UniversidadeFederaldeSantaMariaELETROMAGNETISMOpara Engenharia EletricaProf. LuizAntonioRighiwww.ufsm.br/righiELETROMAGNETISMO 2EletromagnetismoEng. EletricaUFSM/Prof. LuizAntonioRighiIndiceI Camposemmeioscondutores 3I-A Resistencia e lei de Ohm. . . . . . . . . . . . 3I-A.1 A descoberta da carga eletrica . . . . 3I-A.2 Densidades de carga . . . . . . . . . . 6I-A.3 Corrente e tensao eletrica . . . . . . . 7I-A.4 Conservacao da energia . . . . . . . . 7I-A.5 Lei de Ohm. . . . . . . . . . . . . . . 10I-A.6 Exerccios - 1asemana. . . . . . . . . 10I-B Corrente = uxo de carga nos condutores . . 11I-B.1 A notacao vetorial . . . . . . . . . . . 11I-B.2 Funcoes densidade de uxo . . . . . . 15I-B.3 Densidade de corrente eletrica . . . . . 16I-B.4 Continuidade do uxo . . . . . . . . . 16I-B.5 Exerccios - 2asemana. . . . . . . . . 17I-C Campo eletrico e diferenca de potencial . . . 18I-C.1 Potencial e seu co-vetor gradiente . . 18I-C.2 Circulacao de um vetor . . . . . . . . 19I-C.3 Forma local da Lei de Ohm. . . . . . 20I-C.4 Refracao da corrente eletrica . . . . . 20I-C.5 Exerccios - 3asemana. . . . . . . . . 21II Eletrostatica 22II-ACampo e potencial eletrostatico. . . . . . . . 22II-A.1 Importancia da eletrostatica . . . . . . 22II-A.2 Lei de Coulomb . . . . . . . . . . . . . 25II-A.3 Campo eletrostatico

E. . . . . . . . . 25II-A.4 Potencial eletricoV . . . . . . . . . . 27II-A.5 Campo conservativo . . . . . . . . . . 27II-A.6 Exerccios - 4asemana. . . . . . . . . 28II-BLei de Gauss da eletrostatica . . . . . . . . . 29II-B.1 Polarizacao . . . . . . . . . . . . . . . 29II-B.2 Inducao eletrica

D. . . . . . . . . . . 32II-B.3 Divergencia de

D. . . . . . . . . . . . 32II-B.4 Exerccios - 5asemana. . . . . . . . . 34II-CCapacitancia e dieletricos . . . . . . . . . . . 35II-C.1 Capacitancias simples . . . . . . . . . 35II-C.2 Dieletricos . . . . . . . . . . . . . . . . 36II-C.3 Permissividade eletrica . . . . . . . . 38II-C.4 Energia no capacitor . . . . . . . . . . 38II-C.5 Refracao dos campos da eletrostatica . 39II-C.6 Energia eletrostatica . . . . . . . . . . 39II-C.7 Exerccios - 6asemana. . . . . . . . . 41IIIMagnetostatica 42III-ACampo magnetico

H. . . . . . . . . . . . . . 42III-A.1 Historia do magnetismo . . . . . . . . 42III-A.2 Lei de Biot-Savart . . . . . . . . . . . 45III-A.3 Lei de Ampere . . . . . . . . . . . . . 47III-A.4 Rotacional de

