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Recebido em: 30 de Nov. de 2018. Aceito em: 08 de Mar de 2019 ISSN: 2674-6190 Revista ReLOGA. Araraquara, v. 1, n. 1, Março/2019. Elaboração de planilha eletrônica para dimensionamento de blocos de fundação sobre estacas à compressão centrada Caio Henrique Chudo Marques, Jeferson Rodrigues Filho, Levi dos Santos Rios, Thaís Messasi Gatto¹, Marcos Alberto Ferreira da Silva² ¹ Graduando em Engenharia Civil FIAR, Faculdades Integradas de Araraquara, Araraquara, SP, Brasil. Autor para correspondência: [email protected], [email protected], [email protected] [email protected]. ² Graduado em Engenharia Civil / Mestrado em construção civil e especializado em engenharia de estruturas FIAR, Faculdades Integradas de Araraquara, Araraquara, SP, Brasil. RESUMO No trabalho a seguir serão apresentados métodos de dimensionamento para blocos de fundação sobre uma, duas, três e quatro estacas, visando solucionar os esforços de carga centrada provenientes dos pilares. O estudo abrange a rigidez e a geometria dos elementos bem como todo o detalhamento das armaduras para os quatro modelos abordados. Como resultado final deste trabalho serão apresentadas planilhas de cálculo para o auxílio no dimensionamento destes elementos a fim de facilitar e diminuir possíveis erros de cálculos manuais. Palavras-chave: blocos de fundação; blocos de concreto armado; planilhas de cálculo; bloco sobre uma estaca; bloco sobre duas estacas; bloco sobre três estacas; bloco sobre quatro estacas. ABSTRACT In the following work will be presented methods of calculation for pile caps on one, two, three and four piles, solving all the efforts requested by the pillars. The study covers the rigidity and geometry of the elements and also the entire detailing of the reinforcements for the four models discussed. As a final result of this work will be presented calculation worksheets to aid in the sizing of these elements seeking to facilitate and reduce possible errors of manual calculations. Keywords: pile caps; reinforced concrete pile caps; calculation worksheets; pile cap for one pile; pile cap for two piles; pile cap for three piles; pile cap for four piles

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Recebido em: 30 de Nov. de 2018. Aceito em: 08 de Mar de 2019

ISSN: 2674-6190 Revista ReLOGA. Araraquara, v. 1, n. 1, Março/2019.

Elaboração de planilha eletrônica para dimensionamento de blocos de fundação sobre

estacas à compressão centrada

Caio Henrique Chudo Marques, Jeferson Rodrigues Filho, Levi dos Santos Rios, Thaís

Messasi Gatto¹, Marcos Alberto Ferreira da Silva²

¹ Graduando em Engenharia Civil – FIAR, Faculdades Integradas de Araraquara, Araraquara, SP, Brasil. Autor

para correspondência: [email protected], [email protected], [email protected]

[email protected].

² Graduado em Engenharia Civil / Mestrado em construção civil e especializado em engenharia de estruturas –

FIAR, Faculdades Integradas de Araraquara, Araraquara, SP, Brasil.

RESUMO

No trabalho a seguir serão apresentados métodos de dimensionamento para blocos de

fundação sobre uma, duas, três e quatro estacas, visando solucionar os esforços de carga

centrada provenientes dos pilares. O estudo abrange a rigidez e a geometria dos elementos

bem como todo o detalhamento das armaduras para os quatro modelos abordados. Como

resultado final deste trabalho serão apresentadas planilhas de cálculo para o auxílio no

dimensionamento destes elementos a fim de facilitar e diminuir possíveis erros de cálculos

manuais.

Palavras-chave: blocos de fundação; blocos de concreto armado; planilhas de cálculo; bloco

sobre uma estaca; bloco sobre duas estacas; bloco sobre três estacas; bloco sobre quatro

estacas.

ABSTRACT

In the following work will be presented methods of calculation for pile caps on one, two,

three and four piles, solving all the efforts requested by the pillars. The study covers the

rigidity and geometry of the elements and also the entire detailing of the reinforcements for

the four models discussed. As a final result of this work will be presented calculation

worksheets to aid in the sizing of these elements seeking to facilitate and reduce possible

errors of manual calculations.

Keywords: pile caps; reinforced concrete pile caps; calculation worksheets; pile cap for one

pile; pile cap for two piles; pile cap for three piles; pile cap for four piles

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Elaboração de planilha eletrônica para dimensionamento de blocos de fundação apoiados sobre estacas à

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ISSN: 2674-6190 Revista ReLOGA. Araraquara, v. 1, n. 1, Março/2019.

Introdução

O tema abrangente no trabalho é de fundamental importância na construção civil, pois

verifica-se a necessidade da transferência de cargas pela estrutura até serem absorvidas pelo

solo. Nesse quesito, os blocos de fundação fazem essa função de transferência de cargas do

pilar às estacas, que posteriormente chegam ao solo. Logo, devem ser dimensionados para

suprir tais condições.

O método mais utilizado para tal função é o “método de bielas e tirantes”, adaptado em

1967 por Blévot e Frémy para o estudo de blocos de fundação. O trabalho tem como principal

objetivo a elaboração de planilhas eletrônicas voltadas ao dimensionamento e detalhamento

dos blocos de fundação sobre estacas moldadas “in loco”, visando a redução do tempo de

cálculos manuais. O estudo concentra-se em blocos sobre uma, duas, três ou quatro estacas.

No caso dos blocos de três e quatro estacas, as mesmas não se encontram alinhadas.

Como resultados tem-se as dimensões necessárias em planta e corte, bem como o

detalhamento das armaduras, volume de concreto, tabela e taxa de aço.

Síntese Bibliográfica

Blocos apoiados sobre uma, duas, três ou quatro estacas.

