Eliminacao de Ruıdo Impulsivo em Imagens Coloridas Usando um FiltroMediano Adaptativo e Difusao Isotropica

Marcos Proenca de Almeida, Maurılio BoaventuraUniversidade Estadual Paulista - Instituto de Biociencias, Letras e Ciencias Exatas

Departamento de Ciencias de Computacao e EstatısticaRua Cristovao Colombo, 2265, Sao Jose do Rio Preto - SP

proenca.marcos@gmail.com, maurilio@ibilce.unesp.br

Resumo

A partir do metodo proposto por Chen, Yang e Cao, paradetectar ruıdo impulsivo em imagens em escala de cinza,neste trabalho, propoe-se uma modificacao do filtro media-no padrao para imagens em escala de cinza e sua aplicacaoem conjunto com um metodo de retoque digital, baseadoem difusao isotropica, para restauracao de imagens colori-das. O metodo proposto e aplicado separadamente em cadacanal de cor.

1. Introducao

Ruıdo impulsivo, ou ruıdo sal e pimenta, em imagensdigitais e geralmente proveniente do processo de trans-missao de dados [4, 8]. Imagens com ruıdo, em geral,fornecem informacoes erroneas durante o processo de aqui-sicao de informacoes, prejudicando, dessa forma, as demaisetapas de processamento [10]. Em geral, metodos para eli-minacao de ruıdo Gaussiano possuem um desempenho in-ferior na presenca de ruıdo impulsivo [6]. Dessa forma,a aplicacao de filtros para suprimir o ruıdo presente emuma imagem de modo a preservar seus detalhes, como con-tornos, texturas, etc. sao fundamentais e devem estar pre-sentes na etapa de pre-processamento.

A utilizacao de imagens coloridas tem aumentado signi-ficativamente, assim como o interesse em metodos paraeliminacao de ruıdo em tais imagens [10]. A maneira maisnatural de restaurar uma imagem colorida e estender dire-tamente os filtros dedicados as imagens em escala de cinza[9] para cada canal de cor de uma imagem colorida. Variosmetodos de remocao de ruıdo para imagens em escala decinza tem sido propostos e, grande parte, sao embasados nostandard median filter (SMF) [9] e suas variacoes, os quaisutilizam informacoes locais para recuperar um determinadopixel. Os filtros vetoriais compoem outra classe importante

de metodos para imagens coloridas, uma vez que conside-ram uma imagem colorida como sendo um campo vetoriale, com isso, fazem uso de tecnicas multicanais. Entre eles ovector median filter (VMF) [1] e suas variantes sao ampla-mente conhecidos.

Metodos para remocao de ruıdo utilizam no processode restauracao, em geral, pixels contaminados. Na buscade melhores resultados para imagens com ruıdo impulsivo,uma deteccao previa dos pixels deteriorados tem sido asso-ciada ao processo de eliminacao, a qual permite a utilizacaode informacoes provenientes, principalmente, da imagemoriginal.

Modelos matematicos baseados em equacoes diferen-ciais parciais estao sendo aplicados, com sucesso, na tarefade restauracao de imagens digitais, mais especificamente,nos processos de eliminacao de ruıdos e retoque digi-tal. O retoque digital e empregado em situacoes nas quaisdeseja-se reconstruir determinadas regioes de uma ima-gem, cujas informacoes foram danificadas ou perdidas.A viabilidade de tal tecnica esta, de certa forma, condi-cionada a identificacao da regiao a ser restaurada, chamadade domınio de retoque.

Neste trabalho propoe-se uma modificacao para o filtromediano (FMM), a partir da identificacao de pixels comruıdos e da escolha de uma vizinhanca composta apenas porpixels sem ruıdo, conforme algoritmo proposto por Chen,Yang e Cao [3], para imagens em escala de cinza. Alemdisso, propoe-se a utilizacao de metodos para o retoque di-gital, em conjunto com o FMM, na remocao de ruıdo impul-sivo em tais imagens e, consequentemente, estendendo-separa cada canal de cor, propoe-se um filtro para eliminacaode ruıdo impulsivo em imagens coloridas.