H . . . . . . . . . . . . 48III-A.5 Exerccios - 7asemana. . . . . . . . . 49III-BInducao e forca magnetica. . . . . . . . . . . 50III-B.1 Magnetizacao. . . . . . . . . . . . . . 50III-B.2 Inducao e permeabilidade magnetica . 52III-B.3 Forca magnetica . . . . . . . . . . . . 53Disponvelem: www.ufsm.br/righiL.A.Righi,DESP-CT-UFSM,SantaMaria,RS,97105-900,BrasilIII-B.4 Lei de Gauss do magnetismo . . . . . 54III-B.5 Refracao magnetica . . . . . . . . . . 55III-B.6Imas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55III-B.7 Efeito Hall . . . . . . . . . . . . . . . 56III-B.8 Potencial escalar magnetico . . . . . . 57III-B.9 Exerccios - 8asemana. . . . . . . . . 59III-CCircuitos magneticos . . . . . . . . . . . . . . 60III-C.1 Relutancia magnetica . . . . . . . . . 60III-C.2 Indutancia . . . . . . . . . . . . . . . 60III-C.3 Exerccios - 9asemana. . . . . . . . . 61IVQuase-estatica 62IV-ALei de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . 62IV-A.1 Michael Faraday . . . . . . . . . . . . 62IV-A.2 Campo eletrico induzido. . . . . . . . 64IV-A.3 Princpio dos geradores . . . . . . . . 65IV-A.4 Indutancia m utua . . . . . . . . . . . 66IV-A.5 Transformador ideal . . . . . . . . . . 67IV-A.6 Exerccios - 10asemana . . . . . . . . 69IV-BCorrentes alternadas . . . . . . . . . . . . . . 70IV-B.1 CircuitoRLCserie. . . . . . . . . . . 71IV-B.2 Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . 71IV-B.3 Exerccios - 11asemana . . . . . . . . 74IV-CCorrentes induzidas . . . . . . . . . . . . . . 75IV-C.1 Campos variaveis em condutores . . . 75IV-C.2 Efeito pelicular ou efeito Skin. . . . . 76IV-C.3 R,L eCreais . . . . . . . . . . . . . 76IV-C.4 Correntes de Foucault em chapas . . . 79IV-C.5 Transformador com perdas . . . . . . 79IV-C.6 Exerccios - 12asemana . . . . . . . . 80V Camposeletromagneticosemaltafreq uencia 81V-AEquacoes de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . 81V-A.1 Cavidades ressonantes . . . . . . . . . 84V-A.2 Vetor de Poynting . . . . . . . . . . . 85V-A.3 Equacoes de Maxwell com corrente dedeslocamento . . . . . . . . . . . . . . 86V-A.4 Constante absoluta0. . . . . . . . . 88V-A.5 Exerccios - 13asemana . . . . . . . . 88V-BFormacao das ondas eletromagneticas . . . . 89V-B.1 Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . 89V-B.2 Reexao de ondas entre dois meios . . 92V-B.3 Irradiacao de ondas eletromagneticas . 93V-B.4 Exerccios - 14asemana . . . . . . . . 95V-CPropagacao das ondas eletromagneticas . . . 96V-C.1 Os meios de propagacao . . . . . . . . 96V-C.2 Reexao . . . polarizacao de EM. . . . 97V-C.3 Sistemas de transmissao . . . . . . . . 98V-C.4 Propagacao guiada por L.T. . . . . . . 100V-C.5 Casamento de impedancias . . . . . . 104V-C.6 Exerccios - 15asemana . . . . . . . . 106VIResumodeformulas,gracosetabelas 107ELETROMAGNETISMO 3I. CamposemmeioscondutoresNao conheco fato mais encorajadordo que a inquestionavel capacidade do homempara elevar a sua existenciaatraves de um esforco consciente.(Henry David Thoreau)Nestecaptulopreliminaredadaumabrevedescricaoeuma visao pratica do eletromagnetismo. Ao nal do captulo,deveremos:1. Ter condicoes de entender os problemas de eletromag-netismo, comoosqueseencontramemlivrostecnicosdeEngenharia e/ou de fsica do ensino fundamental; e,2. Ter condicoes de realizar experiencias de laboratorio, us-andoinstrumentoseletricos, easferramentasdoscalculosdiferencial, integral e numerico.A. Resistencia e lei de OhmNos podemos ter uma nocao do que e resistencia eletricaelei deOhm, masestanocaonaonosbasta. Precisamoscompreendermuitobemestefenomeno, aproveitandoparadenir nossa nomenclatura. Vamos iniciar nosso estudodessa brilhante materia do magnetismo e da eletricidade, queteve o pico de desenvolvimento nos meados do seculo XVII.A.1A descoberta da carga eletricaA humanidade ja conhecia a forca gravitacional e a forcamagnetica, quando Coulomb apresentou seus trabalhos sobreforca entre cargas eletricas. CharlesAugustusCoulomb(+1806), apresentou`aAcademiaFrancesadeCiencias, em1785, umabalancadetorcao, queconsistiadeumabarraisolante, terminada em duas esferas metalicas, suspensas porum delgado o de prata. Outra barra isolante,provida,noseuextremo, deumapequenaesferametalicacarregadaeintroduzidapeloorifciosuperior. Asesferasserepelem, oque provoca a tor cao do o de suspensao. Medindo a forcade tor cao, Coulomb estabeleceu a lei do inverso do quadradoda distancia, e proporcional ao produto das cargas.No Seculo XVIII, surgem as primeiras intuicoes dos feno-menos eletricos e magneticos. Franklin especica a nocao decarga eletrica. Cavendish dene a capacidade de um condu-tor e seu grau de eletricacao, que mais tarde sera chamadopotencial. Toda essa serie de pesquisas e o incio de um dosperodosmaisfecundosdahistoriadaciencia, perodoesseque culminara com a invencao da pilha por Alessandro Volta.E e rejeitando a teoria simplista de Galvani - defensor daeletricidade animal - que Volta estabelece a relacao entrefenomenos eletricos e qumicos.Nascido em Bolonha, a 9 de setembro de 1737, Luigi Gal-vani(1737-1798)permaneceunessacidadedurantetodasua vida, afastando-se de la uma unica vez. Orientado pelopai, o medico Domenico Galvani, Luigi ingressou na Univer-sidade de Bolonha, onde, com apenas 22 anos de idade, com-pletou o curso de medicina. Tres anos mais tarde, em 1762,ele ocupou a catedra de anatomia nessa universidade. Habilcirurgiao, Galvani realizou importantes estudos de anatomiacomparada sobre os aparelhos urinario e genital, e os orgaosdo olfato e da audicao. Datam desse perodo, que se estendeude 1762 a 1783, algumas publicacoes sobre o assunto: De Os-sibusThese(1762), DeRenibusatqueUretribusVolatilium(1767)eDeVolatiliumAure(1783). De1783emdiante,aorienta cao das pesquisas de Galvani mudou completamente:os fenomenos eletricos comecaram entao a absorve-lo.Em1786, Galvani observouacidentalmenteoquemaistardechamariadeeletricidadeanimal. Asprimeirasan-otacoes sobre essa descoberta foram publicadas somente em1791. EmsuamemoriaDeViribusElectricitatisinMotuMusculari, ele descreve sua observacao casual nos seguintestermos: Tendodissecadoepreparadoumara, coloquei-asobreumamesaondeseachava, aalgumadistancia, umamaquinaeletrostatica. Aconteceu, por acaso, queumdemeusassistentestocouapontadeseuescalpelononervointerno da coxa da ra; imediatamente os m usculos dos mem-bros foramagitados por violentas convulsoes. Galvaniacreditou ter realizado importante descoberta. Pensava,erroneamente, ter encontrado umdetector extremamentesensvel para as correntes ou descargas eletricas, cujo estudoaindaengatinhava; emseguida, admitiuahipotesedequeessedetectorpoderiarevelar-seumanovafontedeelet-ricidade. Naepocaeramconhecidossomenteoatritoeainuencia (inducao) eletrostatica.Desde logo, Galvani comecoua variar as condicoes desuas experiencias. Emumdiatempestuoso, foi levadoaacreditarqueaeletricidadeatmosfericaeracapazdepro-duzir os mesmos efeitos que sua maquina eletrostatica. Emcondicoes atmosfericas normais, porem, Galvani nada obser-vou. Esse fato mostra o carater simplista e puramente casualdas deducoes de Galvani,pois nem a maquina eletrostaticanem as condicoes atmosfericas inuam no resultado de suasexperiencias. ParaGalvani, todavia, issosignicavacerta-mente um reforco para suas conviccoes.Certodia, tendoxadoumodecobrenamedulaes-pinhal de uma ra,Galvani fechou o circuito suspendendo ooemumarededeferro; imediatamenteasconvulsoessemanifestaram. Desta vez, a experiencia poderia ter levado aconclusoescertas: haviaumcircuitoformadoportrescon-dutores- um, eletroltico, edoismetalicos. MasGalvani,perseguido pela ideia de que a ra poderia ser um detector deeletricidade, atribuiuasconvulsoesobservadas`asvariacoesdoestadoeletricodaatmosfera. E,maisumavez,Galvanialterouascondicoesdesuaexperiencia. Destavez, elede-screve:Levei o animal para um quarto fechado e coloquei-o so-breumaplacadeferro; quandotoquei aplacacomoode cobre,xado na medula da ra,vi as mesmas contracoesespasmodicas de antes. Tentei outros metais, comresul-tado mais ou menos violentos. Com os nao condutores,to-davia,nada se produziu. Isso era bastante surpreendente econduziu-me a suspeitar de que a eletricidade era inerente aoproprio animal, suspeita que foi conrmada pela observacaode que uma especie de circuito nervoso sutil (semelhante aocircuitoeletricodagarrafadeLieden)fecha-sedosnervosaos m usculos quando as contracoes se produzem.Emborapossussetodososdadosnecessariosparaelaborarateoriaeletroltica, Galvani defendeudurantetodaavidaafalsateoriadaeletricidadeanimal. Sustentoutambemacomparacao de seu aparelho (a ra) com a garrafa de Ley-den; o nervo era a armadura interna e o m usculo a armaduraexterna.Adescoberta de Galvani entusiasmou os cientistas daepoca, principalmente Alessandro Volta. Este repetiu, em1792, asexperienciasdeGalvani, tendoaceitoinicialmentea hipotese da eletricidade animal. Em 1793, todavia, ele re-jeitou radicalmente tal teoria, provando que os m usculos dara nao se contraem se a placa e o o forem constitudos deummesmometal. Iniciou-seentaoumapolemicacalorosaentreGalvani eVolta. Galvani chegouademonstrar queELETROMAGNETISMO 4as convulsoes podiam ser obtidas mesmo sem a intervencaodequalquerarcometalico. Volta, noentanto, considerouesse fenomeno como uma simples decorrencia de um estmulomecanicoerebateuahipotesedomedicodeBolonha, ex-pondo o princpio dos tres condutores - um eletroltico e doismetalicos. Eram esses os unicos elementos necessarios paraoriginar o uido eletrico (como era chamada na epoca a cor-renteeletrica). Em1800, Voltaconstruiuaprimeirapilhaeletrica, hoje chamada pilha galvanica ou voltaica.Ao mesmo tempo que realizava seus estudos sobrea qumica dos gases, Henry Cavendish (1731-1810)dedicava-se a muitos outros assuntos: magnetismo ter-restre, Eletricidade, Dinamica, Astronomia, Meteorologia,Matematica. CavendisheumexemplodoquesechamavaFilosofo Natural no seculo XVIII homens que se ocu-pavamcomos assuntos que mais lhes interessavam, nosvariosdomniosdoconhecimento. Emseuprimeiroartigosobre Eletricidade,publicado em 1771,Cavendish estabele-ceu claramente, e pela primeira vez, a diferenca entre carga(ou quantidade de eletricidade armazenada em um corpo) etensao (ou forca com que esta eletricidade tende a deslocar-se). Seumamesmaquantidadedeeletricidadeecolocadaemdoiscorpossemelhantes,masdevolumesdiferentes,nomenordelesatensaoeletricaseramaiordoquenooutro.Damesmaforma, seemdoiscorpossemelhantesatensaoeletricaforigual, omaiordelesconteramaiseletricidade.Quando dois corpos eletrizados sao unidos por um condutor,eles acabam cando com a mesma tensao eletrica, qualquerque seja o ponto ou a forma pela qual se faz a uniao:as cargassedistribuiraonelesconformesuasrespectivascapacidadeseletricas.Alemdeestabeleceressasocorrenciasedesenvolverumtratamentomatematicoadequadoaosfenomenoseletricos,Cavendishtambemfoi o primeiro a medir experimental-menteas capacidades eletricas decorpos dediversos ma-teriais, formasetamanhos. Mostrouque, paracorposdeformas iguais, a capacidade e proporcional ao comprimentodo objeto: se dois corpos semelhantes sao unidos por um o,acargaquecadaumarmazenaraseraproporcional aoseutamanho. Mediu igualmente a diferenca de capacidade entrecondutores de formas diferentes e observou que, nesse caso,omaterial queosconstitui naoinui emnada. Tambemprovou que a carga eletrica se distribui apenas na superfcieexternadoscorposmetalicos, naohavendoeletricidadeal-gumanasuperfcieinternadeumaesferaoca- por maisnas que sejam suas paredes e por maior que seja seu graudeeletriza cao. Apartirdessaobservacao, constatouqueaforca com que as partculas de eletricidade se repelem devediminuir em proporcao ao quadrado da distancia que as sep-ara.Essa foi a primeira determinacao precisa da lei das forcasentrecargaseletricas. Noentanto, comoofrancesCharlesCoulombpublicouantes deCavendishoresultadodeex-periencias emque chegava `as mesmas conclusoes, a eleatribui-se a determinacao dessa lei.Outro importante trabalho do cientista ingles nesse campofoi arealiza caodaprimeiracomparacaoexperimental dafacilidade de varias substancias emconduzir eletricidade.Nessa investigacao, ele fez varias descargas eletricas, demesma intensidade e forca, atravessaremtubos contendosubstancias diferentes. Recebendo os choques causados poressas descargas, foi modicando o comprimento ocupado porcada substancia dentro do tubo,ate receber choques iguaisdetodaselas. Concluiu-se,entao,quesuasresistenciasde-veriamser iguais mas que, naquele momento, omaterialque conseguisse proporcionar um mesmo choque atraves deuma maior quantidade de materia seria, proporcionalmente,omelhor condutor. Os resultados obtidos por Cavendishnessasexperienciassaoincrivelmenteprecisos. Eleseadi-antava alguns decenios em relacao a Ohm, a quem se atribuicomumente a descoberta de que a rapidez com que a eletrici-dade atravessa um condutor e proporcional `a tensao eletricaqueaimpulsiona. Alemdisso, emseuestudosobreotor-pedo, Cavendishprovouquequandovarioscondutoressaoligados, ao mesmo tempo, a um corpo eletrizado, a descarganao passa apenas pelo que apresenta menor resistencia, masse distribui entre os varios condutores;entretanto,a fracaoque passa em cada um deles e tanto maior quanto menor forsua resistencia.De todas as experiencias realizadas por Cavendish, no en-tanto, aquelhetrouxemaiorfamafoi adeterminacaodadensidade da Terra.**A estrutura da materiaDurante muitos seculos, a humanidade interrogou-se sobreaestruturadamateria. Apossibilidadequeaeletricidadenao consista de um uniforme e contnuo uido provavelmenteocorreuamuitoscientistas. MesmoFranklin, umavez, es-creveu que o uido consiste de partculas extremamentesutis.Todavia, uma grande quantidade de evidencias tinham seacumuladoantes daeletricidadeser aceitacomoformadapor min usculas partculas, quantidades discretas, e nao maiscomoumuido, quandovistamicroscopicamente. JamesClerkMaxwell seopos`ateoriacorpuscular. Porvoltadom do seculo XIX, entretanto, o trabalho de Sir Joseph JohnThompson(1856-1940) eoutros provaramaexistenciadoeletron.Thompson tinha medido a proporcao da carga do eletronpara a sua massa. Entao em 1899 ele deduziu um valor para acarga eletronica pela observacao do comportamento de umanuvem de min usculas partculas de agua carregadas em umcampoeletrico. EssaobservacaoconduziuaoExperimentoda Gota deOleo de Millikan.Robert Millikan, um sicista da Universidade de Chicago,com a assistencia de um estudante Harvey Fletcher, procu-raram medir a carga de um unico eletron, um objetivo am-bicioso em 1906. Uma min uscula gotinha com um pequenoexcesso de eletrons foi formada forcando o lquido atraves deum dispositivo especial. A gota foi entao, em verdade, sus-pendida, com um campo eletrico atraindo para cima e a forcagravitacional puxando para baixo. Para a determinacao damassa da gota de oleo e do valor do campo eletrico, a carganagotafoi calculada. Oresultado: acargadoeletrone enegativa e tem como modulo o valore = 1, 6021917 1019Coulomb.Millikan tambem determinou que as cargas sempre apare-cem com um valor de mais ou menos e, em outras palavras, acarga e quantizada. Outras partculas elementares descober-tasdepoistiveramtambemsuascargasdeterminadasefoipossvelnotarqueseguiamestamesmacaracterstica. Porexemplo, oPositron, descobertoem1932por Carl DavidAnderson do Instituto de Tecnologia da California, e exata-mente a mesma do eletron, exceto que esta e positiva.