CENTRO FEDERAL DE EDUCAO TECNOLGICA DE SANTA CATARINA GERNCIA EDUCACIONAL DE ELETRNICA Respost aemFr eqnciaFI LTROSPASSI VOS AUTOR: PROF. FERNANDO LUIZ ROSA MUSSOI REVISO: PROF. CARLOS G. ESPERANA EDIO 2.0 FLORIANPOLIS JULHO, 2004. Ger nci a Educaci onalde El et r ni ca Not a do Aut or Oobjetivodestematerialfazeraapresentaotericaematemticadocomportamentodoscircuitos passivos filtrantes, disponibilizando ao professor tempo para uma abordagem mais prtica desses circuitos, em laboratrio e atravs de simulao eletrnica. Estematerialnotemapretensodeesgotar, tampouco inovar o tratamento do assunto por ele abordado mas, simplesmente, facilitar a dinmica de aula e a compreenso por parte dos alunos. Este trabalho foi construdo com base nas referncias bibliogrficas, devidamente citadas ao longo do texto, nas notas de aula e na experincia do autor na abordagem do assunto com os alunos. EmsetratandodeummaterialdidticoelaboradoemumaInstituioPblicadeEnsino,permitidaa reproduo do texto, desde que devidamente citada a fonte. Quaisquer contribuies e crticas construtivas a este trabalho sero bem-vindas pelo autor. mussoi@cefetsc.edu.br Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 2 ndi ce NOTA DO AUTOR.........................................................................................................................................................1 NDICE............................................................................................................................................................................2 1. RESPOSTA EM FREQNCIA...............................................................................................................................4 1.1. RESISTOR QUANTO FREQNCIA:.........................................................................................................................4 1.2. CAPACITOR QUANTO FREQNCIA:......................................................................................................................5 1.3. INDUTOR QUANTO FREQNCIA: .........................................................................................................................5 2. RESSONNCIA..........................................................................................................................................................7 2.1. FREQNCIA DE RESSONNCIA:..............................................................................................................................7 2.2. EXERCCIOS: .........................................................................................................................................................12 3. FUNO DE TRANSFERNCIA..........................................................................................................................14 3.1. DIAGRAMA DE BLOCOS: .......................................................................................................................................14 3.2. FUNO DE TRANSFERNCIA: ..............................................................................................................................14 3.3. GRFICOS DA FUNO DE TRANSFERNCIA.........................................................................................................16 3.4. GANHO, ATENUAO E FASE ...............................................................................................................................17 3.5. DECIBEL (DB).......................................................................................................................................................18 3.6. FREQNCIA DE CORTE:.......................................................................................................................................21 3.7. EXERCCIOS: .........................................................................................................................................................22 4. FILTROS...................................................................................................................................................................24 4.1. TIPOS DE FILTROS QUANTO TECNOLOGIA EMPREGADA:......................................................................................24 4.2. TIPOS DE FILTROS QUANTO FUNO EXECUTADA:.............................................................................................25 5. FILTROS PASSA-BAIXA .......................................................................................................................................26 5.1. FILTRO PASSA-BAIXA IDEAL ................................................................................................................................26 5.2. FILTRO PASSA-BAIXA RL.....................................................................................................................................27 5.3. FILTRO PASSA-BAIXA RC.....................................................................................................................................32 5.4. EXERCCIOS: .........................................................................................................................................................37 6. FILTRO PASSA-ALTA ...........................................................................................................................................40 6.1. FILTRO PASSA-ALTA IDEAL..................................................................................................................................40 6.2. FILTRO PASSA-ALTA RL.......................................................................................................................................41 6.3. FILTRO PASSA ALTA RC.......................................................................................................................................45 6.4. EXERCCIOS: .........................................................................................................................................................48 Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 3 7. FILTRO PASSA-FAIXA..........................................................................................................................................50 7.1. FILTRO PASSA-FAIXA IDEAL.................................................................................................................................50 7.2. FILTRO PASSA-FAIXA SRIE: ................................................................................................................................51 7.3. FILTRO PASSA-FAIXA PARALELO..........................................................................................................................56 7.4. EXERCCIOS: .........................................................................................................................................................61 8. FILTRO REJEITA-FAIXA.....................................................................................................................................62 8.1. FILTRO REJEITA-FAIXA IDEAL: .............................................................................................................................62 8.2. FILTRO REJEITA-FAIXA