Prof. Cesário

6 – ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES

Da mesma forma como foi estudado para resistores, os capacitores podemser associados em série, em paralelo ou misto. O conjunto poderá ser substituído por um único capacitor denominadocapacitor equivalente.

Ligação em série

Ligação em paralelo

7 – ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE

C1 C2C3

- +

Ao ligar os capacitores à fonte, elétronsdirigem-se da placa negativa para aarmadura esquerda do capacitor C1.

Estes elétrons repelem igual quantidadede elétrons da armadura direita de C1 que se dirigem para a armadura esquerda de C2.

Assim, a armadura esquerda de C1 ficará com uma carga-Q enquanto que a armadura direita ficará com carga +Q.

O fato se repete nas armaduras de C2 até que elétrons da armadura direita de C3 se dirigem para a bateria.Deste modo: todos os capacitores ficarão com a mesma carga.Na descarga, a carga útil será igual à carga de apenas um dos capacitores.

-Q +Q -Q +Q +Q-Q

A ddp total é igual à soma das ddps dos capacitores.

V1 V2 V3

V = V1 + V2 + V3 V/Q = V1/Q + V2/Q + V3/Q

1 1 1 1C C1 C2 C3

= + +

Resumindo

Numa associação em série:

A carga é a mesma em todos os capacitores.

A ddp total é a soma das ddps

parciais.

O inverso da capacitância do capacitor equivalente

é igual à soma dos inversos das capacitâncias dos

capacitores associados.

8 – ASSOCIAÇÃO EM PARALELO C1

C2

C3

Q1

Q2

Q3

Como em qualquer associação emparalelo, a ddp V é a mesma para todos os capacitores.

Quando ligados a uma bateria cada capacitoradquire uma carga de acordo com sua capacitância.

Na descarga todas as cargas podem ser utilizadas.

Assim, a carga total Q do conjunto é igual à soma das cargas de todos os capacitores.

Q = Q1 + Q2 + Q3 Q/V = Q1/V + Q2/V + Q3/V

C = C1 + C2 + C3

Portanto:

Resumindo

Numa associação de capacitores em paralelo:

A ddp é a mesma para todos os capacitores.

A carga útil é a somadas cargas de todos

os capacitores.

A capacitância do capacitorequivalente é igual à soma

dos capacitores associados.

EXEMPLOS1 – Se a ddp entre as placas do capacitor de 6 F é igual a 40 V, qual é a ddp entre as placas do capacitor de 5 F e a ddp VAB?

4 F 5 F 6 F

A BSolução:

A carga é a mesma em todos os capacitores por estarem ligados em série.

Portanto, a carga no capacitor de 5 F é igual à carga no capacitorDe 6 F, ou seja: Q = CV = 6 x 40 = 240 C.Portanto, a ddp será V = Q/C = 240/5 = 48 V.

VAB = V1 + V2 + V3 = 240/4 + 240/5 + 240/6 = 60 + 48 + 40 = = 148 V.

2 – A carga no capacitor de 10 F é igual a 200 C. Qual é a carga total no conjunto indicado na figura a seguir?

10 F

20 F

30 F

Q1

Q2

Q3

Solução:

Na ligação em paralelo a ddp é a mesma paraTodos os capacitores.

V = Q1/10 = Q2/20 = Q3/30

Assim, Q2 = 20 x (Q1/10) = 20 x (200/10) = 400 C Q3 = 30 x (Q1/20) = 30 x (200/10) = 600 C

Qtotal = 200 + 400 + 600 = 1200 C

EXERCÍCIOS

1 - Um capacitor de placas paralelas com ar entre as armaduras é carregado até que a diferença de potencial entre suas placas seja U. Outro capacitor igual, contendo um dielétrico de constante dielétrica igual a 3, é também submetido à mesma diferença de potencial. Se a energia do primeiro capacitor é W, qual será a energia do segundo? Resposta: 3W    

2 - Dois capacitores C1 e C2 são constituídos por placas metálicas, paralelas e isoladas por ar. Nos dois condensadores, a distância entre as placas é a mesma, mas a área das placas de C1 é o dobro da área das placas de C2. Ambos estão carregados com a mesma carga Q. Se eles forem ligados em paralelo, qual será a carga de C2?  Resposta: Q/2

3 – Se a carga no capacitor C1 = 200 F é 2000 C, qual será a carga no capacitor C3?

C1

C2

C3

Dados C2 = 100 F e C3 = 200 F.

Resposta: 3000 C

4 – Qual é a capacitância equivalente ao conjunto do exercícios 3? Resposta: 120 F

5 – Qual é a energia acumulada no capacitor C5 do sistema indicado a seguir se a ddp entre as armaduras do capacitor C4 é de 100 V?

20 F

20 F

30 F

C1

C2

C3

C5 = 40 F20 F

C4 Resposta: 1,8 J

6 – Qual é a capacitância equivalente ao conjunto do exercícios 5? Resposta: 27,7 F

7 – Se cada capacitor do sistema vale 30 F, qual é a capacitância equivalente ao sistema?

Resposta: 12 F.

