Eletricidade A - ENG04474 AULA VIII. Circuitos Capacitivos Capacitor carga armazenada, q, funçãoda...
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Eletricidade A - ENG04474Eletricidade A - ENG04474
AULA VIIIAULA VIII
Circuitos CapacitivosCircuitos Capacitivos
CapacitorCapacitor é um bipolo onde a carga armazenada, carga armazenada, qq, , é uma funçãofunção instantânea da tensãoda tensão.
Capacitor LinearCapacitor Linear - q=q=CCvv
CC é denominado capacitânciacapacitância e sua unidade é Farad (F)Farad (F)
A passagem de corrente de um terminal a outro do capacitor corresponde a uma variação de carga Não existe corrente atravessando o dielétricoNão existe corrente atravessando o dielétrico.
axPanel Vc-Vc+I=0
Circuitos CapacitivosCircuitos Capacitivos
Num Capacitor LinearCapacitor Linear, a função função ff((ii,,vv)=0)=0 é dada por:(convenção passiva)
Carregando um Capacitor com Fonte de CorrenteCarregando um Capacitor com Fonte de Corrente
+ v(t) -
i(t)
C 0
0
1tvdtti
Ctv
t
t
dt
tdvCti
+Vc-
C11uF
I1
100mA
010.10010.11
0
3
6 c
t
c vdttv
Se o capacitor estiver descarregado em t=0 então vc(0)=0
0010.100 3 ttvc
ttvc310.100
t
vc
1ms
100 V
0).(1I1
0 1
c
t
c vdttC
tv
Circuitos RCCircuitos RC
Carregando um Capacitor com Fonte de TensãoCarregando um Capacitor com Fonte de Tensão
+Vc-
+
-
V110V
R11k
C11uF
+Vc-
R11k
I110mA
C11uF
iicc
iirr
I1I1
tVR
tItiti rc 11
11
tR
tvRdt
tdvC c
c 1V11
11
1
Como VR1 =Vc então ir é igual a Vc/R1
11CRt-
e0V1V1 cc vtv
Se V1(t) for constanteSe V1(t) for constante igual a V1 para t>0 e em t=0 Vc=vc(0) então:
Resposta para t= (Regime PermanenteRegime Permanente)Possui Mesma Natureza da FontePossui Mesma Natureza da Fonte
Resposta TransitóriaResposta Transitória ou Natural
Depende da estrutura do circuitoDepende da estrutura do circuito
Equação Diferencial
t
vc
vc (0)
0
V1
Reg. PermReg. Trans.
iicc
Circuitos RCCircuitos RC Descarregando um CapacitorDescarregando um Capacitor
tR
tvRdt
tdvC c
c 1V11
11
1 Equação Diferencial
Se V1(t) = Se V1(t) = 00 constanteconstante para t>t0
e em t=t0 Vc=vc(t0) então:
110
CR-
0 e0 0 tt
cc tvtv
Resposta para t= (Regime PermanenteRegime Permanente)Possui Mesma Natureza da FontePossui Mesma Natureza da Fonte
Resposta TransitóriaResposta Transitória ou Natural
Depende da estrutura do circuitoDepende da estrutura do circuito
110
CR-
0 e tt
cc tvtv
t
vc
vc
(t0)
0
Reg. Perm
Reg. Trans.
t0
+Vc-
+
-
V110V
R11k
C11uF
iiccV1(t>t0)=0
Circuitos RCCircuitos RC
Carregando e Descarregando um Capacitor em um Circuito RCCarregando e Descarregando um Capacitor em um Circuito RC
Circuitos CapacitivosCircuitos Capacitivos
Potência no CapacitorPotência no Capacitor
O Capacitor Armazena Capacitor Armazena Energia ElétricaEnergia Elétrica No No instante de tempo “t”instante de tempo “t” o capacitor que encontra-se o capacitor que encontra-se carregado carregado
com “V”com “V” volts volts armazena “armazena “w”w” Joules:Joules:
titvtp ccc Varia ao longo do tempoEm um momento pode ser Em um momento pode ser positivapositiva e em outro e em outro negativanegativa
A energia armazenada no capacitor também pode variar ao longo do tempo
+ v(t) -
i(t)
C
Potência Instantânea
Circuitos IndutivosCircuitos Indutivos
IndutorIndutor é um bipolo onde o fluxo magnético concatenado, fluxo magnético concatenado, ,,é uma função função instantânea da corrente.da corrente.
Indutor Linear - Indutor Linear - =L=Lii LL é denominado indutânciaindutância e sua unidade é Henry (H)Henry (H).
