Guias de Onda RetangularesGuias de Onda RetangularesVitaly Esquerre

Guia RetangularGuia Retangular 

• Calcular as componentes doscampos das ondascampos das ondaseletromagnéticas dentro doiguia

Ez Hz Ex Hx Ey Hyz z x x y y

S á ifi d ã• Será verificado que nãoexistem ondas TEM

http://www.ee.surrey.ac.uk/Personal/D.Jefferies/wguide.html

Campos no Guia RetangularCampos no Guia Retangular 

Usando fasores e considerando que os guias estãopreenchidos compreenchidos com

• Dielétrico sem perdas e

• As paredes são condutores perfeitos

A onda dentro do guia deve satisfazerA onda dentro do guia deve satisfazer2 2 0E k E 2 2

2 2

0dH k H

k

2 2onde k

Tendo em vista que os campos são vetores da forma:forma:

ˆ ˆ ˆx y zE E x E y E z

ˆ ˆ ˆx y z

x y z

y

H H x H y H z

2 2 22E E E 2 2 2H H H

Chega-se num conjunto de 6 equações

22 2 2

2 2 2

0x x xx

E E E k Ex y zE E E

22 2 2

2 2 2

0x x xx

H H H k Hx y zH H H

22 2 2

2 2 2

0y y yy

E E Ek E

x y zE E E

2 2 22

2 2 2

2 2 2

0y y yy

H H Hk H

x y z

2 2 22

2 2 2 0z z zz

E E E k Ex y z

2 2 22

2 2 2 0z z zz

H H H k Hx y z

Trabalhando apenas com a componente‐z2 2 2

22 2 2 0z z z

zE E E k E

2 2 2 zx y z

Usando o método da Separação de Variáveis:( , , ) ( ) ( ) ( )zE x y z X x Y y Z z

2 2 22

2 2 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z z k X x Y y Z zx y z

2"( ) ( ) ( ) ( ) "( ) ( ) ( ) ( ) "( ) ( ) ( ) ( ) 0X x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z z k X x Y y Z z

"( ) ( ) ( ) ( ) "( ) ( ) ( ) ( ) "( ) ( ) ( ) ( )X x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z z

'' '' ''X Y Z

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

X x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z zkX x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z z X x Y y Z z

2X Y Z kX Y Z

Como cada termo é função de uma única variável, cada termo deve ser então uma constante

'' '' ''X Y Z 2

2 2 2 2

X Y Z kX Y Zk k k

2 2 2 2x yk k k

2 2 2'' '' ''

x yX Y Zk kX Y Z

2 2 2 2

oux yk k k

22222 kkkh

ou

yx kkkh

2

chegando-se em:0''X k X

2

0

0x

''y

X k X

Y k Y

2 0''Z Z

Cuja solução tem a forma:Cuja solução tem a forma:

xx

ykcykcY(y)xkcxkcX(x)

21

sincossincos

zz

yy

ececzZ

ykcykcY(y)

65

43

)(

sincos

65)(

Substituindo na equação do Ezq ç

xx xkcxkcX(x) 21 sincos

zz

yy

xx

Z

ykcykcY(y)

43

21

)(

sincos)()()()( zZyYxXzyxE zz ececzZ 65)()()()(),,( zZyYxXzyxEz

cos sin cos sin z zE c k x c k x c k y c k y c e c e 1 2 3 4 5 6cos sin cos sin

considerando apenas a onda que se propaga na direção :z x x y yE c k x c k x c k y c k y c e c e

z

1 2 3 4cos sin cos sin

de forma similar para o campo magnético

zz x x y yE A k x A k x A k y A k y e

1 2

de forma similar para o campo magnético,

cosz xH B k x B 3 4sin cos sin zx y yk x B k y B k y e

Demais componentes do campo

Da lei de Faraday e Ampere podem ser obtidas as 4 componentes restantesp

E j H H j E

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆx y z x y zx y z E x E y E z j H x H y H zx y z

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆx y z x y zx y z H x H y H z j E x E y E zx y z

y

yzEE j H

yzHH j E

xj Hy zE E H

xj Ey z

H H E

x z

yE E j Hz x

E E

x zy

H H j Ez x

H H

y x

z

E E j Hx y

y xz

H H j Ex y

z zE e H e

y yx xx y x y

E HE HE E H Hz z z z

z z z z

2 22 22 2 2 2y yx xE HE HE E H H

2 2 2 2

y yx xx y x yE E H H

z z z z

Outras componentes podem ser escritasem função de Ez e Hz

E Hj 2 2

z zx

E HjEh x h y

2 2z z

yE HjE

h y h x

2 2z z

x

h y h xE HjH

h h

2 2x

z z

h y h xE HjH

2 2yHh x h y

onde

2 2 2 2 2x y

ondeh k k k

Modos de PropagaçãoModos de PropagaçãoDas equações anteriores podemos concluir:Das equações anteriores podemos concluir:• TEM (Ez=Hz=0) não se propagam.

