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Eletrotcnica Bsica1. Resolues de Circuitos em corrente contnuaDefinies: a) Bipolo qualquer dispositivo eltrico com dois terminais; Ex.: Resistor, indutor, capacitor, gerador, etc. Smbolo do bipolo:

b) Circuito Eltrico um conjunto de bipolos eltricos interligados;

c) Gerador de Tenso Contnua um dispositivo eltrico que impe uma tenso entre seus terminais, qualquer que seja o valor da corrente. Smbolo do Gerador de tenso contnua: V

-

+

d) Gerador de Corrente Contnua um dispositivo que impe uma corrente, qualquer que seja o valor da tenso aplicada aos terminais. Smbolo do Gerador de corrente contnua:

e) Associao de Dipolos em Srie um conjunto de bipolos ligados de tal maneira que a corrente que passa por um bipolo, obrigatoriamente, passa pelos outros.B1 B2 B3 B4 1

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f) Associao de bipolos em paralelo um conjunto de bipolos ligados de tal maneira que a tenso aplicada a um , obrigatoriamente, aplicada aos outros.

B1

B2

B3

B4

g) Ligao de Bipolos em Estrela um conjunto de trs bipolos ligados de acordo com a figura abaixo

B1

B2

B3

h) Ligao de Bipolos em Tringulo (delta) um conjunto de trs bipolos ligados conforme com a figura abaixoB1 B2

B3

2

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Leis dos circuitos: o processo de resoluo de circuitos em corrente contnua baseia nas seguintes leis da Fsica:

a) Lei de Ohm:

I =

V R

ou

V = RI

b) 1 Lei de Kirchhoff (lei das correntes): o somatrio das correntes que convergem para um mesmo n igual a zero; (princpio: a energia no pode ser criada ou destruda)I5 I1

II3 I4 I2

= 0

I3 + I5 I1 I2 I4 = 0 I3 + I5 = I1 + I2 + I4

c) 2 Lei de Kirchhoff (lei das tenses): a soma algbrica das tenses ao longo de um caminho fechado igual soma algbrica das quedas de voltagem existentes nessa malha (princpio: a toda ao corresponde uma reao igual e contrria).+ -

E+

=

RI+ + -

ou

E

RI

= 0

-E1+E2+E3=I1R1I2R2+I3r3-I4R4 -E1+E2+E3-I1R1+I2R2-I3r3+I4R4=0

+ + + -

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Anlise de Malhas para resoluo de circuitos Este processo vlido para circuitos planares (que podem ser representados num plano, sem cruzamentos de linha), contendo apenas bipolos lineares e sem geradores de corrente.

Exemplo 01:

1 Malha (ABEF): 100 40 =5I1 + 5I1 + 10(I1 I2) 2 Malha (BCDE): 40 = 10I2 + 10(I2 I1) 60 = 20I1 - 10I2 40 = -10I1 + 20I2 (x2) 60 = 20I1 - 10I2 80 = -20I1 + 40I2 140 = 30I2 I2 =140/30 = 4,67A 60 = 20I1 10 x 4,67 I1 = (60 + 46,7)/20 I1= 5,33A

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Exemplo 02:

N A: N B: N C: Malha Malha Malha

I4 = I1 + I2 = I3 + I1 = I5 + ADCEF: E1 BCD: E2 ABCD: -E6

I3 I6 I6 = I1R1 + I4R4 + I5R5 E6 = I2R2 + I6R6 - I5R5 = -I3R3 + I6R6 I4R4 - I5R5

Aplicando as Leis de Kirchhoff podemos transformar circuitos ligados em Y em circuitos ligados em

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em YRa = Rb = Rc = R1R3 R1 + R2 + R3 R1R2 R1 + R2 + R3 R2R3 R1 + R2 + R3 R1 = R2 = R3 =

Y em RaRb + RbRc + RcRa Rc RaRb + RbRc + RcRa Ra RaRb + RbRc + RcRa Rb

Exemplo 03:

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2. Resolues de Circuitos em corrente alternadaA quase totalidade dos sistemas eltricos trabalha com correntes e tenses alternadas. Isto se deve ao fato de: a) Ser mais fcil o transporte da energia para lugares distantes; b) Ser econmica a transformao de nveis de tenso e de corrente, de acordo com a necessidade; c) Ser econmica a transformao de energia eltrica em energia mecnica e vice-versa;

