Eletromagnetismo I Prof. Dr. Cláudio S. Sartori ... · Exemplo 9) Duas cargas q1 e q2 distantes de...

Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 1

Potencial Elétrico

• O Potencial Elétrico:

Energia Potencial Suponha que desejamos deslocar uma carga elétrica Q

de uma distância dL em um campo elétrico E. A força em Q devido a este campo elétrico é:

EQFE = onde o índice nos lembra que a força é devida ao

campo. A componente desta força na direção dL que desejamos vencer é:

LLEL aEQaFF ˆˆ ⋅=⋅=

Aqui, o vetor é um vetor unitário na direção de dL. A força que deve ser aplicada é igual e contrária à força originada pelo campo:

La

Lapl aEQF ˆ⋅−= O gasto de energia é o produto da força pela distância.

Assim, o trabalho realizado por um agente externo deslocando a carga Q na região de um campo elétrico E será dado por:

LdEQdLaEQdW L ⋅−=⋅−= ˆ

∫ ⋅−=final

inicial

LdEQW

Observe os exemplos ilustrativos (Sears&Zemansky). Figura 1 – Uma carga de teste q0 que se move do ponto a até o

ponto b sofre ação de uma força de módulo q0E. O trabalho realizado pela força é dado por Wab e não depende da trajetória da partícula.

Figura 2 –(a) Quando uma carga positiva se move na mesma direção e no mesmo sentido de um campo elétrico, o campo realiza trabalho positivo e a energia potencial diminui.

(b) Quando uma carga positiva se move no sentido contrário ao de um campo elétrico, o campo realiza um trabalho negativo e a energia potencial aumenta.

Figura 3 –(a) Quando uma carga negativa se move na mesma direção e no mesmo sentido de um campo elétrico, o campo realiza trabalho negativo e a energia potencial aumenta.

(b) Quando uma carga negativa se move no sentido contrário ao de um campo elétrico, o campo realiza um trabalho positivo e a energia potencial diminui.

Figura 4 - A carga q0 se move radialmente. A medida que se desloca de a até b sua distância varia de ra até rb.

Figura 5 – O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga q0 depende somente das distâncias ra e rb.

Definimos o potencial elétrico V como sendo a

energia potencial U por unidade de carga elétrica q :


Potencial Elétrico

V Uq=

0

A

diferença de potencial entre dois pontos em um campo elétrico (ddp) é igual a diferença de energia potencial entre esses pontos por unidade de carga: Ou seja, o trabalho por unidade de carga realizado por um agente externo para deslocar uma carga de um ponto a outro em um campo elétrico.

QW

QW

QW

ififVVV ∆=−=−=∆

∫ ⋅−=∆final

inicial

LdEV

Coordenadas

dL dr= (Elemento diferencial de

deslocamento) Cartesianas ˆ ˆx ydr dxa dya dza= + + ˆz

Cilíndricas ˆ ˆ zdr d a d a dzaρ φ ˆρ ρ φ= + +

Esféricas ˆ ˆrdr dra rd a rsen d aθ φθ θ φ= + +

Se imaginarmos que trazemos uma carga que do infinito até um ponto P (O ponto f é o infinito e o ponto i corresponde a P) e definindo como zero o potencial no infinito, teremos:

V Wq

P= − ∞

Aqui, W P∞ é o trabalho feito pelo campo elétrico sobre a carga teste, quando a carga teste se movimenta do infinito até o ponto P. Vemos que o potencial V em um ponto numa região onde há campo elétrico de uma carga positiva é positivo. Para ver isso, imagine que uma carga teste positiva vem do infinito até um ponto próximo de uma carga positiva isolada. A força eletrostática atuando na carga elétrica possui sentido contrário em relação ao deslocamento da carga positiva. Então, o trabalho que devemos fazer sobre a carga teste é positivo, e o trabalho feito pelo campo elétrico na carga é negativo. Com o sinal menos na equação, teremos um resultado positivo. Similarmente o potencial em um ponto próximo de uma carga elétrica negativa é negativo. A unidade SI para o potencial elétrico é o volt (V), em homenagem a Alessandro Volta, cientista italiano que inventou a primeira pilha elétrica.

1 11V JC= (Joule / Coulomb)

Observamos que:

1 11

111

NC

NC

JN m

Vm

V CJ

= =( )( . )( ).

Uma energia muito utilizada nas escalas atômicas é o elétron-volt (eV), que definimos como o trabalho requerido para movimentar uma carga elétrica elementar e, podendo ser um próton ou elétron, através de uma diferença de potencial de 1 volt.

1 1 1 6 10 1 1 6 1019 19eV e V C J C J= = =− −.( ) ( , . )( / ) , . Potencial elétrico para distribuições de carga:

Sendo: r : vetor que localiza o ponto P que desejamos calcular o potencial.

r ′ : vetor que localiza um ponto da região correspondente à distribuição de carga.

Densidade linear de carga rL:

∫′ ′−

′′=

L

L

rrLdrrV

04)()(

περ

Densidade superficial de carga rs:

∫∫ ′−′′

=S

S

rrSdrrV

04)()(

περ

Densidade volumétrica de carga rv:

∫∫∫ ′−′′

=V

v

rrVdrrV

04)()(

περ

Superfícies Equipotenciais

Um conjunto de pontos no espaço todos a um mesmo potencial é chamado de superfície equipotencial. Uma família de superfícies equipotenciais, cada superfície correspondendo a um valor de potencial diferente, pode ser usada para representar o campo elétrico de uma determinada região. As superfícies equipotenciais para uma carga elétrica puntiforme são famílias de esferas concêntricas.

Figura 6 – Superfícies equipotenciais planas (a), esféricas

(b) e superfícies num dipolo elétrico (c).

Podemos calcular o potencial elétrico a partir do campo elétrico da seguinte maneira:

∫−=−f

iif LdEV .V

O potencial de uma carga puntiforme pode ser calculado mediante a equação dada:

V dr VkQr

kQr= − ⇒ =∫ 2

Para um sistema de cargas puntiformes q1,q2,...,qn, o potencial elétrico em um ponto P será a soma do potencial elétrico devido às diversas cargas em P; se r1, r2, ... , rn, for a distância da carga qi ao ponto P, então o potencial em P será dado por:


Potencial Elétrico

V V V V VnkQr

kQr

kQrP P

n

nP= + + + ⇒ = + + +1 2

1

1 2

O potencial de uma distribuição contínua de carga é dado por:

2... ...

V dV dqr= =∫ ∫1

4 0πε

A integral nessa expressão é tomada sobre toda a distribuição de carga. Exemplo 9) Duas cargas q1 e q2 distantes de r estão fixas em suas posições. Encontre a energia potencial elétrica da configuração.

U q V qkq

rkq q

r= = =1 2 12 1 2

Figura 7 – A energia potencial associada à carga de teste q0 no ponto a depende das cargas q1, q2 e q3 bem como suas distâncias r1, r2 e r3. Pode-se mostrar que para um sistema de cargas puntiformes q1, q2, ...qN a energia potencial será dada por:

( )[ ]++++= 15141312121 VVVVQWE

( )[ ]+++++ 25242321221 VVVVQ

( )[ ]+++++ 35343231321 VVVVQ

( )[ ]+++++ 45434241421 VVVVQ

( )[ ]++++++ 54535251521 VVVVQ

A energia armazenada no campo eletrostático é calculada por:

dVEWV

E ∫∫∫= 20

2ε

• Condutor Isolado: Uma vez o equilíbrio de cargas é estabelecido, e um excesso de cargas é colocado em um condutor isolado, esta se distribuirá ao longo de sua superfície. Isto sempre ocorrerá quando o condutor tiver uma cavidade interna vazia.

Superfícies eqüipotenciais e Campo elétrico:

Figura 8 – Superfícies equipotenciais. O campo elétrico é normal às superfícies.

O vetor campo elétrico sempre é perpendicular às superfícies eqüipotenciais e apontam da maior para os menores valores de potencial elétrico. Figura 9 – Caminho descrito por uma carga. A figura anterior ilustra a trajetória descrita por uma carga elétrica positiva deslocando-se entre

a. Observe que ela caminha da região de ial para a de menor potencial elétrico.

linhas de forçmaior potenc Fie em (b) umovendo-se movendo-se n

gura 10 – Em (a) temos uma carga puntiforme positiva ma carga puntiforme negativa. Em ambos os casos, no sentido de E, o potencial elétrico V diminui e o sentido oposto de E o potencial elétrico V aumenta.


Potencial Elétrico

Linhas elétricas de força: As linhas elétricas de força indicam a direção na

qual uma carga positive de teste se moveria na presença de um campo elétrico. O diagrama acima mostra as linhas de força para duas cargas positivas que se repelem. Uma carga teste positiva seria repelida de ambas as cargas O diagrama a direita mostra a linha de força de duas cargas que se atraem. Uma carga teste positiva seria atraída para a carga negativa.

Potencial Elétrico de um Dipolo Elétrico:

Quando temos duas cargas de mesma magnitude porém sinais opostos, há um dipolo elétrico, com as cargas +Q e –Q localizadas em (0,0,+d/2) e (0,0,-d/2), respectivamente. Figura 7 – Representação de dipolo elétrico.

Gradiente do potencial

Podemos obter o potencial de duas maneiras: uma diretamente a partir da intensidade do campo elétrico, fazendo a integral de linha, e outra através da distribuição de cargas em si, fazendo a integral apropriada, conforme a distribuição de cargas. Porém, nem sempre é conhecida a intensidade do campo elétrico ou a distribuição de carga. Informações sobre as superfícies equipotenciais são muito úteis.

Da relação conhecida: ∫ ⋅−= LdEV Podemos imaginar um elemento pequeno ∆L ao longo do qual E é essencialmente constante, dando a uma diferença de potencial:

LdEV ⋅−=∆

θcosLdEV ⋅−=∆

Considerando a situação limite, teremos:

θcosEdLdV

−=

O valor máximo dessa expressão pode ser dada por:

EdLdV

=max

Obtemos as características de E e V em qualquer ponto:

• A magnitude da intensidade do campo elétrico é dada pelo máximo valor da taxa de variação do potencial com a distância.

• O máximo valor é obtido quando a direção do comprimento incremental é oposta a E ou, em outras palavras, a direção de E é oposta à direção à qual o potencial está aumentando mais rapidamente.

Assim:

NadLdVE ˆ

max

−=

Onde é um vetor unitário normal à superfície equipotencial e apontando na direção dos maiores potenciais.

Na

Como maxdL

dVocorre quando ∆L na direção

de , NadNdV

dLdV

=max

e:

NadNdVE ˆ−=

Mas, podemos encontrar a derivada direcional de V:

Nzyx aazVa

yVa

xV

dNdV ˆˆˆˆ ⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=

NaVdNdV ˆ⋅∇=

Comparando, chega-se a: VE ∇−= Ou seja, podemos obter o campo elétrico fazendo menos o gradiente do potencial V. O gradiente é obtido: Em coordenadas cartesianas:

zyx azVa

yVa

xVV ˆˆˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

• Em coordenadas cilíndricas:

zazVaVaVV ˆˆ1ˆ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ φρ φρρ

• Em coordenadas esféricas:

∇ φθ φθθaV

rsenaV

ra

rVV r ˆ1ˆ1ˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=


Potencial Elétrico

Considere agora o dipolo elétrico:

Er

dr ˆra dl E P

rdθ Eθ

θ

1R

r 2R

O Potencial em P devido às cargas +Q e –Q é dado por:

0 1 0 2

1 14 4

Q QVR Rπε πε

= −

2 1

0 2 14R RQVR Rπε

⎛ ⎞−= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Observe da figura que podemos aproximar:

2 1 cosR R d θ− ≅ 2

2 1R R r≅

20

cos4

QdVrθ

πε≅

20

cos4pV

rθ

πε≅

20

ˆ4

rp aVrπε

⋅≅

Como: ˆrr rar r

′−=

′−

Sendo os vetores: r : localiza o ponto P. r ′ : localiza o centro do dipolo.

dQp = : momento de dipolo. O potencial elétrico num ponto P localizado pelo vetor r é dado por (Observe da figura):

rrrrp

rrV

′−′−

⋅′−

= 204

1πε

Campo elétrico de um dipolo elétrico:

1 1ˆ ˆrV V VE V a a ar r rsen

ˆθ φθ θ φ∂ ∂ ∂

= −∇ = − − −∂ ∂ ∂

20

cos4

Qdr

V θπε

≅

2 20 0

cos 1 cos 1 cosˆ ˆ4 4 4r

Qd Qd Qd2

0

ˆE a ar r r r rsen r

aθ φθ θ

πε θ πε θ φ πε⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

=− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

θ

( )2 20 0

cos 1 1ˆ ˆ ˆcos 04 4r

Qd QdE a ar r r r

aθ φθ θ

πε πε θ∂ ∂⎛ ⎞=− − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

( )2 20 0

cos 1 1ˆ ˆcos4 4r

Qd QdE a ar r r r θ

θ θπε πε θ

∂ ∂⎛ ⎞=− −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

( )3 30 0

cos 2 ˆ ˆ4 4r

Qd QdE a senr r

aθθ θ

πε πε⎛ ⎞=− − − −⎜ ⎟⎝ ⎠

[ ]30

ˆ ˆ2cos4 r

QdE a ser

n aθθ θπε

= +

Para visualizar as superfícies equipotenciais do dipolo, podemos fazer:

r

E rdE drθ θ=

Por outro lado, como:

3 30 0

2 cos ;4 4rQd QdsenE E

r rθθ θ

πε πε= =

30

30

42 cos

4r

QdsenE r drQdE d

r

θ

r

θπε θ

θπε

= =

2cossen dr

drθ θθ=

cos2dr dr sen

θ θθ

=

2dr cotg dr

θ θ=

2dr cotg dr

θ θ=∫ ∫

ln 2lnr sen Cθ= + 2ln lnr sen Cθ= + 2r Asen θ=

Esta equação determina a família de linhas de força para um dipolo elétrico.


Potencial Elétrico

Representação da superfície 2r sen θ= e campo vetorial representando o campo elétrico:

Aplicação: trajetória do elétron em um tubo de raios catódicos.

Exemplo 1 – (a) Um elétron deve ser acelerado de 3,0.106 m/s até 8,0.106 m/s. Para atingir esta velocidade, através de qual ddp ele deve passar?

(b) Através de qual ddp ele deve passar para que ele seja freado de 8,0.106 m/s até ficar momentaneamente em repouso?

(c) Encontre a relação entre y e x. Figura 10 – (a) Representação de um tubo de raios catódicos.

(b) Estudo da trajetória do elétron. (a) (b)

(c) y0 (a)

)(21)(

21 2222

ivif vvq

mVvvmVq −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=∆⇒−=∆−

( ) ( )[ ] VsmxsmxCxkgxV 157/1000.3/1000.8

106.11011.9

21 2626

19

31

+=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆ −

−

(b) ( ) ( )[ ] Vsmxsm

CxkgxV 182/1000.8/0

106.11011.9

21 262

19

31

−=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∆ −

− (c)

Desprezando o peso:

2

21 t

mEqy

tvx x

=

=

Isolando o tempo:

2

20 21

x

x

vx

mqEy

tvx

=

=

2

20 21

2 x

x

vL

mqEdy

tvL

==

=

LmdqEv

mvqELd x

x

=⇒= 2

2

Tempo que o elétron permanece entre as placas: tvLx x==

xv

Lt =

Componente da velocidade vy com que o elétron sai da região entre as placas:

x

yy mvqELvt

mqEv =⇒=

m

qEdvL

mdqEm

qELv yy =⇒=

Módulo da velocidade:

22

222222

xxyx vm

LEqvvvv +=+=

Ao sair da região entre as placas, o elétron possui as componentes das velocidades constantes (MU), se desprezarmos a gravidade:


Potencial Elétrico

Então, chamando de ∆t o tempo que levará para o elétron percorrer do ponto que sai da região entre as placas até atingir a tela:

⎩⎨⎧

∆=∆=−tvD

tvyy

x

y0

Dvv

yyx

y=− 0

DL

mdqEm

qEd

yy += 0

DLdyy += 0

Exemplo 2 – Encontre o potencial de um condutor

esférico oco de raio R nos pontos em seu interior e exterior.

