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Elementos de Análise Combinatória

Élcio Lebensztayn

UNICAMP

Élcio Lebensztayn Análise Combinatória

Princípio Fundamental da Contagem

Princípio Multiplicativo

Uma tarefa deve ser executada em uma sequência de r decisões:

d1,d2, . . . ,dr .

Suponha que existem n1 maneiras de tomar a decisão d1; uma vez

tomada a decisão d1, existem n2 maneiras de tomar a decisão d2;

uma vez tomadas as decisões d1 e d2, existem n3 maneiras de tomar

a decisão d3, e assim por diante.

Então, o número total de maneiras de efetuar a tarefa completa é dado

por n1 n2 . . . nr .

Ao usar o princípio multiplicativo, é fundamental que o número de

maneiras de tomar uma determinada decisão não seja influenciado por

nenhuma das decisões predecessoras.

Dicas1 Comece a contagem com a decisão mais restritiva.

2 Se o princípio multiplicativo não pode ser usado diretamente:

(a) Separe a contagem em casos disjuntos, ou

(b) Ignore uma restrição e depois desconte o que foi contado a mais.

Exemplos

1 Uma bandeira é formada por 7 faixas, que devem ser coloridas

com as cores azul, amarelo e vermelho. Cada faixa deve ter

somente uma cor, e a mesma cor não pode ser usada em faixas

vizinhas. De quantas maneiras a bandeira pode ser colorida?

2 Quantos são os números de três dígitos distintos?

3 Quantos são os números pares de três dígitos distintos?

Exemplos1 Uma bandeira é formada por 7 faixas, que devem ser coloridas

Subconjuntos de um conjunto finito

Um conjunto com n elementos tem 2n subconjuntos.

Exemplo: Formar S ⊂ {a,b, c}.

a ∈ S

b ∈ S

c ∈ S

{a,b, c}

c /∈ S

b /∈ S

c ∈ S

{a, c}

c /∈ S

a /∈ S

b ∈ S

c ∈ S

{b, c}

c /∈ S

b /∈ S

c ∈ S

c /∈ S

Subconjuntos de um conjunto finito

Um conjunto com n elementos tem 2n subconjuntos.

Exemplo: Formar S ⊂ {a,b, c}.

a ∈ S

b ∈ S

c ∈ S

{a,b, c}

c /∈ S

b /∈ S

c ∈ S

{a, c}

c /∈ S

a /∈ S

b ∈ S

c ∈ S

{b, c}

c /∈ S

b /∈ S

c ∈ S

c /∈ S

Permutações simples

O número de modos de ordenar n objetos distintos é

n! = n (n − 1) . . . 2 1.

O número n! é chamado o fatorial de n.

Por convenção, 0! = 1.

Cada ordenação é chamada uma permutação simples dos n objetos.

Exemplo

Quantos são os anagramas da palavra “LIVRO”?

5! = 120.

Permutações simples

O número de modos de ordenar n objetos distintos é

n! = n (n − 1) . . . 2 1.

O número n! é chamado o fatorial de n.

Por convenção, 0! = 1.

Cada ordenação é chamada uma permutação simples dos n objetos.

Exemplo

Quantos são os anagramas da palavra “LIVRO”?

5! = 120.

Arranjos simples

ExemploDez atletas participam de uma corrida.

Quantos são os resultados possíveis para os 3 primeiros lugares?

10× 9× 8 = 720.

O número de k -subconjuntos ordenados de um n-conjunto é

Akn = (n)k = n (n − 1) . . . (n − k + 1) =

n!(n − k)!

Arranjos simples

ExemploDez atletas participam de uma corrida.

Quantos são os resultados possíveis para os 3 primeiros lugares?

10× 9× 8 = 720.

O número de k -subconjuntos ordenados de um n-conjunto é

Akn = (n)k = n (n − 1) . . . (n − k + 1) =

n!(n − k)!

Combinações simples

Para obter o número de subconjuntos (sem importar a ordem entre os

elementos), basta notar que cada subconjunto foi contado k ! vezes.

O número de k -subconjuntos de um n-conjunto é

n!k ! (n − k)!

que é chamado um coeficiente binomial.

Estes números podem ser arrumados em uma disposição triangular, o

famoso Triângulo de Pascal.

Exemplo

Com 5 mulheres e 4 homens, quantas comissões de 4 pessoas, com

pelo menos 2 mulheres, podem ser formadas?

Combinações simples

Para obter o número de subconjuntos (sem importar a ordem entre os

elementos), basta notar que cada subconjunto foi contado k ! vezes.

O número de k -subconjuntos de um n-conjunto é

n!k ! (n − k)!

que é chamado um coeficiente binomial.

Estes números podem ser arrumados em uma disposição triangular, o

famoso Triângulo de Pascal.

Exemplo

Com 5 mulheres e 4 homens, quantas comissões de 4 pessoas, com

pelo menos 2 mulheres, podem ser formadas?

Teorema Binomial

Teorema BinomialPara quaisquer n ≥ 0 inteiro e x , y ∈ R,

(x + y)n =n∑

)xk yn−k .

Exemplo

(x + y)3 =

)x0 y3 +

)x1 y2 +

)x2 y1 +

)x3 y0

= y3 + 3xy2 + 3x2y + x3.

Permutações com objetos nem todos distintos

Exemplo

Quantos são os anagramas da palavra “BANANA”?

