Eletricidade A - ENG04474 AULA VIII. Circuitos Capacitivos Capacitor carga armazenada, q, funçãoda...

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Eletricidade A - ENG04474Eletricidade A - ENG04474

AULA VIIIAULA VIII

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Circuitos CapacitivosCircuitos Capacitivos

CapacitorCapacitor é um bipolo onde a carga armazenada, carga armazenada, qq, , é uma funçãofunção instantânea da tensãoda tensão.

Capacitor LinearCapacitor Linear - q=q=CCvv

CC é denominado capacitânciacapacitância e sua unidade é Farad (F)Farad (F)

A passagem de corrente de um terminal a outro do capacitor corresponde a uma variação de carga Não existe corrente atravessando o dielétricoNão existe corrente atravessando o dielétrico.

axPanel Vc-Vc+I=0

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Circuitos CapacitivosCircuitos Capacitivos

Num Capacitor LinearCapacitor Linear, a função função ff((ii,,vv)=0)=0 é dada por:(convenção passiva)

Carregando um Capacitor com Fonte de CorrenteCarregando um Capacitor com Fonte de Corrente

+ v(t) -

i(t)

C 0

0

1tvdtti

Ctv

t

t

dt

tdvCti

+Vc-

C11uF

I1

100mA

010.10010.11

0

3

6 c

t

c vdttv

Se o capacitor estiver descarregado em t=0 então vc(0)=0

0010.100 3 ttvc

ttvc310.100

t

vc

1ms

100 V

0).(1I1

0 1

c

t

c vdttC

tv

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Circuitos RCCircuitos RC

Carregando um Capacitor com Fonte de TensãoCarregando um Capacitor com Fonte de Tensão

+Vc-

+

-

V110V

R11k

C11uF

+Vc-

R11k

I110mA

C11uF

iicc

iirr

I1I1

tVR

tItiti rc 11

11

tR

tvRdt

tdvC c

c 1V11

11

1

Como VR1 =Vc então ir é igual a Vc/R1

11CRt-

e0V1V1 cc vtv

Se V1(t) for constanteSe V1(t) for constante igual a V1 para t>0 e em t=0 Vc=vc(0) então:

Resposta para t= (Regime PermanenteRegime Permanente)Possui Mesma Natureza da FontePossui Mesma Natureza da Fonte

Resposta TransitóriaResposta Transitória ou Natural

Depende da estrutura do circuitoDepende da estrutura do circuito

Equação Diferencial

t

vc

vc (0)

0

V1

Reg. PermReg. Trans.

iicc

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Circuitos RCCircuitos RC Descarregando um CapacitorDescarregando um Capacitor

tR

tvRdt

tdvC c

c 1V11

11

1 Equação Diferencial

Se V1(t) = Se V1(t) = 00 constanteconstante para t>t0

e em t=t0 Vc=vc(t0) então:

110

CR-

0 e0 0 tt

cc tvtv

Resposta para t= (Regime PermanenteRegime Permanente)Possui Mesma Natureza da FontePossui Mesma Natureza da Fonte

Resposta TransitóriaResposta Transitória ou Natural

Depende da estrutura do circuitoDepende da estrutura do circuito

110

CR-

0 e tt

cc tvtv

t

vc

vc

(t0)

0

Reg. Perm

Reg. Trans.

t0

+Vc-

+

-

V110V

R11k

C11uF

iiccV1(t>t0)=0

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Circuitos RCCircuitos RC

Carregando e Descarregando um Capacitor em um Circuito RCCarregando e Descarregando um Capacitor em um Circuito RC

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Circuitos CapacitivosCircuitos Capacitivos

Potência no CapacitorPotência no Capacitor

O Capacitor Armazena Capacitor Armazena Energia ElétricaEnergia Elétrica No No instante de tempo “t”instante de tempo “t” o capacitor que encontra-se o capacitor que encontra-se carregado carregado

com “V”com “V” volts volts armazena “armazena “w”w” Joules:Joules:

titvtp ccc Varia ao longo do tempoEm um momento pode ser Em um momento pode ser positivapositiva e em outro e em outro negativanegativa

A energia armazenada no capacitor também pode variar ao longo do tempo

+ v(t) -

i(t)

C

Potência Instantânea

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Circuitos IndutivosCircuitos Indutivos

IndutorIndutor é um bipolo onde o fluxo magnético concatenado, fluxo magnético concatenado, ,,é uma função função instantânea da corrente.da corrente.

Indutor Linear - Indutor Linear - =L=Lii LL é denominado indutânciaindutância e sua unidade é Henry (H)Henry (H).

