ELABORAÇÃO DE ÁBACOS ADIMENSIONAIS PARA FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL

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Artigo OriginalRecebido em: xx/xx/xxxxAvaliado em: xx/xx/xxxx

Publicação: xx de xxx de xxxx

Nome da RevistaVol. xx, Nº. xx, Ano 2014 <DadosRevista>

Gabriel Correa Messa SeguraAcadêmico de Engenharia [email protected]

Willian de Araújo Rosa Professor-orientador [email protected]

ELABORAÇÃO DE ÁBACOS ADIMENSIONAIS PARA FLEXO-COMPRESSÃO NORMAL

Elementos Estruturais de Seção Transversal Circular

RESUMO

O dimensionamento de elementos estruturais submetidos à flexo-compressão normal é realizado por meio de ábacos (diagramas) adimensionais de esforços resistentes em função da taxa de armadura mecânica, que a partir de esforços solicitantes reduzidos o usuário encontra a área de aço. O trabalho aborda a elaboração de uma planilha do Microsoft Office (Excel) que gera ábacos para flexão composta de elementos com seção circular que podem ser utilizados em pilares, estacas armadas e armação para tubulões, podendo ser variada a distribuição do aço, raio e d’, com intuito de se obter a área de aço de uma determinada seção transversal circular.

Palavras-Chave: flexo-compressão; seção transversal circular; ábaco; dimensionamento.

ABSTRACT

The design of structural components subjected to normal flexion-compression is performed by means of an abacus (diagrams) of resistant efforts dimensionless function of the rate of mechanical reinforcement, the reduced internal forces from the user area is steel. The paper discusses the development of a Microsoft Office Spreadsheet (Excel) that generates abacuses for bending composed of elements with circular cross section that can be used for pillars, posts and armed frame for caissons, and may be varied distribution of steel beam and d ', in order to obtain the area of a particular steel circular cross-section.

Keywords: flexion-compression; circular cross section; abacus; sizing.

Modelo versão 31 1

2 Elaboração de Ábacos Adimensionais para Flexo-compressão Normal

1. INTRODUÇÃO

O dimensionamento de um elemento estrutural de concreto armado submetido a esforços de compressão e flexão é classificado como flexo-compressão ou flexão composta, para que se realize o dimensionamento sem métodos computacionais, é necessária a utilização de ábacos adimensionais.

Na flexão composta não se dimensiona a seção, verifica-se a resistência dos materiais de acordo com a solicitação, então para fazer a verificação é necessário processos iterativos, tornando-se um processo complexo, havendo mais de duas variáveis, portanto dificulta o cálculo, onde as soluções práticas para os profissionais da área é a utilização de ábacos e softwares.

O ábaco adimensional objeto deste estudo, segundo Bendô (2011), é uma equação de superfície que fornece valores adimensionais para compressão, flexão e taxa de aço, a partir de uma seção de concreto pré-definida, representadas em planos cartesianos com as suas curvas de nível. A partir do ábaco o calculista consegue determinar a quantidade de aço de uma seção de concreto armado.

2. JUSTIFICATIVA

Sabe-se que engenheiros e estudantes da área da construção civil que não detêm de softwares de dimensionamento estrutural, necessitam de ábacos para dimensionarem seus elementos estruturais submetidos à flexão composta. As seções encontradas na literatura são limitadas a suas configurações, assim o usuário tem de fazer adaptações, usando ábacos que não se encaixam na seção escolhida, e levando a inexatidão do cálculo.

Com os profissionais e estudantes aderindo as ferramentas computacionais para o desenvolvimento de seus projetos, utilizou-se uma ferramenta muito comum desses usuários, e assim desenvolvendo o ábaco de modo que se facilite a caracterização do ábaco de acordo com a seção pré-defina pelo usuário, isso ajudará com que o dimensionamento seja mais rápido e prático.