Bloco de fundação

Blocos de fundação são estruturas maciças de concreto armado, usados para

construções de pequeno à grande porte, direcionados para suportar pilares provenientes da

estrutura de uma obra que, por sua vez, transmitem esses esforços até uma camada resistente

do solo.

Segundo Alva (2007): [...] as dimensões em planta dos blocos sobre estacas dependem, quase

sempre, apenas da disposição das estacas, adotando-se, em geral, o menor

espaçamento possível entre elas. Esse espaçamento é adotado igual a 2,5

vezes o seu diâmetro no caso de estacas pré-moldadas e 3,0 vezes o diâmetro

se as estacas forem moldadas "in loco". Em ambos os casos, esse valor não

pode ser inferior a 60 cm. Deve-se ainda respeitar uma distância livre

mínima entre as faces das estacas e as extremidades do bloco. Obedecendo a

essas recomendações, as dimensões dos blocos são minimizadas resultando

na maioria das vezes em blocos rígidos. Entretanto, por razões diversas, o

espaçamento entre as estacas pode ser aumentado, resultando em um bloco

flexível.

Os blocos sobre estacas podem ser para uma, duas, três... e teoricamente para n

estacas, dependendo principalmente da capacidade de carga da estaca e das características do

solo. Blocos sobre uma ou duas estacas são mais comuns em construções de pequeno porte,

como residências térreas e de dois pavimentos, galpões, etc., onde a carga vertical proveniente

do pilar é geralmente de baixa intensidade. Nos edifícios de vários pavimentos, como as

cargas podem ser altas (ou muito altas), a quantidade de estacas é geralmente superior a duas,

porém há casos de blocos sobre uma ou duas estacas em obras de grande porte, inclusive. Há

também o caso de bloco assente sobre um tubulão, quando o bloco atua como elemento de

transição de carga entre o pilar e o fuste do tubulão. (BASTOS, 2017, p.1)

A distinção entre estacas e tubulões (Figura 1) se dá, segundo alguns autores, no fato

que nos tubulões há a intervenção do homem, ou seja, em algum momento há a descida de um

operário seja para escavar o corpo (fuste) ou para executar a base alargada do mesm e por isso

os diâmetros dos tubulões são relativamente grandes, em geral maior ou igual a 80 cm,

conforme resoluções do Ministério do Trabalho. De maneira simplista considera-se, em

princípio, que as estacas transmitam ações para o solo segundo a sua superfície lateral e

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Elaboração de planilha eletrônica para dimensionamento de blocos de fundação apoiados sobre estacas à

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também através de sua ponta. No caso dos tubulões, a favor da segurança, admite-se que

apenas a base tem capacidade de transmitir esforços para o solo.

Figura 1 – Blocos de fundação

Carregamento

Considera-se no presente estudo apenas o carregamento vertical e centrado, por esse

motivo é utilizado como base o método de bielas e tirantes.

De modo geral, há outros métodos de cálculo, os quais consideram efeito de momento

fletores e cargas excêntricas, porém não são abordadas no escopo do estudo.

Método das Bielas e Tirantes

Segundo a Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) - NBR 6118:2014, o

método de maior eficiência para cálculo de armadura nos blocos de fundações rígidos é o

modelo das bielas e tirantes. Neste modelo, a biela é a representação do concreto comprimido

e o tirante das armaduras tracionadas.

O Método das Bielas é recomendado quando:

a) o carregamento é quase centrado, comum em edifícios. O método pode ser

empregado para carregamento não centrado, admitindo-se que todas as estacas estão

com a maior carga, o que tende a tornar o dimensionamento antieconômico;

b) todas as estacas devem estar igualmente espaçadas do centro do pilar.

O Método das Bielas é o método simplificado mais empregado, por que:

a) tem amplo suporte experimental (116 ensaios de Blévot, entre outros);

b) ampla tradição no Brasil e Europa;

c) modelo de treliça é intuitivo (BASTOS, 2017, p.2)

No Método biela-tirante é idealizada uma treliça tridimensional com barras

tracionadas e comprimidas. As barras comprimidas seriam as bielas de concreto nas

quais a tensão de compressão deve ser verificada; e as barras tracionadas seriam os

tirantes compostos por armaduras definidas pela força de tração. É recomendado

para ações centradas, mas pode ser empregado no caso de ações excêntricas, desde

que, se admita que todas as estacas estivessem submetidas à maior força transferida.

(OLIVEIRA, 2010, pag.16)

O modelo de bielas e tirantes pode ser adotado considerando o fluxo de tensões

na estrutura, utilizando o processo do caminho das cargas. Essas tensões podem ser

obtidas por meio de uma análise elástica linear, utilizando métodos numéricos, como

por exemplo, o método dos elementos finitos. Podendo ser definido como o

comportamento estrutural dos blocos sobre estacas, sendo que o bloco rígido sobre

estacas é uma região de descontinuidade generalizada, conhecida como “região D”.

As geometrias das regiões nodais e das escoras comprimidas são diferentes das

apresentadas por Blévot. (OLIVEIRA, 2010, p.17)

Realizou-se ensaios de blocos sobre uma, duas, três e quatro estacas submetidas a

forças centralizadas, sua principal incógnita foi determinar as dimensões das bielas

comprimidas.

