliedro com todas as faces regulares iguais e que contém o mesmo número
de aresta em todos os vértices.
8. Poliedro regular também conhecido como cubo.
9. Poliedro regular composto por 12 vértices e 30 arestas.
68
REFERÊNCIAS E SUGESTÕES DE LEITURA
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Geometria Euclidiana na Educação Básica. 2013. 86 f. Dissertação (Mestrado
Profissional em Matemática) – Universidade Federal de Sergipe, São Cristóvão, 2013.
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Fundamental. Brasília: MEC / SEF, 1997.
CAVACAMI, E.; FURUYA, Y. K. S. Explorando Geometria com Origami – Apostila
OBMEP, 2010.
COSTA, E. M. Matemática e Origami: Trabalhando Frações. Rio de Janeiro: Ciência
Moderna Ltda., 2007.
DANTE, L. R. Tudo é Matemática: 6ª série. São Paulo: Ática, 2005.
______. Projeto Teláris – Matemática – 6º ano, São Paulo: Ática, 2015.
ENGEL. P. Origami: from Angelfish to Zen. New York: Dover, 1994.
FUSE. T. Unit Origami: Multidimensional Transformations. Tokyo: Japan Publications,
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GAZIRE, E. S. O Não Resgate das Geometrias, 217 f. 2000. Tese (Doutorado em
Educação Matemática) - Universidade Estadual de Campinas, Campinas, 2000.
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2001.
GIOVANNI, J. R.; FERNANDES, T. M. OGASSAWARA, E. L. Desenho geométrico:
novo. São Paulo: FTD, 2002. (Obra completa – 4v.)
GIOVANNI, J. R.; FERNANDES, T. M. OGASSAWARA, E. L. Desenho geométrico:
novo: atividades. São Paulo: FTD, 2002. (Obra completa – 4v.)
IMENES, L. M. Geometria das Dobraduras – Vivendo a Matemática. 7. ed. São Paulo:
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KALEFF, A. M. M. R. Vendo e Entendendo Poliedros: do desenho ao cálculo do
volume através de quebra-cabeças geométricos e outros matérias concretos. 2. ed.
Niterói: UFF, 2003.
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KANEGAE, M., IMAMURA, P. Origami Arte e Técnica da Dobradura de Papel. São
Paulo: Aliança Cultural Brasil Japão, 1989. n. p.
KAWAMURA, M. Polyhedron Origami: for beginners. Tokyo: Nihon Vogue CO., LTD,
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MANSO, R, L, D. Origami: Uma Abordagem Pedagógica para o Ensino da Geometria no
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