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ELE-31 Princ´ ıpios de Telecomunica¸ oes Prof. Manish Sharma August 26, 2015 2 Sinais e Espectro O objetivo deste cap´ ıtulo ´ e relembrar algumas ferramentas necess´ arias para a an´ alise de sinais no dom´ ınio do tempo e de frequˆ encia. Alguns conceitos novos tamb´ em s˜ ao apresentados. 2.1 Espectro de Linha e S´ erie de Fourier Uma onda senoidal pode ser descrita pela seguinte equa¸c˜ ao: v(t)= A · cos(2πf o t + φ) (1) onde A ´ e a amplitude, φ ´ e a fase da onda, f 0 ´ e a frequˆ encia em Hertz (Hz). A rela¸ ao entre a frequˆ encia e velocidade angular (em radianos por segundo) ´ e f o , ω 0 2π . A equa¸ ao implica em periodicidade infinita mas pode ser utilizada para analisar sinais reais finitos (no tempo). Representa¸c˜ ao equivalente: fasor. Representa¸c˜ ao fasorial ´ e derivada da representa¸ ao da equa¸c˜ ao anterior como uma soma de exponenciais complexas: exp(±)= cos(θ) ± jsin(θ) (2) onde j , -1. Desta forma temos que a parte real de uma exponencial complexa ´ e: <{Aexp [j (2πf o t + φ)]} = A · cos(2πf o t + φ) (3) Estarepresenta¸c˜ ao se chama fasorial pois o interior das chaves pode ser visto como um vetor no plano complexo com amplitude A centrado na origem que gira com o tempo com a velocidade indicada. A parte real ´ e a proje¸ ao deste vetor no eixo real, como mostra a figura abaixo: Um fasor ´ e ent˜ ao definido por 3 elementos: Amplitude A Fase φ Frequˆ encia f o O mesmo fasor pode ser descrito graficamente no dom´ ınio de frequˆ encia (vari´ avel independente f ) se estes parˆ ametros forem apresentados, o que exige dois gr´ aficos: um de amplitude e um de fase. 1

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ELE-31 Princıpios de Telecomunicacoes

Prof. Manish Sharma

August 26, 2015

2 Sinais e Espectro

O objetivo deste capıtulo e relembrar algumas ferramentas necessarias para a analise de sinais no domınio dotempo e de frequencia. Alguns conceitos novos tambem sao apresentados.

2.1 Espectro de Linha e Serie de Fourier

• Uma onda senoidal pode ser descrita pela seguinte equacao:

v(t) = A · cos(2πfot+ φ) (1)

onde A e a amplitude, φ e a fase da onda, f0 e a frequencia em Hertz (Hz). A relacao entre a frequencia

e velocidade angular (em radianos por segundo) e fo ,ω0

2π.

• A equacao implica em periodicidade infinita mas pode ser utilizada para analisar sinais reais finitos (notempo).

• Representacao equivalente: fasor.

• Representacao fasorial e derivada da representacao da equacao anterior como uma soma de exponenciaiscomplexas:

exp(±jθ) = cos(θ)± jsin(θ) (2)

onde j ,√−1.

• Desta forma temos que a parte real de uma exponencial complexa e:

<Aexp [j (2πfot+ φ)] = A · cos(2πfot+ φ) (3)

• Esta representacao se chama fasorial pois o interior das chaves pode ser visto como um vetor no planocomplexo com amplitude A centrado na origem que gira com o tempo com a velocidade indicada. A partereal e a projecao deste vetor no eixo real, como mostra a figura abaixo:

• Um fasor e entao definido por 3 elementos:

– Amplitude A

– Fase φ

– Frequencia fo

• O mesmo fasor pode ser descrito graficamente no domınio de frequencia (variavel independente f) se estesparametros forem apresentados, o que exige dois graficos: um de amplitude e um de fase.

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𝐴

𝑓0

𝜙 ℜ

Figure 1: Fasor

𝑓

𝑓0

𝑓

𝑓0

𝐴

𝜙

Am

pli

tude

Fas

e

Figure 2: Diagrama fasorial de amplitude e de fase

• Resumidamente podemos chamar este diagrama (ou outros com informacoes similares) como espectro poisnos permite ver o que o sinal representa no domınio de frequencias.

• Convencoes:

– Variavel independente e a frequencia f e nao a velocidade angular ω.

– Fases sao relativas ao cosseno, isto e, a fase de um cosseno e zero. A relacao entre seno e cosseno e:

2

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sin(2πft) = cos(2πft− 90o).

– Amplitude e sempre positiva. Amplitudes negativas sao compensadas pela fase para torna-las posi-tivas. Isto e, −cos(2πf0t) = cos(2πf0t+ 180o)

– Fases de ±1800 sao iguais.

– Fases sao apresentadas em graus, com o sımbolo o, ou em radianos, dependendo do contexto..

• Exemplo: w(t) = 7−10cos(40πt−60o)+4sin(120πt) = 7cos(0πt)+10cos(2pi20t+120o)+4cos(2π60t−90o).Este sinal tem o diagrama fasorial da figura 3.

𝑓 𝑓

Am

pli

tude

Fas

e

0 20 40 60 0 20 40

60

7

10

4

120o

-90o

Figure 3: Diagrama fasorial de w(t)

• Estes diagramas sao unilaterais e representam frequencias positivas

• Uma representacao bilateral pode ser util para representar sinais utilizados na pratica. Ela pode ser obtidaatraves da identidade:

<z =z + z∗

2(4)

ou seja:

<Aexp [jφ] exp [j (2πfot)] =A

2[exp(−jφ)exp(−2πfojt) + exp(jφ)exp(2πfojt)] (5)

• Os termos individuais da equacao anterior nao sao necessariamente reais, mas a soma necessariamente e.

• Podemos desenhar o diagrama fasorial bilateral a partir da equacao anterior, resultando, para o exemploanterior, na figura 4

• Para sinais reais, o grafico bilateral de amplitude tem simetria par e o grafico bilateral de fase tem simetriaımpar

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Am

pli

tude

𝑓

0 20 40 60

7

5

2

𝑓

0

-20

-40 -60

-120o

90o

𝑓

Fas

e 20 40

60

120o

-90o

𝑓

-20 -40 -60

5

2

Figure 4: Diagrama fasorial bilateral de w(t)

• Comparando os dois diagramas, o bilateral possui metade do valor das amplitudes, exceto na origem(f = 0). F1

• A vantagem de utilizar o espectro bilateral e porque ele permite a representacao de sinais complexos, queserao uteis futuramente.