Fora Eletromotriz de um alternador elementar

m = Fluxo Mximo encadeado com a espira = Velocidade angular da espira (rad/seg) = t = ngulo formado pelo plano da espira com o plano perpendicular s linhas de fluxo = m.costd para uma espira dt d d m. cos t) ( = n e = n = nm. sen t dt dt e =

mas: Em = nm

ento:

e = Em. sen t7

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Funo peridica

y = f(t) peridica se assumir o mesmo valor f(t) parainstantes espaados de T, 2T, 3T,... ento y = f(t) = f(t+T) = f(t+2T) = ... = f(t+nT) T = perodo

Freqncia n de perodos (ou ciclos) por segundos (Hertz ou Hz)f = 1 T

ex.: para f = 60Hz T = 1/60 = 0,01667 seg2 = 2f e = Em. sen 2ft T

Ento =

Freqncias usuais: 50Hz (Europa, Paraguai) 60Hz (Brasil, USA) 25Hz (alguns sistemas de trao eltrica) 250 a 2700Hz (Telefonia comercial) 25 a 40 kHz (Sondagem submarina) ultra-som 30 kHz (telegrafia sem fio) 150 kHz (Radiodifuso Ondas Longas) 500 a 1500 kHz (Radiodifuso Ondas Mdias - 200 a 600m) 30 MHz (Radiodifuso Ondas Curtas at 10m)8

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Fase e diferena de Fase

F(t) = A.sen(t+)

(t+) = ngulo de Fase

Se duas grandezas senoidais

e1 = Em1. sen(t + 1) tm a e2 = Em2. sen(t 2) mesma freqncia, a diferena de fase ou defasagem entre elas

em um dado instante ser: (t + 1) (t + 2) = 1 2 ex.:e1 = 100. sen(t + 30) e2 = 75. sen(t 30)

30 (-30) = 60

a senide e1 passa pelos seus valores zero e mximo com avano de 60 sobre a senide e2

Quando duas ou mais grandezas alternadas tm a mesma fase elas se acham em concordncia de fase ou simplesmente em fase

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Quando a Diferena de fase entre duas grandezas alternadas for de 90 elas esto em

quadratura

Quando a diferena de fase for de 180, esto em oposio

Valor Mdio A expresso que d o valor mdio de uma funo :Ymdio 1 = TT 0

( dt f t)

para a senide esse valor nulo para um ciclo, e por isso definido para um semi perodo. Assim o valor mdio de

i=Im.sen pode ser achado integrando a senide de 0 a .Imdio

1 =

Im . sen .d0

=

Im Im 2. Im [ cos ]0 = (1 + 1) = = 0, 637 Im

Analogamente: Vmdio = 2.Vm = 0, Vm 637

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Valor eficaz Energia transformada em calor por uma c.c. I em uma resistncia

R em t segundos: I2RtEnergia transformada em calor pela corrente alternada i na mesma resistncia , a cada instante i2R Assim: I Rt =2 T

i R. I = dt2

T

i2. . dt

0

0

1 sendo T=2 (perodo) t

1 I = 22

2 0

Im

2

Im 2 . sen . = d 222

2 0

2

1 1 cos2 d 2 Im 2 Im = = 0, 707 Im 2 2

Im 2 I = 42

sen 2 2 0

Im 2 = I = 2

analogamente: V =

Vm = 0, Vm 707 2

OBS.: os voltmetros e ampermetros de corrente alternada indicam os valores eficazes de corrente e tenso

Representao vetorial das Grandezas Senoidais = t radianos 0x=0A.sent=Im.sent

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Vantagens: 1. O vetor mostra as duas caractersticas que definem a senide: o ngulo de fase e o valor mximo; 2. A diferena de fase entre as duas grandezas alternadas pode ser representada vetorialmente. A figura ao lado nos mostra o vetor OB em avano de graus sobre o vetor AO. Se OB e AO representam os valoresO

mximos das voltagens e1 e e2, elas sero expressas por:

e1 = OB.sent

e2 = OA.sen(t-)