A facilidade de alterar o ábaco conforme as características da seção do usuário faz com que ele obtenha resultados da taxa de armadura mais próximo possível do necessário, assim evitando um excesso de armadura que uma adaptação geraria. Como o mercado da construção civil tende a enxugar

Nome da Revista Vol. xx, Nº. xx, Ano 2013 p. 1-23

Gabriel Correa Messa Segura 3

os custos, o ábaco facilitaria o dimensionamento de engenheiros que não detêm de softwares de dimensionamento.

3. OBJETIVO

Este trabalho tem o intuito de gerar ábaco para dimensionamento de elementos estruturais submetidos à flexão composta normal (reta) de seção circular maciça com arranjo simétrico de armadura em meio computacional familiar a todos os usuários do Microsoft Office, assim facilitando o dimensionamento de estruturas para acadêmicos e engenheiros.

O que se pretende é obter uma planilha do Microsoft Excel que elabore ábacos conforme configurações do usuário e que se possa facilmente adquirir resultados mais exatos possíveis, assim aumentando significativamente a quantidade de ábacos de seções circulares disponíveis e permitindo que o usuário consiga os arranjos que desejar, fazendo que ele analise a forma mais econômica possível e de maneira rápida.

Alcançado a meta deste trabalho teremos uma ferramenta prática e didática para obter diagramas de resistência de uma seção transversal para uma dada taxa de armadura, que deve ser testado por meio de exemplos com disposições de armadura tipicamente adotadas pelos calculistas. A figura 1 ilustra a seção transversal a ser utilizada.



Fonte: Autor.

Figura 1. Seção transversal.

A planilha lhe permite determinar o raio da circunferência (r), a distância da barra até a extremidade da seção (d’), a quantidade de barras a ser utilizadas e o intervalo da taxa de armadura (ω). Com essas características o usuário pode montar a seção da melhor forma, assim tendo resultados mais próximos do solicitado.

4. METODOLOGIA

Os elementos estruturais de concreto armado são compostos basicamente por concreto feito a partir de cimento Portland, agregados graúdos e miúdos e aços (CA-50 e CA-60). Os elementos de concreto armado resistem a esforços de compressão, tração, flexão e torção.

Para dimensionarmos as seções é necessário termos o conhecimento de algumas definições estabelecidas por Carvalho (2009), como: flexão normal que é um momento fletor atuando em um eixo de simetria; flexão composta Normal é uma solicitação normal e momento fletor atuando em conjunto na seção, com um eixo de simetria; flexão oblíqua é atuação de um momento fletor fora do eixo de simetria; flexão composta oblíqua é a solicitação de uma força normal atuando com um momento fletor fora do eixo de simetria da seção.

A flexão composta normal ou flexo-compressão reta objeto deste estudo é utilizada no dimensionamento de pilares, estacas armadas, tubulões e outras seções com os esforços normais e momentos atuando no seu eixo de simetria.

O dimensionamento de uma peça submetida à flexo-compressão normal é muito complexo, pois é complicado encontrar a Linha Neutra, linha onde as tensões são nulas, assim torna o processo de cálculo manual difícil. Na flexo-compressão se verifica se a seção de concreto e o arranjo de armadura resistem às solicitações. Para que se possa dimensionar, ou seja, determinar a área de aço, foram elaborados os ábacos.

A seção submetida a um esforço normal e um momento fletor, ela não se comporta de forma uniforme, onde a região acima da linha neutra se comprime e abaixo dela traciona-se. A figura 2 mostra a peça com suas deformações.



Fonte: Autor.

Figura 1. Deformação da seção transversal.

Na região comprimida, o concreto e o aço se encurtarão, e na região tracionada o aço se alongará, o aço comprimido se deforma conforme o concreto, já as barras tracionadas se deformam até o limite de deformação do aço. Assim a resistência do elemento estrutural é a soma da resistência do concreto mais a resistência do aço.

4.1. Esforços Reduzidos

Para ficar prático o dimensionamento, os esforços foram reduzidos a valores adimensionais em função das suas características geométricas e resistências de cálculo, a normal e o momento fletor são reduzidos a termos adimensionais para se obter uma taxa de armação.