I+-LIL

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Circuitos IndutivosCircuitos Indutivos

Num Indutor LinearIndutor Linear, a funçãofunção ff((ii,,vv)=0)=0 é dada por:(convenção passiva)

Carregando um Indutor com Fonte de TensãoCarregando um Indutor com Fonte de Tensão

0

0

1tidttv

Lti

t

t

dttdi

Ltv

L11uH

+

-

V1100mV

iL 0

1

0 L

t

L idttvL

ti 010.100

10.11

0

3

6 L

t

L idtti

0)0(10.10010.11 3

6

ttiL

ttiL310.100

Se o indutor estiver descarregado em t=0 então iL(0)=0

t

iL

1ms

100 A

L

+ v(t) -

i(t)

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Circuitos RLCircuitos RL

Carregando um Indutor com Fonte de CorrenteCarregando um Indutor com Fonte de Corrente

L11uHR1

1kI110mA

+

-

V110V

L11uH

R11k

+ vR -+ vL -

iL

tIRtVtvtv RL 11 1

tRtiRdt

tdiL L

L 1I111

Como iR1 =iL então vR

é igual a iL.R1

11 RLt-

e0I1I1 LL iti

Se I1(t) for constanteSe I1(t) for constante igual a I1 para t>0 e em t=0 iL= iL(0) então:

Resposta para t= (Regime PermanenteRegime Permanente)Possui Mesma Natureza da FontePossui Mesma Natureza da Fonte

Resposta TransitóriaResposta Transitória ou Natural

Depende da estrutura do circuitoDepende da estrutura do circuito

Equação Diferencial

iL

t

iL

iL (0)

0

I1

Reg. PermReg. Trans.

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Circuitos RLCircuitos RL Descarregando um IndutorDescarregando um Indutor

L11uHR1

1k

- - vvLL ++

iiLL Equação Diferencial

Se I1(t) = Se I1(t) = 00 constanteconstante para t>t0

e em t=t0 iL= iL(t0) então:

11

0R-

0 e0 0 Ltt

LL titi

Resposta para t= (Regime PermanenteRegime Permanente)Possui Mesma Natureza da FontePossui Mesma Natureza da Fonte Resposta TransitóriaResposta Transitória ou Natural

Depende da estrutura do Depende da estrutura do

circuitocircuito

11

0RL-

0 e tt

LL titi

t

iL

iL(t0)

0

Reg. Perm

Reg. Trans.

t0

tRtiRdt

tdiL L

L 1I111 I1(t>t0)=0

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Circuitos IndutivosCircuitos Indutivos

Potência no IndutorPotência no Indutor

O Indutor Armazena Indutor Armazena Energia ElétricaEnergia Elétrica No No instante de tempo “t”instante de tempo “t” o indutor que encontra-se o indutor que encontra-se carregado com carregado com

“I”“I” ampères ampères armazena “armazena “w”w” Joules:Joules:

L

+ v(t) -

i(t)

titvtp ccc Varia ao longo do tempoEm um momento pode ser Em um momento pode ser positivapositiva e em outro e em outro negativanegativa

Potência Instantânea

A energia armazenada no indutor também pode variar ao longo do tempo

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Bipolos Equivalentes - Associação de Bipolos Equivalentes - Associação de CapacitoresCapacitores

Capacitores Em Série

Em paralelo...

CnC2C1ii11 ii22 iinn++vv--

dtdv

Cndtdv

Cdtdv

Ciiii n 2121

dtdv

Ceqdtdv

CnCCi 21

CnCCCeq 21

...C1 CnC2

+ v+ v1 1 -- + v+ v2 2 -- + v+ vn n --

ii++vv--

idtCn

idtC

idtC

vvvv n

12

11

121

idt

Ceqidt

CnCCv

112

11

1

CnCCCeq1

21

111

Ceq

ii++vv-- 002010 tVtVtVtV CnCCCeq

002010 tVtVtVtV CnCCCeq Ceq

ii++vv--

ii

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Bipolos Equivalentes - Associação de Bipolos Equivalentes - Associação de IndutoresIndutores

Indutores Em Série

Em Paralelo

...LnL2L1

+ v+ v1 1 -- + v+ v2 2 -- + v+ vn n --

ii

dtdi

Lndtdi

Ldtdi

Lvvvv n 2121

dtdi

Leqdtdi

LnLLv 21

LnLLLeq 21

++vv--

...

LnL2L1ii11 ii22 iinn

++vv--

vdtLn

vdtL

vdtL

iiii n

12

11

121

vdt

Leqvdt

LnLLi

112

11

1

LnLLLeq1

21

111

Leq

ii++vv-- 002010 titititi LnLLLeq

Leq

ii++vv--

ii

002010 titititi LnLLLeq

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Equacionando Circuitos RLCEquacionando Circuitos RLC

São utilizados os mesmos métodos empregados para equacionar os circuitos resistivos Aplicação sistemática das Leis de Kirchhoff Técnicas de Redução de Circuitos

• Associações Série e Paralelo• Transformações e Explosões de Fontes• Teoremas de Thevenin e Norton

Princípio da Superposição Método das Correntes de Malha Método das Tensões de Nó

Com a adição de dispositivos com relações VxI que envolvem integral e derivada (capacitores e indutores)

Exemplo (RL) (Método das Correntes de Malha):

