Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaEletrotcnica Bsica1. Resolues de Circuitos em corrente contnuaDefinies:a) Bipolo qualquer dispositivo eltrico com dois terminais;Ex.: Resistor, indutor, capacitor, gerador, etc.Smbolo do bipolo:b)Circuito Eltrico um conjunto de bipolos eltricos interligados;c)GeradordeTensoContnuaumdispositivoeltricoque impe uma tenso entre seus terminais, qualquer que seja o valor da corrente.Smbolo do Gerador de tenso contnua:d)GeradordeCorrenteContnuaumdispositivoqueimpe uma corrente, qualquer que seja o valor da tenso aplicada aos terminais.Smbolo do Gerador de corrente contnua: e)Associao deDipolosem Srie umconjunto debipolos ligados de tal maneira que a corrente que passa por um bipolo, obrigatoriamente, passa pelos outros.1V- +B1 B2 B3 B4Prof Jaime Mariz Eletrotcnica Bsicaf) Associao de bipolos em paralelo um conjunto de bipolos ligados de tal maneira que a tenso aplicada a um , obrigatoriamente, aplicada aos outros.g) Ligao de Bipolos em Estrela um conjunto de trs bipolos ligados de acordo com a figura abaixoh)Ligao de Bipolos em Tringulo (delta) um conjunto de trs bipolos ligados conforme com a figura abaixo2B1 B2 B3 B4B1B2 B3B1B3B2Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaLeis dos circuitos:o processo de resoluo de circuitos em corrente contnua baseia nas seguintes leis da Fsica:a) Lei de Ohm:RVIou V = RIb)1 Lei de Kirchhoff (lei das correntes): o somatrio das correntesqueconvergemparaummesmonigual azero; (princpio: a energia no pode ser criada ou destruda) 0 II3 + I5 I1 I2 I4 = 0I3 + I5 = I1 + I2 + I4c)2Lei deKirchhoff(lei dastenses): asomaalgbricadas tenses ao longo de umcaminho fechado igual soma algbrica das quedas de voltagemexistentes nessa malha (princpio: a toda ao corresponde uma reao igual e contrria). RI Eou0 RI E -E1+E2+E3=I1R1I2R2+I3r3-I4R4-E1+E2+E3-I1R1+I2R2-I3r3+I4R4=03I5 I1I2I4I3+ -- ++ -+-+ -+-- + Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaAnlise de Malhas para resoluo de circuitosEste processo vlido para circuitos planares (que podem ser representadosnumplano, semcruzamentosdelinha), contendo apenas bipolos lineares e sem geradores de corrente.Exemplo 01:1 Malha (ABEF): 100 40 =5I1 + 5I1 + 10(I1 I2)2 Malha (BCDE): 40 = 10I2 + 10(I2 I1)60 = 20I1 - 10I260 = 20I1 - 10I240 = -10I1 + 20I2(x2) 80 = -20I1 + 40I2140 = 30I2I2 =140/30 = 4,67A60 = 20I1 10 x 4,67 I1 = (60 + 46,7)/20I1= 5,33AExemplo 02:4Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaN A: I4 = I1 + I3N B: I2 = I3 + I6N C: I1 = I5 + I6Malha ADCEF: E1 = I1R1 + I4R4 + I5R5Malha BCD: E2 - E6 = I2R2 + I6R6 - I5R5Malha ABCD: -E6 = -I3R3 + I6R6 I4R4 - I5R5AplicandoasLeisdeKirchhoffpodemostransformarcircuitos ligados em Y em circuitos ligados em 5Prof Jaime Mariz Eletrotcnica Bsica em Y3 2 13 1R R RR RRa+ +3 2 12 1R R RR RRb+ +3 2 13 2R R RR RRc+ +Y em