O presente trabalho esta organizado como segue. Nasecao 2 sao apresentados o metodo de deteccao de ruıdo im-pulsivo, o filtro mediano modificado, o modelo de retoquedigital utilizado e o metodo proposto para restauracao deimagens coloridas. A secao 3 e composta pelos resultadosexperimentais. As conclusoes sao descritas na secao 4.

2. Descricao do Metodo

Uma imagem bidimensional pode ser definida como umafuncao limitada u : Ω ⊂ R2 −→ Rc, em que c = 1 paraimagens em escala de cinzas e c = 3 para imagens colori-das no sistema RGB. Em uma imagem em escala de cinza,os valores de u(x, y) correspondem a intensidade ou nıvelde cinza da imagem u nos pontos (x, y) ∈ Ω, os quais saoproporcionais ao brilho da imagem. Para uma imagem co-lorida, temos u(x, y) = (ru(x, y), gu(x, y), bu(x, y)), emque ru, gu e bu representam a intensidade dos canais ver-melho, verde e azul, respectivamente, que formam a ima-gem colorida. Note que ru, gu e bu sao imagens em escalade cinza, uma vez que ru, gu, bu : Ω ⊂ R2 −→ R.

Uma imagem digital em escala de cinza e uma ima-gem u discretizada tanto em coordenadas espaciais quantoem brilho. Em geral, Ω e um retangulo de lados m e n, dis-cretizado com uma malha bidimensional regular de passo1. Desse modo, pode-se representar uma imagem digi-tal por uma matriz (uij)m×n de entradas uij ∈ Z, emque (i, j) ∈ I = 1, 2, . . . ,m × 1, 2, . . . , n e0 ≤ uij ≤ 255. Cada elemento dessa matriz e chama-do de elemento da imagem ou, simplesmente, pixel.

2.1. Deteccao de Ruıdo Impulsivo

Os autores Chen, Yang e Cao [3] propuseram, recente-mente, um metodo de deteccao de ruıdo impulsivo para ima-gens em escala de cinza. Tal metodo consiste em comparar ovalor da intensidade de um determinado pixel com a intensi-dade de seus pixels vizinhos. A intensidade de um pixel im-pulso varia muito em relacao a maioria ou a todos os seusvizinhos, enquanto que pixels vizinhos compostos por in-tensidades similares, em geral, compoem detalhes da ima-gem.

Considere uma imagem em escala de cinza, u, detamanho m × n, contaminada por ruıdo impulsivo, uij e ovalor da intensidade do pixel de posicao (i, j), para todo(i, j) ∈ I . O metodo consiste em considerar um janelaWu

ij(h) de tamanho (2h+1)× (2h+1) e centrada no pixeluij , isto e, Wu

ij(h) = ui+k1j+k2 | − h ≤ k1, k2 ≤ h e oconjunto de pontos na vizinhanca (2h + 1)× (2h + 1) cen-trada em uij para algum inteiro positivo h ≥ 1 e, tambem,uma vizinhaca Ω0(p) obtida por meio do conjunto de pon-tos em Wu

ij(h) retirando-se o pixel central p.A fim de medir a variacao da intensidade de um pixel p

para com seus pixels vizinhos qi, foi utilizada a medida

d(p, q) =T∑

k=bτ×Tcexp(sk), (1)

em que exp(x) e a funcao exponencial, usada para aumen-tar a ordem entre as diferencas de intensidade dos pixels. NaEquacao (1), T = (2h+1)×(2h+1)−1, τ e um parametro

de corte entre 0 e 1, b·c e a funcao que retorna o maior in-teiro menor ou igual do que seu argumento e sk e o k-esimovalor na amostra ordenada |q(1) − p| ≤ |q(2) − p| ≤ . . . ≤|q(T ) − p|, com qi ∈ Ω0(p).