Figura 11 – (a) Representação do campo e do

potencial em um condutor esférico oco.

( ) ∫∞

∞ ⋅−=−r

ldEVrV

Pela lei de Gauss, o campo é dado por:

0εqSdE

S

=⋅∫∫

( )⎪⎩

⎪⎨⎧

<

≥=

Rr

Rrraq

rEr

se 0

se ˆ

4 20πε

O elemento de deslocamento em coordenadas esféricas é dado por:

φθ φθθ adrsenardadrld r ˆˆˆ ++=

( ) ∫∞

∞ −=−r

drr

qVrV 204πε

Fazendo V¶ = 0

( )r

rqrV

∞

=−1

40

0πε

( )r

qr04πε

=V

Exemplo 3 – Encontre a diferença de potencial entre duas placas carregadas com densidades de carga superficiais +rs e -rs.

Observando a disposição da figura, o campo

elétrico na região entre as placas é dado por:

)ˆ(2

)ˆ(2 00

ys

ys aaE −+−=

ερ

ερ

ys a0ε

E ρ−=

∫ ⋅−=−b

aab ldEVV

d

zyx adzadyadxl ˆˆˆ ++=

∫=−b

a

sab dyV

0ερV

( )abV sab −=−

0εV ρ

Exemplo 4 – Encontre o potencial de uma distribuição linear de carga rL, sabendo que:

O potencial é dado por: ∫′ ′−

′′=

L

L

rrLdrrV

04)()(

περ


Potencial Elétrico

z P(x,y,z) L/2 r r’ y x -L/2 Temos: zazr ˆ=′

zyx azayaxr ˆˆˆ ++=

( )222 zzyxrr ′−++=′−

( )∫′ ′−++

′′=

L

L

zzyx

zdrrV222

04

)()(πε

ρ

( )∫+

− ′−++

′=

2

2

22204

)(L

L zzyx

zdrV L

πε

ρ

( )∫+

− ′−++

′=

2

2

22204

)(L

L zzyx

zdrV L

περ

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−+++′−=

=′

−=′

2

2

222

0

ln4

)(L

L

z

z

L zzyxzzrVπερ

( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

+++++

−+++−=

22

222

22

222

0

ln4

)(LL

LLL

zyxz

zyxzrV

περ

Exemplo 5 – Encontre o potencial de uma

distribuição de carga rs sobre um disco de raio R: Agora o potencial será dado por:

∫∫ ′−′′

=S

S

rrSdrrV

04)()(

περ

Usando coordenadas cilíndricas:

z P(x, y, z) rs y r’ x

ρρ ar ˆ′=′

zazar ˆˆ += ρρ

( ) 22 zrr +′−=′− ρρ

( )∫∫+′−

′′′=

S

S

z

ddrV22

04)(

ρρπε

φρρρ

( )∫ ∫+′−

′′′=

π

ρρ

φρρπερ 2

0 022

04)(

RS

z

ddrV

( )⎢⎣⎡ ⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ′−++′−−= 22

0

ln42)( ρρρρρπεπρ zrV S

( )R

z=′

=′⎥⎦⎤′−++ρ

ρρρ

0

22

( )⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

−++−−=

22

22

0

ln2

)(ρρ

ρρρ

ερ

z

RzRrV S

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−−++ 2222

02ρρ

ερ zRzS

Veja que para um ponto sobre o eixo z: r = 0 Então:

=)(rV [ ]zRzS −+ 22

02ε+ρ

Se tomarmos o gradiente do potencial e multiplicarmos por -1, teremos o campo elétrico:

zazVVE ˆ∂∂

−=∇−=

Logo:

[ ]z

S

az

zRzE ˆ2

22

0

∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+∂

−=ερ

zS a

Rzz ˆ1

2 220

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+−=

ερE


Potencial Elétrico

zS a

RzzE ˆ1

2 220

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=

ερ

Compare com a expressão do campo de um disco carregado uniformemente deduzida na pág. 24. É a mesma...!!!

Exemplo 6 – Encontre o potencial de uma

distribuição de carga rL sobre um anel de carga Q circular de raio a

∫′ ′−

′′=

L

L

rrLdrrV

04)()(

περ

ρaar ˆ=′ z P(x, y, z) rs y r’ x zazar ˆˆ += ρρ

( ) 22 zarr +−=′− ρ

φ′=′ adLd

( )∫′ +−

′′=

L

L

za

adrrV22

04

)()(ρπε

φρ

( ) ∫ ′+−

=π

φρπε

ρ 2

022

04)( d

za

arV L

( ) 2202

)(za

arV L

+−=

ρε

ρ

Ou:

( ) 2204

)(za

QrV+−

=ρπε

Sobre o eixo Oz: r =0.

2202

)(za

azV L

+=

ερ

2204

)(az

QzV+

=πε

Exemplo 7– Encontre a diferença de potencial entre dois pontos devido a um fio infinito com densidade de carga rL.

Campo devido a um fio infinito:

ρρπερ aE L ˆ

2 0

=

Potencial:

∫−=−f

iif LdEV .V

d

Adotando potencial zero no infinito e lembrando que em coordenadas cilíndricas:

zadzadadl ˆˆˆ ++= φρ φρρ

( ) ( ) ∫−=−ρ

ρ

ρρπε

ρρρ0 0

0 2dV LV

( ) ( )00

0 ln2 ρ

ρπερρρ LV −=−V

Exemplo 8– Encontre o potencial devido a um fio carregado com carga Q de comprimento 2L com densidade de carga uniforme rL.

Podemos calcular o potencial diretamente por:

∫′ ′−

′′=

L

L

rrLdrrV

04)()(

περ

zyx azayaxr ˆˆˆ ++= Colocando sobre o fio sobre o eixo z:

zazr ˆ′=′

( )∫′ ′−++

′=

L

L

zzyx

zdrV222

04)(

περ

( )∫+

− ′−++

′=

L

L

L

zzyx

zdrV222

04)(

περ

( ) ( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ′−−′−++=

=′

−=′

Lz

Lz

L zzzzyxrV 222

0

ln4

)(περ

( )( )⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−++

−−+++=

LzLzyxLzLzyxV L

222

222

0 )()(ln

4περ

Ou:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−−++

−−+++=

)()()()(ln

42 222

222

0 LzLzyxLzLzyx

LQVπε

Exemplo 9– Encontre o potencial devido a

uma distribuição uniforme de carga rv cilíndrica de raio R infinita.

Relação entre a densidade de carga:

dVdQ

LRQ

v == 2πρ

Campo da distribuição de carga será dado pela lei de Gauss:

0εQSdE

s

=⋅∫∫


Potencial Elétrico

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>=⋅∫∫

RL

RLR

SdEv

v

s ρεπρρ

ρεπρ

se

se

0

20

2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>=

RL

RLR

LEv

v

ρεπρρ

ρεπρ

πρ se

se 2

0

20

2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>=

R

RR

Ev

v

ρερρ

ρρε

ρ

se 2

se 2

0

0

2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>=

Ra

RaR

Ev

v

ρερρ

ρρε

ρ

ρ

ρ

se ˆ2

se ˆ2

0

0

2

Sendo

zadzadadld ˆˆˆ ++= φρ φρρ Sejam r,r0 < R:

( ) ( ) ∫−=−ρ

ρ

ρρερρρ

0 00 2

dVV v

( ) ( ) ( )20

2

00 4

ρρερρρ −−=− vVV

( ) ( ) ( )220

00 4

ρρερρρ −=− vVV

Sejam r,r0 > R:

( ) ( ) ∫−=−ρ

ρ

ρρε

ρρρ0 0

2

0 2dRVV v

( ) ( ) ∫−=−ρ

ρ

ρρε

ρρρ0

12 0

2

0 dRVV v

( ) ( )00

2

0 ln2 ρ

ρε

ρρρ RVV v−=−

Exemplo 10 - Encontre o potencial devido a uma

distribuição uniforme de carga rv esférica de raio R. Relação entre a densidade de carga:

dVdQ

RQ

v == 334π

ρ

Campo da distribuição de carga será dado pela lei de Gauss:

0εQSdE

s

=⋅∫∫

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>=⋅∫∫

Rr

RrR

SdEv

v

s ρεπρεπρ

se 34

se 34

0

30

3

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>=

Rrr

RrR

rEv

v

se 3

4

se 3

4

4

0

30

3

2

επρεπρ

π

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>=

Rrr

RrrR

Ev

v

se 3

se 3

0

20

3

ερερ

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<

>=

Rrar

RrraR

Erv

rv

se 3

ˆ

se 3

ˆ

0

20

3

ερε

ρ

Sendo

φθ φθθ adrsenardadrl r ˆˆˆ ++=d Sejam r,r0 < R:

( ) ( ) ∫−=−r

r

v rdrrVrV0 0

0 3ερ

( ) ( ) ( )220

00 6

rrrVrV v −=−ερ

Sejam r,r0 > R:

( ) ( ) ∫−=−r

r

v drrRrVrV

0

20

3

0 3ερ

( ) ( )rr

rr

v

rRrVrV

=

=

=−0

0

3

0 3ερ

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

00

3

011

3 rrRrVrV v

ερ

Exemplo 11 – (pg. 93 – Hayt 4a Edição)

Dado ( )2 ˆ ˆ ˆ3 2 2 Vx y z mE x a za ya= + + ache

o trabalho para mover uma carga de 20µC ao longo de um percurso incremental de 10-4m de comprimento na direção:

ˆ ˆ0.6 0.48 0.64x ya a ˆza− + − (a) Localizado na origem; (b) Em P(2, -2, -5)


Potencial Elétrico

Solução:

ˆLdW QE a dL= − ⋅

(a) ( )2 ˆ ˆ ˆ3 2 2 Vx y z mE x a za ya= + +

( ) ( ) ( ) ( )2 ˆ ˆ ˆ(0, 0, 0) 3 0 2 0 2 0 Vx y z mE a a= + + a

( )ˆ ˆ ˆ(0, 0, 0) 0 0 0 Vx y z mE a a a= + +

( )0dW J=

(b) ( )2 ˆ ˆ ˆ3 2 2 Vx y z mE x a za ya= + +

( ) ( ) ( ) ( )2 ˆ ˆ ˆ(2, -2, -5) 3 2 2 5 2 2 Vx y z mE a a= + − + − a

( )ˆ ˆ ˆ(2, -2, -5) 12 10 4 Vx y z mE a a a= − −

( ) ( ) 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ20 12 10 4 0.6 0.48 0.64 10x y z x y zdW a a a a a aµ −=− − − ⋅ − + −

( ) ( ) ( )( ) 420 12 0.6 10 0.48 4 0.64 10dW µ −=− − − − −

( ) 420 9.44 10dW µ −=− −

( )18.88dW nJ=

Exemplo 12 – (pg. 50, E4.1– Hayt) Dado

( ) ( )2 22

1 ˆ ˆ ˆ8 4 4 Vx y mz

E xyza x za x yaz

= + − determine

a quantidade diferencial de trabalho realizado ao deslocarmos uma partícula de 6nC de uma distância de 2µm, partindo de P(2, -2, 3) e caminhando na direção

: ˆLa

(a) 6 3 2ˆ ˆ7 7 7x ya a+ + ˆza

(b) 6 3 2ˆ ˆ7 7 7x ya a− − ˆza

(c) 3 6ˆ ˆ7 7x ya a+

Solução: ˆLdW QE a dL= − ⋅

(a) ( ) ( )( ) ( )2 22

1 ˆ ˆ ˆ(2, -2, 3) 8 2 2 3 4 2 3 4 2 23

Vx y mz

E a a= ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − a

( )( )1 ˆ ˆ ˆ(2, -2, 3) 96 48 329

Vx y z mE a a a= − + +

( )( )1 ˆ ˆ ˆ(2, -2, 3) 96 48 329

Vx y z mE a a= − + + a


( )1 6 3 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 96 48 27 7x y x y zdW n a a a a aˆ32

9 7a µ⎛ ⎞=− − + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠⋅

1 6 3 26 96 48 32 29 7 7 7

dW n µ⎛ ⎞=− − + +⎜ ⎟⎝ ⎠

1 3686 29 7

dW n µ⎛ ⎞=− −⎜ ⎟⎝ ⎠

441654

dW nµ=

( )7369

dW fJ=

(b) 6 3 2ˆ ˆ7 7 7x ya a− − ˆza


( )1 6 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 96 48 32 29 7 7x y x y zdW n a a a a a a2

7µ⎛ ⎞=− − + + ⋅ − −⎜ ⎟

⎝ ⎠1 7846 29 7

dW n µ⎛ ⎞=− −⎜ ⎟⎝ ⎠

940854

dW nµ=

( )15689

dW fJ=

(c) 3 6ˆ ˆ7 7x ya a+


( )1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 96 48 32 29 7x y x ydW n a a a a a6

7µ⎛ ⎞=− − + + ⋅ +⎜ ⎟

⎝ ⎠6 0 2dW n µ=− ⋅ ⋅

( )0dW fJ=

Exemplo 13 – (pg. 50, E4.2– Hayt) Calcule o trabalho realizado ao deslocarmos

uma carga de 4C, de B(1, 0, 0) até A(0, 2, 0) ao longo do caminho y = 2 – 2 x, z = 0, no campo E =

(a) ( )ˆ5 Vx ma

(b) ( )ˆ5 Vx mxa

(c) ( )ˆ ˆ5 5 Vx y mxa ya+

L

Solução: f

i

W Q E d= − ⋅∫


Potencial Elétrico

(a) ( )ˆ5 Vx ma

( )(0,2,0)

(1,0,0)

ˆ ˆ ˆ ˆ4 5 x x yW a dxa dya dza= − ⋅ + +∫(0,2,0)

(1,0,0)

4 5W dx= − ∫

z

( )( )0,2,0

1,0,04 5 20 (0 1)W x= − ⋅ = − ⋅ −

( )20W J=

(b) ( )ˆ5 Vx mxa

( )(0,2,0)

(1,0,0)

ˆ ˆ ˆ ˆ4 5 x x yW xa dxa dya= − ⋅ + +∫(0,2,0)

(1,0,0)

4 5W xdx= − ∫

zdza

( )

( )0,2,02 2

1,0,0

0 14 5 20 ( )2 2xW = − ⋅ = − ⋅ −

2

2

( )10W J=

(c) ( )ˆ ˆ5 5 Vx y mxa ya+

zdza( ) ( )(0,2,0)

(1,0,0)

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 5 5x x x yW xa ya dxa dya= − + ⋅ + +∫

( )(0,2,0)

(1,0,0)

4 5 5W xdx ydy= − +∫

( )

( )

( )

( )0,2,0 0,2,02 2

1,0,0 1,0,0

4 52 2x yW⎡ ⎤⎢ ⎥= − ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2 2 20 1 2 0202 2 2 2

W⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − ⋅ − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

120 22

W ⎡ ⎤= − ⋅ − +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )30W J= − Exemplo 14 – (Hayt – pg. 53 E4.3) Veremos mais tarde que um campo E variante no

tempo não é conservativo (Se ele não é conservativo, o trabalho deve ser uma função do caminho usado). Considere ( )ˆ V

y mE ya= em certo instante de tempo e calcule o trabalho para deslocar uma carga de 3C de (1, 3, 5) para (2, 0, 3) ao longo dos segmentos de retas unindo:

(a) (1, 3, 5) a ( 2, 3, 5) a (2, 0, 5) a (2, 0, 3) (b) (1, 3, 5) a ( 1, 3, 3) a (1, 0, 3) a (2, 0, 3)

