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Universidade do Estado do Pará Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação Centro de Ciências Sociais e Educação Programa de Pós-Graduação em Educação
Elise Cristina Pinheiro da Silva Pires
O ensino da Geometria Analítica por meio de
atividades
Belém 2017
Elise Cristina Pinheiro da Silva Pires
O ensino da Geometria Analítica por meio de atividades
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação, na linha Formação de Professores e Práticas Pedagógicas da Universidade do Estado do Pará, sob orientação da Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.
Belém 2017
Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP) Biblioteca do CCCSE/UEPA, Belém - PA
Pires, Elise Cristina Pinheiro da Silva O ensino da geometria analítica por meio de atividades /Elise Cristina
Pinheiro da Silva; orientação de Pedro Franco de Sá, 2017 Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2017.
1. Geometria analítica. 2. Ensino por atividades. 3. Educação
matemática. I. Sá, Pedro Franco (orient.). II. Título. CDD. 22º ed. 516.3
Elise Cristina Pinheiro da Silva Pires
O ensino da Geometria Analítica por meio de atividades
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Educação da Universidade do Estado do Pará como exigência parcial para obtenção do título de Mestre em Educação, na linha Formação de Professores e Práticas Pedagógicas da Universidade do Estado do Pará, sob orientação da Prof. Dr. Pedro Franco de Sá.
Banca Examinadora ___________________________________ - Orientador Prof. Dr. Pedro Franco de Sá Doutor em Educação - Universidade Federal do Rio Grande do Norte Universidade do Estado do Pará
___________________________________ - Membro externo Prof. Dr. João Claúdio Brandemberg Quaresma Doutor em Educação – Universidade Federal do Rio Grande do Norte Universidade Federal do Pará
___________________________________ - Membro interno Prof. Dr. Fábio José da Costa Alves Doutor em Geofísica – Universidade Federal do Pará Universidade do Estado do Pará/Universidade da Amazônia
Aos membros de minha família, Estelita, Josué, Henrique e Felipe
que são meus principais motivadores na vida e na minha
trajetória docente.
AGRADECIMENTOS
A Deus, que me proporciona, todos os dias, saúde e fé para seguir o caminho
docente com esperança.
Aos meus pais, Estelita Pinheiro da Silva e Carlos Neri da Silva (In memorian)
e minha irmã Eliane Silva, que me proporcionaram condições para superar os
obstáculos da vida, me dando amor e incentivo em minhas escolhas.
Ao esposo Josué Pires, pelo amor e apoio em todos os momentos de minha
vida. Aos meus filhos, Henrique e Felipe Pires, pelo carinho e paciência comigo
nessa fase da vida.
Aos meus familiares, em especial Benedita Pinheiro (In memorian), Orlando
Flexa (In memorian), tios, tias, primas e primos que me apoiaram em todos os
momentos difíceis, com palavras motivadoras, conselhos inspiradores e a
compreensão fraterna nos momentos de ausência.
Ao meu orientador, Professor Doutor Pedro Sá, pela sua dedicação,
paciência e amor ao seu trabalho, permitindo compartilhar momentos de
aprendizado que levarei para sempre em meu caminhar acadêmico e pessoal.
Aos professores doutores Fábio Alves, João Cláudio Brandemberg e Rosana
Gessinger, pelas contribuições valiosas a essa pesquisa.
Aos meus amigos, em especial Nazaré Moraes, Louriane Lima, Glaúcia
Mesquita, Denize Souza, Socorro Carvalho, Gilson Farias e Edna Santos, assim
como a minha cunhada Francilene Pires, pelos conselhos generosos, pelo carinho
e auxílio fraterno em minha trajetória profissional e pessoal.
Aos meus colegas de turma, em especial a Neusa Santos, Rosana Correa,
Lanna Rodrigues, Luciane Tavares e Adrielle Lopes, pelo carinho, por me permitirem
viver momentos prazerosos durante esse período, que enriqueceu minha rede de
conhecimento.
À Universidade do Estado do Pará, e em especial ao programa de Pós-
graduação em Educação (PPGED-UEPA) e a professora e coordenadora do
mestrado Ivanilde Apoluceno, pela oportunidade. Aos funcionários desse mestrado,
Jorge (nosso Jorginho), Joaquim e o Carlos, pelo apoio e profissionalismo.
À escola, alunos e professores que colaboraram ao desenvolvimento dessa
pesquisa.
RESUMO
PIRES, Elise Cristina Pinheiro da Silva. O ensino da Geometria Analítica por meio de atividades. 2016. 347 f. Dissertação (Mestrado em Educação) - Universidade do Estado do Pará, Belém, 2017.
Este trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa baseada na Engenharia Didática (Artigue, 1996) como metodologia de pesquisa e teve como o objetivo analisar as potencialidades de uma sequência didática ao ensino da Geometria Analítica na educação básica por meio do ensino da matemática por atividades (Sá,2009). Essa pesquisa se desenvolveu em quatro fases. As análises prévias, primeira fase, foi composta por uma revisão de estudos; um breve levantamento histórico; consulta a discentes belenenses e a docentes paraenses sobre o processo de ensino e aprendizagem da geometria analítica, sendo que revelaram, dentre outras informações, que os alunos consideraram “regulares” os conhecimentos acerca de ponto, reta e circunferência, contudo obtiveram, no teste diagnóstico, média inferior a um, na escala de 0 a 10, indicando uma deficiência nos conhecimentos de base, como ponto, sistema de eixos cartesianos e distância entre pontos. A segunda etapa, concepção e análise a priori, teve como base as análises prévias e como resultado a proposta de uma sequência didática constituída por 20 atividades para abordar os conteúdos acerca de ponto, reta e circunferência, 2 testes (Pré-teste e Pós-teste) e 9 atividades de fixação. A terceira fase da pesquisa, a experimentação, teve a finalidade de aplicar a sequência didática elaborada e aconteceu em uma Escola Estadual do município de Belém-Pará, com 29 alunos do terceiro ano do nível médio, onde tivemos como um dos resultados a melhora no desempenho dos alunos em relação a aprendizagem da geometria analítica. A quarta fase da pesquisa, análise a posteriori e validação, com o objetivo de analisar as informações geradas na experimentação, assim como comparar os resultados com as análises a priori, verificamos que a sequência didática teve validação positiva uma vez que a maioria das atividades foram consideradas válidas e que houve um avanço de 47% em relação aos testes realizados. Palavras-chave: Geometria Analítica. Ensino por Atividades. Ensino da Geometria Analítica. Educação Matemática.
ABSTRACT
Pires, Elise Cristina Pinheiro da Silva. The Teaching of Analytic Geometry by Activities. 2016. 347 f. Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2017. This research study aims to analyze the potentialities of a didactic sequence applied to the teaching of analytic geometry by activities in Brazil’s basic education according to the theoretical work of Sá (2009). Its methodology has been designed as a didactic engineering study (Artigue, 1996) developed in four phases. In the first one, a literature review and a brief historical survey have been done; also, a consult with students of Belém city and teachers of the state of Pará to discuss the teaching-learning process of analytic geometry. This first stage has revealed students’ lack of knowledge on fundamental contents to geometry, such as points, Cartesian coordinate system and distance between points. Although students consider themselves to have an average knowledge about the contents points, lines and circumference, they have scored below one (a lot less than average) on the diagnostic test given. The second phase of the research has been about the conception and the a priori analysis based on the previous data collected. As a result of phase two, not only a didactic sequence with 20 activities has been done (to address the contents points, lines and circumference), but also 1 pretest and 1 posttest. Furthermore, the a priori analysis has been done for it one of the activities listed before. The third phase will be the application of the didactic sequence to 29 high school students at a public school located in Belém, where we had as a result of the improvement in student performance in relation to learning of Analytic Geometry. Finally, the fourth will be the a posteriori analysis and the evaluation with the main objective of both analyzing and comparing the third phase results with second phase ones. Statistics resources will be used, such as tables, comparative graphs and the test of hypothesis to analyze the pretest and posttest, in order to perform the evaluation and that there was an advance of 47% in relation to the tests performed.
Keywords: Analytic Geometry. Teaching by Activities. Teaching of Analytic Geometry. Mathematics Education.
LISTA DE IMAGENS
Imagem 1- Maquete do campo de futebol quadriculado 43
LISTA DE TABELAS
Tabela 1- Escolaridade dos responsáveis dos discentes consultados 49 Tabela 2- Gosto pela Matemática (Discentes de Belém) 50 Tabela 3- Motivos das distrações nas aulas de Matemática 52 Tabela 4- Frequência de estudo em Matemática 53 Tabela 5- Abordagem do conteúdo matemático, conforme os discentes 55 Tabela 6- Fixação do conteúdo matemático, de acordo com os discentes 57 Tabela 7- Estudo do Bloco 1, conforme os discentes 60 Tabela 8- Estudo do Bloco 2, conforme os discentes 61 Tabela 9- Estudo do Bloco 3, conforme os discentes 62 Tabela 10- Estudo do Bloco 4, conforme os discentes 63 Tabela 11- Estudo do Bloco 5, conforme os discentes 64 Tabela 12- Faixa etária dos docentes paraenses 78 Tabela 13- Tempo de serviço dos docentes 79 Tabela 14- Ensino e exercício dos conteúdos, conforme os docentes 85
Tabela 15- Carga-horária que os docentes trabalham com a Geometria Analítica
88
Tabela 16- Grau de dificuldade para aprender, conforme os docentes – Bloco 1
90
Tabela 17- Grau de dificuldade para aprender, conforme os docentes – Bloco 2
91
Tabela 18- Grau de dificuldade para aprender, conforme os docentes – Bloco 3
92
Tabela 19- Grau de dificuldade para aprender, conforme os docentes – Bloco 4
94
Tabela 20- Grau de dificuldade para aprender, conforme os docentes – Bloco 5
95
Tabela 21 Avaliação das questões, conforme os docentes 97 Tabela 22 Idades dos participantes da experimentação 148 Tabela 23 Responsáveis pelos participantes da experimentação 149
Tabela 24 Escolaridade dos responsáveis pelos participantes da experimentação
150
Tabela 25 Ensino fundamental dos participantes da experimentação 151 Tabela 26 Declaração dos alunos sobre afinidade com Matemática 152 Tabela 27 Frequência de estudos dos participantes da experimentação 153
Tabela 28 Auxílio em casa nas tarefas dos participantes da experimentação
154
Tabela 29 Categorias de conclusões da atividade 3 163 Tabela 30 Categorias de conclusões da atividade 4 165 Tabela 31 Categorias de conclusões da atividade 5 166 Tabela 32 Categorias de conclusões da atividade 6 170 Tabela 33 Categorias de conclusões da atividade 7 174 Tabela 34 Categorias de conclusões da atividade 8 177 Tabela 35 Categorias de conclusões da atividade 9 181 Tabela 36 Categorias de conclusões da atividade 10 182 Tabela 37 Categorias de conclusões da atividade 11 185 Tabela 38 Categorias de conclusões da atividade 12 188 Tabela 39 Categorias de conclusões da atividade 13 191 Tabela 40 Categorias de conclusões da atividade 14 193
Tabela 41 Categorias de conclusões da atividade 15 196 Tabela 42 Categorias de conclusões da atividade 16 199 Tabela 43 Categorias de conclusões da atividade 17 201 Tabela 44 Categorias de conclusões da atividade 18 204 Tabela 45 Categorias de conclusões da atividade 19 207 Tabela 46 Categorias de conclusões da atividade 20 210 Tabela 47 Tempo de realização das atividades 213 Tabela 48 Desempenho nos testes e a diferença entre as notas 219 Tabela 49 Intensidade dos coeficientes de Pearson (r) 220
Tabela 50 Escolaridade dos responsáveis (valores parametrizados) x diferença de notas
221
Tabela 51 Afinidade pela Matemática (valores parametrizados) x diferença de notas
222
Tabela 52 Frequência de estudos (valores parametrizados) x diferença de notas
223
Tabela 53 Dificuldade em Matemática (valores parametrizados) x diferença de notas
224
Tabela 54 Distração nas aulas (valores parametrizados) x diferença de notas
225
Tabela 55 Auxílio nas tarefas de casa de Matemática (valores parametrizados) x diferença de notas
226
Tabela 56 Rede de ensino no nível fundamental (valores parametrizados) x diferença de notas
227
Tabela 57 Notas em Matemática (valores parametrizados) x diferença de notas
228
Tabela 58 Correlações entre a diferença de notas e as variáveis socioeconômicas
229
Tabela 59 Presenças nas aulas de experimentação x notas no Pós-teste 230 Tabela 60 Erros conceituais e procedimentais no Pós-teste 246 Tabela 61 Valores relativos dos erros dos testes no decorrer da pesquisa 254
Tabela 62 Valores relativos das questões em branco dos testes no decorrer da pesquisa
255
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1- Responsáveis pelos discentes 48 Gráfico 2- Escolaridade dos responsáveis 49 Gráfico 3- Cursos extracurriculares 50 Gráfico 4- Gosto pela Matemática 51 Gráfico 5- Afinidade com Matemática conforme pesquisas entre 2012
a 2014 51
Gráfico 6- Motivos das distrações nas aulas de Matemática 53 Gráfico 7- Frequência de Estudos em Matemática 54 Gráfico 8- Auxílio nas tarefas de casa 55 Gráfico 9- Abordagem do conteúdo matemático, conforme os
discentes 55
Gráfico 10- Abordagem do conteúdo matemático conforme pesquisas entre 2012 a 2014
56
Gráfico 11- Fixação do conteúdo matemático segundo os discentes 57 Gráfico 12- Modo de fixação do conteúdo matemático conforme
pesquisas entre 2012 a 2014 58
Gráfico 13- Estudo do bloco 1 conforme os discentes 61 Gráfico 14- Estudo do bloco 2 conforme os discentes 62 Gráfico 15- Estudo do bloco 3 conforme os discentes 63 Gráfico 16- Estudo do bloco 4 conforme os discentes 64 Gráfico 17- Estudo do bloco 5 conforme os discentes 65 Gráfico 18- Grau de dificuldade para aprender conforme os discentes
– bloco 1 67
