Eletrotecnica B Sica

Profº Jaime Mariz Eletrotécnica Básica

1

Eletrotécnica Básica

1. Resoluções de Circuitos em corrente contínua

Definições:

a) Bipolo – é qualquer dispositivo elétrico com dois terminais;

Ex.: Resistor, indutor, capacitor, gerador, etc.

Símbolo do bipolo:

b) Circuito Elétrico – é um conjunto de bipolos elétricos

interligados;

c) Gerador de Tensão Contínua – é um dispositivo elétrico que

impõe uma tensão entre seus terminais, qualquer que seja o

valor da corrente.

Símbolo do Gerador de tensão contínua:

d) Gerador de Corrente Contínua – é um dispositivo que impõe

uma corrente, qualquer que seja o valor da tensão aplicada aos

terminais.

Símbolo do Gerador de corrente contínua:

e) Associação de Dipolos em Série – é um conjunto de bipolos

ligados de tal maneira que a corrente que passa por um bipolo,

obrigatoriamente, passa pelos outros.

V

- +

B1 B2 B3 B4


2

f) Associação de bipolos em paralelo – é um conjunto de bipolos

ligados de tal maneira que a tensão aplicada a um é,

obrigatoriamente, aplicada aos outros.

g) Ligação de Bipolos em Estrela – é um conjunto de três bipolos

ligados de acordo com a figura abaixo

h) Ligação de Bipolos em Triângulo (delta) – é um conjunto de

três bipolos ligados conforme com a figura abaixo

B1 B2 B3 B4

B1

B2 B3

B1

B3

B2


3

Leis dos circuitos: o processo de resolução de circuitos em

corrente contínua baseia nas seguintes leis da Física:

a) Lei de Ohm: RV

I = ou V = RI

b) 1ª Lei de Kirchhoff (lei das correntes): o somatório das

correntes que convergem para um mesmo nó é igual a zero;

(princípio: a energia não pode ser criada ou destruída)

∑ = 0I

I3 + I5 – I1 – I2 – I4 = 0

I3 + I5 = I1 + I2 + I4

c) 2ª Lei de Kirchhoff (lei das tensões): a soma algébrica das

tensões ao longo de um caminho fechado é igual à soma

algébrica das quedas de voltagem existentes nessa malha

(princípio: a toda ação corresponde uma reação igual e

contrária). ∑ ∑= RIE ou 0RIE =− ∑∑

-E1+E2+E3=I1R1–I2R2+I3r3-I4R4

-E1+E2+E3-I1R1+I2R2-I3r3+I4R4=0

I5I1

I2

I4

I3

+ -

- +

+ -

+-+ -

+--

+


4

Análise de Malhas para resolução de circuitos Este processo é válido para circuitos planares (que podem ser

representados num plano, sem cruzamentos de linha), contendo

apenas bipolos lineares e sem geradores de corrente.

Exemplo 01:

1ª Malha (ABEF): 100 – 40 =5I1 + 5I1 + 10(I1 – I2)

2ª Malha (BCDE): 40 = 10I2 + 10(I2 – I1)

60 = 20I1 - 10I2 60 = 20I1 - 10I2

40 = -10I1 + 20I2 (x2) 80 = -20I1 + 40I2

140 = 30I2

I2 =140/30 = 4,67A

60 = 20I1 – 10 x 4,67 I1 = (60 + 46,7)/20

I1= 5,33A


5

Exemplo 02:

Nó A: I4 = I1 + I3 Nó B: I2 = I3 + I6 Nó C: I1 = I5 + I6 Malha ADCEF: E1 = I1R1 + I4R4 + I5R5 Malha BCD: E2 - E6 = I2R2 + I6R6 - I5R5 Malha ABCD: -E6 = -I3R3 + I6R6 – I4R4 - I5R5

Aplicando as Leis de Kirchhoff podemos transformar circuitos

ligados em “Y” em circuitos ligados em “Δ”


6

“Δ” em “Y”

321

31

RRRRR

Ra++

=

321

21

RRRRR

Rb++

=

321

32

RRRRR

Rc++

=

“Y” em “Δ”

RcRcRaRbRcRaRb

R1++

=

RaRcRaRbRcRaRb

R2++

=

RbRcRaRbRcRaRb

R3++

=

Exemplo 03:


7

2. Resoluções de Circuitos em corrente alternada A quase totalidade dos sistemas elétricos trabalha com correntes e

tensões alternadas. Isto se deve ao fato de:

a) Ser mais fácil o transporte da energia para lugares distantes;

b) Ser econômica a transformação de níveis de tensão e de

corrente, de acordo com a necessidade;

c) Ser econômica a transformação de energia elétrica em

energia mecânica e vice-versa;

