Elementos Finitos
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MTODOS NUMRICOS EM
ENGENHARIA
O Mtodo dos Elementos Finitos
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Mtodos Numricos em Engenharia
APLICAO DO MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS AOS FLUIDOS.
Perfil de asa Casco de embarcao
Foguete
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Mtodos Numricos em Engenharia
A forma mais geral de apresentar o problema considera a soluo de
escoamentos com alto nmero de Reynolds de fluidos com viscosidade dada
por e considerados compressveis.
Inicialmente utilizou-se para simulao numrica de fluidos o MTODO DAS
DIFERENAS FINITAS e posteriormente o MTODO DOS VOLUMES
FINITOS com os quais obtm-se resultados teis.
A aplicao do MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS em fluidos vem desde o
incio da dcada de 70. Zienkiewicz e Taylor indicam que seu estgio atual de
desenvolvimento mostra-se eficaz quando comparado aos dois primeiros.
),( Tp
Considera-se FLUIDO COMPRESSVEL aquele cuja densidade varia com a
presso volumtrica p e/ou com a temperatura T.
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Mtodos Numricos em Engenharia
Um fluido caracteriza-se por no resistir a esforos tangenciais quando em
repouso, caso em que apenas tenses hidrostticas so possveis. Nos
fluidos queremos conhecer a distribuio de velocidades vi em lugar dos
deslocamentos ui.
De maneira anloga aos slidos, define-se um tensor taxa de deformao
atravs da expresso:
Lvv
v
xx
x
x
x
v
x
v
j
i
ij
j
i
i
j
j
iij
0
0
2
1
Para um fluido NEWTONIANO (isotrpico e linear) definem-se as constantes
de viscosidade , que relaciona tenses desviadoras com as velocidades
desviadoras, e a constante de viscosidade volumtrica .
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Mtodos Numricos em Engenharia
Para o fluido NEWTONIANO teremos:
iiijijiiijijij
3
2
3
10
3pkp ii
ii
Como no h definio sobre viscosidade volumtrica, fazemos: 03
pp ii
Utilizando as expresses acima escrevemos a equao constitutiva:
pk ijijii
ijiiij
iiij
ijij
332
ou: 33
22 iiijiiijijij k
de onde vem:
ppk ijijijiiij
ijij
32
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Mtodos Numricos em Engenharia
Substituindo as velocidades de deformao vem:
i
iij
i
j
j
iiiij
ijijx
v
x
v
x
v
3
2
32
Obs: Fluidos NO NEWTONIANOS apresentam viscosidade dependente da
velocidade o que os torna no lineares.
Condio para CONSERVAO DA MASSA: 0
v
tv
xt
T
i
i
-
Mtodos Numricos em Engenharia
Condio para CONSERVAO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO:
0
jij
i
ij
i
jf
xvv
xt
v
0
j
ji
ij
ij
i
jf
x
p
xvv
xt
v
o termo fj corresponde as foras mssicas.
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Mtodos Numricos em Engenharia
Observa-se que as variveis nas equaes anteriores so as componentes de
velocidade vi (3 variveis), a presso p (1 varivel) e a densidade (1 varivel).
Expandindo as equaes anteriores chega-se a quatro equaes, trs de
conservao da quantidade de movimento e uma da conservao de massa.
Falta pelo menos mais uma equao para que o problema seja resolvido.
033
2
2
1
1
v
xv
xv
xt
Conservao da massa
0113
13
2
12
1
1131
3
21
2
2
1
1
1
f
x
p
xxxvv
xvv
xv
xt
v
Conservao da quantidade de movimento
0223
23
2
22
1
2132
3
2
2
2
21
1
2
f
x
p
xxxvv
xv
xvv
xt
v
0333
33
2
32
1
312
3
3
32
2
31
1
3
f
x
p
xxxv
xvv
xvv
xt
v
-
Mtodos Numricos em Engenharia
Para resolver o problema precisamos fazer algumas consideraes:
1) FLUIDO INCOMPRESSVEL Densidade constante.
2) Fluido isotrmico e pequena compressibilidade EQUAO DE ESTADO.
),( Tp ; caso ideal RT
p ; R constante universal dos gases.