Gráfico 19- Grau de dificuldade para aprender conforme os discentes – bloco 2
69
Gráfico 20- Grau de dificuldade para aprender conforme os discentes – bloco 3
70
Gráfico 21- Grau de dificuldade para aprender conforme os discentes – bloco 4
71
Gráfico 22- Grau de dificuldade para aprender conforme os discentes – bloco 5
73
Gráfico 23- Acertos e erros das questões do teste diagnóstico 75 Gráfico 24- Notas do teste diagnóstico dos alunos consultados 76 Gráfico 25- Faixa etária dos docentes paraenses 78 Gráfico 26- Tempo de serviço docente 79 Gráfico 27- Escolaridade dos docentes 80 Gráfico 28- Professores que ensinam da mesma maneira que
aprenderam 81
Gráfico 29- Modo como os professores aprenderam geometria na educação básica
82
Gráfico 30- Modos de ensinar conforme os docentes 83 Gráfico 31- Modo de fixação conforme os docentes 84 Gráfico 32- Modo de ensinar, conforme pesquisas entre 2012 a 2015,
segundo docentes 86
Gráfico 33- Modo de exercitar conteúdos conforme pesquisa entre 2012 a 2015, segundo docentes
87
Gráfico 34- Carga-horária que os docentes trabalham com a Geometria Analítica
88
Gráfico 35- Grau de dificuldade para aprender conforme os docentes – bloco 1
90
Gráfico 36- Grau de dificuldade para aprender conforme os docentes – bloco 2
92
Gráfico 37- Grau de dificuldade para aprender conforme os docentes – bloco 3
93
Gráfico 38- Grau de dificuldade para aprender conforme os docentes – bloco 4
94
Gráfico 39- Grau de dificuldade para aprender conforme os docentes – bloco 5
96
Gráfico 40- Avaliação das questões conforme os docentes 97 Gráfico 41- Idade x gênero dos participantes da experimentação 149 Gráfico 42- Responsáveis pelos participantes da experimentação 150 Gráfico 43- Escolaridade dos responsáveis pelos participantes da
experimentação 151
Gráfico 44- Ensino fundamental dos alunos participantes da experimentação
152
Gráfico 45- Gosto pela Matemática entre os participantes da experimentação
152
Gráfico 46- Frequência de estudo dos participantes da experimentação
153
Gráfico 47- Frequência de estudo dos alunos conforme pesquisas no estado do Pará, entre 2013 a 2016
154
Gráfico 48- Auxílio nas tarefas em casa de Matemática 155 Gráfico 49- Auxílio nas tarefas de casa conforme pesquisas entre
2013 a 2016 155
Gráfico 50- Resultados do Pré-teste por questão 157 Gráfico 51- Resultados no Pós-teste por questão 213 Gráfico 52- Tempo de realização das atividades de abordagem dos
conteúdos em Geometria Analítica 215
Gráfico 53- Tempo de realização das listas de questões da experimentação
216
Gráfico 54- Dispersão entre notas em função da presença 231 Gráfico 55- Valores relativos dos acertos nos testes no decorrer da
pesquisa 245
Gráfico 56- Valores relativos dos erros, por questão, nos testes no decorrer da pesquisa
254
Gráfico 57- Valores relativos das questões em branco dos testes no decorrer da pesquisa
255
Gráfico 58- Desempenho dos alunos nos testes 257
LISTA DE QUADROS
Quadro 1- Trabalhos selecionados à revisão de estudos 31 Quadro 2- Grau de dificuldade dos conteúdos 39 Quadro 3- Responsáveis pelos discentes 48 Quadro 4- Cursos extracurriculares 50 Quadro 5- Auxílio nas tarefas de casa 54 Quadro 6- Grau de dificuldade para aprender, conforme os discentes –
Bloco 1 66
Quadro 7- Grau de dificuldade para aprender, conforme os discentes – Bloco 2
68
Quadro 8- Grau de dificuldade para aprender, conforme os discentes – Bloco 3
69
Quadro 9- O grau de dificuldade para aprender, conforme os discentes – Bloco 4
71
Quadro 10- Grau de dificuldade para aprender, conforme os discentes – Bloco 5
72
Quadro 11- Características das questões do teste diagnóstico 74 Quadro 12- Acertos e erros das questões do teste diagnóstico 74 Quadro 13- Professores que ensinam da mesma maneira que
aprenderam 81
Quadro 14- Modo como os professores aprenderam Geometria Analítica na educação básica
82
Quadro 15- Modo de ensinar conforme os docentes 83 Quadro 16- Modo de fixação, conforme os docentes 84 Quadro 17- Dificuldade de aprendizagem em relação ao bloco 1,
conforme alunos e professores 99
Quadro 18- Dificuldade de aprendizagem em relação ao bloco 2, conforme alunos e professores
100
Quadro 19- Dificuldade de aprendizagem em relação ao bloco 3, conforme alunos e professores
101
Quadro 20- Dificuldade de aprendizagem em relação ao bloco 4, conforme alunos e professores
103
Quadro 21- Dificuldade de aprendizagem em relação ao bloco 5, conforme alunos e professores
104
Quadro 22- Fonte e ano das questões da lista 1 139 Quadro 23- Fonte e ano das questões da lista 2 140 Quadro 24- Fonte e ano das questões da lista 3 140 Quadro 25- Fonte e ano das questões da lista 4 141 Quadro 26- Fonte e ano das questões da lista 5 142 Quadro 27- Fonte e ano das questões da lista 6 143 Quadro 28- Fonte e ano das questões da lista 7 143 Quadro 29- Fonte e ano das questões da lista 8 144 Quadro 30- Fonte e ano das questões da lista 9 145 Quadro 31- Atividades realizadas x número de aulas da experimentação 146 Quadro 32- Desempenho individual dos alunos no Pré-teste 156 Quadro 33- Resultados do Pré-teste por questão 157 Quadro 34- Respostas da atividade 1 relacionadas a localização 159 Quadro 35- Desempenho individual dos alunos no Pós-teste 211 Quadro 36- Resultados do Pós-teste por questão 212
Quadro 37- Parametrização da escolaridade dos responsáveis 221 Quadro 38- Parametrização da afinidade em Matemática 222 Quadro 39- Parametrização da frequência de estudo em Matemática 223 Quadro 40- Parametrização da dificuldade em Matemática 224 Quadro 41- Parametrização da distração nas aulas de Matemática 225 Quadro 42- Parametrização do auxílio nas tarefas de casa de
Matemática 226
Quadro 43- Parametrização da rede de ensino no nível fundamental 227 Quadro 44- Parametrização das notas em Matemática 228 Quadro 45- Acertos realizados na primeira questão do pós-teste 237 Quadro 46- Acertos realizados na segunda questão do pós-teste 238 Quadro 47- Acertos realizados na terceira questão do pós-teste 239 Quadro 48- Acertos realizados na quarta questão do pós-teste 240 Quadro 49- Acertos realizados na quinta questão do pós-teste 242 Quadro 50- Acertos realizados na sexta questão do pós-teste 243 Quadro 51- Acertos realizados na sétima questão do pós-teste 243 Quadro 52- Acertos realizados na oitava questão do pós-teste 244 Quadro 53- Erros cometidos na primeira questão do pós-teste 247 Quadro 54- Erro cometido na segunda questão do pós-teste 248 Quadro 55- Erros cometidos na terceira questão do pós-teste 249 Quadro 56- Erros cometidos na quarta questão do pós-teste 249 Quadro 57- Erros cometidos na quinta questão do pós-teste 250 Quadro 58- Erros cometidos na sexta questão do pós-teste 252 Quadro 59- Erros cometidos na sétima questão do pós-teste 252 Quadro 60- Erros cometidos na oitava questão do pós-teste 253 Quadro 61- Comparação dos pré- e pós-testes 256 Quadro 62- Comparação da análise a priori com a posteriori das
atividades de abordagem dos conteúdos 258
Quadro 63- Comparação da análise a priori com a posteriori das atividades de fixação
263
Quadro 64- Comparação da análise a priori com a posteriori dos testes 265 Quadro 65- Comparativo dos acertos nos testes da pesquisa com o grau
de dificuldade indicada pelos docentes 269
LISTA DE FIGURAS
Figura 1- Organização didática dos livros didáticos conforme Andrade (2012)
36
Figura 2- Obra abstracionista utilizada por Segura (2013) 45 Figura 3- Sala de aula 158
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO 21
2 ANÁLISES PRÉVIAS 27
2.1 ASPECTOS HISTÓRICOS DA GEOMETRIA ANALÍTICA 27
2.2 ESTUDOS SOBRE O ENSINO DE GEOMETRIA ANALÍTICA 30
2.2.1 Estudos Diagnósticos 32
2.2.2 Estudos de propostas metodológicas 37
2.2.3 Estudos experimentais 41
2.3 CONSULTA AOS DISCENTES SOBRE O ENSINO E APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA ANALÍTICA
47
2.3.1 Perfil dos discentes 48
2.3.2 Avaliação discente acerca de sua aprendizagem em Geometria Analítica 59
2.3.3 Dados sobre o resultado do teste diagnóstico 73
2.4 CONSULTA AOS DOCENTES SOBRE O ENSINO E APRENDIZAGEM DE GEOMETRIA ANALÍTICA
77
2.4.1 Perfil dos docentes 78
2.4.2 Avaliação dos docentes sobre o aprendizado dos discentes em Geometria Analítica 89
2.4.2.1 Bloco 1 segundo docentes 89
2.4.2.2 Bloco 2 segundo docentes 91
2.4.2.3 Bloco 3 segundo docentes 92
2.4.2.4 Bloco 4 segundo docentes 93
2.4.2.5 Bloco 5 segundo docentes 95
2.4.3. Avaliação dos docentes sobre o teste pertencente ao questionário 96
3 CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI 107
3.1 ANÁLISE A PRIORI DO PRÉ-TESTE E PÓS-TESTE 109
3.2 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE A PRIORI DAS ATIVIDADES PARA ABORDAGEM DOS CONTEÚDOS EM GEOMETRIA ANALÍTICA
115
3.2.1 Atividade 1 – localização na sala de aula 115
3.2.2 Atividade 2 – localização de pontos no xadrez 116
3.2.3 Atividade 3 – plano cartesiano 119
3.2.4 Atividade 4 – Pontos sobre o eixo x 120
3.2.5 Atividade 5 – Pontos sobre o eixo y 121
3.2.6 Atividade 6 – Ponto médio 122
3.2.7 Atividade 7 – Baricentro 123
3.2.8 Atividade 8 – alinhamento de três pontos 124
3.2.9 Atividade 9 – distância entre dois pontos com as mesmas abscissas 125
3.2.10 Atividade 10 – distância entre dois pontos com as mesmas ordenadas
126
3.2.11 Atividade 11 – distância entre dois pontos quaisquer 127
3.2.12 Atividade 12 – declividade de reta 129
3.2.13 Atividade 13 – declividade em pontos distintos e colineares 130
3.2.14 Atividade 14 – equação da reta 131
3.2.15 Atividade 15 – equação geral da reta 132
3.2.16 Atividade 16 – Retas paralelas 133
3.2.17 Atividade 17 – Retas perpendiculares 134
3.2.18 Atividade 18 – equação da circunferência 135
3.2.19 Atividade 19 – distância de um ponto a reta 136
3.2.20 Atividade 20 – área do triângulo 137
3.3 ATIVIDADES DE FIXAÇÃO DOS CONTEÚDOS EM GEOMETRIA ANALÍTICA
138
3.3.1 Listas de Questões 138
3.3.1.1 Listas de Questões 1 138
3.3.1.2 Listas de Questões 2 139
3.3.1.3 Listas de Questões 3 140
3.3.1.4 Listas de Questões 4 141
3.3.1.5 Listas de Questões 5 142
3.3.1.6 Listas de Questões 6 142
3.3.1.7 Listas de Questões 7 143
3.3.1.8 Listas de Questões 8 144
3.3.1.9 Listas de Questões 9 145
4 EXPERIMENTAÇÃO 146
4.1 PRIMEIRO ENCONTRO 148
4.1.1 Perfil dos participantes da experimentação 148
4.1.2 Resultados do Pré-teste 156
4.1.3 Desenvolvimento da atividade 1 158
4.1.4 Desenvolvimento da atividade 2 160
4.2. SEGUNDO ENCONTRO 160
4.2.1 Desenvolvimento da atividade 3 161
4.3 TERCEIRO ENCONTRO 164
4.3.1 Desenvolvimento da atividade 4 164
4.3.2 Desenvolvimento da atividade 5 165
4.4 QUARTO ENCONTRO 166
4.5 QUINTO ENCONTRO 167
4.6 SEXTO ENCONTRO 171
4.6.1 Desenvolvimento da atividade 7 171
4.6.2 Desenvolvimento da atividade 8 174
4.7 SÉTIMO ENCONTRO 178
4.8 OITAVO ENCONTRO 178
4.8.1 Desenvolvimento da atividade 9 178
4.8.2 Desenvolvimento da atividade 10 181
4.9 NONO ENCONTRO 183
4.9.1 Desenvolvimento da atividade 11 183
4.9.2 Desenvolvimento da lista 3 186
4.10 DÉCIMO ENCONTRO 186
4.11 DÉCIMO PRIMEIRO ENCONTRO 187
4.11.1 Desenvolvimento da atividade 12 187
4.11.2 Desenvolvimento da atividade 13 189
4.12 DÉCIMO SEGUNDO ENCONTRO 191
4.13 DÉCIMO TERCEIRO ENCONTRO 193
4.14 DÉCIMO QUARTO ENCONTRO 194
4.15 DÉCIMO QUINTO ENCONTRO 194
4.16 DÉCIMO SEXTO ENCONTRO 196
4.16.1 Desenvolvimento da atividade 16 197
4.16.2 Desenvolvimento da atividade 17 199
4.17 DÉCIMO SÉTIMO ENCONTRO 201
4.18 DÉCIMO OITAVO ENCONTRO 202
4.18.1 Desenvolvimento da atividade 18 202
4.18.2 Desenvolvimento da lista de questões 6 204
4.19 DÉCIMO NONO ENCONTRO 205
4.19.1 Desenvolvimento da atividade 19 205
4.20 VIGÉSIMO ENCONTRO 207
4.21 VIGÉSIMO PRIMEIRO ENCONTRO 208
4.21.1 Desenvolvimento da atividade 20 208
4.21.2 Desenvolvimento da lista de questões 8 210
4.22 VIGÉSIMO SEGUNDO ENCONTRO 210
4.23 VIGÉSIMO TERCEIRO ENCONTRO 211
4.23.1 Resultados do Pós-teste 211
4.23.2 Tempo de realização das atividades 213
4.24 ENCONTRO PARA AVALIAÇÃO DAS ATIVIDADES 217
5 ANÁLISE A POSTEORI E VALIDAÇÃO 218
5.1 TESTE DE HIPÓTESES 218
5.2 CORRELAÇÕES DE PEARSON 220
5.3 ANÁLISE A POSTERIORI DAS ATIVIDADES APLICADAS DURANTE A EXPERIMENTAÇÃO
231
5.3.1 Sobre as atividades de abordagem dos conteúdos em Geometria Analítica
232
5.3.2 Sobre as atividades de fixação 234
5.3.3 Acertos e erros no Pós-teste 235
5.3.3.1 Sobre os acertos no Pós-teste 236
5.3.3.2 Sobre os erros no Pós-teste 245
5.3.3.3 Sobre os testes aplicados durante a experimentação 256
5.4 COMPARAÇÃO ENTRE ANÁLISE A PRIORI E A POSTERIORI DAS ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
257
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS 271
7 REFERÊNCIAS 273
APÊNDICES 278
21
1 INTRODUÇÃO
A Matemática é uma área do conhecimento necessária para a formação do
cidadão, uma vez que a partir das noções aritméticas, algébricas, geométricas e suas
estruturas lógicas, ao aluno é proporcionado o entendimento dos problemas que o
cercam e suas possíveis soluções, o que consequentemente os tornam mais
conscientes e críticos diante de situações vivenciadas por ele. Nesse sentido, é
relevante criar estratégias que desperte o interesse dos alunos em estudar
Matemática, no entanto, conforme nossas vivências docentes, essa tarefa não é fácil,
pois, de modo geral, a Matemática é vista desvinculada do cotidiano discente. De
acordo com D´Ambrósio (2007, pág. 31):
É muito difícil motivar com fatos e situações do mundo atual uma ciência que foi criada e desenvolvida em outros tempos em virtude dos problemas de então, de uma realidade, de percepção, necessidades e urgências que nos são estranhas. Do ponto de vista de motivação contextualizada, a Matemática que se ensina hoje nas escolas é morta.
Ao refletir sobre a afirmação de D´Ambrósio percebemos que necessitamos
investir mais na maneira de como ensinar Matemática, criando meios de ensino e
aprendizagem que incentive o aluno a constituir sua rede de conhecimentos
matemáticos para que possa desconstruir e reconstruir a impressão de que a
Matemática é uma área de conhecimento sem dinamismo. A Geometria, por sua vez,
uma parte importante no estudo da Matemática, exige uma atenção especial, quando
se trata de ensino e aprendizagem, uma vez que o mundo é lido por meio dela.
