ElipseSecciones Cnicas*

ElipseUn plano que intersecta una rama de un cono a un ngulo dado resulta en una elipse.*

La ElipseDurante muchos siglos se consider que las orbitas de los planetas eran circunferencias, con la Tierra como centro. Pero estudiando las observaciones hechas por Tycho Brahe sobre el movimiento del planeta Marte, Kepler descubri en 1610, que los planetas giran alrededor del Sol de modo que sus trayectorias son elpticas y el sol ocupa uno de los focos.*

Elipse - DefinicinUna elipse es el lugar geomtrico de un punto que se mueve en un plano tal que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es constante. d1 + d2 = un valor constante. *

El segmento F1F2 que tiene por extremos a los focos F1 y F2 se llama lnea focal o segmento focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2c. Por lo que, la distancia del centro C de la elipse a cada uno de los focos es igual a c.Los puntos de interseccin de la elipse con la lnea recta que pasa por los focos, se llaman vrtices de la elipse, y se les denota como V1 y V2. El segmento V1V2 que tiene por extremos a los vrtices V1 y V2 se llama eje mayor o eje focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2a.La cuerda B1B2 perpendicular al eje focal por el centro C de la elipse, se llama eje menor o eje no focal de la elipse, y tiene una longitud igual a 2b.Segmentos y puntos notables de una elipseCada cuerda PQ perpendicular al eje focal por alguno de los focos de una elipse, se llama lado recto de la elipse.

Hallando la EcuacinElipse*

Elipse - EcuacinPara hallar la ec. de una elipse, con centro en (0, 0). Los vrtices sobre los ejes estn en (a, 0), (-a, 0), (0, b) y (0, -b). Los focos en (c, 0) y (-c, 0). *

Elipse - EcuacinDe acuerdo con la definicin. La suma de las distancias desde los focos a cualquier punto sobre la elipse es una constante. *

Elipse - EcuacinLa distancia desde los focos al punto (a, 0) es 2a. Por qu? *

Elipse - EcuacinLa distancia desde (c, 0) a (a, 0) es la misma que de (-a, 0) a (-c, 0). *

Elipse - EcuacinLa distancia desde (-c, 0) a (a, 0) sumada con la distancia de (-a, 0) a (-c, 0) es la misma que la que hay de (-a, 0) a (a, 0) la cual es 2a.*

Elipse - EcuacinPor lo tanto, d1 + d2 = 2a. Usando frmula de distancia,*

Elipse - EcuacinSimplificando:Elevando al cuadrado ambos lados.Restando y2 y desarrollando los binomios.*

Elipse - EcuacinSimplificando:Resolver para el trmino con raz cuadrada.Elevando al cuadrado ambos lados.*

Elipse - EcuacinSimplificando:Agrupando trminos.*

Elipse - EcuacinSimplificando:Dividiendo ambos lados por a2(c2-a2)*

Elipse - EcuacinEn este punto, hagamos una pausa e investiguemos a2 c2.Multiplicando el signo por el denominador.*

Elipse - Ecuacind1 + d2 debe ser igual a 2a. Sin embargo, el tringulo formado es un tringulo issceles y d1 = d2. Por consiguiente, d1 y d2 para el punto (0, b) deben ser igual a a.*

F1(-c, 0)F2(c, 0)Elipse EcuacinLa Propiedad Pitagricabcaa2 = b2 + c2b2 = a2 - c2c2 = a2 - b2Longitud eje mayor: 2aLongitud eje menor: 2bVrtices: (a, 0) y (-a, 0)Focos: (-c, 0) y (c, 0)*

Elipse - EcuacinAhora sabemos..y b2 + c2 = a2b2 = a2 c2Sustituyendo por a2 - c2donde c2 = |a2 b2|*

Elipse - EcuacinLa ecuacin de una elipse con centro en (0, 0) es .donde c2 = |a2 b2| y c es la distancia desde el centro a los focos.Cambiando la grfica h unidades a la derecha y k unidades arriba, el centro est en (h, k) y la ec. esdonde c2 = |a2 b2| y c es la distancia desde el centro a los focos.*

Elipse - Graficandodonde c2 = |a2 b2| y c es la distancia desde el centro a los focos.Los vrtices estn a unidades en la direccin x y b unidades en la direccin y.aabbLos focos estn c unidades en la direccin del eje ms grande (mayor).cc*

La Excentricidad de la ElipseLa forma de ver que tan alargada est una elipse, es mediante su excentricidad (e), la cual se define como el cociente de la longitud del segmento focal (2c) entre la longitud del eje focal (2a). O sea:*

Ecuacin General de la ElipseAl desarrollar los binomios al cuadrado, quitando denominadores, ordenando la ecuacin de la elipse e igualando a cero, encontramos la ecuacin equivalente , llamada Ecuacin General de la Elipse.A

Grfica - Ejemplo #1Elipse*

Elipse - GraficandoGraficar:Centro:(2, -3)Distancia a vrtices en direccin x: 4Distancia a vrtices en direccin y: 5Distancia a focos: c2=|16 - 25| c2 = 9 c = 3*a = 5; b = 4

Elipse - GrficaGraficar:Centro:(2, -3)Distancia a vrtices direccin x: 4Distancia a vrtices direccin y: 5Distancia a focos: c2=|16 - 25| c2 = 9 c = 3*

Grfica Ej. #2Elipse*

a) x2 + 4y2 - 2x + 8y - 11 = 0 x2 + 4y2 - 2x + 8y - 11 = 0 (x2 - 2x ) + (4y2 + 8y) - 11 = 0(x2 - 2x + _____) + 4(y2 + 2y + _____) = 11 + _____ + _____1114(x - 1)2 + 4(y + 1)2 = 16h = k = a = b = 1-1 4 2Puesto que el mayor denominador est bajo x2, el eje mayor es para-lelo al eje x.c2 = a2 - b2 = 42 - 22 = 16 - 4 = 12El centro est en (1, -1).Los vrtices estn en (-3, -1) y (5, -1)Extremos del eje menor (1, 1) y (1, -1)Los focos enLongitud del eje mayor 2a = 8 unidades.Longitud del eje menor 2b = 4 unidades. Anlisis de la Elipse [cont.]y

x2 + 4y2 - 2x + 8y - 11 = 0F1F2Bosquejando la grfica de la Elipse [cont.]C (1, -1)V(-3, -1); V(5, -1)B(1, -3); B(1, 1)(1, -1)

Ellipse - GraphingGraph:Grouping, factoring and complete the squares.*

Ellipse - GraphingGraph:Center:(-1, 3)Distance to vertices in x direction: Distance to vertices in y direction: Distance to foci: c2=|25 - 10| c2 = 15 c =5*

Find An EquationEllipse*

Ellipse Find An EquationFind an equation of an ellipse with foci at (-1, -3) and (5, -3). The minor axis has a length of 4. The center is the midpoint of the foci or (2, -3). The minor axis has a length of 4 and the vertices must be 2 units from the center. Start writing the equation. *

Ellipse Find An Equationc2 = |a2 b2|. Since the major axis is in the x direction, a2 > 49 = a2 4a2 = 13 Replace a2 in the equation.*

Ellipse Find An EquationThe equation is:*

Ellipse TableCenter:(h, k)Vertices:Foci:c2 = |a2 b2|If a2 > b2If b2 > a2*