3. A soma ou a diferena de duas ou mais grandezas senoidais se reduz a uma composio de vetores.Im0 = I2m1 + I2m2 + 2. m1. m2. cos(2 1) I I Im1. sen 1 + Im2. sen 2 Im1.cos 1 + Im2.cos 2

tan 0 =

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Parmetros dos circuitos de C.AResistncia Unidade: (ohm) Carga Resistiva ou carga hmica Indutncia Unidade: H (Henry) Carga Indutiva Capacitncia Unidade: F (Farad) Carga Capacitiva

Lei de Ohm para os circuitos de C.AConsideremos uma bobina com resistncia eltrica e indutncia (L):

R =

l s

Passando-se uma corrente eltrica nessa bobina aparecer um fluxo magntico dados por: = Li Se i varivel, tambm ser! aparecer uma f.e.m. de auto induo dada por:e = d d(Li) di = = L dt dt dt13

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na figura anterior, temos ento:v = Ri + L di di derivada da corrente eltrica em relao dt dt

ao tempo.

Uma bobina que tem uma resistncia R e uma indutncia L representada conforme abaixo:

Se o circuito tem elevada resistncia eltrica e indutncia desprezvel, o representamos apenas pela resistncia, e dizemos que o circuito puramente hmico ou puramente resistivo.

Se ocorrer o inverso, isto , se a resistncia por desprezvel em relao ao efeito da indutncia, e dizemos que ele puramente indutivo.

Ex.: enrolamento de mquinas eltricas, transformadores, etc.

Se forem considerados tanto a resistncia quanto a indutncia do circuito, ento ele ser denominado circuito indutivo ou circuito RL.

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Circuito puramente hmico0

L = 0 R 0

v = Ri + L

di v v = Ri i = dt R

Supondo v = Vmax.sent i =i =

Vmax. sen t R

Vmax sen t = Imax. sen t R

Quando a tenso for mxima, a corrente tambm ser:v = Vmax. sen t i = Vmax sen t = Imax. sen t R

Dizemos ento que as duas senides esto em fase entre si ou que a corrente e a voltagem ento em fase num circuito puramente hmico.Imax = Vmax Vmax Vef = 0, Ief = 707. max = 0, I 707 R R R

Concluso: os circuitos puramente hmicos, quando alimentados por corrente alternada, apresentam o mesmo

comportamento do que quando alimentados por corrente contnua. A freqncia das correntes alternadas no influencia os fenmenos que se processam no circuito.15

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Circuito puramente Indutivo0

L 0 R 0

v = Ri + L

di di v = L dt dt

Nos circuitos puramente indutivos toda tenso aplicada aos seus terminais equilibrada pela f.e.m. de auto-induo. Dado:i = Imax. sen t v = L d(Imax. sen t) d(sen t) = L Imax . dt dt v = L Imax. cos t .v = L Imax. sen(t + 90) .

cos = sen(+90) cos30 = sen(/6 +90) 0,866 = 0,866

Isto , essa voltagem tambm alternada senoidal com valor mximo igual a LImax, defasada 90 em adiantamento em relao corrente alternada do circuito.

Vmax = LIMax 0,707 Vmax = 0,707 LIMax Vef = LIef Vef = XLIef XL = L = 2fL Reatncia indutiva (anloga resistncia) Unidade da reatncia: (Ohms)16

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Observamos que a reatncia Indutiva funo da freqncia e da indutncia:

fX

LX

Concluso: Sempre que uma corrente alternada atravessa um circuito puramente indutivo (de reatncia XL = 2fL), tem-se uma queda de tenso dada por Vef = XL.Ief, defasada de 90 em adiantamento em relao corrente. Em outras palavras: aplicando-se uma

voltagem alternada senoidal aos terminais se um reatncia XL de um circuito puramente indutivo, verificase a passagem de uma corrente eltrica de valor Ief =

Vef/XL ,defasada de 90 em atraso em relao tenso.

Exemplos: 1) Um circuito puramente indutivo onde temos L=0,5H alimentado por uma tenso cujo valor eficaz 110v e cuja freqncia 60Hz. Calcule o valor eficaz da corrente alternada que circula nesse circuito.