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Blévot observou que a ruína ocorreu por esmagamento da biela junto ao pilar ou

junto à estaca. Em um dos blocos ensaiados observou-se esmagamento simultâneo

da biela junto ao pilar e junto à estaca. A ruptura ocorreu após a formação de várias

fissuras. Para os blocos armados com barras sem ganchos, observou-se o

escorregamento na ancoragem das barras. A tensão de compressão na biela junto ao

pilar excedeu em cerca de 40% à resistência característica do concreto fck e a força

na armadura excedeu em 15% o valor recomendado pelo cálculo. Com o observado,

Blévot recomenda que a inclinação das bielas, para blocos sobre duas estacas, deve

estar entre 45º e 55º. [...]. Para essa recomendação de inclinação de biela obtém-se

blocos com altura útil entre 52,5cm e 74,9 cm. (OLIVEIRA, 2010, p.21)

Rigidez dos blocos

A geometria dos blocos é influenciada por alguns parâmetros, como as dimensões em

planta, distância entre estacas (geralmente adota-se o menor espaçamento entre elas) e número

de estacas. Sabe-se que o comportamento estrutural dos blocos depende da classificação

quanto à rigidez e se dá através da análise das relações geométricas, podendo ser rígidos ou

flexíveis.

Nesse caso, serão adotadas estacas moldadas “in loco”. Com isso, considera-se a

distância entre estacas como sendo três vezes o diâmetro.

De acordo com a ABNT (NBR 6118:2014), um bloco é considerado rígido quando a

altura respeitar, nas duas direções, às equações, ou seja, possuem os mesmos recalques das

estacas e reações, caso contrário são considerados flexíveis. “Vale lembrar que existe uma

zona de transição entre blocos flexíveis e rígidos e nenhuma equação representará bem com

um limite único.” (Erika Sakai, 2010, p.31)

ℎ > (𝑏 − 𝑏𝑝)

3 (1)

ℎ > (𝑎 − 𝑎𝑝)

3 (2)

Conforme a ABNT (NBR 6118:2014 - item 22.7.2.1) o comportamento estrutural dos

blocos rígidos é caracterizado por:

a) trabalho à flexão nas duas direções, mas com trações

essencialmente concentradas nas linhas sobre as estacas (reticulado

definido pelo eixo das estacas, com faixas de largura igual a 1,2 vez

seu diâmetro);

b) forças transmitidas do pilar para as estacas essencialmente por

bielas de compressão, de forma e dimensões complexas;

c) trabalho ao cisalhamento também em duas direções, não

apresentando ruínas por tração diagonal, e sim por compressão das

bielas, analogamente às sapatas.

E, através da ABNT (NBR 6118:2014 – item 22.7.2.2), define-se como bloco flexível:

“Para esse tipo de bloco deve ser realizada uma análise mais completa, desde a distribuição

dos esforços nas estacas, dos tirantes de tração, até a necessidade da verificação da punção”.

Outros autores divergem um pouco dessa classificação, como:

a) Montoya (2002) denomina como bloco rígido aquele que respeita a equação

abaixo, contrário a isso se define como sendo bloco flexível.

ℎ ≥ 1

2 . 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎𝑠 (3)

b) CEB-FIP (1970) indica que os blocos são rígidos: ℎ

2 ≪ 𝑙𝑐 ≪ 1,5ℎ (4)

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c) Segundo Montoya (2000), blocos rígidos devem ser calculados aplicando um

modelo de escoras e tirantes, ao passo que os flexíveis podem ser calculados pela teoria

normal de flexão.

d) De acordo com Moraes (1976) e Alonso (1985) citado por Sakai (2010):

Sugerem a utilização do modelo das escoras para o projeto de blocos rígidos,

entretanto só apresentam soluções (analíticas) para blocos com estacas dispostas em

vértices de polígonos regulares (até seis lados), cujo centro coincida com o centro de

gravidade (CG) do pilar. Em alguns casos, pode-se ter uma estaca central. Para estas

disposições, o funcionamento estrutural dos blocos como um modelo de escoras é

bem caracterizado.

Diante de todas as proposições e divergentes posições sobre blocos rígidos e flexíveis,

seguiremos com o modelo que a ABNT (NBR 6118:2014) propõe. Nesse contexto, através

das imprecisões quanto aos métodos para cálculos dos blocos flexíveis, trataremos de

direcionar os resultados para que nos conduza ao método que utiliza blocos rígidos.

Materiais e métodos Através de bibliografias sugeridas pelo orientador e algumas adquiridas por pesquisas

referentes ao tema escolhido, foram levantados alguns tópicos para serem estudados.

Partindo de teorias que asseguram o estudo desde o solo até as dimensões e

detalhamento dos blocos, considera-se indispensável a avaliação, inicialmente, das obras:

Alonso, U. R., ‘Previsão e controle das fundações’; Carvalho, R. C. ‘Cálculo e detalhamento

de estruturas usuais de concreto armado’; Bastos, P. S. S., ‘Blocos de Fundação - Apostilas

de estruturas de concreto’; Associação Brasileira de Normas Técnicas 6118/2014. Moraes,

M. C., ‘Estruturas de fundação’; Ribeiro, E. R., ‘Elaboração de planilha eletrônica para o

cálculo de blocos de fundações sobre duas estacas’, sendo esta última como espelho para

maior aprofundamento.

Partir-se-á do “método de bielas e tirantes”, usando como base para a elaboração de

planilhas eletrônicas, via Microsoft Excel, destinadas ao dimensionamento de blocos de

fundação sobre estacas.

Bloco sobre uma estaca

O bloco de uma estaca pode ocorrer em obras de grande ou pequeno porte ou cargas baixas

de intensidade. No caso de pilares com dimensões próximas a dimensão da estaca, o bloco

atua como um elemento intermediário de transferência da carga do pilar à estaca (Figura 2).