Dessa forma, obtem-se uma matriz com as medidasdij(p, q), para todos os pixels da imagem. Com isso, epossıvel construir uma matriz Mm×n, em que cada valorMij corresponde a um valor uij , por meio dos seguintespassos:

1. dividir a matriz das medidas d(p, q) em blocos detamanho g × g, disjuntos e vizinhos;

2. calcular a raiz media quadratica (rms) de cada blocod(p, q). Em cada bloco, se dij(p, q) > rms, definirMij = 1, caso contrario, definir Mij = 0;

3. em cada bloco, se o valor de qualquer pixel ust eigual ao valor de um pixel uij que foi marcado comMij = 1 no passo 2, definir Mst = 1.

Classificamos o pixel uij em um pixel com ruıdo seMij = 1 ou em um pixel sem ruıdo se Mij = 0. O con-junto de todos os pixels da imagem classificados comoruıdo e representado neste trabalho por Ωd.

2.2. Filtro Mediano Modificado (FMM)

O filtro mediano consiste em estabelecer uma ordemq(1) ≤ q(2) ≤ . . . ≤ q(T ), segundo algum criterio, para ospixels qi ∈ Ω0(p) centrada em p, e substituir o pixel p pelak-esima amostra de posicao mediana, isto e, pela amostraq(k), com k = T

2 , como sendo o pixel p restaurado.Uma vez realizada a deteccao de ruıdo, propoe-se a

utilizacao do filtro mediano com uma vizinhanca ΩN (p),contendo N pixels classificados como sendo sem ruıdo eque sejam os mais proximos do pixel central p, para queos pixels utilizados na restauracao contenham informacoes,principalmente, da imagem original, com o objetivo demelhorar o desempenho do filtro mediano. Esta vizinhacapode ser obtida pelo algoritmo descrito em [3], no qual foiconsiderada a distancia D((i, j), (s, t)) = |i − s| + |j − t|como sendo a distancia entre o atual pixel central uij e seuvizinho ust e, tambem, Φ(uij , h) = Wu

ij(h)−Wuij(h− 1),

com h = 1, 2, 3, . . . , e Wuij(0) = uij. A Figura 1 ilus-

Figura 1. Estrutura de Φ(uij , 1) e uij .

tra a estrutura de Φ(uij , 1) com uij . A distancia entre ospontos marcados com cırculos e uij e 1 e a distancia en-tre os pontos marcados com quadrados e uij e 2. Na Figura2, e apresentado o algoritmo de selecao dos pixels para avizinhanca ΩN . Neste algoritmo, a vizinhanca consideradatem tamanho (2h+1)×(2h+1) e M e a matriz que indica seum pixel e ruıdo ou nao, descrita anteriormente. O criterio

Figura 2. Algoritmo da selecao dos pixels davizinhaca ΩN .

de ordenacao escolhido foi baseado na intensidade dos pi-xels, em que qi ≤ qj se a intensidade do pixel qi for menorou igual a intensidade do pixel qj . Dessa forma, obtem-seq(1) ≤ q(2) ≤ . . . ≤ q(N) para os pixels qi ∈ ΩN (p).Utiliza-se, entao, a amostra q(k) como sendo o valor restau-rado para o pixel central p, com k =

⌊N2

⌋.