Solução: (a) (1, 3, 5) a ( 2, 3, 5) a (2, 0, 5) a (2, 0, 3)

f

i

W Q E dL= − ⋅∫

1 2 3C C C

W Q E dL E dL E dL⎛ ⎞

= − ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫

( )ˆ ˆ ˆ ˆx x y zE dL ya dxa dya dza⋅ = ⋅ + +

E dL ydx⋅ = 2 2 2

1 2 2

3 0W Q dx ydx dx⎛ ⎞

= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫

( )2

13 3 0 0W x= − + +

( )9W J= − (b) (1, 3, 5) a ( 1, 3, 3) a (1, 0, 3) a (2, 0, 3)

1 2 3C C C

W Q E dL E dL E dL⎛ ⎞

= − ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫

( )ˆ ˆ ˆ ˆx x y zE dL ya dxa dya dza⋅ = ⋅ + +

E dL ydx⋅ = 1 1 2

1 1 1

3 0W Q dx ydx dx⎛ ⎞

= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫

( )3 0 0 0W = − + +

( )0W J= Exemplo 15 – (Hayt – pg. 53 E4.4) Um campo elétrico é expresso em

coordenadas cartesianas por:

( )2 ˆ ˆ ˆ6 6 4 Vx y z mE x a ya a= + + . Determine:


Potencial Elétrico

(a) VMN se os pontos M e N são especificados por M(2, 6, -1) e N(-3, -3, 2);

(b) VM se V = 0 em Q(4, -2, -35); (c) VN se V = 2 em P(1, 2, -4). Solução:

( )2 ˆ ˆ ˆ6 6 4 Vx y z mE x a ya a= + +

.M

M NN

V V E d− = −∫ L

(a)

( ) ( )2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 4 .M

M N x y z x yN

V V x a ya a dxa dya dza− =− + + + +∫

( )( )

( )2,6, 12

3, 3,2

6 6 4M NV V x dx ydy dz−

− −

− = − + +∫

z

( )( )

( )2,6, 13 2

3, 3,22 3 4M NV V x y z

−

− −− = − + +

( ) ( ) ( )( )( )3 23 22 2 3 6 4 1 2 3 3 3 4 2M NV V− =− ⋅ + ⋅ + − − ⋅ − + ⋅ − + ⋅

( )( )16 108 4 54 27 8M NV V− =− + − − − + +

( )( )120 19M NV V− =− − −

139M NV V V− =− (b) VM se V = 0 em Q(4, -2, -35);

.M

M QQ

V V E d− = −∫ L

4y dz

( )( )

( )2,6, 12

4, 2, 35

0 6 6MV x dx yd−

− −

− = − + +∫

( )( )

( )2,6, 13 2

4, 2, 352 3 4MV x y z

−

− −= − + +

( ) ( ) ( )( )( )23 2 32 2 3 6 4 1 2 4 3 2 4 35MV =− ⋅ + ⋅ + − − ⋅ + ⋅ − + ⋅ −

( )( )120 0MV =− −

120MV V=− (c) VN se V = 2 em P(1, 2, -4)

.N

N PP

V V E dL− = −∫

( )( )

( )3, 3,22

1,2, 4

2 6 6NV x dx yd− −

−

− = − + +∫ 4y dz

( )( )

( )3, 3,23 2

1,2, 42 2 3 4NV x y z

− −

−= − + +

( ) ( ) ( )(( )3 2 3 22 2 3 3 3 4 2 2 1 3 2 4 4NV = − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ −

()

)( )2 19 2NV = − − − −

19NV V=

Exemplo 16 – (Hayt – pg. 53 E4.5) Uma carga pontual de 15 nC está localizada na

origem do espaço livre. Calcule V1 se o ponto P1 está localizado em P1(-2,3,-1) e:

(a) V = 0 em (6,5,4); (b) V = 0 no infinito; (c) V = 5 em (2,0,4); Em coordenadas esféricas:

( )20

ˆ4

r Vm

aQErπε

=

ˆ ˆrdr dra rd a rsen d aθ φθ θ φ= + +

∫−=−f

iif LdEV .V

( )20

ˆ ˆ ˆ.4

fr

f i ri

aQV V dra rd a rsen d ar

ˆθ φθ θ φπε

− = − + +∫

Como: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0; 1r r r ra a a a a aθ φ⋅ = ⋅ = ⋅ =

204

f

f ii

Q drV Vrπε

− = − ∫

1

( 2,3, 1)

20 (6,5,4)

04P

Q drπε

− −

− = − ∫rV

( ) ( )2 221 2 3 1r = − + + −

1 14=r 2 2 2

0 6 5 4r = + +

0 77=r

1

14

20 774P

Q drrπε

= − ∫V

1

14

770

14

r

Pr

Qrπε

=

=

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦V

10

1 14 14 77P

Qπε

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦V

10

1 14 14 77P

Qπε

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦V

( )1 12

15 1 14 8,85 10 14 77P

nVπ −

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦

120,69PV V=

(b) V = 0 no infinito;

.f

fV V E dL∞∞

− = −∫


Potencial Elétrico

1

1 20

04

r

PQ drV

rπε ∞

− = − ∫

1

14

0

14

r

Pr

QVrπε

=

→∞

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

10

1 04 14P

QVπε

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )1 12

15 14 8,85 10 14P

nVπ −

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦

136,08PV V=

(c) V = 5 em (2,0,4);

2 20 2 0 2r = + 4+

0 20r =

10

1 154 14 20P

QVπε

⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )1 12

15 1 154 8,85 10 14 20P

nVπ −

⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦

15 5,89PV = +

110,89PV V=

Exemplo 17 – (Hayt – pg. 58 E4.6) Se tomarmos zero de referência para potencial no

infinito, determine o potencial em (0,0,2) causado por estas configurações de carga no espaço livre:

(a) 12 nC/m na linha ρ = 2,5 m, z=0; (b) carga pontual de 18 nC em (1,2,-1); (c) 12 nC na linha y = 2,5 m, z = 0. Solução:

∫−=−f

iif LdEVV .

(a) 12 nC/m na linha ρ = 2,5 m, z=0; Campo devido a um anel de raio a:

( ) ( )3

04L

L

r r rE d

r rρπε′

′ ′−L′=

′−∫

ˆr aaρ′ = ; ˆ ˆzr a zaρρ= +

L LdQ dL adρ ρ φ′ ′= = ′

( ) ˆ ˆzr r a a zaρρ′− = − +

( )2 2r r a zρ′− = − +

( )( )( )

2

3 22 200

ˆ ˆ4

zL a a zaE ad

a z

πρρρ φ

πε ρ

⎡ ⎤− +⎢ ⎥ ′= ⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

( )( )( ) ( )( )

2 2

3 2 3 22 22 20 0 0

ˆ ˆ4

L za a da zEa z a z

π πρρ φρ φ

πε ρ ρ

a d⎡ ⎤

′− ′⎢ ⎥= +⎢ ⎥− + − +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

( )( )( ) ( )( )

2 2

3 2 3 22 22 20 0 0

ˆˆ4

L zaa zaE a d da z a z

π π

ρ

ρρ φ φπε ρ ρ

⎡ ⎤−⎢ ⎥′ ′= +⎢ ⎥

− + − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

A primeira integral tem o valor zero, pois se

lembre que o versor aρ depende do ângulo φ: aφ φ φ aρ

ˆ ya φ ˆxa

( )2ˆ ˆcos cosx ya a πρ φ φ= + − a

a

ˆ ˆcos x ya a senρ φ φ= +

ˆ ˆ cosx ya sen aφ aφ φ= − +

( )2 2

0 0

ˆ ˆcos x ya d a sen a dπ π

ρ ˆφ φ φ φ′ ′ ′= +∫ ∫ ′

ˆ

2 2 2

0 0 0

ˆ ˆcos x ya d d a sen d aπ π π

ρ φ φ φ φ φ′ ′ ′ ′ ′= +∫ ∫ ∫

[ ] [ ]2

2 2

0 00

ˆ ˆ cosx ya d sen a aπ

φ π φ πρ φ φφ φ φ′ ′= =

′ ′= =′ ′ ′= + −∫ ˆ

ˆ

2

0

ˆ ˆ0 0x ya d a aπ

ρ φ′ = +∫

Assim:

( )( )[ ] 2

3 2 02 20

ˆ4

L za za

a z

φ π

φ

ρ φπε ρ

′=

′=E

⎡ ⎤⎢ ⎥′= ⎢ ⎥

− +⎢ ⎥⎣ ⎦


Potencial Elétrico

( )( )3 22 20

ˆ2

4L za zaE

a z

ρ ππε ρ

⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥

− +⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( )3 22 20

ˆ2

Lz

a zE aa z

ρε ρ

=− +

Potencial em P(0,0,2)

.P

PV V E dL∞∞

− = −∫

( )( )2

3 22 20

ˆ .2

PL

P za zV V a dL

a z

ρε ρ

∞∞

− = −− +

∫

ˆ ˆ ˆzdL d a d a dzaρ φρ ρ φ= + +

( )( )(0,0,2)

3 22 20

02

LP

a zdzVa z

ρε ρ∞

− = −− +

∫

( )

0; 2

2 20

12

z

LP

aVa z

ρ

ρε ρ

= =

∞

⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥− +⎣ ⎦

( )

0; 2

2 20

12

z

LP

aVa z

ρ

ρε ρ

= =

∞

⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥− +⎣ ⎦

( )2 20

1 02 0 2

LP

aVa

ρε

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥− +⎣ ⎦

20

12 4

LP

aVa

ρε

=+

Veja que poderíamos ter calculado o potencial também por:

∫′ ′−

′′=

L

L

rrLdrrV

04)()(

περ

ˆr aaρ′ = ; ˆ ˆzr a zaρρ= +

L LdQ dL adρ ρ φ′ ′= = ′

( ) ˆ ˆzr r a a zaρρ′− = − +

( )2 2r r a zρ′− = − +

( )2 20

( )4

L

L

adV ra z

ρ φ

πε ρ′

′=

− +∫

( )

2

2 20 0

1( )4

LaV r da z

πρ φπε ρ

′=− +

∫

( )[ ] 2

02 20

1( )4

LaV ra z

φ π

φ

ρ φπε ρ

′=

′=′=

− +

( )2 20

1( ) 24

LaV ra z

ρ ππε ρ

=− +

( )2 20

1( )2

LaV ra z

ρε ρ

=− +

Observe que na página 57 do livro tem um π a mais no denominador. Tire por favor!!!

Como o raio do anel vale a = 2.5m:

( )12 2

12 2.5 12 8.85 10 2.5 4

PnV

−=

⋅ +

( )12 2

12 2.5 12 8.85 10 2.5 4

PnV

−=

⋅ +

31.6949 10 0.3123P = ⋅V

( )529,32PV V= (b) carga pontual de 18 nC em (1,2,-1);

0

14P

Qr rπε

=′−

V

ˆ ˆ ˆ0 0 2P x y zr a a a= + +

ˆ ˆ ˆ1 2 1x y zr a a a′ = + −

ˆ ˆ ˆ1 2 3P x yr r a a a′− = − − + z

( ) ( )2 2 21 2Pr r′ 3− = − + − +

14Pr r′− =

0

18 14 14P

nπε

=V

( )43.29PV V= (c) 12 nC na linha y = 2,5 m, z = 0

o Supondo uma densidade linear de carga de 12 nC/m em um fio de comprimento L


Potencial Elétrico

0

( )( )4

L

L

r dxV rr r

ρπε′

′ ′=

′−∫

ˆ ˆ0 0 2P x y zr a a= + + aˆz

ˆ ˆ2.5 0x yr x a a a′ ′= + +

ˆ ˆ2.5 2P x yr r x a a a′ ′− = − + ˆz

( )22 22.5 2Pr r x′ ′− = + − +

2 10.25Pr r x′ ′− = + 2.5

20 0

124 10.25

Pn dxV

xπε′

=′ +

∫

2 2

2 2lndx x x a C

x a= + + +

+∫

2

00

12 ln 10.254

x L

Px

nV x xπε

′=

′=

⎡ ⎤′ ′= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2

0

12 ln 10.25 ln 0 0 10.254P

nV L Lπε

⎡ ⎤= + + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦2

0

12 10.25ln4 10.25P

n L LVπε

⎡ ⎤+ += ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

o Supondo uma carga12 nC na linha y = 2,5 m, z = 0 e x =0 :

0

14P

QVr rπε

=′−

ˆ ˆ0 0 2P x y zr a a= + + aˆz

ˆ ˆ0 2.5 0x yr a a a′ = + +

ˆ ˆ0 2.5 2P x yr r a a a′− = − + ˆz

( ) ( )2 2 20 2.5Pr r′− = + − + 2

10.25Pr r′− =

0

12 14 10.25P

nVπε

=

( )33,73PV V=

Exemplo 18 – (Hayt – pg. 61 E4.7) Uma porção de um campo potencial bidimensional

é mostrada na figura abaixo. As linhas de grade estão separadas de 1mm. Determine os valores aproximados do campo E em coordenadas cartesianas em:

(a) a; (b) b; (c) c.

Solução:

E V= −∇ (a) a; (-4,-6) (mm)

ˆyVE V ax

∂= −∇ = −

∂

3

106 104 ˆ2 10 yE V a−

−= −∇ = −

⋅

( )ˆ1000 Vy mE V a= −∇ ≅ −

(b) b; (c) c. Exemplo 19 – (Hayt – pg. 61 E4.8) Dado o campo potencial em coordenadas

cilíndricas, (2

100 cos1

V Vz

ρ φ=+

) e o ponto P

em ρ = 3m, φ = 60°, z = 2m, determine os valores em P para:

(a) V; (b) E; (c) E; (d) dV/dN; (e) aN ; (f) ρv no espaço livre. Solução: (a) V;

( )2

100 cos1

V Vz

ρ φ=+

( )2

100 3cos 602 1

V V= °+

( )30,0V V= (b) E;

E V= −∇


+∂∂

+∂∂

=∇ φρ φρρ


Potencial Elétrico

2 2

2

100 1 100ˆ ˆcos cos1 1

100 ˆcos1 z

V a a +z z

az z

ρ φρ φ ρ φρ ρ φ

ρ φ

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ + ∂ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ⎛ ⎞⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠

22

2 2 2 2

2

2 2

1 100 1 100cos cos1 1

100 cos1

Vz z

z z

ρ ρ φ ρ φρ ρ ρ ρ φ

ρ φ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ = +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ + ∂ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠∂ ⎡ ⎤+ ⎢ ⎥∂ +⎣ ⎦

( ) ( )2 2

2

100cos 1 100ˆ ˆcos1 1

1 ˆ100 cos1 z

V az z

az z

ρ φaφ ρ ρρ ρ φ

ρ φ

∂ ∂∇ = + +

+ ∂ + ∂

∂ ⎛ ⎞⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠

φ

( )22 2 2

100cos 100 2ˆ ˆ ˆ100 cos1 1 1

zzV a sen a

z z zρ φ aφ φ ρ φ∇ = − −

+ + +

( )22 2 2

100cos60 100 2 2ˆ ˆ ˆ60º 100 3cos602 1 2 1 2 1

P zV a sen aρ φ° ⋅

∇ = − − ⋅ °+ + +

a

ˆ ˆ10 10 3 24 ˆP zV a aρ φ∇ = − − a

( )ˆ ˆ10 10 3 24 zE a aρ φ= − − − a

( )ˆ ˆ ˆ10 10 3 24 Vz mE a a aρ φ= − + +

(c) E;

ˆ ˆ10 10 3 24 zE a aρ φ= − + + a

( ) ( )22 210 10 3 24E = − + +

( ) ( )22 210 10 3 24E = − + +

( )31.24 VmE =

(d) dV/dN;

( )31.24 Vm

dVEdN

= =

(e) aN ;

ˆNVaV

∇=∇

ˆ ˆ10 10 3 24ˆ

31.24z

N

a aa ρ φ− −

=a

ˆ ˆ ˆ0.320 0.554 0.768 ˆN za a aρ φ= − − a

(f) ρv no espaço livre.

v Dρ = ∇⋅

0v Eρ ε= ∇⋅

( )0v Vρ ε= ∇⋅ −∇

20v Vρ ε= − ∇

Em coordenadas cilíndricas, o Laplaciano de V é dado por:

2 22

2 2 2

1 1V VV Vz

ρρ ρ ρ ρ φ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∇ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

( )2

100 cos1

V Vz

ρ φ=+

[ ] [ ]2

22 2 2 2

2

2 2

100 1 100cos cos1 1

100cos1

Vz z

z z

ρφ ρ ρ φρ ρ ρ ρ φ

ρ φ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇ = +⎜ ⎟+ ∂ ∂ + ∂⎝ ⎠

∂ ⎡ ⎤+ ⎢ ⎥∂ +⎣ ⎦

( ) [ ]

( )

22 2 2

22

100 1 100cos1 1

2100 cos1

V senz z

zz z

ρφ ρ φρ ρ ρ φ

ρ φ

∂ ∂∇ = + −

+ ∂ + ∂

⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥−⎢ ⎥∂ +⎣ ⎦

( ) ( )( )

22 2

2 22 2

42

100 1 100 1cos cos1 1

1 1 2 1 2200 cos

1

Vz z

1z z z z

z

φ φρ ρ

ρ φ−

∇ = −+ +

⎡ ⎤⋅ + − ⋅ +⎢ ⎥−⎢ ⎥+⎣ ⎦

( ) ( )( )

2 22 2

42

1 4200 cos 1

1

z zV z

zρ φ

⎡ ⎤+ −⎢ ⎥∇ = − +⎢ ⎥+⎣ ⎦

( )2

232

1 3200 cos1

zVz

ρ φ −∇ = −

+

20v Vρ ε= − ∇

( )2

0 32

1 3200 cos1

vz

zρ ε ρ φ

⎧ ⎫−⎪ ⎪= − −⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭

`

( )2

0 32

1 3200 cos1

vz

zρ ε ρ φ −

=+

( )2

1232

1 3 28.85 10 200 3cos602 1

vρ− − ⋅

= ⋅ ⋅ °+

12 1 118.85 10 200 32 125vρ

− −⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )3233.64 pcv m

ρ = −

Exemplo 20 – (Hayt – pg. 64 E4.10) Um dipolo elétrico localizado na origem do

espaço livre possui momento de dipolo ( )ˆ ˆ ˆ3 2x y zp a a a nC m= − + ⋅ .

