1. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I Prof. Joel Rocha Pinto

2. S U M R I O 1 BIPOLOS ELTRICOS EM CC E CA...............................................................01 1.1 Bipolo resistivo ...................................................................................................01 1.2 Bipolo indutivo ...................................................................................................06 1.3 Bipolo capacitivo ................................................................................................08 2 ANLISE DE CIRCUITOS ELTRICOS EM CORRENTE CONTNUA .....10 2.1 Leis de Kirchhoff .................................................................................................10 2.1.1 Redues de redes srie-paralelo ......................................................................11 2.1.2 Superposio ....................................................................................................14 2.2 Teorema de Thvenin ..........................................................................................17 2.3 Teorema de Norton .............................................................................................18 3 TCNICAS PARA ANLISE DE CIRCUITOS ELTRICOS ........................21 3.1 Anlise de malhas ...............................................................................................21 3.2 Anlise nodal ......................................................................................................23 4 ANLISE DE CIRCUITOS ELTRICOS EM CORRENTE ALTERNADA ..28 4.1 Corrente alternada? .............................................................................................28 4.1.1 Formas da corrente eltrica ..............................................................................28 4.1.2 Corrente alternada versus corrente contnua .....................................................29 4.2 Caractersticas da corrente alternada ....................................................................29 4.2.1 Valor instantneo u(t) .......................................................................................29 4.2.2 Perodo - T e Frequncia f .............................................................................30 4.2.3 Amplitude mxima - Um ..................................................................................31 4.2.4 Valor eficaz - U ...............................................................................................31 4.3 Resistncia, Reatncia Indutiva, Reatncia Capacitiva e Impedncia ....................32 4.3.1 Circuitos com resistncias ................................................................................32 4.3.2 Circuitos com indutncias .................................................................................33 3. 4.3.3 Impedncia indutiva (Bobina + Resistncia) ......................................................35 4.3.4 Circuitos com capacitncias ..............................................................................40 4.3.5 Impedncia capacitiva (Capacitor + Resistncia) ...............................................42 4.3.6 Circuito RLC srie (Resistncia + Indutncia + Capacitncia) ...........................47 4.3.7 Circuito RLC paralelo (Resistncia + Indutncia + Capacitncia) ......................52 4.4 Exerccios ...........................................................................................................60 5 POTNCIA INSTANTNEA, ATIVA, REATIVA E APARENTE ..................62 5.1 Potncia Instantnea ............................................................................................62 5.2 Potncia Ativa .....................................................................................................63 5.3 Potncia Reativa .................................................................................................63 5.4 Potncia Aparente ...............................................................................................64 5.5 Compensao do fator de potncia ......................................................................65 5.5.1 Inconvenientes da Potncia/Energia Reativa .....................................................65 5.5.2 Compensao do fator de potncia ...................................................................67 5.6 Tringulo de potncias ........................................................................................70 5.7 Exerccios ...........................................................................................................71 6 SISTEMAS TRIFSICOS ..................................................................................73 6.1 Sistemas trifsicos versus monofsicos ................................................................73 6.2 Produo Alternador Trifsico .........................................................................73 6.3 Sistema equilibrado .............................................................................................75 6.4 Condutor neutro ..................................................................................................76 6.5 Tenses de fase e de linha ....................................................................................76 6.6 Ligaes de receptores trifsicos estrela e tringulo...........................................77 6.7 Clculo de potncia dos sistemas trifsicos ..........................................................78 7 CONVERSO ELETROMECNICA DE ENERGIA ......................................80 7.1 Circuitos magnticos ...........................................................................................81 7.2 Circuito magntico funcionando em corrente alternada ........................................83 7.3 Exerccios ...........................................................................................................86 4. 7.4 Sistemas eletromecnicos ....................................................................................92 7.5 Exerccios ...........................................................................................................95 8 RELAES DE ENERGIA - APLICAES AO CLCULO DE FORAS E CONJUGADOS DOS CONVERSORES ELETROMECNICOS ................99 8.1 Conjugado de relutncia ....................................................................................103 8.2 Conjugado de mtua indutncia .........................................................................108 8.3 Conjugado de mtua indutncia e de relutncia concomitantes ...........................110 8.4 Exerccios .........................................................................................................111 9 TRANSFORMADORES ...................................................................................112 9.1 Transformador ideal ..........................................................................................114 9.2 Transformador real ............................................................................................118 9.3 Testes em transformadores ................................................................................126 9.4 Rendimento em funo da carga ........................................................................129 9.5 Exerccios .........................................................................................................130 10 MOTOR DE INDUO ..................................................................................133 10.1 Motores de induo trifsicos -mquinas assncronas .......................................134 10.2 A origem do movimento em motores eltricos .................................................135 10.3 Disposio dos campos magnticos de motores trifsicos .................................135 10.4 A formao do campo girante ..........................................................................136 10.5 Construo ......................................................................................................137 10.6 Funcionamento ................................................................................................137 10.7 Motor com rotor em curto-circuito ..................................................................141 10.7.1 Construo ....................................................................................................141 10.7.2 Caractersticas ...............................................................................................141 10.8 Modelamento das mquinas assncronas ..........................................................143 10.8.1 Funcionamento .............................................................................................144 10.9 Balano de potncia do motor de indutncia ....................................................146 10.10 Conjugado eletromagntico desenvolvido ........................................................148 10.10.1 Conjugado mximo em funo do escorregamento s ...................................150 10.11 Determinao dos parmetros do circuito equivalente aproximado da 5. mquina assncrona........................................................................................151 11 CARACTERSTICAS E ESPECIFICAES DE MOTORES DE INDUO ............................................................................154 11.1 Introduo ......................................................................................................154 11.2 Caractersticas da carga ...................................................................................154 11.2.1 Potncia nominal ...........................................................................................154 11.2.2 Conjugado resistente da carga .......................................................................156 11.2.3 Momento de inrcia .......................................................................................159 11.3 Conjugado x Velocidade do motor de induo .................................................161 11.3.1 Categorias .....................................................................................................163 11.3.2 Conjugado do motor mdio (CMMDIO) ...........................................................164 11.3.3 Classes de isolamento ....................................................................................166 11.3.4 Tempo de rotor bloqueado ............................................................................167 11.3.5 Tempo de acelerao (ta) ...............................................................................168 11.4 Exemplos de especificao de motores ............................................................170 12 ENGENHARIA DE AUTOMAO ..............................................................171 12.1 Controle ..........................................................................................................171 12.2 Malha de controle ............................................................................................172 12.3 Implementao da malha de controle ...............................................................173 12.4 Lgica de funcionamento da malha ..................................................................173 13 CONTROLADORES PROGRAMVEIS ......................................................175 13.1 Caractersticas tcnicas ....................................................................................177 13.2 Processamento ................................................................................................177 13.3 Comparao com malha de controle discreta ...................................................179 13.4 Introduo ao hardware ...................................................................................179 13.5 Definies e caractersticas ..............................................................................188 13.6 Lgica de programao ...................................................................................189 13.6.1 Mtodos de representao .............................................................................190 13.6.2 Estrutura da programao ..............................................................................190 6. 