2.3. Retoque Digital Atraves de uma EquacaoDiferencial Parcial de Quarta Ordem

You e Kaveh [11], objetivando a eliminacao de ruıdoem imagens em escala de cinza, propuseram um modelobaseado em uma equacao diferencial parcial de quarta or-dem, a partir da minimizacao do funcional

E(u) =∫

Ω

f(|∇2u|)dxdy, (2)

sendo ∇2 o operador Laplaciano; f(.) ≥ 0 e crescente, ouseja, f ′(.) > 0; Ω a regiao onde a imagem u esta definida.Ao funcional (2), associaram o coeficiente de difusao

c(s) =f ′(s)

s· (3)

Utilizando a equacao de Euler-Lagrange, a partir do funcio-nal (2) e do coeficiente de difusao (3), apresentaram paraeliminar ruıdos a equacao diferencial parcial de quarta or-dem

∂u

∂t= −∇2[c(|∇2u|)∇2u], (4)

na qual a condicao inicial e a imagem com ruıdo.Com o objetivo de aplicar de tal modelo ao problema de

retoque digital, os autores Barcelos, Oliveira e Boaventura[2] propuseram a utilizacao da funcao

f(s) =12s2, (5)

de modo a obter o correspondente coeficiente de difusaoc(s) = 1 e, consequentente, a seguinte equacao diferencial

∂u

∂t= −∇2[∇2u], (6)

destinada ao processo de retoque digital, em que a imagemcom ruıdo e a condicao inicial.

Uma solucao numerica da equacao diferencial (6)e obtida por meio de um metodo computacional,pois, do ponto de vista pratico, nao e viavel obteruma solucao analıtica para cada imagem a ser restau-rada. Uma implementacao numerica pode ser obtidapor meio do metodo de diferencas finitas, o qual con-siste em realizar uma discretizacao do domıno e, com isso,obter aproximacoes discretizadas para as derivadas pre-sentes na equacao diferencial (6). A aplicacao do metodo dediferencas finitas resulta em um processo iterativo, em ter-mos da variavel temporal t, para os pixels uij ∈ Ωd, dadopela equacao

u(t+1)ij = u

(t)ij −∆t∇2v

(t)ij (7)

com v(t)ij = ∇2u

(t)ij = ui+1j +ui−1j +uij+1+uij−1−4uij ,

para t = 0, 1, 2, . . . , tf , em que tf e escolhido de modo aobtermos melhores resultados no processo de retoque, ∆te o passo utilizado na discretizacao da variavel temporal,Ωd e o conjunto de pontos detectados como ruıdo, isto e, odomınio de retoque, e u(0) e a imagem a ser restaurada.

2.4. Metodo Proposto para Restauracao de Ima-gens Coloridas

Com base nos metodos de deteccao de ruıdo impulsivo,do filtro mediano modificado (FMM) e de retoque digital,propomos um metodo de restauracao de imagens colori-das para eliminacao de ruıdo impulsivo de acordo com osseguintes passos:

1. detectar, separadamente, o ruıdo impulsivo em cadacanal de cor;

2. aplicar o filtro mediano modificado em cada canal decor, considerando a identificacao obtida no passo 1;

3. utilizar a imagem obtida no passo 2 como imageminicial para o metodo de retoque digital, em que odomınio de retoque e composto pelos pixels identifi-cados como ruıdo no passo 1.

A Figura 3 apresenta um diagrama como os passos realiza-dos no metodo proposto.

Figura 3. Etapas do metodo proposto.

3. Resultados Experimentais

A seguir sao apresentados experimentos realizados comimagens 512 × 512 24-bits RGB da modelo Lena, a fim deremover o ruıdo impulsivo e preservar suas caracterısticasoriginais. Para isto, a imagem original foi contaminadacom ruıdo impulsivo, em que a densidade de ruıdo, ρ, in-dica a taxa de pıxels da imagem que serao alterados com