XL=2fL = 2x3,14x60x0,5 = 188,4 Ief = Vef/XL = 110/188,4 = 0,584AIef = 584mA

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2)

No

problema

anterior,

traar

o

diagrama

vetorial

e

representao senoidal da tenso e corrente eficaz.

Ex.: v = 50.sen(30t + 90) i = 10.sen30t

3) Num circuito puramente hmico, aplicou-se uma voltagem dada por v=120.sen(314t). Se a resistncia total do circuito mede 10, calcule qual dever ser a leitura de um ampermetro se corretamente inserido no circuito.

Vef = 0,707.Vmax = 0,707x120 = 84,84V Ief = Vef/R = 84,84/10 = 8,484 A

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Reviso de Nmeros Complexos

j =

1 j2 = 1

Z1 = 6 Z2 = 2 j3 Z3 = j4

Z4 = -3 + j2 Z5 = -4 j4 Z6 = 3 + j3

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Outras formas dos nmeros complexos x cos = x = Z cos Zsen = y y = Z sen Z

Z = x + jy = |Z|cos + j|Z|sen = |Z|(cos +jsen) Tg = y/x = arctg y x argumento de Z Z = x2 + y2

Mdulo ou valor absoluto de Z

A frmula de Euler, ej = (cos jsen), possibilita outra forma para representao dos nmeros complexos, chamada forma exponencial:

Z = x jy = |Z|(cos jsen) = |Z|ejA forma polar ou de Steinmetz para um nmero complexo Z bastante usada em anlise de circuitos e escreve-se

|Z| onde aparece em grausEsses quatro meios de se representar um nmero complexo esto resumidos a seguir. O emprego de um ou de outro depende da operao a ser efetuada.Forma retangular Forma Polar Forma exponencial Forma trigonomtrica Z = x jy Z = |Z| Z = |Z|ej

3 + j4 553,13 5ej53,13 5(cos53,13+jsen53,13)

Z = |Z|(cos jsen)

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Conjugado de um nmero complexo O conjugado Z* de um nmero complexo Z = x + jy o nmero complexo Z* = x jy Ex.:

Z1 = 3 - j2 Z2 = -5 + j4 Z3 = -6 + j10

Z1* = 3 + j2 Z2* = -5 j4 Z3* = -6 j10

Na forma polar, o conjugado se Z = |Z| Z* = |Z|- Na forma Z = |Z|[cos() + jsen()] o conjugado de Z

Z* = |Z|[cos(-) + jsen(-)]Mas cos()=cos(-) e sen(-) = -sen(), ento Z* = |Z|[cos() - jsen()] ex.: Z = 730

Z* = 7-30

Z = x + jy Z* = x - jy Z = |Z|ej Z* = |Z|e-j Z = |Z| Z* = |Z|- Z = |Z|(cos + jsen) Z1=3 + j4 Z* = |Z|(cos - jsen) Z2=5143,1 Z2*=5-143,1O conjugado Z* de um nmero complexo Z sempre a imagem de Z em relao ao eixo real, como mostra a figura.21

Z1*=3 j4

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Soma e diferena de nmeros complexos Para somar ou subtrair dois nmeros complexos, soma-se ou subtrai-se separadamente as partes reais e imaginrias dos nmeros na forma retangular.

Z1=5-j2 Z2=-3j8

Z1+Z2=(5-3)+j(-28)=2j10 Z1Z2=[5(-3)]+j[(-2)(-8)]=8+j6

Multiplicao de nmeros complexos O produto de dois nmeros complexos, estando ambos na forma potencial ou na forma polar:

Z1=|Z1|ej1=|Z1|1 Z2=|Z2|ej2=|Z2|2

Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|).ej(1+2) Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|)1+2

O produto pode ser obtido na forma retangular, tratando-se os nmeros complexos como se fossem binmios:

Z1.Z2 = (x1+jy1)(x2+jy2) = x1x2 + jx1y2 + jy1x2 + j2 y1y2 = (x1x2 + y1y2) + j(x1y2 + y1x2)

ex. 01:

Z1 = 5ej/3 Z2 = 2e-j/6 Z1 = 230 Z2 = 5-45

Z1Z2 = (5.2)ej(/3-/6) = 10ej/6

ex. 02:

Z1Z2 = (5.2)[30+(-45)] Z1Z2 = 10-15

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Diviso de nmeros complexosZ1 ej1 Z1 j 1 2) Z1 = = e( j2 Z2 Z2 Z2 eZ1 1 Z1 Z1 = = 1 2) ( Z2 Z2 2 Z2

forma exponencial forma polar

A diviso na forma retangular se faz multiplicando-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador.Z1 x1 + jy1 x2 = Z2 x2 + jy2 x2

jy2 (x1x2 + y1y2) + j y1x2 y2x1) ( = jy2 x22 + y22

Exemplos:j

1) Z1=4e

j/3

, Z2=2e

j/6

j Z1 4e = = 2e 6 Z2 j 2e 6

3

2) Z1=8-30, Z2=2-60 3) Z1=4-j5, Z2=1+j2

Z1 8 30 = = 430 Z2 2 60

Z1 4 j 1 j2 5 13 6 j = = Z2 1 + j2 1 j2 5

Transformao: forma polar forma retangular 5053,1

= 50(cos53,1 + jsen53,1) = 50x0,6 + j50x0,7997 = 30 + j40 = 100.cos(-120) + 100.jsen(-120) = -100.cos(60) + 100.jsen(-120) = -100.0,5 + 100.(-0,866) = -50-j86,623

100-120

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Circuito puramente Capacitivo Se v = Vmax.sent

q = Cvi = d Vmax. sen t) ( dq d Cv) ( = = C dt dt dt

i = .C.Vmax.sen(t + 90) i = Imax.sen(t + 90)Se Imax = .C.Vmax

0,707.Imax = 0,707..C.Vmax Ief = .C.VefVef = 1 Ief C

ou

1 = XC C 1 = XC 2fC

Reatncia Capacitiva

A corrente num circuito puramente capacitivo est 90 adiantada em relao tenso

OBS.:

f XL corrente f XC corrente Se f=0 XC = capacitor no deixa passar corrente DC num circuito indutivo:24

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Circuito RL ou indutivo

Praticamente consiste de um circuito puramente hmico de resistncia R em srie com um circuito puramente indutivo de indutncia L A corrente i ao atravessar a resistncia R, provoca uma queda de tenso dada por VR=Ri em fase com a corrente i.

A corrente i ao atravessar a indutncia L, determina uma queda de tenso indutiva Vx

=

XLi, defasada de 90 em

adiantamento sobre a corrente i.

A queda de tenso total atuante entre os terminais do circuito dada pela soma vetorial de VR e VX:V = VR + VX V =2 2 2 2 VR + VX = (Ri) + (XLi) =

i2 R2 + X2) ( L

V = i R2 + X2 V = iZ L

Z = impedncia do circuito

Z um nmero complexo da forma: Z= R+jXL = R+jL

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Considerando-se Z numa representao grfica, teremos:tg = X XL = arctg L R R

Na forma polar podemos escrever:

Z = Z Z =

Z =

R2 + X2 L XL R

2 R2 + (L) arctg

Circuito RC ou Capacitivo

Se i igual a 1 ampere, teremos:1 Z = R jXC = R j C Xc 1 = arctg XC = C R = arcsen = arccos2

XC Z R Z

Na forma polar: Z =

1 XC R + = Z arctg R C 2

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Outra forma da lei de Ohm:

E = (R+jX)I E = ZIZ = R2 + X2 Z = = arctg X R X R

Z = Z

R2 + X2arctg

Exemplos: 1) Um circuito RL srie de R=20 e L=20mH tem uma impedncia de mdulo igual a 40 . Determinar o ngulo de defasagem da corrente e tenso, bem como a freqncia do circuito.

Z = R+jXL = |Z| Z = 20+jXL = 40

40.cos + j40.sen = arccos = 6020

/40 = arccos 1/2

XL = 40.sen60 = 40x0,866 XL = 34,6 XL = 2fL f = XL/2L 34,6/(6,28 x 0,02) f = 34,6/0,1256 f = 275,5Hz

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2) Um circuito srie de R = 8 e L = 0,02H tem uma tenso aplicada de v = 283.sen(300t+90). Achar a corrente i.

