ELETROT�ECNICA

Liga�c~oes trif�asicas

1 Sistema trif�asico

1.1 Representa�c~ao senoidal

As liga�c~oes monof�asicas e bif�asicas s~ao utilizadas em grande escala na ilumina�c~ao, pequenosmotores e eletrodom�esticos. Nos n��veis da gera�c~ao, transmiss~ao e utiliza�c~ao da energia el�etrica para �nsindustriais utiliza-se quase que exclusivamente as liga�c~oes trif�asicas.

Os geradores s��ncronos s~ao trif�asicos e s~ao projetados de forma que as tens~oes geradas senoidais esim�etricas, isto �e, tens~oes de m�odulos iguais e defasadas entre s�� de 2�

3 radianos.As tens~oes de fase s~ao referidas a um ponto comum chamado neutro (n), que pode estar aterrado

(potencial zero) ou n~ao. Assim, as tens~oes de fase podem ser formalizados pelas equa�c~oes que se seguem:

va = Vpsen(!t) (1)

vb = Vpsen(!t � 2�

3) (2)

vc = Vpsen(!t � 4�

3) (3)

cujos gr�a�cos s~ao mostrados na Figura 1.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

v vba vc

Figura 1 - Tensões de fase de um sistema trifásico

1.2 Representa�c~ao fasorial

Em termos de fasores teremos:

Va =Vpp2e�j0 = Vef 6 0

0 (4)

Vb =Vpp2e�j

2�

3 = Vef 6 � 1200 (5)

1

Vc =Vpp2e�j

4�

3 = Vef 6 � 2400 (6)

cujo diagrama mostramos na Figura 2.

ω

Va^

^Vb

^Vc

Figura 2 - Diagrama fasorial - tensões de fase

As tens~oes de linha d~ao de�nidas pelas equa�c~oes:

Vab = Va � Vb = (Vef 6 00 � Vef 6 � 1200) =

p3Vef 6 30

0 (7)

Vbc = Vb � Vc = (Vef 6 � 1200 � Vef 6 � 2400) =p3Vef 6 � 900 (8)

Vca = Vc � Va = (Vef 6 � 2400 � Vef 6 00) =

p3Vef 6 � 2100 (9)

ω

Va^

^Vb

^Vc

^Vab

^Vca

^Vbc

Figura 3 - Diagramas fasoriais - tensões de fase e de linha

2

1.3 Liga�c~oes das cargas

As cargas trif�asicas industriais ( ex.: motores el�etricos) s~ao equilibradas. As cargas monof�asicas e bif�asicas(ex.: ilumina�c~ao, aparelhos eletrodom�esticos, motores monof�asicos, etc.) devem ser equitativamentedistribu��das entre as fases de modo que o sistema n~ao �que desequilibarado.

Vamos focalizar um sistema de distribui�c~ao de baixa tens~ao (rede secund�aria) a partir de um sistemade potencia, conforme mostra as Figuras 4, 5 e 6.

Sistemas de Geração e Transmissão

Rede primária

Rede secundária

Sistema de distribuição transformador de distribuição

Figura 4 - Diagrama unifilar de um sistema de potência

ABV

BCVVCA

A

B

C

a

b

c

n

Vab

Vbc Va

Vb

Vc

Figura 5 - Sistema de distribuição

Vca

Redeprimária Transformador de distribuição

Redesecundária

3

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.Figura 6 - Ligações das cargas

a

b

c

n

Ligação monofásica Ligação bifásica Ligação trifásicaaté 12 kW > 12 kW até 25 kW > 25 kW até 75 kW

Observando a rede secund�aria podemos notar que algumas cargas s~ao alimentadas por tens~ao de fasee outras por tens~ao de linha. Assim sendo, no computo geral das cargas, podemos distinguir dois tiposde liga�c~oes: estrela e triangulo (ou delta), como mostra a Figura 7.

a

b

c

n

triângulo estrela

Figura 7 - Ligações das cargas

4

1.3.1 Cargas ligadas em estrela

Figura 8 - Ligação estrela com neutro aterrado

c

a

b

ia

ic

ib

c

a

b

Zc Za

Zb

Considerando Za = Zb = Zc = jZjej', Figura 8, (carga equilibrada) as correntes de fase s~ao dadas pelasexpress~oes:

ia =va

Za

= Ipsen(!t � ') (10)

ib =vb

Zb

= Ipsen(!t � 2�

3� ') (11)

ic =vc

Zc

= Ipsen(!t � 4�

3� ') (12)