(a) Determinar V em PA(2,3,4). (b) Determinar V em r = 2.5, θ = 30° e φ = 40°.

Solução: Esquema do dipolo e linhas de campo:


Potencial Elétrico

p Qd=

20

14

r rV pr rr rπε

′−= ⋅

′−′−

r :Localiza o ponto P. r′ :Localiza o centro do dipolo.

ˆ ˆ2 3 4x yr a a a= + + ˆz

ˆz

ˆz

ˆ ˆ0 0 0x yr a a a′ = + +

ˆ ˆ2 3 4x yr r a a a′− = + +

ˆ ˆ ˆ2 3 4x yr r a a a′− = + + z

2 2 22 3 4 29r r′− = + + =

20

14

r rV pr rr rπε

′−= ⋅

′−′−

( ) ( )2

0

ˆ ˆ ˆ2 3 4ˆ ˆ ˆ3 2

294 29x y z

x y z

a a anV a a aπε

+ += − + ⋅

( )0

3 2 2 3 1 44 29 29

nπε

V = ⋅ − ⋅ + ⋅

0

44 29 29

nVπε

=

( )0.2305V V=

(b) Determinar V em r = 2.5 θ = 30° e φ = 40°. ,

20

ˆ4

rp ar

Vπε⋅

=

r é a distância do centro do dipolo ao ponto P: ˆ ˆ ˆcos cosr x ya sen a sen sen a azθ φ θ φ θ= + +

ˆ ˆ ˆ30 cos 40 30 40 cos30r x ya sen a sen sen a az= ° ° + ° ° + °

ˆ ˆ ˆ ˆ0.383 0.3214 0.866r x y za a a a= + +

( ) ( )2

0

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 0.383 0.3214 0.8664 2.5

x y z x y za a a a a aV

πε− + ⋅ + +

=n

( )2

0

3 0.383 2 0.3214 1 0.8664 2.5

nV

πε⋅ − ⋅ + ⋅

=

0

1.37224 6.2

nVπε

=5

1.975( )V V= Exemplo 21– (Hayt – pg. 64 E4.10) Um dipolo de momento ( )ˆ6 zp a nC m= ⋅

está localizado na origem do espaço livre. (a) Determine V em P(r = 4, θ = 20°, φ = 0°); (b) Determine E em P. Solução:

(a) 20

ˆ4

rp aVrπε

⋅=

ˆ ˆ ˆcos cosr x ya sen a sen sen a azθ φ θ φ θ= + +

ˆ ˆ ˆ20 cos 0 20 0 cos 20r x ya sen a sen sen a az= ° ° + ° ° + °

ˆ ˆ ˆ0.342 0 0.9397r x ya a a= + + ˆza

( ) ( )2

0

ˆ ˆ ˆ ˆ6 0.342 0 0.93974 4

z x ya a a aV

πε⋅ + +

= z n

( )0

6 0.93974 16

nπε

⋅=V

( )3.17V V=

(b) ( )30

ˆ ˆ2cos4 r

pE a sen ar θθ θ

πε= +

( )30

6 ˆ ˆ2cos 20 204 4 r

nE a sen aθπε= ° + °


a

Potencial Elétrico

( )ˆ ˆ0.84375 1.879 0.342rE a θ= +

( )ˆ ˆ1.585 0.288 Vr mE a aθ= +

Exemplo 21 – (Hayt – pg. 66 E4.11) Determine a energia armazenada no espaço livre para a região 2mm < r < 3 mm, 0 < θ < 90°, 0 < φ < 90° dado o campo potencial V =:

(a) 200V

r

(b) 2

300cos Vr

θ

Solução: 1

2Ev

W D= ⋅∫∫∫ Edv

φθ φθθaV

rsenaV

ra

rVV r ˆ1ˆ1ˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

E V= −∇

0 0D E Vε ε= = − ∇

( )0D E V Vε⋅ = − ∇ ⋅ −∇ 2

0D E Vε⋅ = ∇ 2

102E

v

W Vε= ∇∫∫∫ dv

20

2Ev

W V dvε= ∇∫∫∫

(a) 200V

r=

200 200200 1 1ˆ ˆ ˆr

r rV a a ar r r rsenθ φθ θ φ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∇ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2

200 ˆ ˆ0 0rV a ar

aθ φ∇ = − + +

2

200 ˆrV ar

∇ = −

2

200Vr

∇ =

20

2

2002E

v

W dr

ε ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫∫ v

32 2

3

3 102 20

40 02 10

12002EW r sen

r

π π

ε d d drθ θ φ−

−

⋅

⋅

= ∫ ∫ ∫

32 2

3

3 104 20

0 02 10

4 102EW r dr sen

π π

ε d dθ θ φ−

−

⋅−

⋅

= ⋅ ∫ ∫ ∫

[ ] [ ]3

2 2

3

3 1040

0 02 10

14 10 cos2

r

Err

Wπ πθ φ

θ φ

ε θ φ−

−

= ⋅= =

= == ⋅

⎡ ⎤= ⋅ − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )40 2 23 3

1 12 10 cos cos0 03 10 2 10EW π πε − −

⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ − − − − − − −⎡ ⎤⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⋅ ⋅⎝ ⎠⎣ ⎦

[ ]40 23 3

1 12 10 0 13 10 2 10EW πε − −

⎡ ⎤= ⋅ − + + ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⋅ ⋅⎣ ⎦

4

0 23

10 1 12 110 3 2EW πε −

⎡ ⎤= ⋅ − + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

702 10

12EW πε= ⋅

12 78.85 10 2 1012EW π−= ⋅ ⋅

( )54.13 10EW J−= ⋅

(b) 2

300cos Vr

θ

2 2

2

300cos 300cos300cos 1 1ˆ ˆr

r rV a ar r r rsen

aθ φ

θ θθ

θ θ φ

⎛ ⎞ ⎛∂ ∂⎜ ⎟ ⎜∂ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝∇ = + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

⎞⎟⎠

∂

( )2 3

cos300cos 300ˆ ˆrV ar r r

aθθθ

θ∂∂ ⎛ ⎞∇ = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

3 3

600cos 300ˆ ˆrsenV a

r raθ

θ θ∇ = − −

2 22

3 3

600cos 300senVr r

θ θ⎛ ⎞ ⎛∇ = +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝

⎞⎟⎠

( )42 2 2

6

9 10 4cosV sr

enθ θ⋅∇ = +

( )4

2 206

9 10 4cos2E

v

W sr

ε θ θ⋅= +∫∫∫ en dv

( )3

2 2

3

3 104 2 2 20

60 02 10

19 10 4cos2EW sen r sen d d dr

r

π π

ε θ θ θ θ φ−

−

⋅

⋅

= ⋅ +∫ ∫ ∫

( )3

2 2

3

3 104 4 2 30

0 02 10

9 10 4cos2EW r dr sen sen d

π π

ε dθ θ θ θ−

−

⋅−

⋅

= ⋅ + φ∫ ∫ ∫

[ ]3

22

3

3 104 30

3 02 10 0

1 4 1 39 10 cos cos3 cos2 3 3 12 4

r

Er

Wr

ππ

θφ

φθ

ε θ θ θ φ−

−

= ⋅ ==

== ⋅ =

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦4

029 3 3

10 1 1 4 1 392 3 10 3 2 3 12 4EW πε

−

− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= ⋅ − + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦

1303 1 1 4 1 3104 27 8 3 12 4Eπε−W ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1303 19 24104 216 12Eπε− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

W

1303 19 10

2 216EW πε⋅=

⋅

13,668 10EW = ⋅ ( )36,68EW J=


Potencial Elétrico

"Electricity," Microsoft® Encarta® 96 Encyclopedia. © 1993-1995 Microsoft Corporation. All rights reserved. © Funk & Wagnalls

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Leitura suplementar: Bioeletricidade • A eletricidade animal

Contribuição de Galvani e de Volta. A geração de eletricidade por certos peixes já era

conhecida quando LUIGI GALVANI descreveu sua célebre observação sobre a contração da pata de rã. Galvani ensinava anatomia em Bolonha (Itália) e PUELLES (1956) conta que, certo dia, quando trabalhava com rãs decapitadas e penduradas numa haste de cobre e observou que, quando a pata do animal tocava o ferro de um balcão próximo, os músculos se contraíam. Conta também uma outra versão. Nesta, Galvani, em 1760, colocou algumas rãs mortas sobre um prato metálico e um dos seus assistentes, usando a máquina eletrostática de Ramsden, aplicou um choque elétrico sobre uma delas, produzindo contração muscular. O fenômeno foi prontamente reconhecido por Galvani como algo especial e a partir daquele momento passou a dedicar-se ao estudo da eletricidade animal.

Galvani observou que, mesmo sem a aplicação de choque elétrico, era possível obter a contração dos músculos das patas posteriores da rã. Para isso, eles eram colocados em contato com o nervo lombar que, por sua vez, era estimulado por um par bimetálico (cobre e zinco). Dos seus experimentos, concluiu: "o músculo e o nervo constituem uma espécie de condensador de uma própria e peculiar eletricidade que existe em todos os animais vivos". Galvani acreditava que "nos músculos se reúne o fluido elétrico, que logo se difunde pelo corpo mediante a rede de nervos, os quais são condutores naturais do fluido elétrico e que se insinuam com suas extremidades dentro dos músculos". Suas principais observações estão no seu livro De viribus Electricitatis in motu muscularis (1871).

Na época de Galvani, ALEXANDRO VOLTA ensinava Física na Universidade de Pavia. Volta, estudando o fenômeno descrito por Galvani, concluiu que os metais podiam produzir eletricidade e, em 1800, construiu o

primeiro gerador químico de eletricidade empilhando alternadamente discos de cobre e zinco. Os metais foram separados por papel ou camurça embebidos em solução aquosa acidulada com vinagre. Concluiu dizendo que os músculos e os nervos são apenas condutores de eletricidade e que no par bimetálico usado por Galvani estava a fonte geradora de eletricidade.

• Potencial transmembrana.

A descoberta das correntes de injúria foi fundamental para que se soubesse que a membrana superficial das células vivas se encontra submetida a uma diferença de potencial, que é chamada de potencial transmembrana ou potencial de membrana. As células não-excitáveis, tais como as epiteliais do homem, apresentam um potencial de membrana constante, cujo valor está em torno de -20mV. Nos nervos e nos músculos, contudo, esses potenciais chegam a -90mV. Quando a célula está quiescente, o seu potencial de membrana apresenta valor constante e é chamado de potencial de repouso.

Não satisfeito, Galvani redarguiu relatando os resultados de novos experimentos nos quais conseguiu obter a contração dos músculos da pata de uma rã quando eles eram postos em contato com o nervo ciático de uma outra rã. Nesses experimentos não usou o par bimetálico para estimular. Com isso, mostrou que os elementos geradores de tensão e de corrente elétrica estavam situados no animal.

A contenda científica entre Galvani e Volta somente pôde ser resolvida com o desenvolvimento da ciência. Hoje se sabe que ambos estavam certos. De fato, as estruturas nervosas são capazes de iniciar e de propagar estímulos elétricos e estes participam decisivamente na promoção da resposta contrátil muscular. Por outro lado, lâminas bimetálicas podem produzir uma diferença de potencial elétrico suficiente para estimular o aparecimento do impulso elétrico nos nervos. Registro do fenômeno elétrico no coração.

Depois que Galvani chamou a atenção para a eletricidade animal, não tardou muito para que WALLER (1887, 1899) descobrisse que os batimentos cardíacos ocorriam concomitantemente com o aparecimento de correntes elétricas e que elas podiam ser detectadas na superfície do corpo. EINTHOVEN (1913), tendo inventado o galvanômetro de mola, registrou pela primeira vez essas correntes, obtendo os primeiros eletrocardiogramas e abrindo para a ciência uma importante vertente de investigação.

A detecção dos fenômenos elétricos nos nervos precedeu os trabalhos de EINTHOVEN.

Em 1850, HELMHOLTZ conseguiu medir a velocidade de propagação da onda de excitação no nervo gastrocnêmico da rã e, pouco depois, BERNSTEIN (1868) obteve o registro da evolução temporal do potencial de injúria do nervo lesado.

• POTENCIAL DE REPOUSO Em seres humanos e animais, cerca de 20% da

taxa metabólica basal é usada para manter o


Potencial Elétrico

funcionamento elétrico das células, usadas para controlar: • O fluxo de íons que se encontram em grandes

quantidades do lado externo e interno da célula e no meio extracelular.

• Os efeitos devido às diferentes concentrações de íons presentes no interior das células e no meio extracelular.

Entre o líquido no interior de uma célula e o fluido extracelular há uma diferença de potencial elétrico denominada potencial de membrana.

O potencial de uma membrana celular é a diferença de potencial entre as superfícies externa e interna da membrana celular quando elas estão eletricamente carregadas.

Lembrando que as membranas celulares são estruturas complexas constituída por uma bicamada de fosfolipídios onde estão imersas moléculas de proteínas, como esquematizado na Figura 2.7. Os fosfolipídios ocupam 70% do volume e mais de 90% da superfície da membrana. O empacotamento dessas moléculas impede a passagem de íons e água através da membrana; porém como há proteínas transmembranais que formam canais através da bicamada, como descrevemos anteriormente, é possível a troca dos íons do meio intra para o meio extracelular e vice-versa.

As propriedades elétricas da membrana celular são derivadas da ionização de suas superfícies externa e interna e principalmente de sua capacidade de deixar passar seletivamente apenas alguns tipos de íons. Nas células excitáveis, a membrana celular tem permeabilidade seletiva. As membranas biológicas geralmente são: • Permeáveis a pequenos íons inorgânicos e

monovalentes. • Pouco permeáveis a íons multivalentes. • Impermeáveis a íons inorgânicos complexos (fosfatos

orgânicos) e proteínas. Os meios extra e intra celular apresentam geralmente

característica salina. As moléculas suspensas nesses meios encontram-se ionizadas, movendo-se livremente. Por outro lado, tanto dentro como fora da célula, a concentração de ânions é muito próxima da concentração de cátions.

