Captulo 4 LEIS DE KIRCHHOFF 4.1 Definio de N, Ramo e Malha Quando em um circuito eltrico existe mais do que uma fonte de tenso e mais do que um resistor,geralmentesonecessriasoutrasleis,almdaleideOhm,parasuaresoluo.Estasleis adicionais so as leis de Kirchhoff, as quais propiciam uma maneira geral e sistemtica de anlise de circuitos. Elas so duas, a saber: -Primeira lei de Kirchhoff ou lei das Correntes -Segunda lei de Kirchhoff ou lei das Tenses Para o uso destas leis so necessrias algumas definies: N: um ponto do circuito onde se conectam no mnimo trs elementos. Ramo: um trecho de um circuito compreendido entre dois ns consecutivos. Malha: um trecho de circuito que forma uma trajetria eletricamente fechada. Na figura 4.1, por exemplo, identifica-se: a) dois ns: B e F b) trs ramos: BAEF, BDF e BCGF c) trs malhas: ABDFEA, BCGFDB e ABCGFEA E1R3R1R4R2E4E3E2A B CG F ED Figura 4.1 Circuito eltrico com dois ns. 80 Anlise de Circuitos I 4.2 Primeira Lei de Kirchhoff ou Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK) Enunciado: "A soma algbrica das correntes em um n sempre igual a zero." 10niiI== (4.1) Por conveno, consideram-se as correntes que entram em um n como positivas e as que saem como negativas. Desta forma, a lei das correntes de Kirchhoff pode ser interpretada da seguin-te forma: "Asomadascorrentesquechegamemumnsempreigualsomadascorrentes que saem deste n." 1 1chegam saemn mi ji jI I= == (4.2) Por exemplo, no circuito mostrado na figura 4.2, ao se aplicar a lei das correntes de Kirc-hhoff aos ns B e F, obtm-se: N B: 1 2 3I I I + =N F: 3 1 2I I I = +E1R3R1R4R2E4E3E2A B CG F EDI1I2I3 Figura 4.2 Circuito para a aplicao da lei das correntes de Kirchhoff. Captulo 4 Leis de Kirchhoff81 Observa-se que as equaes dos ns B e F so na realidade as mesmas, ou seja, a aplicao da lei das correntes de Kirchhoff ao n F no aumenta a informao sobre o circuito. Assim, o n-merodeequaesindependentesquesepodeobtercomaaplicaodaleidascorrentesdeKirc-hhoff em um circuito eltrico igual ao nmero de ns menos um. 1 NE n = (4.3) onde, NE o nmero de equaes independentes obtidas com a aplicao da lei das correntes de Kirchhoff em um circuito eltrico; n o nmero de ns do circuito. 4.3 Segunda Lei de Kirchhoff ou Lei das Tenses de Kirchhoff (LTK) A lei das tenses de Kirchhoff aplicada nas malhas. Ela j foi aplicada no estudo dos cir-cuitos de resistores em srie, onde a soma das quedas de tenso nos resistores igual tenso (fem) da fonte. Enunciado: "A soma algbrica das tenses (fem e quedas de tenso) ao longo de uma malha e-ltrica igual a zero." 10niiV== (4.4) Observao:entende-seporquedadetensoatensosobreumresistor,umafontedetensoque absorve energia,... Para a aplicao da lei das tenses de Kirchhoff,faz-se necessrio adotaralgumas regras. So elas: 1.Arbitrar (convencionar) sentidos para as correntes em todos os ramos; 2.Polarizarasquedasdetensonosresistoresdeacordocomaconvenodeelementopassivoe sentido convencional de corrente eltrica. Isto equivale a colocar a polaridade positiva da queda de tenso no resistor no terminal por onde a corrente entra nele, isto , 82 Anlise de Circuitos I RI+ V 3.Para as fontes de fem, sabe-se que + E 4.Para montar a equao, percorre-se a malha somando algebricamente as tenses. O sinal da ten-so corresponde ao sinal da polaridade pela qual se ingressa no componente, independentemente do sentido da corrente eltrica. De acordo com o circuito apresentado na figura 4.3, ao se aplicar a lei das tenses de Kirc-hhoff s malhas ABDFEA e BCGFDB, no sentido horrio, obtm-se: Malha ABDFEA:1 1 2 2 2 4 1 10 R I E R I R I E + + + =Malha BCGFDB: 3 3 3 4 2 2 20 