Conforme Murari (2012, pág. 216);
A Geometria, parte integrante do saber matemático, exige linguagem e procedimentos apropriados para que suas relações conceituais e sua especificidade quanto às representações simbólicas sejam entendidas. Por isso, a preocupação dos educadores matemáticos com sua prática pedagógica não é recente. Ela é um ramo da Matemática que possui um campo muito fecundo, e a maneira como for estudada irá refletir no desenvolvimento intelectual, no raciocínio lógico e na capacidade de abstração e generalização do aluno.
Durante a passagem pela Educação Básica, tínhamos a mesma impressão que
esses pesquisadores demonstraram em suas afirmações, nos incomodava o modo
como eram trabalhados alguns conteúdos matemáticos, tais como a Trigonometria e
a Geometria Analítica, pois acreditávamos que esses conhecimentos poderiam ter
uma abordagem mais dinâmica e próxima do cotidiano. Ao ingressarmos na academia
22
constatamos que existem maneiras diversas de abordar a Matemática escolar. Em
vista disso, procuramos por metodologias para ensinar Matemática de forma diferente
do que é aplicado em sala de aula, na maioria das vezes.
Os discentes ficavam mais motivados em estudar Matemática quando
trabalhávamos com recursos alternativos de ensino, tais como, o uso de jogos
didáticos, utilização de softwares educacionais e de resolução de problemas, como
percebemos no projeto Diagnósticos de conteúdos críticos de Matemática e propostas
no ensino fundamental e médio, no qual fizemos parte. Vale destacar que o referido
projeto, coordenado pelo prof. Dr. Fábio Alves, pertence ao programa Observatório
em Educação, financiado pela CAPES (Coordenação de aperfeiçoamento de pessoal
de nível superior), com parceria do INEP (Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas
educacionais Anisio Teixeira) e SECADI (Secretaria de Educação continuada,
alfabetização, diversidade e inclusão), e tem como finalidade diagnosticar e
apresentar propostas pedagógicas ao ensino da Matemática. Durante o trabalho
nesse projeto, observamos que a Geometria Analítica ainda nos desafiava, à medida
que notávamos a lacuna que permanecia no ensino e aprendizagem dela, o que nos
motivou a ter essa pesquisa como uma das ações do projeto mencionado.
Em relação ao processo de ensino e aprendizagem da Matemática, Sá (2009)
apontou para a importância da participação ativa dos agentes (alunos e professores)
envolvidos nesse processo, os alunos por meio da participação em atividades
estruturadas que possam proporcionar a capacidade de desenvolver estratégias
Matemáticas nas resoluções de problemas, e os professores por meio da mediação
entre o aluno e o conhecimento matemático, o que reconhecemos como o ensino da
Matemática por atividades. Fossa (2012), ao discutir sobre a Geometria e suas
abordagens a partir de situações-problemas, deixou claro que há necessidade de
encontrar alternativas de ensino que busque proporcionar a construção do
conhecimento pelo próprio aluno, pois é ineficaz entregar ao aluno estruturas
geométricas prontas.
Diante desse quadro e da observação de nossas práticas docentes,
percebemos que os discentes não conseguem ter uma ampla compreensão dos
conceitos básicos de Geometria Analítica plana, entre eles destacamos, a localização
de coordenadas de pontos, identificação de equação da circunferência e
determinação da equação da reta. Logo, optamos em aprofundar os estudos
relacionados ao ensino dessa área da Matemática para encontrar um meio
23
metodológico de ensino da Geometria Analítica que possibilite momentos de
aprendizagens mais representativos aos alunos. Com isso, surgiu o seguinte
questionamento: “Quais potencialidades de uma sequência didática, por meio de
atividades, podem ter no ensino de Geometria Analítica na educação básica? ”, assim
como, a priori será relevante saber “Como os docentes e discentes percebem o ensino
da Geometria Analítica na Educação Básica? ”, “Quais são abordagens metodológicas
mais frequentemente utilizadas no ensino de Geometria Analítica? ” e “O que temos a
oferecer positivamente à comunidade no que concerne meios didáticos e
metodológicos do ensino da Geometria Analítica plana na Educação Básica? ”.
Pretendemos assim, experimentar e analisar uma sequência didática que auxilie na
tentativa de alcançar um meio metodológico, que atenda a necessidade de
abordagem dos conteúdos elementares da Geometria Analítica, tais como, pontos,
retas e circunferências, tendo como sujeitos desta pesquisa discentes do 3º ano do
nível médio, pois é nessa série em que é abordado tal conteúdo matemático, conforme
livros didáticos, conteúdos programáticos de Faculdades e Universidades regionais e
os desenhos curriculares das Escolas de Ensino Médio.
Nesse sentido, nossa pesquisa tem como objetivo analisar as potencialidades
de uma sequência didática para o ensino da Geometria Analítica plana na Educação
Básica por meio de atividades, baseados no ensino da Matemática por atividades,
defendido por Sá(2009), com o uso de tratamento estatístico dos resultados dos testes
(pré-teste e pós-teste) e no desempenho dos participantes durante desenvolvimento
da sequência didática concebida. Para desenvolvimento dessa pesquisa, optamos
pela experimentação, com a utilização da Engenharia Didática como metodologia de
investigação, de acordo com Artigue (1996), com contribuições nacionais de Pais
(2008) e Almouloud (2010) e, em âmbito local, de Sá e Alves (2011).
Conforme esses autores, essa metodologia de pesquisa, no que concerne o
campo da Educação Matemática, mais especificamente, no campo da Didática da
Matemática, é comparada a pesquisa experimental, pois ocorrem análises
preliminares e experimentações que promovem comparação e validação de hipóteses
levantadas no processo da investigação. Optamos por essa metodologia por
acreditarmos que com ela exista uma possibilidade maior de proporcionar o retorno
prático da pesquisa à comunidade, já que, ao final dela, pretendemos oferecer um
produto metodológico de ensino ao professor, com observações que podem ser úteis
24
à prática docente do mesmo. Essa pesquisa, de acordo com a Engenharia Didática, é
composta de 4 fases:
1. Análises prévias (ou análises preliminares);
2. Concepção e análise a priori;
3. Experimentação;
4. Análise a posteriori e validação.
A etapa de análises prévias é constituída de um conjunto de observações que
o pesquisador precisa fazer para ter condições de construir atividades pautadas no
conhecimento acerca do seu objeto de investigação. Para que isso ocorra, Artigue
(1996) sugeriu uma análise epistemológica, análise do ensino habitual, das
concepções discente e docente acerca do objeto matemático estudado. Conforme
Almouloud (2010, p.179):
Um dos objetivos das análises prévias é identificar os problemas de ensino e aprendizagem do objeto de estudo e delinear de modo fundamentado a (s) questão (ões), as hipóteses, os fundamentos teóricos e metodológicos da pesquisa.
Para contemplar essa etapa da pesquisa, tratamos dos aspectos históricos
sobre a Geometria Analítica, da revisão de estudos acadêmicos acerca do ensino da
Geometria Analítica, das consultas aos docentes e discentes sobre o processo de
ensino e aprendizagem da Geometria Analítica. Os aspectos históricos foram
retratados por meio de revisões literárias, apoiadas em Eves (2004) e Boyer (2004;
2010), para abordar pontos sobre o surgimento da Geometria Analítica que auxilie na
compreensão da evolução dessa área de conhecimento matemático. Para a revisão
de estudos acadêmicos, que aconteceu por meio de revisões de estudos em trabalho
de conclusão de curso, dissertações e teses, publicados entre 2004 a 2014, obtemos
um panorama das pesquisas acerca do ensino da Geometria Analítica na Educação
Básica em busca de referências para a concepção da sequência didática pretendida.
Utilizaremos como fontes de busca as bibliotecas digitais de várias Universidades
brasileiras, tais como, UFRN, UFPA, PUC, dentre outras.
Nas consultas aos docentes, consultamos professores da rede pública
paraense, atuantes no Ensino Médio, onde tivemos informações sobre ensino habitual
da Geometria Analítica, com foco nos métodos de ensino utilizados, os obstáculos de
ensinar e o grau de dificuldade em aprender que os alunos apresentam. Utilizamos
como fonte de coleta de dados, questionários com questões fechadas e relacionadas
ao nosso objeto de estudo. Já em relação aos discentes, aconteceu consulta aos
25
alunos concluintes do 3º ano do Ensino Médio, com a finalidade de verificar a visão
deles sobre o ensino da área de conhecimento matemático em investigação, ao
contemplar os aspectos metodológicos e as possíveis dificuldades acerca do ensino
da Geometria Analítica na Educação Básica. Para esse momento, optamos pelo
modelo de questionário análogo ao que será aplicado ao docente como meio de
produção de informações à pesquisa.
Com base nos resultados dessa primeira etapa, seguimos para a fase de
concepção e análise a priori. Essa etapa é destinada a elaboração das atividades que
constituirão a sequência de ensino, que é entendido por Sá e Alves (2011) como
sequência didática. Conforme Sá e Alves (2011, p. 151):
A construção da sequência didática tem como objetivo a produção e a seleção de todo material que será necessário ao desenvolvimento da sequência de atividades propostas para o trabalho pedagógico a ser realizado. A sequência didática não precisa ser limitada por uma tendência didática vigente ou preferência do investigador. No caso específico da Educação Matemática, uma sequência didática pode ser baseada somente numa das tendências da mesma ou na conjunção de várias tendências.
Para a construção e desenvolvimento da sequência didática adotamos o ensino
de Matemática por atividades, defendida por Sá (2009), na intenção de proporcionar,
ao aluno, momentos de construção do conhecimento, por meio da redescoberta de
princípios e propriedades matemáticas. Nessa perspectiva, elaboramos 29 atividades,
acerca do estudo de ponto, reta e circunferência, com base em informações
abstraídas da etapa de análises preliminares.
A terceira fase da Engenharia Didática, intitulada “experimentação”, foi aplicada
da sequência didática produzida na etapa anterior. Para Almouloud (2010, p. 177) a
experimentação é considerada como:
[...] o momento de se colocar em funcionamento todo o dispositivo construído, corrigindo-o quando as análises locais do desenvolvimento experimental identificam essa necessidade, o que implica um retorno à análise a priori, um processo de complementação. Ela é seguida de uma fase de análise a posteriori, que se apoia no conjunto de dados recolhidos durante a experimentação: observações realizadas sobre as sessões de ensino e as produções dos alunos em sala de aula ou fora dela. Esses dados são, às vezes, complementados por dados obtidos por metodologias externas: questionários, entrevistas individuais ou em pequenos grupos, realizadas em diversos momentos do ensino.
As atividades que constituem a sequência didática dessa pesquisa foram
realizadas na mesma escola pública do município de Belém que houve a consulta dos
discentes concluintes (feita na etapa de análises prévias). A experimentação teve a
26
participação de 29 alunos do 3º ano do nível médio – equivalente a uma turma dessa
escola. Nessa etapa da pesquisa, a produção de informações para análise foi
realizada por meio de diário de campo, atividades preenchidas pelos discentes e os
testes (Pré- e Pós-teste) realizados por eles.
Como foi citado por Almouloud (2010), temos a etapa final, seguida da fase de
experimentação: a análise a posteriori e validação. Nesse momento analisamos as
informações produzidas nas fases anteriores, com abordagens quantitativas – por
meio do tratamento estatístico dos resultados dos testes – e qualitativas, por meio dos
registros das atividades realizadas. Após a sistematização dos resultados,
realizaremos a comparação entre as análises a priori e a posteriori para a validação
(ou não), conclusões e sugestões que o desenvolvimento da pesquisa proporcionou.
Esse texto pretende apresentar os resultados dessa pesquisa, dividido em 5
seções, onde cada uma descreverá uma etapa da pesquisa, conforme a engenharia
didática. Logo a primeira seção será destinada para analises prévias, a segunda
seção apresentará a concepção e análise a priori, a terceira seção trataremos da
experimentação, a quarta seção das análises a posteriori e validação e a quinta,
considerações finais.
27
1 ANÁLISES PRÉVIAS
Nesta seção temos o objetivo de apresentar aspectos históricos sobre a
Geometria Analítica; uma revisão de estudos sobre o processo de ensino de
Geometria Analítica; resultados de uma pesquisa de campo sobre as experiências no
processo de ensino e aprendizagem da Geometria Analítica de professores e alunos.
Estes elementos constituem a primeira fase de nossa pesquisa, como prevê a
Engenharia Didática.
2.1 ASPECTOS HISTÓRICOS DA GEOMETRIA ANALÍTICA
A Geometria Analítica emergiu, reconhecidamente moderna, na França com os
trabalhos de Descartes e Fermat. Reconhecidamente moderna porque se tem registro
de elementos dessa Geometria em épocas anteriores, mas de maneira rudimentar,
como a ideia de paralelismo encontradas nas técnicas de entalhes em ossos de
animais, com idade estimadas em 24.000 anos, conforme Almeida (2013). Outros
elementos dessa Geometria encontrados na antiguidade, aproximadamente no século
quatro antes de Cristo foram as ideias de coordenadas, variáveis e equações, noções
utilizadas por Apolônio em seus trabalhos sobre proporcionalidade e Geometria das
curvas.
Apolônio de Perga (262 – 190 a.C) pertenceu a idade Áurea da Matemática
grega, juntamente com Euclides e Arquimedes. Sua obra mais conhecida é “As
cônicas” na qual trabalhou com curvas cônicas (parábolas, elipses e hipérboles),
demonstrando propriedades entre elas. Seu método de demonstração era o uso de
coordenadas – sem o tratamento técnico que se usa na modernidade, pois esse
sentido técnico, assim como, a composição das coordenadas (abcissa e ordenada),
foram contribuições de Leibniz, em 1692, aproximadamente dois milênios após
Apolônio. Alguns historiadores da Matemática, tais como Boyer (2010) e Eves (2004)
atribuem a Apolônio o título de precursor da Geometria Analítica, já que seus trabalhos
influenciaram os estudos de Oresme e, possivelmente, Descartes e Fermat, a
exemplo. Segundo Boyer (2010, p. 107):
Que Apolônio, maior geômetra da antiguidade, não tenha desenvolvido a Geometria Analítica se deveu provavelmente à pobreza de curvas mais do que de ideias. Não são necessários métodos gerais quando os problemas se referem sempre a um caso dentre um número limitado de casos particulares.
28
Além disso, os inventores modernos da Geometria Analítica tinham toda a álgebra da Renascença à sua disposição, enquanto que Apolônio trabalhava necessariamente com o instrumento mais rigoroso, mas menos manejável da Álgebra geométrica.
Oresme foi um dos matemáticos que teve como base de estudo os trabalhos
de Apolônio e também apresentou um elemento, antecipadamente, da Geometria
Analítica – gráfico da equação da reta. Nicole Oresme (1323 – 1382) foi reconhecido
como um dos antecipadores da Geometria Analítica. Com a ideia do uso das
coordenadas, Nicole Oresme apresentou gráficos que representaram as leis de
correspondências físicas – como, por exemplo, a relação da velocidade com o tempo
- entre variáveis dependentes e independentes, diferenciando-se de Apolônio pelo
modo de representação de equação da reta. Conforme Eves (2004, p. 382):
Os que defendem Oresme como o inventor da Geometria Analítica argumentam com esse aspecto de seu trabalho, que seria a primeira manifestação explícita da equação da reta, com algumas outras noções a que ele chegou envolvendo espaços de dimensões superiores.