De acordo com Araújo (2010), as fórmulas para encontrar os parâmetros adimensionais são:

Com a fórmula fornecida por Araújo (2010), podemos chegar as seguintes simplificações:



Onde Nd é o esforço normal de projeto, Md momento fletor de projeto, As e Ac área de aço e concreto, fcd resistência de projeto do concreto, fyd resistência de projeto do aço. Com o valor da forma adimensional da força normal (ν) e o valor da forma adimensional do momento (μ), utilizaremos o ábaco para buscar a taxa de armação (ω) da seção transversal.

4.2. Domínios de Ruptura ABNT NBR 6118:2014

Para que se possa desenvolver um ábaco é necessário conhecer as deformações das barras, ou seja, conhecer os limites que cada material pode se deformar sem que haja ruptura. Os dimensionamentos de estruturas, que estão na flexo-compressão normal, são realizados no estado-limite de ruptura, portanto, devemos conhecer os domínios de estado-limite último fornecido pela a norma da ABNT NBR 6118:2014. A figura abaixo apresenta os domínios.

Fonte: Adaptada da NBR 6118:2014.

Figura 3. Domínios de estado-limite último de uma seção transversal.

De acordo com NBR 6118:2014, o estado-limite último se caracteriza quando a deformação transversal do concreto e do aço pertence aos domínios definidos na figura 3. A ruptura ocorre de duas formas, a convencional por



deformação plástica do aço, e a convencional por encurtamento limite do concreto. Segundo Carvalho (2009), os domínios são os seguintes.

Reta a: a seção está tracionada com as suas tensões atuando no centro, o alongamento do aço e do concreto é de 10‰.

Domínio 1: a seção está tracionada, porém tem uma excentricidade, ocasionando uma diferença de deformação nas barras de aço, inicia com o aço e o concreto com ε = 10‰, termina com o aço com deformação de 10‰ e o concreto com 0‰.

Domínio 2: a seção está submetida à flexão simples ou composta, com uma grande excentricidade, inicia sem compressão no concreto e εs = 10‰, termina com εc = 3,5‰ e εs = 10‰. No final a linha neutra divide a seção com uma parte comprimida e outra tracionada.

Domínio 3: neste domínio a seção continua sofrendo flexão simples ou composta, porém a seção está subarmada, ocorrendo ruptura no concreto e o escoamento do aço com εs = εyd. Inicia com o aço alongando 10‰ e o concreto comprimindo com 3,5‰, terminando com o alongamento do aço com εs = εyd e comprimindo o concreto em 3,5‰.

Domínio 4: neste domínio a peça continua sofrendo flexão simples ou composta, porém a peça está superarmada, a ruptura ocorre no concreto à compressão com o aço sem escoamento, o aço varia com o alongamento de εs = εyd até εs = 0, ou seja, sem deformação da última barra, já o concreto continua com o encurtamento de 3,5‰.

Domínio 4a: é caracterizado pela flexão composta, onde a ruptura ocorre no concreto e a armadura fica comprimida. O encurtamento do aço varia de 0 a εs = (1-d/h)3,5‰, e o concreto se mantém em 3,5‰.

Domínio 5: define-se com compressão não-uniforme, com pequena excentricidade, a ruptura ocorre no concreto com o encurtamento do aço, a linha neutra está fora da seção, inicia com εs = (1-d/h)3,5‰ e εc = 3,5‰, e finaliza com εs = 2,0‰ e εc = 2,0‰.

Reta b: compressão centrada, com a deformação das barras limitadas ao limite do concreto, o concreto está encurtado com 2,0‰.