RcRcRa RbRc RaRbR1+ +RaRcRa RbRc RaRbR2+ +RbRcRa RbRc RaRbR3+ +Exemplo 03:6Prof Jaime Mariz Eletrotcnica Bsica2. Resolues de Circuitos em corrente alternadaA quase totalidade dos sistemas eltricos trabalha com correntes e tenses alternadas. Isto se deve ao fato de:a) Ser mais fcil o transporte da energia para lugares distantes;b) Ser econmicaatransformaodenveisdetensoede corrente, de acordo com a necessidade;c) Ser econmica a transformao de energia eltrica em energia mecnica e vice-versa;Fora Eletromotriz de um alternador elementarm = Fluxo Mximo encadeado com a espira = Velocidade angular da espira (rad/seg)=t = ngulo formado pelo plano da espira como plano perpendicular s linhas de fluxo= m.costdtde para uma espirat sen . ndt) t cos . ( dndtdn e mm mas: m m n E ento:t sen . E e m 7Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaFuno peridicay = f(t) peridica se assumir o mesmo valor f(t) para instantes espaados de T, 2T, 3T,...ento y = f(t) = f(t+T) = f(t+2T) = ... = f(t+nT)T = perodoFreqncian de perodos (ou ciclos) por segundos (Hertz ou Hz)T1fex.: para f = 60Hz T = 1/60 = 0,01667 segEnto ft 2 sen . E e f 2T2m Freqncias usuais:50Hz (Europa, Paraguai)60Hz (Brasil, USA)25Hz (alguns sistemas de trao eltrica)250 a 2700Hz (Telefonia comercial)25 a 40 kHz (Sondagem submarina) ultra-som30 kHz (telegrafia sem fio)150 kHz (Radiodifuso Ondas Longas)500 a 1500 kHz (Radiodifuso Ondas Mdias - 200 a 600m)30 MHz (Radiodifuso Ondas Curtas at 10m)8Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaFase e diferena de FaseF(t) = A.sen(t+) (t+) = ngulo de FaseSe duas grandezas senoidais) t sen( . E e) t sen( . E e2 2 m 21 1 m 1 + tm amesma freqncia, a diferena de fase ou defasagem entre elas em um dado instante ser: 2 1 2 1 ) t ( ) t ( + + ex.: ) 30 t sen( . 75 e) 30 t sen( . 100 e21 + 30 (-30) = 60 a senide e1 passa pelos seus valores zero emximocomavanode60sobrea senide e2Quando duas ou mais grandezas alternadas tma mesma fase elasseachamemconcordncia de fase ou simplesmente em fase9Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaQuando a Diferena de fase entre duas grandezas alternadas for de 90 elas esto em quadraturaQuandoadiferenadefasefor de 180, esto em oposioValor MdioA expresso que d o valor mdio de uma funo :T0mdio dt ) t ( fT1Ypara a senide esse valor nulo para um ciclo, e por isso definido para um semi perodo. Assim o valor mdio de i=Im.sen pode ser achado integrando a senide de 0 a .[ ] mm m0m0m dio m I 637 , 0I . 2) 1 1 (IcosId . sen . I1I + Analogamente: mmmdio V 637 , 0V . 2V 10Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaValor eficazEnergia transformada em calor por uma c.c. I em uma resistncia R em t segundos: I2RtEnergia transformada em calor pela corrente alternada i na mesma resistncia , a cada instante i2RAssim: T0T02 2 2t1. dt . i I dt . R i Rt I sendo T=2 (perodo)