Força Eletromotriz de um alternador elementar

φm = Fluxo Máximo encadeado com a espira

ω = Velocidade angular da espira (rad/seg)

α = ωt = ângulo formado pelo plano da espira com o plano perpendicular às linhas de fluxo

φ = φm.cosωt

dtd

eφ

−= para uma espira

tsen.ndt

)tcos.(dn

dtd

ne mm

ωφω=ωφ

−=φ

−=

mas: mm nE φω= então: tsen.Ee m ω=


8

Função periódica y = f(t) é periódica se assumir o mesmo valor f(t) para

instantes espaçados de T, 2T, 3T,...

então y = f(t) = f(t+T) = f(t+2T) = ... = f(t+nT)

T = período

Freqüência nº de períodos (ou ciclos) por segundos (Hertz ou Hz)

T1

f = ex.: para f = 60Hz ⇒ T = 1/60 = 0,01667 seg

Então ft2sen.Eef2T2

m π=⇒π=π

=ω

Freqüências usuais: 50Hz (Europa, Paraguai) 60Hz (Brasil, USA) 25Hz (alguns sistemas de tração elétrica) 250 a 2700Hz (Telefonia comercial) 25 a 40 kHz (Sondagem submarina) ultra-som 30 kHz (telegrafia sem fio) 150 kHz (Radiodifusão – Ondas Longas) 500 a 1500 kHz (Radiodifusão – Ondas Médias - 200 a 600m) 30 MHz (Radiodifusão – Ondas Curtas até 10m)


9

Fase e diferença de Fase

F(t) = A.sen(ωt+θ) ∴ (ωt+θ) = ângulo de Fase

Se duas grandezas senoidais )tsen(.Ee

)tsen(.Ee

22m2

11m1

θ−ω=θ+ω=

têm a

mesma freqüência, a diferença de fase ou defasagem entre elas

em um dado instante será: 2121 )t()t( θ−θ=θ+ω−θ+ω

ex.: )30tsen(.75e

)30tsen(.100e

2

1

°−ω=°+ω=

30 – (-30) = 60° a senóide e1 passa pelos seus valores

zero e máximo com avanço de 60°

sobre a senóide e2

Quando duas ou mais grandezas

alternadas têm a mesma fase

elas se acham em concordância

de fase ou simplesmente em

fase


10

Quando a Diferença de fase

entre duas grandezas alternadas

for de 90° elas estão em

quadratura

Quando a diferença de fase for

de 180°, estão em oposição

Valor Médio A expressão que dá o valor médio de uma função é:

∫=T

0

médio dt)t(fT1

Y

para a senóide esse valor é nulo para um ciclo, e por isso é

definido para um semi período. Assim o valor médio de

i=Im.senα pode ser achado integrando a senóide de 0 a π.

[ ] mmm

0m

0

médiom I637,0I.2

)11(I

cosI

d.sen.I1

I =π

=+π

=α−π

=ααπ

= ππ

∫

Analogamente: mm

médio V637,0V.2

V =π

=


11

Valor eficaz Energia transformada em calor por uma c.c. I em uma resistência

R em t segundos: I2Rt

Energia transformada em calor pela corrente alternada i na mesma

resistência é, a cada instante i2R

Assim: ∫ ∫=∴=T

0

T

0

222

t1

.dt.iIdt.RiRtI sendo T=2π (período)

∫∫ππ

α⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ α−

π=αα

π=

2

0

22

m2

0

22m

2 dcos21

21

2I

d.sen.I21

I

mmm

2m

2

0

2m2 I707,0

2I

2I

I2I

22sen

4I

I2

===⇒=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ α

−απ

=π

analogamente: mm

V707,02V

V ==

OBS.: os voltímetros e amperímetros de corrente alternada

indicam os valores eficazes de corrente e tensão

Representação vetorial das Grandezas Senoidais

α = ωt radianos

0x=0A.senωt=Im.senωt


12

Vantagens:

1. O vetor mostra as duas características que definem a senóide:

o ângulo de fase e o valor máximo;

2. A diferença de fase entre as duas grandezas alternadas pode

ser representada vetorialmente. A figura

ao lado nos mostra o vetor OB em

avanço de θ graus sobre o vetor AO. Se

OB e AO representam os valores

máximos das voltagens e1 e e2, elas

serão expressas por:

e1 = OB.senωt e2 = OA.sen(ωt-θ)

3. A soma ou a diferença de duas ou mais grandezas senoidais

se reduz a uma composição de vetores.