Geometria dos blocos

Admitindo à estaca circular, o bloco resulta em geometria quadrada em planta, com

A = B. A seção horizontal do bloco deve ser ao menos igual do pilar, por outro lado, o bloco

deve envolver totalmente à estaca. Sua geometria é formada conforme:

𝐴 = 𝐵 ≥ {∅𝑒 + 2𝑥 (10 𝑎 20 𝑐𝑚)𝑎𝑝 + 2𝑥 (5 𝑎 10 𝑐𝑚)

(5)

Tração horizontal e armaduras

As armaduras principais (As) são os estribos horizontais para o esforço de

fendilhamento. O cálculo simplificado da força de tração horizontal (T):

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𝐴 = 𝐵 ≥ {∅𝑒 + 2𝑥 (10 𝑎 20 𝑐𝑚)𝑎𝑝 + 2𝑥 (5 𝑎 10 𝑐𝑚)

(6)

𝑇 =1

4𝑃 𝑥

∅𝑒 − 𝑎𝑝

∅𝑒 ≅

1

4 𝑃 (7)

a) Força no tirante (modelo de bielas)

𝑇𝑑 = 0,25 𝑃𝑘 . 𝛾𝑛 . 𝛾𝑓 .(𝐴 − 𝑎𝑝)

ℎ (8)

b) Força de fendilhamento (para pilares alongados)

𝑇𝑑 = 0,30 𝑃𝑘 . 𝛾𝑛 . 𝛾𝑓 .(∅𝑒 − 𝑎𝑝)

∅𝑒 (9)

Considerando {𝛾𝑛 = 1,2𝛾𝑓 = 1,4

, conforme a NBR 8681 (Ações e segurança)

Definindo o valor de cálculo da força de tração (figura 2):

Figura 2 - Bloco sobre uma estaca: esquema de forças e detalhes das armaduras

Fonte: Modificado – Bastos (2017)

A armadura, na forma de estribos horizontais, para resistir a força de tração Td é:

𝐴𝑠 = 𝑇𝑑

𝑓𝑦𝑑 (10)

𝐴′𝑠 = 0,20 𝐴𝑠 (11)

Há estribos verticais construtivos em cada uma de suas faces (Figura 3). As armaduras

construtivas (A’s) foram definidas na seguinte expressão abaixo:

Figura 3 - Bloco sobre uma estaca: esquema de forças e detalhes das armaduras

Bloco apoiado sobre duas estacas

Sabe-se que a força proveniente aplicada no pilar, segue através dos blocos pelas

chamadas bielas de compressão, transferindo suas cargas às estacas.

Através da Figura 4, podemos observar essa região comprimida e o esquema de forças

aplicadas.

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Figura 4 - Região de biela de compressão e esquema de forças aplicadas

Fonte: Bastos (2017)

Por meio do polígono de forças (Figura 5) encontramos as resultantes de compressão (Rc)

e tração (Rs):

𝑡𝑔 𝛼 =

𝑁2

𝑅𝑠

(12)

𝑡𝑔 𝛼 = 𝑑

𝑒2

−𝑎𝑝4

(13)

Figura 5 - Polígono de forças

Fonte: Bastos (2017)

Igualando as duas equações, temos:

𝑁2

𝑅𝑠=

𝑑𝑒2 −

𝑎𝑝5

(14)

𝑅𝑠 = 𝑁

8 𝑥

(2𝑒 − 𝑎𝑝)

𝑑 (15)

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝑁

2 (16)

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Logo:

𝑅𝑐 = 𝑁

2 𝑠𝑒𝑛 𝛼 (17)

Altura útil

Assumindo α como ângulos entre 45° (mínimo) e 55° (máximo), podemos encontrar os

valores para d:

𝑡𝑔 45° = 𝑑

𝑒2 −

𝑎𝑝4

∴ 𝑑 = 0,5 (𝑒 − 𝑎𝑝

2) (18)

𝑡𝑔 55° = 𝑑

𝑒2 −

𝑎𝑝4

∴ 𝑑 = 0,71(𝑒 − 𝑎𝑝

2) (19)

∴ 0,5 (𝑒 − 𝑎𝑝

2) ≤ 𝑑 ≤ 0,71(𝑒 −

𝑎𝑝

2) (20)

Segundo a NBR 6118, o bloco deve ter altura suficiente para permitir a ancoragem da

armadura de arranque dos pilares.

Recomenda-se: d > 40 cm ou ∅e

Assim, temos como altura do bloco (h):

ℎ = 𝑑 + 𝑑’ (21)

Tendo, 3 cm < d’ < 10 cm, portanto adota-se d’ = 5 cm.

Verificações junto à biela

Sabe-se que a transferência da carga exercida no pilar é transmitida à estaca através da

biela de compressão. Tendo em vista que as seções de pilares variam e que os valores dos

diâmetros das estacas também não são constantes, essa região comprimida acaba variando ao

longo do bloco (Figuras 6 e 7), por isso, deve-se fazer a verificação em dois pontos mais

suscetíveis ao colapso. São eles:

Figura 6 - Verificação junto ao pilar

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Figura 7 - Verificação junto à estaca

No pilar (Figura 8):

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝐴𝑏

𝐴𝑝2

∴ 𝐴𝑏 = 𝐴𝑝

2 𝑠𝑒𝑛𝛼 (22)

Figura 8 - Triângulo com medidas junto ao pilar

Na estaca (Figura 9):

𝑠𝑒𝑛 𝛼 = 𝐴𝑏

𝐴𝑒 ∴ 𝐴𝑏 = 𝐴𝑒 . 𝑠𝑒𝑛𝛼 (23)

Figura 9 - Triângulos com medidas junto à estaca

Sabe-se que a tensão se calcula a partir da fórmula:

𝜎 = 𝐹𝑜𝑟ç𝑎

Á𝑟𝑒𝑎

(24)

Relacionando a tensão de compressão na biela e a área envolvida, temos:

- No pilar:

𝜎 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 𝑁𝑑

2𝑠𝑒𝑛𝛼 𝐴𝑝2 𝑠𝑒𝑛𝛼

∴ 𝜎 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 𝑁𝑑

𝐴𝑝 𝑠𝑒𝑛²𝛼 (25)