• Uma unica linha representa entao:

– Uma senoide no espectro unilateral

– Uma exponencial complexa no espetro bilateral

• Tanto as frequencias positivas como as frequencias ”negativas”(abstracao matematica) devem ser consid-eradas ao desenhar o espectro bilateral.

• O espectro de amplitude e normalmente mais utilizado pois contem informacao sobre quais frequenciasestao presentes e quanto elas sao ”fortes”, o que so veremos formalmente depois.

2.1.1 Sinais periodicos e potencia media

• Um sinal v(t) e periodico se v(t± nT0) = v(t), para −∞ < t <∞ e qualquer m inteiro.

• Na equacao anterior, o menor valor de T0 que satisfaz a igualdade e o perıodo fundamental do sinal.

• Podemos aproximar, com consequencias, sinais reais como sinais periodicos.

• A representacao que utilizaremos posteriormente necessita que a potencia media deste sinal seja finita, oque definiremos a seguir.

• O valor medio no tempo de uma funcao v(t) qualquer e < v(t) > , calculada via:

1Cabe ao aluno verificar as afirmacoes sempre que o sımbolo F aparecer.

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< v(t) >= limT→∞

1

T

∫ T2

−T2v(t)dt (6)

• Quando v(t) e periodica com perıodo T0 esta equacao fica:

< v(t) >=1

T0

∫ t1+T0

t1

v(t)dt =1

T0

∫T0

v(t)dt (7)

• Para determinar a potencia de um sinal, e preciso saber qual grandeza ele representa. Por convencao,assumimos que o sinal v(t) e ou uma corrente ou uma tensao aplicada sobre uma resistencia de 1Ω, deforma que a potencia media deste sinal e, pela Lei de Ohm:

Pv =< |v(t)|2 >=1

T0

∫T0

|v(t)|2dt (8)

onde utilizamos o modulo pois v(t) pode ser complexo2

• Quando 0 < Pv <∞, o sinal v(t) e chamado de sinal de potencia periodico.

• Para sinais senoidais com amplitude A, a potencia e P = A2

2

2.1.2 Serie de Fourier (S.F.)

• Permite representar sinais periodicos como soma de exponenciais complexas

• Seja v(t) um sinal de potencia periodico com perıodo fundamental T0 = 1/f0. O valor de f0 e a frequenciafundamental. Este sinal pode ser escrito como :

v(t) =

∞∑n=−∞

cn · exp(j2πnf0t) (9)

para n = 0, 1, 2, ...,, com coeficientes dados por:

cn =1

T0

∫T0

v(t) · exp(−j2πfot)dt = |cn|exp(j · arg(cn)) (10)

onde arg(cn) retorna a fase do numero complexo cn

• A equacao se encontra na forma exponencial. Poderia ser dividia na forma senoidal separando o somatorioem somas de cossenos e senos, estes ultimos multiplicados pela constante j.

• Comparando com a definicao de valor medio, o valor de cn pode ser interpretado como o valor mediodo que esta sendo integrado. Este, por sua vez, pode ser visto como o produto interno de v(t) com aexponencial complexa.

• O somatorio tambem pode ser interpretado como uma soma de fasores com frequencia multipla inteira dafrequencia fundamental do sinal v(t), isto e, 0,±f0,±2f0, ....

• Logo, V (f), o espectro de linha bilateral de v(t) e definido pelos valores de cn, de tal forma que V (nf0) = cn

• Propriedades do espectro de sinais periodicos:

– Todas as frequencias presentes sao harmonicos (multiplos inteiros) da frequencia fundamental f0 =1/T0, i.e., linhas sao uniformemente espacadas.

2Neste caso a potencia que estamos calculando e equivalente a potencia aparente

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– Valor em f = 0 (normalmente chamado de D.C.) e o valor medio do sinal:

c0 =1

T0

∫T0

v(t)dt =< v(t) > (11)

– Para sinais reais:

c−n = c∗n = |cn|exp(−jarg(cn)) (12)

isto e, amplitudes tem simetria par e fases tem simetria ımpar

• A ultima propriedade permite reagrupar elementos da serie, dois a dois, exceto c0, ou que nos permiteescrever:

v(t) = c0 +∑∞n=1 |2cn|cos(2πnf0t+ arg(cn))

ouv(t) = c0 + 2 ·

∑∞n=1[ancos(2πnf0t) + bnsin(2πnf0t)]

an = <cn, bn = =cn

(13)

• As funcoes seno e cosseno da equacao anterior formam uma base de funcoes ortogonais em T0

• Duas funcoes vn(t) e vm(t) sao ortogonais em um intervalo t1 a t2 se:∫ t2

t1

vn(t)vm(t)dt =

0, se n 6= m

K, constante, se n = m(14)

• Assim, a Serie de Fourier pode ser vista como a descricao de um sinal atraves da combinacao linear dasbases do espaco de sinais. O calculo de cn nada mais e do que o calculo da projecao do sinal na basecorrespondente, assim como e feito em Algebra Linear.

• Formas ortogonais sao utilizadas em um tipo de modulacao (QAM)

• Muitas vezes para calcular cn temos que resolver uma integral do seguinte tipo:

1

T

∫ T/2

−T/2exp(j2πft)dt =

1

j2πfTexp(j2πft)|T/2−T/2 =

1

πfTsin(πfT ) (15)

que e o valor medio de um fasor com frequencia f qualquer avaliado durante um intervalo que nao enecessariamente o seu perıodo

• Como esta funcao aparece muito, damos o nome de sinc(λ) = sin(πλ)/πλ, onde λ e adimensional.F

• O seu formato aproximado e dado pela figura 5:

• Propriedades de sinc(λ)

– A amplitude (envoltoria) decai com 1/λ.

– A simetria e par.

– O seu valor e 1 quando λ = 0, e vale 0 quando λ = ±1,±2, ...

• Exemplo: trem de pulsos retangulares (figura 2.1.2)

– v(t) nao e definido nas descontinuidades, aproximacao de caso real.