4.3. Características do Concreto

A NBR 6118:2014 determina 10 classes de concreto de acordo com a resistência característica, assim temos as classes C15, C20, C25, C30, C35, C40, C45, C50, C60, C70, C80 e C90, assim o ábaco foi limitado às classes C15 C20, C25, C30, C35, C40, C45 e C50, vale lembrar que a classe C15 é recomendada somente para estruturas provisórias. Com isso teremos εc2 = 2,0‰ e εcu = 3,5‰. De acordo com o item 8.2.10.1 “Para tensões de



compressão menores que 0,5 fc, pode-se admitir uma relação linear entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o valor secante dado pela expressão constante em 8.2.8.” Assim o Item 8.2.8. diz:

O módulo de elasticidade deve ser obtido segundo ensaio descrito na ABNT NBR 8522, sendo considerado nesta norma o módulo de deformação tangente inicial cordal a 30% fc, ou outra tensão especificada projeto. Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 d, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade usando a expressão: Eci=5600fck1/2. Porém, neste modelo, utilizamos Eci = 21Gpa. O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para a determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, deve ser calculado pela expressão: Ecs=0,85Eci. (ABNT NBR 6118:2014).

Portanto, temos o Diagrama tensão-deformação idealizado para análises no estado-limite último.

Fonte: Bortoncello, (2013).

Figura 4. Diagrama tensão-deformação idealizado.

4.4. Características do Aço

Os aços utilizados no dimensionamento de estruturas de concreto armado são os CA-50, CA-60 e CA-25, para o desenvolvimento do ábaco em estudo será utilizado o CA-50, pois é o mais comum em elementos estruturais submetidos à flexo-compressão normal. Para o cálculo no estado-limite último utiliza-se o Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas fornecido pela NBR 6118:2014, onde é validado pela Lei de Hooke no trecho inclinado, a



deformação do aço tracionado é limitado em 10,0‰, no encurtamento é limitado a 3,5‰. A figura 5 mostra o diagrama.

Fonte: Bortoncello, (2013).

Figura 5. Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas.

4.5. Posição da Linha Neutra

Para calcular a linha neutra é preciso conhecer as deformações estabelecidas pelos domínios de ruptura. Conforme a deformação varia a linha muda de posição do +∞ passando pela seção transversal e indo ao -∞. A figura 6 mostra o esquemático da seção deformada.

Fonte: Autor.

Figura 6. Esquema de deformação.

A região com hachura da figura 6 é onde a peça está sofrendo compressão, o aço dentro dessa área está sendo encurtado, sua deformação



seguirá a deformação do concreto. O restante das barras poderá deformar até εs = 10,0‰.

De acordo com equações de Santos (1981), podemos escrever a seguinte equação.

Assim, também podemos encontrar o y a partir da equação abaixo modificando a equação acima.

; Para valores entre 0,0 e .

Sendo (x) a linha neutra, y =0,8X, a altura da área para o cálculo da resistência do concreto de acordo com a norma NBR 6118:2014.

4.6. Convenção de Sinais

Para poder compreender a metodologia de cálculo e utilizar o ábaco é necessário conhecer a convenção dos sinais (positivo e negativo), para cada solicitação, deformação, tensão e esforços resistentes de cálculo têm uma convenção a seguir para que o resultado seja o correto, assim temos as seguintes convenções.

Tensões: tensões (σs) de tração sinal positivo (+), para tensões (σ’s) de compressão sinal negativo (-);

Deformações: alongamentos (εs) sinal positivo (+), encurtamentos (ε’s) sinal negativo (-);

Momento resistente de cálculo: positivo (+) para o sentido horário;

Momento solicitante de cálculo: positivo (+) para o sentido anti-horário;

Normal resistente de cálculo: positivo (+) para esquerda; Normal solicitante de cálculo: positivo (+) para direita.

A figura 7 exemplifica a convenção.



Fonte: Autor.

Figura 7. Convenção dos esforços.

4.7. Cálculo da Normal e Momento Resistente

Na flexo-compressão normal, além de termos a força normal (Nd), existe um momento fletor solicitante de cálculo. Para se verificar a resistência da seção transversal, basta analisar os esforços internos submetidos na peça, os esforços solicitantes de cálculo gerarão esforços resistentes no sentido contrário, esses esforços são calculados a partir das propriedades dos materiais.