Tais influências matemáticas, fizeram com que Descartes e Fermat, no século
XVII começassem a apresentar ao mundo uma nova maneira de enxergar a
Geometria euclidiana. Com o avanço do simbolismo matemático e da álgebra, esses
matemáticos aprimoraram o “método novo” que Eves (2004, p. 382) considerou
“poderoso método de enfrentar problemas geométricos”, à época de sua
apresentação. Nesse contexto, os problemas que desde Euclides eram solucionados,
exclusivamente, através da Geometria euclidiana, passam a ser resolvidos pelo viés
da álgebra e da análise dos números reais.
Rennè Descartes (1596 – 1650) se destacou nessa área do conhecimento por
meio de um tratado intitulado “Discours de la methode pour bien conduire as Raison
et chercher la Vérité dans les sciences” (Discurso do método para bem conduzir a
razão e procurar a verdade nas ciências) no qual tratava do seu modo de interpretar
o mundo, fazer questionamento sobre o método de produção do conhecimento e sua
validade. Nesse trabalho, apresentou seu método de validação do conhecimento,
tomando como ponto de partida a dúvida metódica, como explicou Ferreira (1986, p.
21):
Descartes vai servir-se da dúvida metódica, isto é, duvidar de tudo o que o que não se apresentar com força suficiente para poder ser considerado como absolutamente irrecusável, o que, por outras palavras, significa pôr de parte sucessivamente todas as ideias em que a dúvida seja possível, até encontrar
29
uma cuja clareza e distinção sejam tais que perante ela a dúvida se torne de todo em todo impossível.
Nesse trabalho havia três apêndices: La Dioptrique, Les Meteores e La
Géométrie. O que interessa para esse momento é o último, pois tratou do método
algébrico para resolver problemas geométricos. A Geometria (La Géometrié) foi
escrita em três partes. Conforme (Eves, 2004), Descartes iniciou esse apêndice com
a explicação sobre alguns princípios da Geometria Algébrica e apontou os avanços
em relação à Geometria grega.
Para os gregos, uma variável correspondia ao comprimento de um segmento, o produto de duas variáveis à área de algum retângulo e o produto de três variáveis ao volume de algum paralelepípedo retângulo. Os gregos não iam além disso. Para Descartes, por outro lado, x² não sugeria uma área, antes, porém o quarto termo da proporção 1: x = x: x², suscetível de ser representado por um segmento de reta fácil de construir quando se conhece x. (EVES, 2004, p. 384)
Nesse momento, Descartes anunciou um modo diferenciado de representar os
termos matemáticos da Geometria euclidiana ao estabelecer a convenção do uso das
primeiras letras de nosso alfabeto para apresentar incógnitas e as últimas letras para
indicar variáveis. Na segunda parte dessa obra, o matemático classificou algumas
curvas e trouxe um método diferente de construir tangentes a curvas. Por fim, na
terceira parte foi trabalhado alguns problemas de resoluções de equações de grau
maior que dois.
Outro estudioso de Matemática, mas com formação em direito, que contribuiu,
quase paralelamente a Descartes, ao desenvolvimento da Geometria Analítica e ficou
marcado como um dos principais representantes dessa área do conhecimento
matemático foi o francês Pierre de Fermat (1601 – 1665). Seu trabalho apresentou
definições de curvas hiperbólicas e parabólicas analiticamente, no qual apresentou
uma curva rn = aƟ como as espirais de Fermat. Além disso, pesquisou a teoria dos
números e conjecturou várias propriedades sobre números primos e equações, que
foram comprovadas por matemáticos posteriores, como Euller, Lagrange, Legendre,
entre outros. Por conta de suas várias contribuições à Matemática, Pierre de Fermat
é considerado o maior matemático do século XVII, conforme Eves (2004) e Boyer
(2010).
Fermat se diferenciava de Descartes pelo ponto de partida de seus estudos,
pois enquanto o segundo partia do lugar geométrico para encontrar uma equação, o
30
primeiro partia de uma equação para encontrar um lugar geométrico correspondente.
E esses dois pontos diversos de pensamento foram os princípios fundamentais do
desenvolvimento da Geometria Analítica.
O resgate de aspectos históricos do surgimento da Geometria Analítica, por
meio dos trabalhos de Apolônio, Oresme, Descartes e Fermat, foi necessário para se
entender os motivos que levaram a Geometria Analítica ser inserida no currículo da
Matemática básica, já que com a expansão industrial o mundo necessitava de uma
Matemática que oferecesse opções à evolução tecnológica e a Geometria Analítica
contribuiu para esse desenvolvimento.
2.2 ESTUDOS SOBRE O ENSINO DE GEOMETRIA ANALÍTICA
Nesta subseção apresentaremos o levantamento bibliográfico e a revisão de
estudos correspondentes as análises teórico-acadêmicas. No período de setembro de
2014 a março de 2015, fizemos o levantamento bibliográfico acerca das dissertações
e teses nacionais que discutiram o ensino de Geometria Analítica. Identificamos como
fontes de busca o portal da Coordenação de aperfeiçoamento de pessoal de nível
superior (CAPES), portal da Biblioteca Digital de Teses e Dissertações (BDTD),
portais de algumas universidades, tais como, UEPA, UFPA e UNAMA, dentre outras,
colocando como palavras-chave “ensino da Geometria Analítica” e “Geometria
Analítica”. Optamos por trabalhos, entre 2004 a 2014, que abordassem o ensino da
Geometria Analítica direcionada à educação básica na expectativa de apontar
recursos metodológicos possíveis de trabalhar em sala de aula, assim como, trabalhos
que problematize o ensino e a aprendizagem da Geometria Analítica da educação
básica.
Dentre os trabalhos encontrados, selecionamos 13, sendo 11 dissertações,
uma tese e um trabalho de conclusão de curso, com variadas abordagens didático-
metodológicas para diferenciados conteúdos referentes a Geometria Analítica
trabalhadas na Educação Básica. No quadro abaixo, destacamos os trabalhos
selecionados, com seus respectivos autores, títulos, ano de publicação, objetivos da
pesquisa, a instituição que está vinculada à pesquisa, sendo que o quadro foi
organizado por ano de publicação, na tentativa de oferecer um panorama cronológico,
pelo menos parcial, de produções realizadas nesse período sobre o ensino de
Geometria Analítica.
31
Em âmbito local, encontramos três trabalhos, nesse período entre teses e
dissertações, que abordam o objeto de estudo dessa pesquisa no estado do Pará –
Andrade (2007, 2012) e Patricio (2010). Patricio (2010) analisou atividades realizadas
pelos alunos do curso de licenciatura em Matemática da Universidade do Estado do
Pará – campus Moju/Pa - com o intuito de contribuir para o ensino e aprendizagem da
Geometria Analítica no Ensino Superior sob o ponto de vista da teoria dos registros
de representações semióticas. Como fizemos um recorte de nível de ensino,
exploraremos, nesse caso, apenas os trabalhos de Andrade (2007, 2012) expostos
na revisão de estudos apresentada após o quadro a seguir.
Quadro 1 – Trabalhos selecionados à revisão de estudos Nº AUTOR (A) OBJETIVO DA PESQUISA INST/UF ANO
01 Carmem Franzon Apresentar uma análise do livro I do Geometria de Descartes fazendo uma reflexão sobre o ensino
da Geometria Analítica
UFRN/RN 2004
02 Roberto Andrade Construir e aplicar uma organização didática para a Geometria Analítica plana
UFPA/PA 2007
03 Fabiana Hajnal Fazer um estudo sobre argumentação e prova envolvendo o paralelismo no ensino de Geometria
Analítica, por meio da Engenharia Didática.
PUC/SP 2007
04 Ricardo Santos Introduzir o software Grafeq no ensino de Geometria Analítica no Ensino Médio
UFRS/RS 2008
05 Katya Rizzon Investigar os conteúdos matemáticos aprendidos pelos do 3º ano do Ensino Médio
PUC/RS 2008
06 Michelli Silva e Marcos Silva
Propor um conjunto de atividades para o ensino de Geometria Analítica com o auxílio do KIG
UNAMA/PA 2008
07 Márcia Varella Analisar como os autores de materiais didáticos do Ensino Médio organizaram as tarefas
propostas envolvendo provas e demonstrações no conteúdo de Geometria Analítica plana
PUC/SP 2010
08 Roberto Andrade Construir uma compreensão do papel que a tarefa deve cumprir para que seja eleita tarefa
fundamental ao desenvolvimento de organizações matemáticas e didáticas no ensino da Geometria
Analítica
UFPA/PA 2012
09 Welligton Silva Construir uma sequência didática para o Ensino Médio utilizando Geogebra
UFAL/AL 2013
10 Paulo Cezar Guedes
Elaborar aulas práticas para revisar e aprofundar os principais conceitos da Geometria Analítica
plana usando o Geogebra
UFES/CE 2013
11
Ana Paula Pereira Aproximar a Matemática do cotidiano do aluno por meio de uma sequência didática partindo das medidas de um campo de futebol para ensinar
Geometria Analítica
UFSCar/SP 2013
12 Claudia Segura Apresentar uma sequência didática de aplicações de conceitos em Geometria Analítica através da
releitura de uma obra abstracionista e o Geogebra
UEL/PR 2013
13 José Victor de Mesquita Filho
Analisar a eficiência do uso do software educacional Geogebra como ferramenta
pedagógica para o estudo da circunferência na perspectiva da Geometria Analítica
UFC/CE 2014
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
32
Nossa revisão de estudos tem a intenção de oferecer um panorama das
pesquisas selecionadas no levantamento bibliográfico que fizemos. Conforme
Vosgerau e Romanowski (2014, p. 167):
Os estudos de revisão consistem em organizar, esclarecer e resumir as principais obras existentes, bem como fornecer citações completas abrangendo o espectro de literatura relevante em uma área. As revisões de literatura podem apresentar uma revisão para fornecer um panorama histórico sobre um tema ou assunto considerando as publicações em campo. Muitas vezes uma análise ou assunto das publicações pode contribuir na reformulação histórica do diálogo acadêmico por apresentar uma nova direção, configuração e encaminhamentos.
Nesse sentido, distribuímos nosso estudo em três categorias: diagnósticos,
propostas metodológicas e experimentais.
Os estudos diagnósticos foram caracterizados por aquelas pesquisas que
têm a finalidade de apontar uma análise sobre o processo de ensino e aprendizagem
da Geometria Analítica, assim como, um diagnóstico sobre o livro didático, logo
optamos pelos estudos de Rizzon (2008), Varella (2010) e Andrade (2012).
Os estudos de propostas metodológicas foram considerados os trabalhos
que oferecem, como produto de suas pesquisas, sugestões metodológicas de como
abordar conteúdos matemáticos referente a Geometria Analítica, tais como
sequências didáticas e situações pedagógicas, então escolhemos as pesquisas de
Frazon (2004), Silva e Silva (2008) e Silva (2013).
Os estudos experimentais foram caracterizados como as pesquisas que
propõem, experimentam e analisam atividades alternativas de ensino em sala de aula,
logo optamos pelos estudos de Andrade (2007), Hajnal (2007), Santos (2008), Guedes
(2013), Pereira (2013), Segura (2013) e Mesquita Filho (2014).
2.2.1 Estudos diagnósticos
O estudo diagnóstico é composto de análises de situações didáticas e de livro
didático da educação básica. Rizzon (2008), por meio da sua questão-problema
“Como os alunos aplicam a linguagem Matemática na interpretação de questões sobre
Geometria Analítica em uma escola do Ensino Médio? ”, fez um estudo com o objetivo
de identificar e analisar conteúdos matemáticos descritos pelos alunos após a
realização de uma Unidade de Aprendizagem (UA) sobre Geometria Analítica.
Sua pesquisa desenvolveu-se a partir de uma UA no qual os alunos,
organizados em grupos, interpretaram e exploraram quatro etapas dessa UA: etapa
exploratória, etapa de organização dos conteúdos, etapa da investigação e
33
comunicação e etapa da aplicação e de aprofundamento. Esses momentos tiveram
como modelo predominante o sociocultural, no qual valorizou o contexto e a
linguagem, primou pela participação do aluno e do professor e desenvolveu o senso
crítico e a autonomia dos participantes, conforme Rizzon (2008).
A produção de informações ocorreu por meio de relatórios elaborados pelos
alunos onde identificaram conteúdos matemáticos presentes em problemas – 3
questões escolhidas dentre 62 resolvidas – que foram propostos em provas de
vestibulares entre 1998 a 2006 das Universidades públicas e privadas do estado Rio
Grande do Sul. Os sujeitos do trabalho de Rizzon (2008) foram alunos – de 16 a 18
anos – do 3º ano do nível médio de uma escola particular de Porto Alegre. Os assuntos
acerca da Geometria Analítica abordados na pesquisa de Rizzon (2008) foram
distância entre dois pontos, a posição entre duas retas, o estudo do ângulo formado
por duas retas, equação da circunferência, posições entre ponto e circunferência,
entre reta e circunferência e entre duas retas no plano cartesiano, contudo a pesquisa
centrou-se em três questões sobre equação da circunferência, pois considerou que
tal conteúdo é relevante à aprendizagem uma vez que “tem por objetivo conciliar os
fatos geométricos as relações algébricas” (Rizzon, 2008, p. 38).
Na primeira questão solicitou aos grupos a equação da circunferência a partir
de um gráfico descrito no plano cartesiano, com a presença de alguns pontos. A autora
afirmou que por meio da circunferência apresentada “o aluno tem a possibilidade de
interpretar os conteúdos fundamentais para demonstrar a tese do problema” (Rizzon,
2008, p. 42) e destacou a solução de um grupo que relata todos os passos de
resolução do problema, pois “utiliza uma linguagem Matemática adequada e
demonstra relacionar os conteúdos anteriores para apresentar a tese” (Rizzon, 2008,
p. 44).
A segunda questão analisada tratava da determinação da equação da reta que
passa pelo centro da circunferência x² + y² + 4x – 6y = 0 e é paralela à reta x – y =0.
Conforme Rizzon (2008, p. 48), “a segunda questão estimula a atenção e a
concentração do aluno, pois a linguagem Matemática implícita nas hipóteses da
questão é fundamental para a interpretação e o encaminhamento da tese”. O grupo
que se destacou, segundo a pesquisadora, foi aquele que representou o problema de
maneira sintética, embora não tenham anunciado os conteúdos dos termos utilizados,
ou o motivo pelo qual aplicou os procedimentos algébricos e afirmou que a
34
interpretação dos termos da circunferência, feita pelos grupos, ficou em segundo
plano.
A terceira questão analisada abordou a determinação da medida de um
segmento de reta a partir dos pontos em que a reta 3x + 2y + 12 = 0 intercepta a
circunferência de equação x² + y² + 4x + 6y = 0. Conforme Rizzon (2008, p. 54), “na
terceira questão a leitura dos conteúdos e a representação gráfica que a hipótese
sugere são importantes para a interpretação da linguagem Matemática envolvida”. A
pesquisadora apresentou que todos os grupos identificaram os conteúdos envolvidos
diretamente nas hipóteses do problema e quase todos (entre 92% a 96% dos grupos)
identificaram a equação geral e reduzida da reta na questão. Entretanto,
demonstraram dificuldades em relacionar o coeficiente angular com a declividade e
a tangente, indicando a ausência de compreensão de tais conceitos.
Em suas considerações finais, Rizzon (2008) apontou que a unidade de
aprendizagem (UA) proporcionou ao aluno ser mais participativo, já que promoveu a
relação interpessoal na sala de aula, sugerindo que a escola seja um local de reflexão
para permitir que aluno exponha suas ideias e estratégias de solução de problemas.