**Os atomosA maior parte da materia, em geral, e neutra. A tendenciae que para cada proton (carga positiva) no atomo, para esteELETROMAGNETISMO 5ser eletricamente neutro, deve existir um eletron (carga neg-ativa), e a soma das cargas deve ser nula. Em 1911, ErnestRutherfordproposummodeloparaoatomo. Elesugeriuque os eletrons orbitavamumn ucleocarregado, comumdiametro de 1014metros, da mesma forma que os planetasorbitavamoSol. Rutherfordtambemsugeriuqueon ucleoera formado por protons, sendo que cada um teria uma cargade +e.Essa visao da materia, ainda considerada correta emmuitos casos, estabilizouaforcaeletricaquemantemumatomo unido. Depois que Rutherford apresentou seu modeloatomico, osicistadinamarquesNielsBohrproposqueoseletronsocupamapenascertasorbitasemtornodon ucleo,e que outras orbitas sao impossveis.Hojesabemos queamateriaeconstitudapor atomos.Existem mais de cem tipos de atomos diferentes na naturezaouproduzidosemlaboratoriopelos cientistas. Cadatipodeatomoconstitui oquesechamadeElementoQumico.Ooxigenioeumelemento, oclorotambem, assimcomoohidrogenio.Sepudessemosverumatomo, constataramosqueeleeformado por um n ucleo e varias partculas girando ao redordele: os eletrons. De certa maneira, lembra o nosso sistemasolar, com o sol no centro e os planetas girando em sua volta.Sebemqueessasemelhancasejaapenas formal, permitecompreendermos como se forma a eletricidade.Os cientistas observaram que as forcas atomicas de atracaoentre o n ucleo e os eletrons sao distintas das forcas gravita-cionais, presentes no sistema solar. Elas foram denominadasde for cas eletricas, e associadas a cargas eletricas. Por con-vencao,os eletrons foram denominados de carga negativa eo n ucleo de carga positiva. Assim, os eletrons sao pequenaspartculas, dotadasdecarganegativa, quegiramemtornodon ucleo, queeformadoporprotons, comcargaeletricapositiva, e neutrons, com carga eletrica neutra.Podemosconcluir, deimediato, umacoisamuitoimpor-tante: paraqueoatomoestejaemequilbrio, istoe, sejaneutro, a carga positiva deve ser igual `a carga negativa. Re-sulta que o n umero de protons que estao no n ucleo e igual aon umero de eletrons que giram ao redor. Existem atomos quetem 1 proton e 1 eletron (hidrogenio), atomos que possuem13 protons e 13 eletrons (alumnio), e assim por diante.Os cientistas ja comprovaram que o neutron e muito maispesadoqueoeletron(pesa1836vezesmais). Attulodecomparacao, podemos imaginar oatomodeferrocom26eletrons. Se cada eletron fosse do tamanho de uma bola degude, o n ucleo do atomo de ferro pesaria tanto quanto umalocomotiva de 10 toneladas. Pode-se perceber que, pratica-mente toda a massa do atomo esta no seu n ucleo.Entretanto, a comparacao que acabamos de fazer nao podeser feita em termos de carga eletrica. Os cientistas denomi-naram for ca eletrostatica a atracao entre eletrons (carga neg-ativa)eprotons(cargapositiva). Comooprotonemuitomaispesado, elequasenaosai dolugar; eoeletroncam-inha ao seu encontro.TABELAIPrincipaiselementosconstituintesdos atomosPartcula Smbolo Cargae MassameMomentoEletron e -1,0 1 1/2Proton p +1,0 1836,15 1/2Neutron n 0,0 1838,68 1/2Quandoseestudaeletricidade, saooseletronsquemaisinteressam. On ucleonaotemmuitaimportancia. Mesmoassim, naosaotodos os eletrons que interessam. Haal-guns eletrons queestaofortementepresos aon ucleo: saoos eletrons que estao proximos a ele. Porem, outros eletrons,que giram mais afastados de um atomo e pulam de um paraoutroatomovizinho. Saochamados,porisso,deeletronslivres. Estes eletronsequeinteressamparaos circuitoseletricos. Quandooseletronslivrespassamdeumatomopara o outro, temos uma corrente de eletrons.E a propriacorrenteeletrica dos circuitos e dos condutores.**Eletrolise da aguaVamosresumirumareacaoqumicamuitoconhecida: aeletrolise. A Eletrolise acontece quando se poem dois eletro-dos(umpositivoeumnegativo)dentrodorecipientecomaguaefaz-sepassarumacorrenteeletricaentreeles. A,como eles se polarizam, eles acabam atraindo O2 para um doseletrodos (o positivo - dado que o on oxigenio e negativo: O-) e H2 (porque o on hidrogenio e positivo: H+) para o outro(oeletrodonegativo). Pelapassagemdacorrenteeletricanuma solucao aquosa de Na2SO4ha decomposicao da agua,dandohidrogenionocatodo(polonegativo)eoxigenionoanodo (polo positivo). O volume do hidrogenio produzido eo dobro do volume de oxigenio. Dessa forma, pode-se separaro hidrogenio do oxigenio.Aeletroliseeoprocessopeloqual umacorrenteeletricacontnua(comoaquelaque provemde pilhas e baterias),passaentre dois eletrodos xados emumrecipiente, quecontemomaterial adissociar. Emseupercursoaeletrici-dade provoca a quebra das ligacoes qumicas das moleculas,liberandoassimseus atomos constituintes. Atualmenteaeletrolisedaaguaeoprincipal processoindustrial paraaobtencao de oxigenio!Michael Faraday(1791-1867) foi oresponsavel pelain-troducao no Conselho de Whewell (1833) de uma nova ter-minologia na qumica, que e empregada ate hoje, comoeletrolise, ons, anion, anodo, cation, catodo, etc. Formulouasleisdaeletrolise(1834)e, porisso, denominou-sefara-day a quantidade de eletricidade necessaria para libertar umequivalente-grama de qualquer substancia. Deniu correnteeletrica como resultado da vibracao provocada pelas rapidasalternanciasdetensaonasmoleculasdosbonscondutores(1838).Aprimeiraevidenciaexperimental sobreaestruturadoatomo foi vericada pelo fsico e qumico ingles Michel Fara-day(1791-1867)aodescobrirofenomenodaeletrolise, istoe, a acao qumica da eletricidade. Em sua experiencia, Fara-dayobservouqueapassagemdacorrenteeletricaatravesdesolucoesqumicas, por exemplonitratodeprata, faziacom que os metais de tais solucoes se depositassem nas bar-ras metalicas (eletrodos: catodo e anodo) introduzidas nes-sassolucoes. Essaevidenciasobreaestruturaatomicafoicorroboradacomateoriaionicadesenvolvidapeloqumicosueco Svante August Arrhenius (1859-1903), segundo a qualosons que constituam a corrente eletrica atraves da solucao,no fenomeno da eletrolise, nada mais eram que atomos car-regados de eletricidade.Exemplo I.1: ConsiderandoquenumpedacodeferroFe,cadaatomopossuaumeletronlivre. Sedesejarmosteracargaacumuladade-1Cnestepedacodeferro, qual asuamassa?ELETROMAGNETISMO 6Solucao: O n umero de atomos seranatom =1 C1, 60 1019C= 0, 625 1019Sabemos que a massa atomica do Ferro de e 55,84 (ver tabelaperiodica). Assim, em 55,84g temos o n umero de Avogadro6, 023 1023atomos.Assim, fazemos a regra de tres:6, 023 1023atomos 55, 84 g0, 625 1019atomos x gque resultax =0, 625 101955, 846, 023 1023= 5, 794 104gramasEstapequenamassateraaincrvel cargade1Coulomb.Vericaremos, que as cargas se distribuem numa pelcula. Exemplo I.2: Quandoumacumuladorchumbo-acido, co-mumembaterias de automoveis, fornece uma correnteeletrica, ocorre uma reacao qumica representada por:Pb(s) + PbO2(s) + 4H(aq) + 2SO24(aq)2PbSO4(s) + 2H2O(l)Sabendo-se que a massa molar do chumbo e 207 g/mol, e aconstantedeFaradaye96500C/mol (igual aon umerodeavogadro vezes a carga do eletron), determinar:(a) Quais as variacoes do n umero de oxidacao do chumbonesta rea cao?(b) Quantas gramas de chumbo metalico seriam consumi-dos numa carga de 50 Ah?Solucao:(a) O n umero de oxidacao do chumbo Pb varia dezero, no Pb(s), ate +2, no PbSO4(s), e portanto a variacaoeiguala2. On umerodeoxidacaodoPbvariade+4, noPbO2(s), ate+2, noPbSO4(s), eportantoavariacaodoNOX e igual a 2.(b) Como 1Ah = 3600C, temos que 50Ah = 1,8E+5 C. Ecomo 96500 C equivalem a 1 mol de eletrons, em 1Ah temosx =1, 8 105C 1 mol96500 C= 1, 87 mol de eA oxidacao do Pb pode ser representada porPb Pb2++ 2eentao, para 1 mol de Pb oxidado sao necessarios 2e. Para1,87 mol de eletrons sao necessarios 0,93 mol de Pb. Assima massa de chumbo sera:m = 0, 93 mol 207, 2 g/mol = 193 g. A.2Densidades de cargaAscargaspodemserpuntiformes(discretas), oucont-nuas, que sao distribuicoes reais de carga, visto que as cargaspuntiformessaoapenasumartifciodidatico. Comoessasdistribuicoespossuemumn umeroinnito decargaspun-tiformes, fazemos usodocalculointegral paracalcular asforcas e campos.Quandotrabalhamoscomdistribuicoesdecargas,econ-venienterepresentarascargasemtermosdedensidadesdecarga. Para uma superfcie de uma esfera, geralmente, usa-sea densidade de carga supercial.** Densidade de cargaVConsidereumacargaQigualmentedistribudanumvol-umeV . AdensidadevolumetricanointeriordestevolumevaleV=QVQuandoadistribuicaonaoeuniforme, podemosdividirovolumeinnitesimalmente, aplicandoolimite, ecalcularadensidade de carga por meio de funcoes puntuais. = limV 0QV** Densidade supercial SConsidereumelementodesuperfciedeareaAdeumcondutor, noqual se localizaacargaQ. Adensidadeeletrica supercial media eS,med =QAA densidade eletrica supercial num pontoP:S = limA0QANumcondutoresfericoderaioR, isoladoeeletrizadocomcarga Q, esta, por questoes de simetria, distribui-se uni-formemente pela superfcie. Neste caso,S =Q4R2onde 4R2e a area da superfcie esferica.Exemplo I.3: Carga total de um o - Um o retilneo, com3 m de comprimento, esta situado sobre a reta x = 2 e y = 3,desde z1=0ate z2=3m. Adensidadedecargalinearz = 4zC/m. Qual a carga do o?Solucao: Q = _z2z1zdzQ =_304, 0E 6 zdz = 18 C. Exemplo I.4: Carga total de um disco - Um disco de raioR, centrado na origem, esta situado sobre no planox y, epossui densidade de carga supercials =r2C/m2. Quala carga total do disco?Solucao: Q = _ _sdsQ = 4_y2=0y1=R_x2=R2y2x1=0(x2+y2) dx dyQ = 4_y2=0y1=R_(R2y2)3/23+y2(R2y2)1/2_dyQ =R42C.Lembrete: Sempre que voce encontrar uma expressao en-volvendo x2+y2no integrando, precisa considerar a possibil-idade de converter para coordenadas polares. Vejamos comocaria a solucao deste exemplo:dS = r d drQ =_r2=Rr1=0_2=21=0r2r d dr =R42C. ELETROMAGNETISMO 7Exemplo I.5: Cargadeumagurabidimensional - Cal-cularacargacompreendidanasuperfciedelimitadapelascurvasy=x/2ey= x, desdex = 2ax = 4, quandoacarga supercials = xyC/m2.Solucao: Vamos encontrar inicialmente adensidade decarga linear para cada valor dex, que denominaremosq(x).Assim:q(x) =_xx/2xydy =x22x38C/mAgora, podemos calcular a carga total, fazendo a integral emx.Q =_x2x1q(x) dx =_42(x22x38 ) dx =116C. Fig.1Exemplodec alculodaintegraldupla.A.3Corrente e tensao eletricaDiz-seexistirumacorrenteeletricasemprequehouverodeslocamento ordenado de cargas eletricas dentro de um con-dutor, deslocamento este que se da em determinado sentido.Os atomos da materia contem eletrons livres, capazes de sedeslocaremordenadamentedeumatomoparaoseguinte,formando uma corrente eletrica.Aunidade de correntee oAmpere. Aintensidade decorrentede1Ampere, ouA,eaquantidadedecargade1Coulombquepassanasecaodeumoduranteointer-valodetempode1segundo. Assim: 1Ampere eiguala1Coulomb/s.Acorrenteeletrica emedidacomumampermetro, cujofuncionamento se baseia nos efeitos desta corrente (analogi-cos) ou por queda de tensao num resistor derivacao (digitais).Atualmente, um moderno ampermetro pode detectar cor-rentes muitos baixas daordemde 1017amperes, queeapenas 63eletrons por segundo. Acorrente emumim-pulso nervoso e aproximadamente de 1/100.000 amperes, umrelampagoatingeumacorrentede20.000amperes, eumabomba nuclear chega a 10.000.000 de amperes com 115V.Oampermetroeligadoemseriecomocircuito. Acorrente eletrica, ou os eletrons, passam pelo instrumento -entramnoterminal comumesaemnoterminal correspon-dente ao maximo valor que podera passar pelo instrumento(nal de escala).Na maioria dos casos praticos, os eletrons sao os re-sponsaveis pela existencia da corrente eletrica. No entanto,existemsituacoesemqueaconducaosedaatravesde onspositivos, como no caso de solucoes eletrolticas; em disposi-tivos semicondutores os portadores de corrente tanto podemser cargas negativas quanto positivas.Amde evitar confusoes sobre qual tipode cargasemovimenta em determinado condutor, convencionou-se (porrazoeshistoricas)queascargaspositivassaoasportadorasde corrente, indicado por uma pequena seta ao lado do con-dutor.Alemdosentido, acorrenteecaracterizadaporsuain-tensidade ou modulo, dado pela razao entre a variacao daquantidadedecargaqquepassaporumasecaoretadocondutor durante o intervalo de tempo t, isto ei =qtSeavariacaodecargaquepassapelasecaodurante1se-gundoforigual a1Coulomb, diz-sequeomodulodacor-rente e de 1 Ampere (smbolo A). Muito comum sao algumassubunidades de Ampere, como1 miliampere (1mA)=0,001 A=103A1 microampere (1 A)=0,000001 A=106A1 kiloampere (1kA)=1000 A=103AJa vimos como ocorre a corrente eletrica nos circuitos con-dutores. Os eletrons que estao fracamente presos ao n ucleoou ao atomo podem escapar e saltar para um atomo vizinho(dadireita, porexemplo), liberandoespacoparaumoutroeletron que vem de outro atomo vizinho (da esquerda). Emconseq uencia disso, temos possibilidade de obter um n umeromuitograndedeeletronscaminhando. Oseletronslivressaltam de um atomo para outro atomo e podem continuar oseu movimento para mais outro atomo, formando a correnteeletrica.Porem, surgem duas perguntas: O que faz os eletrons an-darem? Edeondevemeparaondevaoos eletrons nasextremidades dos condutores oudos circuitos? Nasecaoseguinte, vamos tratar um pouco sobre esta forca.Antes de mais nada, lembremo-nos da lei de Lavoisier: Nanaturezanadaseperde, nadasecria, tudosetransforma.E assim tambem acontece com os eletrons. Os eletrons naosaemenaoretornamaonada. Elestemumaorigemeumdestino: ogerador. Os geradores naosaomaquinas deeletrons,mas apenas trocadores de eletrons com o circuito.Impulsionam eletrons num terminal e retiram no outro.A tensao eletrica e universalmente medida em Volts e rep-resentada pelo smbolo V.A.4Conservacao da energiaOlhandode realce amaneiracomoohomeme amul-hertemaprendidoamelhorarsuasrelacoescomomundo,ressaltam duas facetas relevantes: a diversicacao das fontesde energia - a partir da Revolucao Agrcola - e a intensicacaoda utilizacao da energia - a partir da Revolucao Industrial.Logonossurgemquestoescomo: Oqueeenergia? Qualaprimeiralei danatureza? Aenergiaseconserva? Con-siderando a energia solar incidente, a energia acumulada noplaneta terra aumenta ou diminui ao longo dos anos?Vamosretornar`alei deLavoisier: Nanaturezanadaseperde, nada se cria, tudo se transforma. Esta e a lei basicadetodoeEletromagnetismo.Umsistemaeletromagneticoedenidocomoumaquan-tidade de potenciais, cargas e materiais, sobre a qual nossaatencao edirigidaparaoestudo. Tudooque eexternoaosistema e chamado de fronteiras do sistema. Como veremosposteriormente, algumas condicoes podem ser impostas nasfronteiras, tais como os potenciais ou o uxo de energia. Umsistemaisoladoeaquelequenaoeinuenciado, deformaELETROMAGNETISMO 8alguma pelo meio. Isso signica, nesse caso, que calor e tra-balho nao cruzam a fronteira do sistema.Uma investigacao sobre o comportamento de um sistema,pode ser vista do aspecto eletromagnetico de duas formas:a) do ponto de vista local ou microscopico - consiste emconheceroscamposeasforcas(oupotenciais)emtodoosistema de estudo, utilizando geralmente metodos numericose computadores.b) usando componentes discretos e as tecnicas de circuitoseletricos - reduz o n umero de variaveis e permite uma com-preensaodas entradas e sadas de cadaelemento. Nesteaspecto, nospreocupamoscomosefeitostotaisoumediosdemuitaspartculas. Alemdisso, essesefeitospodemserpercebidos por nossos sentidos e medidos por instrumentos.Por exemplo, quando medimos a intensidade de corrente deumcondutor, medimosnarealidadeaquantidadetotal deeletrons que passam por um condutor.Otrabalho We denido como uma forca