Nıvel ruıdo 10 % 20 %

PSNR MAE NCD PSNR MAE NCD

AHDF 30.24 4.44 0.0377 24.52 07.70 0.0647AVMF 30.38 2.12 0.0215 24.64 05.28 0.0528BVDF 28.68 4.85 0.0379 22.35 08.42 0.0654CWVMF 25.59 3.40 0.0327 18.49 11.18 0.1098DDF 30.34 4.20 0.0360 25.03 06.57 0.0577FVDF 30.45 4.41 0.0365 24.37 07.42 0.0609FPGVFvmf 30.86 2.03 0.0186 25.02 05.16 0.0476SMF 31.96 1.75 0.0230 24.52 03.44 0.0566SVMF 31.78 1.99 0.0172 25.53 04.98 0.0449SVMOC 32.62 1.11 0.0137 31.66 01.77 0.0197SCWVDF 28.13 2.38 0.0197 21.04 07.55 0.0627VLUM 29.17 2.16 0.0217 22.31 06.50 0.0660VMF 30.31 4.20 0.0363 24.98 06.61 0.0585FMM 35.36 0.72 0.0146 32.20 01.47 0.0277Proposto 43.72 0.26 0.0053 41.88 00.51 0.0099

Tabela 1. Comparacao da performance emtermos de PSNR, MAE e NCD para imagemda Lena.

Nıvel ruıdo 30 % 50 % 70 % 90 %

PSNR SMF 19.42 13.08 09.12 06.47FMM 30.61 28.81 26.84 23.77Proposto 39.77 36.27 32.64 27.33

MAE SMF 7.30 24.22 55.49 98.53FMM 2.15 03.36 04.97 08.01Proposto 0.82 01.58 02.78 05.59

NCD FMM 0.0381 0.0530 0.0703 0.1067Proposto 0.0147 0.0244 0.0374 0.0686

Tabela 2. Comparacao da performance emtermos de PSNR, MAE e NCD para imagemda Lena com valores maiores de ρ.

ruıdo. Um pixel alterado contem um valor impulso (0 ou255) em, pelo menos, um de seus canais de cor (vermelho,verde ou azul). Os experimentos realizados neste trabalhoforam obtidos atraves de implementacoes em linguagem Ce, tambem, com o auxılio do programa Matlab, em que omodelo de ruıdo impulsivo foi simulado por meio da funcao

imnoise(Imagem, ‘salt & pepper’, D) (8)

em que D e a densidade de ruıdo. Neste trabalho, foramconsiderados os valores h = 2, τ = 0.65 e g = 16 paraos parametros do metodo de deteccao, como indicados notrabalho original [3], N = 8 para o FMM, ∆t = 0.1 como

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4. (a) Imagem com 10% de ruıdo impul-sivo; (b) SMF; (c) FMM; (d) metodo proposto.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 5. (a) Imagem com 20% de ruıdo impul-sivo; (b) SMF; (c) FMM; (d) metodo proposto.

passo temporal e tf = 100 para o numero de iteracoes nometodo de retoque digital.

Alem do FMM e do metodo proposto, o SMF tambem foiutilizado nos experimentos. Para efeito de comparacao, con-sideramos os resultados obtidos em imagens com ρ = 0.1e ρ = 0.2 para o SVMOC [12], para o metodo baseadono espaco de cor CIELAB, apresentado em [5] e denomi-nado neste trabalho por SMVF e os resultados para outrosfiltros apresentados tambem em [5].

Vale ressaltar que, para imagens coloridas, os resultadosapresentados na literatura sao, em geral, obtidos para ima-gens com densidades de ruıdo ρ ≤ 0.3. Porem, neste tra-balho apresentamos os resultados obtidos com o FMM e ometodo proposto para densidades de ruıdo maiores (ρ = 0.2e 0.1 ≤ ρ ≤ 0.9, com incremento de 0.2).

Utilizamos tres medidas quantitativas: peak signal-to-noise ratio (PSNR) [7], mean absolute error (MAE) [7] enormalized color difference (NCD) [10, 7] para avaliar aperformance do FMM e do metodo proposto e realizar acomparacao com os demais metodos, apresentada na Tabela1. Os resultados dos metodos SMF, FMM e do metodo pro-posto para 0.3 ≤ ρ ≤ 0.9 com incremento de 0.2 sao apre-sentados na Tabela 2.