À luz da Teoria Antropológica do Didático (TAD) e da tipologia de provas de
Balacheff (1988), Márcia Varella (2010), por meio da pesquisa qualitativa, analisou
como os autores de materiais didáticos organizaram propostas referentes ao estudo
da equação geral da reta. Teve como questão central da pesquisa “quais
organizações didáticas envolvendo prova e demonstrações são propostas por
materiais didáticos do Ensino Médio, no conteúdo de Geometria Analítica? ”. Para
isso, a pesquisadora utilizou como fontes de produção de informações coleções de
livros didáticos pertencentes ao Programa Nacional de Livro Didático para o ensino
médio e os cadernos bimestrais adotados pela Secretaria de Educação do estado de
São Paulo. Selecionou sete livros didáticos e dois cadernos e identificou quatro
questões, contendo tarefa e técnica, que auxiliaram a pesquisadora a alcançar seu
objetivo de pesquisa, conforme descrito no quadro 1.
Em relação à questão 1 – “Qual a abordagem utilizada pelo autor para
introdução ao conteúdo Geometria Analítica? ” Varella (2010) afirmou que alguns
livros didáticos – Dante (2005), Smole e Diniz (2005) e Rubio e Freitas (2005) –
possuem textos sobre a história da Geometria Analítica, fazendo referência a Nicole
Oresme, Rennè Descartes, o sistema cartesiano ortogonal, os estudos de Newton e
Fermat. Nesses textos, a pesquisadora ressaltou a correlação feita entre a álgebra e
35
geometria, e a relevância de trabalhar, nem que seja de maneira embrionária, a
história da Matemática.
Relacionada a questão 2 “Como os conceitos matemáticos que antecedem o
estudo da equação da reta são apresentados? ” Varella (2010) verificou que os livros
de Dante (2005) e Rubio e Freitas (2005) trabalham com registros de figuras em malha
quadriculada e com a linguagem Matemática simbólica para os pares ordenados e
observou que são trabalhados exemplos numéricos, sem definir generalização para
um ponto qualquer do plano. A autora mostrou que os livros demonstram preocupação
em relacionar as linguagens algébrica e geométrica. Considerou que os materiais, em
geral, contemplam uma das finalidades da Geometria Analítica, que é compreender a
representação de uma reta no plano, algebricamente e geometricamente, seja a
representação dada por meio de figuras, linguagem natural ou linguagem Matemática
simbólica. Contudo, ressaltou que alguns conteúdos, do jeito que foram abordados,
podem causar o entendimento de fórmula pronta, desvinculado de teoremas e
propriedades.
Sobre a questão 3 “Na introdução aos conceitos que antecedem o estudo da
equação da reta são utilizados os termos propriedade, teorema, demonstração, prova
ou mesmo é feita alguma diferenciação entre eles?”, Varella (2010) percebeu a
preocupação dos autores na busca de se fazerem ser compreendidos ao tratarem de
teoremas e propriedades, contudo fazem isso por meio de casos particulares e/ou
exemplos, o que levam as generalizações se resumirem em apresentações de
fórmulas e, ainda não é estabelecida diferenças entre propriedade, teorema,
demonstração e prova.
Acerca da questão 4 “As tarefas utilizadas, voltadas ao estudo da equação da
reta apresentam demonstrações ou provas? ”, a autora considerou que todos os
materiais didáticos abordam o objeto de estudo dela, no entanto com diferenciação no
modo como iniciam o estudo da equação da reta. Ressaltou que não é esclarecido o
que pode ser uma demonstração e uma prova, alguns materiais didáticos não se
referem a elaboração de demonstração como técnica de resolução de tarefas, e com
isso o aluno não relaciona que algumas resoluções estão no processo de
demonstrações de teoremas. Varella (2010) considerou que da maneira como
apresenta-se atualmente os materiais didáticos, não é possível que os alunos da 3ª
série do nível médio alcance a maturidade à argumentação consistente, uma vez que
se privilegia a aplicação de fórmulas no lugar de trabalhar a análise de situações-
36
problema. Assim como, a ausência de esclarecimentos acerca de termos de um
sistema dedutivo contribuiu para inconsistência da compreensão e elaboração de
provas e demonstrações. Além disso, sugeriu que haja pesquisas sobre a produção
de alunos em termos de provas e demonstrações em relação a Geometria Analítica.
Andrade (2012) com a finalidade de construir uma compreensão do papel que
a tarefa deve cumprir para que seja eleita como tarefa fundamental para permitir o
desenvolvimento de organizações matemáticas e didáticas ao ensino da Geometria
Analítica plana, tendo como base teórica a Teoria Antropológica do Didático (TAD) e
sujeitos participantes da pesquisa professores e alunos de uma Escola Pública
Federal de Belém-PA, realizou um estudo sobre possíveis tarefas fundamentais que
podem se transformar em um dispositivo metodológico de formação de professores.
Como parte de seu estudo, Andrade (2012) realizou uma análise sobre os
tipos de tarefas considerando as Organizações Matemáticas (OMs) e Organizações
Didáticas (ODs) presentes nos livros didáticos selecionado por ele – Dante (2005) e
Youssef (2005) – onde apontou que eles apresentam similaridade no que concerne
os objetos matemáticos propostos ao estudo e apresentou um quadro com a
organização didática distribuída em blocos, como mostra a figura 1.
O pesquisador observou que os blocos, em sua maioria, são tratados de modo
isolado, deixando a cargo do leitor estabelecer relações entre os blocos. Quando
existe uma conexão, são apresentados brevemente, “não evidenciando as possíveis
articulações e integrações que podem ser realizadas entre os tipos de tarefas
propostos ao longo do processo de estudo. ” (Andrade, 2012, p. 71). Andrade (2012)
fez também uma análise na Obra “La Geometrie” (1937) de Descartes para auxiliá-lo
Figura 1 – Organização didática dos livros didáticos conforme Andrade (2012)
Fonte: ANDRADE (2012, p. 69)
37
na busca de tarefas fundamentais e detectou a presença marcante do teorema de
Tales nas demonstrações de proposições da obra, no qual o considerou como
elemento articulador que Descartes utilizou para relacionar a Geometria, a Aritmética
e a Álgebra ao estabelecimento de seu método analítico. Além disso, identificou três
tipos de tarefas que são comuns nas OMs e ODs existentes nos livros didáticos
analisados: “representar um ponto por um par de números reais; determinar a
distância entre dois pontos e determinar a equação da reta” (Andrade, 2012, p.83).
A partir das experiências didático-metodológica dos participantes do estudo,
quando trata os tipos de tarefas fundamentais que eleitas durante o processo de
análises em livro didáticos, livro-texto da escola e a obra de Descartes, Andrade
(2012) construiu Percurso de Estudos e Pesquisa (PER) a ser experimentado na
formação de professores, concluiu que o PER se revelou como um dispositivo
metodológico diferenciado à formação continuada de professores no exercício da
função porque proporcionou o enfrentamento do problema da desarticulação dos
saberes, demonstrou a dimensão escolar dos objetos matemáticos, deixou claro as
funcionalidades das tarefas e fomentou a geração de questões, por meio das práticas
docentes.
Em relação a esta categoria, percebemos a necessidade de ter uma atenção
maior ao que o discente trás de conhecimento obtido no espaço escolar e não-escolar
para compreender suas deficiências e proporcionar condições reais de aprendizagem
e, em relação aos livros didáticos, de valorizar as demonstrações e provas, assim
como, de estabelecer e evidenciar conexões entre os tópicos da Geometria Analítica
para que o discente tenha possibilidade de amadurecimento de seu raciocínio lógico
e abstrato.
2.2.2 Estudos de propostas metodológicas
Os estudos de propostas metodológicas apontam abordagens metodológicas
diferenciadas de ensino. Frazon (2004) abordou a história da Matemática como fonte
pedagógica ao ensino da Geometria Analítica por meio de análise de textos antigos
da Matemática. Com os objetivos de realizar uma análise do livro I do Geometria do
Descartes, fazendo um estudo sobre o ensino de Geometria Analítica atual e apontar
questões pedagógicas a partir das quais podem ser criadas situações
problematizadoras a serem discutidas em sala de aula, Frazon (2004) desenvolveu
sua pesquisa realizando dois tipos de abordagens de análise de textos, uma de
38
natureza histórica e outra pedagógica acerca da obra de Descartes, A Geometria –
um dos apêndices da sua obra principal O Discurso do método – trabalhando com o
livro I desse apêndice.
A pesquisadora reconstruiu a trajetória histórica da Geometria Analítica e fez
um recorte enfatizando os trabalhos de Pappus (problema de três e quatro retas),
Apolônio (obra Cônicas) e Diofanto (obra Arithmética) que influenciaram Rennè
Descartes. Além disso, a pesquisadora destacou os trabalhos de matemáticos árabes
e europeus que contribuíram ao desenvolvimento da álgebra. Utilizou fontes
secundárias, tomando cuidado com as informações para evitar discrepância de datas
e minimizar as influências ideológicas dos autores consultados como fonte de
informações. Ressaltou outros trabalhos que também serviram de base ao
desenvolvimento de tal geometria, tais como, os trabalhos com raízes quadradas (de
Rafael Bombelli), equações de duas incógnitas (de François Viete) e equação da reta
e da circunferência, assim como, as cônicas de Pierre de Fermat, dentre outros.
Analisando a obra Geometria de Descartes, Frazon (2004) constatou que o
desenvolvimento da história da Geometria Analítica não condiz com a sequência
apresentada nos livros didáticos atualmente e nem seguiu o padrão utilizado por
Euclides na época de Os Elementos.
Para sala de aula, Frazon (2004) propôs que os professores levem os textos
de Geometria – livro I – para introduzir discussões não apenas relacionadas aos
conceitos da Geometria Analítica, mas também relacionadas à natureza da
Matemática, tais como tratar a dualidade do significado de expressões do tipo a² e a³,
ou seja, seu significado geométrico e seu significado algébrico; à importância da
compreensão do significado da linguagem Matemática para a sua manipulação
coerente; à concepção de que a criação de novas teorias matemáticas está
relacionada, em geral; à resolução de questões ligadas à própria Matemática ou a
outro campo do saber; e ao significado e importância da quebra de paradigma nas
ciências e, em particular, na Matemática. Sugeriu a reconstrução do currículo no
ensino da Geometria Analítica, articulando a história da Matemática com as técnicas
de resolução de problema usada atualmente, no entanto reconheceu a dificuldade que
tal mudança ocasionará, já que os alunos estão mais acostumados ao ensino de
técnicas do que à análise de textos matemáticos.
Silva e Silva (2008), com a finalidade de construir uma sequência didática de
ensino da Geometria Analítica, fizeram um levantamento de informações entre
39
professores da rede, da cidade Belém, para identificar as principais dificuldades em
ensinar conteúdos referentes a essa área do conhecimento e elaboraram 12
atividades - mediado por um software de geometria - e um jogo, relacionados a
conteúdos de Geometria Analítica.
Conforme os pesquisadores, os professores declararam que as habilidades de
localizar pontos nos eixos das ordenadas e abcissas são as mais fáceis de adquirir,
enquanto na categoria difícil e mais difícil, os índices mais elevados estão nos
assuntos referentes a retas perpendiculares, pontos de intersecção entre retas,
cônicas e demonstração de resultados, como mostraram o quadro 2:
Quadro 2: Grau de dificuldades dos conteúdos conforme Silva e Silva (2008)
Assunto
Fácil Regular Difícil Muito difícil
Valor absoluto
% Valor absoluto
% Valor
absoluto %
Valor absoluto
%
Localização dos pontos no eixo X.
21 65,62 11 34,37 ----- ----- ----- ----
Localização dos pontos no eixo Y.
22 68,75 10 31,25 ----- --- ---- ---
Distância entre dois pontos 11 34,37 17 53,12 2 6,25 ---- --
Equação da reta que passa por dois pontos
6 18,75 17 53,12 6 18,75 ---- ---
Equação da reta que passa por um ponto conhecendo o coeficiente angular.
5 15,62 18 56,25 5 15,62 ---- ---
Ângulo entre duas retas 6 18,75 13 40,62 6 18,75 ----- ---
Posição entre duas retas 6 18,75 17 53,12 3 9,37 ----- ---
Equação da reta paralela à outra reta.
5 15,62 14 43,75 6 18,75 ---- ---
Equação da reta perpendicular à outra reta
2 6,25 14 43,75 8 25 ---- ----
Ponto de interseção entre duas retas
5 15,62 11 34,37 8 25
Equação da circunferência 2 6,25 12 37,50 6 18,75 2 6,25
Cônicas 1 3,12 4 12,50 8 25 3 9,37
Demonstração de resultados da Geometria plana por Geometria Analítica
1 3,12 4 12,50 5 15,62 4 12,5
Fonte: SILVA E SILVA (2008, p. 41)
Os pesquisadores apresentaram que os professores, em sua maioria (52,4%),
fazem abordagens de Geometria Analítica por meio de definição, seguida de
exemplos, propriedades e exercícios. No entanto, com 31% aproximadamente, há
professores que a partir de uma situação-problema, sistematiza conceitos; com 9,5%
existem docentes que modelam situações reais para explicar os assuntos
matemáticos; e os que, por meio de jogos e recreações, trabalham os assuntos em
voga (7,1%).
40
A partir de algumas informações levantadas na pesquisa com os professores,
os pesquisadores elaboraram as atividades. O software utilizado nessas atividades,
como facilitador no processo de aprendizagem, foi o KIG – programa educacional de
geometria disponível no Boto Set – Linux (sistema operacional utilizado nos
laboratórios de informática das escolas estaduais paraenses).
As atividades tratavam de marcação e identificação de pontos no plano
cartesiano, a distância entre dois pontos, a determinação da equação da reta,
identificação de retas paralelas e perpendiculares, a determinação da equação da
circunferência, todas realizadas no programa KIG. O jogo trabalhava com a
localização de pontos no plano, por meio de um baralho intitulado “baralho das
coordenadas”. Conforme Silva e Silva (2008), essa sequência de atividades foi
oferecida na expectativa de proporcionar um elo entre a educação e a tecnologia, uma
alternativa diferenciada de ensino da Matemática aliada com a tecnologia acessível a
comunidade docente e discente, já que o KIG é um software livre.
Com o objetivo de apresentar uma sequência didática mediado pelo Geogebra,
Silva (2013) propôs, aos professores do ensino básico, baseado na Engenharia
Didática, 12 aulas acerca dos conteúdos de Geometria Analítica, englobando plano
cartesiano, vetores, estudo de retas e circunferências. Essa sequência didática
possuiu o auxílio de vídeos explicativos e a utilização do Geogebra. Em suas
considerações, salientou aos professores à necessidade de planejar suas aulas, para
a familiarização com os vídeos e para o programa Geogebra. Enfatizou que essa
sequência didática demandará um tempo maior do que é geralmente usado, no
entanto, durante o desenvolvimento das atividades, “o esforço do professor será
recompensado”, Silva (2013, p. 131).
Em relação a essa categoria, observamos que a tecnologia, por meio das
mídias e dos softwares de geometria dinâmica, é um caminho metodológico que pode
nos auxiliar na construção de nossas atividades que busca oferecer ao professor
alternativa diferenciada de ensino, assim como, os aspectos históricos também podem
ser considerados para o alcance da compreensão das famosas perguntas que cerca
o dia a dia do professor de Matemática: “por quê?” e “para quê? ”.