)cos(.I.I.2III 12m2m12m2

1m2

m0 φ−φ++=

2m21m1

2m21m10

.cosI .cosIsen.Isen.I

tanφ+φφ+φ

=φ

O


13

Parâmetros dos circuitos de C.A

Resistência

Unidade: Ω(ohm)

Carga Resistiva ou carga ôhmica

Indutância

Unidade: H (Henry)

Carga Indutiva

Capacitância

Unidade: F (Farad)

Carga Capacitiva

Lei de Ohm para os circuitos de C.A

Consideremos uma bobina com resistência elétrica ® e indutância

(L):

sR

lρ=

Passando-se uma corrente elétrica nessa bobina aparecerá um

fluxo magnético φ dados por: φ = Li

Se “i” é variável, “φ” também será! ⇒ aparecerá uma f.e.m. de auto

indução dada por: ( )

dtdi

LdtLid

dtd

e ==φ

=


14

na figura anterior, temos então:

dtdi

dtdi

LRiv ∴+= ⇒ derivada da corrente elétrica em relação

ao tempo.

Uma bobina que tem uma resistência “R” e uma indutância “L” é

representada conforme abaixo:

Se o circuito tem elevada resistência elétrica e indutância

desprezível, o representamos apenas pela resistência, e dizemos

que o circuito é puramente ôhmico ou puramente resistivo.

Se ocorrer o inverso, isto é, se a resistência por desprezível em

relação ao efeito da indutância, e dizemos que ele é puramente

indutivo.

Ex.: enrolamento de máquinas elétricas, transformadores, etc.

Se forem considerados tanto a resistência quanto a indutância do

circuito, então ele será denominado circuito indutivo ou circuito RL.


15

Circuito puramente Ôhmico L = 0

R ≠ 0 Rv

iRivdtdi

LRiv =∴=∴+=

Supondo v = Vmax.senωt ⇒ R

tsen.Vi

max ω=

tsen.ItsenRV

i maxmax

ω=ω=

Quando a tensão for máxima, a corrente também será:

tsen.ItsenRV

itsen.Vv maxmax

max ω=ω=∴ω=

Dizemos então que as duas senóides estão em fase entre si ou

que a corrente e a voltagem então em fase num circuito puramente

ôhmico.

RV

IRV

707,0I.707,0RV

Ief

efmax

maxmax

max =⇒===

Conclusão: os circuitos puramente ôhmicos, quando alimentados

por corrente alternada, apresentam o mesmo

comportamento do que quando alimentados por corrente

contínua. A freqüência das correntes alternadas não

influencia os fenômenos que se processam no circuito.

0


16

Circuito puramente Indutivo L ≠ 0

R ≈ 0 dtdi

Lvdtdi

LRiv =∴+=

Nos circuitos puramente indutivos toda tensão aplicada aos

seus terminais é equilibrada pela f.e.m. de auto-indução.

Dado: ( ) ( )

dttsend

I.Ldt

tsen.IdLvtsen.Ii max

maxmax

ω=

ω=⇒ω=

cosθ = sen(θ+90°)

cos30° = sen(π/6 +90°)

0,866 = 0,866

tcos.I.Lv max ωω= )90tsen(.I.Lv max °+ωω=

Isto é, essa voltagem é também alternada senoidal com valor

máximo igual a ωLImax, defasada 90° em adiantamento em relação

à corrente alternada do circuito.

Vmax = ωLIMax ⇒ 0,707 Vmax = 0,707 ωLIMax

Vef = ωLIef ⇒ Vef = XLIef

XL = ωL = 2πfL ⇒ Reatância indutiva (análoga à resistência)

Unidade da reatância: Ω (Ohms)

0


17

Observamos que a reatância Indutiva é função da freqüência e da

indutância: f↑⇒X↑ L↑⇒X↑

Conclusão: Sempre que uma corrente alternada atravessa um

circuito puramente indutivo (de reatância XL = 2πfL),

tem-se uma queda de tensão dada por Vef = XL.Ief,

defasada de 90° em adiantamento em relação à

corrente. Em outras palavras: aplicando-se uma

voltagem alternada senoidal aos terminais se um

reatância XL de um circuito puramente indutivo, verifica-

se a passagem de uma corrente elétrica de valor Ief =

Vef/XL ,defasada de 90° em atraso em relação à

tensão.