Em termos de fasores teremos:

Ia =Ipp2e�j' = Ief 6 � ' (13)

Ib =Ipp2e�j(

2�

3+') = Ief 6 � (1200 + ') (14)

Ic =Ipp2e�j(

4�

3+') = Ief 6 � (2400 + ') (15)

A Figura 9 mostra os diagramas fasoriais das tens~oes e das correntes.

Va^

^Vb

ω^Vc

^

^Ia

Ib

^Ic

Figura 9 - Diagramas fasoriais - tensões e correntes de fase

5

Deve-se frisar que em condi�c~oes normais as cargas s~ao equilibradas, portanto:

Ia + Ib + Ic = 0 (16)

Vamos analisar uma situa�c~ao em que as cargas estejam desequilibradas, isto �e: Za 6= Zb 6= Zc.

Za = jZaje�j'a (17)

Zb = jZbje�j'b (18)

Zc = jZcje�j'c (19)

Neste caso teremos: jZaj 6= jZbj 6= jZcj e 'a 6= 'b 6= 'c e como consequencia Ia 6= Ib 6= Ic.

Neutro aterrado

Considerando o neutro aterrado, teremos:

Ia + Ib + Ic = In (20)

A Figura 10 mostra os diagramas fasoriais das tens~oes e das correntes.

Va^

^Vb

^Vc

ω

Ia^

^Ib

^Ic

^In

(cargas desequilibradas)Figura 10 - Diagramas fasoriais - tensões e correntes de fase

ac

b

ϕϕ

ϕ

Podemos notar que o ponto neutro permanece �xo, o que permite concluir que as quedas de tens~aonas cargas (Va; Vb e Vc) s~ao equilibradas. O desequil��brio se manifesta nas correntes, com o aparecimentoda corrente de neutro In.

Neutro isolado

A Figura 11 mostra uma liga�c~ao estrela com neutro isolado.No caso do neutro isolado teremos Ia 6= Ib 6= Ic e Ia + Ib + Ic = 0.

6

Figura 11 - Ligação estrela com neutro isolado

c

a

b

ia

ic

ib

c

a

b

Zc Za

Zb

Nesta liga�c~ao o ponto neutro n~ao �e mais �xo, mas �e livre para utuar, isto �e, assumir um potencialdeterminado pelos valores das impedancias das cargas. A Figura 12 mostra o diagrama fasorial dastens~oes de fase.

Va^

^Vb

^Vc

ω

Figura 12 - Diagrama fasorial - tensões de fase

^Vn

(cargas desequilibradas)

1.3.2 Cargas ligadas em triangulo

Considerando Zab = Zbc =Zca = jZjej', Figura 13, (carga equilibrada) as correntes de fase s~ao dadaspelas express~oes:

iab =vab

Zab

(21)

ibc =vbc

Zbc

(22)

ica =vca

Zca

(23)

Em termos de fasores teremos:

Iab =Ipp2ej

�

6�' = Ief 6 (30

0 � ') (24)

Ibc =Ipp2e�j(

�

2+') = Ief 6 � (900 + ') (25)

7

Figura 13 - Ligação triângulo

c

a

b

ia

ic

ib

c

a

b

Zca

Zab

Zbc

Ica =Ipp2e�j(

7�

6+') = Ief 6 � (2100 + ') (26)

As correntes de linha s~ao dadas pelas seguintes express~oes:

Ia = Iab � Ica = (Ief 6 (300 � ') � Ief 6 � (2100 + ')) =

p3Ief 6 � ') (27)

Ib = Ibc � Iab = (Ief 6 � (900 + ') � Ief 6 (300 � ')) =

p3Ief 6 � (1200 + ') (28)

Ic = Ica � Ibc = (Ief 6 � (2100 + ') � Ief 6 � (900 + ')) =p3Ief 6 � (2100 + ') (29)

A Figura 14 mostra os diagramas fasoriais das tens~oes e das correntes.