I+-LIL
Circuitos IndutivosCircuitos Indutivos
Num Indutor LinearIndutor Linear, a funçãofunção ff((ii,,vv)=0)=0 é dada por:(convenção passiva)
Carregando um Indutor com Fonte de TensãoCarregando um Indutor com Fonte de Tensão
0
0
1tidttv
Lti
t
t
dttdi
Ltv
L11uH
+
-
V1100mV
iL 0
1
0 L
t
L idttvL
ti 010.100
10.11
0
3
6 L
t
L idtti
0)0(10.10010.11 3
6
ttiL
ttiL310.100
Se o indutor estiver descarregado em t=0 então iL(0)=0
t
iL
1ms
100 A
L
+ v(t) -
i(t)
Circuitos RLCircuitos RL
Carregando um Indutor com Fonte de CorrenteCarregando um Indutor com Fonte de Corrente
L11uHR1
1kI110mA
+
-
V110V
L11uH
R11k
+ vR -+ vL -
iL
tIRtVtvtv RL 11 1
tRtiRdt
tdiL L
L 1I111
Como iR1 =iL então vR
é igual a iL.R1
11 RLt-
e0I1I1 LL iti
Se I1(t) for constanteSe I1(t) for constante igual a I1 para t>0 e em t=0 iL= iL(0) então:
Resposta para t= (Regime PermanenteRegime Permanente)Possui Mesma Natureza da FontePossui Mesma Natureza da Fonte
Resposta TransitóriaResposta Transitória ou Natural
Depende da estrutura do circuitoDepende da estrutura do circuito
Equação Diferencial
iL
t
iL
iL (0)
0
I1
Reg. PermReg. Trans.
Circuitos RLCircuitos RL Descarregando um IndutorDescarregando um Indutor
L11uHR1
1k
- - vvLL ++
iiLL Equação Diferencial
Se I1(t) = Se I1(t) = 00 constanteconstante para t>t0
e em t=t0 iL= iL(t0) então:
11
0R-
0 e0 0 Ltt
LL titi
Resposta para t= (Regime PermanenteRegime Permanente)Possui Mesma Natureza da FontePossui Mesma Natureza da Fonte Resposta TransitóriaResposta Transitória ou Natural
Depende da estrutura do Depende da estrutura do
circuitocircuito
11
0RL-
0 e tt
LL titi
t
iL
iL(t0)
0
Reg. Perm
Reg. Trans.
t0
tRtiRdt
tdiL L
L 1I111 I1(t>t0)=0
Circuitos IndutivosCircuitos Indutivos
Potência no IndutorPotência no Indutor
O Indutor Armazena Indutor Armazena Energia ElétricaEnergia Elétrica No No instante de tempo “t”instante de tempo “t” o indutor que encontra-se o indutor que encontra-se carregado com carregado com
“I”“I” ampères ampères armazena “armazena “w”w” Joules:Joules:
L
+ v(t) -
i(t)
titvtp ccc Varia ao longo do tempoEm um momento pode ser Em um momento pode ser positivapositiva e em outro e em outro negativanegativa
Potência Instantânea
A energia armazenada no indutor também pode variar ao longo do tempo
Bipolos Equivalentes - Associação de Bipolos Equivalentes - Associação de CapacitoresCapacitores
Capacitores Em Série
Em paralelo...
CnC2C1ii11 ii22 iinn++vv--
dtdv
Cndtdv
Cdtdv
Ciiii n 2121
dtdv
Ceqdtdv
CnCCi 21
CnCCCeq 21
...C1 CnC2
+ v+ v1 1 -- + v+ v2 2 -- + v+ vn n --
ii++vv--
idtCn
idtC
idtC
vvvv n
12
11
121
idt
Ceqidt
CnCCv
112
11
1
CnCCCeq1
21
111
Ceq
ii++vv-- 002010 tVtVtVtV CnCCCeq
002010 tVtVtVtV CnCCCeq Ceq
ii++vv--
ii
Bipolos Equivalentes - Associação de Bipolos Equivalentes - Associação de IndutoresIndutores
Indutores Em Série
Em Paralelo
...LnL2L1
+ v+ v1 1 -- + v+ v2 2 -- + v+ vn n --
ii
dtdi
Lndtdi
Ldtdi
Lvvvv n 2121
dtdi
Leqdtdi
LnLLv 21
LnLLLeq 21
++vv--
...
LnL2L1ii11 ii22 iinn
++vv--
vdtLn
vdtL
vdtL
iiii n
12
11
121
vdt
Leqvdt
LnLLi
112
11
1
LnLLLeq1
21
111
Leq
ii++vv-- 002010 titititi LnLLLeq
Leq
ii++vv--
ii
002010 titititi LnLLLeq
Equacionando Circuitos RLCEquacionando Circuitos RLC
São utilizados os mesmos métodos empregados para equacionar os circuitos resistivos Aplicação sistemática das Leis de Kirchhoff Técnicas de Redução de Circuitos
• Associações Série e Paralelo• Transformações e Explosões de Fontes• Teoremas de Thevenin e Norton
Princípio da Superposição Método das Correntes de Malha Método das Tensões de Nó
Com a adição de dispositivos com relações VxI que envolvem integral e derivada (capacitores e indutores)
Exemplo (RL) (Método das Correntes de Malha):
+
-
V1
R
LII
R I + L dIdt
– V1= 0
R1
RL V
IdtdI
IvR RdtdI
vL L
RLt
eII
0
RV1
RV1
L
Resolvendo...Resolvendo...