• TE (Ez=0) transversal elétrico– No modo TE mode, as linhas de campo elétrico são , pperpendiculares à direção de propagação.

TM (H 0) t l éti E i t• TM (Hz=0) transversal magnético, Ez exists– No modo TM, as linhas de fluxo magnético sõ perpendiculares à direção de propagação.perpendiculares à direção de propagação.

• Modos HE (híbridos) na qual todas as componentes existem.

Modos TM

zyyxxz eykAykAxkAxkAE sincossincos 4321

• Condições de  ,byEz 0at 0

yy

Contorno: ,axEz 0at 0

assim conclui se:assim, conclui-se:X(x) deve ser da forma sin kxx,

onde kx=m/a, m=1,2,3,…x , , , ,Y(y) deve ser da forma sin kyy,

onde ky=n/b, n=1,2,3,…

zjeykxkAAE sinsin42

então a solução para Ez(x,y,z) é

Figure from: www.ee.bilkent.edu.tr/~microwave/programs/magnetic/rect/info.htm

yxz eykxkAAE sinsin42

Campos dos Modos TMmn

sin sin j zz o

m nE E x y ea b

EE z

zeynxmEmE

sincos

0zH

EE

xhE

z

x

2

z

ox

ynxmEnE

eba

Eah

E

i

sincos2

EjH

yhEy

2

zoy

ynxmnj

eby

aE

bhE

cossin2

EjyE

hjH z

x

2

zox

ynxmmj

ebyn

axmE

bn

hjH

cossin2

xE

hjH z

y

2

zoy e

byn

axmE

am

hjH

sincos2

2 2 2 2 2x y

ondeh k k k

Campos dos Modos TMmn

• Os subindicesm e n representam os modos de• Os subindices m e n representam os modos de propagação e indicam o numero de vezes que o campo varia na direção x e y, respectivamente.campo varia na direção x e y, respectivamente.

• Para modos TM, se n ou m for zero, todos os campos são nulos

• Ver applet de Paul Falstadpp

http://www.falstad.com/embox/guide.html

Freqüência de corte TM

2 2

2 2 2 2x y

m nk k k jb

• A frequencia de corte acontece quando,

x y ja b

2 22

2 2

então 0 cm n ja b

• Evanescente:

2 21 1ou 2c

m nfa b

2 22quando e 0 m n

a b

– Significa não propagação, tudo é atenuado

• Propagação:2 2

2quando e 0 m n jb

– Caso de interesse, a onda deve se propagar ao longo do guia.

a b

Corte tt ã P ãCorte attenuação Propagação

do modo mn

• A frequencia de corte é a frequencia abaixo da qual 

fc,mn

q q qatenuação acontece e acima da qual a propagação existe. (Filtro passa‐altas)p

22

2'

bn

amuf mnc

• A constante de fase é

2 ba

22 22 ' 1 cfm n

1a b f

Velocidade de fase e impedância

• A velocidade de fase é definida como:

' 2 'puu 2 2

1 1

pp

c c

uff f

f f

• Impedância intrínseca do modo é

2

1'

fEE cyx

TM 1

fHH xy

TM

Resumo dos modos TMResumo dos modos TM

Onda num meio dielétricoinfinito

Dentro de um guia limitado

'/' u2

1'

ffc

/' 2

1'

ffc

TM

f

/2

fup

/1'/' fu

2

'

1'

ffc

fu /''

/1/ fu

2

1

ff c

fu /

Modo TE

zyyxxz eykBykBxkBxkBH sincossincos 4321

• Condições  de  ,byEx 0at 0 contorno: ,axEy 0at 0

assim conclui se:assim, conclui-se:X(x) deve ser da forma cos kxx,

onde kx=m/a, m=1,2,3,…x , , , ,Y(y) deve ser da forma cos kyy,

onde ky=n/b, n=1,2,3,…

zjeykxkBBH coscos

então a solução para Ez(x,y,z) é

Figure from: www.ee.bilkent.edu.tr/~microwave/programs/magnetic/rect/info.htm

yxz eykxkBBH coscos31

Campos dos Modos TEmn

coscos

zj

oz eyb

nxa

mHH

j 0

zEba

yH

hjE z

x

2

zox e

byn

axmH

bn

hjE

sincos2

xH

hjE z

y

2

zoy e

byn

axmH

am

hjE

cossin2

Hx

Hh

H zx

2

z

ox ebyn

axmH

am

hjH

cossin2

yH

hH z

y

2

z

oy ebyn

axmH

bn

hjH

sincos2

2 22 m nh

a b

Observe que n e m não podem ser zero simultaneamente

Corte tt ã P ãCorte  attenuação Propagação

do modo mn

• O calculo da frequencia de corte é identico ao fc,mn

calculo para o modo TM

22 22

2'

bn

amuf mnc

• Porem o modo TE apresenta menor frequencia d t i dde corte pois m ou n podem ser zero.