F agindoatraves de um deslocamento innitesimal dx,onde o deslo-camento e aplicado na direcao da forca.W=_21

F dx (1)Esta e uma rela cao muito util, porque permite-nos deter-minarotrabalhonecessarioparalevantarumpeso, esticarumo, oumoverumapartculacarregadaatravesdeumcampo eletromagnetico.Entretanto, tendoemvistaofatodelidarmoscomsis-temas, denimos trabalho como:o trabalho e positivo quandoum sistema movimenta um peso ou cede energia. Em geral,falamos do trabalho como uma forma de energia. Mas anal,o que e energia?Umoutro conceito a que importa fazer referenciae apotencia, quemedearapidezcomqueaenergiaetrans-ferida entre sistemas. A potencia e uma grandeza que medea velocidade com que um esforco e realizado. Por exemplo,quandoummotor eusadoparaelevarumacarga, elereal-izaumtrabalhocontaaacaodagravidade, equantomaisrapidosubirestacarga, maiorseraapotenciadesprendidapelo motor. As equacoes da potencia sao:P=Wt= Fv = CondeWe o trabalho realizado em Joules,t e o intervalo detempoemsegundos, FaforcaemNewton, vavelocidadeemm/s, CoconjugadoemNm, eavelocidadeangularem rad/s.Quandosetratadapotenciaemumcircuitoeletrico, aequa cao da potencia mecanica pode ser escrita comop = viA unidade de potencia e o Watt (smbolo W), sendo tambemusados m ultiplos e subm ultiplos. Saotambemusadas asseguintes unidades de potencia:Cavalo-vapor (cv) = 736 WHorse-power (hp) = 745,7 WA potencia pode assumir valores positivos e negativos. Nossistemas eletricos, e melhor dizendo, eletromagneticos, exis-tem elementos que fornecem potencia e outros que absorvempotencia. Apotenciaabsorvidaepositivaenquantoqueapotencia fornecida e negativa. Para que se saiba o sinal dapotencia associada a um elemento, basta observar a correntee a tensao no mesmo. Se,por exemplo,a potencia de umaresistencia(verresistenciaeletrica)fornegativa, asolucaodo sistema esta errada.Umalampadaincandescente, porexemplo, ligadaaumarede eletrica absorve potencia e converte em luz (efeito dese-jado) e calor (perda). O rendimento, simbolizado pela letragrega, e uma grandeza adimensional que mede a ecienciade um elemento ou sistema. O rendimento percentual e dadopela relacao entre a potencia de sada (luz da lampada) pelapotenciadeentrada(potenciaeletricaabsorvidadarede),entao(%) =PSPE100Exemplo I.6: Ummotordecorrentecontnuade10CVsolicita uma corrente de 40 A quando operado `a plena cargaligado a uma rede de 220 V em corrente contnua (CC). De-terminar: (a) o rendimento deste motor; (b) qual a potenciaperdida.Solucao:(a) Com o motor operando a plena carga (potencia nom-inal), a potencia na sada (no eixo do motor) e PS=10 736=7360W. Apotencianaentrada(fornecidapelarede) e PE = 22040 = 8800W. O rendimento e = 83, 64%.(b) As perdas nomotor sao: PPERDA=PE PS=1140W. Em sistemas de corrente alternada,existem tres tipos depotencia:a) Potenciaaparente, emVAoukVA- correspondeaoproduto da tensaoVpela correnteA.b)Potenciaativa, emWoukW- potenciaquerealizatrabalho ou e transformada em calor.c) Potencia reativa, em VAr ou kVAr - potencia do capac-itorouindutor, queearmazenadaedevolvidaaocircuitoeletrico durante um mesmo perodo de tempo.A energia de um sistema pode ser vista de varias formas:- a energia liberada ou absorvida durante um intervalo detempo;- o trabalho exercido ou recebido;- a capacidade de realizar, ou a necessidade de receber umtrabalho.Se a potencia associada a um elemento ep, a energia as-sociada ao mesmo intervalo de tempo t =t2 t1e dadaporW=_t2t1p dtAunidadedeenergianosistemaMKSeoJoule(smboloJ). Emmuitos casos, costuma-se exprimir a energia emquilowatt-hora (kWh), sendo1kWh = 1000W3600s = 3 600 000 Ws = 3, 6 106JVamos ilustrar a denicao de trabalho com alguns exem-plos. Consideremos como um sistema a bateria e um motor,que movimenta um peso, atraves de uma polia. Atraves daequacao (1), verica-se que ha um uxo de trabalho do mo-tor para a polia. Entao, podemos dizer que, quando ha umuxo de eletricidade atraves de um sistema (os que ligam abateria ao motor) ha um uxo de trabalho.A unidade de trabalho, no Sistema Internacional, e o Joule,onde1 Joule = 1 N mOutra denicao importante e a de calor.E denido comosendoaformadeenergiatransferida, atravesdafronteiraELETROMAGNETISMO 9de um sistema numa dada temperatura, a um outro sistemaou meio, numa temperatura inferior. Isto e, o calor e trans-ferido, e um corpo nunca contem calor. Ou melhor, o calorpode ser identicado somente quando atravessa a fronteira,e e um fenomeno transitorio.Tanto o calor como o trabalho sao formas de transferenciadeenergiapara oudeumsistema. NoSistemaInterna-cional, a unidade de calor tambem e o Joule.Mas, oque eenergia? Esta eumaperguntaquefascinaqualquerum, dequalqueridade. Aenergiaestaemtantascoisas presente, como nos alimentos , nas maquinas em geral,noSol, numlivronaestante, emnosmesmos, quetentarresponder a uma questao destas e no mnimo corajosa.A energia total de um sistema pode estar presente numamultiplicidadedeformas, tais comoaenergiacineticaoua energia potencial emrelacao a umsistema de coorde-nadas. Aenergiapodeestarassociadacomomovimentodasmoleculas, oucomaestruturadoatomo. Podeestarassociada com a energia qumica de uma bateria ou de umaceluladecombustvel. Masestamosparticularmenteinter-essados na energia presente num capacitor carregado, e numma. Assim, pode-se escrever:Energia interna - o smbolo Udesigna a energia interna deuma dada massa de uma substancia. Normalmente, a energiainterna esta associada com a temperatura e a pressao.Exemplo I.7: Durante a operacao de descarga de uma ba-teria, acorrente eletricafoi de 50Ae atensao11,5V.Sabendoqueataxadetransferenciadecalorede30W,qual e a taxa de diminuicao da energia interna da bateria?Solucao: Como as variacoes de energia potencial e cineticanao sao signicativas, a equacao do equilbrio energetico dabateria e:Q =dUdt+WondeW= 50 11, 5 = 575W. PortantodUdt= 30 575 = 605 W. Aenergiadosistemapodevariarporqualquerumadasmaneiras anteriores, assumindo qualquer uma destas formas.Conclui-se esta secao lembrando que ha dois modos pelosquais a energia pode cruzar a fronteira de um sistema: tra-balho ou calor. O conceito de energia e a lei de conservacaoda energia e o ponto de partida do eletromagnetismo.Ainda nao sabemos o que e energia eletromagnetica. Mas,nao sabemos por ser a eletricidade e o magnetismo uma coisaestranha. A unicacoisadequetemoscertezaequeaNa-tureza nos permite observar e uma realidade, ou se prefere,uma Lei chamada Conservacao da Energia. Esta lei diz queexiste algo, uma quantidade que chamamos energia, que semodicaemforma, masqueacadamomentoqueamedi-moselasempreapresentaomesmoresultadonumerico.Eincrvel quealgoassimaconteca. Naverdadeemuitoab-strato e matematico.O conceito de energia e difcil de denir, podendo ser ap-resentado, como fez Max Planck, em termos da capacidadequeumsistematemdeoriginarefeitosexternos. Aener-gia pode encontrar-se armazenada num sistema ou estar emtransicaoentredoissistemasouentreumsistemaeasuavizinhanca.A energia armazenada num sistema pode apresentar-se sobdiferentes formas:1. Energia cinetica (de translacao, de rotacao ou de vi-bracao):capacidade que um sistema tem de produzir efeitosexternos por estar em movimento.2. Energiapotencial (gravitacional, elastica, eletrica, mag-netica, eletromagnetica, qumica, nuclear, . . . ): capacidadequeumsistematemdeproduzirefeitosexternos emvir-tudedasuaposicao, conguracao, composicaoouestado.Desde que um corpo se encontre num campo de forcas, pos-sui energia potencial.3. Energia interna: energia cinetica das moleculas e dosatomosqueconstituemosistemamaisaenergiapotencialcorrespondente`asforcasdeinteracaoentreessesconstitu-intes.Aenergiaemtransicaorefere-se`aenergiatransferidadeumsistemaparaoutro, ouparaasuavizinhanca, atravesda fronteira que os separa,podendo a transferencia ocorrermediante dois processos:1. Calor: energiaemtransicaodevido`adiferencadetem-peratura existente entre os sistemas em causa. A transicaopode fazer-se com transporte de materia - conveccao -, semtransporte de materia - conducao - ou no vazio, por meio deondas eletromagneticas - radiacao2.2. Trabalho: energiaemtransicaodevido`aexistenciadeoutrasdiferencasdepotencial entreossistemasemcausa.Oconceitodetrabalhoestaassociadoaodeslocamentodoponto de aplicacao de uma forca que atua sobre um sistemamaterial. Por exemplo, quando se ergue um objeto, contrar-iando / equilibrando o seu peso, diz-se que a forca aplicadaao objeto realiza trabalho e que a energia potencial gravita-cional do conjunto objeto - Terra aumenta.Qual adiferencaentreenergiapotencial ecinetica? Oteoremadotrabalho-energiadizqueavariacaodaenergiacinetica e igual ao trabalho da forca resultante. Portanto, aenergiacinetica e unica, enquanto que asenergiaspo-tenciais podem ser de varias formas e origens:gravita-cional, eletrostatica ou magnetica. Nao tem uma aceleracaopara cada forca, mas uma resultante.Asenergiaspotencial estaoassociadasaosseuscampos.Quandodizemosqueexisteenergiaarmazenadanocampoeletrico,dizemos que ele tem uma determinada energia po-tencial, e nao mais do que isso. Da deriva o termo poten-cial.Deniu-se, aolongodosseculos, osvetores

Ee

Hpararepresentarasenergiaspotenciaisdasforcaseletrostaticaemagnetica num ponto qualquer, respectivamente. Mas comoos sistemas elestrostatico e magnetico podem absorver e de-volverenergia(verprimeiraleidatermodinamica)oscien-tistas deniram tambem os vetores