,_

2022m202 2m2d cos21212Id . sen . I21Imm m2m202m2I 707 , 02I2II2I22 sen4II2 1]1

analogamente:mmV 707 , 02VV OBS.:os voltmetros e ampermetros de corrente alternada indicam os valores eficazes de corrente e tensoRepresentao vetorial das Grandezas Senoidais = t radianos0x=0A.sent=Im.sentVantagens:11Prof Jaime Mariz Eletrotcnica Bsica1. O vetor mostra as duas caractersticas que definem a senide: o ngulo de fase e o valor mximo;2. A diferena de fase entre as duas grandezas alternadas pode ser representadavetorialmente. Afigura ao lado nos mostra o vetor OB em avano de graus sobre o vetor AO. Se OB e AO representam os valores mximos das voltagens e1 e e2, elas sero expressas por:e1 = OB.sent e2 = OA.sen(t-)3. A soma ou a diferena de duas ou mais grandezas senoidais se reduz a uma composio de vetores.) cos( . I . I . 2 I I I 1 2 m2 m1 2 m21 m2m0 + + 2 m2 1 m12 m2 1 m10.cos I .cos Isen . I sen . Itan + + 12OProf Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaParmetros dos circuitos de C.AResistnciaUnidade: (ohm)Carga Resistiva ou carga hmicaIndutncia Unidade: H (Henry)Carga IndutivaCapacitncia Unidade: F (Farad)Carga CapacitivaLei de Ohm para os circuitos de C.AConsideremos uma bobinacom resistncia eltrica e indutncia (L):sR Passando-se uma corrente eltrica nessa bobina aparecer um fluxo magntico dados por: = LiSe i varivel, tambm ser! aparecer uma f.e.m. de auto induo dada por:( )dtdiLdtLi ddtde na figura anterior, temos ento:13Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicadtdidtdiL Ri v + derivada da corrente eltrica em relao ao tempo.UmabobinaquetemumaresistnciaR eumaindutnciaL representada conforme abaixo:Se o circuito tem elevada resistncia eltrica e indutncia desprezvel, orepresentamosapenaspelaresistncia, edizemos que o circuito puramente hmico ou puramente resistivo.Seocorreroinverso, isto, searesistnciapordesprezvel em relaoaoefeitodaindutncia, edizemosqueelepuramente indutivo.Ex.: enrolamento de mquinas eltricas, transformadores, etc.Seforemconsideradostantoaresistnciaquantoaindutnciado circuito, ento ele ser denominado circuito indutivo ou circuito RL.Circuito puramente hmico14Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaL = 0R 0Rvi Ri vdtdiL Ri v + Supondo v = Vmax.sent Rt sen . Vimax t sen . I t senRVi maxmax Quando a tenso for mxima, a corrente tambm ser:t sen . I t senRVi t sen . V v maxmaxmax Dizemos ento que as duas senides esto em fase entre si ou que acorrenteeavoltagementoemfasenumcircuitopuramente hmico.RVIRV707 , 0 I . 707 , 0RVIefefmaxmaxmaxmax Concluso: os circuitos puramente hmicos, quando alimentados por corrente alternada, apresentam o mesmo comportamento do que quando alimentados por corrente contnua. A freqncia das correntes alternadas no influencia os fenmenos que se processam no circuito.Circuito puramente Indutivo150Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaL 0R 0dtdiL vdtdiL Ri v + Noscircuitospuramenteindutivostodatensoaplicadaaos seus terminais equilibrada pela f.e.m. de auto-induo.Dado:( ) ( )dtt sen dI . Ldtt sen . I dL v t sen . I i maxmaxmax cos = sen(+90)cos30 = sen(/6 +90)0,866 = 0,866t cos . I . L v max ) 90 t sen( . I . L v max + Isto , essa voltagem tambmalternada senoidal comvalor mximo igual a LImax, defasada 90 em adiantamento em relao corrente alternada do circuito.Vmax = LIMax 0,707 Vmax = 0,707 LIMaxVef = LIef Vef = XLIefXL = L = 2fL Reatncia indutiva (anloga resistncia)Unidade da reatncia: (Ohms)160Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaObservamos que a reatncia Indutiva funo da freqncia e da indutncia: fX LXConcluso: Sempre que uma corrente alternada atravessa um circuitopuramenteindutivo(dereatnciaXL= 2fL), tem-seumaquedadetensodadaporVef= XL.Ief, defasada de 90 em adiantamento em relao corrente. Em