Quando não há influências externas sobre a célula, o potencial de uma membrana celular é denominado de Potencial de Repouso V0.

As membranas apresentam alta resistência elétrica decorrente da extensa superfície líquida, o que implica num potencial elétrico elevado (da ordem de 100 mV) entre o interior e o exterior da célula.

Esse potencial pode ser medido ligando-se, por meio de microeletrodos, os pólos de um medidor de voltagem ao interior de uma célula (ponto A), e ao líquido extracelular (ponto B), como mostra a Figura 1. Esses eletrodos são, em geral, capilares de vidro, com uma ponta com menos de 1 µm de diâmetro, contendo uma solução condutora de KCI. Essa solução está em contato com o medidor de voltagem por meio de um fio metálico. A Figura mostra o resultado de uma experiência típica para medir a diferença de potencial elétrico entre as partes externa e interna de uma célula.

Para isso colocam-se, inicialmente, os eletrodos A e B no líquido extracelular. A seguir o eletrodo A é colocado no interior da célula. O deslocamento do eletrodo A é indicado

na Figura 12 pela variação de x, coordenada na direção perpendicular à membrana de espessura d. Quando as pontas dos dois eletrodos estão no meio externo, a diferença de potencial medida W é nula, indicando que o potencial elétrico é o mesmo em qualquer ponto desse meio. O mesmo aconteceria se os dois eletrodos pudessem ser colocados no interior da célula, pois ambos os meios são condutores. O potencial elétrico do fluido extracelular, por convenção, é considerado nulo e V é o potencial no interior da membrana. Assim, a diferença de potencial ∆V entre os dois meios é:

∆V = V - 0 = V Quando a ponta do eletrodo A penetra na

célula, o potencial elétrico V diminui bruscamente para aproximadamente:

-70 mV(-70.10-3V) como indica a Figura 12. Na maioria das células, o potencial de membrana V permanece inalterado, desde que não haja influências externas. Quando a célula se encontra nessa condição, dá-se ao potencial de membrana V, a designação de potencial de repouso representado por V0. Numa célula nervosa ou muscular o potencial de repouso é sempre negativo, apresentando um valor constante e característico. Nas fibras nervosas e musculares dos animais de sangue quente, os potenciais de repouso se situam entre -55 mV e -100 mV. Nas fibras dos músculos lisos, os potenciais de repouso estão aproximadamente entre -30 mV e -55 mV.

Figura 1 – Medida do potencial de repouso de

uma célula. Medidor De Voltagem Meio externo


Potencial Elétrico

Exercícios: Hayt – Capítulo 4 – 6ª Edição

1. O valor de E em P(r =2, f =400 , z = 3) é dado por ( )mVaaaE zˆ300ˆ200ˆ100 +−= φρ

Determine o trabalho incremental para deslocar uma carga de 20 mC de uma distância de 6 mm na direção de : (a) ρa . ˆ (b) φa . ˆ

(c) . za (d) E. (f) zyx aaaG ˆ4ˆ3ˆ2 +−=

Solução:

(a) Direção: . ρa

dLaEQdW Lˆ⋅−=

ρaaL ˆˆ =

( ) dLaaaaQdW Lz ˆˆ300ˆ200ˆ100 ⋅+−−= φρ

( ) dLaaaaQdW z ρφρ ˆˆ300ˆ200ˆ100 ⋅+−−=QdLdW 100−=

µµ 620100 ⋅⋅−=dW pJdW 12000−=

nJdW 12−= (b) Direção: : φa

dLaEQdW Lˆ⋅−=

( ) dLaaaaQdW z φφρ ˆˆ300ˆ200ˆ100 ⋅+−−=

QdLdW 200= µµ 620200 ⋅⋅=dW

nJdW 24= (c) Direção: : za

dLaEQdW Lˆ⋅−=

( ) dLaaaaQdW zz ˆˆ300ˆ200ˆ100 ⋅+−−= φρ

µµ 630020 ⋅⋅−=dW nJdW 36−=

(d) Direção: E :

dLaEQdW Lˆ⋅−=

EEaL =ˆ

dLEEEQdW ⋅−=

dLE

EQdW

2

⋅−=

dLEQdW ⋅−=

( )mVaaaE zˆ300ˆ200ˆ100 +−= φρ

( ) 14100300200100 222 =+−+=E

µµ 61410020 ⋅⋅−=dW

JdW 810489988.4 −⋅−= nJdW ⋅−= 89988.44

(e) Direção: zyx aaaG ˆ4ˆ3ˆ2 +−= :

zyxL aaaGG ˆ

294ˆ

293ˆ

292

+−==a

dLaEQdW Lˆ⋅−=

( )mVaaa zˆ300ˆ200ˆ100 +−= φρE

zyxL aaa ˆ294ˆ

293ˆ

292

+−=a

φρ φφ asenax ˆˆcos −a =

φρ φφ aaseny ˆcosˆ +a =

yx asena ˆˆcosa φφρ +=

yx aasen ˆcosˆa φφφ +−=

643.0;766.0cos400 ==⇔= φφ senφ

a

yx aa ˆ643.0ˆ766.0 φρ +=

yx aa ˆ766.0ˆ643.0 +a −=φ Substituindo em:

( )mVaaaE zˆ300ˆ200ˆ100 +−= φρ

( )++= yx aaE ˆ643.0ˆ766.0100( ) zyx aaa ˆ300ˆ766.0ˆ642.0200 ++−−

( ) ++= xaE ˆ558.1286.76( ) zy aa ˆ300ˆ2.1533.64 +−

( )mVaaaE zyx ˆ300ˆ9.88ˆ158.205 +−=

zyxL aaaa ˆ294ˆ

293ˆ

292ˆ +−=

E

294300

2939.88

292158.205ˆ +

−−=⋅ La

834.222523.49194.76ˆ ++=⋅ LaE

5514.348ˆ =⋅ LaE


Potencial Elétrico

dLaEQdW Lˆ⋅−= µµ 65514.34820 ⋅⋅−=dW

nJdW 826,41−= 2. Seja:

( )mVaaaE zyx ˆ500ˆ300ˆ400 +−= nas vizinhanças do ponto P(6, 2, -3). Determine o trabalho incremental realizado no deslocamento e uma carga de 4 de uma distância de 1mm na direção especificada por: (a) zyx aaa ˆˆˆ ++

(b) zyx aaa ˆˆ3ˆ2 −+−

3. Se mVaE ρˆ120= , determine a quantidade de trabalho incremental realizado no deslocamento de uma carga de 50 mC de uma distância de 2mm a partir de: (a) P(1, 2, 3) em direção a Q(2, 1, 4); (b) Q(2, 1, 4) em direção a P(1, 2, 3); Solução: z 4 3 Q(2,1,4) aL P(1,2,3) 1 2 1 f 2 y x

(a) P(1, 2, 3) em direção a Q(2, 1, 4); dLaEQdW Lˆ⋅−=

mVaE ρˆ120= Em coordenadas cilíndricas:

521 2222 =+=+= pp yxρ

yx asenaa ˆˆcosˆ φφρ +=

yx aaa ˆ5

2ˆ5

1ˆ +=ρ

mVaaE yxP ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ˆ

51ˆ

51120

→

→=

PQ

PQaLˆ

zyx aaaPQPQ ˆˆˆ +−=−=→

31)1(1 222 =+−+=→

PQ

zyxL aaa ˆ3

1ˆ3

1ˆ3

1+−=a

15120

15240

15120ˆ −=−=⋅ LaE

dLaEQdW Lˆ⋅−=

36 10215

1201050 −− ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−=dW

JdW µ098.3=

(b) Q(2, 1, 4) em direção a P(1, 2, 3);

→

→=

QP

QPLa

zyx aaaQPQP ˆˆˆ −+−=−=→

3)1()1()1( 222 =−+++−=→

QP

zyxL aaa ˆ3

1ˆ3

1ˆ3

1−+−=a

mVaE ρˆ120= Em coordenadas cilíndricas:

512 2222 =+=+= QQ yxρ

yx asenaa ˆˆcosˆ φφρ +=

yx aaa ˆ5

1ˆ5

2ˆ +=ρ

mVaa yxQ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ˆ

51ˆ

52120E

15120

15120

15240ˆ −=+−=⋅ LQ aE

dLaEQdW Lˆ⋅−=

36 10215

1201050 −− ⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−=dW

JdW µ098.3= 4. Determine a quantidade de energia necessária para deslocar uma carga de 6C da o igem até P(3, 1, -1) no campo r

( mVaayaxE zyx ˆ4ˆ3ˆ2 2 +−= ) ao longo do caminho reto x = -3z, y = x+2z.

5. Calcule valor de ∫ ⋅P

A

dG L para G xa2= y ,

com A( l, -1 , 2) e P(2, 1, 2) usando o caminho: (a) segmentos retos de:


Potencial Elétrico

-1 -0.5 0 0.5 1

00.5

11.5

2

0

1

2

3

40

0.51

1.5

-1-0.5

00.5

1

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

A( l, -1, 2) até B(1, 1, 2) até P( 2, 1, 2); (b) segmentos retos de A (l, -l, 2) até C (2, .-l, 2) até P

(2, 1, 2). Solução:

-1-0.5

00.5

0

1

2

3(a) segmentos retos de: A( l, -1, 2) até B(1, 1, 2) até P( 2, 1, 2);

A(1, -1, 2) B(1,1,2) P(2,1,2)

xayG ˆ2=

∫ ⋅P

A

LdG

zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++=

dxydxydxyLdGA

B

B

A

P

A

x

x

x

x

x

x

P

A∫∫∫∫ +==⋅ 222

⎩⎨⎧

=∴<<⇔→=∴=⇔→

12101

yxPBdxxBA

22120 2

1

2

1

=⋅=⋅+=⋅ ∫∫ xdxLdGP

A

(b) segmentos retos de: A (l, -l, 2) até C (2, .-l, 2) até P (2, 1, 2). A(1,-1,2) C(2,-1,2) P(2,1,-2)

xayG ˆ2=

∫ ⋅P

A

LdG


dxydxydxyLdGA

C

C

A

P

A

x

x

x

x

x

x

P

A∫∫∫∫ +==⋅ 222

⎩⎨⎧

=∴=⇔→∴≤≤−=⇔→

0221 ;1

dxxPCxyCA

22)1(20 2

1

2

1

−=⋅−=−⋅+=⋅ ∫∫ xdxLdGP

A

6. Seja . zyx ayazaxG ˆ2ˆ2ˆ4 ++= . Dado um

ponto inicial P(2, 1, 1) e um ponto final Q(4, 3, .l),

determine ∫ ⋅P

A

LdG usando o caminho:

(a) linha reta: y =x – 1, z = 1. (b) parábola 6y = x2 +2, z = 1.


Potencial Elétrico

7. Repita o problema 6 para yx azaxyG ˆ2ˆ3 2 += . Solução: yx azaxyG ˆ2ˆ3 2 += De: P(2, 1, 1) a Q(4, 3, .l)

( ) (∫ ∫ ++⋅+=⋅P

A Czyxyx adzadyadxazaxyLdG ˆˆˆˆ2ˆ3 2

dyzdxxyLdGc

P

A c∫∫ ∫ +=⋅ 23 2

)

(a) linha reta: y =x – 1, z = 1.

⎩⎨⎧

≤≤≤≤=⇔=−=31;42

1;1yx

dxdyzxyC

dyzdxxyLdGP

A∫∫∫ +=⋅3

1

4

2

2 23

dydxxxLdGP

A∫∫∫ ⋅+−=⋅3

1

4

2

2 12)1(3

∫∫∫ ++−=⋅3

1

4

2

23 2)363( dydxxxxLdGP

A

90)13(2232

43 4

2

234 =−++−=⋅∫=

=

P

A

x

x

xxxLdG

(b) parábola 6y = x2 +2, z = 1.

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤≤≤≤

=⇔=+

=

31;426

21;6

22

yx

dxxdyzxyC

dyzdxxyLdGP

A∫∫∫ +=⋅3

1

4

2

2 23

dydxxxLdGP

A∫∫∫ ⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=⋅

3

1

4

2

22

126

23

∫∫∫ +++=⋅3

1

4

2

35 2)44(363 dydxxxxLdG

P

A

)13(2261

121

4

2

246 −+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++=⋅

=

=∫

x

x

P

A

xxxLdG

82478 =+=⋅∫P

A

LdG

8. Uma carga pontual Q1 está localizada na origem no espaço livre. Determine o trabalho realizado no deslocamento de Q2 de:

(a) B(rB, θB, fB) até C(rA, θB, fB),com θ e f mantidos constantes;

(b) C(rA, θB, fB) até D(rA, θA, fB) com r e f mantidos constantes;

(c) D(rA, θA, fB) até A(rA, θ.A, fA) com r e θ mantidos constantes.

9. Uma densidade superficial de carga uniforme de

20 nC/m2 está presente na superfície da esfera r =0,6 em no espaço livre.

(a) Determine o potencial absoluto em P(r = l cm, θ = 250, f = 500);

(b) Determine VAB, dados os pontos A(r = 2 cm, θ = 300, f = 600) e B(r = 3 cm, θ = 450, f = 900).

Solução: (a) P(r = l cm, θ = 250, f = 500)

rR

rA

rQV ss

0

2

00 44

44 πεπρ

περ

πε===

20

232

104)106(420)10( −

−− ⋅

==πεπnrV

VrV 14.8)10( 2 == − (b) VAB, A(r = 2 cm, θ = 300, f = 600) B(r = 3 cm, θ = 450, f = 900).

BAAB VVV −=

0715.44

444 0

2

00

====A

s

A

s

AA r

Rr

Ar

QVπεπρ

περ

πεV

7143.24

444 0

2

00

====B

s

B

s

BB r

Rr

Ar

QVπεπρ

περ

πεV

7143.20715.4 −=ABV

VVAB 3572.1=

10. Dada uma densidade superficial de carga de rS de 8nC/m2 no plano .x = 2, uma densidade linear de carga de 30nC/m na linha x = l. y = 2 e uma carga pontual de lµC e,m P(-l, -1, 2), determine VAB para os pontos A(3, 4, 0) e B(4, 0, 1).

11. Seja uma densidade superficial de carga

uniforme de 5 nC/m2 presente no plano z = 0, uma densidade linear de carga de 8 nC/m localizada em .x = 0, z = 4 e uma carga pontual de 2mC presente em P'(2, 0, 0). Se V = 0 em M(0, 0, 5) determine V em N(l, 2, 3).