SRIE...............................................................................................................................63 8.3. FILTRO REJEITA-FAIXA PARALELO.......................................................................................................................68 8.4. EXERCCIOS: .........................................................................................................................................................73 9. FATOR DE QUALIDADE.......................................................................................................................................74 9.1. EXEMPLOS:...........................................................................................................................................................75 9.2. EXERCCIOS: .........................................................................................................................................................76 10. LARGURA DE FAIXA E SELETIVIDADE........................................................................................................78 10.1. EXERCCIOS........................................................................................................................................................79 APNDICE A - DIAGRAMAS DE BODE.................................................................................................................81 APNDICE B SRIES DE FOURIER ....................................................................................................................82 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ........................................................................................................................85 Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 4 1. Respost a em f r eqnci a Ataquiestudamosarespostadetensoecorrentedeumcircuitodecorrentealternadacom freqncia fixa, ou seja, no domnio do tempo e da freqncia. O objetivo desta unidade estudar arespostaemfreqncia,ouseja,ocomportamentodoscircuitosquantovariaoda freqncia dos sinais de tenso ou corrente aplicada (excitao). Sabemos,doestudodoscomponentespassivos,queoresistorocapacitoreoindutor apresentamcomportamentostpicosquantofreqnciadosinalaelesaplicado,conforme demonstra a figura 1. (rad/s)f (Hz)R ()XC ()XL ()XLRXC R|XL| = |XC| Figura 1.1 Comportamento da Resistncia, da Reatncia Indutiva e da Reatncia Capacitiva com a variao da freqncia 1.1. Resi st orquant o f r eqnci a:Suaresistnciaindependedafreqnciadosinalaplicado.Dependeapenasdarelaoentrea tenso e a corrente, conforme a Lei de Ohm: IVR Portanto,graficamenteseucomportamentoexpressoatravsdeumaretaderesistncia Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 5 constante como na figura 1.1. 1.2. Capaci t orquant o f r eqnci a: Suareatnciacapacitivadependedafreqnciadosinalaplicado.Avariaodareatncia capacitiva inversamente proporcional freqncia do sinal, conforme a expresso: XC f CC 1 12 Pela figura 1.1 podemos perceber que: quantomaiorafreqnciadosinalaplicado,menorserareatnciacapacitiva.Para freqncias muito altas, o capacitor se comporta como um curto-circuito. quantomenorafreqnciadosinalaplicado,maiorserareatnciacapacitiva.Para freqncia zero (CC), o capacitor se comporta como um circuito aberto. 1.3. I ndut orquant o f r eqnci a: Sua reatncia indutiva depende da freqncia do sinal aplicado. A variao da reatncia indutiva diretamente proporcional freqncia do sinal, conforme a expresso: X L f LL 2 Pela fig 1.1 podemos perceber que:quantomaiorafreqnciadosinalaplicado,maiorserareatnciaindutiva.Para freqncias muito altas, o indutor se comporta como um circuito aberto. quantomenorafreqnciadosinalaplicado,menorserareatnciaindutiva.Para freqncia zero (CC), o indutor se comporta como um curto-circuito. Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 6 Observao: DevemoslembrarqueaResistncia,aIndutnciaeaCapacitnciadependedascaractersticas construtivas do componente. Exemplo1.1:ParaocircuitoRLCsriedafigura1.2,analisesuarespostaemfreqncia preenchendo o quadro abaixo. Dados: v(t) = 10.sen(.t) V ; R = 100; L = 10mH; C = 1F Figura 1.2 Circuito RLC Srie (rad/s) f (Hz) R () |XL| () |XC| () ZEQ () ret. ZEQ () polar F.P. cos IT (A) VR (V) PR (W) 0 10 100 1K 9K 10K 11K 100K 1M Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 7 2. Ressonnci a Comopercebemos,daanlisedarespostaemfreqnciadoexemplo1.1,existeuma determinada freqncia em que as reatncias indutiva e capacitiva se anulam, pois so iguais em mduloeocircuitoapresentaumteorresistivopuro(Fatordepotnciaunitrio).Nestecaso,o ramoLCsecomportacomoumcurto-circuitoetodaatensodafonteestarsobreoresistor, provocando mxima dissipao de potncia. Essa condio chamada de Ressonncia. A freqncia que provoca esta situao no circuito da figura 2 ( = 10.000 rad/s) chamada de Freqncia de Ressonncia e dizemos que o circuito ressonante. AssimumcircuitoRLCressonantesrieaquelequeapresentaamenoroposiopossvel passagemdecorrenteeltricanumadeterminadafreqncia,achamadaFreqnciade Ressonncia [1]. Para quaisquer valores de freqncia inferiores ou superiores a esta, o circuito srie apresentar maior oposio corrente. Assim, em qualquer circuito RLC, ressonncia a condio existente quandoaimpednciaequivalentepuramenteresistiva,ouseja,atensoeacorrentenos terminais de entrada (fonte) esto em fase e o fator de potncia unitrio (cos=1) [2]. NocircuitoRLCressonanteparaleloocorreocontrriododescritoacima,ouseja,amaior oposio possvel a passagem da corrente. 2.1. Fr eqnci a de r essonnci a:AFreqnciadeRessonnciaafreqncianaqualumcircuitoRLCsecomportacomoum circuitoresistivo,ouseja,naqualofatordepotnciaunitrioe,portanto,hamxima transferncia de potncia da fonte para a carga. A Ressonncia pode ocorrer em circuitos RLC sries, paralelos ou mistos. 2.1.1. Ressonnci a Sri e: SejaocircuitoRLCsriecomooapresentadonafigura1.2.Asuaimpednciaequivalente determinada por: Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 8 C1j L j R X X R ZL C EQ + + + OcircuitosrieressonantequandoZeq=Re|XL|=|XC|,ouseja,areatnciatotaldeveser nula, ento: 0C1j L j C1j L j C1L 1 LC2 LC1 A freqncia de ressonncia num circuito RLC srie pode ser dada por: RL C1. (rad/s)ouC LfR. 21 (Hz) Na figura 1.1 a freqncia de ressonncia R aquela onde as curvas de XL e XC se cruzam, ou seja, quando |XL|=|XC|. Se para o exemplo 1 traarmos as curvas de Z x e PR x obteramos os grficos da figura 2.1. Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 9 |Z| () (rad/s)TEORCAPACITIVO |Z| = R100TEORINDUTIVOTEORRESISTIVO R = 10Krad/sa) Curva Impedncia x Freqncia (rad/s) PR (W) R = 10Krad/sb) Curva Potncia x Freqncia Figura 2.1 Resposta em Freqncia do circuito do Exemplo 1.1 Portanto, dos grficos da figura 1.1 e 2.1 podemos concluir que na ressonncia srie: f < fR: o circuito apresenta teor capacitivo e a corrente est adiantada da tenso. f > fR: o circuito apresenta teor indutivo e a corrente est atrasada da tenso. f=fR:ocircuitotemteorresistivo,aimpednciaequivalentemnimaeacorrenteest emfasecomatenso.Acorrentemximaeatensodafonteesttodasobrea resistncia.Apotnciadissipadanoresistorsermxima.Htensonoindutoreno capacitor, iguais em mdulo, porm defasadas de 180o, anulando-se. 2.1.2. Ressonnci a Paral el a: Seja um circuito RLC paralelo, como o apresentado na figura 2.2. A sua impedncia equivalente dada por:

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.|++

,`

.|+ C LC LC LC LC L eqX XX XRX XX XRX X R Z || || Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 10 Figura 2.2 Circuito Ressonante Srie O circuito somente ser ressonante quando Zeq = R, ou seja, quando a reatncia equivalente do paralelo do capacitor com o indutor for infinita (circuito aberto). Exemplo2.1:Encontreaexpressoparaoclculodafreqnciaderessonanciadocircuito paralelo da figura 2.2. Conclumos,ento,queafreqnciaderessonncianumcircuitoRLCparalelopodeser dada por: LC1R (rad/s) ou LCfR 21(Hz) Exemplo2.2:ParaocircuitoRLCparalelodafigura2.2,analisesuarespostaemfreqncia preenchendo o quadro e esboce os grficos da Zeq x e da PR x . Analise o comportamento do circuito com relao variao da freqncia. Dados: v(t) = 10.sen(.t) V ; R = 100; L = 10mH; C = 1F Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 11 (rad/s) f (Hz) R () |XL| () |XC| () ZEQ () ret. ZEQ () polar F.P. cos IT (A) VR (V) PR (W) 0 10 100 1K 9K 10K 11K 100K 1M |Z| () (rad/s) Ra) Curva Impedncia x Freqncia (rad/s) PR(W) Rb) Curva Potncia x Freqncia Figura 2.3 - Resposta em Freqncia do circuito do Exemplo 2.2 Analisandoarespostaemfreqnciadocircuitodoexemplo2.2,podemosconcluirquena ressonncia paralela: f < fR: o circuito apresenta teor indutivo e a corrente est atrasada em relao a tenso. f>fR:ocircuitoapresentateorcapacitivoeacorrenteestadiantadaemrelaoa tenso. f=fR:ocircuitotemteorresistivo,aimpednciaequivalentemximaeacorrenteno resistor mnima (igual a da fonte) e estar em fase com a tenso. A potncia dissipada sermxima.Existemcorrentesnoindutorenocapacitor,iguaisemmdulo,porm defasadas de 180, anulando-se. Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 12 Ressonnci a Mi st a: Alm dos circuitos RLC srie e paralelo, outros circuitos tambm podem apresentar freqncia de ressonncia.Para determinarmos a equao para clculo da freqncia de ressonncia em circuitos mistos, necessriolembrarmosdascondiesparahaveraressonnciae,ento,procurarmosanulara parte imaginria (reatncias) da equao. A freqncia de ressonncia para o circuito RLC misto da figura 2.3 pode ser calculada por [2]: Figura 2.4 Circuito Misto Ressonante