outras palavras: aplicando-se uma voltagem alternada senoidal aos terminais se um reatncia XLde um circuito puramente indutivo, verifica-se a passagem de uma corrente eltrica de valor Ief = Vef/XL ,defasada de 90 em atraso em relao tenso.Exemplos:1) Um circuito puramente indutivo onde temos L=0,5H alimentado porumatensocujovaloreficaz110vecujafreqncia 60Hz.Calculeovaloreficazdacorrentealternadaquecircula nesse circuito.XL=2fL = 2x3,14x60x0,5 = 188,4Ief = Vef/XL = 110/188,4 = 0,584AIef = 584mA17Prof Jaime Mariz Eletrotcnica Bsica2) No problema anterior, traar o diagrama vetorial e representao senoidal da tenso e corrente eficaz.Ex.: v = 50.sen(30t + 90)i = 10.sen30t3) Num circuito puramente hmico, aplicou-se uma voltagem dada por v=120.sen(314t). Se a resistncia total do circuito mede 10, calculequal deverseraleituradeumampermetrose corretamente inserido no circuito.Vef = 0,707.Vmax = 0,707x120 = 84,84VIef = Vef/R = 84,84/10 = 8,484 A18Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaReviso de Nmeros Complexos1 j 1 j2 Z1 = 6 Z4 = -3 + j2Z2 = 2 j3 Z5 = -4 j4Z3 = j4 Z6 =3 + j319Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaOutras formas dos nmeros complexos cos Z xZxcos sen Z yZysenZ = x + jy = |Z|cos + j|Z|sen = |Z|(cos +jsen)Tg = y/xxyarctg 2 2y x Z + argumento de Z Mdulo ou valor absoluto de ZAfrmuladeEuler,ej= (cos jsen), possibilitaoutra forma para representao dos nmeros complexos, chamada forma exponencial:Z = x jy = |Z|(cos jsen) = |Z|ejAformapolaroudeSteinmetzparaumnmerocomplexoZ bastante usada em anlise de circuitos e escreve-se|Z| onde aparece em grausEsses quatro meios de se representar um nmero complexo esto resumidosaseguir. Oempregodeumoudeoutrodependeda operao a ser efetuada.Forma retangularZ = x jy3 + j4Forma PolarZ = |Z| 553,13Forma exponencialZ = |Z|ej5ej53,13Forma trigonomtricaZ = |Z|(cos jsen)5(cos53,13+jsen53,13)20Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaConjugado de um nmero complexoO conjugado Z* de um nmero complexo Z = x + jy o nmero complexo Z* = x jyEx.: Z1 = 3 - j2 Z1* = 3 + j2Z2 = -5 + j4 Z2* = -5 j4Z3 = -6 + j10 Z3* = -6 j10Na forma polar, o conjugado se Z = |Z| Z* = |Z|-Na forma Z = |Z|[cos() + jsen()] o conjugado de Z Z* = |Z|[cos(-) + jsen(-)]Mas cos()=cos(-) e sen(-) = -sen(), entoZ* = |Z|[cos() - jsen()]ex.: Z = 730 Z* = 7-30Z = x + jyZ* = x - jyZ = |Z|ejZ* = |Z|e-jZ = |Z|Z* = |Z|-Z = |Z|(cos + jsen)Z* = |Z|(cos - jsen)Z1=3 + j4 Z1*=3 j4Z2=5143,1Z2*=5-143,121Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaO conjugado Z* de um nmero complexo Z sempre a imagem de Z em relao ao eixo real, como mostra a figura.Soma e diferena de nmeros complexosPara somar ou subtrair dois nmeros complexos, soma-se ou subtrai-se separadamente as partes reais e imaginrias dos nmeros na forma retangular.Z1=5-j2 Z1+Z2=(5-3)+j(-28)=2j10Z2=-3j8 Z1Z2=[5(-3)]+j[(-2)(-8)]=8+j6Multiplicao de nmeros complexosOprodutodedoisnmeroscomplexos, estandoambosna forma potencial ou na forma polar:Z1=|Z1|ej1=|Z1| 1Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|).ej(1+2)Z2=|Z2|ej2=|Z2| 2Z1.Z2 = (|Z1|.|Z2|) 1+2Oprodutopodeser obtidonaformaretangular, tratando-seos nmeros complexos como se fossem binmios:Z1.Z2 = (x1+jy1)(x2+jy2) = x1x2 + jx1y2 + jy1x2 + j2 y1y2= (x1x2 + y1y2) + j(x1y2 + y1x2)ex. 01:Z1 = 5ej/3Z1Z2 = (5.2)ej(/3-/6) = 10ej/6Z2 = 2e-j/6ex. 02: Z1 = 230 Z1Z2 = (5.2)[30+(-45)] Z2 = 5-45 Z1Z2 = 10 -1522Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaDiviso de nmeros complexos) 2 1 ( j212 j21 j121eZZe Ze ZZZ forma exponencial) (ZZZZZZ2 1212 21 121 forma polarA diviso na forma retangular se faz multiplicando-se numerador e denominador pelo conjugado do denominador.22221 2 2 1 2 1 2 12 22 22 21 121y x) x y x y ( j ) y y x x (jy xjy xjy xjy xZZ+ + + ,_