∫ ⋅−=−=A

BBAAB LdEVVV

Potencial Elétrico

ESolução: Solução: z z M(0,0,5) M(0,0,5) (V = 0) 5 (V = 0) 5 rL = 8nC/m 4 Q(0,y,4) r 3 3 θ θ N(1,2,3) 2 2 1 y 1 y 2 (2,0,0) Q = 2µC 2 (2,0,0) Q rS = 5nC/m2 r P(x,y,z) P(x,y,z) EL x x Diferença de Potencial entre A e B Diferença de Potencial entre A e B

∫ ⋅−=−=A

BBAAB LdEVVV

L = 8nC/m 4 Q(0,y,4)

N(1,2,3)

= 2µC S = 5nC/m2

EL

• Potencial devido à distribuição de carga linear de densidade linear de carga de rL = 8 nC/m:

Campo devido ao fio em N:

ρπερ ρa

E Lˆ

2 0

=

Observando a figura, temos: 222 )4()()0( −+−+−= zyyxρ

→→

→

−==

QP

QP

QP

QPa ρˆ

( )( )( ) zx azx

zazx

xa ˆ4

4ˆ4

ˆ2222 −+

−+

−+=ρ

ρπερ ρa

E LN

ˆ2 0

=

( )( )( )zxN azax

zx

nE ˆ4ˆ4

128

2220

−+⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+

=πε

( )( )( )zxP azax

zxn ˆ4ˆ

41

28

220

−+−+

=πε


∫ ⋅−=−=N

MNMNNM LdEVVV

( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

−+

−+=⋅ dz

zxzdx

zxxnLdEP 2222

0 44

428πε

( )∫ −+−=−=

N

MMNNM dx

zxxnVVV 22

0 428πε

( )∫ −+−N

M

dzzx

zn22

0 44

28πε

−

( )[ ] )3,2,1((

)5,0,0(22

0

4ln21

28

−+−=−= zxnVVV MNNM πε

( )[ ] )3,2,1(

)5,0,0(22

0

4ln21

28

−+ zxnπε

−

( )[ ] )3,2,1((

)5,0,0(22

0

4ln221

28

−+−=−= zxnVVV MNNM πε

( )[ ]( 22

0

431ln28

−+−=−=πε

nVV MNNMV

( )[ ])22 450ln −+−

( )2ln28

0πεnVVV MNNM −=−=

813.99−=−= MNNM VVV V

813.990 −=−= NNM VVV

813.99−=N

• Potencial devido à distribuição de carga de densidade superficial de carga uniforme de rS = 5 nC/m2

∫ ⋅−=−=N

MNMNNM LdEVVV

zS

S aEN

ˆ2 0ερ

=


∫ ⋅−=−=N

M

SMNNM dzVVV

02ερ


Potencial Elétrico

∫ ⋅−=−=3

5 02dzVVV S

MNNM ερ

71,5642 0

3

50

==−=−=ερ

ερ sS

MNNM zVVV V

• Potencial devido à carga pontual de Q = 2mC:

∫ ⋅−=−=N

MNMNNM LdEVVV

Q

∫−=−=N

MMNNM r

drQVVV 204πε

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=−=

N

M

r

rMNNM r

QVVV 14 0πε

29502 222 =++=Mr

( ) ( ) ( ) 14302012 222 =−+−+−=Nr

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−−−=−=

291

141

4 0πεQVVV MNNM

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=

291

141

4 0πεQVVV MNNM

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=

291

141

42

0πεµ

MNNM VVV

[ ]185695.026726.042

0

−=−=πεµ

MNNM VVV

VVVV MNNM 1639.1468=−=

QSL NNNN VVVV ++=ρρ

1639.146871.564813.99 ++−=NV

061.1933=NV ñ kVVN 933,1=

12. Três cargas pontuais de 0.4pC cada estão localizadas em (0, 0,- l), (0, 0, 0) e (0,.0,.l) no espaço livre.

(a) Encontre uma expressão para o potencial absoluto como uma função de z ao longo da linha. x = 0, y = 1.

(b) Esboce V(z). . 13. Três cargas pontuais idênticas de 4 pC cada estão

localizadas nos vértices de um triângulo eqüilátero de 0,5 mm de lado no espaço livre. Quanto trabalho deve ser realizado para deslocar uma carga para um ponto eqüidistante das outras duas e sobre a linha que as une?

Solução: y B 4pC rB 0.5mm x 4pC rA A 4pC

∫ ⋅−=−=A

BBAAB LdEVVV

∫−=−=A

BBAAB dr

rQVV

Q 20

1

41 πεV

A

B

r

rBAAB r

QVV ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=−=

0

1

4πεV

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−=

BABAAB rr

QVV

Q

114 0

11 πε

V

rA = 2.5 mm; rB = 5.0 mm

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−

⋅=−= −− 44

0 1051

105.21

44

1 πεpVVV BAABQ

048000

1 πεpVVV BAABQ

=−=

Cálculo da energia entre as cargas Q1 e Q2:

20

2 48000

121QpVQ

QABQQ πε==W

ppVQQABQQ 4

48000

02 121 πε

==W

W

W

W

JVQQABQQ

152 10288000

121

−⋅==

JVQQABQQ

122 10288

121

−⋅==

Analogamente: pJVQ

QABQQ 288323 2 ==

Energia total:

JVQWWWQABQQQQT

122 102882

32321

−⋅⋅==+=

pJWWW QQQQT 5762321=+=


Potencial Elétrico

14. Duas cargas pontuais de 6 nC estão localizadas em (1, 0, 0) e (-l, 0, 0) no espaço livre.

14. Duas cargas pontuais de 6 nC estão localizadas em (1, 0, 0) e (-l, 0, 0) no espaço livre.

(a) Determine V em P(0, 0, z). (a) Determine V em P(0, 0, z). (b) Determine Vmax. (b) Determine V(c) Calcule |dV/dz| no eixo z. (c) Calcule |dV/dz| no eixo z. (d/) Determine |dVIdz|max. (d/) Determine |dVIdz| 15. Duas linhas de cargas uniformes de 8 nC/m cada

estão localizadas em .x = l; z = 2 e x = -l., y = 2 no espaço livre. Se o potencial na origem é 100 V, determine V em P(4, 1,3).

15. Duas linhas de cargas uniformes de 8 nC/m cada estão localizadas em .x = l; z = 2 e x = -l., y = 2 no espaço livre. Se o potencial na origem é 100 V, determine V em P(4, 1,3).

Solução: Solução: z z 3 F2(-1,2,z) 3 F 2 -1 rL2 = 8nC/m 2 -1 r F1(1,y,2) rL1 = 8nC/m F 1 2 1 2 1 P(4,1,3) y 1 P(4,1,3) y 4 4 x x

Cálculo do campo devido ao Fio (1) : Cálculo do campo devido ao Fio (1) : Seja um ponto P(x, y, z) qualquer. Um ponto

qualquer sobre o Fio (1) é F1(1,y,2). Então: Seja um ponto P(x, y, z) qualquer. Um ponto

qualquer sobre o Fio (1) é F

max.

max.

2(-1,2,z)

L2 = 8nC/m

1(1,y,2) rL1 = 8nC/m

1(1,y,2). Então:

ρπερ ρa

E Lˆ

2 0

=

2221 )2()()1( −+−+−==→

zyyxPF ρ

→→

→

−==

PF

FP

PF

PFa1

1

1

1ˆ ρ

( ) ( ) ( ) ( )zx a

zx

zazx

xa ˆ21

2ˆ21

1ˆ2222 −+−

−+

−+−

−=ρ

( ) ( )( ) ( )( )zxF azax

zx

nE ˆ2ˆ121

128

2220

1−+−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−

=πε

( ) ( )( ) ( )( )zxF azax

zxnE ˆ2ˆ1

211

28

220

1−+−

−+−=

πε


∫ ⋅−=−=P

OFOPPO LdEVVV

1

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−

−+

−+−

−=⋅ dz

zxzdx

zxxnLdEF 2222

0 212

411

28

1 πε

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−−

+−+−

−−= ∫∫ dz

zxzdx

zxxnV

P

O

P

OPO 2222

0 212

211

28πε

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )P

O

P

OPO zxzxnV 222122

21

0

21ln21ln2

8−+−+−+−

−=

πε

( ) ( )[ ]( ))3,1,4(

)0,0,0(22

0

21ln2

8−+−

−= zxn

PO πεV

( ) ( )[ ] [ ]( )2222

0

)20()10(ln2314ln2

8−+−−−+−

−=

πεnVPO

[ ] [ ]( )5ln10ln2

8

0

−−

=πε

nPOV

510ln

28

0πεn

PO−

=V

2ln2

8

0πεn

PO−

=V

2ln2

8

0πεnVOP

−=−V

2ln2

8

0πεnVOP

−+=V

813.99100 −=PV ( ) VV FP 187.0

1=

Cálculo do campo devido ao Fio (2) :

Seja um ponto P(x, y, z) qualquer. Um ponto qualquer sobre o Fio (2) é F2(-1,2,z). Então:

ρπερ ρaL

ˆ2 0

=E

2222 )()2()1( zzyxPF −+−++==→

ρ

→→

→

−==

PF

FP

PF

PF

2

2

2

2ρa

( ) ( ) ( ) ( )yx a

yx

yayx

xa ˆ21

2ˆ21

1ˆ2222 −++

−+

−++

+=ρ

( ) ( )( ) ( )( )yxF ayax

yx

n ˆ2ˆ121

128

2220

1−++

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++

=πε

E

( ) ( )( ) ( )( )yxF ayax

yxn ˆ2ˆ1

211

28

220

2−++

−++=

πεE


∫ ⋅−=−=P

OFOPPO LdEVVV

1


Potencial Elétrico

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−++−

+−++

+=⋅ dy

yxydx

yxxnLdEF 2222

0 212

211

28

1 πε

( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−++−

+−++

+−= ∫∫ dy

yxydx

yxxnV

P

O

P

OPO 2222

0 212

211

28πε

( ) ( )[ ] ( ) ( )[( )P

O

P

OPO yxyxnV 222122

21

0

21ln21ln2

8−+++−++

−=

πε]

( ) ( )[ ]( ))3,1,4(

)0,0,0(22

0

21ln2

8−++

−= yxnVPO πε

( ) ( )[ ] [( ]22 )0()10(ln214ln2

8−++−++

−=

πεnV )22

0

21−PO

[ ] [ ]( )5ln26ln2

8

0

−−

=πε

nVPO

526ln

28

0πεnVPO =

526ln

28

0πεnVV OP

−=−

526ln

28

0πεnVV OP

−+=

4068.237100−=PV ( ) VV FP 4068.137

2−=

( ) ( ) 4068.137187.021

−=+= FPFPP VVV

( ) ( ) VVVV FPFPP 2198.13721

−=+=

16. Distribuições superficiais de carga uniformes de 6,

4 e 2 nC/m2 estão presentes em r = 2,4 e 6 cm, respectivamente, no espaço livre.

(a) Considere V = 0 no infinito e determine V(r). (b) Calcule Vem r = l, 3, 5 e 7 cm. (c) Esboce V versus r para l < r < 10 cm.

17. Densidades superficiais de carga uniformes de 6 e

2 nC/ m2 estão presentes em r = 2 e 6 cm, respectivamente, no espaço livre. Considere V = 0 em r = 4 cm e calcule V em r =

(a) 5 cm; (b) 7 cm.

Solução: Calculo do campo elétrico Devido às densidades

superficiais de carga uniformes de 6 e 2 nC/ m2 estão presentes em r = 2 e 6 cm, utilizando a Lei de Gauss e utilizando uma superfície Gaussiana cilíndrica de raio r.

r z 2 6 rS =2nC/m2 rS =6nC/m2

ρa dS Em coordenadas cilíndricas, o elemento de

área lateral da superfície cilíndrica é dado por:

ρφρ adzdSd ˆ= Aplicando a Lei de Gauss:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>+

<<

<

=⋅∫∫06.0 se

06.020.0 se

02.0 se 0

0

21

0

1

ρε

ρε

ρ

QQ

QSdE

S

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>+

<<

<

=∫ ∫−

06.0 se

06.020.0 se

02.0 se 0

0

21

0

12

0

21

12

2

ρερρ

ρερ

ρ

φρπ

AA

AdzdE

ss

s

L

L


Potencial Elétrico

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>+

<<

<

=

06.0 se 22

06.020.0 se 2

02.0 se 0

2

0

21

0

1

21

1

ρε

πρρπρρ

ρεπρρ

ρ

πρ

LL

LLE

ss

s

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>+

<<

<

=

06.0 se

06.020.0 se

02.0 se 0

0

21

0

1

21

1

ρρε

ρρρρ

ρρερρ

ρ

ss

sE

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>+

<<

<

=

06.0 se 06.0202.06

06.020.0 se 02.06

02.0 se 0

0

0

1

ρρε

ρρε

ρ

nn

nE

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>

<<

<

=

06.0 se 118.27

06.020.0 se 559.1302.0 se 0

ρρ

ρρ

ρ

E

Sendo zadzadadLd ˆˆˆ ++= φρ φρρ , calcularemos:

(a) V (r = 5cm)

∫ ⋅−=−1

2

21

ρ

ρρρ LdEVV

∫−==−=05.0

04.021

559.13)04.0()05.0( ρρ

ρρ dVV

05.0

04.021 ln559.13)04.0()05.0( =

=−==−= ρ

ρρρρ VV

45ln559.13)04.0()05.0( 21 −==−= ρρ VV

VVV 025.3)04.0()05.0( 21 −==−= ρρ (b) 7 cm.

)4()6()6()7()4()7(

21

2121

=−=+=−===−=

ρρρρρρ

VVVVVV

r 4 6 7

∫∫ −+−==−=6

4

7

621

559.13118.27)4()7( ρρ

ρρ

ρρ ddVV

46

67

21 ln559.13ln118.27)4()7( −−==−= ρρ VVVVV 676.9)4()7( 21 −==−= ρρ

18. Uma densidade linear de carga não-uniforme, rL = 8/ (z2 + l) nC/m, está situada ao longo do eixo

z. Determine o potencial em P(r = l, 0, 0) no espaço

livre se V = O em r = ¶. 19. Uma superfície anelar, l cm < r < 3 cm, z = 0

possui uma densidade superficial de carga não-uniforme

rS = 5r nC/m2. Determine V em P(0, 0, 2cm) se V = 0 no infinito.

Solução: dE z r P(0,0,2) θ 3 r’ 1 za 0 f y φa r df dA ρa dQ’ x Em coordenadas cilíndricas: ρφρ dddA = O Campo será dado por:

rrrr

rrdQrEd

′−′−

′−= 2

04)(

πε

Da figura, vemos: ρρar ˆ=′

zazr ˆ=

ρρaazrr z ˆˆ −=′−


Potencial Elétrico

22 ρ+=′− zrr

ρφρρρ ddndAdQ s 5==

ρφρ ddndQ 25=

( ) ρφπε

ρ ddrrrr

nrEd ′−′−

= 30

2

45)(

( )( ) ρφρ

ρπε

ρρ ddaaz

znrEd z ˆˆ

45)( 2322

0

2

−+

=

Note que antes de integrarmos, precisamos fazer a transformação para cartesianas, pois os vetores da base cilíndrica variam em cada ponto (exceto ). za

Como em coordenadas cilíndricas:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+=

zz

yx

yx

aaasenaa

senaaa

ˆˆcosˆˆˆ

ˆcosˆˆφφφφ

φ

ρ

Assim, substituindo:

( )[ ]( ) ρφφφρ

ρπε

ρ ddasenaazznrEd yxz ˆˆcosˆ

45)( 2322

0

2

+−+

=

As integrais nas componentes x e y darão zero. Mostre!!.