13.6.3 Acesso a memria de dados ...........................................................................191 13.7 Linguagem Ladder ...........................................................................................192 13.7.1 Lgica matemtica e binria ...........................................................................193 13.7.2 Implementando lgicas combinacionais ..........................................................194 13.7.3 Instrues da linguagem Ladder .....................................................................196 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ..............................................................202 7. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 1 1. BIPOLOS ELTRICOS EM CC E CA 1.1 BIPOLO RESISTIVO ELEMENTO UNIDADE TENSO CORRENTE POTNCIA PROPRIEDADE Ohms [] V = R*I (v) R V I = (A) P = V*I ou P = R*I2 ou R V P 2 = (W) Resistncia Os bipolos resistivos (resistor) sempre apresentam potncia positiva, ou seja, consomem energia da fonte e no podem devolver. Esta energia se manifesta na forma de calor (efeito Joule). = dttpENERGIA ).( , unidade em Joule (J) ou (Watt.hora) Valor mdio da potncia > Zero

> 0 A figura 3.1 representa o comportamento da tenso em funo da corrente eltrica no bipolo resistivo, mostrando que a resistncia eltrica uma constante. V I R I V tg == V I V I R I V tg == Fig. 1.1 Comportamento da tenso em funo da corrente no resistor. 8. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 2 A seguir apresentamos dois exemplos que nos permitem o entendimento do comportamento do bipolo resistivo em corrente contnua e em corrente alternada. Tais exemplos foram extrados do livro Circuitos Eltricos 2a edio de autoria de Joseph A. Edminister e simulados no software PSPICE. Fig. 1.2 Exemplo 1 Bipolo Resistivo em Corrente Contnua Fig. 1.3 Exemplo 1 Curvas de Tenso, Corrente e Potncia do Bipolo Resistivo em CC 9. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 3 Fig. 1.4 Exemplo 2 Bipolo Resistivo em Corrente Alternada. Onde: V(t) = 10. sen 500 t w = 2.. f f = freqncia (Hz) T = perodo = 1/f (s) Fig. 1.5 Exemplo 2 Curvas de Tenso, Corrente e Potncia do Bipolo Resistivo em CA i(t) = V(t)/R i(t) = 2,5sen 500t V(t) = R. i(t) V(t) = 4. 2,5sen 500t V(t) = 10sen 500t P(t) = R.i2 (t) P(t) = 4.(2,5sen 500t)2 P(t) = 25sen2 500t Portanto: Veficaz = 7,07 (V)

= 12,5 (W) 10. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 4 = dttpENERGIA ).( = dttW 500sen25 2 W t W t Para o melhor entendimento do funcionamento em corrente alternada, devemos compreender algumas definies de valor ndio e valor eficaz, que apresentaremos a seguir: - Valor Mdio de uma grandeza peridica: >=< T dttx T tx 0 )( 1 )( - Valor Eficaz de uma grandeza peridica: )()( 1 0 2 RMSdttx T x T eficaz = - Potncia Mdia de uma grandeza peridica (Potncia Ativa): )()(*)( 1 0 Wdttitv T p T = 11. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 5 Exemplos: 1. V(t) = Vmx.sen d = 0 22 . sen 1 dVV mxeficaz = 0 22 . 2 sen 1 dVV mxeficaz = 0 2 2 .2 sen d V V mx eficaz 0 2 .2 2sen 4 1 2 = mx eficaz V V = 0.2sen 4 1 2 0 2sen 4 1 2 2 .2 mx eficaz V V 2 . 2 .2 mx eficaz V V = 2 .mx eficaz V V = 2. P(t) = Pmx.sen2 d >=< 0 2 . sen 1 dPP mx >=< 0 2. sen d P P mx 0 . 2sen 4 1 2 >=< mxP P >=< 0.2sen 4 1 2 0 2sen 4 1 2 . mxP P 2 .mxP P >=< 12. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 6 1.2 BIPOLO INDUTIVO ELEMENTO UNIDADE TENSO CORRENTE POTNCIA PROPRIEDADE Henries[H] )(V dt di LV = = vdt L I 1 (A) P = V*I ou dt di LiP = (W) Indutncia Um indutor (tambm chamado de indutncia) um elemento do circuito que armazena energia durante um certo perodo de tempo e devolve esta durante outro perodo. Definio de indutncia: a propriedade que tem um corpo de aparecer em si mesmo ou noutro condutor uma tenso induzida. uma grandeza que associada a um reator dado, caracteriza a sua maior ou menor capacidade de produo de fluxo para uma dada corrente. J sabemos que para se criar uma fora eletromotriz induzida num condutor necessrio que o mesmo esteja submetido a um campo magntico varivel. Como vemos a indutncia de um corpo uma propriedade que s se manifesta quando a corrente que passa pelo corpo varia de valor, o que produz um campo magntico varivel, ao qual est submetido o prprio corpo ou outro condutor. Quando o corpo induz em si mesmo uma fora eletromotriz, chamamos o fenmeno de auto- induo e dizemos que o corpo apresenta auto-indutncia. A f.e.m. induzida, neste caso, conhecida como fora eletromotriz de auto-induo ou fora contra-eletromotriz. O outro caso de indutncia conhecido como indutncia mtua e o fenmeno conhecido como induo mtua. Sempre que dois condutores so colocados um prximo do outro, mas sem ligao entre eles, h o aparecimento de uma tenso induzida num deles quando a corrente que passa pelo outro varivel. A indutncia uma propriedade de todos os condutores, podendo ser til ou prejudicial; no segundo caso necessrio eliminar, ou pelo menos, reduzir os seus efeitos. Um corpo pode apresentar pequena ou grande indutncia conforme suas caractersticas fsicas. = dtpENERGIA . , unidade em Joule (J) ou (Watt.hora) Valor mdio da potncia = Zero

= 0 13. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 7 Para circuitos em CC, um indutor puro ou ideal considerado um curto circuito. Na prtica no existe indutor ideal. Fig. 1.6 Exemplo 3 Bipolo Indutivo em Corrente Alternada Fig. 1.7 Exemplo 3 Curvas de Tenso, Corrente e Potncia do Bipolo Indutivo em CA 14. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 8 1.3 BIPOLO CAPACITIVO ELEMENTO UNIDADE TENSO CORRENTE POTNCIA PROPRIEDADE Faradays[F] )( 1 Vidt C V = )(A dt dv CI = P = V*I ou dt dv CvP = (W) Capacitncia Um capacitor um elemento de circuito que, como o indutor, armazena energia durante um certo perodo de tempo e devolve esta durante outro perodo. No capacitor, a armazenagem em campo eltrico, enquanto a armazenagem no indutor em um campo magntico. = dtpENERGIA . , unidade em Joule (J) ou (Watt.hora) Valor mdio da potncia = Zero

= 0 Para circuitos em CC, um capacitor puro ou ideal considerado um circuito aberto. Fig. 1.8 Exemplo 4 Bipolo Capacitivo em Corrente Alternada 15. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 9 Fig. 1.9 Exemplo 4 Curvas de Tenso, Corrente e Potncia do Bipolo Capacitivo em CA 16. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 10 2. ANLISE DE CIRCUITOS ELTRICOS EM CC 2.1 LEIS DE KIRCHHOFF Sejam as seguintes malhas: Fonte A Fonte B Fonte C Fonte D Fonte E VA VB VC VD VE i Sentido AdotadoFonte A Fonte B Fonte C Fonte D Fonte E VA VB VC VD VE i Sentido Adotado Fig. 2.1 Uma malha eltrica A somatria das tenses em uma malha sempre zero. das tenses em uma malha= 0 VA-VB-VC-VD-VE = 0 VA=VB+VC+VD+VE II Fig. 2.2 Circuito srie VA=VR1+VR2+VR3+VR4 VR1= R1 . I VR3= R3 . I VR2= R2 . I VR4= R4 . I 17. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 11 VS Vs = V1+V2+V3 Vs = V1-V2+V3VS VS Vs = V1+V2+V3 Vs = V1-V2+V3VS Fig. 2.3 Associao de fontes A somatria das correntes em um n sempre zero. Em qualquer n (principal ou no) a soma das correntes que entram igual a soma das correntes que saem. das correntes em um n = 0 I1-I2-I3-I4 = 0 Ou I1+I4 = I2+I3 I2 I3 I4I2 I3 I4 Fig. 2.4 Um n eltrico 2.1.1 REDUES DE REDES SRIE-PARALELO Sejam as seguintes malhas: 18. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 12 1o Passo: Resistncia Equivalente entre os pontos A-B: A B A B Req.(A-B) = 7 + 5 = 12 2o Passo: Resistncia Equivalente entre os pontos C-D: C D C D Req.(C-D) = 612 6*12 + = 4 3o Passo: Resistncia Equivalente entre os pontos E-F: E F E F Req.(E-F) = 124 12*4 + = 3 19. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 13 4o Passo: Resistncia Equivalente Total: Req.(Total) = 7 + 3 = 10 5o Passo: Circuito Equivalente e Clculo das Tenses e Correntes: 6o Passo: Clculo das Tenses e Correntes: SRIE Requivalente = R1 + R2 + R3 + ...Rn PARALELO neequivalent RRRRR 1 ... 1111 321 +++= 20. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 14 2.1.2 SUPERPOSIO Fontes de tenso que so suprimidas, enquanto uma nica fonte atua, so substitudas por curto-circuitos. Fontes de corrente so trocadas por circuitos abertos. No pode ser diretamente aplicada ao clculo de potncia, pois: P = k.I2 ou P = k.V2 Exemplo 1: Calcular a corrente no resistor de 23 . 1o Passo: Trocar fontes de corrente por circuitos abertos IR=23=I : 21. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 15 2o Passo: Reduo do circuito atravs das associaes srie-paralela: 3o Passo: Trocar fontes de tenso por curto-circuitos IR=23=I : 4o Passo: Reduo do circuito atravs das associaes srie-paralelo: 22. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 16 5o Passo: A corrente no resistor : IR=23= I + I = 11,23A 23. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 17 2.2 TEOREMA DE THVENIN Uma rede linear, ativa, resistiva, a qual contm uma ou mais fontes de tenso e corrente pode ser substituda por uma nica fonte de tenso e uma resistncia srie. Rede Linear Ativa a b a b Rede Linear Ativa a b a b Rede Linear Ativa a b a b Vth = Tenso de Thvenin Rth = Resistncia de Thvenin equivalente 24. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 18 2.3 TEOREMA DE NORTON Uma rede linear, ativa, resistiva, a qual contm uma ou mais fontes de tenso e corrente pode ser substituda por uma nica fonte de corrente e uma resistncia paralela. Rede Linear Ativa a b b a INorton Rede Linear Ativa a b b a Rede Linear Ativa a b Rede Linear Ativa a b b a INorton INorton = Corrente de Norton Rth = Resistncia de Norton equivalente Podemos fazer a equivalncia entre os dois teoremas tal que: a b b a INorton a b b a INorton b a INorton Onde: Th Th Norton R V I = e NortonNortonTh IRV *= RNorton = RThvenin 25. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 19 Exemplo 1: Determinar o circuito de Thvenin visto pelos pontos a e b. 1o Passo: Trocar fontes de tenso por curto-circuitos e calcular a Resistncia deThvenin entre os pontos a e b =+ + = 53 63 6*3 ThTh RR 2o Passo: Transformar os GT em GI 26. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 20 3o Passo: Associar os GI 4o Passo: Transformar o GI em GT 5o Passo: Circuito de Thvenin visto pelos pontos a e b. 6o Passo: Circuito de Norton visto pelos pontos a e b. 27. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 21 3. TCNICAS PARA ANLISE DE CIRCUITOS ELTRICOS 3.1 ANLISE DE MALHAS - Utilizamos quando temos 3 ou mais malhas - Escolhemos o conjunto de malhas independentes, de modo a cobrir todo o circuito;com o menor nmero possvel de malhas. - Aplica-se a anlise de malhas (Leis de Kirchhoff), para o conjunto de malhas independentes. - Adota-se o mesmo sentido de circuitao nas malhas. - Como exemplo temos: iA iB Malha A Malha B ++ - - iA iB Malha A Malha B ++ - - Fig. 3.1 Circuito Eltrico de trs malhas. Aplicando Lei de Kirchhoff nas Malhas A e B, temos: Malha A: +E R1IA R3 IA + R3 IB = 0 E = (R1 + R3)IA R3IB Malha B: - E1 R3IB R2 IB + R3 IA = 0 - E1 = (R2 + R3)IB R3IA Montando a equao matricial: [E] = [Rbus] . [I] + + = b a I I RRR RRR E E * 323 331 1 Lei de Montagem: - Rbus Diagonal Principal Rii = das resistncias da malha i Fora da Diagonal Rij = Menos (-) o valor da resistncia em comum entre i e j. - E Vetor Coluna Ei = das fontes da malha i. 28. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 22 Exemplo 1: iA Malha A iB Malha B iC Malha C iA Malha A iB Malha B iC Malha C + ++ + = c b a EDD DDCBB BBA B A I I I RRR RRRRR RRR V V * 0 0 0 Exemplo 2: iA Malha A Malha B iB iC Malha C I1 I2 I3 I4I6 I5 iA Malha A iA Malha A Malha B iB iC Malha C I1 I2 I3 I4I6 I5 ++ + + = c b a I I I * 42342 4240 2025 20 0 10 Ia = 0,579A Ib = -1,984A Ic = -2,975A Portanto: I1 = Ia = 0,579A I2 = Ic = -2,975A I3 = I1 - I2 =0,579 +2,975 I3 =3,554A I4 = I2 + I5 = -2,975 +1,984A I4 = -0,991A I5 = - Ib = 1,984A I6 = I1 + I5 = 0,579 +1,984A I6 =3,554A 29. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 23 3.2 ANLISE NODAL - Para aplicarmos anlise nodal deve-se seguir os seguintes princpios: - O circuito deve estar com todos os geradores na forma de corrente. - Todas as resistncias devem ser transformadas em condutncia R G 1 = . - Um dos ns da rede, obrigatoriamente, deve ser a referncia. Todas as tenses obtidas sero medidas entre os ns restantes e a referncia. - Como exemplo temos: A B C I1 I2 I3 V V V1 A B C I1 I2 I3 V V V1 Fig. 3.1 Circuito Eltrico de trs ns. Aplicando Lei de Kirchhoff, temos: N A: - I1 + I1 + I2 + I2 = 0 Onde: V = R1 . I1 1 1 R V I = V = - R2 . I2 V - V-V1 = 0 V V1 = - R2 . I2 ( ) 2 1 2 R VV I = Assim: 02 2 " 1 1 =+++ I R V I R V ( ) 02 2 1 1 1 =+ ++ I R VV I R V Logo: 2 1 21 21 11 R V RR VII +=+ 30. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 24 N B: - I3 - I2 - I2 = 0 I3 + I2 + I2 = 0 Onde: V1 = R3 . I3 3 1 3 R V I = V = - R2 . I2 V - V-V1 = 0 V V1 = - R2 . I2 ( ) 2 1 2 R VV I = Assim: ( ) 02 2 1 3 1 =+ + I R VV R V Logo: 232 12 11 R V RR VI += Montando a equao matricial: [E] = [Rbus] . [I] [I] = [Gbus] . [E] + + = + 1 322 221 2 21 * 111 111 V V RRR RRR I II Lei de Montagem: - Gbus Diagonal Principal Gii = das condutncias ligadas ao n i Fora da Diagonal Gij = Menos (-) o valor da condutncia de ligaes entre ns i e j. - I Vetor Coluna Ii = das correntes que atingem o n i. 31. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 25 Exemplo 1: P5 P6 P8 P9 A B Va Vb P5 P6 P8 P9 A B Va Vb Passando o circuito para a base G tem-se: Montando a matriz: [Gbus] . [V] = [I] = ++ ++ 9 5 9877 7765 . . . GE GE V V GGGG GGGG B A 32. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 26 Exemplo 2: Determinar V, V , I e I1 V V I I1 1o Passo: Associar os GTs. V V I1 I Va 33. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 27 2o Passo: Transformar resistncias em condutncias e os GT em GC. V V V I1 IA B C V V V V V I1 IA B C Va ++ + = + 1 * 1,01,01,01,0 1,005,01,0 21 5,222 V V = 1 * 3,01,0 1,015,0 1 5,1 V V V = 10V V1 = 0V Malha ABC: V Va V1 =0 10 - 0 = Va Va = 10V Va = 20 + 10I 10 = 20 + 10I I = - 1A E sendo V1 = 0V I1 = 0 34. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 28 4. ANLISE DE CIRCUITOS ELTRICOS EM CORRENTE ALTERNADA 4.1 CORRENTE ALTERNADA? A primeira coisa que necessrio perceber, o que a corrente alternada e porque que to utilizada. 4.1.1 Formas da Corrente Eltrica A energia eltrica, sendo utilizada de mltiplas maneiras, pode apresentar-se nos circuitos em diferentes formas: So de salientar as duas formas de corrente eltricas mais utilizadas: - Corrente contnua constante - conhecida por corrente contnua (CC, em Portugus, ou DC em Ingls) - Corrente descontnua peridica senoidal - conhecida por corrente alternada (CA, em Portugus, ou AC em Ingls) 35. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 29 4.1.2 Corrente Alternada versus Corrente Contnua Desde o incio da histria da eletricidade que se iniciou a questo da opo entre corrente contnua (CC) e corrente alternada (CA). A partir de 1882, a CA foi escolhida para o transporte e distribuio de energia eltrica em larga escala, pelas seguintes razes: - A elevao e o abaixamento de tenso so mais simples: Para reduzir as perdas energticas no transporte de energia eltrica necessrio elevar o valor da tenso. Posteriormente, a distribuio dessa energia eltrica aos consumidores, necessrio voltar a baixar essa tenso. Para isso utilizam-se transformadores elevadores e abaixadores de tenso, de construo bastante simples e com um bom rendimento. O processo de reduzir e aumentar a tenso em CC bastante mais complexo, embora comecem a aparecer, hoje em dia, sistemas de eletrnica de potncia capazes de executar essa tarefa (embora com limitaes de potncia). - Os alternadores (geradores de CA) so mais simples e tm melhor rendimento que os dnamos (geradores de CC). - Os motores de CA, particularmente os motores de induo so mais simples e tm melhor rendimento que os motores de CC. - A CA pode transformar-se facilmente em CC por intermdio de sistemas retificadores. 4.2 CARACTERSTICAS DA CORRENTE ALTERNADA 4.2.1 Valor Instantneo - u(t) O valor instantneo de uma grandeza alternada senoidal - u - pode representar-se matematicamente em funo do tempo - t: u(t) = Um.sin (wt) em que w representa a velocidade angular (velocidade de rotao do alternador que gera a energia eltrica alternada senoidal) e representa-se em radianos por segundo - rad/s. A relao entre a velocidade angular, a freqncia e o perodo a seguinte: w = 2.f = 2 / T Se considerarmos um vetor U, de comprimento Um, rodando velocidade w, o valor instantneo u ser a projeo vertical desse vetor: 36. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 30 Fig. 4.1 Valor instantneo como projeo de vetor em rotao Efetivamente, podemos confirmar graficamente a relao matemtica: u = Um.sin (wt) 4.2.2 Perodo - T e freqncia - f Dado que a CA se repete periodicamente (ciclicamente), uma das caractersticas fundamentais o valor do intervalo de tempo entre repeties (ou ciclos), ou seja, o perodo - T, cuja unidade o segundo - s. Fig. 4.2 Perodo de uma tenso alternada senoidal comum utilizar-se uma outra caracterstica da CA, diretamente relacionada com o perodo - a freqncia - f. Esta grandeza representa o nmero de ciclos que ocorre num segundo e a sua unidade o Hertz - Hz. A relao entre a freqncia e o perodo ento: f = 1/T Exemplo: No Brasil, a tenso (e a corrente) da rede pblica tm uma freqncia f = 60 Hz, correspondendo a um perodo T = 16,67 ms. Quer isto dizer que a tenso de que dispomos nas tomadas de nossas casas descreve 60 ciclos num segundo, mudando de sentido 120 vezes por segundo. 37. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 31 Note-se que o perodo e a freqncia so caractersticas comuns a todos os sinais peridicos, isto , no se utilizam apenas em corrente alternada senoidal, mas tambm em sinais de outras formas (quadrada, triangular, digital, etc.). Exemplo: A freqncia de um sinal de rdio modulado em freqncia (FM) anda na ordem dos 100MHz, descrevendo portanto 100 milhes de ciclos num segundo. 4.2.3 Amplitude Mxima - Um Tambm designada por valor mximo ou valor de pico, a amplitude mxima o valor instantneo mais elevado atingido pela grandeza (tenso, corrente, f.e.m., etc.). Para as grandezas tenso e corrente, este valor pode ser representado pelos smbolos Um e Im. Podem considerar-se amplitudes mximas positivas e negativas: Fig. 4.3 Amplitude mxima de uma tenso alternada senoidal 4.2.4 Valor Eficaz - U O valor eficaz de uma grandeza alternada o valor da grandeza contnua que, para uma dada resistncia, produz, num dado tempo, o mesmo Efeito de Joule (calorfico) que a grandeza alternada considerada. No caso de grandezas alternadas senoidais, o valor eficaz 2 vezes menor que o valor mximo, conforme visto no captulo 1, independentemente da freqncia. Note-se que: - O valor eficaz no o mesmo que o valor mdio aritmtico. - A relao de 2 entre o valor mximo e o valor eficaz s se verifica para CA. Para outras formas de onda, a relao diferente. - O valor indicado pelos voltmetros e ampermetros, quando se efetuam medidas em CA, o valor eficaz. 38. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 32 - Quando referido um dado valor de uma tenso ou corrente alternada, este ser sempre um valor eficaz, salvo se outro for explicitamente mencionado. Fig. 4.4 Valor eficaz de uma tenso alternada senoidal Exemplo: Quando dizemos que a tenso da rede de 230 V, estamos a indicar o seu valor eficaz. O valor mximo da tenso ser: Um 230 / 0.7 330 V Refira-se ainda que, em determinadas situaes, o que interessa considerar o valor mximo da grandeza e no o valor eficaz. No dimensionamento de isolamento eltrico, por exemplo, deve considerar-se o valor mximo de tenso. O valor mximo admissvel por um multmetro, por exemplo, poder ser de 1100 V para CC e de 780 V para CA (porque um valor eficaz de 780 V corresponde a um valor de pico de 1100 V, aproximadamente). 