Modo DominanteModo Dominante

• O modo dominante é aquele que apresenta a menor frequencia de corte.q

• Sempre será o modo TE10A d d d i d i d d d• A ordem dos demais modos vai depender das dimensões geométricas do guia.

Resumo dos modos TE

Onda num meio dielétricoinfinitos

Onda dentro do guia

'/' u2

1'

ffc

/' 2

1

'

fc

TE

1

f

/2

fup

/1'/' fu

2

'

1'

ffc

fu /''

/1/ fu

2

1

ff c

fu /

Variação da impedanciaVariação da impedancia

• A impedancia depende da frequência e do modomodo 

TE

’TM

fc,mn

Exemplo:

Considere um guia oco com dimensõesa=2.286cm, b=1.016cm operando em

m n Frequencia0 0 00 1 1.47638×1010

0 2 2 95276 1010, p

10GHz. Encontre a frequencia de cortede todos os possiveis modospropagantes

0 2 2.95276×1010

0 3 4.42913×1010

0 4 5.90551×1010

1 0 6 56168×109

Solução:Usando

1 0 6.56168×109

1 1 1.61563×1010

1 2 3.02478×1010

1 3 4 47748×1010Usando 1 3 4.47748×1010

1 4 5.94185×1010

2 0 1.31234×1010

2 1 1 97533×101022

2'

bn

amuf mnc

2 1 1.97533×102 2 3.23125×1010

2 3 4.61946×1010

2 4 6.04957×10102 ba 2 4 6.04957 103 0 1.9685×1010

3 1 2.46063×1010

3 2 3.54877×1010

3 3 4.84688×1010

3 4 6.22496×1010

Exemplo:Um guia oco de 5 x 2 cm tem

em 15GHz V/m 50sin40sin20 zj

z eyxE

• Qual modo esta sendo propagado?

• Determinar • Determinar E /E• Determinar Ey/Ex

20sin 40 sin 50 V/mj zzE x y e z y

sin sin j zz o

m nE E x y ea b

21

mn

99.60469 10cf

2 292 15 10 9,6' 1 1 241 4cf 81 1 241,4

3 10 15f

Exemplo:Um guia oco de 5 x 2 cm tem

em 15GHz V/m 50sin40sin20 zj

z eyxE

• Qual modo esta sendo propagado?

• Determinar • Determinar E /E i zn m x n yE E

• Determinar Ey/Ex 2 sin cos zy o

yE E eh b a b

m m x n y

2 cos sin zx o

m m x n yE E eh a a b

E 2tan coty

x

E na m x n yE mb a b

21

mn

1,25 tan 40 cot 50yEx y

E

xE

Velocidade de grupo, ug

• Velocidade da energia ou informação.

mffuu c

g d/rad/s 1'

/1

2

É ’

sfg rad/m/

• É sempre menor que u’

2' 2'uuu gp 1'u

http://www.tpub.com/content/et/14092/css/14092_71.htm

Transmissão de PotenciaTransmissão de Potencia

• O vetor de Poynting médio para o guia é

11 ** EE

HEHEHE xyyxave Re21Re

21

22

*** P

[W/ 2]z

EE yx ˆ2

2

[W/m2]

• onde  = TE ou TM dependendo do modo

b EE22

a

x

b

y

yxaveave dxdy

EEdSP

0 0 2P [W]

x y0 0

Potencia do modo dominante TE10

cos j zz oH H x e

a

cos j z

z oH H x e

2 sin zy o

j xE H eh a a

a

sin j zj a xE H e

z o a

2 sin zx o

h a aj xH H eh

sin

sin

y o

j z

E H ea

j a xH H e

2h a a

22h

sinx oH H ea

a

b EE22

a

x

b

y

yxaveave dxdy

EEdSP

0 0 2P

x y0 0

Potencia do modo dominante TE10

sin j zy o

j a xE H e

cos j zz oH H x e

sin j z

x oj a xH H e

a

y o a

z o a

*1 ˆRa b

P E H d d

a

0 0

ˆRe2ave

x y

a b

P E H zdydx

*

0 0

1 Re2

a b

ave

x y

P EH dydx

2

2 202

1 Re sin2

y

a b

avea xP H dydx

a

0 0

230

2

Re

x ya

a b HP

2 Re4aveP

Propagação da Onda no Guia

Excitação dos modos no Guia

TE10

TM11

Atenuação em guias com perdas

• Quando o dieletrico tem perdas e as paredes nao sao• Quando o dieletrico tem perdas e as paredes nao sao condutores perfeitos, perde‐se potencia ao longo do guia de ondaguia de onda

zoave ePP 2

• A potencia perdida:ave

aveL P

dzdPP 2

• onde c+d são as atenuações devido ao condutor e as perdas no dieletricoe as perdas no dieletrico