2.2.3 Estudos experimentais
Os estudos experimentais mostram resultados sobre ensino baseado em
experimentações de sala de aula. De acordo com a Teoria Antropológica do Didático
41
(TAD), Andrade (2007), com o objetivo de construir e aplicar uma organização didática
para a Geometria Analítica plana com tratamento no estudo de vetores, elaborou e
experimentou sete atividades, tendo como sujeitos da pesquisa alunos do 3º ano do
Ensino Médio de uma escola pública da cidade de Belém. Nessas atividades contou
com a história da Matemática e com a teoria de aprendizagem significativa de David
Ausubel para compor sua pesquisa de natureza qualitativa do tipo etnográfica na
educação.
O pesquisador afirmou que quase todos os alunos perceberam que os estudos
da Geometria Analítica e dos vetores não emergiram como consequência da ideia de
uma única pessoa ou de um único período histórico. Destacou a história da
Matemática como um meio de criar espaços de reflexão em sala de aula. Além disso,
afirmou que os alunos demonstraram interesse durante as atividades para solucionar
o problema, indicando a importância da utilização de questões abertas, o que
proporcionou um momento de institucionalização da técnica através da socialização
do conhecimento.
De acordo com Andrade (2007), as praxeologias didáticas permitiram
evidenciar as conexões existentes entre a Geometria Analítica plana e o estudo dos
vetores e estimulou as reflexões acerca dos assuntos, por parte dos alunos, ao
desenvolverem as organizações didáticas propostas, no momento das socialização e
indagações, por meio da interação dialógica entre os alunos, professor e pesquisador.
Hajnal (2007), com a finalidade de fazer um estudo sobre argumentação e
prova envolvendo o paralelismo no ensino de Geometria Analítica, elaborou e aplicou
uma sequência didática constituída de três etapas, compostas por 18 atividades. Para
isso, utilizou como recurso didático de sua sequência, o software Cabri-geometre e
teve como sujeitos da pesquisa alunos do 1º ano do nível médio.
Em suas análises prévias, Hajnal (2007) fez um breve histórico sobre a
Geometria euclidiana e seu percurso até chegar à Geometria Analítica, com os
trabalhos de Descartes e Fermat. Além disso, faz uma breve análise de alguns livros
didáticos com o foco no estudo do paralelismo no qual evidencia a ausência de
demonstrações e provas de propriedades, retirando a possibilidade do aluno levantar
hipóteses e aprimorar o manuseio da linguagem Matemática, corroborando com
Varella (2010).
Hajnal (2007), destacou a interação e os questionamentos dos alunos durante
o desenvolvimento das atividades, uma vez que, a partir disso, os alunos formularam
42
hipóteses, argumentaram, justificaram suas respostas e produziram provas, apesar
de às vezes serem provas rudimentares, elementos que caracteriza o pensar
matemático, conforme a pesquisadora. Além disso, ressaltou que o recurso
tecnológico adotado como ambiente de interatividade de sua sequência de ensino
favoreceu à elaboração de argumentações e provas, já que “os fatos observados
durante a movimentação [dos desenhos no Cabri] exigem que devem ser justificadas
e provadas” (Hajnal, 2007, p. 200). Concluiu que os alunos apresentaram evolução na
estrutura de pensamento matemático, no momento em que tomando como ponto de
partida a validação empírica, chega nas validações dedutivas de acordo com as
propriedades estudadas.
Com a finalidade de analisar a utilização do software gráfico Grafeq como
recurso didático no estudo da Geometria Analítica, Santos (2008) testou, em sua
pesquisa, atividades com o Grafeq em sala de aula. Seu estudo empírico foi realizado
em uma Escola privada de Ensino Básico na cidade de Porto Alegre, com a
participação de 12 estudantes do 2º ano do Ensino Médio. O pesquisador utilizou o
estudo de caso, apropriando-se de gravações construídas no software Grafeq,
arquivos de áudio e vídeo, questionários e as atividades feitas pelos alunos como
fontes de produção de informações para análises.
A sequência didática elaborada por Santos (2008) constituiu-se de 9 atividades,
todas elas realizadas no programa Grafeq e teve como auxiliar, o endereço eletrônico,
para melhorar a comunicação entre os alunos e o pesquisador e para o envio dos
trabalhos feitos pelos alunos. Santos (2008) considerou, durante o desenvolvimento
dessas atividades, que essa sequência proporcionou a oportunidade de reflexão dos
estudantes no que se refere aos conhecimentos adquiridos nesse processo, já que os
alunos puderam discutir ora sobre expressões algébricas para obtenção de
representações geométricas, ora sobre o uso dessas representações.
Santos (2008), em relação as TIC´s, destacou a relevância para professor da
apropriação dessas tecnologias, pois pode auxiliar no processo de (re)organização de
ideias no momento da construção do saber, por exemplo, explorar o correio eletrônico
e a utilização de programa para facilitar a comunicação e, consequentemente,
promover a aprendizagem. O pesquisador criou, como produto final, um tutorial para
o uso do Grafeq, contendo uma sequência de atividades em Geometria Analítica de
modo que o usuário vai aprendendo as ferramentas do software à medida que evolui
nas atividades.
43
Guedes (2013), com objetivo de propor aulas diferenciadas de Geometria
Analítica aos alunos do 3º ano do Ensino Médio de Escola Estadual da cidade de
Vitória/ES, elaborou 4 atividades abrangendo os conteúdos elementares dessa área
do conhecimento matemático, tais como, ponto, reta e paralelismo e teve como
recurso didático o software Geogebra. Conforme o pesquisador, com a utilização do
Geogebra o desenvolvimento da atividade tornou-se mais acessível à compreensão
dos alunos. Com isso, perceberam a importância de escrever uma propriedade
corretamente, pois visualizaram as consequências dessas informações no programa.
Logo, o interesse dos alunos era latente pelos conteúdos abordados.
A partir da maquete de um campo de futebol quadriculado (imagem 1) e a
simulação de uma partida de futebol, Pereira (2013) experimentou 20 atividades
envolvendo os tópicos básicos da Geometria Analítica e teve como base as teorias de
Ausubel (aprendizagem significativa).
Conforme a pesquisadora o campo de futebol quadriculado funcionou como um
ótimo recurso de apoio para trabalhar os conteúdos de Geometria Analítica e sugeriu
a utilização desse recurso também ao ensino de Física e no nível fundamental pode
relacionar esse produto didático com o trabalho de equações, áreas e perímetro.
Segura (2013), em seu estudo, experimentou uma série de atividades com a
finalidade de apresentar uma sequência didática ao ensino da Matemática auxiliado
pelo uso de uma obra de arte e o Geogebra. Essa experimentação aconteceu em uma
Escola Estadual do Estado do Paraná, com 21 alunos do 3º ano do Ensino Médio.
A autora abordou o ensino da Matemática e a utilização da tecnologia,
destacando que os usos das mídias proporcionam aos alunos confiança necessária
para resolver problemas que vão além da sala de aula. Consequentemente, a postura
Imagem 1 – maquete do campo de futebol quadriculado
Fonte: PEREIRA (2013, p. 40)
44
dos agentes participantes do processo, professor e aluno, se altera. Conforme a
pesquisadora, o professor e o aluno trabalham colaborativamente, já que ambos
passam a participar de modo mais ativo das aulas, com respeito ao ritmo de
aprendizagem de cada envolvido na atividade.
Ao apresentar o Geogebra como recurso facilitador de aprendizagem, a
pesquisadora afirmou que o software é de fácil manuseio, no entanto de pouca
utilização pelos professores. Destacou que sua escolha foi motivada pela familiaridade
dos alunos com a tecnologia e pelo dinamismo do programa, oferecendo a
possibilidade de elaboração coletiva e criativa da Matemática.
A releitura da obra de arte, com vista no ensino da Geometria Analítica, teve a
intenção de mostrar aos alunos a conexão entre a Matemática com outra área do
conhecimento, que no caso é a arte. Por meio do Geogebra, Segura (2013) utilizou
equações de retas e curvas para reconstruir a obra escolhida para a intervenção
pedagógica em sala de aula.
A sequência didática elaborada por Segura (2013) contou com 15 atividades,
nas quais foram abordadas os seguintes conteúdos: plano cartesiano, intervalos e
inequações, ponto médio, a distância entre dois pontos, condição de alinhamento,
equação reduzida e geral da reta, posições relativas entre ponto e circunferência,
ângulo entre duas retas, ponto de intersecção entre retas concorrentes,
perpendicularidade, paralelismo, posições relativas entre reta e circunferência e área
da região triangular. Todas as atividades foram realizadas a partir da análise da obra
abstracionista a seguir:
Figura 2 – Obra abstracionista utilizada por Segura (2013)
Fonte: SEGURA (2013, p. 55)
45
Segundo a pesquisadora, os alunos conseguiram realizar com sucesso as
atividades e utilizaram, adequadamente, as barras de ferramentas do Geogebra para
obtenção das equações e curvas, no entanto apresentaram dificuldades em limitar
linhas, então não utilizaram esse elemento. Segura (2013) afirmou que foram
necessárias 24 aulas para a execução da sequência. Além disso, esclareceu que a
proposta exige que o professor esteja disposto a rever suas práticas, aperfeiçoar sua
linguagem Matemática, a pesquisar e a dedicar um tempo maior ao planejamento,
pois esses elementos proporcionarão ao professor um recurso didático capaz de
ofertar um número significativo de possibilidades de ensino em uma única aula.
Mesquita Filho (2014), buscou avaliar um módulo de atividades ao ensino da
circunferência mediada pelo software Geogebra. Para isso, construiu 3 atividades -
composto por um pré-teste (com 3 questões), um módulo de 14 tarefas e um pós-teste
(com 04 questões) - para 6 alunos do 3º ano de uma Escola Pública do Ceará. Essa
pesquisa aconteceu em três etapas: a realização do pré-teste, a intervenção
metodológica (com a utilização do Geogebra) e a realização do pós-teste.
Ao comparar pré-teste e pós-teste, Mesquita Filho (2014, p. 48) afirmou que
houve, em relação aos acertos, um índice de crescimento de 42,85%, o que significou,
para o autor, que a mediação do software educacional Geogebra contribuiu para a
compreensão do aluno a respeito da circunferência. Ressaltou a participação ativa
dos alunos, a interação dos mesmos com a atividade, o programa e o professor, ao
indicar que a tecnologia colaborou, positivamente, para o desenvolvimento cognitivo
dos alunos, assim como facilitou a interação entre alunos e o professor durante o
desenvolvimento da experiência didática.
Ao considerar essa categoria, verificamos que a preocupação com o ensino da
Geometria Analítica na educação básica existe, já que encontramos várias
alternativas oferecidas e experimentadas em sala de aula, com resultados bastante
satisfatórios, conforme os pesquisadores citados. Observamos uma predominância de
pesquisas que utilizam como recursos didáticos ou facilitador de aprendizagem, a
tecnologia, no qual predominou o uso do Geogebra. Além disso, percebemos que a
Geometria Analítica pode ser uma alternativa para trabalhar a interdisciplinaridade -
como mostram Pereira (2013) e Segura (2013) ao relacionar a Matemática com a arte
e o esporte - ainda tão desafiador as nossas práticas docentes, seja por conta de
condições mínimas de trabalho ou por desconhecimento de alternativas
metodológicas de ensino que tratam da interdisciplinaridade.
46
Durante nosso levantamento de referências e revisão de estudos, observamos
que no período escolhido (2004 – 2014) a ocorrência de trabalhos foi bem
representativo, visto que em quase todos os anos decorrentes desse período existem
pesquisas acerca do objeto investigado, o que indica a preocupação da comunidade
acadêmico-científica em relação ao ensino dessa área do conhecimento. Percebemos
também que a tecnologia está presente em várias pesquisas relacionadas com o
ensino da Geometria Analítica, exemplo disso são os trabalhos de Santos (2008) e
Guedes (2013), que se valeram de programas educacionais, alguns mais populares
que outros, como o Geogebra e o Grafeq, para encaminhar seus estudos.
O problema desses estudos, sob o ponto de vista da realidade paraense, é que
o principal recurso material necessário (computadores) parece ser ausente na maioria
das escolas públicas de nosso estado, conforme nossas experiências docentes.
Apesar de existirem políticas públicas que incentivam a formação digital, como o
“Programa Nacional de Informática na Educação – PROINFO” que garante
computadores, bem como, recursos digitais às escolas participantes do projeto, como
informou Schlemmer (2013, p. 116), quando acrescentou “Em contrapartida, estados,
Distrito Federal e municípios devem garantir a estrutura adequada para receber os
laboratórios e capacitar os educadores para o uso das máquinas e tecnologias”,
alguns municípios paraenses não conseguem proporcionar estruturas físicas em suas
escolas, de modo geral, para manter laboratórios de informáticas que funcionem
minimamente. Logo, poucas escolas têm o privilégio de ter um espaço educativo
digital em pleno funcionamento, ocasionando assim obstáculos para efetuar
atividades metodológicas dessa natureza.
As pesquisas de Frazon (2004) e Andrade (2007) foram as únicas que
exploraram a história da Matemática como recurso didático de ensino da Geometria
Analítica, no entanto a história da Matemática aparece em quase todos os trabalhos
estudados de maneira informativa. Varella (2010) explorou pontos interessantes
durante as análises em livros didáticos ao constatar que pouquíssimos livros
trabalham demonstrações e provas em suas atividades, pois nossa experiência
docente indica que essas ausências, deixam deficientes algumas compreensões
matemáticas na medida em que os alunos não têm habitualidade de manipular
artifícios matemáticos advindos de provas e demonstrações. Silva e Silva (2008) foi a
única pesquisa que fez uma consulta com os professores de Matemática, antes de
sugerir atividades. Os saberes da experiência que os docentes trazem do dia a dia
47
escolar enriquece a pesquisa, pois a mesma torna-se um produto útil e possível para
o trabalho em sala de aula, uma vez que é fruto dos anseios apontados pelos docentes
em suas práticas cotidianas.
Com base nessa revisão de estudos, optamos também em fazer uma consulta
a alguns docentes desse estado, assim como a alguns discentes, para ter a ideia do
que estão trabalhando/estudando em relação a esse assunto, como estão realizando
suas aulas, aos docentes, e como entendem as práticas de seus professores, no que
concerne a opinião discente. Nossa expectativa é de ter resultados, a partir dessa
consulta, que possa nos proporcionar o ponto de partida para elaboração e
experimentação de nossa sequência didática para que seja útil para futuras atividades
em sala de aula e atenda a necessidade do processo de ensino e aprendizagem de
modo eficaz.
2.1 CONSULTA A DISCENTES SOBRE O ENSINO E APRENDIZAGEM DE
GEOMETRIA ANALÍTICA
Nesta subseção apresentaremos os resultados de uma consulta realizada com
discentes de Escola Pública Estadual da cidade de Belém durante no mês de
dezembro de 2014. Essa amostra foi composta por 113 alunos egressos do 3º ano do
Ensino Médio, com a participação de 58 alunos e 55 alunas na faixa etária de 16 a 20
anos. A escolha desses alunos se deve ao fato de que eles são da escola que
pretendemos aplicar a sequência didática, logo consideramos importante saber as
opiniões do público pertencente ao lócus da pesquisa.
Essa consulta teve, como instrumento de produção de informações, um
questionário (apêndice A) composto por perguntas fechadas, abertas e relacionadas,
dividido em 3 partes: a primeira parte tratava de informações pessoais, tais como
idade, sexo, escolaridade dos responsáveis, hábitos de estudos e afinidade com
Matemática. A segunda parte do questionário abordou a opinião dos informantes
acerca do grau de dificuldade em aprender alguns tópicos da Geometria Analítica e a
terceira parte foi composta por 10 questões sobre Geometria Analítica, nos quais os
discentes tiveram que resolver da maneira que considerasse conveniente.