txdtdx
dt
xd
dt
xdn
n
nn
n
n
011
1
1 Sempre chegaremos a Sempre chegaremos a uma Equação uma Equação diferencialdiferencial
Equacionando Circuitos RLCEquacionando Circuitos RLC
Exemplo (RL) Usando o Método das Correntes de Malha Algorítmico
+
-
V1
R
LI(t)I(t)
I(t) ( R + ??? ) = V1
L d()dt
Operador derivada “D”Operador derivada “D”
L I(t) d()dt
= L dI(t)dt
I(t)R + = V1L dI(t)dt
A notação na forma de operadores será útil em circuitos maiores quando for necessário resolver sistemas de
equações
Propriedades dos Operadores Derivada e Integral
Produto de uma função do tempo (fontes) com o operador ou vice versa
Produto de uma constante com o operador ou vice versa
Produto entre os operadores
Equacionando Circuitos RLCEquacionando Circuitos RLC
f(t)D = df(t)
dt
K d()dt
Kd()
dt
Df(t)=
=
= f(t)
f(t) =
dt f(t)
() dt K
() dtK =
d()d()dtdt
()()dtdt
= d()dt
d()dt
d2()dt2
=D2
D = D = 1 =
1
D
() dt
() dt = () dt =
Equacionando Circuitos RLCEquacionando Circuitos RLC
Exemplo (RL) (Método das tensões de Nó)
R2
+
-
V1
R1
L1
A
i1i2
i3
0321 iii
02RL
11RV1
A
AA V
dtVV
1R1
1V2R
11R
1L1
AA VdtV
1R1
1V1
L1
2R1
1R1
DVA
1VL1
2R1
1R1
DVDV AA
dtdV
Vdt
dVA
A 11R
1L1
2R1
1R1
1R
11V
2R1
1R1
L1
AA VdtV
0
Se V1 for independente do tempo
Multiplicando ambos os lados por D
Equacionando Circuitos RLCEquacionando Circuitos RLC
Exemplo (RC) (Método das Tensões de Nó)
1R1
1V2R
13R
12R
11R
1BA VV
A B
R3 C1 I1
R2R1
+
-
V1
1IC1
2R1
2R1
dtd
VV BA
1I1R
11V
C12R
12R
12R
13R
12R
11R
1
B
A
V
V
D
i(t)i(t)
dt
dVti B1C Também se poderia ter simplificado o circuito a
esquerda do capacitor, eliminando o Nó A, obtendo-se um sistema de 1 equação de Nó
Equacionando Circuitos RLCEquacionando Circuitos RLC
Exemplo (RL) (Método das Correntes de Malha)
ii11(t(t))
ii22(t(t))
ii33(t(t))
1I3 i
1V3R3R1R 21 ii
0
dtL1
dtL1R2R3
321
di
dii
L1R3 I1
R2R1
+
-
V1
dt
1IL1
dtL12R3R
21
ddii
dtd
-i
i
D1I
1L
1V
L12R3R
3R3R1R
2
1
i(t)i(t)
i(t) = ii(t) = i22(t)(t)
Também se poderia ter simplificado o circuito a esquerda do indutor, eliminando a malha 1. obtendo-se assim um sistema de 1 equação de malha
Equacionando Circuitos RLCEquacionando Circuitos RLC Exemplo (RLC) (Método das Correntes de Malha)
C
L
R
+
-
V1 ii11(t(t))
1V
C1
R
1
dt
dLdti
1VLD1
C1
R 111 iiD
i
Derivando ambos os lados em relação ao tempo(multiplicar ambos os lados por D)
dtd
dtid
idtdi 1V
LC1
R2
12
11
01V
L1
LC1
LR
11
2
12
dt
di
dtdi
dtid
Re-arranjando e dividindo tudo por L
Equação diferencial de 2ª ordem
Se V1 for independente do tempo
Equacionando Circuitos RLCEquacionando Circuitos RLC
Possíveis soluções para uma Equação Diferencial de 2ª Ordem Homogênea
0LC1
LR
11
2
12
idtdi
dtid
tsts eeti 22
111 AA Superamortecida
22>>0022 s1 s1 e s2s2 reais negativos
A1A1 e A2 A2 são reais e dependem de iL(t0) e vC(t0)
i(t)
t
teteti dt
dt senBcosB 211
Subamortecida22<<00
2 2 s1 s1 e s2s2 complexos conjugadosB1B1 e B2 B2 são reais e dependem de iL(t0) e vC(t0)
i(t)
t
tt eteti 211 DD Criticamente amortecida==0 0 s1 s1 = s2s2 = -- reais iguaisD1D1 e D2 D2 são reais e dependem de iL(t0) e vC(t0)
i(t)
t
dss 2;1
RC21
LC1
0
20
2 d