Exemplos:

1°) Um circuito puramente indutivo onde temos L=0,5H é

alimentado por uma tensão cujo valor eficaz é 110v e cuja

freqüência é 60Hz. Calcule o valor eficaz da corrente alternada

que circula nesse circuito.

XL=2πfL = 2x3,14x60x0,5 = 188,4Ω

Ief = Vef/XL = 110/188,4 = 0,584A

Ief = 584mA


18

2°) No problema anterior, traçar o diagrama vetorial e

representação senoidal da tensão e corrente eficaz.

Ex.: v = 50.sen(30t + 90°)

i = 10.sen30t

3°) Num circuito puramente ôhmico, aplicou-se uma voltagem dada

por v=120.sen(314t). Se a resistência total do circuito mede

10Ω, calcule qual deverá ser a leitura de um amperímetro se

corretamente inserido no circuito. Vef = 0,707.Vmax = 0,707x120 = 84,84V

Ief = Vef/R = 84,84/10 = 8,484 A


19

Revisão de Números Complexos

1j1j 2 −=⇒−=

Z1 = 6 Z4 = -3 + j2

Z2 = 2 – j3 Z5 = -4 – j4

Z3 = j4 Z6 = 3 + j3


20

Outras formas dos números complexos

θ=∴=θ cosZxZx

cos

θ=∴=θ senZyZy

sen

Z = x + jy = |Z|cosθ + j|Z|senθ = |Z|(cosθ +jsenθ)

Tgθ = y/x

xy

arctg=θ 22 yxZ +=

argumento de Z Módulo ou valor absoluto de Z

A fórmula de Euler, e±jθ = (cosθ ± jsenθ), possibilita outra

forma para representação dos números complexos, chamada

forma exponencial:

Z = x ± jy = |Z|(cosθ ± jsenθ) = |Z|e±jθ

A forma polar ou de Steinmetz para um número complexo Z é

bastante usada em análise de circuitos e escreve-se

|Z|∠±θ onde “θ” aparece em graus Esses quatro meios de se representar um número complexo estão

resumidos a seguir. O emprego de um ou de outro depende da

operação a ser efetuada. Forma retangular Z = x ± jy 3 + j4

Forma Polar Z = |Z|∠±θ 5∠53,13

Forma exponencial Z = |Z|e±jθ 5ej53,13

Forma trigonométrica Z = |Z|(cosθ ±jsenθ) 5(cos53,13+jsen53,13)


21

Conjugado de um número complexo O conjugado Z* de um número complexo Z = x + jy é o número

complexo Z* = x – jy

Ex.: Z1 = 3 - j2 Z1* = 3 + j2

Z2 = -5 + j4 Z2* = -5 – j4

Z3 = -6 + j10 Z3* = -6 – j10

Na forma polar, o conjugado se Z = |Z|∠θ é Z* = |Z|∠-θ

Na forma Z = |Z|[cos(θ) + jsen(θ)] o conjugado de Z é

Z* = |Z|[cos(-θ) + jsen(-θ)]

Mas cos(θ)=cos(-θ) e sen(-θ) = -sen(θ), então

Z* = |Z|[cos(θ) - jsen(θ)]

ex.: Z = 7∠30° Z* = 7∠-30° Z = x + jy

Z* = x - jy

Z = |Z|ejθ

Z* = |Z|e-jθ

Z = |Z|∠θ

Z* = |Z|∠-θ

Z = |Z|(cosθ + jsenθ)

Z* = |Z|(cosθ - jsenθ)

Z1=3 + j4 Z1*=3 – j4

Z2=5∠143,1° Z2*=5∠-143,1°

O conjugado Z* de um número complexo Z é sempre a imagem de

“Z” em relação ao eixo real, como mostra a figura.


22

Soma e diferença de números complexos Para somar ou subtrair dois números complexos, soma-se ou

subtrai-se separadamente as partes reais e imaginárias dos

números na forma retangular. Z1=5-j2 Z1+Z2=(5-3)+j(-2–8)=2–j10

Z2=-3–j8 Z1–Z2=[5–(-3)]+j[(-2)–(-8)]=8+j6

Multiplicação de números complexos O produto de dois números complexos, estando ambos na

forma potencial ou na forma polar:

Z1=|Z1|ejθ1=|Z1|∠θ1 Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|).ej(

θ1+θ2)

Z2=|Z2|ejθ2=|Z2|∠θ2 Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|)∠θ1+θ2

O produto pode ser obtido na forma retangular, tratando-se os

números complexos como se fossem binômios: Z1.Z2 = (x1+jy1)(x2+jy2) = x1x2 + jx1y2 + jy1x2 + j2 y1y2