XL = L = 300x0,02 = 6 Z = 8 +j6 Vef = 0,707 x 283 Vef = 200V = 20090I =82 + 62 = 100 = 10

= arctg 6/8 = 36,9Z = 1036,9V 20090 = = 2053 1 , Z 1036, 9

i = 20 2 sen(300t + 53 1) . ,

3) Dados v = 150.sen(5000t+45) e i = 3sen(5000t-15), construir os diagramas de fasores e da impedncia e determinar as constantes do circuito (R e L)

v = 0,707x15045 = 106,0545 I = 0,707x3-15 = 2,12-15 V 106, 45 05 Z = = = 5060 = 50 (cos 60 + j sen 60) I 2 12 15 , Z = 50 0, + j , ) = 25 + j , ( 5 0 866 43 3 XL = 2fL = L = 43,3 L = 43,3/5000 L = 8,66mHR = 25

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Circuito RL srie

Concluso: O circuito RL em srie se comporta exatamente como um circuito RL que tenha resistncia hmica igual a

R = R1 + R2 e reatncia indutiva XL = XL1 + XL2.

Assim sendo

Z= Z1 + Z2 =(R1 + jXL1) + (R2 + jXL2) = (R1 + R2) + j(XL1 + XL2)

Ou na forma fasorial:Z = Z =2 2 (R1 + R 2) + (L1 + L2) arctg

L1 + L2 R1 + R 2

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Circuito RL srie

Concluso: o circuito RC srie se comporta exatamente como um circuito RC que tenha resistncia hmica igual a R =R1 + R2 e reatncia capacitiva XC = XC1 + XC2 =1 1 + C1 C2

Assim teremos: Z = Z1 + Z2 = (R1 + jXC1) + (R2 + jXC2) 1 1 ( = (R1 + R 2) + j XC1 + XC2) = (R1 + R 2) + j + C C2 1

ou na forma fasorial: 1 1 + 2 C C2 1 1 2 1 (R1 + R 2) + C + C arctg R1 + R 2 1 2

Z = Z =

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Podemos ento generalizar:

V = V1 + V2 + V3 = Z1I + Z2I + Z3I V = I(Z1 + Z2 + Z3) = IZT ZT = Z1 + Z2 + Z3Generalizando: ZT = Z1 + Z2 + Z3 + ...

Circuito Paralelo

IT = I1 + I2 + I3 =

1 V V V 1 1 1 = + + = V + + Z Z1 Z2 Z3 Z2 Z3 ZT 1 1 1 1 1 = + + ZT Z1 Z2 Z3

generalizando1 1 1 1 = + + + ... ZT Z1 Z2 Z3

O inverso da impedncia de um circuito chamada de Admitncia, cujo smbolo Y. Ento no circuito acima teremos:

IT = I1 + I2 + I3 = Y1V + Y2V + Y3V = V(Y1 + Y2 + Y3) IT = YTV YT = Y1 + Y2 + Y331

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Num circuito paralelo podemos dizer que a corrente do circuito igual ao produto da tenso total aplicada aos seus terminais pela admitncia total equivalente. Portanto a Admitncia equivalente de qualquer nmero de admitncias em paralelo igual a soma das admitncias individuais.

Z = R jX

+jX reatncia indutiva (XL) -jX reatncia capacitiva (-Xc)

Analogamente:

Y = G jB

G Condutncia B Susceptncia +jB Susceptncia capacitiva (BC) -jB Susceptncia indutiva (-BL)

Unidades de Y, G e B MHO ou

ou -1

Como a corrente I pode estar adiantada, atrasada ou em fase com V, conseqentemente, 3 casos podem ocorrer: 1 Caso

V = |V| V = |I|

Z =

I V = Y 0 = G = Z 0 = R Y = Y I

A impedncia do circuito A admitncia do circuito uma resistncia pura de uma condutncia pura de G mhos R ohms32

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2Caso: O fasor corrente est atrasado de um ngulo em relao tenso

V = |V| I = |I|(-)A impedncia de um circuito com fasores V e I nesta situao consta de uma resistncia e uma reatncia indutiva em srie A impedncia do circuito consta de uma condutncia e uma susceptncia indutiva em paralelo