Assim:

( ) zaddz

znrEd ˆ4

5)( 23220

2

ρφρπε

ρ+

=

( ) zaddz

znrE ˆ4

5)(3

1

2

02322

0

2

ρφρπε

ρπ

∫ ∫ +=

( ) zaz

zdnrE ˆ410)(

3

12322

2

0∫

+=

ρρρ

πεπ

Fazendo: θρρθ ztgz

tg =⇒=

θρ 2seczd =

( ) θθρ 222222 sec1 ztgzz =+=+

( )( ) zadz

zzztgnrE ˆsec

sec410)(

3

12322

22

0

θθ

θθπεπ∫

⋅=

zadtgzznrE ˆ

secsec

410)(

3

13

22

3

4

0

θθθθ

πεπ∫=

zadtgznrE ˆsec4

10)(3

1

2

0

θθθ

πεπ∫=

zadsenznrE ˆcos4

10)(3

1

2

0

θθθ

πεπ∫=

zadznrE ˆcos

)cos1(410)(

3

1

2

0

θθθ

πεπ∫

−=

( ) zadznrE ˆcossec410)(

3

10

θθθπεπ∫ −=

( ) zasentgznrE ˆsecln410)( 2

10

θ

θθθθ

πεπ

−+=

Como:

( ) zasentgznrE ˆsecln410)( 2

10

θ

θθθθ

πεπ

−+=

Voltando:

θρρθ ztgz

tg =⇒=

zz 22

sec+

=ρ

θ

22 zsen

+=

ρ

ρθ

zazzz

zznrE ˆln

410)(

2

1

22

22

0

ρ

ρρ

ρρρπεπ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−+

+=

⎢⎢⎣

⎡

+−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

+=

2

2

0 9

339ln410

zzzzznE

πεπ

zazzz

z ˆ1

111ln2

2

⎥⎥⎦

⎤

++

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+

+−

zzzz

zzzznE 11ln39ln

410 22

0

++

−⎜⎜

⎝

⎛+

+=

πεπ

zaz

z

z

z ˆ19

322 ⎟⎟⎠

⎞

++

+−

⎜⎜

⎝

⎛

++

++=

1139ln

410

2

2

0 zzzn

πεπE

zaz

z

z

z ˆ19

322 ⎟⎟⎠

⎞

++

+−

d

Calculando o potencial, teremos:

zadzadadL ˆˆˆ ++= φρ φρρ

( ) ∫∞

∞ ⋅−=−=2

2 LdEVcmzV


Potencial Elétrico

dzzz

zzdzzz

zznV ∫∫∞∞

++

−⎜⎜

⎝

⎛+

+−=

2 22 2

0

11ln39ln410)2(πε

π

⎟⎟⎠

⎞

++

+− ∫∫

∞∞

2

22 19

3 dzz

zdzz

zz

2222

0

93log22

93410)2(

∞⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +++

+−=

zzzznV

πεπ

2222

0

11log22

1410

∞⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +++

++

zzzzn

πεπ

( )22

0

93410

∞++ znπεπ ( )22

0

1410

∞+− znπεπ

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +++

+−=

2293log

22

2293

410)2(

222

0πεπnV

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ +++

++

2211log

22

221

410 222

0πεπn

( )2

0

293410

++πεπn ( )2

0

21410

+−πεπn

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++

−=

2133log2

2133

410)2(

0πεπnV

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +++

251log2

25

410

0πεπn ( )133

410

0πεπn

+

( )5410

0πεπn

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

++−−−

=51133log25133

25133

410)2(

0πεπnV

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

++

+−−

=51133log2

21335

410)2(

0πεπnV

5.809)2( =V Como calculamos tudo em cm para E e para V,

observe que devemos multiplicar por um fator 10-2 (para obter E em N/C) e10-2 para obter V em volt, ou seja, 10-4. Assim:

VV 08095.0)2( =

20. A Fig. 4.11 mostra três distribuições de cargas no

plano z = 0 no espaço livre, (a) Determine a carga total para cada distribuição, (b) Determine o potencial em P(0, 0, 6) causado por

cada uma destas três cargas individualmente. (c) Determine VP.

Fig. 4.11 Veja Problema 4.20

21. Seja V = 2xy2z3+3ln(x2 + 2y2+3z2) V no espaço livre. Calcule cada uma das seguintes grandezas em

P(3, 2, -1): (a) V; (b) |V |; (c) E; (d) |E|; (e) aN; (f) D.

Solução:

(a) V;

( )22232 32ln32),,( zyxzxyzyx +++=V

( )22232 )1(3223ln3)1(232)1,2,3( −⋅+⋅++−⋅⋅⋅=−V( )18ln324)1,2,3( +−=−V V32.15)1,2,3( −=V −

(b) |V |; VV 32.15)1,2,3( =−

(c) E;

VE ∇−=

zyx azVa

yVa

xVE ˆˆˆ

∂∂

−∂∂

−∂∂

−=

22232

3262

zyxxzy

xV

+++=

∂∂

2223

32124

zyxyxyz

yV

+++=

∂∂

22222

32186

zyxzzxy

zV

+++=

∂∂

22232

)1,2,3( )1(3)2(23)3(6)1(22

−+++−⋅=

∂∂

−xV

4.720148

20188

)1,2,3(

−=−

=+−=∂∂

−xV


Potencial Elétrico

2223

)1,2,3( )1(3)2(23)2(12)1)(2)(3(4 3(

−+++−=

∂∂

−yV

8.2220

456202424

)1,2,3(

−=−=+−=∂∂

−yV

22222

)1,2,3( )1(3)2(23)1(18)1()2)(3(6−++

−+−=

∂∂

−zV

1.7120

1422201872

)1,2,3(

==−=∂∂

−zV

zyx azVa

yVa

xVE ˆˆˆ

∂∂

−∂∂

−∂∂

−=

( ) ( ) ( ) zyx aaaE ˆ1.71ˆ8.22ˆ4.7 −−−−−=

zyx aaaE ˆ1.71ˆ8.22ˆ4.7 −+= (d) |E|;

CNE 03.751.718.224.7 222 =++=

(e) aN;

zyxN aaaEEa ˆ

03.751.71ˆ

03.758.22ˆ

03.754.7ˆ −+==

zyxN aaaEEa ˆ948.0ˆ304.0ˆ098.0ˆ −+==

(f) D.

( )zyx aaaED ˆ1.71ˆ8.22ˆ4.700 −+== εε

( )2ˆ235.629ˆ78.201ˆ49.65 mpCaaaD zyx −+=

22. Seja o potencial V = 80r0.6 V. Considerando as condições do espaço livre, determine:

(a) E; (b) a densidade volumétrica de carga em r = 0,5 m; (c) a carga total contida dentro da superfície p = 0,6. 23. Seja o potencial V = 80r0.6 V. Considerando as

condições do espaço livre, determine: (a) E; (b) a densidade volumétrica de carga em r = 0,5 m; (c) a carga total contida dentro da superfície fechada: r = 0,6; 0 < z < l. Solução: (a) E;

VE ∇−= Em coordenadas esféricas:

φθ φθθaV

rsenaV

ra

rVV r ˆ1ˆ1ˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Como há só dependência em r com o potencial:

0=∂∂

=∂∂

φθVV

6.080r=V

4.016.0 486.080

rr

rV

=⋅=∂∂ −

rar

V ˆ484.0−=∇−=E

(b) a densidade volumétrica de carga em r = 0,5 m;

• Em coordenadas esféricas:

Dv ⋅∇=ρ 4.0

00 48 −−== rED εε

( ) ( )φθ

θθθ

φθ ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=⋅∇D

rsensenD

rsenDr

rrD r

111 22

[ ]( )4.00

22 481 −−∂∂

=⋅∇ rrrr

D ε

( )6.120

148 rrr

D∂∂

−=⋅∇ ε

16.120 6.1148 −−=⋅∇ r

rD ε

26.008.76 −−=⋅∇ rD ε

4.108.76 −−=⋅∇ rD ε

4.10 5.08.76)5.0( −⋅−== ερ rv

pCrv 1794)5.0( −==ρ • Em coordenadas cilíndricas:

Dv ⋅∇=ρ

( ) ( )z

DDDD z

∂∂

+∂∂

+∂∂

=⋅∇ φρ φρρ

ρρ11

4.000 48 −−== ρεε ED

[ ]( )4.00481 −−

∂∂

=⋅∇ ρερρρ

D

( )6.00

148 ρρρ

ε∂∂

−=⋅∇ D

16.00 6.0148 −−=⋅∇ ρρ

εD

ρρε

4.0

08.28−

−=⋅∇ D

4.108.28 −−=⋅∇ ρεD

4.10 5.08.28)5.0( −⋅−== ερρv

373.672)5.0( mpCv −==ρρ (c) a carga total contida dentro da superfície

fechada:


Potencial Elétrico

r = 0,6; 0 < z < l, pela Lei de Gauss:

dzdpSdDQS

i φρρπ

∫ ∫∫∫ −−=⋅=2

0

1

0

4.08,424

dzdpQi φρρπ

∫ ∫−=2

0

1

0

6.08,424

∫∫−=1

0

2

0

6.08.424 dzdpQi

π

φρ

( ) 126.08.4246.0 6.0 ⋅⋅−== πρ pQ

( ) 126.08.4246.0 6.0 ⋅⋅−== πρ pQ

( ) pCQ 51.19646.0 −==ρ

( ) CQ 964.16.0 −==ρ 24. Dado o campo potencial V = 80rcosθ e o ponto

P{r= 2,5, θ = 30°, f = 60°) no espaço livre, determine em P:

(a) V; (b) E; (c) D; (d) rv; (e) dVIdN; (f) aN.

25. Dentro do cilindro r = 2,0 < z < l, o potencial é

dado por V = 100 + 50r + 150r senf V. (a) Determine V, E, D e rv, em P(l, 60°, 0.5) no espaço

livre, (b) Quanta carga está contida no cilindro?

Solução:

(a) V(l, 60° 0.5) = 100+50.1+150.1sen60, 0 = 279.90V

E: VE ∇−= Em coordenadas cilíndricas:


+∂∂

+∂∂

=∇ φρ φρρ

( )+

∂++∂

=∇ ρρφρρ asenV ˆ15050100

( )φφ

φρρρ

asen ˆ150501001∂++∂

+

( )za

zsen ˆ15050100

∂++∂

+φρρ

( ) ρφ asenV ˆ15050 +=∇φφρ

ρacos1501

+ za0+

( ) ( ) ρasenV ˆ60150505.0,60,1 00 +=∇ φa60cos150 0+

( ) ρaV ˆ90.1795.0,60,1 0 =∇ φa75+

φρ aaEVE ˆ75ˆ90.179 −−=⇒∇−= D

( 20 ˆ75.663ˆ12.1592 mpCaaED φρε −−== )

Ou

( )20 ˆ64.6ˆ59.1 mnCaaED φρε −−==

rv, em P(l, 60°, 0.5) no espaço livre:

Dv ⋅∇=ρ

( ) φρ φεφε aasenD ˆcos150ˆ15050 00 −+−=

( ) ( )z

DDDD zv ∂

∂+

∂∂

+∂∂

=⋅∇= φρ φρρ

ρρρ 11

( )++∂∂

−=⋅∇= )15050(10 φρ

ρρερ senDv

( )φφρ

ε cos15010 ∂

∂−

ρφε

ρφερ sensen

v15015050

00 ++

−=

ρερ 50

0−=v

30

0 442150)5.0,60,1( mpCv −=−= ερ

(b) Quanta carga está contida no cilindro?

∫∫ ⋅=S

i SdDQ

( ) φρ φεφε aasenD ˆcos150ˆ15050 00 −+−=

ρφρ adzdSd ˆ=

( ) dzdsenSdDS

i φρφεπ

∫ ∫∫∫ +−=⋅=2

0

1

00 15050Q

( ) dzdseni φφρεπ

∫ ∫ +−=2

0

1

00 15050Q

( ) ∫∫ +−=1

0

2

00 15050 dzdsenQi φφρε

π

( ) 1cos15050 200 ⋅−−= =

=πφ

φφφρεiQ

( )( )0cos1500502cos1502500 −⋅−−⋅−= ππρεiQ( )( )15001501000 −−−−= πρεiQ

πρε 1000 ⋅−=iQQ

Q

π10011085.8 12 ⋅⋅⋅−= −i

nCi 78.2−= 26. Um dipolo com Qd/4πe0 = 100 Vm2 está

localizado na origem no espaço livre e alinhado de tal forma que seu momento está na direção az.

(a) Esboce |V(r = l, θ, f = 0 ) versus θ em um gráfico polar,

(b) Esboce |E r = l, θ, f = 0) | versus θ em um gráfico polar.

27. Duas cargas pontuais, l nC em (0; 0; 0.l) e -l nC em (0; 0; -0,1), estão no espaço livre,

(a) Calcule V em P(0,3; 0; 0,4). (b) Calcule E em P.


Potencial Elétrico

(c) Agora trate as duas cargas como um dipolo na origem e determine V em P.

Solução:

rrrrp

rrV

′−′−

⋅′−

= 204

1πε

θ P r r : localiza o ponto P. r ′ : localiza o centro do dipolo.

(a) V em P(0,3; 0; 0,4). Vemos que: zx aar ˆ4.0ˆ3.0 +=

zyx aaar ˆ0ˆ0ˆ0 ++=′

zx aarr ˆ4.0ˆ3.0 +=′−

5.04.03.0 22 =+=′− rr Momento de dipolo: dQp =

zad ˆ2.0=

zanp ˆ2.0=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅= zxz aaanV ˆ

5.04.0ˆ

5.03.0ˆ2.0

5.041

20πε

nV 08.0125.04

1

0πε=

VV 76.5= (b) Calculo de E em P.

( )θθθπε

asenar

QdE r ˆˆcos24 3

0

+=

54

5.04.0cos ===

rzθ

53

5.003.0 2222

=+

=+

==r

yxr

sen ρθ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅= θπε

aanr ˆ

53ˆ

542

5.042.01

30

E

( )θπεaan

r ˆ3ˆ8625.04

2.0

0

+=E

22

0

38625.04

2.0+=

πεnE

73625.04

2.0

0πεnE =

73625.04

2.0

0πεnE =

mVE 25=

28. Um dipolo localizado na origem no espaço

livre possui um momento p = 2.10-9az;Cm. Em que pontos da linha y = z, x = O temos:

(a) |E| = l mV/m? (b) |E| = l mV/m?

29. Um dipolo de momento p = 3ax- 5ay + 10az

nC.m está localizado em Q(1,2,-4) no espaço livre. Determine V em P(2, 3, 4). Solução:

rrrrp

rrV

′−′−

⋅′−

= 204

1πε

(a) V em P(2, 3, 4). Vemos que: r zyx aaa ˆ4ˆ3ˆ2 ++=

zyx aaar ˆ4ˆ2ˆ1 −+=′

zyx aaarr ˆ8ˆˆ ++=′−

66811 222 =++=′− rr Momento de dipolo: zyx aaap ˆ10ˆ5ˆ3 +−= zyx aaap ˆ10ˆ5ˆ3 +−= (nC.m)

( ) ( )66

ˆ8ˆˆˆ10ˆ5ˆ3

664

12

0

zyxzyx

aaaaaanV

++⋅+−=

πε

( )8101513664

13

0

⋅+⋅−⋅=πε

nV


Potencial Elétrico

78664

13

0πε

nV =

VV 309.1=

30. Um dipolo de momento p = 2az. nC.m está localizado na origem no espaço livre. Calcule a magnitude de E e sua direção âE em componentes cartesianas em r = 100 m, f = 90° e θ =:

(a) 0°; (b) 30°; (c) 90°. 31. Um campo potencial no espaço livre é expresso por

V = 20/(xyz) V. (a) Determine a energia total armazenada dentro do

cubo l < x, y, z. < 2. (b) Que valor seria obtido supondo-se uma densidade

de energia uniforme igual ao valor no centro do cubo? Solução: (a) Cálculo da energia total armazenada dentro do

cubo l < x, y, z. < 2.

dVEWV

E ∫∫∫= 20

2ε

VE ∇−=

xyzV 20=

zyx azVa

yVa

xVE ˆˆˆ

∂∂

−∂∂

−∂∂

−=

zyx axyz

azxy

ayzx

E ˆ20ˆ20ˆ20222 ++=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= zyx a

za

ya

xxyzE ˆ1ˆ1ˆ120

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++= 222222

2 111400zyxzyx

E

422242224

2 400400400zyxzyxzyx

E ++=

dxdydzzyxzyxzyx

WE ∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

2

1

2

1

2

1422242224

0 4004004002ε

dxdydzzyx

WE ∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1

2

1

2

1224

0 4002ε

dxdydzzyx

dxdydzzyx ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

2

1

2

1

2

1422

02

1

2

1

2

1242

0 4002

4002

εε Fazendo

:

dcc

dbb

daa

dadbdccba ∫∫∫∫ ∫ ∫ =

2

12

2

14

2

12

2

1

2

1

2

1242

1111

2

13

2

1

2

1

2

1242

13111

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=∫ ∫ ∫ cba

dadbdccba

2

1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−−=∫ ∫ ∫ 33

22

1

2

1242 )1(3

1)2(3

111

211 dadbdc

cba

2

1

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=∫ ∫ ∫ 3

1241

211 22

1

2

1

2

1242 dadbdc

cba

96712

1

2

1242 =∫ ∫ ∫ dadbdc

cba

2

1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

967

2967

2967

2400 000 εεε

EW

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

19221400 0ε

EW

W

pJE 1875.387=

32. Na região do espaço livre onde 2 < r < 3,

0,4π < θ < 0,6π 0,4 < f < π/2

Seja rarkE ˆ2= .