D e

B. Eles somente temsentido quando se trata de suas variacoes, pois somente comestascorrespondeaumatransformacaoenergetica. Seelesnao mudarem, nao existe mudancas energeticas no sistema.Tradicionalmente se pensava que a materia e a energia seconservavam independentemente e, para todo efeito pratico,aindaseguimospensamosissomesmo. Porem, comosabe-mos, Einstein relacionou a conservacao de materia e energiacom sua famosa equacao:E = m c2ondeEeaenergia(emjoules), mamassa(emquilogra-mas)ecavelocidadedaluz(300000000m/s). Observe-seasemelhancacomaequacaodaenergiacinetica[E=(1/2)mv2].E impossvel que apareca energia sem um desa-parecimento de massa.Exemplo I.8: Aenergiacontidaemumcombustvel estaarmazenada sob a forma de massa. Sabe-se que a combustaoELETROMAGNETISMO 10de1gramadegasolinaresulta48000joulesdeenergia. Aequa caodeEinsteinnosinformaque, nessecaso, deveterhavidoumadiminuicao(desaparecimento) demassadadapor:m = E/c2= 4, 8.104/9.1016= 5, 3.1013kg.Porem, quando se explode uma bomba de hidrogenio a massaque se converte em energia e da ordem dos varios gramas, einclusive do quilograma. Nos processos de conversao diretanao temos que nos preocupar com todas essas conversoes demassas, porem devemos assegurar a todo momento de ondevem a energia produzida, por pequena que seja. Por exem-plo, noespacoultraterrestretodaaenergialiberadapeloscombustveis(inclusivepelosalimentos)deveserirradiadapara o espaco porque, do contrario, a temperatura do veculoespacial aumentaria continuamente ate sua completa fusao.Em1842, JuliusMayerjahaviapropostoumalei geraldaconservacaodaenergia. Estecientistanaotinhafeitoexperiencias quantitativas, mas haviaobservadoprocessossiologicos, envolvendocalorerespiracao, queolevaramaintuir a conclusao importante a que chegou. Em 1847, Her-mannvonHelmholtzlancouaideiadequeaenergiapodemudar varias vezes de forma, mas que, nos processos de con-versao da energia, nada se cria ou se destroi, isto e, a quanti-dade de energia mantem-se constante, num sistema isolado.A lei da conservacao da energia cou, pois, estabelecida emmeados do seculo 19, tendo-se tornado num ponto de apoiofundamental para o progresso cientco.E importante notar que a energia nao pode ser produzidaou consumida. O que e possvel e converter formas de ener-giaumasnasoutras, demaneiraatirarpartidodasfontesdeenergiaparaefeitosdasuadistribuicaoeutilizacao. Astransforma coes de energia sao de dois tipos:1. liberta caodeenergiaarmazenadaou, inversamente,armazenagem de energia livre;2. passagem de uma forma de energia livre para outra.No esquema da Fig. 2, indicam-se as transformacoespossveis de energia livre.E importante referir que, em qual-quertransformacao, haperdassobaformadecalor. Porexemplo, numa lampada de incandescencia, nem toda a elet-ricidadeetransformadaemradiacaoluminosa; umapartemanifesta-se atraves do aquecimento da propria l ampada.Fig.2Representac aodastransformac oespossveisdeenergialivre.A Lei da conservacao da massa e da energia tambem recebea denominacao de Primeira Lei da Termodinamica e guardaestreitarela caocomaSegundaLei daTermodinamica, aqual tambem regula as transformacoes energeticas. Em vir-tude da Segunda Lei e inevitavel que se perca algo de calorem toda conversao energetica. As duas primeiras leis da Ter-modinamica podem serenunciadas,de um modo coloquial,assim: (1)E impossvel ganhar; e, (2) Nao ha outro remediosenao perder algo.A.5Lei de OhmOs elementos basicos dos circuitos eletricos sao os os con-dutores, considerados ideais, pois intuitivamentesupomosduas coisas:a. Todo o uxo de carga ou corrente acontece nos os,enao existe corrente eletrica sem um condutor; e,b. Num o nao existe queda de tensao,ou dissipacao decalor.Umelementodecircuito(resistencia, indutanciaouca-pacitancia), temanalidade de concentrar os fenomenoseletromagneticos naformade umcircuito, que permitemmelhorentendimentodosfenomenosefacilitamasuares-olucao. Chamaremos de resistenciaeletrica R, aumel-emento de circuito que temuma densidade de correnteeletrica, campo eletrico dissipativo, e uma condutividade.Agora, consideraremosumopercorridoporcorrenteI,com integral de linha do campo eletrico chamada tensaoV .Consideraremos que todaaperdadeenergiasejacon-centradanumelementodeumcircuitoeletrico. ArelacaomatematicadeproporcionalidadeentreatensaoeacorrentenosterminaisdeumelementodeumcircuitoedenominadaresistenciaeletricaR:R =VI(2)No sistema MKS, a unidade de resistencia e o Ohm (smbolo). Na pratica sao comuns os m ultiplos do Ohm.Nenhumarestricaoexisteparaovalorde R. NoinciodoseculoXIX, ofsicoalemaoGeorgOhmrealizoucuida-dosasexperienciascomdiversosmateriaiseconcluiuquearelacao entre a tensao aplicada a um corpo e a corrente queporelecircula epraticamenteconstante. EstaconstatacaofoichamadaLei deOhm. Entretanto, existemelementosnao-linearesounao-ohmicos, como eocasodedispositivoseletronicos criados justamente para apresentar determinadacaracterstica tensao-corrente.Emalgumassituacoes, costuma-setrabalharcomorec-procodaresistencia, agrandezadenominadacondutancia,que e o inverso da resistencia, e simbolizada porG.G =1RA unidade de condutancia e o Siemen (smbolo S).Exemplo I.9: Qual e a f.e.m. induzida numa espira circu-lar com 20cm de raio, onde cada ponto do o esta submetidoa um campo eletrico induzido

EMde 4,5 V/m.Solucao: Opermetro vale 2 0, 2 = 1, 256m, e af.e.m.=4, 5 1, 256 = 5, 655 volts. A.6Exerccios - 1asemanaP I-A.1: OqueeEfeitoJoule? Qual aequacaoparaapotencia e a energia?P I-A.2: Oquesaocamposeletricosconservativosenaoconservativos?P I-A.3: Quais sao as unidades de resistencia, diferenca depotencial e intensidade de corrente?Como elas se relacionamcom as grandezas da mecanica?ELETROMAGNETISMO 11P I-A.4: Fazer aanalogiaentrecircuitos eletricos ehi-draulicos, citandoasgrandezasfundamentaisdepotenciale uxo.P I-A.5: Utilizando os dados disponveis em tabelas, cal-culearesistenciade1mdeumodeferroenvoltocomalumnio, seodiametrodon ucleodeferroe0.25pol eodiametro externo e 0.50 pol. Se o condutor transporta umacorrentecontnuade50A, determineapotenciadissipadapor polegada quadrada de superfcie do condutor externo.P I-A.6: Oelementodeaquecimentodeumacertator-radeiraeletricaconsistedeumatiradecertaqualidadedeNicromo, cujo comprimento e 1.5 m e a secao reta mede 0.05m por 0.8 mm,com uma resistividade de 1.1E-4.cm. En-contreacorrentequecirculanoelementoquandoligamosentreosseusterminais, umafontede120Vcc. Determinetambem a potencia dissipada.P I-A.7: Em uma casa, abastecida com tensao de 110 V,seusmoradoresutilizamumchuveirocomduastemperat-uras: invernoeverao. Quandoachaveestaacionada, ochuveirotrabalhacom5600W. Noverao, operacom3000W. Qual e a diferen ca de resistencia entre as duas faixas detemperatura?(R: 1,873 )P I-A.8: Um chuveiro eletrico possui tres opcoes de con-guracao: quente, morno e desligado. Na opcao A, o aquec-imento dagua se da por meio de uma resistencia de secao 1mm2e comprimento de 2 m. Na opcao B utiliza-se a mesmasecao, porem com 1 m de comprimento. Considerando a re-sistividade de 1 mm2/m, pergunta-se:a) Qual a resistenciaeletrica do chuveiro nas tres conguracoes?(R: 1 e 2 einnito (circuito aberto). b) Qual a potencia de cada opcao,sabendo que o chuveiro esta ligado em 110 V? (R:12100 We 6050 W).P I-A.9: Um chuveiro eletrico aquece insucientemente aagua. Como corrigir isto?P I-A.10: Qual earesistenciadeumalampadaemcujobulbo se le 60 W - 110 V?P I-A.11: Porqueaslinhasdetransmissaodeenergiaalongas distancias operam sob altas tensoes?P I-A.12: Umchuveiroeletricosubmetido`atensaocon-stante, pode ser reguladoparafornecer aguaamaior oumenor temperatura (inverno e verao respectivamente). A re-sistencia eletrica do chuveiro e maior quando se deseja aguamais aquecida (inverno)?Por que?P I-A.13: Eletricidade estatica pode ser transformada emcorrente direta?P I-A.14: Um chuveiro eletrico foi construdo para operarsob a tensao de 110 V. Para opera-lo a uma tensao de 220 V ,sem modicar a potencia de aquecimento, de quanto deve-sealterar a sua resistencia?P I-A.15: Suponhamos que se necessita construir uma re-sistenciaeletricade500ohmcomumcondutordecompri-mento100m. Qual ovalordaquedadetensaoemcadaespira, sabendo-sequeacorrentetotal e2Aequecadaespira possui 1 cm de diametro?P I-A.16: Ao realizar um experimento em laboratorio, umestudante submeteu um resistor a diversas diferencas de po-tencial V , e para cada caso mediu a corrente eletrica i. Comesses dados tracou um graco deVem funcao dei, onde ospontos lidos foram: Qual a resistencia eletrica desse resistor?V(Volt) i(Ampere)5 0,110 0,220 0,430 0,6P I-A.17: Aquandoporumaresistenciapassaumacor-rente eletrica, o choque entre os eletrons provoca calor.E oquefazaresistenciaesquentar. Essefenomenoechamadode . . .P I-A.18: Quantos eletrons livres tem numa superfcie de1m2, quando a densidade de carga supercial vale 5C/m2?B. Corrente = uxo de carga nos condutoresCaro leitor, apos vermos as fronteiras do eletromag-netismo, chegouomomentodeentendermelhorcomofun-cionamos equipamentos e os sistemas eletromagneticos;quais sao as principais leis que representam os seus fenome-nos; e, conhecer as tecnicas basicas para projeto e analise.De vez em quando ouve-se alguem dizer: . . . tal disciplinae um monte de formulas que nao entendo nada. Diramosque e uma pena termos chegado a tal situacao. Veremos quenao deveria ter acontecido assim, mas que este problema temcausas bem denidas, que descobriremos durante este curso.B.1A notacao vetorialVeremos agora como representa-se umpotencial naforma matematica. Mas, para fazer isto precisamosprimeiro consolidar a notacao vetorial, e os conceitos de gra-dienteecirculacao. Opontochavedetodooeletro-magnetismo e ter capacidade de distinguir os camposescalaresevetoriais. PrecisamosdistinguirV eI,

ECe

J,

EDe

D,e

He

B. Elespodemserbasicamentededoistipos: campos escalares (com seu vetor gradiente) ou vetoresdensidade de uxo (e seu uxo).Os limitesouleisdoEletromagnetismoestaorela-cionadoscomalinguagemouvariaveisadotadasaolongodos ultimosseculos. Antesdeiniciarnossoestudo, vamosquestionar: epossvel estudar eletromagnetismosemusarvetores?Na esteira dos grandes descobrimentos cientcos estao osalgarismos indo-arabicos, que substituram os algarismos ro-manos, por volta do seculo XVI. A vitoria do sistema indo-arabico foi tao gradativa, que nao se pode cita-la como ocor-ridanumadecadaqualquer, oumesmonamaislongadasvidas. O processo e tao lento, que ainda hoje temos nossosn umerosdecimaisexpressoscomvrgula, enquantoosinalanglo-americano e um ponto. O processo de universalizacaodossmbolosdasoperacoesmatematicas,iniciadona IdadeMedia,ainda esta incompleto. Os algarismos indo-arabicoseossmbolosdeoperacoes(+, -, xe/)equiparamoseu-ropeus para a manipulacao eciente dos n umeros, e abriramas portas para outros avancos, como por exemplo a notacaoalgebrica.NoinciodoseculoXIII,LeonardoFibonacci,numdadomomento, usouumaletraemvezdeumn umeroemsuaalgebra,mas deixou a inovacao por a. Um contemporaneodele, Jordanus Nemorarius, usou com mais freq uencia as le-tras como smbolos de valores conhecidos e incognitas,masnaodispunhadenenhumsinaldeoperacaoparaomais, oELETROMAGNETISMO 12menos, a multiplica cao, e assim por diante. Ele inventou seuproprio sistema, porem usando as letras com tamanha liber-dade, queasletrassetornaramumempecilhotaograndepara o progresso rapido numa linha de raciocnio quanto se-riam as pernas de uma centopeia numa maratona.1Anota caoalgebricacontinuouaser umamisturadadepalavras, abreviaturas delas e n umeros, ate que os algebris-tas franceses, especialmente Francis Vieta, no m do seculoXVII, tomaram a providencia de usar sistematicamente cer-tas letras isoladas para denotar quantidades. Vieta usou vo-gais para indicar as incognitas e consoantes para os valoresconhecidos.No seculo seguinte, Descartes aperfeicoou o sistema de Vi-eta, usandoasprimeirasletrasdoalfabetoparaosvaloresconhecidos e as ultimas para as incognitas. Assim,A eBeseus vizinhos sao valores conhecidos, enquantoX, Y e seusvizinhos sao misterios por solucionar.`Amedidaqueaalgebratornou-semaisabstrataemaisgeneralizada, elafoi candocadavezmaisclara. Comooalgebrista podia concentrar-se nos smbolos, e deixar de ladomomentaneamenteoqueelesrepresentavam, eleeracapazde realizar facanhas intelectuais sem precedentes. Atraves dosimbolismo algebrico se fornece uma especie de padrao oumaquina operatriz matematica, que dirige a mente para umobjetivo de maneira tao veloz e certeira quanto uma matrizguia uma ferramenta de corte numa maquina. Galileu, Fer-mat, Pascal, Newton, LeibnitzeoutrosherdaramdeVietaumarenadamatrizalgebrica, eausaramparaconquistarpara o seculo XVII o ttulo de seculo da genialidade.Paralelamente aos avancos da simbologia matematica,houve uma mudanca igualmente importante na percepcao dosignicado da matematica. Ninguem, nenhum lder mundial,nenhum artista, . . . pode mudar o signicado de um n umero.As ciencias exatas (fsica, qumica, astronomia) tem justi-cado empiricamente em que a realidade e matematica. Essaconanca epre-requisitodaciencia-naverdade, damaiorparte do tipo de civilizacao que temos -,mas nao leva nec-essariamenteaodeterminismo, comomuitos pensaramouainda pensam.Historicamente, avisaodeterminsticademuitoscientis-taselosofosfoi sendoestabelecidaconformemaisemaisfenomenos do mundo fsico foram sendo descobertos e com-preendidos atraves de relacoes de causa e efeito. Em 1687 foipublicadoocelebrelivroPrincipia(1867),deIsaacNew-ton, que explicou o funcionamento do sistema solar atravesda lei da gravita cao universal e das tres leis do movimento. Amecanica newtoniana sustentou-se nas equacoes diferenciaise integrais.Podemos resumir a dinamica newtoniana na seguintearma cao:1. Forca: e a causa2. Acelera cao: a conseq uenciaUma das principais fontes de equacoes diferenciais naMecanica e a segunda lei de Newton