A equao que falta para completar o caso mais geral exige as seguintes
definies:
a) Energia especfica por unidade de massa e:
b) Energia total por unidade de massa:
c) Entalpia:
d) Transferncia de energia por coduo:
),( Tpee
2
iivveE
pehcom
pE
vvhH ii
2
Tx
kqi
i
OBS: O segundo termo a energia
cintica por unidade de massa
k o coeficiente isotrpico
de conduo de calor
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Mtodos Numricos em Engenharia
3) CONSERVAO DA ENERGIA Soma-se s 4 equaes do caso geral.
0
Hiiiji
i
i
iii
i
i
qvfvx
pvxx
Tk
xHv
xt
E
d) Fonte de calor interna por unidade de volume: qH
e) Dissipao devida as tenses: jj
jij
i
jij
i
pvx
vx
vx
Feitas as definies, podemos escrever a equao de balano de energia
por unidade de volume conforme segue:
ou ainda:
0
Hiiiji
iii
i
i
qvfvxx
Tk
xHv
xt
E
Observe que o penltimo termo corresponde ao trabalho realizado pelas
foras mssicas.
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Mtodos Numricos em Engenharia
Forma geral das equaes de NAVIER STOKES:
0
Q
x
G
x
F
t
U
i
i
i
i
com:
;
3
2
1
E
v
v
v
U
;
33
22
11
1
i
ii
ii
ii
i
Hv
pvv
pvv
pvv
v
F
e
x
Tkv
x
G
i
iij
i
i
i
i
i
3
2
1
Hii qvf
f
f
f
Q
3
2
1
0
e com:
i
iij
i
j
j
iij
x
v
x
v
x
v
3
2
Caso particular sem viscosidade (=0) e sem conduo de calor (k=0):
Equaes de EULER.
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Mtodos Numricos em Engenharia
Escoamentos INCOMPRESSVEIS (ou pouco compressveis):
Hipteses:
Considera-se que a variao de com a presso p muito pequena e portanto
se considera constante nas equaes em que ela aparece multiplicada pelas
velocidades vi.
Admitiremos que o problema isotrmico.
Considerando uma pequena compressibilidade: dpK
d
onde K o mdulo de compressibilidade.
ainda podemos fazer: dpc
d2
1
com c velocidade de onda acstica dada por: /Kc
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Mtodos Numricos em Engenharia
Neste primeiro caso as equaes de NAVIER-STOKES ficam:
012
i
i
x
v
t
p
c 011
1
jji
ij
ij
jf
xx
pvv
xt
v
Se o escoamento for totalmente incompressvel: c
011 113
13
2
12
1
1131
3
21
2
2
1
1
1
f
x
p
xxxvv
xvv
xv
xt
v
011 223
23
2
22
1
2132
3
2
2
2
21
1
2
f
x
p
xxxvv
xv
xvv
xt
v
011 333
33
2
32
1
312
3
3
32
2
31
1
3
f
x
p
xxxv
xvv
xvv
xt
v
i
iij
i
j
j
iij
x
v
x
v
x
v
3
21
onde a viscosidade cinemtica.
OBS: A menos dos termos de acelerao convectiva, o problema anlogo ao da elasticidade incompressvel.
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Mtodos Numricos em Engenharia
Escoamentos INCOMPRESSVEIS e NO VISCOSOS (EULER):
01 11
31
3
21
2
2
1
1
1
f
x
pvv
xvv
xv
xt
v
01 22
32
3
2
2
2
21
1
2
f
x
pvv
xv
xvv
xt
v
01 33
2
3
3
32
2
31
1
3
f
x
pv
xvv
xvv
xt
v
03
3
2
2
1
1
x
v
x
v
x
v
A soluo numrica fica melhor encaminhada se introduzimos um potencial ,
escrevendo as velocidades em funo dele:
;1
1x
v
;
2
2x
v
ou
xv
3
3
v
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Mtodos Numricos em Engenharia
Forma potencial: ESCOAMENTOS INCOMPRESSVEIS e NO VISCOSOS:
Se existe o potencial ento: 022
3
2
2
2
2
2
1
2
xxx
O problema de fluxo confinado oferece uma condio de contorno natural
sobre a velocidade normal a esses contornos:
n
nx
v
Lembramos que se existe tal funo potencial, devemos ter:
31
2
13
2
23
2
32
2
12
2
21
2
;;xxxxxxxxxxxx
Se existe tal potencial a condio de irrotacionalidade do fluido fornece:
;01
2
2
11
x
v
x
vw
Facilita a soluo da equao acima.