^Vab

^Vca

^Vbc

ω

^Ia

^Ib

^Ic

^Iab

^Ibc

^Ica

Figura 14 - Diagramas fasoriais - correntes de fase e de linha

8

2 Potencia trif�asica

A potencia ativa para uma liga�c~ao monof�asica pode ser calculada pela f�ormula:

P1� = VefIef cos' (30)

Para uma liga�c~ao trif�asica:

P3� = Pa + Pb + Pc (31)

Se as cargas forem equilibradas:

P3� = 3P1� = 3VefIef cos' (32)

Liga�c~ao estrela

Na liga�c~ao estrela temos:

Vf =Vlp3

(33)

e

If = Il (34)

Substituindo (33) e (34) na (32) teremos:

P3� =3Vlp3Ilcos' (35)

ou

P3� =p3VlIlcos' (36)

Liga�c~ao triangulo

Na liga�c~ao triangulo temos:

Vf = Vl (37)

e

If =Ilp3

(38)

Substituindo (37) e (38) na (32) teremos:

P3� = 3VlIlp3cos' (39)

ou

P3� =p3VlIlcos' (40)

As f�ormulas (36) e (40) s~ao iguais. Assim sendo, em ambas as liga�c~oes, se as cargas forem equilibradas,a potencia trif�asica �e calculada da mesma maneira.

2.1 M�etodos para medi�c~ao da potencia trif�asica

Basicamente s~ao utilizados dois m�etodos:

2.1.1 M�etodo dos tres watt��metros

Este m�etodo �e aplic�avel para liga�c~oes trif�a�cas a quatro �os (3 fases e 1 neutro) equilibradas ou n~ao.As Figuras 15 e 16 mostram respectivamente o esquema de liga�c~ao dos instrumentos e as grandezas

el�etricas (em termos de fasores) aplicadas em cada watt��metro.

9

W1

W2

W3

a

b

c

n

Figura 15 - Método dos três wattímetros

Va^

^Vb

ω^Vc

^

^Ia

Ib

^Ic

ϕ

ϕ

ϕ

Figura 16 - Diagramas fasoriais - Tensões e correntes aplicadas nos wattímetros

Considerando jVaj = jVbj = jVcj = Vf e jIaj = jIbj = jIcj = If :

Pa + Pb + Pc = 3VfIf cos' (41)

Considerando as equa�c~oes (33) e (34), temos:

P3� =p3VlIlcos' (42)

10

2.1.2 M�etodo dos dois watt��metros

Este m�etodo �e aplic�avel para liga�c~oes trif�a�cas a tres �os (3 fases) equilibradas ou n~ao.As Figuras 17 e 18 mostram respectivamente o esquema de liga�c~ao dos instrumentos e as grandezas

el�etricas (em termos de fasores) aplicadas em cada watt��metro.

W1a

b

c

W2

Figura 17 - Método dos três wattímetros

^Vbc

^Vab

^Vca

ω

Vac^

Va^

^Vb

^Vc

Ia^

ο ϕ30 -

30 + ϕο

Figura 18- Diagramas fasoriais - Tensões e correntes aplicadas nos wattímetros

para cargas ligadas em estrela

^Ib

^Ic

ϕϕ

ϕ

11

^Vbc

^Vab

^Vca

ω

^Ia

^Ib

^Ic

^Iab

^Ibc Vac

^

30 + ϕο

ο ϕ30 -

^Ica

ϕϕ

ϕ

para cargas ligadas em triângulo

Figura 19- Diagramas fasoriais - Tensões e correntes aplicadas nos wattímetros

Considerando jVacj = jVbcj = Vl e jIaj = jIbj = Il:

Pac = VlIlcos(300 � ') (43)

Pbc = VlIlcos(300 + ') (44)

Somando membro a membro as equa�c~oes (43) e (44):

Pab + Pbc = VlIl[cos(300 � ') + cos(300 + ')] (45)

Usando rela�c~oes trigonom�etricas conhecidas:

P3� = VlIl(cos300cos' � sen300sen' + cos300 + '+ sen300sen') (46)

Simpli�cando,

P3� = 2VlIlcos300cos' = 2VlIl

p3

2cos' (47)

Finalmente,

P3� =p3VlIlcos' (48)

12