++Exemplos:1) Z1=4ej/3, Z2=2ej/6 6j6j3j21e 2e 2e 4ZZ 2) Z1=8-30, Z2=2-60 30 460 230 8ZZ213) Z1=4-j5, Z2=1+j2 513 j 62 j 12 j 12 j 15 j 4ZZ21 ,_

+Transformao: forma polar forma retangular50 53,1= 50(cos53,1 + jsen53,1)= 50x0,6 + j50x0,7997= 30 + j4023Prof Jaime Mariz Eletrotcnica Bsica100 -120 = 100.cos(-120) + 100.jsen(-120)= -100.cos(60) + 100.jsen(-120)= -100.0,5 + 100.(-0,866) = -50-j86,6Circuito puramente CapacitivoSev = Vmax.sentq = Cvdt) t sen . V ( dCdt) Cv ( ddtdqimax i = .C.Vmax.sen(t + 90)i = Imax.sen(t + 90)SeImax = .C.Vmax0,707.Imax = 0,707..C.VmaxIef = .C.Vefouef efIC1VCCXfC 21XC1Reatncia CapacitivaA corrente num circuito puramente capacitivo est 90 adiantada em relao tensoOBS.: num circuito indutivo: f XL corrente24Prof Jaime Mariz Eletrotcnica Bsicaf XC correnteSe f=0 XC = capacitor no deixa passar corrente DCCircuito RL ou indutivoPraticamente consiste de um circuito puramente hmico de resistnciaR emsriecomumcircuitopuramenteindutivode indutncia LAcorrenteiaoatravessar a resistnciaR, provoca uma queda de tenso dada por VR=Ri em fase com a corrente i.Acorrenteiaoatravessar aindutnciaL, determinauma quedade tensoindutivaVx = XLi, defasadade 90 em adiantamento sobre a corrente i.A queda de tenso total atuante entre os terminais do circuito dada pela soma vetorial de VR e VX:) X R ( i ) i X ( ) Ri ( V V V V V V2L2 2 2L2 2X2R X R+ + + + Z i V X R i V2L2 + Z = impedncia do circuitoZ um nmero complexo da forma: Z= R+jXL = R+jL25Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaConsiderando-se Z numa representao grfica, teremos:RXarctgRXtgL L Na forma polar podemos escrever: Z Z2L2X R Z + RXarctg ) L ( R ZL2 2 + Circuito RC ou CapacitivoSe i igual a 1 ampere, teremos:

,_

C1j R jX R ZCC1XRXarctgCc

,_

ZXarcsenC ZRarccos Na forma polar:

,_

+ ZRXarctgC1R ZC2226Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaOutra forma da lei de Ohm:E = (R+jX)I2 2X R Z + RXarctg Z ZRXarctg X R Z2 2 + Exemplos:1) Um circuito RL srie de R=20e L=20mH tem uma impedncia de mdulo igual a 40 . Determinar o ngulo de defasagem da corrente e tenso, bem como a freqncia do circuito.Z = R+jXL = |Z| 40.cos + j40.senZ = 20+jXL = 40 = arccos 20/40 = arccos 1/2 = 60XL = 40.sen60 = 40x0,866 XL = 34,6XL = 2fL f = XL/2L 34,6/(6,28 x 0,02) f = 34,6/0,1256 f = 275,5Hz27E = ZIProf Jaime Mariz Eletrotcnica Bsica2) Um circuito srie de R = 8 e L = 0,02H tem uma tenso aplicada de v = 283.sen(300t+90). Achar a corrente i.XL = L = 300x0,02 = 6 Z = 8 +j6Vef = 0,707 x 28310 100 6 82 2 +Vef = 200 = arctg 6/8 = 36,9V = 200 90 Z = 10 36,9 1 , 53 209 , 36 1090 200ZVI) 1 , 53 t 300 sen( . 2 20 i + 3) Dados v=150.sen(5000t+45)e i=3sen(5000t-15), construir os diagramas de fasores e da impedncia e determinar as constantes do circuito (R e L)v = 0,707x15045 = 106,0545I = 0,707x3-15 = 2,12-153 , 43 j 25 ) 866 , 0 j 5 , 0 ( 50 Z) 60 sen j 60 (cos 50 60 5015 12 , 245 05 , 106IVZ+ + + XL = 2fL = L = 43,3 L = 43,3/5000 L = 8,66mHR = 2528Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaCircuito RL srieConcluso: O circuito RL em srie se comporta exatamente como um circuito RL que tenha resistncia hmica igual a R = R1 + R2 e reatncia indutiva XL = XL1 + XL2.Assim sendoZ= Z1 + Z2 =(R1 + jXL1) + (R2 + jXL2) = (R1 + R2) + j(XL1 + XL2)Ou na forma fasorial:2 12 122 122 1R RL Larctg ) L L ( ) R R ( Z Z+ + + + + 29Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaCircuito RL srieConcluso:ocircuitoRCsrie secomportaexatamente como um circuito RC que tenha resistncia hmica igual a R =R1 + R2 e reatncia capacitiva 2 12 C 1 C CC1C1X X X+ + Assim teremos: Z = Z1 + Z2 = (R1 + jXC1) + (R2 + jXC2)

,_

++ + + + + 2 12 1 2 C 1 C 2 1C1C1j ) R R ( ) X X ( j ) R R (ou na forma fasorial:30Prof Jaime Mariz Eletrotcnica Bsica2 12 122 122 1R RC1C1arctgC1C1) R R ( Z Z+

,_

+

,_

++ + Podemos ento generalizar:V = V1 + V2 + V3 = Z1I + Z2I + Z3IV = I(Z1 + Z2 + Z3) = IZTZT = Z1 + Z2 + Z3Generalizando:Circuito ParaleloT 3 2 1 3 2 13 2 1 TZ1Z1Z1Z1VZVZVZVI I I I