– O intervalo de integracao e um perıodo T0, de −T0/2 ate T0/2

– Neste intervalo v(t) = A para |t|, τ/2 e 0 caso contrario

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-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

sin

c(

)

Figure 5: Formato de sinc(λ) =sin(λx)

λx

– Logo:

cn =1

T0

∫ T0/2

−T0/2

v(t) · exp(−j2πfot)dt

=1

T0

∫ τ/2

−τ/2A · exp(−j2πfot)dt

=A

−T0(j2πf0n)exp(−j2πf0nt)|τ/2−τ/2

=A

T0

sin(πf0nτ)

πf0nτ=Aτ

T0sinc(f0nτ)

(16)

– Para visualizar o espectro de amplitude e fase consideramos os valores numericos de τ/T0 = f0τ =1/4:

– Ha zeros em ±4f0,±8f0, pois nestes pontos a funcao sinc vale 0;

– O valor em f = 0 e o valor D.C, pode ser obtido por inpeca?ao, e igual a τ/T0

– Os valores de cn sao reais e as vezes negativos. Quando positivos, a fase e 0, quando negativo a fasee ±180o. Neste caso, escolhemos o sinal de forma a manter a simetria necessaria.

– Recomposicao de v(t) via somatorio:

v(t) =A

4+

√2A

πcos(2πf0t) +

A

πcos(4πf0t) +

√2A

3πcos(6πf0t) + · · · (17)

– Aproximacao pode ser feita considerando um numero finito de termos deste somatorio, como mostraa figura abaixo.

– Entao, o somatorio acima converge para v(t) neste caso quando o numero de termos utilizados tendepara infinito

7

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t =0

... ...

T0

τ τ

-T0

τ

-15 -10 -5 0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

n

c n

2.1.3 Condicoes para convergencia e fenomeno de Gibbs

• Nem sempre uma serie converge.

• Condicoes de Dirichlet para convergencia(suficientes mas nao estritamente necessarios):

– Numero finito de maximos e mınimos por perıodo

– v(t) e absolutamente integravel por perıodo

• Condicao alternativa: |v(t)|2 tem media finita por perıodo, o que e equivalente a dizer que e um sinal depotencia.

• Assim, sendo vN (T ) =∑Nn=−N cn · exp(j2πnf0t), temos;

limN→∞

∫T0

|v(t)− vN (t)|dt = 0 (18)

• Fenomeno de Gibbs

– Nos pontos de descontinuidade a soma parcial vN (t) converge para o ponto medio de descontinuidade.

– Alem disso, em cada uma das extremidades ha oscilacoes com perıodo de T0/2N e pico de aproxi-madamente 9% do degrau.

– Em sinais reais este fenomeno nao existe pois eles sao contınuos. Por outro lado, sinais sintetizadospela soma de um numero finito de termos de uma Serie de Fourier de um sinal com descontinuidadespodem apresentar este comportamento.

– Fenomeno implica em cuidados ao usar filtros reais aproximados como ideais.

2.1.4 Teorema de Parseval

• Relacao entre potencia de um sinal periodico v(t) e seus coeficientes cn e:

Pv =1

T0

∫T0

|v(t)|2dt =1

T0

∫T0

v(t)v∗(t)dt (19)

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• Como v∗(t) =

∞∑n=−∞

c∗nexp(−j2πnfot), temos que, substituindo na equacao anterior:

Pv =1

T0

∫T0

v(t)

∞∑n=−∞

c∗nexp(−j2πnfot)dt

=

∞∑n=−∞

1

T0

[∫T0

v(t)exp(−j2πnfot)]c∗ndt

=

∞∑n=−∞

cnc∗n

=

∞∑n=−∞

|cn|2

(20)

• Logo, a potencia media de um sinal periodico e igual a soma dos coeficientes de sua serie de Fourier.

• Este calculo nao envolve o espectro de fases

• A potencia total de um sinal periodico e igual a soma das potencias de cada um dos componentes da serie.

• Este resultado tambem pode ser derivado levando em consideracao que as funcoes cos(2πnf0t) e cos(2πmf0t)sao ortogonais no intervalo T0, para n 6= m inteiros.

2.2 Transformada de Fourier e Espectro contınuo

• Sinais nao periodicos com energia finita podem ser analisados com a Transforada de Fourier (TF).

• Em condicoes semelhantes as anteriores, um sinal v(t) nao periodico e um sinal de energia se:

Ev ,∫ ∞−∞|v(t)|2dt (21)

e finita.

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• A TF pode ser vista como um limite da serie de Fourier quanto T0 →∞ ou f0 → 0. O somatorio da Seriede Fourier se transforma em uma integral:

v(t) =

∫ ∞−∞

[∫ ∞−∞

v(t)exp(−j2πft)dt]exp(j2πft)df (22)

• A transformada de Fourier de um sinal v(t) e uma funcao V (f) obtida atraves de:

V (f) , Fv(t) ,∫ ∞−∞

v(t) · exp(−j2πft)dt (23)

• A transformada de Fourier inversa (IFT) e definida como:

v(t) , F−1V (F ) ,∫ ∞−∞

V (f) · exp(j2πft)df (24)

• Assim como a serie de Fourier, F−1V (F ) converge para v(t).

• Circularmente, v(t) = F−1Fv(t), mas ainda provaremos isto.

• Comparando com a serie de Fourier, V (F ) e o espectro contınuo de v(t)

• Propriedades:

– V (f) e uma funcao potencialmente complexa, no sentido de ter termos reais e imaginarios.

– V (f = 0) e a area de v(t), isto e, V (0) =∫∞−∞ v(t)dt

– Se v(t) e real, V (−f) = V ∗(f). Consequentemente:

∗ |V (−f)| = |V (f)| → a amplitude possui simetria par

∗ arg[V (−f)] = −arg[V (f)]→ a fase possui simetria ımpar

∗ Funcoes que obedecem ambas estas simetrias sao funcoes com simetria Hermitiana

• Exemplo: pulso retangular

– Definimos um pulso retangular generico como:

Π

(t

τ

),

1, |t| < τ

2

0, cc.(25)

– A funcao que desejamos transformar e v(t) = AΠ(tτ

)– Logo:

V (f) =∫∞−∞ v(t) · exp(−j2πft)dt

=∫ τ/2−τ/2A · exp(−j2πft)

= Aτsinc(fτ)

(26)

– Da figura concluımos que:

∗ Grande parte da energia esta entre −1/τ e 1/τ

∗ Quanto mais curto o pulso, maior o espalhamento espectral, pois τ diminui e 1/τ aumenta.

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]

2.2.1 Sinais simetricos

• Sinais com algum tipo de simetria possuem TF simplificadas.