Por meio desse instrumento, obtivemos as seguintes informações:
48
2.1.1 Perfil dos discentes
Em relação a faixa etária, os alunos de 17 anos correspondem a maioria, pois
equivale a 52% dos informantes (59 alunos), enquanto que 4% dos alunos têm 16,
30% têm 18 anos, 10% têm 19 anos e 4% possuem 20 anos, o que indica que esses
anos estão na faixa etária adequada a série que estudam, já que atualmente os alunos
iniciam o ensino básico com 6 anos e, consequentemente, terminam esse ciclo com
17 anos de idade. A maioria dos alunos declararam que a mãe é responsável por eles,
conforme o quadro 3, por meio da frequência absoluta (FA) e a relativa (FR).
Quadro 3 – Responsáveis pelos discentes
Responsáveis Frequência Absoluta Frequência Relativa
Mãe 51 45%
Pai 10 9%
Os pais 38 34%
Os avós 4 3%
Irmãos 2 2%
Tios 5 4%
Não tem responsável 2 2%
Não declarou 1 1%
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
O gráfico 1 traz as porcentagens referentes ao quadro 3:
Já em relação com a escolaridade, a maioria dos responsáveis possui o Ensino
Médio completo, no entanto apenas 9% alcançaram o nível superior, de acordo com
o gráfico 2 e a tabela 1.
Mãe45%
Pai9%
Os pais34%
Os avós3%
Irmãos2%
Tios4%
Não tem responsável
2%
Não declarou1%
GRÁFICO 1 - RESPONSÁVEIS PELOS DISCENTES
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
49
Tabela 1 – Escolaridade dos responsáveis dos discentes consultados
Escolaridade Frequência absoluta Frequência Relativa
Fundamental Incompleto
14 12%
Fundamental Completo 8 7% Médio Incompleto 17 15% Médio Completo 60 53% Superior 10 9% Não estudou 3 3% Não respondeu 1 1% Fonte: Pesquisa de campo (2014)
O gráfico 2 mostra os índices relativos, em %, da escolaridade dos
responsáveis:
Os alunos, predominantemente, são oriundos de Escola Pública, já que 82%
(93 declarantes) declararam que estudaram o Ensino Fundamental em Escola
Estadual, 8% dos alunos vieram de Escolas Municipais, 2% oriundos de Escola
Pública Federal e o restante são egressos de Escola Particular.
Quando tratamos de trabalho renumerado, os alunos informaram que 24%
trabalham, sendo que 17% regularmente e 7%, esporadicamente, o restante,
equivalente a 73%, não trabalha ou não responderam (3%).
O quadro 4, assim como gráfico 3, representa os cursos que os alunos fazem
nos horários livres da escola, predominando a ausência de atividades fora da escola,
pois 41% declararam que não fazem atividades em outros horários. Os cursos
técnicos, que representa 6% do quadro, são, conforme os alunos, os cursos de auxiliar
administrativo, redes de computadores, segurança do trabalho e designer.
Fundamental Incompleto
12% Fundamental Completo
7%
Médio Incompleto
15%
Médio Completo53%
Superior9%
Não estudou3%
Não respondeu1%
GRÁFICO 2 - ESCOLARIDADE DOS RESPONSÁVEIS
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
50
Quadro 4 – Cursos Extracurriculares dos egressos
Cursos Extracurriculares FA FR Língua estrangeira 16 14%
Informática 20 18%
Cursos técnicos 7 6%
Música/teatro 2 2%
Cursinho vestibular 1 1%
Nenhum 47 41%
Não respondeu 20 18%
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
Em relação a afinidade com Matemática, a tabela 2 mostra que os alunos, em
geral, gostam pouco ou não gostam de Matemática.
Tabela 2 – Gosto pela Matemática (Discentes de Belém)
Frequência Absoluta Frequência Relativa
GOSTA POUCO 71 63%
NÃO GOSTA 28 25%
GOSTA MUITO 13 11%
NÃO RESPONDEU 1 1% Fonte: pesquisa de campo (2014)
Os dados do gráfico 4 enfatiza 88% dos alunos participantes dessa consulta
não gosta ou gosta pouco de Matemática.
Língua estrangeira14%
Informática18%
Cursos técnicos6%
Música/teatro2%
Cursinho vestibular
1%
Nenhum41%
Não respondeu18%
GRÁFICO 3 - CURSOS EXTRACURRICULARES
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
51
Alguns trabalhos foram escolhidos para compararmos os resultados, sendo que
neles constam consultas aos discentes do Ensino Médio da capital paraense no que
se refere a afinidade com a referida disciplina e verificar se houve alguma evolução
na categoria afinidade em Matemática. Optamos pelos trabalhos de Santos (2012),
Gomes (2013) e Silva (2014), pois além de ser um público com características
similares ao do trabalho aqui exposto, também buscavam a partir dessas informações
construir sequências didáticas ao ensino de Matemática, que é a perspectiva desse
trabalho. Vale ressaltar, que todas as consultas aconteceram um ano antes da
publicação de suas pesquisas, logo Santos (2012) consultou alunos no ano de 2011,
Gomes (2013) em 2012 e Silva (2014) em 2013.
14%
85%
1%
23%
62%
15%
24%
70%
6%
25%
63%
11%
1%
N Ã O G O S T A G O S T A P O U C O G O S T A M U I T O N Ã O R E S P O N D E U
GRÁFICO 5 - AFINID ADE COM MAT EMÁT ICA CONFORME PESQUISAS ENT RE 2012 A 2014
Santos (2012) Gomes (2013) Silva(2014) Pesquisa atual
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
GOSTA POUCO63%
NÃO GOSTA25%
GOSTA MUITO11%
NÃO RESPONDEU1%
GRÁFICO 4 - GOSTO PELA MATEMÁTICA
52
De acordo com o gráfico 5, Observamos que os alunos continuam a demonstrar
pouco ou nenhum gosto pela Matemática, pois os índices (em %) de pouca ou
nenhuma afinidade são bem acentuados, enquanto que os índices de alta afinidade
vêm decaindo ao longo dos últimos quatro anos, de acordo com trabalhos analisados.
Quando abordamos o grau de dificuldade para aprender Matemática, 63% (71
informantes) declararam que sentem um pouco dificuldade, 19% possuem muita
dificuldade e 18% afirmam ter facilidade em compreender o assunto matemático.
Ao perguntarmos sobre distração durante as aulas de Matemática, 53 alunos
afirmaram que se distraem totalmente (30%) ou parcialmente (17%) nas aulas de
Matemática, enquanto que 43% declararam que se concentram nessas aulas, e o
restante não quis responder. Para os que informaram que se distraem, perguntamos
quais os motivos dessas distrações, como a pergunta foi aberta estabelecemos as
seguintes categorias para enquadrar as respostas e colocá-la na tabela 3 e no gráfico
6: Bagunça, Cansativa, Complicada e Sonolenta. A categoria bagunça indica como
motivo das distrações os comportamentos das turmas que, para alguns alunos, têm
bagunça, conversas paralelas e barulho. A Cansativa indica alunos que declararam
que as aulas são cansativas, chatas e desinteressantes. Complicada é a categoria
que compreende as respostas referentes ao modo como é abordado a Matemática,
considerada pelos alunos consultados, aulas complicadas e difíceis de aprender.
Sonolenta é a categoria destinada aos alunos que responderam que sentem sintomas
físicos, como sono e dor de cabeça. Além disso, também existem discentes que
declararam, como justificativa de distração nas aulas, não gostarem de Matemática.
Tabela 3 – Motivos das distrações nas aulas de Matemática
DISTRAÇÕES EM SALA Frequência Absoluta Frequência Relativa
Bagunça 19 36%
Cansativa 10 19%
Complicada 16 30%
Sonolenta 2 4%
Não gosta 5 9%
Não respondeu 1 2%
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
53
Dos 22 alunos que declararam ter muita dificuldade em aprender Matemática,
14 – 64% dos referidos declarantes - informaram que não se concentram nas aulas e
estão nas categorias bagunça (02 informantes), cansativa (03 informantes) e
complicada (09 informantes), como foi indicado na tabela acima, o que podemos inferir
a necessidade de possibilitar meios mais diferenciados de aprendizagem, uma vez
que os alunos declararam que a abordagem dos seus professores é,
predominantemente, tradicional, como veremos na tabela 5.
Sobre o hábito de estudo em Matemática, dos 113 alunos informantes, a
maioria absoluta não possui o costume de estudar todos os dias, como mostra a tabela
4 e o gráfico 7, apontando apenas 1 aluno que tem um hábito diário de estudo.
Tabela 4 – Frequência de estudo em Matemática
Frequência de estudo FA FR
Período de prova 33 29%
Véspera da prova 11 10%
Só estuda em sala de aula 14 12%
Alguns dias na semana 48 43%
Fins de semana 6 5%
Todo dia 1 1%
Bagunça36%
Cansativa19%
Complicada30%
Sonolenta4%
Não gosta9%
Não respondeu2%
GRÁFICO 6 - MOTIVOS DAS DISTRAÇÕES NAS AULAS DE MATEMÁTICA
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
Período próximo das avaliações
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
54
Conforme o gráfico 7, 51% estudam em período próximo das provas bimestrais
que acontecem nas escolas ou somente em sala de aula, o que pode ocasionar um
baixo rendimento nas atividades fora desse período, como aconteceu na terceira parte
desse questionário com 10 questões sobre o assunto em investigação para os
resolverem.
Em relação a ajuda nas tarefas de casa em Matemática, o quadro 5 e o gráfico
8, mostram que a maioria dos alunos não tem auxílio em casa referente a Matemática,
o que nos indica a necessidade de aprimorar as aulas, estabelecendo cuidado com a
didática e metodologia utilizadas em sala de aula, já que ajuda profissional (professor
particular) equivale a somente 8%, enquanto que a ausência de ajuda chega a 73%.
Quadro 5 – Auxílio nas tarefas de casa dos egressos
Auxílio em casa Frequência Absoluta Frequência Relativa
Ninguém 83 73%
Amigo 8 7%
Família 9 8%
Professor Particular 9 8%
Outros 4 4% Fonte: pesquisa de campo (2014)
Período de prova29%
Véspera da prova10%
Só estuda em sala de aula
12%
Alguns dias na semana
43%
Fins de semana5%
Todo dia1%
GRÁFICO 7 - FREQUÊNCIA DE ESTUDOS EM MATEMÁTICA
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
55
Fonte: pesquisa de campo (2014)
Ao informar a maneira como seu professor ministra suas aulas, conforme a
tabela 5 e o gráfico 9, os alunos indicaram que 72% (82 informantes) iniciam suas
aulas pela definição seguida de exemplos e exercícios, e o segundo índice maior, em
valores absolutos, foi de aulas que começam por uma situação-problema e depois
introduz o assunto, o que equivale a 17% dos informantes.
Tabela 5 – Abordagem do conteúdo matemático, conforme os
discentes
Abordagem do conteúdo Frequência Absoluta Frequência Relativa
Pela definição seguida de exemplos
e exercícios 82 72%
Com uma situação problema para
depois introduzir o assunto 19 17%
Com um experimento para chegar
ao conceito 5 4%
Com um modelo para situação e em
seguida analisando o modelo 3 3%
Com a história do assunto 3 3%
Não respondeu 1 1%
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
Ninguém73%
Amigo 7%
Família8%
Professor Particular
8%
Outros4%
GRÁFICO 8 - AUXÍLIO NAS TAREFAS DE CASA
Pela Definição seguida de exemplos e exercícios
72%
com uma situação-problema para depois introduzir o
assunto17%
com um experimento para
chegar ao conceito4%
com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
3%
com a história do Assunto
3%
Não Respondeu1%
GRÁFICO 9 - ABORDAGEM DOS CONTEÚDOS, CONFORME OS DISCENTES
Fonte: Campo de Pesquisa (2014)
56
Quando comparamos os resultados com os trabalhos de Santos (2012), Gomes
(2013) e Silva (2014), não percebemos mudanças significativas, já que ao longo dos
últimos quatro anos os índices indicativos de que as aulas são tradicionais, com aulas
que iniciam pela definição e são seguidas de exemplos, ainda são bem atenuantes,
como mostra o gráfico 10.
As aulas que começam por situações-problema para introduzir o assunto
matemático (legenda cor laranja) aparecem em todos os anos, porém com alternância
de incidências, logo não podemos afirmar que esse estilo de aula está crescente nas
salas de aulas. No entanto, a situação-problema é defendida por educadores como
um meio do aluno constituir sua rede de conhecimento. Fossa (2012) destacou a
utilização de situações-problema como alternativa de auxilio aos alunos às
construções matemáticas necessárias para compreensão do conteúdo.
Em relação ao uso da história da Matemática nas aulas, observamos também
a pouca incidência, que aparecendo apenas em 2014 e na pesquisa atual, com os
índices de 7% e 3%, respectivamente. Isso indica a perda de possibilidade de
enriquecimento das aulas como Frazon (2004) e Mendes et al (2005) apontaram, em
suas obras, ao tratar do uso da história da Matemática como instrumento
metodológico relevante ao ensino da Matemática, já que favorece a aprendizagem no
intuito de responder os “porquês” que estão, constantemente, presentes em sala de
aula. Frazon (2004) afirmou que a história da Matemática, há mais de uma década,
ganha espaço, no que concerne a tendência educacional, em âmbito nacional. No
Santos (2012) Gomes (2013) Silva (2014) Pesquisa atual
83%76%
60%
72%
6% 5%19%
17%
11%5%
5%4%14%
9%3%7% 3%
1%
Gráfico 10 - Abordagem do conteúdo matemático conforme pesquisas entre 2012 a 2014
Definição Situação-problema Experimento Modelagem História Sem resposta
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
57
entanto, percebeu carência na formação inicial dos professores de Matemática nessa
área do conhecimento, o que mostra necessidade da inserção de discussões sobre a
temática nos centros de formação.
Mendes et al (2005) discorreram sobre a história da Matemática como meio de
explicar a existência de determinados conceitos, que pode ocasionar um interesse
dos alunos nas aulas, uma vez que eles demonstraram um desinteresse em
Matemática, confirmados pelos índices de afinidade e distração nas aulas de
Matemática que essa pesquisa aponta.
A história pode ser nossa grande aliada quanto à explicação desses porquês, desde que possamos incorporar às atividades de ensino-aprendizagem aspectos históricos necessários a solução desse obstáculo. Tais informações devem certamente passar por adaptações pedagógicas que, conforme os objetivos almejados, devem se configurar em atividades a serem desenvolvidas em sala de aula ou fora dela (extraclasse). (Mendes et al, 2005, p. 53)
Em relação as atividades de fixação dos conteúdos matemáticos, os alunos
declararam que a maior parte equivale ao uso de livro didático ou lista de exercícios,
que representa 93,5% dos recursos utilizados para exercitar assuntos matemáticos,
conforme a tabela 6 e o gráfico 11.
Fixação do conteúdo matemático Frequência Absoluta Frequência Relativa
Lista de exercícios 79 70%
Livro didático 23 21%
Lista de exercício e livro didático 4 3%
Pesquisa de questões pelos alunos 4 3%
Não propõe questões 2 2%
Não respondeu 1 1%
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
Lista de exercícios70%
Livro didático21%
Lista de exercícios e livro didático
3%
Pesquisa de questões pelos alunos
3%
Não propõe questões2% Não respondeu
1%
GRÁFICO 11 - FIXAÇÃO DO CONTEÚDO MATEMÁTICO, SEGUNDO OS DISCENTES
Tabela 6 – Fixação do conteúdo matemático, de acordo com os discentes
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
58
Ao relacionar as pesquisas de Santos (2012), Gomes (2013) e Silva2 (2014),
observamos que a lista de exercícios é o modo mais usado para exercitar os
conteúdos matemáticos, embora exista outros recursos didáticos de fixação, tais como
os jogos e livros didáticos, sendo o último presente em uma boa parte das escolas
públicas do estado.