,_

+ + + + + + 3 2 1 TZ1Z1Z1Z1+ + generalizando...Z1Z1Z1Z13 2 1 T+ + + O inverso da impedncia de um circuito chamada de Admitncia, cujo smbolo Y.31ZT = Z1 + Z2 + Z3 + ...Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaEnto no circuito acima teremos:IT = I1 + I2 + I3 = Y1V + Y2V + Y3V = V(Y1 + Y2 + Y3)IT = YTV YT = Y1 + Y2 + Y3Num circuito paralelo podemos dizer que a corrente do circuito igual ao produto da tenso total aplicada aos seus terminais pela admitncia total equivalente.Portanto a Admitnciaequivalentede qualquer nmerode admitncias em paralelo igual a soma das admitncias individuais.Z = R tjX +jX reatncia indutiva (XL)-jX reatncia capacitiva (-Xc)Analogamente:Y = G tjB G CondutnciaB Susceptncia+jB Susceptncia capacitiva (BC)-jB Susceptncia indutiva (-BL)Unidades de Y, G e B MHO ou ou -1ComoacorrenteIpodeestaradiantada,atrasadaouem fase com V, conseqentemente, 3 casos podem ocorrer:1 CasoV = |V|V = |I|R 0 ZIVZ Aimpednciadocircuito G 0 YYIY Aadmitnciadocircuito 32Prof Jaime Mariz Eletrotcnica Bsicauma resistncia pura de R ohmsuma condutncia pura de G mhos2Caso: O fasor corrente est atrasado de um ngulo em relao tensoV = |V|I = |I|( -)) ( IVZ LjX R Z + A impedncia de um circuito com fasores V e I nesta situao consta de uma resistncia e uma reatncia indutiva em srie V) ( IYLjB G ) ( Y A impedncia do circuito consta de uma condutncia e uma susceptncia indutiva em paralelo3Caso: O fasor corrente est avanado de um ngulo em relao tensoV = |V|I = |I|( +)) ( IVZ + LjX R Z + A impedncia do circuito consta de uma resistncia e uma reatncia capacitiva em srie + V) ( IYLjB G ) ( Y A impedncia do circuito consta de uma condutncia e uma susceptncia capacitiva em paralelo33Prof Jaime Mariz Eletrotcnica BsicaConverso Z - YForma polar: dadoZ=553,1 ) 53,1 ( 2 , 01 , 53 51Z1Y Forma Retangular:Y = 1/Z2 2X RjX RjX RjX R.jX R1jX R1jB G+++ +2 2 2 2X RXjX RRjB G+++ +2 2X RRG+2 2X RXB+Z = 1/Y2 2B GjB GjB GjB G.jB G1jB G1jX R+++ +2 2 2 2B GBjB GGjX R+++ +2 2B GGR+2 2B GBX+Exemplos:1) Dado Z = 3 + j4, achar a admitncia equivalente Y.)] 1 , 53 sen( j ) 1 , 53 [cos( 2 , 0 ) 1 , 53 ( 2 , 01 , 53 51Z1Y + Y = 0,12 j0,16 G = 0,12MHOS B = -0,16MHOSoutro mtodo( )MHOS 12 , 016 93X RRG2 2++( )MHOS 16 , 016 94X RXB2 2 ++Y = 0,12 - j0,1634Prof Jaime Mariz Eletrotcnica Bsica2)No circuito srie abaixo, achar Ie ZT. Mostrar que a soma das quedas de tenso igual tenso aplicadaZT = Z1 + Z2 + Z3 = 4 + j3 j6 ZT = 4 j35 25 3 4 Z2 2T + 9 , 3643arctgZT = 4 j3 = 5 (-36,9)Impedncia Capacitiva 9 , 36 20) 9 , 36 ( 50 100ZVITV1 = IZ1 = 2036,9 x 4 = 8036,9= 80(cos36,9+jsen36,9) = 64 + j48V2 = IZ2 = 2036,9 x 390 = 60126,9= 60(cos126,9+jsen126,9) = -36 + j48V3 = IZ3 = 2036,9 x 690 = 120(-53,1)= 120[cos(-53,1)+jsen(-53,1)] = 72 j96V = V1 + V2 + V3 = (64 + j48) + (-36 + j48) + (72 j96)V = 100 + j0 = 100035Prof Jaime Mariz Eletrotcnica Bsica3)Achar a corrente total e a impedncia total do circuito paralelo abaixo, traando o diagrama de fasores:Z1 = 100 + 1 , 53 534arct 4 3 Z2 22) 9 , 36 ( 1086arct 6 8 Z2 23 + ) 9 , 36 ( 100 501 , 53 50 500 100 50ZVZVZVI I I I3 2 13 2 1 T ++ + + + + = 50 + 10(-53,1) + 536,9= 5 + 10[cos53,1 + jsen(-53,1)] + 5[cos36,9 + jsen36,9]= 5 + 10[0,60 - j0,80] + 5[0,80 + j0,60]= (5 + 6 + 4)+j(-8+3) = 15-j5=) 45 , 18 ( 81 , 15155arctg 5 152 2