• Instante t = 0 pode dentro de alguns limites ser escolhido livremente mas instante f = 0 nao pode poisha significado fısico no seu valor

• Usando a identidade de Euler, podemos escrever uma TF como:

V (f) = Ve(f) + jVo(f) (27)

onde :

Ve(f) ,∫ ∞−∞

v(t)cos(2πft)dt

Vo(f) , −∫ ∞−∞

v(t)sin(2πft)dt(28)

• A priori nao ha nenhum tipo de simetria nestas funcoes.

• Se v(t) e real, <V (f) = Ve(f) e =V (f) = Vo(f). (F Mostre que isto nao e verdade quando v(t) naoe real, mas que uma afirmacao semelhante pode ser feita para quando v(t) e um sinal imaginario)

• Para uma funcao generica w(t) que pode representar tanto v(t)cos(2πft) ou v(t)sin(2πft)dt, temos :

∫ ∞−∞

w(t)dt =

∫ 0

−∞w(t)dt+

∫ ∞0

w(t)dt =

2

∫ ∞0

w(t)dt, se w(t) e par

0, se w(t) e impar(29)

• Quando v(t) tem simetria par, v(t) = v(−t):

– v(t)cos(2πft) tem simetria par

– v(t)sin(2πft) tem simetria impar

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– Logo

V (f) = Ve(f) = 2

∫ ∞0

v(t)cos(2πft)dt

Vo(f) = 0(30)

• Quando v(t) tem simetria ımpar, v(t) = −v(−t):

– v(t)cos(2πft) tem simetria impar

– v(t)sin(2πft) tem simetria par

– Logo

V (f) = jVo(f) = 2

∫ ∞0

v(t)sin(2πft)dt

Ve(f) = 0(31)

• Conclusao: espectro de um sinal real com simetria par e real. O espectro de um sinal real com simetriaımpar e imaginario.

2.2.2 Sinais causais

• Sinais causais sao aqueles que dependem somente do passado e do presente, nunca do futuro.

• Assim, um evento no presente so pode alterar o futuro

• Sinais do mundo real, pelo nosso conhecimento, sao causais

• Um modelo que pode ser utilizado para este tipo de sinal e dizer que v(t) = 0 para t < 0, i.e., o sinalcomeca em ou depois de t = 0.

• Uma consequencia deste modelo e que nao ha nenhum tipo de simetria no sinal. Logo, o espectro teratermos reais e complexos

• A TF adquire o formato de:

V (f) =

∫ ∞0

v(t)exp(−j2πft)dt (32)

que e equivalente a transformada de Laplace (TL) limitada ao cırculo complexo unitario, definida como:

Lv(t) ,∫ ∞0

v(t)exp(−st)dt∣∣∣∣s=j2πf

(33)

• Logo, se v(t) e um sinal causal de energia nao periodico, pode-se obter a TF a partir a TL

• Exemplo:

v(t) =

Aexp(−bt), t > 0

0, cc.

Lv(t)∣∣∣∣s=j2πf

=A

b+ j2πf= A

b− j2πfb2 + (2πf)2

Ve(f) = <V (f) =Ab

b2 + (2πf)2

Vo(f) = =V (f) = − A2πf

b2 + (2πf)2

(34)

12

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• Poderıamos extrair o modulo e a fase da TF atraves de:

Modulo =√V 2e (f) + V 2

o (f)

Fase = tan−1(Vo(f)

Ve(f)

)(35)

2.2.3 Teorema de Energia de Rayleigh

• Semelhante ao teorema de Parseval para potencias:

E =

∫ ∞−∞

V (f)V ∗(f)df =

∫ ∞−∞|V (f)|2df (36)

• O valor |V (f)|2 indica a distribuicao de energia no espaco de frequencias

• Para sinais a serem projetados, isto implica que a maior parte da energia deve estar dentro da bandadesejada/permitida

2.2.4 Teorema de dualidade

• Se Fv(t) = V (f) e existe z(t) tal que z(t) = V (f = t) entao

Fz(t) = v(−f) (37)

isto e, a TF de uma funcao z(t) pode ser calculada atraves da IFT, com uma troca de variaveis e de sinal,desde que z(t) tenha o formato de uma funcao cuja IFT conhecemos.

• Esta propriedade e util por exemplo quando v(t) e real e possui simetria par, pois V (f) tambem sera.Neste caso podemos ignorar a troca de sinais. F.

• Exemplo z(t) = Asinc(2Wt), onde W representa a banda do sinal (onde esta a maior parte da energia)

– Sabemos que para v(t) = BΠ( tτ )⇔ V (f) = Bτsinc(fτ)

– Reescrevendo z(t)temos:

z(t) =A

2W2Wsinc(2Wt) (38)

e as variaveis se relacionam como:A2W = B2W = τt = f

(39)

– Logo

Z(f) =A

2WΠ

(f

2W

)(40)

– O sinal sinc no tempo e limitado em banda e infinito no tempo, enquanto que o sinal Π(t) e finitono tempo e infinito em banda.

2.2.5 Consideracoes praticas sobre a TF

• 1a opcao: tabelas de transformadas ou combinacoes de transformadas

• 2a opcao: Propriedade da dualidade

• 3a opcao: Transformada de Laplace, quando houver

• 4a opcao: aproximacoes.Caso z(t) ≈ z(t), |z(t) − z(t)| e pequeno, Z(f) = Fz(t) e ˜Z(f) = F ˜z(t),entao: ∫ ∞

−∞|Z(f)− ˜Z(f)|2df =

∫ ∞−∞|z(t)− ˜z(t)|2dt (41)

devido ao teorema de Rayleigh. Isto e, o erro acumulado no tempo se mantera em frequencia.

13

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2.3 Propriedades da Transformada de Fourier

Ajudam a analisar/calcular alguns tipos de sinais.

2.3.1 Superposicao

Se v(t) = a1 · v1(t) + a2v2(t) entao Fv(t) = a1 · V1(f) + a2V2(f), ou, genericamente:

F

∑k

vk(t)

=∑k

Vk(f) (42)

onde Fvk(t) = Vk(f).

2.3.2 Deslocamento no tempo

Dada uma funcao v(t) ela pode ser atrasada em td ao escrevermos v′(t) = v(t− td). Neste caso:

Fv′(t) =

∫ ∞−∞

v(t− td)exp(−j2πft)dt (43)

Com uma transformacao de variaveis t′ = t− td e t = t′ + d chegamos e:

Fv′(t) =

∫ ∞−∞

v(t′)exp[−j2πf(t′ + td)]dt

= exp(−j2πftd)∫ ∞−∞

v(t′)exp[−j2πf(t)]dt

= exp(−j2πftd)V (f)

(44)

2.3.3 Mudanca de escala

Quando desejamos mudar a escala de tempo, multiplicamos a variavel tempo por uma constante, isto e , t′ = αt.O sinal resultante e v(αt). Com |α| < 1 o sinal e comprimido no tempo e com |α| > 1 o tempo e estendido.