+

-

V1

R

LII

R I + L dIdt

– V1= 0

R1

RL V

IdtdI

IvR RdtdI

vL L

RLt

eII

0

RV1

RV1

L

Resolvendo...Resolvendo...

txdtdx

dt

xd

dt

xdn

n

nn

n

n

011

1

1 Sempre chegaremos a Sempre chegaremos a uma Equação uma Equação diferencialdiferencial

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Equacionando Circuitos RLCEquacionando Circuitos RLC

Exemplo (RL) Usando o Método das Correntes de Malha Algorítmico

+

-

V1

R

LI(t)I(t)

I(t) ( R + ??? ) = V1

L d()dt

Operador derivada “D”Operador derivada “D”

L I(t) d()dt

= L dI(t)dt

I(t)R + = V1L dI(t)dt

A notação na forma de operadores será útil em circuitos maiores quando for necessário resolver sistemas de

equações

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Propriedades dos Operadores Derivada e Integral

Produto de uma função do tempo (fontes) com o operador ou vice versa

Produto de uma constante com o operador ou vice versa

Produto entre os operadores

Equacionando Circuitos RLCEquacionando Circuitos RLC

f(t)D = df(t)

dt

K d()dt

Kd()

dt

Df(t)=

=

= f(t)

f(t) =

dt f(t)

() dt K

() dtK =

d()d()dtdt

()()dtdt

= d()dt

d()dt

d2()dt2

=D2

D = D = 1 =

1

D

() dt

() dt = () dt =

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Equacionando Circuitos RLCEquacionando Circuitos RLC

Exemplo (RL) (Método das tensões de Nó)

R2

+

-

V1

R1

L1

A

i1i2

i3

0321 iii

02RL

11RV1

A

AA V

dtVV

1R1

1V2R

11R

1L1

AA VdtV

1R1

1V1

L1

2R1

1R1

DVA

1VL1

2R1

1R1

DVDV AA

dtdV

Vdt

dVA

A 11R

1L1

2R1

1R1

1R

11V

2R1

1R1

L1

AA VdtV

0

Se V1 for independente do tempo

Multiplicando ambos os lados por D

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Equacionando Circuitos RLCEquacionando Circuitos RLC

Exemplo (RC) (Método das Tensões de Nó)

1R1

1V2R

13R

12R

11R

1BA VV

A B

R3 C1 I1

R2R1

+

-

V1

1IC1

2R1

2R1

dtd

VV BA

1I1R

11V

C12R

12R

12R

13R

12R

11R

1

B

A

V

V

D

i(t)i(t)

dt

dVti B1C Também se poderia ter simplificado o circuito a

esquerda do capacitor, eliminando o Nó A, obtendo-se um sistema de 1 equação de Nó

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Equacionando Circuitos RLCEquacionando Circuitos RLC

Exemplo (RL) (Método das Correntes de Malha)

ii11(t(t))

ii22(t(t))

ii33(t(t))

1I3 i

1V3R3R1R 21 ii

0

dtL1

dtL1R2R3

321

di

dii

L1R3 I1

R2R1

+

-

V1

dt

1IL1

dtL12R3R

21

ddii

dtd

-i

i

D1I

1L

1V

L12R3R

3R3R1R

2

1

i(t)i(t)

i(t) = ii(t) = i22(t)(t)

Também se poderia ter simplificado o circuito a esquerda do indutor, eliminando a malha 1. obtendo-se assim um sistema de 1 equação de malha

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Equacionando Circuitos RLCEquacionando Circuitos RLC Exemplo (RLC) (Método das Correntes de Malha)

C

L

R

+

-

V1 ii11(t(t))

1V

C1

R

1

dt

dLdti

1VLD1

C1

R 111 iiD

i

Derivando ambos os lados em relação ao tempo(multiplicar ambos os lados por D)

dtd

dtid

idtdi 1V

LC1

R2

12

11

01V

L1

LC1

LR

11

2

12

dt

di

dtdi

dtid

Re-arranjando e dividindo tudo por L

Equação diferencial de 2ª ordem

Se V1 for independente do tempo

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Equacionando Circuitos RLCEquacionando Circuitos RLC

Possíveis soluções para uma Equação Diferencial de 2ª Ordem Homogênea

0LC1

LR

11

2

12

idtdi

dtid

tsts eeti 22

111 AA Superamortecida

22>>0022 s1 s1 e s2s2 reais negativos

A1A1 e A2 A2 são reais e dependem de iL(t0) e vC(t0)

i(t)

t

teteti dt

dt senBcosB 211

Subamortecida22<<00

2 2 s1 s1 e s2s2 complexos conjugadosB1B1 e B2 B2 são reais e dependem de iL(t0) e vC(t0)

i(t)

t

tt eteti 211 DD Criticamente amortecida==0 0 s1 s1 = s2s2 = -- reais iguaisD1D1 e D2 D2 são reais e dependem de iL(t0) e vC(t0)

i(t)

t

dss 2;1

RC21

LC1

0

20

2 d