F=ddt(m v)onde

F e a resultante das forcas que atuam sobre um corpo demassam e v e a sua velocidade. Com esta simples equacao,a humanidade teve a ideia de ter alcancado os ceus e ex-plicado os fenomenos astronomicos que desde a antig uidadeperturbavam a humanidade. Causou tal impressao na cabeca1AlfredW.Crosby,Amensuracaodarealidade-aquanticacaoeasociedadeoccidental 1250-1600,EditoradaUNESP,1997.das pessoas, que acienciacomecouaganhar conotacoesmsticas.Pierre Simon de Laplace (1749 - 1827), matematico e fsicofrances, e referido `as vezes, como o Newtonfrances porcausa de seu trabalho em mecanica celeste. Em seu tratadodecincovolumes, TraitedeMecaniqueCeleste, solucionouproblemas extremamente difceis envolvendo interacoes grav-itacionaisentreosplanetas. Laplacetinhapoucointeressenamatematicapura-eleconsideravaamatematicamera-mente como uma ferramenta para resolver problemas aplica-dos. Laplace e classicado um dos matematicos mais inu-entesdahistoria. Laplaceacreditavanodeterminismodasleis fsicas, vendo o universo como um gigantesco mecanismode relogio, como expressou: Podemos considerar o atual es-tado do universo como efeito de seu passado e causa de seufuturo.Seguindoalogicadanotacaoalgebrica,muitosdosprin-cpios pensados, ensinados edifundios nas ciencias dizemrespeitoarelacoesentregrandezasqueestaovariandonotempoe/ounoespaco. Astaxasdevariacaosaorepresen-tadasmatematicamenteporfuncoes, derivadaseequacoesdiferenciais. As derivadas parciais, que se representampelosmbolo, foramtomadas comolinguagemcientcamundial. Elassaousadasparasistemascommaisdeumavariavel independente, comoeocasodossistemaseletro-magneticos. Assim, considerando o n umero de dimensoes doproblema, podemos ter sistemas:1. Unidimensional (1D) - onde as variaveis sao constantes aolongo de dois eixos, e nao precisam ser considerados.2. Bidimensional (2D) - resolve amaioriados problemaseletromagneticos.3. Tridimensional (3D) - sao utilizados para problemas maiscomplexos, que nao apresentam simetria.Umproblemaeletrostaticobidimensional, por exemplo,possui duas variaveis independentes. Ja um problema mag-netodinamicotridimensional tem04(quatro)variaveis: x,y,z et. Para formulacao dos problemas, usaremos as igual-dades do calculo:f(x, y, z) =fxx +fyy +fzz2fxy=2fyxLembramosqueestasequacoessaoclaramenteverdadeirassomente no limite em que x, y e zvao para zero.** Sistemas de coordenadasAs grandezas fsicas e matematicas precisam ser expressasemumsistemadecoordenadas. Omaisusualeosistemacartesiano, compostodos eixos x, ye z. Os outros maiscomuns sao os sistemas de coordenadas cilndricas e esfericas.A tabela II apresenta as equacoes para transformacao decoordenadas.Exemplo I.10: Qual e a forca exercida sobre um corpo demassam=10kg, quesedeslocacomumaaceleracaoa=8

i + 3

j m/s2?Solucao:

F= 10 (8

i + 3

j)

F= 80

i + 30

j N

F= 85, 44 cos 20, 55o

i + 85, 44sen 20, 55o

j N Exemplo I.11: Transforme o campo vetorial

A = x

jELETROMAGNETISMO 13`z

rc

rs`` Fig.3Sistemasdecoordenadascilndricaseesf ericasTABELAIITransformac aodecoordenadasCartesiana Cilndria Esfericax = x rc = _x2+y2rs = _x2+y2+z2y = y = tan1yx = cos1 zrsz = z z = z = tan1yxx = rc cos rc = rcrs = _r2c +z2y = rcsen = = tan1rczz = z z = z = x = rssen cos rc = rssen rs = rsy = rssen sen = = z = rs cos z = rs cos = para: (a)Coordenadascilndricasedetermine-onopontoP(2, 5, 3); (b) Coordenadas esfericas e determine-o nopontoP.Solucao: Como o produto escalar entre dois vetoresunitariosdequalquersistemadecoordenadaseaprojecaodeumsobreooutro, pararealizaramudancadosvetoresunitarios de dois sistemas de coordenadas, realizamos os pro-dutos escalares dos vetores unitarios, que estao resumidos natabela IV.Em coordenadas cilndricas:

A = (

A urc)urc + (

A u)u

A = xsen urc +xcos u

A = rcsen cos urc +rc cos2uTABELAIIIDeslocamentos, areasevolumesinfinitesimais.Cartesiana Cilndria Esfericad

dx

i+ drcurc+ drsurs+dy

j+ rcdursdu+dz

k +dz

k rssen dud

S dxdy

k+ rcdrcd

k rsddrsu+dydz

i+ rcddzurcr2ssen ddursdzdx

j +dzdrcu+rssen drsdudv dxdydz rcdrcddz r2ssen dddrsTABELAIVProdutoescalardevetoresunit arios.urcuuz

i cos sen 0

j sen cos 0

k 0 0 1ursuu

i sen cos cos cos sen

j sen sen cos sen cos

k cos sen 0Em coordenadas esfericas:

A = (

A urs)urs + (

A u)u + (

A u)u

A = rssen2sen cos urs+rssen cos sen cos u+rssen cos2uAgora, resta substituir as coordenadas do pontoP. Exemplo I.12: Prova da integracao - Demonstrar aequacao do volume de uma esfera de raioR.Solucao: Em coordenadas esfericas, o volume innitesimaledv = dr r d r sen de a integral emdv valeV=_2=1=0_2=21=0_r2=Rr1=0r2sen d dr dV=43R3Observacao: setivermosd uvidassobreoslimitesdeinte-gracao, podemos calcular o volume, a area ou o comprimentoda gura cuja resposta ja seja conhecida. ** Operacoes com vetoresVarias quantidades fsicas, tais comotemperatura, vol-ume, eaceleracaopodemserespecicadosporumn umeroreal. Tais quantidades sao chamadas de escalares.- Variavel escalar:expressa uma quantidade fsica (intensi-dade, n umero real), representado por um n umero. Exemplo:Tensao, massa, tempo, temperatura- Campo escalar: cada ponto da regiao corresponde a umescalar. ex: campo de temperaturas -T(x, y, z) = x2+y2+z2, de pressoes, de potenciais -V (r, ) = 30r cos . . .Outras quantidades, tais comoaforca, avelocidade, eomomento, requeremparasuas especicacoes tantoumadirecao e sentido como uma grandeza. Tais quantidades saochamadas de vetores.- Grandeza vetorial ou simplesmente:vetor - expressa umaquantidadefsica(intensidadeedirecao-cadadirecaotemdoissentidos). Vamosrepresentarumvetorporumasetasobre uma letra. Ex: Deslocamento, forca, velocidade e acel-eracao.

d = 40

i + 30

j.- Campo vetorial: para cada ponto (x, y, z) corresponde aum vetor.

V= xy

i +x2

j Um vetor

A pode ser representadomatematicamente em funcao dos vetores unitarios de seu sis-temadecoordenadas. Se i,

j, e

ksaovetoresunitariosnadirecao dos eixos positivosx,y ez, entao

A = Ax

i +Ay

j +Az

kELETROMAGNETISMO 14ondeAx,AyeAzsao chamados componentes do vetor

A.Modulo de um vetor

A - escreve-se |

A| ou simplesmenteA. A equa cao do modulo e|

A| =_A2x +A2y +A2zVetorunitario de

A -uA =

A|

A|O problema de encontrar a componente de um vetor em umadirecao desejada, transforma-se no problema de encontrar ovetor unitario naquela direcao.Produtos escalar e vetorial entre dois vetoresEstas duas operacoes comvetores saomuitousadas noeletromagnetismo, pois estao presentes em todas as equacoesde Maxwell.Sejamdoisvetores

A=A1

i + A2

j + A3

ke

B=B1

i +B2

j +B3

k, defasados de um angulo, tem-se:Produto escalar - esta associado ao movimento detransla cao, istoe, quantoumvetorcontribui comooutropara modicar o seu modulo. O produto escalar e utilizadoparacalcularouxodeumvetor, ouotrabalhorealizadopor uma forca ao longo de um percurso. O resultado e umescalar, que vale zero quando os vetores sao ortogonais.

A

B = A1B1 +A2B2 +A3B3 = |

A| |

B| cos (3)Produto vetorial - esta associado ao movimento derotacao, isto e, quanto um vetor contribui com o outro paramodicaroseuangulo. Oprodutovetorial eusadoparacalcularummomentoangular. Oresultado eumvetoror-togonal ao plano formado pelos dois vetores que estao sendomultiplicados. Quando os dois vetores sao paralelos, o resul-tado e o vetor nulo.

A

B =

i

j

kA1A2A3B1B2B3= |

A| |

B|sen u (4)onde u e um vetor ortogonal ao plano formado por

A e

B, esentido dado pela regra da mao direita (ou do parafuso), de

A e

B.Oconjugado, momentooutorquedegirodeumaforcaem rela cao a um determinado ponto e o produto vetorial dobracopotentepelaforca. Obracopotenteredirigidodoponto onde o torque e obtido ao ponto de aplicacao da forca(ver Fig. 4). Assim

M= r

Fonde:

M- vetor momento, conjugado ou torque.E convenientelembrar que o momento possui a unidade Nm;r - vetor do bra co de alavanca; e,

F- forca aplicada.Exemplo I.13: Qual otrabalhorealizadopor umaforcade 20 Newton na direcao 45oNordeste, que movimenta umcorpo por 0,3 metros na direcao Oeste para Leste?Solucao: W= 20 0, 3 cos 45o= 4, 24J, ouW=

F

= 20(cos 45

i + sen 45

j)

(0, 3

i)W= 20 0, 3(cos 45

i

i + sen 45

j

i = 4, 24) J. fffffffffw

M$$$$$Xr!

F

``

``. ......Fig.4Momentocomoumprodutovetorial.Exemplo I.14: Usando a propriedade distributiva, e osprodutos escalares e vetoriais entre os vetores unitarios, efe-tuar os produtos escalar e vetorial entre os dois vetores

A = 3

i + 4

j 1

k e

B = 5

i 2

j + 1

k.Respostas:

A

B = 6 e

A

B = 6

i 8

j 26

k unidades. Exemplo I.15: Usandocoordenadas cartesianas, demon-strar que

A

B

C =

C

A

B. . . . . . . . . . . . Exemplo I.16: Demonstrarque

A (

B +

C) =

A

B +

A

C.Solucao: Em primeiro lugar, denomina-se

D ao vetor:

D =

A(

B +

C)

A

B

A

Ce, em segundo lugar, toma-se um vetor qualquer

E, e faz-seo produto escalar com

D:

E

D =

E [

A(

B +

C)

A

B

A

C]

E

D =

E

A(

B +

C)

E

A

B

E

A

C

E

D = (

B +

C)

E

A

B

E

A

C

E

A

E

D =

B

E

A+

C

E

A

B

E

A

C

E

A = 0Este resultado mostra que para qualquer vetor

E o resultadoe zero, demonstrando a igualdade. Exemplo I.17: Dadoovetor

E= (7/rc)urcV/m,emco-ordenadascilndricas, determinar

Eemcoordenadascarte-sianas.Solucao: As componentes de

EsaoEx =

i

E =

i 7rcurc =7 cos rcEy =

j

E =

j 7rcurc =7sen rcEz =

k

E =

k 7rcurc = 0Substituindo os termos em ercEx =7xx2+y2Ey =7yx2+y2

E =7x

i + 7y

jx2+y2V/m.ELETROMAGNETISMO 15B.2Fun coes densidade de uxoCoulomb comprovou, por uma serie de experiencias, que e-xiste for ca de atra cao ou repulsao entre duas cargas eletricas.Provouqueaintensidadedaforcaeproporcional aopro-duto das cargas e inversamente proporcional ao quadrado dadistancia entre as duas cargas. Entretanto, ele nao deu umaexplica cao logica de como ocorre a interacao entre as cargas.Ele chamou de acao `a distancia.Na segunda metade do seculo XIX, houve muita con-troversia cientca sobre se os campos eletricos e magneticoseram quantidades fsicas reais da ciencia ou se tratavam demerasconvenienciasmatematicasparaexpressarasforcasque cargas eletricas exerciam umas sobre as outras. A cienciainglesa (Faraday, Maxwell), davaenfase aos campos; Osalemaes, nasuagrandemaioria, aceitavamaideiadeacaoadistancia. Desde1900estaquestaofoiconsideradacomoresolvidaafavordoscampos. Umdospontosafavordoscampos e o princpio da continuidade.Paraexplicarainteracaoentreduascargaseletricassemum contato direto entre elas, era preciso criar um uido.Foi denominado uxo.O princpio da continuidade diz que todo uxo que se es-palha por todo espaco,diminuindo a intensidade a grandesdistancias. O conceito de uxo esta relacionado ao n umerode linhas de forca que atravessa uma determinada superfciede area. Assim, o eletromagnetismo consiste essencialmentena aplica cao das leis da mecanica para potenciais e seus re-spectivos uxos. Nenhum outro postulado, leis ou formulasempricas sao necessarios, servindo apenas para ns de veri-cacao.Representa-se estas funcoes vetoriais com linhas de uxo, eo uxo e maior onde as linhas estao mais proximas. Calcula-se o uxo pela integral de superfcie. Neste grupo, os uxosvetoriaisdoeletromagnetismosaoosvetoresdensidadedecorrente