Com α < 0 ha reversao temporal. Utilizando t′ = αt, temos que dt′

dt = α. Asim, a TF fica:

Fv(αt) =

∫ ∞−∞

v(t′)exp

(−j2πf t

α

)dt

|α|=

1

|α|V (f ′)

=1

|α|V

(f

α

) (45)

onde f ′ = fα .

A razao para utilizarmos o modulo de α e que, quando α < 0, os limites de integracao acabam sendotrocados. Para permanecer com os mesmos limites, multiplicamos a integral por menos um. Esta multiplicacaoresulta em |α|.

• Exemplo: Sendo v(t) = A · Π(tτ

), temos um sinal za(t) = v(t − td) − v(t − (td + T )) que e composto de

dois pulsos retangulares, como mostra a figura 6. Assim:

V (f) = Aτ(sinc(fτ)Za(f) = V (f)exp(−j2πftd)− V (f)exp(−j2π(td + T ))

= V (f)[exp(−j2πftd)− exp(−j2π(td + T ))](46)

14

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... ...

τ

τ

td

td+T

td+T/2

Figure 6: Dois pulsos retangulares

• Podemos escrever a seguinte identidade:

exp(j2θ1)± exp(j2θ2) = [exp(j(θ1 − θ2))± exp(−j(θ1 − θ2))]exp(j(θ1 + θ2)

=

2cos(θ1 − θ2)exp(j(θ1 + θ2)

j2sin(θ1 − θ2)exp(j(θ1 + θ2)

(47)

• No caso deste exemplo, θ1 = −πftd e θ2 = −πf(td + T ). Definindo t0 = td + T/2(o ponto central entreos dois pulsos) temos que θ1 − θ2 = πfT ) e θ1 + θ2 = 2πft0, resultando em:

Za(f) = [Aτsinc(fτ ][j2sin(jπfT )][exp(j2πft0)] (48)

• Definindo arbitrariamente que t0− = 0 eliminamos a ultima exponencial. O formato de zb(t) = za(t)

∣∣∣∣t0=0

fica com simetria ımpar e o valor de sua TF e:

Zb(f) = Aτsinc(fτ)(j2sin(πfτ))×(πfτπfτ

)= Aτ(j2πfτ · sinc2(fτ)),

(49)

isto e, o espectro e puramente imaginario pois a funcao zb(t) tem simetria ımpar

2.3.4 Translacao em frequencia e Modulacao

• Seja v(t) com uma TF V (f). A multiplicacao no tempo de v(t) por uma exponencial complexa causa atranslacao em frequencia, isto e:

Fv(t) · exp(j2πf0t) = V (f − f0) (50)

isto e, o espectro fica centrado em f0

• Assim, se v(t) tem conteudo de energia entre ±W (sendo real), o seu espectro pode ser representadogenericamente pela figura ??caocap2modulacao(a).

15

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f=0

f=0

f=0

f=fc

f=fc f=-fc

(a)

(b)

(c)

f=W

f=fc+W f=fc-W

Figure 7: Transformadas de Fourier de: (a) v(t); (b) v(t) · exp(j2πf0t); (c) v(t) · cos(j2πf0t). Ha uma reducaode amplitude no terceiro espectro por um fator de 2.

• Podemos fazer este sinal ocupar a faixa de fc ±W multiplicando v(t) pela exponencial complexa apropriada.

• O espectro resultante ocupa uma banda de 2W exclusivamente de bandas positivas (sendo fc > W ) e conse-quentemente nao possui simetria em torno de f = 0.

• Logo, o sinal resultante no tempo e complexo, o que pode ser um problema para o tratamento de sinais reais.

• Solucao: multiplicar v(t) por um seno ou cosseno, resultando no teorema de modulacao:

v(t)cos(2πfct+ φ)↔ V (f − fc)exp(jφ)

2+exp(−jφ)

2V (f + fc) (51)

isto e, multiplicar um sinal por ondas senoidais equivale a transladar o espectro para ±fc, dividindo a cadauma das copias por dois.

• Sendo o sinal original real, o espectro do produto final sera Hermitiano.

• Exemplo: pulso de radio frequencia, utilizado frequentemente em radares.

– Senoide finita com fc na faixa de radio frequencia:

z(t) = AΠ

(t

τ

)· cos(2πfct) (52)

– Este sinal pode ser visto como o produto de um pulso retangular com largura τ e um cosseno comfrequencia fc, como mostra a figura 8

– A TF do pulso retangular e Aτsinc(fτ). Logo, a TF de z(t) sera, utilizando o teorema da modulacao:

Z(f) =Aτ

2[sinc((f − fc)τ) + sinc((f + fc)τ)] (53)

– O espectro resultante tem o seguinte formato da figura 9

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-3 -2 -1 0 1 2 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

z(t)

Figure 8: Pulso de radio frequencia para fc = 2.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

f

|Z(f

)|

Figure 9: Espectro de Z(f)(modulo), para fc = 2.

17

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– Embora a senoide tenha frequencia igual a fc, ela e finita no tempo. Por este motivo ha energia forade fc

– Caso a senoide fosse infinita, poderıamos utilizar um espectro de linha representado uma serie deFourier ou um o limite da transformada, que veremos depois.

2.3.5 Diferenciacao

• Utilizando a IFT, podemos escrever:

d

dtv(t) =

d

dt

[∫ ∞−∞

V (f) · exp(j2πft)df]

(54)

• Como a exponencial dentro da integral e a unica coisa que depende do tempo, reescrevemos:

d

dtv(t) =

∫ ∞−∞

V (f) · ddt

(exp(j2πft)) df

=

∫ ∞−∞

V (f)j2π · f · exp(j2πft)df(55)

• Como a equacao acima ainda e uma transformada de Fourier inversa, aquilo que nao faz parte da expo-nencial faz parte da Transformada de Fourier de d

dtv(t). Logo:

Fd

dtv(t)

= V (f)j2πf (56)

ou genericamente, chegamos no teorema de diferenciacao:

Fdn

dtnv(t)

= V (f)(j2πf)n (57)

2.3.6 Integracao

• Seja z(t) =∫ t−∞ v(λ)dλ, onde λ e uma variavel dummy.