De acordo com Carvalho (2009), os esforços internos, para qualquer seção transversal, são calculados pela área de concreto com a sua tensão e a soma da área de cada barra pela tensão correspondente, e pelos seus respectivos momentos. Como mostra a equação abaixo.

Onde: Ac, área de concreto; Asi, área da barra genérica de aço; σc, tensão do concreto em qualquer ponto da seção; σsi, tensão da barra de aço genérica; yc, coordenadas do centroide da área de concreto comprimida; ysi, coordenada da barra de aço.

Com a equação acima podemos escrever a equação abaixo.



Para calcularmos as tensões dos materiais utilizamos as fórmulas que NBR 6118:2014 nos fornece.

Onde: fcd, tensão de dimensionamento a concreto; fyd, tensão de cálculo do aço, Es, módulo de elasticidade do aço, Es = 21000 kN/cm².

4.8. Elaboração do Ábaco

Para elaboração do ábaco foi necessário estudar os conceitos citados anteriormente, assim criando um processo de cálculo, e com a ajuda do software do Microsoft Office (Excel) foi possível realizar os cálculos. A seguir serão apresentadas as sequências de cálculos realizados pela planilha para obter o objeto de estudo.

1) Cálculo de fcd e fyd: para o concreto foi fixado γc = 1,4 e para aço γs = 1,15. Para o cálculo foi usado as seguintes fórmulas:

2) Cálculo do y: distância da borda superior até a posição onde é considerado o cálculo da área de concreto comprimida, podendo ser y=0,8x. Para calcular o y ou a linha neutra (x) é necessário conhecer as deformações dos domínios de ruptura.

3) Cálculo da área comprimida (Ac), centroide de Ac (Yc) e área de aço (As): para o cálculo de As foram fixados os valores da taxa de aço (ω) e assim temos as fórmulas a seguir:



4) Calcular as coordenadas das barras conforme a quantidade: para esse cálculo foram utilizadas as seguintes fórmulas:

5) Cálculo das deformações: com os cálculos feitos, anteriormente, podemos calcular as deformações das barras por semelhança de triângulos, conforme os domínios de ruptura. Para barras acima da linha neutra são consideradas ε’s e abaixo εs.

6) Cálculo das tensões: com os valores das deformações das barras podemos calcular as tensões resistentes do aço. Expressa pelas fórmulas abaixo.

7) Cálculo da normal e momento resistente: com os resultados obtidos nos passos anteriores é possível calcular as normais resistentes e os momentos, utilizando as seguintes fórmulas:

8) Cálculo dos esforços reduzidos: com o passo 7 podemos calcular os esforços reduzidos e assim gerar o ábaco conforme a variação da taxa mecânica de armadura.

5. UTILIZAÇÃO DO ÁBACO

O uso da planilha para gerar o ábaco é simples, basta o usuário ter instalado em seu computador o Microsoft Office e ter conhecimentos básicos de Excel. O processo inicia-se quando o usuário abrir a pasta de arquivo, logo, quando abrir vai parecer a primeira planilha, onde o usuário deve informar as características geométricas, o fck desejado e o intervalo de variação da taxa mecânica de armadura. Como mostra a figura 8 a seguir.



Fonte: Autor.

Figura 8. Planilha de entrada.

Aparecerão cinco campos para preenchimento, o raio em cm, d’ em cm, quantidade de barras, note que na lateral do campo aparece uma lista limitando a quantidade de barras de 6 a 50, fck em MPa que também tem uma lista limitando a classe C15 até C50 e por último o intervalo de ω. Para gerar o ábaco basta clicar no botão “GERAR ÁBACO”, onde abrirá uma planilha com o ábaco. Para compressão o ábaco considera o valor de ν negativo (-) e tração positivo (+), como mostra a figura 9.



Fonte: Autor

Figura 9. Ábaco gerado pela planilha.