= (x1x2 + y1y2) + j(x1y2 + y1x2)

ex. 01: Z1 = 5ejπ/3 Z1Z2 = (5.2)ej(

π/3-π/6) = 10ejπ/6 Z2 = 2e-j

π/6

ex. 02: Z1 = 2∠30° Z1Z2 = (5.2)∠[30+(-45)] Z2 = 5∠-45° Z1Z2 = 10∠-15°


23

Divisão de números complexos

)21(j

2

1

2j2

1j1

2

1e

ZZ

eZ

eZZZ θ−θ

θ

θ

== ⇒ forma exponencial

)(ZZ

ZZ

ZZ

212

1

22

11

2

1θ−θ∠=

θ∠θ∠

= ⇒ forma polar

A divisão na forma retangular se faz multiplicando-se

numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

22

22

12212121

22

22

22

11

2

1

yx)xyxy(j)yyxx(

jyxjyx

jyxjyx

ZZ

+−++

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

=−

−

Exemplos:

1) Z1=4ejπ/3, Z2=2ejπ/6 ⇒ 6j

6j

3j

2

1e2

e2

e4ZZ

π

π

π

==

2) Z1=8∠-30°, Z2=2∠-60° ⇒ °∠=−∠−∠

= 304602308

ZZ2

1

3) Z1=4-j5, Z2=1+j2 ⇒ 5

13j62j12j1

2j15j4

ZZ2

1 −−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

+−

=

Transformação: forma polar ⇒ forma retangular

50∠53,1° = 50(cos53,1° + jsen53,1°) = 50x0,6 + j50x0,7997 = 30 + j40 100∠-120° = 100.cos(-120) + 100.jsen(-120) = -100.cos(60) + 100.jsen(-120) = -100.0,5 + 100.(-0,866) = -50-j86,6


24

Circuito puramente Capacitivo

Se v = Vmax.senωt

q = Cv

dt

)tsen.V(dC

dt)Cv(d

dtdq

imax ω

===

i = ω.C.Vmax.sen(ωt + 90°)

i = Imax.sen(ωt + 90°)

Se Imax = ω.C.Vmax

0,707.Imax = 0,707.ω.C.Vmax

Ief = ω.C.Vef ou efef IC1

Vω

= ∴

C

C

XfC21

XC1

=π

=ω

Reatância Capacitiva

A corrente num circuito puramente capacitivo está 90° adiantada

em relação à tensão

OBS.: num circuito indutivo: f↑ ⇒ XL↑ ⇒ corrente↓

f↑ ⇒ XC↓ ⇒ corrente↑ Se f=0 ⇒ XC = ∞ ∴ capacitor não deixa passar corrente DC


25

Circuito RL ou indutivo

Praticamente consiste de um circuito puramente ôhmico de

resistência “R” em série com um circuito puramente indutivo de

indutância “L”

A corrente “i” ao atravessar a

resistência “R”, provoca uma

queda de tensão dada por VR=Ri

em fase com a corrente “i”.

A corrente “i” ao atravessar a indutância “L”, determina uma

queda de tensão indutiva Vx = XLi, defasada de 90° em

adiantamento sobre a corrente “i”.

A queda de tensão total atuante entre os terminais do circuito é

dada pela soma vetorial de VR e VX:

)XR(i)iX()Ri(VVVVVV 2L

222L

22X

2RXR +=+=+=∴+=

ZiVXRiV 2L

2 =⇒+= ∴ Z = impedância do circuito

Z é um número complexo da forma: Z= R+jXL = R+jωL


26

Considerando-se “Z” numa representação gráfica, teremos:

RX

arctgRX

tg LL =θ∴=θ

Na forma polar podemos escrever:

θ∠= ZZ 2L

2 XRZ +=

RX

arctg)L(RZ L22 ∠ω+=

Circuito RC ou Capacitivo

Se “i” é igual a 1 ampere, teremos:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ω

−=−=C1

jRjXRZ C

C1

XRX

arctg Cc

ω=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=θ

ZX

arcsen C−=θ

ZR

arccos=θ

Na forma polar: θ∠=−

∠⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ω

+= ZRX

arctgC1

RZ C2

2


27

Outra forma da lei de Ohm:

E = (R+jX)I

22 XRZ += RX

arctg=θ

θ∠= ZZ RX

arctgXRZ 22 ∠+=

Exemplos:

1) Um circuito RL série de R=20Ω e L=20mH tem uma impedância

de módulo igual a 40 Ω. Determinar o ângulo de defasagem da

corrente e tensão, bem como a freqüência do circuito.