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.| 22.1LRC LR 2.2. Exer cci os:2.2.1)Determine a freqncia de ressonncia em rad/s e em Hz para os seguintes casos: a) L= 300 H e C= 0,005 F b) L= 250 H e C= 400 pF 2.2.2)Qualovalordoindutornecessrioparaobteraressonncia1500kHzcomuma capacitncia de 250 pF? 2.2.3)Qual o capacitor que dever ser colocado em srie com um indutor de 500 mH para haver ressonncia em 50 Hz? Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 13 2.2.4)UmcircuitosrieformadoporR-125,L=800mHeC=220pF.Qualovalorda impedncia(eoteor)asercolocado(ecomo)nocircuitoafimdetorn-loressonantea10 kHz [2]? 2.2.5)Um circuito srie formado por R=30, L=0,382H e C=0,2F, determine: a) Zeq em 550kHz b) O capacitor C ser ligado em paralelo para provocar ressonncia numa freqncia 2.2.6)Seja circuito de ressonncia de um rdio AM tem uma bobina de 100H. Quais os limites de um capacitor varivel para que o rdio sintonize de 530kHz a 1600 kHz? 2.2.7)Um capacitor de sintonia pode variar de 20pF a 350pF [2]. a)Calculeaindutnciaaserligadaemsrieparaproduzirafreqnciaderessonnciamais baixa de 550 kHz. b) Calcule a freqncia de ressonncia mais alta. 2.2.8)Determine a freqncia de ressonncia para os circuitos abaixo: Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 14 3. Funo de Tr ansf er nci a Osequipamentosesistemaseletrnicospodemserconstitudosdevrioscomponentese circuitos. A fim de mostrar as funes desempenhadas pelos componentes, circuitos ou conjuntos destes, usamos em anlise de circuitos, os diagramas de blocos. 3.1. Di agr ama de Bl ocos: Umdiagramadeblocosdeumequipamentoousistemaeletrnicoumarepresentaodas funesdesempenhadasporcadacomponenteoucircuitoedofluxodossinaisdosquais estamos interessados e indica a inter-relao existente entre os vrios circuitos [4]. Exemplo 3.1: Cadablocodesempenhaumafunoouum conjunto de funes e corresponde a um ou vrios circuitos eletrnicos. Quando se analisa um bloco, estamos interessados nas informaes (sinais de tenso e corrente) presentesnasuaentrada,nasuasadaenarelaoexistenteentreelas.Porexemplo,se dispusermosdeinformaessobreosvaloresdetensoecorrentedeentradadeumcircuito (bloco) e poderemos obter os valores de tenso e corrente na sua sada, desde que conheamos qual a relao existente entre entrada e sada proporcionada pelo bloco (circuito). 3.2. Funo de Tr ansf er nci a:Em um diagrama de blocos, todas as variveis do sistema so ligadas umas s outras atravs de cadabloco.Assim,cadablocopodeserrepresentadoporumaoperaomatemtica relacionando os sinais de entrada e de sada. Porexemplo,noblocodafigura3.1aplicadoumsinaldetensonaentradaeestamos interessados no valor de tenso que teremos na sada. Este valor depende da funo que o bloco desempenha, ou melhor, da funo que desempenha o circuito que o bloco representa. Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 15 BLOCO 1Circuito 1EntradaVeSadaVsVe(t) = VP.sen(.t) Figura 3.1 Representao por Bloco Se,porexemplo,oblocorepresentarocircuitodafigura3.2,podemosrelacionar matematicamente o sinal de sada Vs em funo do sinal de entrada Ve por um divisor de tenso: Figura 3.2 Circuito que desempenha a funo do bloco da figura 1 eLLsVjX RXV +Se relacionarmos a tenso de sada com a tenso de entrada, temos: LLesjX RXVV+L j RL jVVes +Como podemos perceber, a relao Vs/Ve depende da freqncia do sinal ().A expresso que relaciona o sinal de sada com o sinal de entrada em um bloco, em funo da freqncia angular chamada de Funo de Transferncia H( ). Assim, a funo de transferncia H() para o bloco da figura 3.2 dada por: L j RL j) ( HVVes + Comestarepresentaomatemticaedepossedosvaloresdoresistoredoindutor,podemos calcular o mdulo e a fase (ngulo) de tenso de sada para cada valor de freqncia dado. Uma funo de transferncia H() pode relacionar: Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 16 Tenso de sada / Tenso de entrada:) () () (esVVH Tenso de sada / Corrente de entrada:) () () (esIVH Corrente de sada / Corrente de entrada:) () () (esIIH Corrente de sada / Tenso de entrada:) () () (esVIH ComaFunodeTransfernciadeumcircuitoconhecida,poderemos,porexemplo,avaliaro sinaldesadaemfunodosinaldeentrada,tantoparaoseumdulo,nguloefreqncia, assim: ) ( H V Ve s Exemplo 3.2: Para o circuito da figura 3.2, determine o mdulo e o ngulo do sinal de sada para quando o sinal deentradativerasfreqncias=10rad/s,=1000rad/se=100Krad/ssendoR=50e L=10mH. Ve(t)=20.sen(t). 