• Tipicamente c >> d

Atenuação para o modo TE10• Atenuação no condutor, Np/m

2*

2 2s s

c tR RP H H dl H dl 2 2

c c

cos j zz oH H x e

a

sin j z

x oj a xH H e

a

a a

xH y b zH y b

H x a 0H x zH x a 0zH x

0xH y 0zH y

Atenuação para o modo TE10

2 2 22 0 0 0

2

a b

sc x z z

RP H y H y dx H x dy

0 0

2x y

2 2a bR

2 22 2 22 2

2

0 0

2 sin cos2

sc o o o

x y

R a xP H H x dx H dya a

2 32

22 2c s oa aP R H b

2 3

22 2 2 32 2 2s o

c

a aR H bP a aR b

2 3 230 0

2

2 Re 2 22 Re

4

cc sR b

P a ba b H

4

Atenuação para o modo TE10• Atenuação no dielétrico, Np/m

2 2 2 2 2

x yh k k k 2 2d j h k

2 20 0 1 tand rj h

21 x 2 2

22 2 2 2 2

1tan 12

tan

xa x aa

k

2 2 2 2 2

2 2

tantan2kh k jk h k j

h k

onde

2 2 2h k j 2 2tan tan2 2

k kj j jj

2 tank tan2d

k

Atenuação para o modo TEmn 0n

2 22 2

2b b m n

R f fb a a 22

2 22

2 1 1

' 1

s c cc

c

R f fb a aba f ff m nb af

Atenuação para o modo TM

af

Atenuação para o modo TMmn

3b 32 2

3

22

2 sc

b m nR ab

22 2

2' 1 cbf m nb af

Atenuação do condutor para varios modos num guia de ondaAtenuação do condutor para varios modos num guia de onda retangular de latão com a= 2.0 cm

Exemplo:Considere um guia retangular de cobre preenchido com teflon comdimensões: a = 1,07 cm e b = 0,43 cm.Encontre as frequencias de corte dos primeiros 5 modos.Se a frequencia de operação é 15 GHz, determine a atenuação devido aodielétrico e ao condutor.

2,08 tan 0,0004r 2 2

2cmnc m nf

a b 2 r a b

2 292 15 10 9,72' 1 1 348 14rcf

8' 1 1 348,14

3 10 15cff

9

8

2 15 10453,08

3 10rk

3 102453,08 tan 0,0004 0,118 Np/m 1,03 dB/md 0,118 Np/m 1,03 dB/m

2 348,14d

2 2 32 a a 75 8 10 S/m 3 2

22 2c s

a aR ba b

5,8 10 S/m

0 0,032 sfR

0,050 Np/m 0,434 dB/mc

Exemplo:

Exemplo:

G i d O d R t lGuias de Onda Retangulares

Vitaly Esquerre

PL 2.1

HSource Free

Maxwell's Equations

tj0 JM

Field Theory: Wave Propagation

Mt

HE

JtEH

HjE

EjH

Time Harmonic Fields tje

D0 B

EjH

zje z dependence:

zjz eyxezyxezyxE )],(ˆ),([),,(

zjz eyxhzyxhzyxH )],(ˆ),([),,(

ep

xyz HjEj

yE

E

xyz EjHj

yH

HSix Equationsy

zx Hj

xE

Ej

y

zx Ej

xH

Hj

zxy Ej

yH

xH

z

xy Hjy

Ex

E

Six Equations

Coupled First Order Differential Equations

PL 2.1.1

HEj

HEjE zz

Field Theory: TE and TM Waves

x

HyE

kjH zz

cx 2

y

Hx

Ek

jH zz

cy 2

yxkjE zz

cx 2

x

zz

cy

Hy

Ekj

E 2

Solving six equatoins to express tanserverse field components in terms of

zz HE and

0,0 zz HE 0,0 zz HE

Cutoff Wavenumber j j

TE Waves TM Waves

j j 222 kkc xk

j z

cx

2

ykj z

cy

2

ykj z

cx

2

xkj z

cy

2

yk

j z

cx

2

xkj z

cy

2

xkj z

cx

2

ykj z

cy

2

/2k

22ckk

kyx

0ck

yx

22ckk 0ckPropagation Constant

x

y

y

x

kx

y

y

x

Wave Impedance

* Inside closed conductors * Two or more conductors

* Inside closed conductors * Two or more conductors

TE waves can be supported TM waves can be supported