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+Logo: 45 , 18 16 , 3) 45 , 18 ( 81 , 150 50IVZTTZT = 3,16(cos18,45 + jsen18,45) = 3 + j1 0 50 100 50ZVI11) 1 , 53 ( 101 , 53 50 50ZVI22 9 , 36 5) 9 , 36 ( 100 50ZVI33Fasores V e I Soma dos Fasores Circuito equivalente36Prof Jaime Mariz Eletrotcnica Bsica4)As duas impedncias Z1e Z2da figuraabaixoesto emsrie com uma fonte de tenso V = 100 0. Achar a tenso nos terminais de cada impedncia e traar o diagrama dos fasores de tenso.Zeq = Z1 + Z2 = 10 + 4,47(cos63,4 + jsen63,4)Zeq = 10 + 2 + j4 = 12 + j4 Zeq =45 , 18 65 , 12124arctg 4 122 2 +) 45 , 18 ( 9 , 745 , 18 65 , 120 100ZVIeq V1 = IZ1 = 7,9(-18,45)x10 = 79(-18,45) = 79,9 - j25V2 = IZ2 = [7,9(-18,45)]x[4,4763,4] = 35,3(45) = 25 + j25Verifica-se que:V1 + V2 = 75 - j25 + 25 + j25 = 100 +j0 = 100037Prof Jaime Mariz Eletrotcnica Bsica5) Calcular a impedncia Z2 do circuito srie da figura abaixo: 60 20) 15 ( 5 , 245 50IVZeq Zeq = 20(cos60 + jsen60) = 10 + j17,3Como Zeq = Z1 + Z2:5 + j8 + Z2 = 10 + j17,3 Z2 = 10 5 + j17,3 j8Z2 = 5 + j9,36)Determinar a corrente emcada elemento do circuito srie-paralelo abaixo14 , 8 14 , 14 2 j 1410 j 5) 10 j ( 510 Zeq + ++ ) 14 , 8 ( 07 , 714 , 8 14 , 140 100ZVIeqT ) 14 , 8 ( 07 , 7 x10 j 5) 10 j ( 5I . Z V10 j 5) 10 j ( 5ZT AB AB AB + +) 54 , 71 ( 16 , 3 10 j ) 14 , 8 ( 07 , 7 x10 j 5) 10 j ( 510 jVIAB1 1]1

+ ) 46 , 18 ( 32 , 6 5 ) 14 , 8 ( 07 , 7 x10 j 5) 10 j ( 55VIAB2 1]1

+ 38Prof Jaime Mariz Eletrotcnica Bsica7)Acharaimpednciaequivalenteeacorrentetotal docircuito paralelo abaixo2 , 0 j5 j1Y1 2 , 0 j j515 jjxj 5 jxj 12 0866 , 0 j 05 , 066 , 8 j 51Y2 +0866 , 0 j 05 , 010066 , 8 j 566 , 8 5) 66 , 8 j 5 () 66 , 8 j 5 )( 66 , 8 j 5 () 66 , 8 j 5 (2 2 + +067 , 0151Y3 1 , 0 j10 j1Y4 1 , 0 j j10110 jjxj 10 jxj 12 Yeq = 0,117 j0,1866 = 0,22(-58)IT = V.Yeq =(15045)[0,22(-58)]=33(-13) 58 55 , 4) 58 ( 22 , 01Y1Zeqeq39Prof Jaime Mariz Eletrotcnica Bsica8) Determinar a Impedncia do circuito paralelo abaixo 36 63 , 060 5024 5 , 31VIYTeqYeq = 0,63(cos(-36)+jsen(-36) = 0,51 j0,37Como Yeq = Y1 + Y2 + Y3, ento:37 , 0 j 51 , 0 ) 12 , 0 j 16 , 0 ( 1 , 0 Y3 j 41101Y Y1 1 eq + + ++ + Y1 = 0,51 j0,37 0,1 0,16 +j0,12 = 0,25 j0,25) 45 ( 35 , 025 , 025 , 0arctg 25 , 0 25 , 0 Y2 21 + 45 35 , 01Y1Z11Z1 = 2,86 45 = 2 + j240Prof Jaime Mariz Eletrotcnica Bsica9) Dado o circuito srie-paralelo (misto) abaixo, calcular Zeq.2 2AB4 34 j 35 , 0 j 2 , 04 j 312 j151Y+++ + + 34 , 0 j 32 , 0 16 , 0 j 12 , 0 5 , 0 j 2 , 0 YAB + + ) 7 , 46 ( 467 , 032 , 034 , 0arctg 34 , 0 32 , 0 Y2 2AB

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+ 56 , 1 j 47 , 1 7 , 46 14 , 2) 7 , 46 ( 467 , 01Y1ZABAB+ Zeq = 2 +j5 + Zab = 2 + j5 + 1,47 + j1,56 Zeq = 3,47 + j6,56 = 7,4262,141