• Se V (0) =∫∞−∞ v(λ)dλ = 0, garantimos que z(t) convergira para 0 quando t→∞.

• Utilizando o caminho contrario ao da derivada, chegamos no teorema da integracao:

F∫ t

−∞v(λ)dλ

=

1

j2πfV (f) (58)

• Os principais resultados destas ultimas duas secoes sao:

– Ao derivar um sinal, as suas frequencias mais altas serao amplificadas e as mais baixas reduzidas,devido ao fator f multiplicando a TF resultante.

– Ao integrar um sinal, as suas frequencias mais baixas serao amplificadas e as mais altas reduzidas,devido ao fator f multiplicando a TF resultante.

• Exemplo: Pulso triangular.

– O sinal zb(t) = AΠ(t+ τ

2

τ

)−AΠ

(t− τ2τ

)tem media zero. Logo, podemos obter um novo sinal baseado

na integral de zb(t) e este sinal tera uma transformada de Fourier. Assim:

w(t) =1

τ

∫ t

−∞zb(λ)dλ =

A(

1− |t|τ), |t| < τ

0, |t| > τ(59)

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-3 -2 -1 0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t

(t

)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f

F) $! t =

"*

Figure 10: Sinal Λ(t) e seu espectro.

– Aplicando o teorema de integracao temos que :

W (f) =1

τ

1

j2πfZb(f) = Aτ

j2πfτ

j2πfτsinc2(fτ) = Aτsinc2(fτ) (60)

– Em comparacao com o pulso retangular, o pulso triangular tem menos energia em altas frequencias.

– Isto acontece porque nao ha descontinuidades neste sinal.

– A sua duracao e 2τ , enquanto que o pulso retangular dura somente τ .

– Notacao:

Λ(tτ

),

1− |t|τ , |t| < τ

0, |t| > τ

F

Λ(tτ

)= Aτsinc2(fτ)

(61)

– A figura 10 mostra o pulso triangular no tempo e o modulo do seu espectro, para τ = 1. Paracomparacao, o modulo do pulso quadrado com largura τ = 1 tambem esta desenhado na linhatracejada.

2.4 Convolucao

• Muitos sinais reais sao obtidos atraves da convolucao de outros dois sinais.

• A integral da convolucao e:

v(t) ∗ w(t) ,∫ ∞−∞

v(λ)w(t− λ)dλ (62)

onde a variavel independente e t

• A integral tambem pode ser vista como a superposicao de varias respostas de um sistema a impulsosaplicados a ele, como por exemplo a reverberacao numa sala ou o eco de uma caverna

• Uma das funcoes da integral normalmente e limitada no tempo, o que facilita o seu calculo.

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• Exemplo:

– As funcoes a serem convoluıdas sao:

v(t) = A · exp(−t) 0 < t <∞w(t) =

t

T0 < t < T

w(t− λ) =t− λT

0 < t− λ < T

= −λ− tT

t− T < λ < t

(63)

– Em funcao de λ, w(t) deve sofrer reversao e deslocamento da origem para o instante = t.

– Quando t < 0 ha v(λ) ·w(t− λ) = 0 para qualquer valor de λ. Logo, nesta situacao, v(t) ∗w(t) = 0.

– Quando 0 < t < T , a superposicao e parcial e a integral fica:

v(t) ∗ w(t) =

∫ t

0

Aexp(−λ)

(t− λT

)dλ

=A

T[t− 1 + exp(−t)]

(64)

– Quando T < t, a superposicao e completa e a integral fica:

v(t) ∗ w(t) =

∫ t

t−TAexp(−λ)

(t− λT

)dλ

=A

T[T − 1 + exp(−T )]exp[−t− T )]

(65)

2.4.1 Teoremas de Convolucao

• A convolucao e

– comutativa: v(t) ∗ w(t) = w(t) ∗ v(t)

– associativa: v(t) ∗ (w(t) ∗ (z(t)) = (v(t) ∗ w(t)) ∗ (z(t)

– distributiva: v(t) ∗ (w(t) + (z(t)) = v(t) ∗ w(t) + v(t) ∗ z(t)

• O teorema de convolucao diz que:v(t) ∗ w(t)↔ V (f) ·W (f) (66)

isto e: a convolucao no domınio do tempo equivale ao produto no domınio da frequencia.

• Tambem:v(t)cdotw(t)↔ V (f) ∗W (f) (67)

isto e: a convolucao no domınio da frequencia equivale ao produto no domınio do tempo.

• Prova da primeira parte:

Fv(t) ∗ w(t) =

∫ ∞−∞

[∫ ∞−∞

v(λ) · w(t− λ)dλ

]exp(−j2πft)dt

=

∫ ∞−∞

v(λ)

[∫ ∞−∞·w(t− λ)exp(−j2πft)dt

]dλ

=

∫ ∞−∞

v(λ) [W (f)] exp(−j2πfλt)dλ

= W (f)V (f)

(68)

onde utilizamos os fatos de que v(λ) nao depende de t, a propriedade de descolamento no tempo da TF,que W (f) nao depende de λ e que na ultima integral a variavel λ esta fazendo o papel de t na transformadade Fourier.

20

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t =0

v(t)*w(t)

τ1+τ2

τ1-τ2

t

Figure 11: Resultado da convolucao de dois pulsos retangulares com largura diferente

• Exemplo: pulso trapezoidal

– Um pulso trapezoidal pode ser obtido com a convolucao de dois pulsos retangulares com largurasdiferentes:

v(t) = A1Π(tτ1

)w(t) = A2Π

(tτ2

)τ1 > τ2

(69)

– Assim, v(t) ∗ w(t) tem o seguinte formato da figura 11

– A sua TF sera entao:V (f)W (f) = [A1τ1sinc(fτ1)][A2τ2sinc(fτ2)] (70)

– Quando τ1 = τ2 = τ o pulso trapezoidal se reduz a um triangular com largura 2τ e amplitudeA = A1A2τ , resultando na TF ja conhecida de um pulso triangular.

2.5 Impulsos e limites da Transformada de Fourier

• Ha sinais com componentes periodico e nao periodicos ao mesmo tempo. Como podemos analisa-los?