As Figuras 4-9 ilustram a boa performance apre-sentada tanto pelo FMM quanto pelo metodo proposto.Porem, o metodo proposto mostra-se superior ao FMMna preservacao dos detalhes da imagem e, consequente-mente, nos resultados quantitativos.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6. (a) Imagem com 30% de ruıdo impul-sivo; (b) SMF; (c) FMM; (d) metodo proposto.

4. Conclusoes

No presente trabalho propoe-se uma modificacao do fil-tro mediano para imagens em escala de cinza, a partir dometodo de deteccao de ruıdo impulsivo proposto em [3],de modo que somente os pixels previamente classificadoscomo sendo pixels sem ruıdos sejam utilizados no processode restauracao, contribuindo, significativamente, para ummelhor desempenho do filtro mediano. Em conjunto com talfiltro, propoe-se a utilizacao de um metodo de retoque digi-tal para restaurar os pixels contaminados por ruıdo em umaimagem em escala de cinza. Combinando e estendendo-seos metodos citados para cada canal de cor de uma imagemcolorida obtemos um metodo para eliminacao de ruıdo im-pulsivo para tais imagens. Os resultados iniciais obtidos ateo momento foram bastante promissores e mostram que aaplicacao do metodo de retoque, utilizando-se como ima-gem inicial a imagem obtida com o filtro mediano modifi-cado, proporciona uma melhora notavel nos resultados.

5. Agradecimentos

Os autores agradecem o apoio financeiro concedido peloCNPq e pela CAPES.

Referencias

[1] J. Astola, P. Haavisto, and Y. Neuvo. Vector median filters.Proc. IEEE, 78:678–689, 1990.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 7. (a) Imagem com 50% de ruıdo impul-sivo; (b) SMF; (c) FMM; (d) metodo proposto.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 8. (a) Imagem com 70% de ruıdo impul-sivo; (b) SMF; (c) FMM; (d) metodo proposto.

[2] C. A. Z. Barcelos, M. Boaventura, and C. Oliveira.Eliminacao de ruıdos e retoque digital atraves de umaequacao diferencial parcial de quarta ordem. II Workshopde Visao Computacional, 2:337–342, 2006.

(a) (b)

(c) (d)

Figura 9. (a) Imagem com 90% de ruıdo impul-sivo; (b) SMF; (c) FMM; (d) metodo proposto.

[3] S. Chen, X. Yang, and G. Cao. Impulse noise suppressionwith an augmentation of ordered difference noise detectorand an adaptive variational method. Pattern Recognition Let-ters, 30:460–467, Marco 2009.

[4] R. C. Gonzalez and R. E. Woods. Digital Image Processing2nd ed. Englewood Cliffs, 2000.

[5] L. Jin and D. Li. A switching vector median filter basedon the cielab color space for color image restoration. Sig-nal Processing, 87:1345–1354, 2007.

[6] S. A. Kassam and H. Poor. Robust techniques for signal pro-cessing: a survey. Proc. IEEE, 73:433–481, 1985.

[7] R. Lukac and K. N. Plataniotis. A taxonomy of color imagefiltering and enhancement solutions. Adv. Imaging ElectronPhys., 140:187–264, 2006.

[8] I. Pitas and A. N. Venetsanopoulos. Nonlinear Digital Fil-ters: Principles and Applications. Kluwer Academic Pub-lisher, Boston, 1990.

[9] I. Pitas and A. N. Venetsanopoulos. Order statistics in digitalimage processing. Proc. IEEE, 80:1893–1921, 1992.

[10] K. N. Plataniotis and A. N. Venetsanopoulos. Color ImageProcessing and Applications. Springer, Berlin, 2000.

[11] Y. L. You and M. Kaveh. Fourth-order differential equationsfor noise removal. IEEE Trans. Image Processing, 9:1723–1730, 2000.

[12] H. Zhaou and K. Z. Mao. An impulsive noise color imagefilter using learning-based color morphological operations.Digital Signal Processing, 18:406–421, 2008.