4.3 RESISTNCIA, REATNCIA INDUTIVA, REATNCIA CAPACITIVA E IMPEDNCIA A anlise de circuitos em corrente alternada (CA) implica o estudo do comportamento de trs elementos eltricos bsicos: resistncia, indutncia (bobina) e capacitncia (condensador ou capacitor). 4.3.1 Circuitos com Resistncias Quando um circuito contm apenas resistncias puramente hmicas, a corrente , em qualquer instante e devido Lei de Ohm, proporcional tenso. Se a tenso aplicada a uma resistncia alternada senoidal, a corrente ter tambm um formato senoidal, anulando-se nos mesmos instantes da tenso e atingindo o mximo nos mesmos instantes da tenso (Figura 4.5). 39. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 33 Time 0s 5ms 10ms 15ms 20ms 1 I(R1) 2 V(R1:1) -2.0A 0A 2.0A 1 -200V 0V 200V 2 >> Fig. 4.5 Fase entre a tenso e corrente senoidais numa resistncia Diz-se ento que a tenso e a corrente nesse circuito esto em fase, isto , esto sincronizadas uma com a outra. Se tivermos: u = Um.sin (wt) a corrente, em qualquer instante de tempo, ser: Se representarmos estas duas grandezas vetorialmente, teremos dois vetores colineares: Fig. 4.6 Vetores tenso e corrente numa resistncia 4.3.2. Circuitos com Indutncias (Bobinas) Tal como vimos nas noes de eletromagnetismo, numa bobina, quando a corrente varia, auto-induzida uma f.e.m. (pela Lei de Lenz, contrria causa que lhe deu origem). Esta fora (contra) eletromotriz expressa-se pela seguinte forma: em que L o coeficiente de auto-induo da bobina. Conclui-se ento que, numa bobina, quando a corrente varia, a f.c.e.m. tambm varia. Se supusermos que a corrente instantnea se expressa pela seguinte equao: i = Im.sin (wt) 40. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 34 a tenso aos terminais da bobina ser: Verificamos ento que existe um defasamento de 90 entre a corrente que percorre uma bobina e a tenso aos terminais dessa bobina: Fig. 4.7 Vetores tenso e corrente numa bobina Em termos de representao temporal, teremos: Time 0s 5ms 10ms 15ms 20ms 1 I(L1) 2 V(V1:+) 0A 5A 10A 1 -200V 0V 200V 2 >> Fig. 4.8 Fase entre a tenso e corrente senoidais numa bobina Reparando na Figura 4.8, podemos observar que quando a corrente se anula, a tenso mxima (positiva ou negativa) e que quando a corrente atinge os seus mximos negativos ou positivos a tenso anula-se. razo entre o valor mximo da tenso (Um) e o valor mximo da corrente (Im) numa bobina, igual a w.L, d-se o nome de reatncia indutiva (XL): XL = w.L = 2.f.L A reatncia indutiva mede-se em ohms e representa a maior ou menor oposio (resistncia) de uma bobina passagem da corrente alternada. Ao contrrio do que acontece numa resistncia, esta oposio varia com a freqncia do sinal. Quanto maior a freqncia, maior ser a reatncia indutiva, implicando uma maior oposio passagem da corrente. Para a freqncia nula, a reatncia indutiva ser tambm nula, correspondendo a bobina a um curto- circuito. Para freqncia infinita, a reatncia indutiva ser tambm infinita, correspondendo a bobina a um circuito aberto. 41. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 35 4.3.3 Impedncia Indutiva (Bobina + Resistncia) Como nenhuma bobina tem resistncia nula (nem nenhuma resistncia tem indutncia nula), podemos representar uma bobina real como uma bobina ideal (indutncia pura - L) em srie com uma resistncia ideal (puramente resistiva - R): Exemplo: Uma f.e.m. de 10 V de valor eficaz e 50 Hz de freqncia aplicada a uma bobina de 0.1 H. Determine a reatncia indutiva da bobina e a corrente que a percorre. Resoluo: Para a reatncia indutiva, XL = w.L = 2.f.L = 2 x 50 x 0,1 XL 31 A corrente ter o valor (eficaz) de I = E / XL = 10 / (2 x 50 x 0,1) = 1 / (2) 0,16 A Fig. 4.9 Circuito com impedncia indutiva - A tenso UR na resistncia R est em fase (0) com a corrente I - A tenso UL na bobina L est em quadratura (90) com a corrente I Aplicando a Lei de Kirchoff das malhas ao circuito da Figura 4.9, fica: U = UR + UL Podemos representar esta relao em termos vetoriais da seguinte forma: Fig. 4.10 Vetores tenso e corrente em circuito com impedncia indutiva 42. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 36 Em termos temporais, temos a adio de duas senides defasadas de 90: Time 20.00ms 25.00ms 30.00ms 35.00ms16.67ms V(V1:+) V(R1:1,R1:2) V(L1:1,L1:2) -200V 0V 200V Fig. 4.11 Tenses senoidais numa impedncia indutiva Obviamente que a amplitude de U, pelo Teorema de Pitgoras: Mas, sabemos que UR = R.I e UL = XL.I Define-se ento impedncia Z como a diviso da tenso U pela corrente I: = I U Z Pode desenhar-se um tringulo de vetores para a impedncia Z, reatncia indutiva XL e resistncia R, similar ao tringulo de tenses: Fig. 4.12 Tringulo de impedncia em circuito com impedncia indutiva Obviamente que o mdulo de Z, ser: O ngulo o mesmo que o ngulo entre a tenso na resistncia (UR) e a tenso total (U), e pode calcular-se atravs de, por exemplo: = arccos (R / Z) ou = arctan (XL / R) 43. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 37 Temos que: U = UR + UL e = I U Z A impedncia : Eixo Imaginrio Eixo Real R jXL |Z| Eixo Imaginrio Eixo Real R jXL Eixo Imaginrio Eixo Real R jXL |Z| Onde: 2 L 2 XR +=Z e = arctan (XL / R) Assim: += ZZ ou Z = R +jXL Admitindo: U(t) = Umx.sen(wt+0) 0 2 max = U U Portanto: = Z U I + = Z U I 0 2 max Z U I = 2 max Fasorialmente: V VL I VR . . .. . V . VL VR .I . V VL I VR . . .. . V . VL VR .I .VV VL I VR . . .. . VV . VL VR .I . Anlise Temporal: U(t) = Umx.sen(wt+0) e = Z tU tI )( )( Sendo que: ++ + = 2 L 2 mx XR 0).sen(wtU )(tI Logo: 2 L 2 mx XR ).sen(wtU )( + =tI 44. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 38 Exemplo 01: Uma bobina de indutncia 0,1 H e resistncia 80 ligada a uma fonte de alimentao de 100 V, 600 Hz. Calcular a impedncia do circuito e a corrente fornecida pela fonte. Qual o defasamento entre a tenso e a corrente? Resoluo: A reatncia indutiva, XL = w.L = 2.f.L = 2 x 600 x 0,1 XL 377 Se R = 80 W, a impedncia ser de: += 38537780 22 Z A corrente calcula-se pela Lei de Ohm: I = U / Z = 100 / 385 0,26 A Para calcular o defasamento, sabemos que = arctan (XL / R) = arctan (377 / 80) 78 Nota: Se considerarmos a corrente como a origem das fases, poderemos escrever as expresses da corrente e da tenso em funo do tempo da seguinte maneira: i = Im.sin (wt) = 2 x I x sin (wt) = 0,26 x 2 sin (1200.t) u = Um.sin (wt + ) = 2 x U x sin (wt + ) = 100 x 2 sin (1200.t + 78) 45. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 39 Exemplo 02: Uma bobina de indutncia 0,5 H e resistncia 100 ligada a uma fonte de alimentao de 120 V, 60 Hz. Frequency 0Hz 20Hz 40Hz 60Hz 80Hz 100Hz 1 V(V1:+) 2 I(L1) 3 Ip(L1) Vp(V1:+) 0V 50V 100V 150V 200V 1 0A 0.5A 1.0A 1.5A 2 -80d -40d 0d 3 >> Fase da I = 62.05 Ieficaz=595.2mAVeficaz=127V Fig. 4.13 Tenso e corrente em circuito com impedncia indutiva no domnio da freqncia. Time 0s 10ms 20ms 30ms 40ms 1 V(V1:+) 2 I(R1) -200V 0V 200V 1 0A 1.0A -1.2A 2 >> (11.452m,0.000) (8.3341m,0.000) Fig. 4.14 Tenso e corrente em circuito com impedncia indutiva no domnio do tempo. 46. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 40 4.3.4 Circuitos com Capacitncias (Condensadores ou Capacitores) Tal como vimos na referncia ao campo eltrico, a carga num condensador dada, em qualquer instante de tempo por: Q = C.U Dado que a corrente definida como a passagem de carga eltrica, por unidade de tempo: I = dQ / dt ento, a relao entre a tenso e a corrente, num condensador de capacitncia C : Tal como nas bobinas, conclui-se ento que, num condensador, quando a tenso varia, a corrente tambm varia. Se supusermos que a tenso instantnea se expressa pela seguinte equao: u = Um.sin (wt) a corrente que atravessa o condensador ser: Verificamos ento tambm existe um defasamento de 90 entre a corrente que percorre o condensador e a tenso aos terminais desse condensador, s que agora, quem vai frente a corrente: Fig. 4.15 Vetores tenso e corrente num condensador Em termos de representao temporal, teremos: Time 0s 5ms 10ms 15ms 20ms 1 I(C1) 2 V(V1:+) -10KA 0A 10KA 1 -200V 0V 200V 2 >> Fig. 4.16 Fase entre a tenso e corrente senoidais num capacitor 47. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 41 A figura 4.16 permite observar que quando a tenso se anula , a corrente mxima (positiva ou negativa) e que quando a tenso atinge os seus mximos negativos ou positivos, a corrente anula-se. razo entre o valor mximo da tenso (Um) e o valor mximo da corrente (Im) num condensador, igual a 1/(w.C), d-se o nome de reatncia capacitiva (XC): XC = 1 / (w.C) = 1 / (2.f.C) A reatncia capacitiva mede-se em ohms e representa a maior ou menor oposio (resistncia) de um condensador passagem da corrente alternada. Tal como o caso das indutncias, esta oposio varia com a freqncia do sinal. Quanto menor a freqncia, maior ser a reatncia capacitiva, implicando uma maior oposio passagem da corrente. Para a freqncia nula (CC), a reatncia capacitiva ser infinita, correspondendo o condensador a um circuito aberto. Para freqncia infinita, a reatncia capacitiva ser nula, comportando-se o condensador como um curto-circuito. Exemplo: Calcule a reatncia de um condensador de capacidade 1F, quando ligado num circuito freqncia de: a) 100 Hz b) 5000 Hz Que corrente fluiria no circuito em cada um dos casos, se a tenso fosse de 10 V? Resoluo: A reatncia capacitiva ser, a) XC = 1 / (w.C) = 1 / 2.f.C = 1 / (2 x 100 x 10-6 ) 1590 b) XC = 1 / (w.C) = 1 / 2.f.C = 1 / (2 x 5000 x 10-6 ) 31,8 A corrente ter o valor (eficaz) de a) I = E / XC = 10 / 1590 6,3 mA b) I = E / XC = 10 / 31,8 314 mA 48. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 42 4.3.5 Impedncia Capacitiva (Capacitor + Resistncia) Importa agora verificar o comportamento de um circuito com um condensador (C) em srie com uma resistncia (R): Fig. 4.17 Circuito com impedncia capacitiva Podemos dizer que: A tenso UR na resistncia R est em fase (0) com a corrente I A tenso UC no condensador C est em quadratura (90) com a corrente I Aplicando a Lei de Kirchoff das malhas ao circuito da Figura 4.17, fica: U = UR + UC Podemos representar esta relao em termos vetoriais da seguinte forma: Fig. 4.18 Vetores tenso e corrente em circuito com impedncia capacitiva 49. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 43 Fig. 4.19 Tenso e corrente em circuito com impedncia capacitiva no domnio da freqncia. Time 0s 10ms 20ms 30ms 40ms 1 I(C1) 2 V(V1:+) -2.0A 0A 2.0A 1 -200V 0V 200V 2 >> 8.3324ms=0V 6.0056ms=0A Fig. 4.20 Tenso e corrente em circuito com impedncia capacitiva no domnio do tempo Em termos temporais, temos a adio de duas senides defasadas de 90: Time 0s 10ms 20ms 30ms 40ms V(V1:+) V(R1:1,R1:2) V(C1:1,C1:2) -200V 0V 200V Fig. 4.21 Tenses senoidais numa impedncia capacitiva. Frequency 0Hz 20Hz 40Hz 60Hz 80Hz 100Hz 1 V(V1:+) 2 I(C1) 3 Vp(V1:+) Ip(C1) 0V 50V 100V 150V 1 >> 0A 0.4A 0.8A 1.2A 2 0d 50d 100d 3 Veficaz = 120V Ieficaz = 0,82A Fase da I =46.7 50. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 44 Tal como para o caso indutivo, pode calcular-se a amplitude de U pelo Teorema de Pitgoras: Mas, sabemos que UR = R.I e UC = XC.I A impedncia total do circuito Z ser: Considerando a tenso U com fase nula, pode desenhar-se um tringulo de vetores para a impedncia Z, reatncia capacitiva XC e resistncia R, similar ao tringulo de tenses: Fig. 4.22 Tringulo de impedncia em circuito com impedncia capacitiva O mdulo de Z ser portanto: O ngulo o mesmo que o ngulo entre a tenso na resistncia (UR) e a tenso total (U), e pode calcular-se atravs de, por exemplo: = arccos (R / Z) ou = arctan (XC / R) Temos que: U = UR + UC e = I U Z A impedncia : Eixo Imaginrio Eixo Real R jXC |Z| Eixo Imaginrio Eixo Real R jXC |Z| Onde: 2 C 2 XR +=Z e = arctan (XC / R) Assim: = ZZ ou Z = R jXC 51. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 45 Admitindo: U(t) = Umx.sen(wt+0) 0 2 max = U U Portanto: = Z U I = Z U I 0 2 max Z U I + = 2 max Fasorialmente: V VC . . . VR . I . V . . I . VC .VR . VV VC . . . VR .VR . I .I . V . . I .I . VC .VR .VR . Anlise Temporal: U(t) = Umx.sen(wt+0) e = Z tU tI )( )( Sendo que: + + = 2 C 2 mx XR 0).sen(wtU )(tI Logo: 2 C 2 mx XR ).sen(wtU )( + + =tI 52. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 46 Exemplo: Liga-se uma resistncia de 40 em srie com um condensador de 50 F, ambos alimentados por 110 V. Se a corrente no circuito for de 2 A, qual a freqncia da fonte de alimentao? Qual a tenso no condensador e na resistncia? Resoluo: Se para uma tenso aplicada de 110 V, a corrente que flui no circuito de 2 A, a impedncia pode ser calculada: Z = 110 / 2 = 55 Agora, se 22 C XR +=Z ento 22 RZX C = = 75,374055 22 Para calcular a freqncia, sabemos que XC = 1 / (2fC) f = 1 / (2CXC) f 106 / (2 x 50 x 37,75) 84,3 Hz As tenses aos terminais dos elementos so UR = R.I = 2 x 40 = 80 V UC =XC.I 2 x 37,75 75,5 V Para confirmar estes resultados, podemos verificar se a soma de dois vetores perpendiculares de amplitudes 80 V e 75,5 V resultam num vetor com amplitude de 110 V, isto : 2 C 2 R UU +=U 22 75,508 +=U Confirma-se portanto o resultado. 53. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 47 4.3.6 Circuito RLC Srie (Resistncia + Indutncia + Capacitncia) Consideremos um circuito com resistncia, reatncia indutiva e capacitiva (Figura 4.23). Na prtica, todos os circuitos tm estes elementos. Embora alguns dos respectivos valores possam ser muito pequenos em relao aos outros e portanto desprezveis. De fato, h sempre fenmenos indutivos e capacitivos inerentes a um circuito, ainda que possam ser pouco intensos (por exemplo, o problema dos parmetros distribudos em qualquer linha de transporte de energia eltrica). Fig. 4.23 Circuito RLC srie A resistncia R poder incluir a resistncia de outros elementos, como por exemplo a da bobina. Pela Lei das Malhas sabemos que: U = UR + UC + UL Devemos distinguir trs situaes diferentes: 1 Situao UL > UC (XL > XC) Circuito Indutivo Em termos vetoriais: Fig. 4.24 Vetores tenso e corrente em circuito RLC indutivo 54. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 48 2 Situao UL < UC (XL < XC) Circuito Capacitivo Em termos vetoriais: Fig. 4.25 Vetores tenso e corrente em circuito RLC capacitivo 3 Situao UL = UC (XL = XC) Circuito em Ressonncia Em termos vetoriais: Fig. 4.26 Vetores tenso e corrente em circuito RLC em ressonncia Como pode ser observado, as tenses na capacitncia e na indutncia anulam-se mutuamente.Esta situao (de ressonncia) deve ser evitada, pois podem produzir-se sobretenses elevadas, perigosas para pessoas e instalaes (danificao de isolamentos nas mquinas eltricas, por exemplo). No entanto, existem casos em que a ressonncia utilizada. Para cada circuito RLC h uma freqncia da tenso aplicada que o leva ressonncia. A freqncia para a qual XL = XC denomina-se de freqncia de ressonncia - fr e pode ser calculada da seguinte maneira: Cf LfXX R RCL ..2 1 ..2 === LC fR .2 1 = 55. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 49 Temos que: U = UR + UC + UL e = I U Z A impedncia para a 1a situao (Circuito Indutivo): Eixo Imaginrio Eixo Real R jXL |Z| -jXC jX Eixo Imaginrio Eixo Real R jXL |Z| -jXC jX Eixo Imaginrio Eixo Real R jXL |Z| -jXC jX Onde: 22 XR +=Z = arctan (XL - XC / R) e X = jXL jXC Assim: = ZZ ou Z = R jX Admitindo: U(t) = Umx.sen(wt+0) 0 2 max = U U Portanto: = Z U I = Z U I 0 2 max Z U I = 2 max Para anlise da corrente, temos: + (positivo) circuito capacitivo ou adiantado - (negativo) circuito indutivo ou atrasado Fasorialmente: V VL I VR . . .. . V . VR . VC . . .VL VC . I V VL I VR . . .. . VV . VR . VC .VC . . .VL .VL VC .VC . I 56. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 50 Anlise Temporal: U(t) = Umx.sen(wt+0) e = Z tU tI )( )( Sendo que: + + = 22 mx XR 0).sen(wtU )(tI Logo: 22 mx XR ).sen(wtU )( =tI Exemplo01: Fig. 4.27 Circuito RLC srie Frequency 0Hz 20Hz 40Hz 60Hz 80Hz 100Hz 1 I(L1) 2 V(V1:+) 3 Ip(L1) Vp(V1:+) 0A 50mA 100mA 1 0V 5V 10V 15V 2 -100d 0d 100d 3 >> Frequencia Ressonancia=41,58 Hz Fase da I=-71.6 Veficaz=10V Ieficaz=31,6mA Fig. 4.28 Tenso e corrente em circuito com impedncia RLC srie no domnio da freqncia. 57. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 51 Fig. 4.29 Tenso e corrente em circuito com impedncia RLC srie no domnio do tempo Exemplo 02: Considere um circuito RLC srie com R = 100 , L = 0,5 H e C = 10 F. a) Determine a freqncia de ressonncia do circuito b) Calcule UL e UC para uma f.e.m. aplicada de 200 V, freqncia de ressonncia. Resoluo: a) LC fR .2 1 = 6 1010.5,0.2 1 = x fR 74,1 Hz b) Como as reatncias indutiva e capacitiva se anulam, freqncia de ressonncia, I = U / Z = U / R = 200 / 100 = 2 A Para calcular as tenses aos terminais dos elementos reativos, XC = XL = 2 frL 2 x 74,1 x 0,5 224,2 e ento UC = UL = XLI 224,2 x 2 = 448,4 V Como verificamos, a tenso aos terminais da indutncia e da capacitncia mais do dobro da f.e.m. aplicada ao circuito (200 V). Podem portanto surgir sobretenses indesejveis ao bom funcionamento dos circuitos. Time 0s 10ms 20ms 30ms 40ms 1 I(L1) 2 V(V1:+) -100mA 0A 100mA 1 -20V 0V 20V 2 >> 58. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 52 4.3.7 Circuito RLC Paralelo (Resistncia + Indutncia + Capacitncia) Consideremos um circuito com resistncia, reatncia indutiva e capacitiva ligados em paralelo (Figura 4.30). Na prtica, todos os circuitos tm estes elementos. Embora alguns dos respectivos valores possam ser muito pequenos em relao aos outros e portanto desprezveis. Fig. 4.30 Circuito RLC paralelo Consideramos, neste caso, que todos os elementos so puros. Pela Lei dos Ns sabemos que: I = IR + IC + IL Comparando com o caso da srie RLC, agora devemos considerar um tringulo de correntes formado pelos vetores de cada uma das correntes: Fig. 4.31 Tringulo de correntes em circuito RLC paralelo Em termos algbricos (e porque os elementos so puros), podemos escrever: I2 = IR 2 + (IC - IL)2 2 LC 2 R )I(II +=I e I IR =cos A impedncia total do circuito obtm-se por: = I U Z 59. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 53 Tal como no circuito RLC srie, distinguem-se trs casos particulares: IL > IC (XL < XC) Circuito Indutivo IL < IC (XL > XC) Circuito Capacitivo IL = IC (XL = XC) Circuito em Ressonncia Analogamente ao que acontecia com as tenses no circuito RLC srie em ressonncia, aqui so as correntes na capacitncia e na indutncia que se anulam mutuamente. Enquanto que no circuito RLC srie poderiam aparecer sobretenses, no circuito RLC paralelo so as correntes que podem ser demasiado elevadas Dado que a ressonncia ocorre quando XL = XC, a freqncia de ressonncia - fr calculada da mesma maneira que no caso do circuito RLC srie: LC fR .2 1 = 60. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 54 1a Situao: IL > IC=0 Circuito RL Paralelo Fig. 4.32 Circuito RL Paralelo. Frequency 59.0Hz 59.5Hz 60.0Hz 60.5Hz 61.0Hz 1 I(R1) I(L1) I(L1)+ I(R1) 2 Ip(R1) Ip(L1) P(I(L1)+ I(R1)) 0A 40mA 80mA 120mA 1 >> -100d -50d 0d 2 Fase de I=-27,9 IR=100mA Fase de IL=-90 I=113,2mA IL=53,1mA Fig. 4.33 Corrente em circuito com impedncia RL Paralela, no domnio da freqncia. Time 0s 10ms 20ms 30ms 40ms 1 I(L1) I(R1) ( I(L1)+ I(R1)) 2 V(V1:+) -200mA 0A 200mA 1 >> -20V 0V 20V 2 Fig. 4.34 Tenso e corrente em circuito com impedncia RL Paralela, no domnio do tempo. 61. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 55 Equacionando, temos que: I = IR + IL e U = UR = UL Admitindo: U(t) = Umx.sen(wt+0) 0 2 max = U U Assim: = R U I R R R U IR 0 2 max = e: L L L jX U I = 90 0 2 max = L L X U I L L X U I 90 2 max = Portanto: I = IR + IL += LjXR U I 11 .0 2 max Onde: += + = += ZZ jXR jXR Z jXRZ L L L .111 Logo: + = Z U I 0 2 max Z U I = 2 max Fasorialmente: VR . .IL IR . .I =VL =V . . VR .VR . .IL .IL IR .IR . .I .I =VL =V . .=VL =V . . No domnio do tempo: U(t) = Umx.sen(wt+0) e: + + = Z tI 0).sen(wtU )( mx 62. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 56 2a Situao: IC > IL=0 Circuito RC Paralelo Fig. 4.35 Circuito RC Paralelo. Frequency 59.0Hz 59.5Hz 60.0Hz 60.5Hz 61.0Hz 1 I(R1) I(C1) ( I(R1)+ I(C1)) 2 Ip(C1) Ip(R1) P(I(C1)+I(R1)) 0A 50mA 100mA 150mA 1 >> 0d 50d 100d 2 Fase de I=20,7 Fase de IC=90I=106,9mA IC=37,7mA IR=100mA Fig. 4.36 Corrente em circuito com impedncia RC Paralela, no domnio da freqncia. Time 0s 10ms 20ms 30ms 40ms 1 I(C1) I(R1) ( I(R1)+ I(C1)) 2 V(V1:+) -200mA 0A 200mA 1 -20V 0V 20V 2 >> Fig. 4.37 Tenso e corrente em circuito com impedncia RC Paralela, no domnio do tempo. 63. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 57 Equacionando, temos que: I = IR + IC e U = UR = UC Admitindo: U(t) = Umx.sen(wt+0) 0 2 max = U U Assim: = R U I R R R U IR 0 2 max = e: C C C jX U I = 90 0 2 max = C C X U I C C X U I 90 2 max + = Portanto: I = IR + IC += CjXR U I 11 .0 2 max Onde: = = += ZZ jXR jXR Z jXRZ L L C _.111 Logo: = Z U I 0 2 max Z U I + = 2 max Fasorialmente: VR . .IC IR . .I =VC =V . . VR .VR . .IC .IC IR .IR . .I .I =VC =V . .=VC =V . . No domnio do tempo: U(t) = Umx.sen(wt+0) e: + = Z tI 0).sen(wtU )( mx 64. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 58 3a Situao: Circuito RLC Paralelo Fig. 4.38 Circuito RLC Paralelo. Frequency 0Hz 20Hz 40Hz 60Hz 80Hz 100Hz 120Hz 1 P(I(C1)+I(L1)+I(R1)) 2 I(C1)+ I(L1)+ I(R1) -100d 0d 100d 1 0A 1.0A 2.0A 2 >> Frequencia Ressonancia=15,9Hz Fase de I=74,1 Fig. 4.39 Corrente em circuito com impedncia RLC Paralela, no domnio da freqncia. Time 0s 10ms 20ms 30ms 40ms 1 I(C1) I(L1) I(R1) I(C1)+ I(L1)+ I(R1) 2 V(V1:+) -1.0A 0A 1.0A 1 -20V 0V 20V 2 >> Fig. 4.40 Tenso e corrente em circuito com impedncia RC Paralela, no domnio do tempo. 65. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 59 Equacionando, temos que: I = IR + IL +IC e U = UR = UC = UL Admitindo: U(t) = Umx.sen(wt+0) 0 2 max = U U Assim: = R U I R R R U IR 0 2 max = e: C C C jX U I = 90 0 2 max = C C X U I C C X U I 90 2 max + = e: L L L jX U I = 90 0 2 max = L L X U I L L X U I 90 2 max = Portanto I = IR + IL +IC ++= CL jXjXR U I 111 .0 2 max Onde: = += ZZ jXjXRZ CL 1111 Logo: = Z U I 0 2 max Z U I = 2 max Para anlise da corrente, temos: + (positivo) circuito capacitivo ou adiantado - (negativo) circuito indutivo ou atrasado 66. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 60 Fasorialmente: No domnio do tempo: U(t) = Umx.sen(wt+0) e: + = Z tI 0).sen(wtU )( mx 4.4 EXERCCIOS 1. Determinar V e I no circuito abaixo. 10cos(10t+0) 20cos(10t-30) I V10cos(10t+0) 20cos(10t-30) I V VR . IR . .I =VC =V . . .Iresultante .IL VL .= VR .VR . IR .IR . .I .I =VC =V . .=VC =V . . .Iresultante .Iresultante .IL .IL VL .VL .= 67. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 61 2. Determinar V, I, I1, I2 e I3 no circuito abaixo. 6cos(20t+0) 10cos(20t+0) V I I1 I2 I3 6cos(20t+0) 10cos(20t+0) V I I1 I2 I3 3. No circuito da figura abaixo sabe-se que: == 1015 VeII sendo que seu diagrama est representado abaixo, pede-se: V, V1, V2, R e L V . V1 . V2 . I . V1 . V2 .V . I .45 75 Referncia V .V . V1 .V1 . V2 .V2 . I .I . V1 .V1 . V2 .V2 .V .V . I .I .45 75 Referncia 4. No circuito da figura abaixo sabe-se que: 2010= I sendo que seu diagrama est representado abaixo, pede-se: V, V1, V2, R e C V . V1 . I . V2 . 75 I . V1 . V2 . V . 30 V .V . V1 .V1 . I .I . V2 .V2 . 75 I .I . V1 .V1 . V2 .V2 . V .V . 30 68. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 62 5. POTNCIA INSTANTNEA, ATIVA, REATIVA E APARENTE 5.1 POTNCIA INSTANTNEA Considere-se um circuito ao qual se aplicou uma tenso u = Umx.sin (wt) e que percorrido pela corrente i = Imx.sin (wt + ) A potncia dissipada em cada instante - potncia instantnea - igual ao produto de u por i. Vamos apresentar o grfico da potncia instantnea p para cada tipo de circuito. Assim, para cada instante, multiplicam-se os valores respectivos de u e i, entrando em linha de conta com o sinal algbrico correspondente ao sentido das grandezas. Supondo que os valores mximos da tenso e da corrente so: Umx. = 1,5 V e Imx. = 1 A podemos representar graficamente as grandezas corrente, tenso e potncia em funo do tempo. Fig.5.1 Potncia, tenso e corrente numa resistncia O fato de a potncia p ser sempre positiva significa que o circuito est a receber energia, estando neste caso a ser consumida na resistncia. 69. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 63 5.2 POTNCIA ATIVA H instantes em que a potncia se anula, significando que a resistncia no recebe potncia e outros instantes em que a potncia atinge o mximo. Na prtica, apenas nos interessa o valor mdio dessa potncia (P), que corresponde no grfico da Figura 5.1 ao valor mdio da senide de p: No exemplo anterior, Esta potncia mdia a potncia ativa medida pelos Wattmetros (aparelhos de medida de potncia). A sua expresso geral : P = RI2 = UI.cos () em que o ngulo entre a tenso e a corrente (no caso da resistncia, = 0 e cos 90 = 1). 5.3 POTNCIA REATIVA Podemos tambm traar o grfico da potncia instantnea para uma indutncia pura, considerando os mesmos valores mximos para a tenso e corrente: Fig.5.2 Potncia, tenso e corrente numa indutncia Note-se que a potncia instantnea p alternadamente positiva e negativa, com uma freqncia dupla da tenso e corrente existentes na indutncia. Se a potncia instantnea de um receptor positiva, ele consome energia da fonte de alimentao. Nas alturas em que essa potncia negativa, esse receptor fornece energia fonte de alimentao. No caso da indutncia, esta recebe e fornece energia, alternadamente, sendo a mdia nula, isto , a energia recebida igual energia devolvida, pelo que no dissipada. 70. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 64 Se ligarmos um Wattmetro para medir a potncia ativa, ele indica potncia nula - P = 0 W. Apesar de no ser consumida, esta energia circula no circuito traduzindo-se numa corrente eltrica. A potncia correspondente a esta energia oscilante designa-se por Potncia Reativa e representa-se por Q. Para uma indutncia pura, Q pode ser calculada pela seguinte expresso: Q = XLI2 No caso geral, para determinarmos a potncia aparente de um elemento ou circuito, utilizamos a seguinte expresso: Q = UI.sin () em que U e I so a tenso e corrente nesse elemento ou circuito e o ngulo entre tenso e corrente. No caso da indutncia pura, esse ngulo de 90 (sin 90 = 1). A potncia reativa pode medir-se por intermdio de Vartmetros e a sua unidade o Volt-Ampre Reativo - VAr. 5.4 POTNCIA APARENTE potncia que aparentemente se consome num dado circuito CA, atendendo tenso e intensidade da corrente que o percorre chama-se Potncia Aparente. Esta potncia representa-se por S, mede-se em Volt-Ampre - VA e pode ser determinada pela expresso: S = U.I* Em termos vetoriais, podemos representar o chamado tringulo de potncias (caso indutivo): Fig.5.3 Tringulo Potncias Podemos ento relacionar o mdulo das trs potncias da seguinte maneira: 22 QPS += Exemplo: Dois motores M1 e M2 esto ligados em paralelo sob uma tenso de 220 V, 50 Hz. Sabendo que as correntes que estes absorvem e os respectivos fatores de potncia: I1 = 20 A, cos 1 = 0,8 I2 = 30 A, cos 2 = 0,7 Calcule a corrente total e o fator de potncia total. 71. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 65 Resoluo: Sabemos que P1 = U.I1.cos 1 = 220 x 20 x 0,8 = 3,52 KW P2 = U.I2.cos 2 = 220 x 30 x 0,7 = 4,62 KW Q1 = P1.tg 1 = 3,52 x 103 x 0,75 = 2,64 KVAr Q2 = P2.tg 2 = 4,62 x 103 x 1,02 = 4,71 KVAr As potncias totais do conjunto dos dois motores sero: P = P1 + P2 = 3,52 + 4,62 = 8,14 KW Q = Q1 + Q2 = 2,.64 + 4,71 = 7,35 KVAr Podemos determinar a potncia aparente S, atravs de 22 QPS += 22 35,714,8 +=S = 10,97 KVA O mdulo da corrente total ser: I = S / U = 10970 / 220 = 48,86 A O fator de potncia do conjunto : cos = P / S = 8,14 / 10,97 = 0,74 5.5 COMPENSAO DO FATOR DE POTNCIA 5.5.1 Inconvenientes da Potncia/Energia Reativa Embora s a potncia ativa seja consumida, tambm a potncia reativa representa um gasto para quem gera, transporta e distribui a energia, pois j vimos que as perdas (Efeito de Joule) dependem da intensidade de corrente que percorre os condutores. Desta forma, ao fornecedor de energia interessa que no existam potncias a oscilar na rede (reativas). Interessa portanto que a potncia ativa P seja o mais prxima possvel da potncia aparente S. Se dividirmos P por S, ficamos com: A esta relao entre a potncia ativa P e a potncia aparente S chama-se fator de potncia. 72. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 66 Exemplo: Considere duas fbricas que consomem a mesma potncia ativa P = 1 MW com idntica tenso U = 10 KV, mas com fatores de potncia diferentes: cos1= 1 e cos2 = 0,4. Sendo P = UIcos, temos: I1 = P1 / (U cos1) = 106 / (104 x 1) = 100 A I2 = P2 / (U cos2) = 106 / (104 x 0,4) = 250 A Para a mesma potncia, a segunda instalao absorve uma corrente duas vezes e meia superior primeira. Este excesso de corrente traduz a circulao de energia reativa que no consumida, mas que se traduz numa corrente indesejvel que ocupa a rede. A existncia de fatores de potncia inferiores a 1 nas instalaes industriais deve-se aos receptores indutivos, majoritariamente motores eltricos (mas tambm outros, tais como lmpadas fluorescentes), que so constitudos internamente por bobinas (indutncias). Normalmente no existem receptores capacitivos. Podem enunciar-se alguns inconvenientes da existncia de energia reativa nas instalaes eltricas: Para o produtor de energia: Um alternador (gerador de CA utilizado nas centrais produtoras) principalmente caracterizado pela sua tenso U e pela mxima intensidade de corrente I (condicionada pela seco dos condutores das suas bobinas), isto , pela sua potncia aparente S = UI. Podemos desde j concluir que, estando o alternador a debitar a sua corrente mxima, a potncia ativa P que ele est a produzir depender do cos da instalao consumidora. Assim, se os utilizadores tiverem um baixo cos implica que, para uma certa potncia (ativa) a fornecer, o alternador ter de ser construdo para uma potncia superior sendo, portanto, de maior volume e preo. O transformador elevador de tenso e toda a aparelhagem necessria (corte, seccionamento, proteo) tm de ser dimensionados para maiores intensidades. Temos assim que o produtor de energia exigir que os utilizadores elevem o fator de potncia das suas instalaes ou que paguem uma quantia consoante a energia reativa que circula. 73. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 67 Para o transportador e distribuidor de energia: Se uma linha, dimensionada para uma certa potncia aparente (S = UI), vai alimentar instalaes com fatores de potncia baixos, implica que o investimento feito vai ser mal aproveitado, pois transportar energia ativa (P) aqum da sua capacidade e, conseqentemente, o consumidor receber uma quantia baixa mesmo com a linha a plena carga (I = Imax). De modo anlogo, a mesma linha poderia alimentar mais instalaes, desde que para as mesmas potncias ativas os respectivos fatores de potncia fossem superiores. Quanto mais elevada a intensidade de corrente que percorre uma linha, maiores so as perdas (quedas de tenso e Efeito de Joule), maior o tamanho dos dispositivos de corte, seccionamento e proteo, assim como os transformadores abaixadores de tenso das subestaes e dos postos de transformao. Para o utilizador de energia: Ao utilizador (consumidor) tambm interessa que o fator de potncia seja o mais prximo de 1 pois, caso contrrio, por exemplo numa fbrica, o transformador abaixador ter de ter uma potncia aparente (S) superior, sendo portanto mais caro. Para uma dada seco dos condutores de alimentao dos receptores, haver maiores quedas de tenso e perdas de energia (que so contadas e pagas). Poder-se- nessa situao aumentar a seco dos condutores, o que aumenta o custo da instalao. A aparelhagem de corte, seccionamento e proteo tero de suportar intensidades superiores. Se o fator de potncia subir acima de um determinado limite, o consumidor ser penalizado pelas entidades produtoras, transportadoras e distribuidoras, pagando o excesso de energia reativa. 5.5.2 Compensao do Fator de Potncia Conseguir um alto fator de potncia, o mais prximo possvel de 1, portanto uma vantagem para todos os intervenientes da Cadeia da Energia Eltrica. Em instalaes de alguma dimenso, tais como fbricas, conveniente compensar baixos fatores de potncia. Este melhoramento da instalao vulgarmente efetuado recorrendo utilizao de capacitores em paralelo com os receptores, de modo a que a corrente capacitiva que neles circula v anular (reduzir ao mximo) a corrente indutiva dos receptores: 74. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 68 Fig.5.4 Compensao do fator de potncia Em termos vetoriais, fica: Fig.5.5 Vetores na compensao do fator de potncia Atravs da ligao em paralelo da capacidade adequada, conseguiu anular-se a componente indutiva da corrente, existindo apenas a componente ativa (ngulo = 0, cos = 1). Na prtica no se tenta anular a componente indutiva dado que: A potncia aparente est sempre a variar (a potncia consumida pelos motores varia consoante a carga). No permitida a sobre-compensao de uma instalao (a instalao fica capacitiva) pois pode provocar o aparecimento de sobretenses nas linhas. Para calcular a capacidade dos condensadores (podem ser vrios associados em paralelo), vamos recorrer a um exemplo. Exemplo: Queremos elevar de 0,7 para 0,8 o fator de potncia de uma instalao. Esta consome 50KW a uma tenso de 220 V, 50 Hz. Calcular a capacidade a colocar em paralelo entrada da instalao. 75. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 69 Resoluo: Considerando que: cosi e Qi representam, respectivamente, o fator de potncia e a potncia reativa da instalao na situao inicial, antes de estar compensada. cosf e Qf representam, respectivamente, o fator de potncia e a potncia reativa da instalao na situao final, depois de compensada. Sabemos que: cosi= 0,7 tgi = 1,02 cosf = 0,8 tgf = 0,75 As potncias reativas so Sem o condensador, Qi = P.tgi = 50 x 103 x 1,02 = 51 KVAr Com o condensador, Qf = P.tgf = 50 x 103 x 0,75 = 37,5 KVAr A potncia reativa que o condensador tem de ser capaz de trocar com a instalao igual diferena das potncias atrs calculadas: Sem o condensador, QC = Qi - Qf = (51 37,5) x 103 = 13,5 KVAr A capacidade do condensador que a uma tenso de 220 V, 50 Hz, produz uma potncia reativa de 13,5 KVAr pode ser calculada: QC = XC IC 2 = XC.(U / XC)2 C = QC / (w.U2 ) Ento, para os valores do problema, C = 13500 / (314 x 2202 ) 888 F A corrente absorvida pela instalao antes e depois da compensao : Ii = P / (U cosi) = 50000 / (220 x 0,7) 325 A If = P / (U cosf) = 50000 / (220 x 0,8) 284 A 76. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 70 5.6 TRINGULO DAS POTNCIAS Potncia Aparente: = IVS . OU jQPS = Potncia Ativa: P e Potncia Reativa: Q Fig.5.6 Tringulo de potncias RESISTIVO: 0= VV 0= II = IVS . 0.0 = IVS 0. = IVS S = VIcos0o + jVIsen0o S = VI Em uma carga resistiva Q = 0 RESISTIVO + INDUTIVO : 0= VV = II = IVS . += IVS .0 += IVS . S = VIcos + jVIsen jQPS += Em uma carga indutiva Q > 0 77. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 71 RESISTIVO + CAPACITIVO : 0= VV += II = IVS . = IVS .0 = IVS . S = VIcos- + jVIsen- S = VIcos - jVIsen jQPS = Em uma carga capacitiva Q < 0 5.7 EXERCCIOS 1. Dimensionar um capacitor necessrio para tornar unitrio o FP na seguinte instalao. Pede-se ainda o transformador necessrio para suportar a carga. Calcular o valor da corrente com e sem o capacitor. Dados: Carga A: 3HP; cos=0,8 adiantado Carga B: 10KVA; cos=0,7 atrasado Carga C: 6KVAR; cos=0,7 atrasado V = 220v f = 60Hz 2. Obter os valores de V1, V2 e V3 e dos bipolos B1 e B2 para o circuito da figura abaixo, sabendo-se que: P = 1000W e FP = 2 2 atrasado V = 200cos(10t+30) B1 B2 0,01F V1 V2 V3 V A B B1 B2 0,01F V1 V2 V3 V A B 78. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 72 3. Obter os valores de V1, V2 e V3 e dos bipolos B1 e B2 para o circuito da figura abaixo, sabendo-se que: P = 2000W e FP = 2 2 atrasado V = 200cos(10t+30) B1 B2 V1 V2 V3 V A BI 2H B1 B2 V1 V2 V3 V A BI 2H 4. Obter o valores dos bipolos B1 e B2 e o fator de potncia total para o circuito da figura abaixo, sabendo-se que: PAB = 2940W 0300= ABV w = 100rad/s FPXY = 0,8 adiantado B1 B2 I1 200mH 300F20 60 I2 A B X Y B1 B2 I1 200mH 300F20 60 I2 A B X Y 79. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 73 6. SISTEMAS TRIFSICOS 6.1 SISTEMAS TRIFSICOS VERSUS MONOFSICOS Apresentam-se a seguir algumas vantagens dos sistemas trifsicos em relao aos monofsicos, a nvel da sua produo, transporte e utilizao: Considerando dois alternadores, um monofsico e outro trifsico, de igual volume e preo, o segundo tem uma potncia aproximadamente 50% superior ao primeiro. Tal deve-se ao fato de haver um maior aproveitamento do permetro do estator, isto , h mais bobinas que so sede de f.e.ms. induzidas. O somatrio da seco dos condutores necessrios para transportar uma determinada potncia menor que nos sistemas monofsicos, em igualdade de condies de potncia transportada, perdas e tenso nominal de transporte. Para transportar uma dada quantidade de energia bastam trs (ou quatro, com neutro) fios em trifsico, enquanto em monofsico seriam necessrios seis fios de igual seo (ou dois de seco tripla). A capacidade dos sistemas trifsicos de produzir campos magnticos girantes, permite a utilizao dos motores assncronos trifsicos, aparelhos simples, robustos e econmicos. A partir de um sistema trifsico podem obter-se trs sistemas monofsicos (tal como em nossas casas). 6.2 PRODUO - ALTERNADOR TRIFSICO Descrevemos anteriormente a produo de corrente alternada senoidal por meio de um alternador. Na realidade, a maior parte dos alternadores geram tenses trifsicas, isto , tem trs bobinas idnticas e independentes, dispostas simetricamente no estator, formando ngulos de 120 entre si: Fig. 6.1 Produo de trs f.e.ms. por meio de um alternador trifsico 80. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 74 Quando o rotor roda, induz-se em cada bobina uma f.e.m. alternada senoidal. Estas f.e.m. tm igual amplitude mxima e esto defasadas de 120 umas das outras, ou seja, de 1/3 de perodo. Estas grandezas podem representar-se em termos matemticos como: e1 = Emx.sen (wt) e2 = Emx.sen (wt - 120) e3 = Emx.sen (wt - 240) Estas f.e.ms. (tenses) podem representar-se graficamente tal como na figura seguinte: Fig. 6.2 Tenso num sistema trifsico Assim, este alternador designa-se por Alternador Trifsico, dado que produz trs tenses alternadas com fases diferentes. O alternador que apenas produz uma tenso designa-se por Alternador Monofsico. Tal como na corrente alternada monofsica, estas grandezas temporais podem representar-se vetorialmente: Fig. 6.3 Vetores tenso num sistema trifsico 81. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 75 6.3 SISTEMA EQUILIBRADO Consideremos as trs bobinas do alternador atrs descrito, a alimentarem trs receptores idnticos (resistncias, neste caso), um em cada fase: Fig. 6.4 Alimentao independente de trs receptores idnticos Para alimentar independentemente trs receptores, portanto necessrio utilizar seis fios. Se os trs receptores tiverem a mesma impedncia, estes so percorridos por trs corrente I1, I2 e I3, com idntico valor eficaz mas defasadas de 120: Fig. 6.5 Vetores corrente num sistema trifsico equilibrado Diz-se ento que o sistema est equilibrado, pois a soma das trs correntes sempre nula (a soma de trs vetores iguais e defasados de 120 um vetor nulo). 82. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 76 6.4 CONDUTOR NEUTRO Se reunirmos os trs terminais x, y, z, num nico ponto N, chamado de ponto neutro e substituirmos os trs condutores de retorno (vindos dos receptores) por um nico condutor - condutor neutro (ou fio neutro), a corrente nesse condutor ser nula: Fig. 6.6 Sistema equilibrado de cargas com neutro (corrente no neutro nula) Pode desta forma distribuir-se a energia eltrica por meio de quatro condutores, sendo trs designados por condutores de fase (ativos) ou simplesmente fases, em linguagem corrente. As trs fases simbolizam-se normalmente pelas letras R, S e T. O condutor de neutro est normalmente ligado terra, pelo que se encontra ao potencial zero: Fig. 6.7 Transporte de energia eltrica trifsica por meio de quatro condutores 6.5 TENSES DE FASE E DE LINHA Num sistema trifsico existem diferentes tenses: Tenses simples - Us Tenso entre cada condutor de fase e o neutro. Nas redes de distribuio de baixa tenso, aproximadamente 120 V. Tenses compostas - Uc Tenso entre dois condutores de fase. Nas redes de distribuio de baixa tenso, aproximadamente 220 V. Nas redes de transporte de alta e mdia tenses, apenas se indica o valor das tenses compostas. Assim, quando indicado que uma linha tem tenses de 220 kV ou 30 kV, so os valores eficazes de tenses compostas. 83. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 77 6.6 LIGAO DE RECEPTORES TRIFSICOS - TRINGULO E ESTRELA Os receptores trifsicos so formados por trs elementos elctricos (bobinas, resistncias, etc.) que podem ser ligados de duas maneiras: Em estrela - Y Em tringulo - D Na ligao de receptores em estrela, j considerada atrs, podero ocorrer dois casos: Os receptores tm a mesma impedncia - sistema equilibrado Os receptores tm impedncias diferentes - sistema desequilibrado Repare-se que num sistema em estrela equilibrado, o condutor neutro dispensvel (tal como foi referido atrs), isto , ele pode ser retirado sem alterao do funcionamento dos receptores, j que a sua corrente sempre nula. De fato, cada uma das linhas de fase faz de retorno em relao s outras duas. H motores trifsicos cujas bobinas esto ligadas em estrela. Assim, poder-se-ia (s idealmente, como vamos ver a seguir) alimentar o motor apenas com as trs fases, dispensando-se o neutro. No caso da estrela desequilibrada, o somatrio das correntes nas fases no nulo, sendo indispensvel a ligao no condutor de neutro. Mesmo nos casos em que a estrela normalmente equilibrada, no se deve cortar o neutro, dado que se faltar uma fase (por corte de um dispositivo de proteo, por exemplo) estabelece-se um desequilbrio de tenses. Um exemplo de um receptor trifsico desequilibrado e ligado em estrela o fogo eltrico. Este tm diversas resistncias para o forno e para os discos. Estas resistncias esto distribudas pelas trs fases, mas no tm todas o mesmo valor de resistncia. Alm disso, no esto sempre todas ligadas simultaneamente, pelo que necessrio levar o condutor de neutro ao aparelho. Assim, alm dos trs condutores de fase, temos ainda o condutor de neutro e o condutor de terra. Saliente-se ainda que se pretende equilibrar ao mximo os sistemas trifsicos, de modo a que a corrente no condutor de neutro seja o menor possvel. Uma menor corrente no neutro tem a vantagem de permitir a utilizao de um condutor de menor seo, para as mesmas perdas energticas. por isso que o condutor de neutro normalmente mais fino que os condutores de fase (caso das linhas de transporte de energia eltrica com neutro). Na ligao de receptores em tringulo, os receptores esto ligados entre as fases, tal como mostra a figura seguinte, para o caso de resistncias: 84. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 78 Fig. 6.8 Ligao de receptores em tringulo Tal como na ligao de receptores em estrela, na ligao em tringulo podero ocorrer dois casos: Os receptores tm a mesma impedncia - sistema equilibrado Os receptores tm a impedncias diferentes - sistema desequilibrado A corrente num receptor (de fase) pode ser calculada dividindo a tenso compostas aos seus terminais pela sua impedncia. As correntes de linha podem ser determinadas de duas maneiras, consoante o sistema est equilibrado ou no: Sistema equilibrado - as correntes nas linhas (R, S, T) so 3 vezes superiores s correntes nos receptores (correntes de fase). Sistema desequilibrado - as correntes nas linhas so determinadas em termos vetoriais, atravs da aplicao da Lei dos Ns de Kirchoff aos trs ns. Como concluso pode dizer-se que nas montagens em estrela com neutro e em tringulo os receptores (monofsicos) funcionam independentemente uns dos outros. 6.7 CLCULO DE POTNCIA DOS SISTEMAS TRIFSICOS Quer a carga seja equilibrada ou no, podem calcular-se (medir-se) as potncias consumidas em cada fase e somar-se. Assim, somam-se as potncias ativas aritmeticamente: P = PR + PS + PT As potncias reativas tm de se somar algebricamente (tendo em conta se so indutivas ou capacitivas) Q = QR + QS + QT No caso de sistemas equilibrados (tringulo ou estrela), pode utilizar-se a frmula que seguidamente se apresenta: P = 3 .Uc.Il.cos 85. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 79 Q = 3 .Uc.Il.sin S = 3 .Uc.Il em que: Uc a tenso composta (entre duas fases) Il a corrente nas linhas Seguem-se alguns exemplos da medio de potncia em sistemas trifsicos. Exemplo 1: Os elementos aquecedores de um forno, ligados em tringulo, absorvem uma corrente nas linhas de 20 A. Determine: a) A potncia do forno sabendo que a tenso na rede 230/400 V b) A intensidade que percorre cada elemento Resoluo: a) P = 3 .Uc.Il.cos= 3 x 400 x 20 x 1 13800 W = 13,8 kW b) If = Il / 3 = 20 / 3 11,5 A Exemplo 2: Um motor trifsico tem as seguintes caractersticas nominais indicadas na chapa: Potncia til - 15 CV Tenso - 400 V Fator de potncia 0,75 Intensidade na linha - 24 A Determine o rendimento do motor. Resoluo: necessrio determinar a potncia absorvida pelo motor Pa = 3 .Uc.Il.cos = 3 x 400 x 24 x 0,75 12420 W 12,4 kW O rendimento ser: eltrica mec P P = 12400 736*15 = = 89,03% 86. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 80 7. CONVERSO ELETROMECNICA DE ENERGIA So estudados os processos de converso de energia eltrica em mecnica e vice-versa. Essa converso ocorre em dispositivos de fora (motores e geradores) e nos dispositivos de posio (microfones, alto-falantes, rels, etc...). Fig.7.1 Processo de converso eletromecnica de energia De uma maneira geral os transdutores eletromecnicos apresentam trs partes: parte eltrica parte mecnica parte eletromecnica Fig. 7.2 Equacionamento genrico dos transdutores eletromecnicos Equaes Mecnicas Equaes Eltricas Equaes Eletromecnicas equaes que relacionam parte eltrica com parte mecnica V I C w F d Fluxo de Energia Eltrica Fluxo de Energia Mecnica Meio de Acoplamento (campo eltrico ou campo magntico) Parte ou lado eltrico do transdutor Parte ou lado mecnico do transdutor v = 0 i = 0 C = 0 F = 0 F = B I l E = B l v 87. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 81 7.1 CIRCUITOS MAGNTICOS As mquinas eltricas so constitudas por circuitos eltricos e magnticos acoplados entre si. Por um circuito magntico ns entendemos um caminho para o fluxo magntico, assim como um circuito eltrico estabelece um caminho para a corrente eltrica. Nas mquinas eltricas, os condutores percorridos por correntes interagem com os campos magnticos (originados ou por correntes eltricas em condutores ou de ims permanentes), resultando na converso eletromecnica de energia. A lei bsica que determina a relao entre corrente e campo magntico a lei de Ampre: J da H dl S = [7.1] onde: J = densidade de corrente (A/m2 ) H = intensidade de corrente (A/m) Aplicando a equao acima no circuito magntico simples, temos: Fig. 7.3 Circuito magntico simples N i = H l , no caso: N i = Hn ln [7.2] A intensidade de campo magntico (H), produz uma induo magntica (B) em toda a regio sujeita ao campo magntico. B = H ou B S = [Wb/m2 ] [7.3] A unidade da induo magntica (B) o Weber por metro quadrado, onde 1 Wb = 108 linhas de campo magntico. = permeabilidade magntica do ncleo = o . r o = permeabilidade do vcuo = 4 x 10-7 Wb/(A.m) 88. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 82 r = permeabilidade relativa do material, valores tpicos de r esto na faixa de 2000 a 6000, para materiais usados em mquinas. Os dispositivos de converso de energia que incorporam um elemento mvel exigem entreferros nos ncleos. Um circuito magntico com um entreferro mostrado a seguir. Seja o circuito com entreferro (Vcuo): N i = Hn ln + Hg lg [7.4] N i B l B l n n n g o g= + onde: B = H ; H = B / N i S l S ln n n n g g o g= + onde: B = / S N i l S l S n n n g g o = + onde: n = g = [ ]N i n g= + [7.5] [ ] = + n g onde: F = N i [7.6] onde: n = Relutncia magntica do ncleo ; [A/Wb] g = Relutncia magntica do entreferro ; [A/Wb] = fora magnomotriz ; [Ae] Circuito Eltrico Anlogo: 89. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 83 7.2 CIRCUITO MAGNTICO FUNCIONANDO EM CORRENTE ALTERNADA Em estruturas magnticas com enrolamentos, o campo varivel produz uma fora eletromotriz (e) nos terminais do enrolamento, cujo valor : i) Ponto de Vista de Circuito: e t N d dt N e t d dt ( ) ; ( )= = = [7.7] Onde: = N chamado de fluxo concatenado [Wb.e] Para um circuito magntico no qual existe uma relao linear entre B e H, devido permeabilidade constante do material ou predominncia do entreferro, podemos relacionar o fluxo concatenado com a corrente i, atravs da indutncia L. Indutncia: a propriedade que tem um corpo de aparecer em si mesmo ou noutro condutor uma tenso induzida. uma grandeza que associada a um reator dado, caracteriza a sua maior ou menor capacidade de produo de fluxo para uma dada corrente. J sabemos que para se criar uma fora eletromotriz induzida num condutor necessrio que o mesmo esteja submetido a um campo magntico varivel. Como vemos a indutncia de um corpo uma propriedade que s se manifesta quando a corrente que passa pelo corpo varia de valor, o que produz um campo magntico varivel, ao qual est submetido o prprio corpo ou outro condutor. Quando o corpo induz em si mesmo uma fora eletromotriz, chamamos o fenmeno de auto-induo e dizemos que o corpo apresenta auto-indutncia. A f.e.m. induzida, neste caso, conhecida como fora eletromotriz de auto-induo ou fora contra-eletromotriz. O outro caso de indutncia conhecido como indutncia mtua e o fenmeno conhecido como induo mtua. Sempre que dois condutores so colocados um prximo do 90. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 84 outro, mas sem ligao entre eles, h o aparecimento de uma tenso induzida num deles quando a corrente que passa pelo outro varivel. A indutncia uma propriedade de todos os condutores, podendo ser til ou prejudicial; no segundo caso necessrio eliminar, ou pelo menos, reduzir os seus efeitos. Um corpo pode apresentar pequena ou grande indutncia conforme suas caractersticas fsicas. ii) Ponto de Vista Fsico: S lN L iN i N L iN i N L i L = = = = == == ; ; 2 [7.8] logo a indutncia L depende apenas da geometria do indutor. Como: dt d teN dt d Nte === )(;)( [7.7] = =Li e t L di dt ( ) Para circuitos magnticos estticos, onde a indutncia fixa a equao acima aceita, mas para as mquinas eltricas, a indutncia pode ser varivel no tempo e a equao precisa ser expressa como: e t L di dt i dL dt ( ) = + [7.9] iii) Ponto de Vista de Energia: A potncia nos terminais de um enrolamento de um circuito magntico uma medida da taxa de fluxo de energia, que entra no circuito atravs deste particular enrolamento, e vale: p i e p i d dt = = [7.10] 91. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 85 A variao da energia no circuito magntico no intervalo de tempo t1 a t2 dado por: w pdt w i d t t = = 1 2 1 2 [7.11] Para ncleo com permeabilidade constante: = =Li i L Assim: w L d w L ou w Li= = = 1 2 1 2 2 1 2 2 [7.12] Energia magntica armazenada no indutor Tenso Eficaz Induzida: Seja o circuito indutor: Onde: V(t) = Vmx sen(wt) e o enrolamento tem resistncia nula. e t N d dt ( )= [7.7] por R = 0 e(t) = V(t) V(t) dt = N d Vmx sen(wt) dt = N d Assim: d V N wt dt max = sen ( ) Portanto: ( ) cos( ) ( ) cos( )t V N w wt t V N f wt max max = = 2 92. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 86 Logo: max max max eficazV N f V N f = = 2 2 2 Veficaz = 4,44 f N mx [7.13] Onde: Veficaz = valor eficaz da tenso f = freqncia N = nmero de espiras mx = fluxo magntico mximo 7.3 EXERCCIOS 1) Um circuito magntico tem dimenses: Sn = 9 cm2 ; Sg = 9 cm2 ; ln = 30 cm; lg = 0,05 cm; N = 500 espiras e r = 5000 Calcular: a) Corrente (I) para induo magntica no ncleo igual Bn = 1 Wb/m2 b) O fluxo magntico () e o fluxo concatenado com o enrolamento ( = N) 2) O circuito magntico abaixo tem dois caminhos paralelos que se concatenam com o enrolamento. Calcular o fluxo e a induo magntica em cada uma das pernas do circuito magntico para I = 0,2 A. Supondo ferro e sabendo que 1 = 2,54 *10-2 m 93. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 87 3) Para o circuito do exerccio 2, calcular a corrente eltrica necessria para produzir: Bn1 = 49,47 mWb/m2 e Bn2 = 24,74 mWb/m2 . 4) Seja o circuito magntico abaixo, calcular: a) Fora Eletromotriz Induzida (f.em.i.) quando Bn = sem 377t (Wb/m2 ) b) Relutncias no ferro (Rn) e no entreferro (Rg) c) Indutncia (L) d) Energia Magntica Armazenada para Bn = 1 Wb/m2 N = 500; Sn = Sg = 9 cm2 ; ln = 30 cm; lg = 0,05 cm e r = 5000 5) Um reator de 200 espiras alimentado pr uma fonte de 60 Hz, 220 Veficaz. Qual o mximo valor do fluxo no ncleo se o enrolamento no tem perdas? 6) O reator do exerccio anterior recebe uma tenso V = 311,13 sem 377 t. Determinar os valores instantneo e eficaz do fluxo no ncleo. 94. FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA TPICOS DE ENGENHARIA ELTRICA I PROF. JOEL ROCHA PINTO 88 7) Se a bobina na figura abaixo excitada com corrente contnua: a) Determinar a corrente necessria para produzir um fluxo magntico de 7,5*10-4 Wb na perna central. b) Se a bobina for excitada com corrente alternada em lugar de corrente contnua da parte (A), determinar o valor eficaz da corrente aplicada na bobina para uma tenso senoidal de 120 volts eficaz, a 60 Hz e N = 1000 espiras. c) Determinar o valor da tenso alternada eficaz, da corrente mxima e eficaz para obter um fluxo mximo igual ao do item (A) de 7,5*10-4 Wb na per