• Solucao matematica: permitir impulsos no domınio de frequencia

• Limites da TF tambem permitem criar uma representacao espectral de impulsos no tempo

2.5.1 Propriedades do Impulso Unitario

• Impulsos unitarios ou delta de Dirac δ(t) tem a seguinte propriedade:∫ t2

t1

v(t)δ(t)dt =

v(0), t1 < 0 < t2

0, c.c(71)

quando v(t) e contınua em t = 0

21

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t

𝛿(𝑡)

t=0

Figure 12: Representacao grafica do impulso

• A mesma propriedade e valida em frequencia, i.e., substituindo t por f .

• Se v(t) = 1, ∫ ∞−∞

δ(t)dt =

∫ ε

−εδ(t)dt = 1 (72)

com ε arbitrariamente pequeno.

• Assim, δ(t) tem area unitaria concentrada em t = 0, e δ(t) = 0 para t 6= 0.

• Representacao grafica na figura 12

• Fisicamente um sinal deste tipo nao pode existir, mas muitas funcoes existentes tendem ao impulso. Emparticular, a funcao δε(t) e definida de tal forma que se:

limε→0

∫ ∞−∞

v(t)δε(t)dt = v(0) (73)

entao:limε→0

δε(t) = δ(t) (74)

• Duas funcoes que satisfazem estes limite sao:

δε(t) =1

εΠ

(t

ε

)δε(t) =

1

εsinc

(t

ε

) (75)

• Tres propriedades de δ(t):

– Replicacao: v(t) ∗ δ(t− td) = v(t− td)

22

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– Amostragem:

∫ t2

t1

v(t)δ(t− td)dt = v(t− td). Assim: v(t) · δ(t− td) = v(td) · δ(t− td)

– Mudanca de escala: δ(αt) = 1|α|δ(t)

2.5.2 Impulsos em Frequencia

• Representam fasores ou constantes

• Por exemplo, quando v(t) = A (uma constante), v(t) tem energia infinita.

• A princıpio, nao ha TF de fato, mas no limite:

v(t) = limW→0

A · sinc(2Wt) = A

Fv(t) = limW→0

A

2WΠ

(f

2W

)= Aδ(f)

(76)

• Assim, A↔ Aδ(f), isto e, a TF de uma constante e um impulso

• Intuitivamente este resultado faz sentido pois uma constante nao varia no tempo e toda sua energia deveestar em f = 0

• Alternativamente, poderıamos ter feito como abaixo para chegar no mesmo resultado:

v(t) = limτ→∞

A ·Π(t

τ

)(77)

e chegarıamos a:V (f) = lim

τ→∞Aτsinc(fτ) = Aδ(f) (78)

• Utilizando a propriedade da TF de translacao em frequencia podemos escrever genericamente:

A · exp(j2πfct)↔ δ(f − fc)

A · cos(2πfct+ φ)↔ A

2[exp(jφ)δ(f − fc) + exp(−jφ)δ(f + fc)]

(79)

isto e, o espectro contınuo de um fasor e um impulso em fc e o espectro de uma onda senoidal sao doisimpulsos:

• Assim, para um sinal periodico com serie de Fourier v(t) =

∞∑n=−∞

c(nf0)exp(j2πnf0t), a sua TF contınua

sera

V (f) = F

∞∑n=−∞

c(nf0)exp(j2πnf0t)

=

∞∑n=−∞

c(nf0)δ(f − nf0) (80)

• Qualquer espectro de linha pode dessa forma ser transformado em um espectro contınuo

• A diferenca entre os dois e que, para chegar no sinal original, o espectro de linha se soma enquanto que oespectro contınuo deve ser integrado.

• Exemplo: Impulsos e espectro contınuo:

– Um sinal no tempo e definido como v(t) = Acos(2πfct) − AΠ( tτ )cos(2πfct) + AΠ( tτ )cos(4πfct). Oseu formato no tempo para fc = 1 e τ = 2 e aproximadamente mostrado na figura 13-(a) (

– Podemos calcular o espectro dos termos que apresentam produtos no tempo atraves da convolucaoem frequencia. O espectro resultante tem a funcao abaixo, e mostrado na figura 12-(b).

V (f) =A

2[δ(f−fc)+δ(f+fc)]−

2[sinc(f−fc)+sinc(f+fc)]+

2[sinc(f−2fc)+sinc(f+2fc)] (81)

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-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-1

-0.5

0

0.5

1

t

v(t

)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 50

0.2

0.4

0.6

0.8

f

V(f

)

Figure 13: Sinal no tempo e em frequencia do exemplo, para fc = 1 e τ = 2

2.5.3 Funcao degrau e sinal

• A funcao degrau (step) e

u(t) ,

1, t > 0

0, t < 0(82)

• Esta funcao e de interesse pois pode ser utilizada para modelar um sinal causal atraves do produto dafuncao degrau com uma funcao nao causal

• Por nao ser simetrica em torno da origem ha complicacoes matematicas para se calcular a sua TF

• Para resolver este problema usamos a funcao sinal (signum), definida como:

sgn(t) =

1, t > 0

−1, t < 0(83)

que pode ser escrita como um limite:

v(t) = exp(−bt)u(t)z(t) = lim

b→0[v(t)− v(−t)] (84)

• Utilizando o resultado do exemplo da secao 2.2.2 para uma exponencial causal e que a funcao sgn(t) temsimetria ımpar, chegamos em:

Z(f) = j2V0(f) =−j4πf

b2 + (2πf)2(85)

• No limite quando b→ 0 temos:

Fsgn(t) = limb→0

−j4πfb2 + (2πf)2

=−jπf

=1

jπf(86)

24

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• Podemos escrever a funcao degrau como :u(t) = (sgn(t) + 1)/2. Utilizando a propriedade da linearidadeda TF e que a TF de uma constante e um impulso, temos:

Fu(t) =δ(f)

2+

1

j2πf(87)

• A TF de sgn(t) nao tem um impulso em f = 0 pois a sua media e zero. A TF de u(t) tem um valor medioigual a 1/2, logo existe um impulso em f = 0.

• Este impulso tambem aparece ao aplicarmos o teorema da integracao sobre uma funcao que tem arealıquida 0:

v(t) ∗ u(t) =

∫ ∞−∞

v(λ)u(t− λ)dλ =

∫ t

−∞v(λ)dλ, pois u(t) = 0 se λ > t

Fv(t) ∗ u(t) = V (f)

[δ(f)

2+

1

j2πf

] (88)

• Logo : ∫ t

−∞v(λ))dλ↔ V (0)

2+ V (f)

[1

j2πf

](89)

2.5.4 Impulsos no tempo

• Temos que Aτ Π(tτ

)↔ Asinc

(fτ

). No limite quando τ →∞, Aδ(t)↔ A

• Isto e, impulsos no tempo contem todas as frequencias com a mesma amplitude.