Z = R+jXL = |Z|∠θ ⇒ 40.cosθ + j40.senθ

Z = 20+jXL = 40∠θ θ = arccos 20/40 = arccos 1/2

θ = 60°

XL = 40.sen60° = 40x0,866 ⇒ XL = 34,6Ω

XL = 2πfL ⇒ f = XL/2πL ⇒ 34,6/(6,28 x 0,02)

f = 34,6/0,1256 ⇒ f = 275,5Hz

E = ZI


28

2) Um circuito série de R = 8Ω e L = 0,02H tem uma tensão

aplicada de v = 283.sen(300t+90°). Achar a corrente “i”.

XL = ωL = 300x0,02 = 6Ω ⇒ Z = 8 +j6

Vef = 0,707 x 283 1010068 22 ==+

Vef = 200 θ = arctg 6/8 = 36,9°

V = 200∠90° Z = 10∠36,9°

°∠=°∠°∠

== 1,53209,3610

90200ZV

I

)1,53t300sen(.220i °+=

3) Dados v = 150.sen(5000t+45°) e i = 3sen(5000t-15°),

construir os diagramas de fasores e da impedância e

determinar as constantes do circuito (R e L) v = 0,707x150∠45° = 106,05∠45° I = 0,707x3∠-15° = 2,12∠-15°

3,43j25)866,0j5,0(50Z

)60senj60(cos5060501512,24505,106

IV

Z

+=+=

°+=°∠=°−∠°∠

==

XL = 2πfL = ωL = 43,3 ∴L = 43,3/5000 ⇒ L = 8,66mH

R = 25Ω


29

Circuito RL série

Conclusão: O circuito RL em série se comporta exatamente como

um circuito RL que tenha resistência ôhmica igual a

R = R1 + R2 e reatância indutiva XL = XL1 + XL2.

Assim sendo Z= Z1 + Z2 =(R1 + jXL1) + (R2 + jXL2) = (R1 + R2) + j(XL1 + XL2)

Ou na forma fasorial:

21

21221

221 RR

LLarctg)LL()RR(ZZ

+ω+ω

∠ω+ω++=θ∠=


30

Circuito RL série

Conclusão: o circuito RC série se comporta exatamente como um

circuito RC que tenha resistência ôhmica igual a R =R1 + R2

e reatância capacitiva 21

2C1CC C1

C1

XXXω

+ω

=+=

Assim teremos: Z = Z1 + Z2 = (R1 + jXC1) + (R2 + jXC2)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+ω

++=+++=21

212C1C21 C1

C1

j)RR()XX(j)RR(

ou na forma fasorial:

21

212

21

221 RR

C1

C1

arctgC1

C1

)RR(ZZ+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+ω

−∠⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+ω

++=θ∠=


31

Podemos então generalizar:

V = V1 + V2 + V3 = Z1I + Z2I + Z3I

V = I(Z1 + Z2 + Z3) = IZT

ZT = Z1 + Z2 + Z3

Generalizando:

Circuito Paralelo

T321321321T Z

1Z1

Z1

Z1

VZV

ZV

ZV

IIII =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=++=++=

321T Z1

Z1

Z1

Z1

++=

generalizando

...Z1

Z1

Z1

Z1

321T

+++=

O inverso da impedância de um circuito é chamada de

Admitância, cujo símbolo é Y.

Então no circuito acima teremos: IT = I1 + I2 + I3 = Y1V + Y2V + Y3V = V(Y1 + Y2 + Y3)

IT = YTV ∴ YT = Y1 + Y2 + Y3

ZT = Z1 + Z2 + Z3 + ...


32

Num circuito paralelo podemos dizer que a corrente do circuito

é igual ao produto da tensão total aplicada aos seus terminais pela

admitância total equivalente.

Portanto a Admitância equivalente de qualquer número de

admitâncias em paralelo é igual a soma das admitâncias

individuais.