O número de permutações de n objetos, dos quais n1 são do tipo 1,

n2 são do tipo 2 , . . . , nr são do tipo r (onde n1 + · · ·+ nr = n) é(n

n1,n2, . . . ,nr

n!n1!n2! . . . nr !

que é chamado um coeficiente multinomial.

Permutações com objetos nem todos distintos

Exemplo

Quantos são os anagramas da palavra “BANANA”?

O número de permutações de n objetos, dos quais n1 são do tipo 1,

n2 são do tipo 2 , . . . , nr são do tipo r (onde n1 + · · ·+ nr = n) é(n

n1,n2, . . . ,nr

n!n1!n2! . . . nr !

que é chamado um coeficiente multinomial.

Divisões em grupos

Exemplo

Um professor decide separar a sua turma de 12 alunos em 3 grupos

de tamanho 4. Cada grupo fará um trabalho com um tema diferente.

Quantas são as divisões possíveis?

O número de divisões possíveis de n objetos distintos em r grupos

distintos de tamanhos respectivos n1,n2, . . . ,nr (n1 + · · ·+ nr = n) é(n

n1,n2, . . . ,nr

n!n1!n2! . . . nr !

Omitir Teorema Multinomial

Divisões em grupos

Exemplo

n1,n2, . . . ,nr

n!n1!n2! . . . nr !

Divisões em grupos

Exemplo

n1,n2, . . . ,nr

n!n1!n2! . . . nr !

Teorema Multinomial

Teorema MultinomialPara quaisquer n ≥ 1 inteiro e x1, x2, . . . , xr ∈ R,

(x1 + x2 + · · ·+ xr )n =

n1,n2, . . . ,nr

1 xn22 . . . xnr

onde o somatório é feito sobre todos os vetores (n1,n2, . . . ,nr ) avalores inteiros e não negativos, tais que n1 + n2 + · · ·+ nr = n.

Exemplo

(x1 + x2 + x3)2 =

)x1 x2 +

)x1 x3 +

)x2 x3

= x21 + x2

2 + x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3.

Combinações completas

Exemplo

De quantos modos podemos distribuir 11 bombons iguais a 4 crianças?

O número de vetores distintos (x1, . . . , xn) a valores inteiros e não

negativos que satisfazem a equação

x1 + · · ·+ xn = p

é dado por(

p + n − 1n − 1

∴ Há(

p + n − 1n − 1

)modos de distribuir p moedas idênticas a n crianças.

Combinações completas

Exemplo

De quantos modos podemos distribuir 11 bombons iguais a 4 crianças?

O número de vetores distintos (x1, . . . , xn) a valores inteiros e não

negativos que satisfazem a equação

x1 + · · ·+ xn = p

é dado por(

p + n − 1n − 1

∴ Há(

p + n − 1n − 1

)modos de distribuir p moedas idênticas a n crianças.

Combinações completasExemplo

De quantos modos é possível comprar 11 sorvetes em uma loja que os

oferece em 4 sabores diferentes?

Se xi é a quantidade de sorvetes que vamos comprar do sabor i , então

x1 + x2 + x3 + x4 = 11.

Assim, a resposta é 364.

O número de maneiras de escolher p objetos entre n objetos distintos,

valendo escolher o mesmo objeto mais de uma vez, é

CRpn =

(p + n − 1

n − 1

Esse número é chamado número de combinações completas (ou com

repetição) de n objetos distintos, dos quais p são selecionados.

Combinações completasExemplo

De quantos modos é possível comprar 11 sorvetes em uma loja que os

oferece em 4 sabores diferentes?

Se xi é a quantidade de sorvetes que vamos comprar do sabor i , então

x1 + x2 + x3 + x4 = 11.

Assim, a resposta é 364.

O número de maneiras de escolher p objetos entre n objetos distintos,

valendo escolher o mesmo objeto mais de uma vez, é

CRpn =

(p + n − 1

n − 1

Esse número é chamado número de combinações completas (ou com

repetição) de n objetos distintos, dos quais p são selecionados.Élcio Lebensztayn Análise Combinatória

Exemplo – Contagem

ExemploDe quantos modos podemos distribuir 11 bombons iguais a 4 crianças,

de forma que cada criança receba pelo menos um?

O número de vetores distintos (x1, . . . , xn) a valores inteiros que

satisfazem

x1 + · · ·+ xn = p e xi ≥ 1 para todo i = 1, . . . ,n

é dado por(

p − 1n − 1

Assim, existem(

p − 1n − 1

)maneiras de distribuir p moedas idênticas a

n crianças, de forma que cada criança receba pelo menos uma moeda.

Exemplo – Contagem

ExemploDe quantos modos podemos distribuir 11 bombons iguais a 4 crianças,

de forma que cada criança receba pelo menos um?

O número de vetores distintos (x1, . . . , xn) a valores inteiros que

satisfazem

x1 + · · ·+ xn = p e xi ≥ 1 para todo i = 1, . . . ,n

é dado por(

p − 1n − 1

Assim, existem(

p − 1n − 1

)maneiras de distribuir p moedas idênticas a

n crianças, de forma que cada criança receba pelo menos uma moeda.

Tabela

A tabela a seguir resume o número de maneiras de tomarmos uma

amostra de tamanho k de uma população com n elementos distintos,

dependendo se o mesmo objeto pode ser escolhido mais de uma vez

(amostragem com ou sem reposição) e se vamos distinguir entre duas

escolhas com os mesmos objetos escolhidos em ordem diferente

(amostra ordenada ou não).

Ordenada Não ordenada

Com reposição nk(

k + n − 1n − 1

)Sem reposição (n)k

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