• Mesmo resultado pode ser obtido utilizando a propriedade da dualidade sobre A↔ Aδ(f).

• Estes resultados podem ser interpretados da seguinte forma:

– Sinal com duracao ”‘zero”’ tem largura espectral infinita.

– Sinal com duracao ”‘infinta”’(constante) tem largura espectral ”‘zero”’

• Ao deslocarmos no tempo temos:

Aδ(t− td)↔ A · exp(−j2πftd) (90)

• Como, por definicao F−1A · exp(−j2πftd) = Aδ(t− td), temos que, para manter consistencia:∫ ∞−∞

exp(j2πf(t− td)df = δ(t− td) (91)

• Esta definicao e consequencia permite mostrar que:

F−1V (f) =∫∞−∞

[∫∞−∞ v(λ)exp(−j2πft)dλ

]exp(j2πft)df

=∫∞−∞ v(λ)

[∫∞−∞ exp(j2πf(t− λ))df

]dλ

=∫∞−∞ v(λ)δ(t− λ)dλ

= v(t) ∗ δ(t)

(92)

• O impulso tambem tem relacao com a funcao degrau pois:∫ t

−∞δ(t− td)dt =

1, t > td

0, t < td= u(t− td) (93)

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• Logo:

δ(t− td) =d

dtu(t− td) (94)

• Esta propriedade permite analisar alumas funcoes da seguinte forma: sendo v(t) uma funcao contınua

e dn−1

dtn−1 v(t) a primeira derivada de v(t) em que ha descontinuidades, entao a derivada de ordem n possuiimpulsos. Logo, podemos escrever a derivada de ordem n da seguinte forma:

vd(t) =dn

dtnv(t) = w(t) +

∑k

Akδ(t− tk) (95)

• Na equacao anterior, w(t) representa a parte da funcao vd(t) sem impulsos. O somatorio presente e asoma de impulsos localizados nos instantes tk, com amplitude Ak, devido as descontinuidades (degraus)

em dn−1

dtn−1 v(t) cujas derivadas resultam nos impulsos de vd(t)

• Pelo teorema da derivacao, se vd(t) = dn

dtn v(t), entao:

Fvd(t) = Vd(f) = V (f) · (j2πf)n

Vd(f)(j2πf)−n = V (f)(96)

Logo:

vd(t) =dn

dtnv(t)↔ (j2πf)nV (f) = W (f) +

∑k

Akexp(−j2πftk) (97)

• Se soubermos o formato de W (f) e os valores de Ak e tk, podemos escrever:

V (f) =W (f)

(j2πf)n+

1

(j2πf)n

∑k

Akexp(−j2πftk) (98)

• Alem disso, se W (f) → 0 quando f → ∞, o comportamento de |V (f)| para altas frequencias seraproporcional a|f |−n. Isto acontece porque, nestas condicoes, o termo dominante de V (f) e o somatorio,cujos termos tem como modulo Ak. O somatorio esta sendo multiplicado por 1

(j2πf)n , resultando na

proporcionalidade mencionada.

• Dizemos que este espectro tera entao roll-off de ordem n.

• Se n e grande, ha pouca energia em altas frequencias. Se n e pequeno, ha mais energia em altas frequencias.

• Um pulso retangular, por exemplo, tem descontinuidades ja na sua primeira derivada. Por isso, o roll-offde seu espectro (sinc) tem roll off de ordem 1 (isto e, decaimento de 1/n)

• Exemplo: Pulso cosseno levantado (diferente de filtro raiz de cosseno levantado)

– Muito utilizado na pratica para limitar a banda de um sinal transmitido

– O sinal base e suas primeiras tres derivadas sao:

v(t) =A

2

(1 + cos

(πt

τ

))·Π(t

)dv(t)

dt= −

(πτ

) A2

(sin

(πt

τ

))·Π(t

)d2v(t)

dt2= −

(πτ

)2 A2

(cos

(πt

τ

))·Π(t

)d3v(t)

dt3=(πτ

)2 A2

[δ(t+ τ)− δ(t− τ)] +(πτ

)3 A2

(sin

(πt

τ

))·Π(t

)(99)

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-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.5

1

1.5

2

t

v( t

)

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-4

-2

0

2

4

t

dv(t

)

dt

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-10

-5

0

5

10

t

d2v(t

)

dt2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-10

-5

0

5

10

t

d3v(t

)

dt3

Figure 14: Cosseno levantado e tres primeiras derivadas

– O ultimo termo da terceira derivada pode ser escrito como −πτ2 dvdt , permitindo chegar no seguinte

espectro:

Fd3v(t)

dt3

= (j2πf)3V (f) =

(πτ

)2 A2

[exp(j2πfτ)− exp(−j2πfτ)]− π

τ

2(j2πf)V (f) (100)

onde utilizamos tambem o fato de que Fdv(t)

dt

= (j2πf)V (f)

– Isolando V (f) e usando a identidade de Euler chegamos a:F

V (f) =Aτ · sinc(2fτ)

1− (2fτ)2(101)

que decai aproximadamente com f3, muito mais rapido do que a sinc. A comparacao do espectro dopulso cosseno levantado, do pulso retangular e do pulso triangular estao na figura 15, para f > 0.Na comparacao, todos os pulsos tem a mesma duracao de 1 segundo e energia de 1J.

– Transmissoes que utilizam este pulso contem melhor a energia dentro de uma banda do que a sinc.

2.5.5 Transformada de Fourier no tempo discreto e Transformada Discreta de Fourier

Leitura para o laboratorio. Presente na 5a. edicao.

2.5.6 Exercıcios

Todas as 11 questoes conceituais do capıtulo 2.Problemas: 2.1.1 2.1.2 2.1.5 2.1.8 2.1.9 2.1.12 2.1.13 2.2.1 2.2.4 2.2.12 2.2.14 2.3.1 2.3.6 2.3.8

2.4.1 2.4.5 2.4.6 2.4.8 2.5.2 2.5.4 2.5.10 2.5.13 2.5.14

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10-4

10-3

10-2

10-1

100

f

log

10(|

V(f

)|)

Pulso quadrado

Pulso triangular

Pulso Cosseno levantado

Figure 15: Comparacao dos espectros dos tres pulsos estudados neste capıtulo. Tente recriar esta figura, coma restricao que os tres pulsos devem ter a mesma duracao e a mesma energia. F

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