Z =

V I ) (

Z = R + jXLY = I ) ( V

Y ) = G jBL (

3Caso: O fasor corrente est avanado de um ngulo em relao tenso

V = |V| I = |I|(+)A impedncia do circuito consta de uma resistncia e uma reatncia capacitiva em srie A impedncia do circuito consta de uma condutncia e uma susceptncia capacitiva em paralelo

V Z = I + ) ( Z = R + jXL Y = I + ) ( V

Y ) = G jBL (

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Converso Z - Y Forma polar: dado Z=553,1Y = 1 1 = = 0, 53,1) 2 ( 553, 1 Z

Forma Retangular: Y = 1/ZG + jB = G + jB = 1 1 R jX R jX = . = 2 R + jX R + jX R jX R + X2 R X + j 2 R 2 + X2 R + X2 G = R R 2 + X2 X B = 2 R + X2

Z = 1/Y 1 1 G jB G jB = R + jX = . = 2 G + jB G + jB G jB G + B2R + jX = G B + j 2 G2 + B2 G + B2 R = G G2 + B2 B X = 2 G + B2

Exemplos: 1) Dado Z = 3 + j4, achar a admitncia equivalente Y. 1 1 Y = = = 0, 53 1) = 0,[cos(53, ) + j sen(53, )] 2 ( , 2 1 1 Z 553, 1 Y = 0,12 j0,16 G = 0,12MHOS B = -0,16MHOS outro mtodo R 3 G = = = 0, MHOS 12 9 + 16 R 2 + X2

(

)

B =

(

X 4 = = 0, MHOS 16 9 + 16 R 2 + X2

)

Y = 0,12 - j0,1634

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2) No circuito srie abaixo, achar I e ZT. Mostrar que a soma das quedas de tenso igual tenso aplicada

ZT = Z1 + Z2 + Z3 = 4 + j3 j6 ZT = 4 j3ZT = 42 + 32 = 25 = 5

= arctg I =

3 = 36, 9 4

ZT = 4 j3 = 5(-36,9) Impedncia Capacitiva

V 1000 = = 2036, 9 ZT 5 36, ) ( 9

V1 = IZ1 = 2036,9 x 4 = 8036,9 = 80(cos36,9+jsen36,9) = 64 + j48 V2 = IZ2 = 2036,9 x 390 = 60126,9 = 60(cos126,9+jsen126,9) = -36 + j48 V3 = IZ3 = 2036,9 x 690 = 120(-53,1) = 120[cos(-53,1)+jsen(-53,1)] = 72 j96 V = V1 + V2 + V3 = (64 + j48) + (-36 + j48) + (72 j96) V = 100 + j0 = 1000

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3) Achar a corrente total e a impedncia total do circuito paralelo abaixo, traando o diagrama de fasores:

Z1 = 1004 = 553, 1 3 6 Z3 = 82 + 62 arct = 10 36, ) ( 9 8 V V V 500 500 500 + + = + + IT = I1 + I2 + I3 = Z1 Z2 Z3 100 553, 1 10 36, ) ( 9 = 50 + 10(-53,1) + 536,9 = 5 + 10[cos53,1 + jsen(-53,1)] + 5[cos36,9 + jsen36,9] = 5 + 10[0,60 - j0,80] + 5[0,80 + j0,60] = (5 + 6 + 4)+j(-8+3) = 15-j5 5 = 152 + 52 arctg 81 ( , = 15, 18 45) 15 V 500 Logo: ZT = = = 3, 18 45 16 , IT 15, 18 45) 81 ( , ZT = 3,16(cos18,45 + jsen18,45) = 3 + j1 V 500 V 500 I1 = = = 50 I2 = = = 10 53 1) ( , Z1 100 Z2 553, 1 V 500 I3 = = = 536, 9 Z3 10 36, ) ( 9 Z2 = 32 + 42 arct

Fasores V e I

Soma dos Fasores

Circuito equivalente 36

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4) As duas impedncias Z1 e Z2 da figura abaixo esto em srie com uma fonte de tenso V = 1000. Achar a tenso nos terminais de cada impedncia e traar o diagrama dos fasores de tenso.