3.3. Gr f i cos da Funo de Tr ansf er nci a Como podemos perceber, a Funo de Transferncia H( ) um nmero complexo e pode ser representadonaformapolar(mduloefase)enospermitefazeraanlisederespostaem freqncia de um circuito, ou seja, analisar o comportamento dos sinais em funo da variao da freqncia. Portanto,podemosrepresentargraficamenteafunodetransfernciaatravsdegrficosdo mdulo e da fase em funo da freqncia. Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 17 ) ( ) ( ) ( H H O grfico do mdulo da funo de transferncia com relao variao da freqncia e o grfico do ngulo de fase da funo de transferncia com relao variao da freqncia para o circuito da figura 3.2 tero a aparncia mostrada na figura 3.3: (rad/s)f (Hz)|H()|Curva Caracterstica do Mdulo de H() - Ganho (rad/s)f (Hz)()Curva Caracterstica do ngulo de H() - Fase-45o-90oCC Figura 3.3 Curvas de Resposta em Freqncia para a Funo de Transferncia do circuito da Figura 3.2 3.4. Ganho, At enuao e Fase Comopudemosperceber,afunodetransfernciaH()umnmerocomplexoe,comotal, pode ser expresso (na forma polar) por um mdulo (amplitude) e um ngulo (fase). 3.4.1. Ganho e At enuao O mdulo da funo de transferncia chamado de Ganho, assim, o ganho a relao entre o mdulo do sinal de sada e o mdulo do sinal de entrada. O ganho pode ser expresso como: Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 18 Ganho de tenso: esVV) ( H GV Ganho de corrente:esII) ( H GI Ganho de potncia:esPP) ( H GP Se o valor do ganho for maior que 1, o circuito um amplificador, ou seja, o sinal de sada maior que o sinal de entrada. Se o ganho for menor que 1 o circuito um atenuador, ou seja, o sinal de sada menor que o sinal de entrada. Observao:comooGanhoumarelaoentreduasgrandezasdemesmanatureza(mesma unidade) adimensional. 3.4.2. Fase:A fase de uma funo de transferncia () o seu correspondente ngulo, ou seja, o ngulo do nmero complexo na forma polar. Representa o adiantamento do sinal de sada em relao ao sinal de entrada. ) ( ) ( ) ( e s+ 3.5. Deci bel( dB)NotpicoanteriorestudamosqueoGanhodeumafunodetransfernciarelacionaduas grandezas de mesma natureza e , portanto, adimensional. ODecibelumaformademedirarelaoentreduasgrandezasfsicasdemesmanatureza, sendoadotadoparaexpressaroganhonascurvasderespostaemfreqnciadecircuitos eletrnicos. O nome Decibel deriva do sobrenome de Alexander Grahan Bell. O conceito de Decibel (dB) est ligado aos nossos sentidos, em especial audio [1]. O ouvido humanonorespondedeformalinearaosestmulosquelhesoimpostos(potnciasonora), masdeformalogartmica.Porexemplo,seapotnciasonorasofrerumavariaode1Wpara 2W, a sensao sonora no dobrar. Para que a sensao sonora dobre, a potncia associada a Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 19 ele dever ser multiplicada por dez, ou seja, variao de forma logartmica (1, 10, 100, 1000, ...). Oslogaritmossousadosparacomprimirescalasquandoafaixadevariaodevalormuito amplae,tambmparatransformarasoperaesdemultiplicaoedivisoemoperaesde soma e subtrao, respectivamente. Naanlisedecircuitoseletrnicoscomumusarmosaescalalogartmicaparaexpressaros valores de Ganho, em Decibel. O Decibel (dB) equivale a um dcimo de um Bel (B). O Bel relaciona dois nveis de potncia Pe e Ps da seguinte forma [5]: esPPlog GP (B) Destaforma,sePs=10.Peoganhodepotnciavale10poisasadadezvezesmaiorquea entrada: 1 10 logPP 10log GPee Ento o ganho de potncia 1B, isto , Ps est 1 bel acima de Pe (temos uma amplificao de 1 Bel). Para as grandezas que estudaremos, a unidade Bel muito grande, por isso, usamos o Decibel atravs da seguinte equao:

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.| esdBPPlog 10 | GP Desta forma, se Ps=1000.Pe, o ganho de potncia vale 1000 pois a sada mil vezes maior que a entrada,, ento: 30 3 10 1000 log 10 | GPdB E o ganho de potncia de 30 dB, isto , uma amplificao de 30 dB.Por outro lado, se Ps=0,001Pe o ganho de potncia vale 0,001, pois a sada ser mil vezes menor que a entrada, ento: ( ) 30 3 10 001 , 0 log 10 | GPdB O ganho de potncia de -30dB, ou seja, uma atenuao de 30 dB. Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 20 Consideremos um quadripolo (circuito com quatro terminais) representando um circuito eletrnico comumaimpednciadeentradaZeeumaimpednciadesada(carga)Zs,conformeafigura 3.4. ~Pe PsVeVs+_+_ZeZsQuadripolo Figura 3.4 Quadripolo representando um circuito com uma entrada e uma sada As potncias mdias de entrada e de sada so dadas por: e2eeRVP e s2ssRVP Observao:apotnciamdia(ativa)estrelacionadaapenascomaparcelaresistivada impedncia. Calculando o Ganho de Potncia em dB, temos: ]]]]

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.| se2ess2ee2se2es2sesdBRRVVlog 10R VR Vlog 10RVRVlog 10PPlog 10 | GP

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.| +

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.|

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.| +

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.| seesse2esdBRRlog 10VVlog 20RRlog 10VVlog 10 | GPComooganhodetensoarelaoentreatensodesadaeatensodeentrada,podemos concluirdaequaoacima,queoganhodetensodeumquadripoloemdBcalculadopela expresso:

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.| esdBVVlog 20 | GVDa mesma forma, o ganho de corrente:

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.| esdBIIlog 20 | GI Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 21 Observao: !" PodemosdesprezaraltimaparcelaporqueconsideramosacondiodeCasamentode Impedncia, ou seja, situao de mxima transferncia de potncia, onde Re = Rs. Quando Re=Rs os ganhos de potncia e tenso sero iguais ( situao de mxima transferncia de potncia). ( ) 0 1 log 10RRlog 10se

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.| Aclassificaodeequipamentoseletrnicosdecomunicao,comoporexemplo, amplificadoresemicrofones,normalmenteestabelecidaemdB.Aequaodeganhode potnciaemdBindicaclaramenteumarelaoentredoisnveisdepotncia.ParaumaPs especificada,devehaverumnveldepotnciadereferncia(Pe).Onveldereferncia normalmenteaceito1mW.Aresistnciaassociadaaonveldepotnciade1mW600 (valordeimpednciatpicodelinhadetransmissodeudio).Quandoseadota 1mW como nvel de referncia, comum a unidade dBm, como indica a equao:

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.| 600sdBm| mW 1Plog 10 | GP3.6. Fr eqnci a de Cor t e:definidacomoafreqncianaqualapotnciamdiadesadaametadedapotnciade entrada, ou seja, quando o Ganho de Potncia for 0,5. Matematicamente, 21PPGPes como: s2ssRVP e e2eeRVP , temos: 21RVRVGPe2es2s Para RsRe, temos: 707 , 021VV21VVes2e2s Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 22 Portanto, na Freqncia de Corte; Vs 0,707.Ve ou21GV Ento: ( ) 3 15 , 0 log 20VV 707 , 0log 20VVlog 20 | GVeeesdB