;02
3
3
22
x
v
x
vw 0
3
1
1
33
x
v
x
vw
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Mtodos Numricos em Engenharia
Substituindo as quantidades obtidas na segunda das equaes de EULER e
considerando o potencial das aes P, vem:
02
1 23
2
2
2
1
11
P
pvvv
xtx ii
x
Pf
02
1 23
2
2
2
1
22
P
pvvv
xtx
02
1 23
2
2
2
1
33
P
pvvv
xtx
com:
Forma alternativa:
0
PH
t
H a entalpia.
Mantida a condio de escoamento isotrmico, a energia especfica
constante e a equao anterior valer para todo o domnio e ser dada por:
constante Ppvvvt
2
3
2
2
2
12
1
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Mtodos Numricos em Engenharia
Equao de BERNOULLI:
Para escoamentos estacionrios (potencial no varia no tempo): 0
t
Neste caso, determinada a constante, determinan-se as presses em todo o
campo potencial .
Quando existe apenas o potencial gravitacional, vem: 3gxP
e equao do escoamento com superfcie livre (a duas dimenses) resulta em:
0 gxvv 322212
1
A condio de superfcie livre torna o problema no-linear sendo necessria
uma soluo iterativa que permita determinar a cada posio como fica essa
superfcie.
0 gxxx
32
2
2
2
1
2
2
1
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Mtodos Numricos em Engenharia
Trata-se de comparar o que seria um escoamento viscoso incompressvel com
baixas velocidades aos problemas de elasticidade onde as velocidades vi so
substitudas pelos deslocamentos ui e a viscosidade pelo mdulo de rigidez
transversal G.
Analogia com a elasticidade incompressvel: problema de STOKES.
Escoamentos de fluidos NO-NEWTONIANOS a baixa velocidade:
Este tipo de abordagem permite estabelecer as chamadas formulaes de
fluxo para aplicar na conformao de polmeros e metais.
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Mtodos Numricos em Engenharia
EXEMPLO: Problema de um escoamento potencial incompressvel de fludo
no viscoso representado na forma da equao de Laplace bidimensional:
0 xx
2
2
2
2
1
2
Utilizaremos o mtodo das DIFERENAS FINITAS que equivalente a
aproximar a soluo da EDP por um conjunto de equaes algbricas para os
valores nodais
yjyxix0ji 0, ,
cujas aproximaes para as derivadas so:
x
yxyxx
x
),(),(
x
yxxyx
x
yxyxx
xx
),(),(),(),(12
2
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Mtodos Numricos em Engenharia
Em notao indicial para x e y temos:
jijixx
,,1
1
jijiji
xx,1,,122
2
21
jijiyy
,1,
1
1,,1,22
2
21
jijiji
yy
Substituindo as expresses acima na equao de Laplace, temos:
1,1,,1,1,12 jijijijiji com 2
yx
Se a malha for quadrada, =1, vem: 1,1,,1,1,4
1 jijijijiji
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Mtodos Numricos em Engenharia
EXERCCIO: Faa uma anlise numrica usando, x=y=0,2 m, do escoamento potencial na expanso de um duto, mostrado na figura dada. O
escoamento entra com velocidade uniforme de 10 m/s por um duto em que a
largura de 1 m, e admite-se uma velocidade uniforme de 5 m/s, na sada em
que a largura do duto de 2 m. Existe um trecho reto de 1 m de comprimento
um trecho de expanso de 1 m inclinado de 45 e um trecho reto final de 1 m
de comprimento.
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Mtodos Numricos em Engenharia
Considerou-se como condio de partida uma distribuio linear do potencial
variando com a altura na direo de j, ou seja:
62 jentrada 1 jsada
Para os pontos internos a estimativa inicial foi smernos /52
int
1,1,,1,1,
4
1 jijijijiji
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Mtodos Numricos em Engenharia
A figura ao lado mostra as linhas de corrente
calculadas com base nos resultados mostra-
dos na figura anterior.
Calculam-se as velocidades fazendo:
1
1x
v
jiji
xx,,1
11
1
com:
smy
v /45,102,0
0,009,2)6,3()7,3()6,3(1
smy
v /65,92,0
07,80,10)10,3()11,3()11,3(1
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Mtodos Numricos em Engenharia
Outro resultado de interesse a distribuio de presses obtida a partir da
equao de Bernoulli.
V2
1ppV 21 1
2
2
1
Coeficiente adimensional de presso: V0,5
p-pC
2
1
p
1
Valor terico do Cp: A
AC
2
p
1
1 , hiptese de que: xAxVAV 11
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