- Na estaca:

𝜎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 = 𝑁𝑑

2𝑠𝑒𝑛𝛼 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛𝛼 ∴ 𝜎 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 =

𝑁𝑑

2 𝐴𝑒 𝑠𝑒𝑛²𝛼 (26)

A fim de evitar o esmagamento do concreto, as tensões junto ao pilar e à estaca deverão ser

menores que as tensões resistentes (limites). Segundo a consideração de Blévot, tem-se:

𝜎 𝑙𝑖𝑚, 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 𝜎 𝑙𝑖𝑚, 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 = 1,4 . 𝐾𝑟 . 𝐹𝑐𝑘 (27)

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ISSN: 2674-6190 Revista ReLOGA. Araraquara, v. 1, n. 1, Março/2019.

Onde:

KR= 0,9 a 0,95 – coeficiente de perda de resistência do concreto ao longo do tempo devido

às cargas permanentes (efeito Rüsch) – Adota-se 0,9.

𝜎 𝑙𝑖𝑚, 𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 𝜎 𝑙𝑖𝑚, 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 = 1,4 . 0,9 . 𝐹𝑐𝑑 = 1,26 𝐹𝑐𝑑 = 0,9 . 𝐹𝑐𝑘 (28)

Armadura principal

Sabe-se que Blévot observou nos ensaios que a força medida na armadura principal é 15%

superior à indicada pelo cálculo teórico. Portanto, considera-se Rs acrescida de 15%:

𝑅𝑠 = 1,15𝑁

8.(2𝑒 − 𝑎𝑝)

𝑑 (29)

A armadura principal no arrasamento das estacas é:

𝐴𝑠 = 𝑅𝑠

𝜎𝑠𝑑=

1,15𝑁(2𝑒 − 𝑎𝑝)

8𝑑 𝑓𝑦𝑑 (30)

Considerações: 1) as barras da armadura do tirante devem ser dispostas concentradas

sobre as estacas e não distribuídas de modo aproximado uniforme pela

largura do bloco;

2) devem ser constituídas por pelo menos duas barras.

Armaduras complementares (superior e de pele)

Segundo a NBR 6118 (22.7.4.1.5): Em blocos com duas ou mais estacas em uma única linha, é obrigatória a colocação

de armaduras laterais e superior. Em blocos de fundação de grandes volumes, é

conveniente a análise da necessidade de armaduras complementares

Então a armadura superior pode ser tomada como uma pequena parcela da armadura

principal:

𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑝 = 0,20 𝐴𝑠 (31)

Armadura de pele (lateral) e estribos verticais em cada face lateral:

(𝐴𝑠𝑝

𝑠) min 𝑓𝑎𝑐𝑒 = (

𝐴𝑠𝑤

𝑠) min 𝑓𝑎𝑐𝑒 = 0,075𝐵 (𝑐𝑚2/𝑚) (32)

𝐵 ≥ ∅𝑒 + 2 . 15 𝑐𝑚 (33)

Para edifícios de pequeno porte (com cargas verticais baixas):

𝐵 ≥ ∅𝑒 + 2 . 5 𝑐𝑚 (34)

Espaçamento da armadura de pele:

𝑠 ≤ {𝑑

320 𝑐𝑚

e também, 𝑠 ≥ 8 𝑐𝑚

(recomendação prática) (35)

Espaçamento dos estribos verticais:

- Sobre as estacas:

𝑠 ≤ {0,5𝑎𝑒𝑠𝑡 = 0,5 √𝜋

215 𝑐𝑚

. ∅ , nas outras posições além das estacas:

𝑠 ≥ 20 𝑐𝑚

(36)

Ancoragem da armadura principal e comprimento do bloco

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A NBR 6118 (22.7.4.1.1) especifica para os blocos rígidos que a armadura de flexão:

[...] deve ser disposta essencialmente (mais de 85 %) nas faixas definidas pelas

estacas, considerando o equilíbrio com as respectivas bielas. As barras devem se

estender de face a face do bloco e terminar em gancho nas duas extremidades. Deve

ser garantida a ancoragem das armaduras de cada uma dessas faixas, sobre as

estacas, medida a partir das faces internas das estacas. Pode ser considerado o efeito

favorável da compressão transversal às barras, decorrente da compressão das bielas.

A ancoragem da armadura positiva do bloco deve ter no mínimo o comprimento de

ancoragem básico, iniciada a partir da face interna da estaca próxima à extremidade do bloco,

como indicado na Figura 10. O gancho vertical pode ser considerado de modo a possibilitar a

redução do comprimento de ancoragem, bem como o acréscimo de armadura em relação à

calculada. Portanto, conforme o comprimento de ancoragem necessário:

ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 𝑎 ℓ𝑏 𝐴𝑠, 𝑐𝑎𝑙

𝐴𝑠, 𝑒𝑓 (37)

A distância da face externa da estaca à borda extrema do bloco deve ser suficiente para

garantir a ancoragem da armadura, de modo que o comprimento do bloco sobre duas estacas

pode ser estimado como:

ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 𝑐 + ∅𝑒 − cos 𝑏 − ∅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 (38)

ℓ𝑏,𝑛𝑒𝑐 = 𝑒 + 2. ∅ + 2 𝑐 (39)

Figura 10 - Ancoragem da armadura principal

Portanto, o detalhamento final das armaduras será (Figura 11):

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Elaboração de planilha eletrônica para dimensionamento de blocos de fundação apoiados sobre estacas à

compressão centrada 12

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Figura 11 - Esquema do detalhamento das armaduras do bloco sobre duas estacas

Fonte: Bastos (2017)

Bloco apoiado sobre três estacas

Neste trabalho será apresentado o bloco sobre três estacas no formato triangular, já que

este é o mais utilizado por grande parte dos projetistas, mas vale destacar, que para três

estacas, há mais formas delas serem distribuídas sob o bloco, como por exemplo, a

distribuição linear, que pode ser uma opção quando o bloco está situado em divisas.