Depois de clicado no botão para gerar o ábaco, abrirá uma nova planilha com o ábaco pronto, basta o usuário imprimir e fazer os seus dimensionamentos, se o usuário necessitar gerar outro ábaco, basta clicar no botão “INÌCIO” que retornará a primeira planilha, logo em seguida clicar com no botão “LIMPAR”, onde serão apagados os campos para preenchimento e o



ábaco sumirá. Para fazer o download da pasta de trabalho acessar o link a seguir http://1drv.ms/1tJe3uT.

6. COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS

Com o intuito de validar os resultados obtidos nos ábacos elaborados, foram comparados com ábacos existentes, extraídos do livro de Alonso (2012), nos quais temos quatro ábacos que variam o d’.

Vale ressaltar que os ábacos encontrados no livro de Alonso (2012), consideram os esforços de compressão positivo e tração negativo, já para os ábacos desse estudo, tração é positiva e compressão negativa, porém essa divergência não altera os resultados, pois altera somente o lado das informações. As figuras abaixo comparam os ábacos.

Fonte: Alonso (2012).

Figura 10. Ábaco da/db=0,8.



Fonte: Autor.

Figura 11. Ábaco correspondente a da/db=0,8.



Fonte: Autor.




Fonte: Autor.


Com as comparações acima, validou-se a planilha, porém notou-se uma pequena variação nas curvas de nível, isso é explicado pela quantidade de casas decimais adotadas, a quantidade de intervalos de variação da linha neutra, no qual quanto maior a variação da linha neutra mais se caracteriza uma curva, e as possíveis alterações da norma.

7. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Portanto, neste trabalho foi possível elaborar uma ferramenta para dimensionamento de elementos estruturais de concreto armado de seção



circular submetida à flexo-compressão normal, e a partir do software Excel podemos elaborar um ábaco com o arranjo de armação desejado e com a área e d’ escolhidos pelo usuário.

Através das iterações foram possíveis encontrar a taxa de armadura mecânica de uma seção circular, para o cálculo foram feitas várias abordagens teóricas podendo verificar a resistência do concreto unido ao aço.

O resultado desta pesquisa foi satisfatório, pois é possível conseguir valores da taxa de armadura mecânica com tempo hábil com diversos tipos de arranjos.

8. REFERÊNCIAS

ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - NBR 6118:2014. Projetos de estruturas de concreto. Rio de Janeiro: ABNT, 2014. _____. NBR 7480:2007 - Barras e fios de aço destinados a armaduras de concreto armado. Rio de Janeiro: ABNT, 2007.BENDÔ, Nestor Eleutério Paiva. Geração de Ábacos para Dimensionamento de seções de pilares Solicitadas por Flexão Composta. 2011. 58 fls. Monografia (Curso de Engenharia Civil), Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, 2011.SMANIOTTO, Alberto. Elaboração de programa para dimensionamento e detalhamento de pilares retangulares submetidos a flexo-compressão normal com armadura distribuída ao longo das faces. 2002. 163 fls. Monografia (Curso de Engenharia Civil), Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2002.BORTONCELLO, Paulo Sérgio de Mello. Geração de ábacos Adimensionais para Obtenção da Taxa Mecânica de Armadura. 2013. 23 fls. Artigo (Curso de Engenharia Civil), Universidade Anhanguera-Uniderp, Campo Grande, 2013.ARAÚJO, José Milton de Araújo. Curso de Concreto Armado, Volume 3. 3ª. ed. Dunas, 2010.CARVALHO, Roberto Chust. Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado, Volume 2. 1ª Edição. São Paulo: Ed. PINI, 2009.ALONSO, Urbano Rodriguez. Dimensionamento de fndações profundas. 2ª Edição. São Paulo: Edgard Blücher Ltda., 2012.SANTOS, Lauro Modesto dos. Cálculo de Concreto Armado segundo a NB-1/78 e o CEB/72, Volume 2. 2ª Edição. São Paulo, Edgard Blücher, 1981.

Gabriel Correa Messa SeguraAcadêmico do curso de graduação em Engenharia Civil da Universidade Anhanguera-Uniderp.

Willian de Araujo Rosa.Professor Orientador do curso de graduação em Engenharia Civil da Universidade Anhanguera-Uniderp


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