7 – Um capacitor de 10,0 F com placas paralelas e circulares está ligado a uma bateria de 12,0 V. (a) Qual é a carga em cada placa? (b) Qual seria a carga nas placas se a bateria continuasse ligada e a distância entre as placas fosse duplicada? (c) Qual seria a carga nas placas se o capacitor permanecesse ligado à bateria e o raio de cada placa fosse duplicado a distância permanecesse igual a à do item “a”?Respostas: (a) 120 C; (b) 60 C; (c) 480 C

8 – Na figura cada capacitor é de 4 F e a ddp Vab vale 20 V. (a) Qual é a carga em cada capacitor? (b) qual é a ddp para cada capacitor? (c) qual é a ddp Vad? (d) qual é a energia total acumulada no sistema de capacitores?

a bdRespostas:(a) Q4 = 48 C; Q3 = 32 C Q1 = Q2 = 16 C(b) V4 = 14 V; V3 = 8 V; V2 = V1 = 4 V(c) 8 V (d) 480 J

1 2

3

4

9 – CIRCUITOS R - C

Nos circuitos com resistores consideramos que as fems, as resistências eas correntes não variando com o tempo.

Entretanto, diversos dispositivos utilizam capacitores o que faz a correntevariar. Nestes dispositivos encontramos capacitores associados a resistores, conforme indica a figura a seguir.

Fonte

(fem)

CapacitorC

ChaveCh

ResistorR

Consideremos que inicialmente achave esteja aberta e a carga docapacitor seja nula.

Fechando a chave, no instante t,a carga no capacitor é q e a correnteno resistor é i.

De acordo com a lei das malhas teremos:

= Ri + q/C (a tensão no capacitor é V = q/C)

Quando o capacitor atinge a carga máxima (Qf), a corrente no resistor será

nula e = Qf/C.

No início teremos carga nula no capacitor e corrente io tal que que io = /R

Quando o capacitor atinge a carga máxima, a energia fornecida pela bateria éQf. e a energia acumulada no capacitor é (1/2)QfV. Mas a ddp entre as armaduras, quando não houver mais corrente, é igual

á fem () da fonte.Portanto, a energia acumulada no capacitor é a metade da energia fornecidapela fonte.Isto significa que o resistor dissipa a outra metade da energia fornecida pelafonte.Da equação = Ri + q/C , tira-se i = (/R) – (q/RC).

O produto = RC é denominado constante de tempo, cuja unidade éo segundo.

Aplicando i = dq/dt = (/R) – (q/RC) tira-se dq/(q - C) = -dt/RC, que integrando no intervalo 0 a t, resulta em:

q = Qf(1 – e-t/RC) que fornece a carga no capacitor no instante t.

e

i = i0e-t/RC que fornece a corrente no circuito no instante t.

Na descarga do capacitor, teremos:

Carga restante no capacitor q = Qf.e-t/RC corrente no resistor i = i0.e-t/RC.

RESUMO:

- Equação do circuito: = Ri + q/C

- Ao carregar o capacitor: (no instante t)

q = Qf.(1 – e-t/RC) Carga no capacitor

i = i0.e-t/RC (corrente no circuito)

= Ri0 = Qf/C

- Ao descarregar o capacitor: (no instante t) i = i0.e-t/RC

q = Qf.e-t/RC

= Ri0 = Qf/C

Carga no capacitor

(corrente no circuito)

EXERCÍCIOS

1 – Um circuito é constituído por uma fonte de energia de 120 V, um capacitor de 100 F, um resistor de 800 k e um interruptor. Supor nula a resistência interna da fonte. (a) Qual é a constante de tempo? No instante em que se fecha o interruptor, qual é: (b) a intensidade da corrente no resistor? (c) a carga no capacitor? (d) a ddp no resistor? (e) a ddp no capacitor? Depois de muito tempo após fechado o interruptor, qual é: (f) a intensidade da corrente no resistor? (g) a carga no capacitor? (h) a ddp no resistor? (i) a ddp no capacitor? (j) qual é a carga no capacitor e a intensidade da corrente no resistor 10 s após fechado o interruptor?

Respostas:(a) 80 s; (b) 1,5 x 10-4 A; (c); zero; (d) 120 V; (e) zero(f) zero; (g) 1,2 x 104 C; (h) zero: (i) 120 V(j) 1,06 x 104 C e 1,2 x 10-4 A

Solução do exercício anterior.

(a) = RC = (800 x 103) x (100 x 10-6) = 80 segundosAo ligar a chave, a carga no capacitor é nula e a ddp no resistor é igualfem da fonte.

(b) = Ri0 120 = 8 x 105.i0 i0 = 1,5 x 10-4 A(c) Zero(d) 120 V(e) ZeroMuito tempo após fechado o interruptor, a corrente no resistor será nulae o capacitor adquire carga máxima.(f) zero(g) Qf = CV = 100 x 120 = 12000 C(h) Zero(i) 120 V(j) –t/RC = -10/80 = -0,125Q = Qf(1 – e-t/RC) = 12000(1 – 2,71829-0,125) = 1,06 x 104 Ci = i0(e-t/RC) = 1,5 x 10-4.(2,71829-0,125) = 1,2 x 10-4 A