(a) Determine um valor positivo para k de forma que a energia total armazenada seja exatamente l J.

(b) Mostre que a superfície é uma superfície equipotencial.

(c) Determine VAB dados os pontos A(r = 2, θ = π/2, f = π/3) e B(r = 3, θ = π/2, f = π/4)

33. Uma esfera de cobre de raio 4 cm possui

uma carga total de 4µC uniformemente distribuída pela sua superfície no espaço livre.

(a) Use a lei de Gauss para determinar D externa à esfera.

(b) Calcule a energia total armazenada no campo eletrostático.

(c) Use C

Q2

2

WE = para calcular a

capacitância da esfera isolada. Solução:

(a) Lei de Gauss para determinar D externa à esfera.

iS

QSdD =⋅∫∫

22

4 rQDQDr i

i ππ =⇒=4


Potencial Elétrico

ri ar

QD ˆ4 2π

=

22 )104(45)4( −⋅

==π

µcmrD

2410486.2 mCD −⋅= (b) Calcule a energia total armazenada no campo

eletrostático.

dVEWV

E ∫∫∫= 20

2ε

ri ar

QE ˆ4 2

0πε=

( ) 420

22

4 rQE i

πε=

( )dV

rQW

V

iE ∫∫∫=

420

20

42 πεε

∫ ∫ ∫∞

=R

iE drddsenr

rQW

π π

θφθεπ 0

2

0

24

02

2 132

∫∫∫∞

=ππ

φθθεπ

2

002

02

2 132

ddsendrr

QWR

iE

πεπ

4132 0

2

2 ∞

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=

R

iE r

QW

RQW i

E0

2

8πε=

( )( ) JWE 8125.2

1048105

20

26

=⋅

⋅= −

−

πε

(c) Cálculo da capacitância da esfera isolada:

( )8125.22

10522

2622

⋅⋅

==⇒=−

EE W

QCC

QW

pFC 444.4625.51025 12

=⋅

=−

34. Dado o campo potencial no espaço livre: V = 80fV (coordenadas cilíndricas), determine: (a) a energia armazenada na região: 2 < r < 4 cm

0 < f < 0,2 π 0 < z < 1 m. (b) a diferença de potencial VAB para A(r = 3 cm, f = 0, z = 0) B(r = 3 cm, f = 0,2 π, z = 1m) (c) o valor máximo de densidade de energia na

região da esférica. 35. Quatro cargas pontuais de 0,8 nC estão

localizadas no vértice de um quadrado de 4 cm de lado. (a) Determine a energia potencial total

armazenada.

(b) Uma quinta carga de 0,8 nC é posicionada no centro do quadrado. Determine novamente a energia total armazenada.

Solução:

(a) Energia potencial total armazenada.

∑=

=

=Nm

mmmE VQ

121W

( )[ ]141312121 VVVQWE ++=

( )[ ]242321221 VVVQ +++

( )[ ]343231321 VVVQ +++

( )[ ]434241421 VVVQ +++

r14 (1) 4cm (4)

r12 r13 4 2 (2) (3)

( ) Jnr

QQ 72

0

2

21

120

212

1 1072.01044

8.04

−− ⋅=

⋅=

πεπε

( ) Jnr

QQ 72

0

2

21

130

312

1 10509.010244

8.04

−−

⋅=⋅

=πεπε

( )77 10509.01072.024 −− ⋅+⋅⋅=EWW

W

JE710796.7 −⋅=

JE µ7796.0=

(b) Com a quinta carga de 0,8 nC posicionada no centro do quadrado.

Energia total armazenada:

( )[ ]15141312121 VVVVQWE +++=

( )[ ]25242321221 VVVVQ ++++

( )[ ]35343231321 VVVVQ ++++

( )[ ]45434241421 VVVVQ ++++

( )[ ]54535251521 VVVVQ ++++

4 2

4 cm 2 2


Potencial Elétrico

( ) Jnr

QQ 72

0

2

21

150

512

1 10018.110224

8.04

−−

⋅=⋅

=πεπε

77 10018.1810796.7 −− ⋅⋅+⋅=EW

JWE71094.15 −⋅=

JWE µ⋅= 594.1


Potencial Elétrico

1a Prova (1°S 2005) Questão 1 – (3,0 Pontos)

Uma linha infinita de carga uniforme de densidade rL = +0,4 m.C/m está localizada no eixo z e é concêntrica a uma distribuição superficial de carga cilíndrica infinita de equação r = 4 m e densidade superficial rs = - 0,8 m.C/m2. Considere e = e0.

(a) Determine o vetor campo elétrico E para todo o espaço.

(b) Assumindo que o potencial elétrico seja 0V em r =

2m, encontre o potencial elétrico em r = 1 m e em r = 6m.

Questão 2 – (2,0 Pontos) Considere a densidade volumétrica de carga

20

0

re r

r

v

−

= ρρ existe em todo o espaço livre. Calcule a

carga total presente.

Questão 3 – (3 0 Pontos) A densidade de fluxo elétrico é dada por

,D rar ˆ2= C/m2 e é representada

vetorialmente na figura a seguir. Determine:

(a) a densidade volumétrica de carga em r = 4m. (b) a densidade de fluxo elétrico em r = 4 m. (c) o fluxo elétrico deixa a esfera de r = 4 m. (d) a carga que está contida na esfera de r = 4m?

Questão 4 – (2,0 Pontos) A figura mostra a trajetória de um elétron num

tubo de raios catódicos, no qual um elétron deve ser acelerado de 3,0.106 m/s até 8,0.106 m/s.

(a) Para atingir esta velocidade, através de qual ddp ele deve passar?

(b) Nessas condições, se d = 2 cm calcule o campo elétrico entre as placas.

(c) Qual a densidade de carga superficial na placa?

y0

Gabarito


Potencial Elétrico

Questão 1 – (3,0 Pontos)

(a) rL = +0,4 m.C/m e r = 4 m e densidade superficial rs = - 0,8 m.C/m2.

Considere e = e0.

⎩⎨⎧

>+<

=⋅⇒=⋅ ∫∫∫∫ 4 se 24 se ρπρρ

ρρLRL

LSdDQSdD

sL

L

Si

S

⎩⎨⎧

>+<

=4 se 2

4 se 2

ρπρρρρ

ρπρ LRLL

LDsL

L

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+

<=

4 se L2

2

4 se L2

ρρππρρ

ρρπ

ρ

ρ LRL

L

DsL

L

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+

<=

4 se ˆ2

2

4 se ˆ2

ρπρπρρ

ρπρρ

ρ

ρ

aR

aD

sL

L

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−

<=

4 se mCˆ2

8,024,0

4 se ˆ2

4,0

2

2

ρµπρπ

ρµπρ

ρ

ρ

aR

mCaD

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−

<=

4 se mCˆ2,32,0

4 se ˆ2,0

2

2

ρµπρ

π

ρµπρ

ρ

ρ

a

mCaD

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−

<=

4 se mCˆ1363,3

4 se ˆ06366,0

2

2

ρµρ

ρµρ

ρ

ρ

a

mCaD

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>−

<=

4 se mˆ1363,3

4 se ˆ06366,0

0

0

ρρε

ρρερ

ρ

Va

mVa

E

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>⋅−

<=

4 se mVˆ

1054,3

4 se ˆ

22,7193

5 ρρ

ρρ

ρ

ρ

a

mVa

E

(b) Potencial:

∫ ⋅−=−=A

BBAAB LdEVVV

Em r = 1 m:

∫ ⋅−=−= ====

2

1121,2 LdEVVV ρρρρ

∫−=−= ====

2

1121,2

22,7193 ρρρρρρ dVVV

2ln22,7193ln22,71930 2

111,2 −=−=−= === ρρρρ VV

96,49851 −=− =ρV

V96,49851V ==ρ Em r = 6 m:

2446262,6 ======== −+−=−= ρρρρρρρρ VVVVVVV

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>⋅−

<=

4 se mVˆ

1054,3

4 se ˆ

22,7193

5 ρρ

ρρ

ρ

ρ

a

mVa

E

∫∫ ⋅−+⋅−===

4

2

6

42,6 ldEldEV ρρ

∫∫ −⋅−−===

4

2

6

4

52,6 22,71931054,3

ρρ

ρρ

ρρddV

∫∫ −⋅===

4

2

6

4

52,6 22,71931054384,3

ρρ

ρρ

ρρddV

2ln22,719346ln1054384,3 5

2,6 −⋅=== ρρV

96,49854202,14369026 −=− == ρρ VV

V4598,1387046V ==ρ

Questão 2 – (2,0 Pontos)

20

0

re r

r

v

−

= ρρV

v∫∫∫= ρe Q dv

φθθρππ

ddrdsenrr

erQrr

22

0 0 020

20

∫ ∫ ∫∞

−

=

dredsend rr

∫∫∫∞ −

=00

2

00

0

ππ

θθφρQ

[ ]∞→

=

−==

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=

r

r

rr

er0

0000cos2 πθ

θθπρQ

Q

[ ]000 022 rr +−= πρ

( )Cr 004Q ρπ= Questão 3 – (3,0 Pontos) densidade de fluxo elétrico: rar ˆ2=D C/m2 e é

representada Determine:

(a) a densidade volumétrica de carga em r = 4m.

Dv ⋅∇=ρ

( ) ( )φθ

θθθ

φθ ∂

∂+

∂∂

+∂∂ D

rsensenD

rsenDr

r r111 2

2r


Potencial Elétrico

Dv ⋅∇=ρ ( )42

1 rrr ∂∂

= 32 41 r

r=

Dv ⋅∇=ρ r4= ; 316 mCv =ρ (b) a densidade de fluxo elétrico em r = 4 m.

raD ˆ42= C/m2 ñ raD ˆ16= C/m2

(c) o fluxo elétrico deixa a esfera de r = 4 m.

iS

QSdD =⋅= ∫∫ψ

rarD ˆ2=

4

0

2

0

22 4 rddrr πθφψπ π

== ∫ ∫

Cππψ 102444 4 == (d) a carga que está contida na esfera de r = 4m?

316 mCv =ρ

CAQ v ππρ 10241644 2 ===

Dv ⋅∇=ρ r4=

φθθππ

ddrdsenrrQ 22

0 0

4

0

4∫ ∫ ∫=

φθθππ

ddrdsenrQ 32

0 0

4

0

4∫ ∫ ∫=

ππ 102444 4 ==Q C

Questão 4 – (2,0 Pontos) 3,0.106 m/s até 8,0.106 m/s. (a) Para atingir esta velocidade, através de qual

ddp ele deve passar? VqW ∆−=

dLaEQdW Lˆ⋅−=

VqW ∆−= = )(21 22

ifc vvmE −=∆

)(21 22

if vvme

V −=∆

))103()108((1031,9106,12

1 26263119 ⋅−⋅⋅

⋅⋅=∆ −

−V

VV 578,156=∆ (b) Nessas condições, se d = 2 cm calcule o campo

elétrico entre as placas. mVdVE /828,702,0578,156 ===

mkVE 83,7= (c) Qual a densidade de carga superficial na placa? No interior:

9,78281085,8 120

0

⋅⋅==⇒= −EE εσεσ

228,69 mnC=σ


Potencial Elétrico

Trabalho: dvV

v∫∫∫= ρQ VqW ∆−=

dLaEQdW Lˆ⋅−= Dv ⋅∇=ρ Energia cinética

Teorema da Divergência (Teorema Gauss): )(

21 22

ifc vvmE −=∆ dVFSdF

VS∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅

Lei de Coulomb Lei de Gauss

122120

2112 ˆ

4a

RQQ

Fπε

= 12

12

12

1212ˆ

rrrr

RR

a−−

== iS

QSdD =⋅= ∫∫ψ ñ 0εi

S

QSdE =⋅∫∫

Teorema da Stokes ( ) ∫∫∫ ⋅=⋅×∇

CS

ldHSdH 2

2120 1085,8

mNC⋅

−⋅=ε

Campo elétrico ( )

304

)(rr

rrQrE′−

′−=

πε Potencial elétrico

∫ ⋅−=−=A

BBAAB LdEVVV

∫∫∫ ′−′−

′−

′′=

v

v

rrrr

rrvdr

rE 204

)()(

πε

ρ

Carga elétrica Sistemas Cartesianas Cilíndricas Esféricas

Relações

P(x, y, z)

P(r, f, z)

22 yx +=ρ

xyarctg=φ

z=z

P(r, f, q)

222 zyxr ++=

xyarctg=φ

zyx

arctg22 +

=θ

Vetor posição zyx azayaxr ˆˆˆ ++= zazar ˆˆ += ρρ rarr ˆ=

Incremento rdLd = zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++=

zadzadadrd ˆˆˆ ++= φρ φρρ

φθ φθθ adrsenardadrrd r ˆˆˆ ++=

Versores

}ˆ,ˆ,ˆ{ zyx aaa ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+=

zz

yx

yx

aaasenaa

senaaa

ˆˆcosˆˆˆ

ˆcosˆˆφφφφ

φ

ρ

zyxr aasensenasena ˆcosˆˆcosˆ θθφθφ ++=

zyx asenasenaa ˆˆcosˆcoscosˆ θφθφθθ −+=

yx aasena ˆcosˆˆ φφφ +−=

Elemento de Volume

dxdydzdv = dzdddv φρρ= θφθ ddrdsenrdv 2=

DivergenteD⋅∇ z

Dy

Dx

D zyx

∂∂

+∂

∂+

∂∂ ( ) ( )

zDDD z

∂∂

+∂∂

+∂∂

φρ φρρ

ρρ11 ( ) ( )

φθθ

θθφ

θ ∂∂

+∂∂

+∂∂ D

rsensenD

rsenDr

rr r111 2

2

Gradiente

V∇ zyx azVa

yVa

xVV ˆˆˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇


+∂∂

+∂∂

=∇ φρ φρρ

φθ φθθaV

rsenaV

ra

rVV r ˆ1ˆ1ˆ

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇

Rotacional H×∇

xyy

xxx

yz ay

Hx

Ha

zH

zHa

zH

yH ˆˆˆ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

( )z

zz aHH

aH

zH

az

HH ˆ1ˆˆ1⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

φρρ

ρρφρρφ

φρ

ρφ

( ) ( ) ( )

φθ

θφθφ

θφθφθθ

θaH

rrH

ra

rrHH

senraHsenH

rsenrr

r ˆ1ˆ11ˆ1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

−∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂−

∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−∂

∂

Laplaciano V2∇ 2

2

2

2

2

2

zV

yV

xV

∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

211

zVVV

∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

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Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV - 1

1

Potencial elétrico

PROCEDIMENTO PARA A ELABORAÇÃO DAS MANOGRAFIAS

1. Elaborar o título. 2. Indicar o material necessário para a

montagem do experimento, se houver necessidade.

3. Diagramatizar o experimento, quando houver.

4. Indicar o conteúdo em papel A4, com folhas numeradas.

5. As monografias serão elaboradas individualmente .

6. As monografias individuais deverão ser entregues até a data solicitada de entrega. Não serão aceitas após a data pedida.

Considerar:

• Ordem e apresentação da monografia. • Conteúdo e apresentação dos dados

experimentais. • Conclusões e discussão dos resultados.

No mínimo, para cada monografia deve sempre conter:

1. Título , data de realização e

colaboradores; 2. Objetivos e importância do tema

pesquisado; 3. Roteiro dos procedimentos

experimentais, quando houver. 4. Esquema do aparato utilizado, quando

houver; 5. Descrição dos principais instrumentos e

equipamentos existentes; 6. Dados medidos; 7. Cálculos;

8. Gráficos; 9. Resultados e conclusões.

Eletromagnetismo I Prof. Dr. Cláudio S. Sartori ... · Exemplo 9) Duas cargas q1 e q2 distantes de...

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