J,indu caoeletrica

Deinducaomagnetica

B. Osuxos desses vetores sao denominados respectivamente cor-rente eletricaI, uxo eletrico e uxo magnetico.NoexemplodaFig. 8, ogradientedatemperaturanaoeexatamenteouxodecalor. Arelacaoentreogradientede temperatura e o uxo de calor e conhecido como condu-tividadedecalordeummeio. Ouxodecalorpodeserrepresentado por linhas de uxo.A ideia das linhas de uxo e muito simples. Um vetor den-sidade de uxo e dado para cada ponto no espaco, variandode ponto a ponto. Como exemplo, considere o uxo de calor,uma grandeza vetorial denominada

h. Sua magnitude e umamedida de quanto calor esta uindo, e sua direcao e sentidocorrespondem ao caminho do calor. Exemplos do vetor uxode calor tambem estao mostrados na Fig. 5.Vamos elaborar uma denicao mais precisa de h: A mag-nitudedovetor uxodecaloreaquantidadedeenergiatermica que passa, por unidade de tempo e por unidade dearea, atraves de um elemento de superfcie innitesimal per-pendicular`adirecaodouxo. Ovetorapontanadirecaodo uxo (veja a Fig. 6). Em smbolos: Se We a energiatermica que passa por unidade de tempo atraves do elementode superfcie a, entao

h =Waefonde efe um vetor unitario na direcao do uxo.Ovetor

hpodeserdenidodeumaoutramaneira: emtermos de suas componentes. Nos nos perguntamos quantoFig.5Ofluxodecalor eumcampovetorial. Ovetor

hapontanadirec aodofluxodecalor. Suamagnitude eaenergiatransportadaporunidadedetempoatrav esdeumelementodesuperfcieorientadoperpendicularmenteaofluxo,divididopela areadoelementodesuperfcie.Fig.6Ofluxodecaloratrav esdea2 eomesmoqueatrav esdea1.caloruiatravesdeumapequenasuperfciequeformaumangulo qualquer com a direcao do uxo. O uxo de calor eWa2=Wa1cos =

h nInterpretando esta equacao: o uxo de calor (por unidadede tempo por unidade de area) atraves de qualquer elementodesuperfciecujanormal en,edadopor

h n. Estafrasedene o vetor densidade de uxo h: a componente do uxode calor perpendicular ao elemento de superfcie e

hn. Apli-caremos estas mesmas ideias para outros campos vetoriais.Fluxoemumasuperfcie3D-Sejaumasuperfcietridi-mensional parametricasuaveS1denidaportresvariaveisu,v ew. Assim, o uxo de um vetor

Fatraves deS1 e: =_ _S1

F d

S =_ _S2

F _

Su

Sv_du dv (5)ondeS2 e a projecao deS1sobre o plano deu ev. Normal-ELETROMAGNETISMO 16mente,S1pode ser escrita sob a forma:w = g(u, v)e o vetor normal `a superfcie e:

S = uuu +vuv +g(u, v)uuuve, consequentemente, para uma superfcie orientada daorigem para o innito: =_ _S2

F _wuuuwv uv +uuuv_du dv (6)Observa cao: As variaveis u, v e w precisam ser escolhidas deforma queS1nunca seja ortogonal aS2.Exemplo I.18: Determinar o uxo de

F= x

i z

j +3

k nasuperfcieplana3x + 4y 2z=15, delimitadanooctantepositivo parax,y ez.Solucao: ObservandoaFig. 7, vericamosquepodemossubstituir as variaveis u = x, v = y e w = z em (6), tornando-se: =_y_x

F _zx

i zy

j +

k_dx dySubstituindo

Fe as derivadas parciais tem-se: =_y_x[x

i(1, 5x+2y7, 5)

j +3

k] (1, 5

i2

j +

k) dx dy =_15/40_(154y)/30(1, 5x + 4y 12)dx dy =_15/40(41, 25 6y 4y2)dy = 128, 4375Esta integral tambempode ser feita numericamente, naseguinte seq uencia:1. SepararS1em diversos triangulos;2. Calular o vetor de area

Sde cada triangulo;3. Calular o baricentro de cada triangulo;4. Calcular os valores de

Fnos baricentros;5. Fazer o produto escalari =

F

Sem todos triangulos;6. Somar o somatorio de todos os uxos = ii.O resultado numerico encontrado para este exemplo, com oprograma . . . . . . . . . . . . , e . . . . . . . . . . . . Fig.7Exemplodec alculode area.Exemplo I.19: Qual eouxodovetor

F=x

i + y

j + z

kem uma esfera de raioR?Resposta: Ovetor

F pode ser escritoemcoordenadasesfericas

F= Rere o vetor de area innitesimal

dS e

dS = R2sindderA integral de area torna-se_

F

dS = 4R3B.3Densidade de corrente eletricaQuandoacorrentesedistribui uniformementenumasu-perfcie, a densidade de corrente

Je:densidade de corrente =correntearea(7)Quando a corrente nao se distribui uniformemente na seccaotransversal do condutor, tem-se:I =_

J d

Sonde:

S- vetor normal (ou ortogonal unitario) `a superfcieS

S = SnI - intensidade de corrente eletrica que tem direcao ortogonalao plano formado pela secao transversalS.Exemplo I.20: Calcular a corrente de um o circular de 4mm2, se a densidade de corrente eJ = 10 A/mm2.Exemplo I.21: Realizar um trabalho de pesquisa para ve-ricar quais sao as densidades de corrente usuais em trans-formadores, motores eletricos, instalacoes eletricas, redeseletricas,linhas telefonicas,. . . Veremos que a densidade decorrente e uma grandeza fundamental para o projeto eletrico.Tambem podemos demonstrar que

Jvol = Q vonde Q e a carga deslocada com velocidade v num condutor.B.4Continuidade do uxoEste e, certamente, o mais simples e mais importanteprincpio do Eletromagnetismo: a continuidade do uxo.Imaginemos uma tubulacao comuxo de determinadoudo. Seumuxoatravessaumasuperfcie S1, entaoo mesmo uxo atravessa uma superfcieS2. O que mudae a densidade de uxo

D. =_ _

D1 d

S1 =_ _

D2 d

S2Para uma secao S1 innitesimal dydz, que esta afastada deoutrasecaoS2innitesimaldeumadistanciadx, podemosescrever:D2 = D1 +Dxxdxassim camos com = D1dydz = D1dydz +Dxxdx dydzELETROMAGNETISMO 17e, simplicando os termos emD1:Dx dx dydz = 0 (8)Agora, fazendoumraciocnioanalogo, considerandoasdirecoesx ey temosDxx+Dyy= 0 (9)QuesignicaoDivergentenulodovetordensidadedeuxo.B.5Exerccios - 2asemanaP I-B.1: Quaissaoasprincipaisformaspararepresenta-cao de um vetor?Citar algum(ns) motivo(s) para trabalharcomvetoresnoeletromagnetismo. Porqueutilizamossis-temas de coordenadas cilndricas e esfericas?P I-B.2: Quais sao os vetores de area e suas normais paracada face de um cubo centrado na origem com 20cm de lado?P I-B.3: DetermineascoordenadasdopontoPdaretay = 3x + 1 eq uidistante dos pontos (0,0) e (-3,4). Resposta:P=(17/18, 23/6).P I-B.4: Determine a constante c de modo que a reta quepassa por (0,3) e (5,-2) seja tangente `a curvay = c/(x + 1).Resposta: c = 4.P I-B.5: Calculed2y/dx2paray3+y = x no ponto (2,1).Resposta: -3/32.P I-B.6: Uma partcula se move ao longo da circunferenciax2+y2=1 comuma velocidade cuja componente-xedx/dt =y. Calculedy/dt. Atrajetoriadapartculasegueosentidohorarioouanti-horario? Resposta: dy/dt= x.Sentido horario.P I-B.7: Aluzgiratoriadeumfarol distante1/2kmdapraia faz duas revolucoes por minuto. Se a costa e uma reta,com que velocidade o raio luminoso passa na praia no pontodistante 1km do farol?Resposta: 480 km/h.P I-B.8: Gira-se em torno do eixo-x a area delimitada pelacurvay2= 4x e pela retay =x. Calcule o volume gerado.Resposta: 32/3.P I-B.9: Uma partcula de massam parte do repouso noinstantet = 0,movendo-se com aceleracao constante,a,dex = 0 ax =h, contra uma forca variavelF(t) =t2. Deter-mine o trabalho realizado. Resposta: mah + (h2/a)P I-B.10: Calcularaareadelimitadapelaparabolay=2 x2e pela retay = x. Resposta: 4,5.P I-B.11: Use a regra do trapezio para determinar a dis-tanciapercorridaentret =0et =2porummovel cujavelocidade e dada pela tabela abaixo. Determine tambem avelocidademedianointervalodetempodet=0at=2.Respostas: 6,45m e 3,22m/s.v(m/s) 2,2 2,5 3,0 3,8 5,0t(s) 0 0,5 1,0 1,5 2,0P I-B.12: Dadososvetores

A= 6

i + 2

j 4

ke

B=4

i + 3

j 2

k, ache: (a) Umvetor unitarionadirecaode

A + 2

B;(b) O modulo de

A + 2

B;(c) Um vetor

Ctal que

A+

B +

C = 0.P I-B.13: Os vetores

A = 4

i +5

j 2

k eB = 2

i +8

j +3

kpossuemorigenscoincidentescomaorigemdosistemadecoordenadascartesianas. Determine: (a)adistanciaentreassuasextremidades; (b)umvetorunitarionadirecaode

A; (c) um vetor

C que seja paralelo ao vetor

A e que possuamodulo igual ao do vetor

B.P I-B.14: Determineascomponentesdeumvetor

Btalque |

B|=2euB=0, 5

i 0, 4

j + n

k, sendonumescalarpositivo. (b)Se

C=8

i 3

j + Cz

k, determineCzdetalmodo que |C

i

j

k| seja mnimo.P I-B.15: Sendo

A= 2

i + 3

j + 5

k,

B= i + 3

j 4

ke

C = 4

i 2

j +

k, determine: (a) o modulo de

A+3

B, (b) umvetor unitario na direcao de

B

C, (c) A componente de

Cna direcao do vetor

B; (d) o angulo entre

A e

C.P I-B.16: Os tres pontosA(1, 6, 2), B(2, 4, 3) e C(4, 1, 5)denem um plano e um triangulo. Sabendo-se que um trian-gulo e a metade de um paralelogramo, pede-se, determinar:(a) aareadotriangulo; (b) umvetor unitarionormal aoplano.P I-B.17: Sejamosvetoresqueinterligamaorigemaospontos A(4, 7, 5)eB(2, 3, 6). Estesdoisvetoresdeter-minamdoisladosdeumparalelogramo. (a)EspeciqueascoordenadasdopontoCcoincidentecomoquartovertice.(b) Determine a area do paralelogramo. (c) Ache os quatroangulos internos.P I-B.18: NopontoC(2, 300, 5) umvetor

Aeexpressoem coordenadas cilndricas, como sendo 20urc30u +10

k.Determine: (a) |

A| no ponto C; (b) a distancia da origem aoponto C; (c) o angulo entre A e a superfcie rc = 2 no pontoC.P I-B.19: Em um certo ponto dois vetores sao dados, emcoordenadascilndricas, por:

M= 5urc 8u + 3

ke

N=4urc +2u+10

k. Determine: (a)

M

N; (b) a componenteescalar de

Mna direcao de

N; (c) a componente vetorial de

M na direcao de

N; (d)

M

N; (e) um vetor unitario normala

Me a

N.P I-B.20: Sejam os pontosP(8, 2, 1) eQ(2, 7, 4) expres-sos em coordenadas cartesianas. Determine: (a) as coorde-nadas cilndricas de cada ponto; (b) a expressao de um vetorno ponto P, em coordenadas cilndricas, sabendo que tal ve-toruneopontoPaopontoQ; (c)idemparaumvetornopontoQ, sabendo que tal vetor une o pontoQ ao pontoP.P I-B.21: DadosospontosP(4, 7, 3)eQ(3, 6, 5), de-termine: (a)ascoordenadascilndricasdopontoP; (b)ascoordenadas esfericas do pontoP; (c)o vetor