Zeq = Z1 + Z2 = 10 + 4,47(cos63,4 + jsen63,4) Zeq = 10 + 2 + j4 = 12 + j4 Zeq =I = 122 + 42 arctg 4 = 12 6518 45 , , 12

V 1000 = = 7 9 18 45) , ( , Zeq 12 6518 45 , ,

V1 = IZ1 = 7,9(-18,45)x10 = 79(-18,45) = 79,9 - j25 V2 = IZ2 = [7,9(-18,45)]x[4,4763,4] = 35,3(45) = 25 + j25 Verifica-se que: V1 + V2 = 75 - j25 + 25 + j25 = 100 +j0 = 1000

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5) Calcular a impedncia Z2 do circuito srie da figura abaixo:

Zeq =

V 5045 = = 2060 I 2 5 15) , (

Zeq = 20(cos60 + jsen60) = 10 + j17,3 Como Zeq = Z1 + Z2: 5 + j8 + Z2 = 10 + j17,3 Z2 = 10 5 + j17,3 j8 Z2 = 5 + j9,36) Determinar a corrente em cada elemento do circuito srieparalelo abaixo

5j ) ( 10 = 14 + j2 = 14, 8 14 14 , 5 + j 10 V 1000 IT = = = 7 07 8 14) , ( , Zeq 14, 8 14 14 , 5j ) ( 10 5j ) ( 10 ZAB = VAB = ZAB. T = I x7 07 8 14) , ( , 5 + j 10 5 + j 10 V ( 10 5j ) I1 = AB = x7 07 8 14) j = 3, 71, ) , ( , 10 16 ( 54 j 10 5 + j 10 V ( 10 5j ) x7 07 8 14) 5 = 6, 18 46) , ( , 32 ( , I2 = AB = 5 5 + j 10 Zeq = 10 +38

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7) Achar a impedncia equivalente e a corrente total do circuito paralelo abaixo

Y1 = Y2 =

1 = j , 02 j 5

1 1xj j = 2 = j = j , 02 j xj 5 5 j5

1 = 0, j , 05 0 0866 5 + j, 8 66

(5 j , ) 8 66 5 j, 8 66 (5 j , ) 8 66 = 2 = = 0, j , 05 0 0866 8 66 8 66 100 (5 + j , )(5 j , ) 5 + 8 662 ,

Y3 = Y4 =

1 = 0, 067 15 1 = j, 01 j 10 1xj j 1 = = j = j, 01 j xj 10 10 j210

Yeq = 0,117 j0,1866 = 0,22(-58) IT = V.Yeq =(15045)[0,22(-58)]=33(-13)Zeq = 1 1 = = 4, 58 55 Yeq 0, 58) 22 (

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8) Determinar a Impedncia do circuito paralelo abaixo

Yeq =

IT 31, 24 5 = 63 = 0, 36 V 5060

Yeq = 0,63(cos(-36)+jsen(-36) = 0,51 j0,37

Como Yeq = Y1 + Y2 + Y3, ento:1 1 + Y1 + 0, + (0, j , ) = 0, j , 1 16 0 12 51 0 37 10 4 + j 3 Y1 = 0,51 j0,37 0,1 0,16 +j0,12 = 0,25 j0,25 Yeq = Y1 + Y1 = Z1 = 0, 2 + 0, 2 arctg 25 25 1 1 = = Y1 0, 45 35 0, 25 = 0, 45) 35 ( 0, 25

Z1 = 2,8645 = 2 + j2

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9) Dado o circuito srie-paralelo (misto) abaixo, calcular Zeq.

YAB =

1 1 1 3 + j 4 + + = 0, j , + 2 2 05 5 j2 3 j 4 3 + 42 34 0, 0, 2 + 0, 2 arctg 32 34 467 ( 7 = 0, 46, ) 32 0, 1 1 = = 2 1446, = 1, + j , , 7 47 1 56 YAB 0, 46, ) 467 ( 7

YAB = 0, j , + 0, + j , = 0, j , 2 05 12 0 16 32 0 34

YAB = ZAB =

Zeq = 2 +j5 + Zab = 2 + j5 + 1,47 + j1,56 Zeq = 3,47 + j6,56 = 7,4262,1

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