Z = R ± jX ∴ +jX ⇒ reatância indutiva (XL)

-jX ⇒ reatância capacitiva (-Xc)

Analogamente:

Y = G ± jB ∴ G ⇒ Condutância

B ⇒ Susceptância

+jB ⇒ Susceptância capacitiva (BC)

-jB ⇒ Susceptância indutiva (-BL)

Unidades de Y, G e B ⇒ MHO ou ou Ω-1

Como a corrente “I” pode estar adiantada, atrasada ou em

fase com “V”, conseqüentemente, 3 casos podem ocorrer:

1° Caso

V = |V|∠θ V = |I|∠θ

Rº0Z

IV

Z =∠=θ∠θ∠

=

A impedância do circuito é uma resistência pura de “R” ohms

Gº0Y

YI

Y =∠=θ∠θ∠

=

A admitância do circuito é uma condutância pura de “G” mhos


33

2°Caso: O fasor corrente está atrasado de um ângulo θ em relação à tensão

V = |V|∠φ

I = |I|∠(φ-θ)

)(IV

Zθ−φ∠

φ∠=

LjXRZ +=θ∠

A impedância de um circuito com fasores “V” e “I” nesta situação consta de uma resistência e uma reatância indutiva em série

φ∠θ−φ∠

=V

)(IY

LjBG)(Y −=θ−∠

A impedância do circuito consta de uma condutância e uma susceptância indutiva em paralelo

3°Caso: O fasor corrente está avançado de um ângulo θ em relação à tensão

V = |V|∠φ

I = |I|∠(φ+θ)

)(IV

Zθ+φ∠

φ∠=

LjXRZ +=θ∠

A impedância do circuito consta de uma resistência e uma reatância capacitiva em série

φ∠θ+φ∠

=V

)(IY

LjBG)(Y −=θ−∠

A impedância do circuito consta de uma condutância e uma susceptância capacitiva em paralelo


34

Conversão Z - Y Forma polar: dado Z=5∠53,1°

)53,1(2,01,535

1Z1

Y °−∠=°∠

==

Forma Retangular: Y = 1/Z

22 XRjXR

jXRjXR

.jXR

1jXR

1jBG

+−

=−−

+=

+=+

2222 XRX

jXR

RjBG

+−

++

=+ 22 XRR

G+

=

22 XRX

B+

−=

Z = 1/Y

22 BGjBG

jBGjBG

.jBG

1jBG

1jXR

+−

=−−

+=

+=+

2222 BGB

jBG

GjXR

+−

++

=+ 22 BGG

R+

=

22 BGB

X+−

=

Exemplos: 1) Dado Z = 3 + j4, achar a admitância equivalente Y.

)]1,53sen(j)1,53[cos(2,0)1,53(2,01,535

1Z1

Y −+−=°−∠=°∠

==

Y = 0,12 – j0,16 G = 0,12MHOS B = -0,16MHOS

outro método

( ) MHOS12,0169

3XR

RG 22 =

+=

+=

( ) MHOS16,01694

XRX

B 22 −=+−

=+−

= Y = 0,12 - j0,16


35

2) No circuito série abaixo, achar I e ZT. Mostrar que a soma das

quedas de tensão é igual à tensão aplicada

ZT = Z1 + Z2 + Z3 = 4 + j3 – j6 ⇒ ZT = 4 – j3

52534Z 22T ==+=

°−=−

=θ 9,3643

arctg ZT = 4 – j3 = 5∠(-36,9°)

Impedância Capacitiva

°∠=°−∠°∠

== 9,3620)9,36(5

0100ZV

IT

V1 = IZ1 = 20∠36,9° x 4 = 80∠36,9° = 80(cos36,9°+jsen36,9°) = 64 + j48 V2 = IZ2 = 20∠36,9° x 3∠90° = 60∠126,9° = 60(cos126,9°+jsen126,9°) = -36 + j48 V3 = IZ3 = 20∠36,9° x 6∠90° = 120∠(-53,1°) = 120[cos(-53,1)+jsen(-53,1)] = 72 – j96 V = V1 + V2 + V3 = (64 + j48) + (-36 + j48) + (72 – j96) V = 100 + j0 = 100∠0°


36

3) Achar a corrente total e a impedância total do circuito paralelo abaixo, traçando o diagrama de fasores:

Z1 = 10∠0°

°∠=∠+= 1,53534

arct43Z 222

)9,36(1086

arct68Z 223 °−∠=

−∠+=

)9,36(10050

1,535050

010050

ZV

ZV

ZV

IIII321

321T −∠∠

+∠∠

+∠∠

=++=++=

= 5∠0 + 10∠(-53,1) + 5∠36,9 = 5 + 10[cos53,1 + jsen(-53,1)] + 5[cos36,9 + jsen36,9] = 5 + 10[0,60 - j0,80] + 5[0,80 + j0,60] = (5 + 6 + 4)+j(-8+3) = 15-j5

= )45,18(81,15155

arctg515 22 −∠=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∠+

Logo: °∠=°−∠

°∠== 45,1816,3

)45,18(81,15050

IV

ZT

T

ZT = 3,16(cos18,45 + jsen18,45) = 3 + j1

°∠=°∠°∠

== 05010050

ZV

I1

1 )1,53(101,535050

ZV

I2

2 °−∠=°∠°∠

==

°∠=°−∠

°∠== 9,365

)9,36(10050

ZV

I3

3

Fasores V e I Soma dos Fasores Circuito equivalente


37

4) As duas impedâncias Z1 e Z2 da figura abaixo estão em série

com uma fonte de tensão V = 100∠0°. Achar a tensão nos

terminais de cada impedância e traçar o diagrama dos fasores

de tensão.