Para obter a geometria em planta deste tipo de bloco é admitido que as estacas estejam

situadas nos vértices de um triângulo equilátero, e o pilar é considerado quadrado com o seu

centro coincidindo com o centro do triângulo, e portanto, a partir das propriedades

geométricas do triângulo equilátero, torna-se possível obter algumas dimensões fundamentais

que irão compor a geometria do bloco, como pode ser visto na Figura 12.

Figura 12 - Composição da geometria interna de blocos de fundação sobre três estacas

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O contorno é dado paralelo aos lados do triângulo, de forma em que as estacas estejam

envolvidas com no mínimo b=10 cm1, da face da estaca a face externa do bloco e onde estão

situadas as estacas este contorno pode ser solucionado sendo considerados também triângulos

equiláteros. Na figura 13 pode ser observado a geometria do contorno do bloco sobre três

estacas.

Figura 13 - Detalhe de contorno nas extremidades do bloco

Pelo triângulo equilátero temos que:

𝐻 = 𝐿 ×√3

2 (40)

Isolando L ficamos:

𝐿 = 𝐻 ×2

√3 (41)

Mas, a altura do triângulo (H), neste caso, pode ser escrita como:

𝐻 = (𝑅 + 𝑏) (42)

Portanto, substituindo, ficamos que a distância da face da estaca até a extremidade do

bloco é igual a:

𝐿 =(𝑅 + 𝑏) 2

√3 (43)

A partir disto é possível definir a geometria externa do bloco, conforme ilustra a

Figura 14.

1 Valor de b está em função do comprimento de ancoragem da armadura principal e pode ser adotado 10 ou 15

cm.

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Figura 14 - Composição da geometria externa de blocos de fundação sobre três estacas

Definidas as geometrias internas e externas, ficamos com o esquema geral, conforme a

Figura 15.

Figura 15 - Geometria em planta de blocos sobre três estacas

Altura útil

Olhando pelo corte A, que passa em uma das medianas do triângulo equilátero, é

possível analisar o esquema de forças, conforme a Figura 16.

Figura 16 - Corte AA e esquema de forças nas medianas do triângulo

Fonte: Adaptado de Bastos (2017)

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Do polígono de forças mostrado acima, obtemos as expressões:

𝑡𝑔 𝛼 =

𝑁3

𝑅𝑆=

𝑑

𝑒 √33 − 0,3𝑎𝑝

(44)

𝑅𝑠 = 𝑁

9(

𝑒√3 − 0,9𝑎𝑝

𝑑) (45)

Rc =N

3 sen α (46)

Para a altura útil do bloco será adotado ângulos (α) da biela entre: 45° ≤ α ≤ 55°

Substituindo os valores de α na Eq. 42 encontrada acima, ficamos:

0,58 (𝑒 −𝑎𝑝

2) ≤ 𝑑 ≤ 0,825 (𝑒 −

𝑎𝑝

2) (47)

Portanto:

𝑑𝑚í𝑛 = 0,58 (𝑒 −𝑎𝑝

2) (48)

𝑑𝑚á𝑥 = 0,825 (𝑒 −𝑎𝑝

2) (49)

A altura total (H) do bloco é dada por:

𝐻 = 𝑑 + 𝑑′ (50)

Sendo d′ = 5 cm

Verificação das bielas

Análogo ao indicado para o bloco sobre duas estacas, porém, considerando Ap/3, tem-se:

- Para a área da biela posicionada junto ao pilar:

Ab =Ap

3sen α (51)

- Para a área da biela posicionada ao topo do pilar: vide Eq. 22

Da equação básica de tensão (Eq. 23), as tensões de compressão na biela ficam:

- Junto ao pilar: vide Eq. 24

- Junto à estaca:

σcd,b,est =Nd

3 sen α Ae sen α=

Nd

3 Ae sen2 α (52)

A tensão máxima (experimental) apontada por Blévot é:

𝜎𝑐𝑑,𝑏,𝑙𝑖𝑚,𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 𝜎𝑐𝑑,𝑏,𝑙𝑖𝑚,𝑒𝑠𝑡 = 1,75𝐾𝑅𝑓𝑐𝑑 = 1,75 × 0,9 ×𝑓𝑐𝑘

1,4= 1,125𝑓𝑐𝑘 (53)

Portanto, a condição de segurança das bielas a ser atendida é:

𝜎𝑐𝑑,𝑏,𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 ≤ 𝜎𝑐𝑑,𝑏,𝑙𝑖𝑚,𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 (54)

𝜎𝑐𝑑,𝑏,𝑒𝑠𝑡 ≤ 𝜎𝑐𝑑,𝑏,𝑙𝑖𝑚,𝑒𝑠𝑡 (55)

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Armadura principal

Existem diferentes modos de detalhamento das armaduras para blocos sobre três estacas.

No Brasil, a configuração mais utilizada é a armadura paralela aos lados com malha ortogonal

(Figura 17), pois apresenta menor fissuração e maior economia.

Figura 17 - Arranjo de armadura paralela aos lados e malha ortogonal

A força Rs atua na direção das medianas do triângulo, cujos vértices são os centros das

três estacas e deve ter a sua componente R′s determinada segundo os eixos das estacas,

conforme a Figura 18.