E R I E R I E + + + =Figura 4.3 Circuito para a aplicao da lei das tenses de Kirchhoff. No circuito da figura 4.3, existe ainda mais uma malha (a malha externa ABCGFEA). Nes-ta malha poderia ser aplicada tambm a lei das tenses de Kirchhoff. Entretanto, como no caso da lei das correntes, a equao resultante seria dependente das duas j obtidas. Portanto, esta equao seria intil. Supondo-seque,nocircuitodafigura4.3,fossemconhecidososvaloresdetodasasfem das fontes de tenso e todas as resistncias, restariam como incgnitas as trs correntes. Para resol-ver um sistema de equaes lineares com trs incgnitas so necessrias trs equaes. Uma equa-ojfoiobtidacomaaplicaodaleidacorrentesdeKirchhoff.Portanto,sonecessriasmais duas, que podem ser obtidas pela aplicao da lei das tenses de Kirchhoff. Emsntese,pode-seconcluirque,emumcircuitoeltricocomrramosenns,tem-ser correntes, uma em cada ramo. A lei das correntes de Kirchhoff fornece (n 1) equaes e, portanto, a lei das tenses de Kirchhoff deve fornecer (r n + 1) equaes para que o problema possa ser re-solvido. Por exemplo, no circuito da figura 4.3, tem-se r = 3, n = 2. Se r = 3, o nmero de correntes E1R3R1R4R2E4E3E2A B CG F EDI1I2I3+ +++Captulo 4 Leis de Kirchhoff83 3. O nmero de equaes fornecidas pela lei das correntes (2 1) = 1 e o nmero deequaes fornecidas pela lei das tenses (3 2 + 1) = 2, conforme discutido anteriormente. A seguir, apresenta-se um resumo para aplicao da LCK e LTK. Regras para Aplicao das Leis de Kirchhoff 1o)Identificar os ns, ramos e malhas do circuito eltrico; 2o) Atribuir para cada ramo do circuito um sentido para a corrente eltrica; 3o)Polarizarasquedasdetensonosresistoresdeacordocomosentidoadotadoparaacorrente eltrica; 4o) Polarizar as fontes de tenso; 5o) Havendo ns, aplicar a 1a Lei de Kirchhoff, obtendo-se 1 NE n = ; 6o)Seonmerodeequaesaindanoforsuficientepararesolverocircuito,aplicara2aLeide Kirchhoff, onde o nmero de equaes (NE) dado por NE = (r n + 1) ; 7o)Escolher um ponto de partida e adotar um sentido de percurso para analisar a(s) malha (s). Exemplo 4.1: Calcule o sentido e o mdulo da corrente eltrica no circuito da figura 4.4. 1 O 4,7 O 3,3 O6 V 15 V Figura 4.4 Circuito eltrico para o Exemplo 4.1. Resoluo: a) Arbitra-se (escolhe-se) um sentido para a corrente eltrica no circuito. Por exemplo, no sentido indicado na figura 4.5. b)Polarizam-se as quedas de tenso nos resistores (polaridade positiva no terminal por on-de a corrente entra) e as fem das fontes (o terminal maior o positivo). c)Percorre-se a malha, somando algebricamente as tenses (o sinal da tenso corresponde ao sinal da polaridade da tenso encontrada no componente). Estas etapas esto mostradas na figura 4.5 e na equao abaixo. 84 Anlise de Circuitos I I1 O 4,7 O 3,3 O6 V 15 V+ + + + + Figura 4.5 Esquema de soluo para o Exemplo 4.4.1. 1 4, 7 3,3 15 6 0 I I I + + + =9 9 I = 1 A I = OsinalnegativoqueapareceparaovalordacorrenteIsignificaqueosentidoescolhido para ela est invertido. Neste exemplo, o sentido correto da corrente eltrica I para baixo na figura 4.5 e no para cima como foi arbitrado no incio da resoluo. Exemplo 4.2: Calcule os valores da E2 e da resistncia eltrica do resistor R2 no circuito da figura 4.6. Sabe-se que as correntes que percorrem R1 e R2 valem, respectivamente, I1 = 8 A e I2 = 5 A. 60 V1 OI14 OI22 OE2R2 Figura 4.6 Circuito eltrico para o Exemplo 4.2. Resoluo: a) Aplicando-se a lei das tenses de Kirchhoff, tem-se duas equaes obtidas pelas malhas, pois [NE = (r n + 1) = 3-2+1 = 2] 1) Malha ACDEA: 2 2 1 14 1 60 0 R I I I + + = , como I1 = 8 A e I2 = 5 A, tem-se: 25 4 8 1 8 60 0 R + + = 25 20 R =