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.|

,`

.| O Ganho de Tenso ser GV|dB= -3dB na freqncia de corte Tambm podemos dizer que: AFreqnciadeCorteafreqncianaqualatensodesadaaproximadamente 70,7% da tenso de entrada, ou seja, a freqncia que provoca um ganho de -3dB. 3.7. Exer cci os:3.7.1)Determinar, a partir da funo de transferncia, o ganho de tenso adimensional e em dB eafasedosinalparaocircuitoabaixoparaasfreqnciasde60Hz,1700Hze10kHze compare os resultados. Sejam R=5 e L=3mH. 3.7.2)Determinar, a partir da funo de transferncia, o ganho de tenso adimensional e em dB eafasedosinalparaocircuitodoexerccio1,invertendoasposiesdoresistorcomo indutor,paraasfreqnciasde60Hz,1700Hze10kHzecompareosresultados.Sejam: R=50 e L=25mH.3.7.3)Umquadripolotemganhodetensode10dB.Seatensodeentrada5V,quala tenso de sada ? 3.7.4)QualapotnciaedBquandoarelaoentrePs/Pe:1/1000,1/100,1/10,1,10,100e 1000 ? 3.7.5)Determineafunodetransferncia,omduloeafasedosinalpara=100rad/s, Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 23 =1000 rad/s e =100Krad/s considerando o circuito abaixo. Ve(t)=10.sen(t) Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 24 4. Fi l t r os AtaquiestudamosocomportamentodoscircuitosRLCmistosemregimepermanente (freqncia constante), a resposta em freqncia dos componentes passivos e a ressonncia que ocorre nos circuitos. Existemvriasconfiguraessimplesdecircuitos,tambmchamadasderedes,quesode grandeimportnciaprincipalmenteparaoscircuitoseletrnicos.Estasredes(circuitos)so chamadas de Filtros. Nasuadefiniomaissimples,Filtroumcircuitoqueapresentaumcomportamento tpico em funodafreqnciadosinalaeleaplicado,permitindoapassagemdesinaiscomcertas freqncias, enquanto suprime sinais com outras freqncias [3]. Osfiltrossobasicamentecompostosporimpednciasinterligadas(redes)eocomportamento destescircuitosdependedovalordasresistncias,capacitnciaseindutnciasenvolvidaseda maneira como so interligadas. Os filtros so classificados quanto tecnologia e componentes empregados na sua construo e quanto funo que dever ser executada por ele num circuito eletrnico [2]. 4.1. Ti pos de f i l t r os quant o t ecnol ogi a empr egada:a) Filtros Passivos: So os filtros construdos apenas com os elementos passivos dos circuitos, ou seja, resistores, capacitores e indutores. b)FiltrosAtivos:Soosfiltrosqueempregamnasuaconstruoelementospassivos associados a algum elemento ativo amplificador, como por exemplo, transistores e amplificadores operacionais. c)FiltrosDigitais:Soosfiltrosqueempregamtecnologiadigitalnasuaconstruo,implementados atravs da programao de um sistema microprocessado. Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 25 4.2. Ti pos de Fi l t r os quant o f uno execut ada:a)Filtros Passa-Baixas; b)Filtros Passa-Altas; c)Filtros Passa-Faixa (Passa-Banda); d)Filtros Rejeita-Faixa (Rejeita-Banda); NestaapostilaestudaremosemmaioresdetalhesosFiltrosPassivosque,comovimos,so aquelescircuitoscapazesdeselecionardeterminadasfaixasdefreqnciasusandoapenas componentes passivos. O ganho dos filtros passivos geralmente menor ou igual a 1, com algumas excees. Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 26 5. Fi l t r os Passa-Bai xa UmFiltroPassa-BaixaPassivoumcircuitoquepermiteapassagemdesinaisdetensoe corrente somente em freqncias abaixo de um certo limite, atenuando os sinais cuja freqncia ultrapassar esse valor. Esse valor limite de freqncia a Freqncia de Corte (C) do filtro. 5.1. Fi l t r o Passa-Bai xa I dealParasinaisdefreqncias abaixo da freqncia de corte do filtro, o ganho unitrio, ou seja, o mdulo do sinal de entrada igual ao de sada. Para freqncias acima da freqncia de corte o ganho zero, ou seja, o mdulo do sinal de sada atenuado at zero. Naprtica,porm,noseobtmrespostaemfreqnciadeumfiltropassa-baixaidealcomo apresentado na figura 5.1. GV(dB)(rad/s)c01 Figura 5.1 Curva de Resposta em Freqncia para um Filtro Passa Baixa Ideal Simbologia Usual: Ve VsVe Vs Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 27 5.2. Fi l t r o Passa-Bai xa RL UmcircuitoRLpassivocomooapresentadonafigura5.2podecomportar-secomoumfiltro passa-baixa real. Parasinaisdebaixafreqnciaoindutorapresentabaixareatncia,XL R e seu comportamento tendeaumcircuitoaberto.Destaforma,amaiorparceladatensodeentradaestarsobreo indutoreatensosobreoresistordesadasermuitopequena.Podemosdizerqueocircuito impede a passagem de sinais de altas freqncias. Figura 5.2 Circuito de um Filtro Passivo Passa-Baixa RL 5.2.1. Ganho e Fase Paraestecircuitoatensodesadaemfunodatensodeentradapodeserdadapela expresso: eLesVL j RRX RV RV ++ ou ainda: L j RRVVes + Se fatorarmos a expresso, dividindo tanto o numerador como o denominador por R, temos: Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 28 RLj 11RRL j RRVVes + + Portanto,estaexpressoaFunodeTransfernciadeumFiltroPassa-BaixoRL,naforma fatorada: ( )RLj 11H + Sabemosqueafunodetransfernciaumnmerocomplexoequeoganhodetensoo mdulo da funo de transferncia na forma polar, e a fase o ngulo. Observao:Paradeterminarmosomduloeongulodeumnmerocomplexodevemos lembrar: ( ) ( )2 2aginria Im al Re Mdulo +