Figura 18 - Decomposição da força de tração Re na direção dos eixos das estacas

Fonte: Bastos (2017)

Considerando o esquema de forças mostrado acima, pela lei dos senos tem-se:

𝑅𝑠

𝑠𝑒𝑛 120°=

𝑅′𝑠

𝑠𝑒𝑛 30° (56)

𝑅′𝑠 = 𝑅𝑠

√3

3 (57)

Para resistir a força R′s que é paralela aos lados do bloco, a armadura é calculada fica:

𝐴𝑠, 𝑙𝑎𝑑𝑜 =𝑅′𝑠𝑑

𝑓𝑦𝑑 (58)

𝐴𝑠, 𝑙𝑎𝑑𝑜 =√3𝑁𝑑

27𝑑𝑓𝑦𝑑(𝑒√3 − 0,9𝑎𝑝) (59)

Malha superior e inferior

A NBR 6118 especifica que “Para controlar a fissuração, deve ser prevista armadura

positiva adicional, independente da armadura principal de flexão, em malha uniformemente

distribuída em duas direções para 20% dos esforços totais. ”

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Para a composição destas malhas, pode ser distribuído estribos verticais nos dois sentidos

do bloco, isso torna o dimensionamento menos econômico, porém, de fácil montagem das

barras.

𝐴𝑠, 𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 =20

100× 𝐴𝑠, 𝑙𝑎𝑑𝑜 ≥ 𝐴𝑠,

𝑠𝑢𝑠𝑝

𝑓𝑎𝑐𝑒 (adota-se o maior valor) (60)

Onde:

As, susp/face = a armadura de suspensão2 por face do bloco, sendo que a armadura

total no bloco é dada pela seguinte expressão:

𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑠𝑝, 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =𝑁𝑑

1,5𝑛𝑒𝑓𝑦𝑑 (61)

Portanto, para o bloco sobre 3 estacas, a armadura de suspensão por face do bloco é:

𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑠𝑝, 𝑓𝑎𝑐𝑒 =𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑠𝑝, 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙

3 (62)

Armaduras de pele

Para evitar possíveis fissuras nas faces laterais do bloco, deve ser previsto armaduras de

pele, na forma de estribos ou simplesmente barras horizontais, sendo:

𝐴𝑠𝑝,𝑓𝑎𝑐𝑒 =1

8𝐴𝑠,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (63)

Onde:

As,total = 3As,lado = armadura principal total

E seu espaçamento deve respeitar os mesmos parâmetros da Eq. 34.

Bloco apoiado sobre quatro estacas

Considera-se que para o bloco de fundação apoiado sobre 4 estacas, tem se pilar

quadrado com centro coincidente com o centro geométrico do bloco e das estacas, como

mostra a Figura 19.

Figura 19 - Corte e planta do bloco sobre quatro estacas

Fonte: Bastos (2017)

2A armadura de suspensão tem por função combater o surgimento de fissuras, formadas por bielas de concreto secundárias, na região entre as estacas, e que se apoiam nas armaduras paralelas aos lados, essas tensões de tração são transmitidas pela armadura de suspensão para a região superior do bloco para que sejam encaminhadas as estacas.

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A partir do triângulo de forças, obtém-se o ângulo de inclinação das bielas:

𝑡𝑔 𝛼 =

𝑁4

𝑅𝑠=

𝑑

𝑒√22 − 𝑎𝑝

√24

(64)

Descobre-se também a força de tração nas diagonais (Rs) e força de compressão na biela

(Rc):

𝑅𝑠 = 𝑁√2

16 (2𝑒 − 𝑎𝑝)

𝑑 (65)

Rc = N

4sen α

(66)

Para pilar retangular, deve-se substituir um dos lados por um lado equivalente (ap,eq),

onde:

ap,eq = √ap. bp (67)

Altura útil

Considerando 45ᵒ ≤ α ≤ 55ᵒ tem-se:

Admitindo α = 45ᵒ → dmin = 0,71 (e − ap

2) (68)

Admitindo α = 55ᵒ → dmax = e − ap

2 (69)

Tem-se h = d + d’. Adota-se para efeitos de cálculo d’ = 5 cm

Verificação das bielas

Por conta da similaridade entre o bloco sobre duas estacas e o bloco sobre quatro

estacas, podemos admitir o mesmo raciocínio, apenas considerando Ap

4 ao invés de

Ap

2 quando

trata-se da área da biela no pilar.

- No pilar: 𝐴𝑏 = 𝐴𝑝

4 𝑠𝑒𝑛 𝛼 (70)

- Na estaca: vide equação 21.

Considerando a equação básica da tensão (σcd =Rcd

Ab), a tensão de compressão na biela

relativa ao pilar e à estaca, é:

- No pilar: vide equação 24.

- Na estaca: 𝜎𝑐𝑑,𝑏,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 = 𝑁𝑑

4.𝐴𝑒.𝑠𝑒𝑛2𝛼 (71)

A tensão limite indicada por Blévot (esmagamento do concreto):

𝜎𝑐𝑑,𝑏,𝑙𝑖𝑚,𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 = 𝜎𝑐𝑑,𝑏,𝑙𝑖𝑚,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 = 2,1. 𝐾𝑅 . 𝐹𝑐𝑑 = {1,89 𝑓𝑐𝑑1,35 𝑓𝑐𝑑

(72)

Onde: 0,9 ≤ KR ≤ 0,95

- Para KR = 0,9 → 1,89 Fcd (sendo esse adotado para os cálculos)

- Para KR = 0,95 → 1,995 Fcd

Condição de segurança:

𝜎𝑐𝑑,𝑏,𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 ≤ 𝜎𝑐𝑑,𝑏,𝑙𝑖𝑚,𝑝𝑖𝑙𝑎𝑟 𝑒 𝜎𝑐𝑑,𝑏,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 = 𝜎𝑐𝑑,𝑏,𝑙𝑖𝑚,𝑒𝑠𝑡𝑎𝑐𝑎 (Eq. 73)

Armadura principal

Há quatro tipos de detalhamento da armadura principal:

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a) Na direção das diagonais;

b) Paralela aos lados;

c) Na direção das diagonais e paralela aos lados;

d) Em malha única.