24R = O Captulo 4 Leis de Kirchhoff85 b) Aplicando-se a lei das correntes de Kirchhoff tem-se apenas uma equao obtida em re-lao aos ns, pois(NE = n-1) N A:

1 2 3I I I = + , como I1 = 8 A e I2 = 5 A, tem-se: 38 5 I =+ 33 A I =c) 2) Malha ABCA:

2 3 2 22 0 E I R I + =

22 3 4 5 0 E + =

214 V E =60 V1 OI14 OI22 OE2R2ABC DEI3++++ ++ Figura 4.7 Esquema de soluo para o Exemplo 4.2. Exemplo 4.3: Calcule o valor e o sentido correto das correntes em cada ramo do circuito da figura 4.8. 12 O 51 V3 O20 V2 O50 V40 V3 O Figura 4.8. Circuito eltrico para o Exemplo 4.3. 12 O 51 V3 O20 V2 O50 V40 V3 OI1I2I3+++ + A B FG DCE Figura 4.9. Esquema de soluo para o Exemplo 4.3. Arbitrando-se os sentidos das correntes nos ramos como mostrado na figura 4.9, aplicando-se a lei das correntes deKirchhoff ao nB e a lei das tenses de Kirchhoff s malhasABCDEA e BFGDCB, obtm-se: 86 Anlise de Circuitos I 1 2 32 13 3 20 Lei das correntes de Kirchhoff no n 40 3 20 50 12 0 Lei das tenses de Kirchhoff na malha 3 51 2 20 3 0 Lei das tenses de Kirchhoff na malha I I I BI I ABCDEAI I I BFGDCB+ + = + = + + = Substituindo-se os valores numricos dos resistores e das fontes de tenso e rearranjando-se as correntes (incgnitas), obtm-se o seguinte sistema de equaes lineares: 1 2 31 22 3012 3 303 5 31I I II II I+ + = = = Este sistema pode ser resolvido pelo mtodo de Cramer, como mostrado a seguir. -Clculo do determinante principal: 1 1 1 1 112 3 0 12 30 3 5 0 3A = [1 ( 3) ( 5) 1 0 0 1 12 3] [1 ( 3) 0 1 0 3 1 12 ( 5)] A = + + + + 15 0 36 [0 0 60] 111 A = + + + = -Clculo do determinante para a corrente I1: 10 1 1 0 130 3 0 30 331 3 5 31 3I A = 1[0 ( 3) ( 5) 1 0 31 1 30 3] [1 ( 3) 31 0 0 3 1 30 ( 5)] I A= + + + + 10 0 90 [ 93 0 150] 333 I A=+ + + = -Clculo do determinante para a corrente I2: 21 0 1 1 012 30 0 12 300 31 5 0 31I A = 2[1 30 ( 5) 0 0 0 1 12 31] [1 30 0 1 0 31 0 12 ( 5)] I A = + + + + 2150 0 372 [0 0 0] 222 I A = + + + =Captulo 4 Leis de Kirchhoff87 -Clculo da corrente I1: 11333111IIA= =A 13 A I = -Clculo da corrente I2: 22222111IIA= =A 22 A I = -Clculo da corrente I3: 1 2 30 I I I + + =3 1 23 2 I I I = = 35 A I = 12 O 51 V3 O20 V2 O50 V40 V3 O3 A2 A5 A Figura 4.10. Sentidos corretos para as correntes nos ramos no circuito do Exemplo 4.3. 4.4 Exerccios 1.Determine os valores das correntes desconhecidas no circuito da figura 4.11. Rta.: I1=1A; I2=18A; I3=9A. X1X2X3X4X5X610 A8 A9 AI1I2I3 Figura 4.11 X2X3X4X5X6X1+ + + + + +10 V V28 V9 V V3V1 Figura 4.12 88 Anlise de Circuitos I 2.Determine os valores das tenses desconhecidas no circuito da figura 4.12. Rta.: V1=11V; V2=2V; V3= -1V. 3.Calcule o valor da corrente I no circuito da figura 4.13.Rta.: I=0,3A. 10 O 15 O8 O8 V12 V11 O5 V6 OI Figura 4.13 30 V0,5 O40 VR31 O4 A Figura 4.14 4.Calcule o valor da resistncia do resistor R3 no circuito da figura 4.14. Rta.: R3=1. 5.Sabendo que a corrente atravs do resistor R3 no circuito da figura 4.15 vale 4 A, calcule os valo-res e os sentidos corretos das outras correntes e o valor do resistor R3. Rta.: I1=4A; I2=0; R3= 1,5. Figura 4.15Figura 4.16 6.Calcule os valores das correntes I2 e I3 e do resistor R2, no circuito da figura 4.16, sabendo que a intensidade da corrente I1 vale 0,2 A. Rta.: I2=0,8A; I3=0,6A; R2= 2,5. R31 O0,3 O0,5 O12 V10 V4 A3 V 5 V5 O5 OI1 R2I2I3Captulo 4 Leis de Kirchhoff89 7.Calcule o valor e o sentido correto das correntes nos ramos no circuito da figura 4.17. (ver pg. 85 exemplo 4.3.). Rta.: I1=3A; I2=2A; I3= 5A. Figura 4.17Figura 4.18 8. Calcule os valores das correntes I1 e I2 no circuito da figura 4.18.Rta.: I1=9A; I2=1,5A. 9. No circuito da figura 4.19, calcule o valor da corrente I.Rta.: I=3A para cima. Figura 4.19Figura 4.20 10. No circuito da figura 4.20, calcule os valores da tenso Vs e da resistncia R. Rta.: Vs=14V; R=4. 11. Determine a potncia dissipada em R1 e R2 do circuito da figura 4.21. Rta.: P1=20mW; P2=22,5mW. 12 O 51 V2 O3 O3 O20 V40 V50 V30 V 90 V25 O10 O15 OI1I2100 V 200 V20 O 25 OI60 VVs425A1OOO8AR90 Anlise de Circuitos I Figura 4.21 Figura 4.22 12. Qual deve ser o valor do resistor R para que a corrente no ramo AB da figura 4.22 seja nula?Rta.: R=26k. 20 kO10kOR1R225 V20 V5 V3V12V3VAB 3kO 1k O 6kO5k OR