,`

.|al Reaginria Imarctg ngulo Paraencontrarmosomduloprecisamosobteraraizquadradadasomadosquadradosdas partes real e imaginria, tanto do numerador como do denominador. Assim, ( )2 222 2RL11RL10 1GV H

,`

.| +

,`

.| ++ Portanto, a expresso para o Ganho de Tenso de um Filtro Passa-Baixa RL : 2RL11GV

,`

.| + Para obtermos a Fase precisamos subtrair o ngulo do numerador com o ngulo do denominador. Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 29 Estesngulossocalculadospeloarcotangente(tg -1)doquocientedaparteimaginriapela parte real.

,`

.|

,`

.| ,`

.| RLarctg 01RLarctg10arctgPortanto, a expresso para a Fase de um Filtro Passa-Baixa RL :

,`

.| RLarctg 5.2.2. Freqnci a de Cort e: Sabemos que o ganho na freqncia de corte : 707 , 021| GVc Ento: 2cRL1121

,`

.| +elevando ao quadrado ambos os lados da expresso e operando a expresso para isolarmos C, temos: 2cRL1121

,`

.| +2RL12c ,`

.| +1 2RL2c ,`

.| 1 1RLc Portanto, a Freqncia de Corte para um Filtro Passa-Baixa RL dada por: Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 30 LRc Na freqncia de corte ( = C), a fase ser: ( ) 1 arctgRLLRarctgRLarctgc ,`

.| ,`

.| !45 5.2.3. Curvas Caract erst i cas: Comaexpressodoganhoedafasepodemostraarascurvasderespostaemfreqnciado Filtro Passa-Baixa RL, como indicam as figuras 5.3a e 5.3b. (rad/s) GV 1 0,707 c 0 Figura 5.3a Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RL Ganho de Tenso (rad/s) -45o c 0 -90o Figura 5.3b Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RL Fase Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 31 !" Ganho: 0 GV707 , 021GV1 GV 0c !" Fase: ( )( )( )!!!90 arctg45 1 arctg0 0 arctg 0c TambmpodemostraaracurvaderespostaemfreqnciadoGanhoemdBdeumFiltro Passa-Baixa RL usando uma escala logartmica, como indica a figura 5.4. (rad/s) GV|dB-3c010.c100.c-20-40 Figura 5.4 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RL Ganho de Tenso em dB (escala logartmica PelacurvadarespostaemfreqnciaparaoganhoemdBdeumFiltroPassa-Baixa,podemos perceber que aps a freqncia de corte, cada vez que a freqncia aumenta de um fator de 10, o ganho diminui em 20dB. Dizemos que h uma atenuao de 20dB por dcada de aumento da freqncia. Tambmpodemosusarumaaproximaodogrficodafigura5.4atravsderetas,chamadas Assntotas.Ogrficoderespostaemfreqnciaaproximadoporretasassintticaschamado Diagrama de Bode, como o apresentado na figura 5.5 para o Filtro Passa-Baixa RL. Resposta em Freqncia Filtros Passivos CEFET/SC - Gerncia Educacional de EletrnicaProf. Fernando Luiz Mussoi 32 (rad/s) GV|dB-3c010.c100.c-20-40 Figura 5.5 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RL Ganho de Tenso em dB (escala logartmica) Diagrama de Bode aproximao por assntotas 5.3. Fi l t r o Passa-Bai xa RC UmcircuitoRCcomooapresentadonafigura5.6podecomportar-secomoumFiltroPassivo Passa-Baixa. Parasinaisdebaixafreqncia,ocapacitorapresentaaltareatncia,XC>>Reseu comportamentotendeaumcircuitoaberto.Destaforma,amaiorparceladatensodeentrada estar sobre o capacitor de sada. Podemos dizer que o circuito apresentado deixa passar sinais de baixa freqncia. Parasinaisdealtasfreqncias,ocapacitorapresentabaixareatncia,XCR)eseucomportamento tendeaumcircuitoaberto.Destaforma,amaiorparceladatensodeentradaestarsobreo indutor de sada. Podemos dizer que o circuito deixa passar sinais de alta freqncia. Parasinaisdebaixafreqncia,oindutorapresentabaixareatncia(XL