RPQem coor-denadas cilndricas, no pontoP.P I-B.22: O campo de velocidades em um gas e dado porv = 5x

i +y

j +z

kx2+y2+z2+ 2ParaopontoP(2, 3, 1), determine: (a)omodulodave-locidade; (b) um vetor unitario especicando sua direcao; e,(c) determine a equacao do lugar geometrico dos pontos doespaco para os quais a velocidade tem modulo unitario.ELETROMAGNETISMO 18P I-B.23: Dados os campos vetoriais

F= 2x2

i 4yz2

j + 3(x +y z)

k

G = (y

i +z

j +x

k)/(x2+y2+z2)determinar: (a) |

F(2, 1, 3)|; (b) uF(1, 2, 2); (c)

F

Gnoponto(2, 2, 4); e, (d)oanguloentre

Fe

Gnoponto(2, 2, 4).P I-B.24: Um campo eletrico e dado por

E = (50/rc)urc4

k. Determine: (a)ovetorunitariouE, emcoordenadascartesianas, nopontoP(10, 200, 2); (b)aequacaodolugargeometrico dos pontos para os quais |

E| = 10.P I-B.25: Um campo vetorial e representado por

G = 10 zcos urc 5rcsenu + 4z

kDetermine: (a) |

G(2; 300; 1, 5)|; (b) os vetores

GNe

GT,em coordenadas cilndricas, tais que

G =

GN +

GTe

GTeparalelo a

i e perpendicular a

GNno ponto (2; 30o; 1, 5).P I-B.26: Um vetor

Ce expresso no pontoK(r = 2, =30o, = 160o),emcoordenadasesfericas,comosendo

C=20ur 30u + 10u. Determine: (a) |

C| no pontoK; (b) adistanciadaorigemaopontoK; (c)oanguloentre

Ceocone = 30ono pontoK.P I-B.27: Dois vetores sao denidos em um ponto Pcomosendo

F= 10ur3u+5u e

G = 2ur+5u+3u. DeterminenopontoP: (a)

F

G; (b)acomponenteescalarde

Gnadirecao de

F; (c) a componente vetorial de

G na direcao de

F;(d)

G

F;(e) um vetor unitario perpendicular a

Fe a

G.P I-B.28: UmcampodeforcaerepresentadonopontoP(8, 120o, 5) por

F= 25urc +12u20

k. Determine a com-ponentevetorial de

Fque e: (a)perpendicularaocilindrorc=8; (b) tangenteaocilindrorc=8; (c) tangenteaoplano=120o; (d)Determineumvetorunitarioquesejaperpendicular a

Fe tangente ao cilindrorc = 8.P I-B.29: Um volume e denido pelas superfcies:rc = 5 erc = 12, = 0, 1 e = 0, 4,z = 1 ez = 3.Determine: (a) O comprimento de um segmento linear queuna dois vertices opostos do volume; (b) o volume delimitadopelas superfcies em questao.P I-B.30: Um campo vetorial e denido no pontoB(r =5, = 120o, = 75o) como sendo

A = 12ur 5u + 15u.Determine a componente vetorial de

A que e: (a) normal `asuperfcier=5; (b)tangente`asuperfcier=5; (c)tan-genteaocone=120o. (d)Determineumvetorunitarioperpendicular a

A e tangente ao cone = 120o.P I-B.31: Um campo vetorial e denido, em coordenadasesfericas, por

F= [(cos )/r]ur + [(sen)/r]uDetermine: (a) aexpressaodessecampoemcoordenadascartesianas; (b)

F(1, 2, 3).P I-B.32: Transforme o campo vetorial

A = x

jpara: (a)coordenadas cilndricas e determine-o no pontoP(2, 5, 3);(b) para coordenadas esfericas e determine-o no pontoP.P I-B.33: Expresse o campo vetorial

W= (x2y2)

j +xz

kem: (a) coordenadas cilndricas nopontoP(rc=6, =60o, z =4); (b) coordenadas esfericas noponto Q(r =4, = 30o, = 120o).P I-B.34: Uma certa densidade de corrente e expressa emcoordenadascilndricaspor

J=100e2z(rcurc +

k)A/m2.Determine a corrente total que atravessa cada uma dasseguintes superfcies:1. z = 0, 0 rc 1, na direcao k;2. z = 1, 0 rc 1, na direcao k;3. cilindro fechado 0 z 1, 0 rc 1, na direcao radial,apontando para fora.C. Campo eletrico e diferenca de potencialExiste uma relacao entre campo e densidade de uxo, queeumaconstantedeproporcionalidade, ouumarelacaodepassagem, e, para um circuito dissipativo chama-se resistivi-dade ou seu inverso, a condutividade.C.1Potencial e seu co-vetor gradienteO potencial e uma funcao escalar como o potencial mag-netico, pressao ou temperatura. O vetor gradiente do poten-cialcorrespondeaorespectivocampovetorial. Adiferencadepotencialentredoispontospodeserobtidaporintegralde linha do vetor gradiente. O potencial e representado porlinhasequipotenciais. Nestegrupo, oscamposvetoriaisdoeletromagnetismo sao os vetores campo eletrico

EC,

ED,

EMe campo magnetico

H. Os potenciais saoVpara a eletrici-dade eV para o magnetismo.O campo fsico mais simples e um campo escalar. Por umcampo escalar queremos dizer uma quantidade que dependeda posicao no espaco. Por um campo escalar queremos dizersimplesmente um campo que e caracterizado em cada pontopor um simples n umero: um escalar.E claro que o n umeropode modicar com o tempo, mas nao vamos nos preocuparcomistonomomento. Vamos falar comoqueocamposeparecenumdadoinstante. Comoumexemplodeumcampo escalar, considere um bloco de material solido que foiaquecido em algumas partes e esfriado em outras, de modoqueatemperaturadocorpovariadeumpontoaoutrodeumamaneiracomplicada. Entaoatemperaturaseraumafuncao dex,y ez, a posicao no espaco medida num sistemade coordenadas retangulares. A temperatura e um exemplode campo escalar.Umjeitosimplesdepensarsobreoscamposescalareseimaginar contornos que sao superfcies imaginarias desen-hadas em todos os pontos do campo que possuem o mesmovalor, comolinhas de contornonummapaque conectampontoscomamesmaaltura. Paraumcampodetemper-atura as superfcies equipotenciais sao chamadas superfciesisotermicas ou isotermas.Ogradientedeumafuncaoescalareoco-vetor comadirecaosegundoqual ocorreamaiortaxademudancadafuncao. O seu modulo e igual `a taxa da variacao da funcaoao longo dessa direcao.grad f=

f= (fx, fy, fz)Uma notacao muito utilizada usa o operador nabla, denotadopelo smbolo

(nabla). Notar que nao tem signicado fsicoELETROMAGNETISMO 19Fig.8TemperaturaT eumexemplodeumcampoescalar. Emcadaponto(x, y, z)doespacoest aassociadoumn umeroT(x, y, z).Todosospontossobreasuperfciemarcada(mostradacomoumacurvaemz= 0)possuemamesmatemperatura. Assetass aoexemplosdevetoresgradientesdetemperatura q=

T.Seatemperaturanobloco ealtaemumlocalebaixaemoutro,ent aohaver aumgradientedetemperaturadoslocaismaisquentesparaosmaisfrios.ou geometrico.E apenas um operador e precisa de algumafuncao para ter sentido.A Fig. 9 procura dar uma nocao graca do gradiente. Asduas superfcies representam lugares geometricos da funcaofconstante, ou sejaf(x, y.z) =C1ef(x, y, z) =C2. Se asdiferencassaopequenas, temosC2 C1=df. Adistanciaentre as duas superfcies em determinado ponto dn, tomadaaolongodaretanormal comum`asduassuperfcies. uNeum vetor unitario nesse ponto e normal `as superfcies. Entaoo gradiente defpode ser dado tambem por:grad f= uNdfdn.Fig.9Gradienteentreduassuperfciesequipotenciais.O vetor gradiente indica a maxima variacao da funcao e osentido que essa variacao tem.Coordenadas cartesianas:

f=fx

i +fy

j +fz

k (10)Coordenadas cilndricas:

f=frur + 1rfu +fz

k (11)Coordenadas esfericas:

f=frur +1rfu+1rsenfu(12)C.2Circulacao de um vetorNuma regiao do espaco, consideremos uma linha fechada Cdividida em um grande n umeroNde segmentos (elementosde comprimento) K(K = 1, 2, ...N), pequenos o sucienteparaque, sobrecadaumdeles, ocampovetorial possaserconsideradoconstante. Acadaelementodecomprimento

Kassociamos um vetor

EK. A grandeza:VK =

EK

KVK = EK Kcos onde e o angulo entre

Ke

EK. O somatorio sobreKseestendede1aN,e echamadaintegraldelinhadocampovetorial

Eao longo da linhaC.Denomina-se circulacao quando se aplica essa equacao auma linha fechada. No segundo grau, existe uma diculdadeenorme para entender o uxo de um vetor, e muito mais paraa circulacao. Vejamos um comentario sobre circulacao:Pois e,quandoensinamEletromagnetismono2ograu,para ensinar a Lei de Amp`ere, inventam uma papagaiada detal de circulacao de um vetor, que nao existe, so para fugirdos conceitos do Calculo Integral. Com isso, conseguem maisfundir a cuca dos alunos e fazer com que estes sintam pavordo Eletromagnetismo.Nossa resposta poderia ser assim?Ensinaralei deAmpereno2ograutemimportanciateorica.Baseando-senestalei,vericamosocomportamentodocampomagneticoparavariasdistribuicoesdecorrente,geralmentequandohasimetrianestadistribuicao. Aim-portancia da lei de Ampere no 2ograu e unicamente teorica,pois um entendimento matematico da lei requer conceitos decalculo integral e vetorial.. . . ou assim?Naoecompleta, maspelomenosea unicaquerela-cionouaLei deAmp`erecomoCalculoIntegral Vetorial.Alias, euachoqueseeparaensinar algumacoisameia-boca emelhorquenaoseensineatequesetenhaabasenecessaria.Alguns textos eletromagneticos apresentamo desloca-mento eletrico

De a campo magnetico

Hque con-tam para materiais dieletricos e magneticos respectivamente,como dois campos auxiliares adicionais. Entretanto, na en-genharia, estes campos sao fundamentais e necessarios paraa maioria dos topicos que iremos tratar. Entao nos os estu-daremos tanto quanto for possvel, para evitar possveis con-fusoes. Portanto, precisamos ter muito cuidado e atencao naleitura de livros, artigos e textos tecnicos em geral, para com-preender o que os autores estao tratando: se e sobre campoou densidade de uxo. Ao mesmo tempo, observamos que arelacao entre os campos

H e os uxos

B e a permeabilidade,fazer a confusao entre estes vetores e como trocar corrente etensao num circuito.Como: a)estasquestoeseesteassuntonaoeexclusivodoeletromagnetismo; b)veremossuasaplicacoesaolongodocurso; c)existemdiversasformasdeestudareentenderELETROMAGNETISMO 20esteassunto(quevariamdeumapessoaparaoutra); e, d)nossotempo elimitadoemsaladeaula, naopodemosnosdeter unicamente neste ponto. Mas, deixamos a dica para oleitor estudar os exemplos e fazer os exerccios sobre vetores,basicamente dos livros Anton2e Thomas3.Aqui nosdevemos parar epensarumpouco! Temosemmaos umaferramentapoderosssima! Foramnecessa-riosmilharesdepensadores, losofos, matematicos, fsicos. . . engenheiros, ate chegar ao eletromagnetismo atual. Cer-tamente, e uma grande conquista da humanidade!C.3Forma local da Lei de OhmAequa caomaissimplesdoscircuitoseletricos, V =RIsomente existira apos admitirmos a existencia do campoeletrico nao conservativo. Veremos tambem que a circulacaode um campo conservativoeletrostatico

EDao longo deumpercursofechadoe nula. Admitiremos, entao, que ocampo eletrico total seja a soma do campo eletrostatico con-servativo

ED, docampodissipativo

EC, edeoutrocamponaoconservativotipofonte

EM, quepodeser umabate-ria, umgerador, etc. Agora, trataremosapenasdocampoeletrico dissipativo no interior do condutor ou campo eletriconao conservativo.Consideremosumocondutorpercorridoporumacor-renteeletrica,queaquece-seeliberaumacertaquantidadede calor e/ou eleve a sua temperatura. Para sustentar estacondicao, precisamos de uma fonte de energia em cada pontodo o condutor. A quantidade de energia deve ser originadapor uma forca eletrica nao conservativa.P=_ _ _

EC

Jdvolpois a potencia dissipada e:

EC

Jdvol =

EC vQ =

F vComo

ECe dado em V/m e

Jem A/m2,o valor dePedado em Watts.Na forma local escreve-se simplesmente:

J =

EC(13)ondeeacondutividadeeletrica, em(m)1; e,

ECeocampo eletrico dissipativo.Suponhamos a existencia de um laco fechado de correntee a presen ca de um o condutor de com