Diante dos vários tipos, a mais usual na prática é a armadura paralela aos lados (mais

eficiente) em conjunto com uma armadura inferior em malha (utilizada no bloco a fim de

evitar fissuras na parte inferior) – Figura 20.

Figura 20 - Armadura paralela aos lados e em malha

Fonte: Bastos (2017)

Armadura paralela aos lados e em malha

Sabe-se que o detalhamento mais utilizado na prática é com as armações paralelas aos

lados junto com uma malha inferior (Figura 21).

Para as armaduras paralelas aos lados, sabe-se que o ângulo entre elas e as diagonais é

45º, assim decompõe-se a força de tração (Rs):

𝑅′𝑠 = cos 45° . 𝑅𝑠 (74)

Sabendo-se que cos 45° = 1

√2 temos:

𝑅′𝑠 = 𝑁

16 .

(2𝑒 − 𝑎𝑝)

𝑑 (75)

Podemos calcular a armadura a partir de:

𝐴′𝑠, 𝑙𝑎𝑑𝑜 = 𝑅′𝑠

𝐹𝑦𝑑 (76)

Então temos:

𝐴′𝑠, 𝑙𝑎𝑑𝑜 = 𝑁𝑑

16 .

(2𝑒 − 𝑎𝑝)

𝑑 . 𝐹𝑦𝑑 (77)

Segundo Bastos (2017), a armadura em malha, em cada direção, pode ser calculada de

acordo com a seguinte fórmula:

𝐴𝑠, 𝑚𝑎𝑙ℎ𝑎 = 0,25 . 𝐴𝑠, 𝑙𝑎𝑑𝑜 ≥ 𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑠𝑝𝑒𝑛𝑠ã𝑜

4 (78)

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Figura 21 - Armadura paralela aos lados com malha inferior

Fonte: Bastos (2017)

Sendo,

𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑠𝑝𝑒𝑛𝑠ã𝑜 = 𝑁𝑑

6 . 𝐹𝑦𝑑 (79)

Comparando-se os valores, utiliza-se o maior entre ambos.

Armaduras complementares

Assim como nos outros blocos, utiliza-se também armadura de pele (barras horizontais

nas faces), sendo a área por face:

𝐴𝑠𝑝, 𝑓𝑎𝑐𝑒 = 0,125 . 𝐴𝑠, 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (80)

Observação: As, total = armadura principal total = 4 . As, lado O espaçamento utilizado para armadura complementar é definido a partir da Eq. 34.

Segundo Bastos (2017), a armadura superior pode ser calculada, em cada direção,

segundo:

𝐴𝑠, 𝑠𝑢𝑝 = 0,2 . 𝐴𝑠 (81)

Considerações Finais

O trabalho foi desenvolvido pensando na utilização de planilhas de cálculo para blocos de

fundação sobre uma, duas, três ou quatro estacas, tornando-se assim mais uma ferramenta

para fins específicos de cálculo e detalhamento na área da engenharia civil.

No desenvolvimento da planilha, faz-se necessário a verificação quanto à rigidez dos

blocos, o comprimento de ancoragem das armaduras principais e a possibilidade de

rompimento das bielas junto ao pilar e à estaca. Através de alguns dados necessários do

projeto, determina-se as dimensões dos blocos em planta e em corte, como também todo o

detalhamento, volume de concreto e taxa de aço necessários.

Diante de todas as ocorrências buscou-se através de um grande esforço a elaboração de

planilhas que possam auxiliar em cálculos e detalhamentos de blocos de fundação. Pela

grande quantidade de possibilidades dentro dessa área, observa-se certa limitação com relação

à quantidade de estacas em que os blocos se apoiam. A partir disso, torna-se possível um

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estudo mais profundo em blocos sobre uma quantidade maior de estacas, assim como poderá

ser feita uma análise da influência dos momentos causados nas estacas, bem como a

possibilidade do estudo de cargas excêntricas, já que o trabalho direciona-se à análise de

blocos com cargas centradas.

Ao passo que o desenvolvimento dessa ferramenta foi pautado em estudos sobre o método

das bielas e tirantes obtendo-se parâmetros necessários para cálculo e dimensionamento de

blocos, buscou-se disseminar o conhecimento adquirido e possibilitar a utilização de planilhas

eletrônicas que agilizem o processo de cálculos manuais.

Por fim, fica explícito o agradecimento a todos que puderam nos auxiliar de alguma forma

para elaboração de tal instrumento e estamos à disposição para quaisquer dúvidas ou

sugestões.

Referências Bibliográficas

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ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS - ABNT. 6118 - Projeto de

estruturas de concreto – Procedimento. Rio de Janeiro, 2014.

BASTOS, P. S. S. Blocos de fundação. Bauru: UNESP-SP, 2017.

BLÉVOT, J.; FRÉMY, R. Semelles sur pieux. Annales d’Institut Technique du Bâtiment

et des Travaux Publics, Paris, v.20, n.230, 1967.

MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A.G; CABRÉ, F. M.: Hormigón armado – 14ª Edicion

basada em La EHE, Barcelona: Editorial Gustavo Gili AS, 2000.

MORAES, M. C. Estruturas de fundação. McGraw Hill, Brasil, 1976.

OLIVEIRA, L. M. Diretrizes para projeto de blocos de concreto armado sobre estacas.

São Paulo: USP-SP, 2010.

SAKAI, E. Análise de blocos de concreto armado sobre estacas. Goiânia: UFG-GO, 2010.