Zeq = Z1 + Z2 = 10 + 4,47(cos63,4 + jsen63,4)

Zeq = 10 + 2 + j4 = 12 + j4

Zeq = 45,1865,12124

arctg412 22 ∠=∠+

)45,18(9,745,1865,12

0100ZV

Ieq

°−∠=∠

°∠==

V1 = IZ1 = 7,9∠(-18,45)x10 = 79∠(-18,45) = 79,9 - j25

V2 = IZ2 = [7,9∠(-18,45)]x[4,47∠63,4]

= 35,3∠(45) = 25 + j25 Verifica-se que:

V1 + V2 = 75 - j25 + 25 + j25 = 100 +j0 = 100∠0°


38

5) Calcular a impedância Z2 do circuito série da figura abaixo:

º6020

)15(5,24550

IV

Zeq ∠=°−∠°∠

==

Zeq = 20(cos60° + jsen60°) = 10 + j17,3

Como Zeq = Z1 + Z2: 5 + j8 + Z2 = 10 + j17,3 ⇒ Z2 = 10 –5 + j17,3 – j8

Z2 = 5 + j9,3 6) Determinar a corrente em cada elemento do circuito série-

paralelo abaixo

14,814,142j1410j5)10j(5

10Zeq ∠=+=+

+=

)14,8(07,714,814,14

0100ZV

Ieq

T −∠=∠

°∠==

)14,8(07,7x10j5)10j(5

I.ZV10j5)10j(5

Z TABABAB −∠+

==∴+

=

)54,71(16,310j)14,8(07,7x10j5)10j(5

10jV

I AB1 °−∠=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −∠+

==

)46,18(32,65)14,8(07,7x10j5)10j(5

5V

I AB2 °∠=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −∠+

==


39

7) Achar a impedância equivalente e a corrente total do circuito

paralelo abaixo

2,0j5j1

Y1 −== 2,0jj51

5jj

xj5jxj1

2 −=−

==

0866,0j05,066,8j5

1Y2 −=

+=

0866,0j05,0100

66,8j566,85

)66,8j5()66,8j5)(66,8j5(

)66,8j5(22 −=

−=

+−

=−+

−

067,0151

Y3 ==

1,0j10j1

Y4 =−

= 1,0jj101

10jj

xj10jxj1

2 ==−

=−

Yeq = 0,117 – j0,1866 = 0,22∠(-58°)

IT = V.Yeq =(150∠45°)[0,22∠(-58°)]=33∠(-13°)

°∠=°−∠

== 5855,4)58(22,0

1Y1

Zeq

eq


40

8) Determinar a Impedância do circuito paralelo abaixo

°−∠=°∠°∠

== 3663,06050245,31

VI

Y Teq

Yeq = 0,63(cos(-36°)+jsen(-36°) = 0,51 – j0,37

Como Yeq = Y1 + Y2 + Y3, então:

37,0j51,0)12,0j16,0(1,0Y3j4

1101

YY 11eq −=−++⇒+

++=

Y1 = 0,51 – j0,37 – 0,1 –0,16 +j0,12 = 0,25 – j0,25

)45(35,025,025,0

arctg25,025,0Y 221 −∠=

−∠+=

=−∠

==4535,0

1Y1

Z1

1 Z1 = 2,86∠45° = 2 + j2


41

9) Dado o circuito série-paralelo (misto) abaixo, calcular Zeq.

22AB 434j3

5,0j2,04j3

12j1

51

Y++

+−=−

++=

34,0j32,016,0j12,05,0j2,0YAB −=++−=

)7,46(467,032,034,0

arctg34,032,0Y 22AB °−∠=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −∠+=

56,1j47,17,4614,2)7,46(467,0

1Y1

ZAB

AB +=°∠=−∠

==

Zeq = 2 +j5 + Zab = 2 + j5 + 1,47 + j1,56

Zeq = 3,47 + j6,56 = 7,42∠62,1°

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