Fonte: pesquisa de campo (2014)
A insignificante incidência dos jogos nas práticas pedagógicas, como mostra o
gráfico 12, no qual somente aparece o jogo como meio de fixação na pesquisa de
Silva (2014), nos faz refletir sobre a necessidade de material diferenciado ao trabalho
docente, seja ele para ensinar determinados conteúdos, ou para realizar a fixação dos
mesmos. Brenelli (2005, p. 24), ao tratar do jogo como atividade criadora de momentos
propícios à reflexão, afirmou que os jogos recebem a importância na medida em que
há um espaço para investigação, diagnóstico e remediação de dificuldades – afetiva,
cognitiva ou psicomotora. Logo, o jogo pode ser uma alternativa metodológica que,
além de conquistar a atenção da turma, pode ser um caminho para reflexão e/ou uma
tentativa de complementar as lacunas, ocasionadas pela ausência de conhecimento
ou pelo pouco conhecimento adquirido no momento de aprendizagem.
2.1.2 Avaliação discente acerca de sua aprendizagem em Geometria Analítica
A segunda parte do questionário é composto por 50 itens que compreende os
conteúdos mínimos para compreensão da Geometria Analítica voltado para a
educação básica. É importante esclarecer que dentre esses itens não estão incluídas
as cônicas, pois não são conteúdos exigidos no currículo atual no estado do Pará,
83%
14%
3%
66%
31%
3%
64%
18%
7% 6% 5%
70%
20%
3,50
%
2% 1%
L I S T A D E E X E R C Í C I O S
L I V R O D I D Á T I C O
J O G O S P E S Q U I S A D E Q U E S T Õ E S
N Ã O P R O P Õ E Q U E S T Õ E S
N Ã O R E S P O N D E U
Gráf ico 12 - Modo de f ixação do conteúdo matemát ico conforme pesquisas ent re 2012 a 2014
Santos (2012) Gomes (2013) Silva2 (2014) Pesquisa atual
59
conforme o guia dos estudantes da secretaria de educação desse Estado, exceto a
parábola que aparece nos conteúdos programáticos no estudo das funções
quadráticas, que não é o foco da nossa pesquisa.
Como são muitos itens a serem analisados, dividimos em 5 blocos descritos a
seguir:
Bloco 1 – sistema cartesiano: Nesse bloco, tratamos os itens relacionados
com o sistema cartesiano ortogonal e apresentam-se como: identificar as
coordenadas de um ponto marcado no 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes, sobre o eixo das
abscissas e das ordenadas; marcar o ponto no 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes, sobre o eixo
X e Y;
Bloco 2 – relação entre pontos e retas: Esse bloco compreende os itens que
relaciona pontos com retas ou com outros pontos e consta os seguintes itens:
encontrar a distância entre dois pontos e as coordenadas do ponto médio de um
segmento de reta; determinar o ponto de intersecção de duas retas; verificar se um
ponto pertence a uma reta e quando dois pontos estão alinhados; encontrar a área de
um triângulo a partir de 3 pontos;
Bloco 3 – retas: O bloco sobre retas trás os itens referentes ao estudo das
retas. São eles: determinar a declividade de uma reta; escrever a equação de reta na
sua forma geral, na forma segmentária e na forma paramétrica; representar
graficamente uma equação da reta; determinar a equação da reta a partir de 2 pontos
e a partir de um ponto e sua declividade; reconhecer retas paralelas, concorrentes e
perpendiculares; determinar a equação da reta paralela a outra conhecendo um ponto
da mesma e a equação da reta paralela a outra reta conhecendo um ponto da primeira
reta;
Bloco 4 – circunferência: Nesse bloco estão contidos conteúdos
relacionados a circunferência. São elas: reconhecer uma equação da circunferência
em sua forma reduzida e na forma normal; determinar o centro a partir da equação da
circunferência reduzida e geral da circunferência; determinar o raio a partir da
equação reduzida e geral da circunferência; verificar se um ponto pertence ou não a
uma circunferência; representar graficamente uma circunferência; reconhecer quando
uma reta é secante, tangente ou exterior à circunferência; determinar a equação da
circunferência a partir da tangência exterior e interior a outra circunferência;
determinar a área da circunferência a partir da equação da mesma;
60
Bloco 5 – Situação-problema: Esse bloco é destinado a itens referentes a
situações-problema relacionados com ponto, reta e/ou circunferência, sendo eles:
resolver situações-problema nos quais são fornecidos os pontos e solicitada a
equação da reta; os pontos e solicitada a área de um triângulo; é necessário a
interpretação gráfica da reta; é fornecida a equação da circunferência e é solicitado o
raio dela; são fornecidos o centro e o raio da circunferência e solicitado a equação da
mesma; é fornecido a equação da circunferência e é solicitado a área do círculo.
Inicialmente, nessa etapa, foi indagado aos alunos, se eles lembravam de ter
estudados todos os itens e obtivemos as seguintes respostas:
Para o bloco 1, a maioria declarou que estudou o sistema cartesiano, conforme
a tabela 7, indicados pelos valores absolutos e relativos em cada item. Ressaltamos
que identificar e marcar pontos, são considerados, por nós, itens distintos, pois
quando nos referimos a identificar, estamos indicando que os pontos estão nos
quadrantes para os alunos localizarem, enquanto que ao enunciarmos marcar,
estamos fornecendo os pontos para ser colocados no eixo cartesiano.
Tabela 7 – Estudo do bloco 1 conforme os discentes
Itens Referentes aos conteúdos de Geometria Analítica
LEMBRA DE TER
ESTUDADO
SIM % NÃO %
1.1- Identificar as coordenadas de um ponto marcado no 1º quadrante 89 79 24 21
1.2- Identificar as coordenadas de um ponto marcado no 2º quadrante 87 77 26 23
1.3- Identificar as coordenadas de um ponto marcado no 3º quadrante 75 66 38 34
1.4- Identificar as coordenadas de um ponto marcado no 4º quadrante 71 63 42 37
1.5- Identificar as coordenadas de um ponto marcado sobre o eixo das abcissas 86 73 27 27
1.6- Identificar as coordenadas de um ponto marcado sobre o eixo das ordenadas 89 79 24 21
1.7 – Marcar o ponto no 1º quadrante 74 65 39 35
1.8 – Marcar o ponto no 2º quadrante 71 63 42 37
1.9 – Marcar o ponto no 3º quadrante 69 61 44 39
1.10 – Marcar o ponto no 4º quadrante 71 63 42 37
1.11 – Marcar o ponto sobre o eixo X 96 85 17 15
1.12 – Marcar o ponto sobre o eixo Y 97 86 16 14
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
O gráfico 13 mostra as porcentagens referentes aos itens do bloco 1, no qual
aponta que a maioria absoluta declara que estudaram o eixo cartesiano.
61
Fonte: pesquisa de campo (2014)
Embora a maior parte dos alunos declarou estudar tais conteúdos, nos
surpreendeu os índices de “não” apresentados na tabela 6, que apesar de menores
que 50%, são significativos, quando sabemos que tais itens são amplamente
trabalhadas durante todo o ensino médio, sejam eles vistos no estudo de funções (1º
ano), quanto no estudo geométrico euclidiano (2º e 3º anos) e nos indica que existe
uma lacuna de conhecimento que necessita de atenção, já que esses saberes são as
bases do estudo geométrico seja ele, analítico ou não.
Para o bloco 2, como mostra a tabela 8 e o gráfico 14, obtivemos que os alunos
estudaram assuntos referentes a relação entre pontos e retas, já que as frequências
absolutas e relativas foram superiores a 75%.
79%
77%
66%
63% 73
% 79%
65%
63%
61%
63%
85%
86%
21%
23% 34
%
37%
27%
21%
35%
37%
39%
37%
15%
14%
G R Á FI CO 13 - E S T U D O D O B L O CO 1 CO NFO R ME O S D I S CENT ES
sim não
Tabela 8 – Estudo do Bloco 2 conforme os discentes
ITENS REFERENTES AOS CONTEÚDOS DA GEOMETRIA
ANALÍTICA
LEMBRA DE TER ESTUDADO
SIM (Valor
Absoluto)
% NÃO (Valor
absoluto)
%
2.1 – Encontrar a distância entre dois pontos 103 91 10 9
2.2 – Encontrar as coordenadas do ponto médio de um
segmento de reta
100 88 13 12
2.3 – Determinar o ponto de intersecção de duas retas 88 78 25 22
2.4 – Verificar se um ponto pertence a uma reta 97 86 16 14
2.5 – Verificar quando os pontos estão alinhados 100 88 13 12
2.6 – Encontrar a área de um triângulo a partir 3 pontos 87 77 26 23
Fonte: pesquisa de campo (2014)
62
Fonte: pesquisa de campo (2014)
O bloco 3, como se vê na tabela 9, apresenta que a maior parte dos alunos
estudou os assuntos referentes a reta, no entanto destacamos os itens 3.4 (equação
paramétrica) e 3.12 (perpendicularidade), pois apesar de seus índices (%) de “não”
ser inferiores aos índices de “sim”, as porcentagens são bem significativas, pois são
próximo ou igual a 50%, o que pode indicar a ausência desse tópico no estudo da
Geometria Analítica, em sala de aula.
Tabela 9 – Estudo do Bloco 3 conforme os discentes
ITENS REFERENTES AOS CONTEÚDOS DA GEOMETRIA ANALÍTICA LEMBRA DE TER
ESTUDADO
SIM % NÃO %
3.1 - Determinar a declividade de uma reta 95 84 18 16
3.2 - Escrever a equação da reta na sua forma geral 96 85 17 15
3.3 - Escrever a equação da reta na sua forma segmentária 81 72 32 28
3.4 - Escrever a equação da reta na sua forma paramétrica 57 50 56 50
3.5 - Representar graficamente de uma equação da reta 94 83 19 17
3.6 - Determinar a equação da reta a partir de 2 pontos 97 86 16 14
3.7- Determinar a equação da reta a partir de 1 ponto e sua declividade 89 79 24 21
3.8 - Reconhecer retas paralelas 94 83 19 17
3.9 - Reconhecer retas concorrentes 80 71 33 29
3.10- Reconhecer retas são perpendiculares 96 85 17 15
3.11 - Determinar a equação da reta paralela a outra conhecendo um ponto da mesma 75 66 38 34
91%
88%
78%
86% 88
%
77%
9%
12%
22%
14%
12%
23%
2 . 1 E N C O N T R A R A D I S T Â N C I A E N T R E
D O I S P O N T O S
2 . 2 E N C O N T R A R A S C O O R D E N A D A S D O
P O N T O M É D I O D E U M S E G M E N T O D E R E T A
2 . 3 D E T E R M I N A R O P O N T O D E
I N T E R S E C Ç Ã O D E D U A S R E T A S
2 . 4 V E R I F I C A R S E U M P O N T O P E R T E N C E A
U M A R E T A
2 . 5 V E R I F I C A R Q U A N D O O S P O N T O S
E S T Ã O A L I N H A D O S
2 . 6 E N C O N T R A R A Á R E A D E U M
T R I Â N G U L O A P A R T I R 3 P O N T O S
GRÁFI CO 14 - ESTUD O D O BLOCO 2 CONFORME OS D I SCENTES
Sim Não
63
3.12 – Determinar a equação da reta perpendicular à outra reta conhecendo um ponto
da primeira reta
61 54 52 46
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
O bloco 4, de acordo com tabela 10, apresenta que a maior parte dos alunos
lembram de ter estudado os assuntos relacionados a circunferência, contudo no item
4.13 (tangência de circunferência) a maioria dos alunos (51%) informaram não ter
estudado esse assunto.
Tabela 10 – Estudo do Bloco 4 conforme os discentes
ITENS REFERENTES AOS CONTEÚDOS DE GEOMETRIA ANALÍTICA LEMBRA DE TER
ESTUDADO
SIM % NÃO %
4.1 - Reconhecer uma equação da circunferência em sua forma reduzida 87 77 26 23
4.2 - Reconhecer uma equação da circunferência em sua forma geral 100 88 13 12
4.3 - Determinar o centro a partir da equação reduzida da circunferência 101 89 12 11
4.4 - Determinar o centro a partir da equação geral da circunferência 102 90 11 10
4.5 - Determinar o raio a partir da equação reduzida da circunferência 102 90 11 10
4.6 - Determinar o raio a partir da equação geral da circunferência 101 89 12 11
4.7 - Verificar se um ponto pertence ou não a uma circunferência 94 83 19 17
4.8 - Representar graficamente uma circunferência 81 72 32 28
4.9 - Reconhecer quando uma reta é secante à circunferência 61 54 52 46
4.10 - Reconhecer quando uma reta é tangente à circunferência 73 65 40 35
4.11 - Reconhecer quando uma reta é exterior à circunferência 64 57 49 43
4.12 - Determinar a equação da circunferência a partir da tangência exterior a outra
circunferência
61 54 52 46
4.13 - Determinar a equação da circunferência a partir da tangência interna a outra
circunferência
55 49 58 51
4.14 - Determinar a área da circunferência a partir da equação dela 78 69 35 31
Fonte: pesquisa de campo (2014)
84%
85%
72%
50%
83%
86%
79%
83%
71%
85%
66%
54%
16%
15%
28%
50%
17%
14% 21
%
17% 29
%
15%
34% 46
%
GRÁFICO 15 - ESTUDO DO BLOCO 3 CONFORME OS DISCENTES
sim não
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
64
O bloco 5, que trata de situações-problema, por meio da tabela 11 e o gráfico
17, mostra que os alunos lembram de ter estudados todos os itens no que se refere
aos problemas relacionados com ponto, reta e circunferência.
Tabela 11 – Estudo do Bloco 5 conforme os discentes
ITENS REFERENTES AOS CONTEÚDOS DA GEOMETRIA ANALÍTICA LEMBRA DE TER ESTUDADO
SIM % NÃO %
5.1 - Resolver situações-problema no qual são fornecidos os pontos e solicitada
a equação da reta
77 68% 36 32%
5.2 - Resolver situações-problema no qual são fornecidos os pontos e solicitada
a área de um triângulo
80 71% 33 29%
5.3 - Resolver situações-problema no qual é necessário a interpretação gráfica
da equação da reta
80 71% 33 29%
5.4 - Resolver situações-problema no qual é fornecida a equação da
circunferência e é solicitado o raio dela
96 85% 17 15%
5.5 - Resolver situações-problema no qual são fornecidos o centro e o raio da
circunferência e solicitado a equação da mesma
97 86% 16 14%
5.6 - Resolver situações-problema no qual é fornecido a equação da
circunferência e é solicitado a área do círculo.
95 84% 18 16%
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
77%
88%
89%
90%
90%
89%
83%
72%
54%
65%
57%
54%
49%
69%
23%
12%
11%
10%
10%
11% 17
%
28%
66%
35% 43
%
46% 51
%
31%
GRÁFICO 16 - ESTUDO DO BLOCO 4 CONFORME OS DISCENTES
sim não
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
65
Fonte: pesquisa de campo (2014)
Aos alunos que declararam ter estudado os tópicos da Geometria Analítica,
solicitamos a avaliação acerca do grau de dificuldade em aprender cada item, no qual
o informante tinha que classificar em Muito Fácil (MF), Fácil (F), Regular (R), Difícil
(D), Muito Difícil (MD), nos quais caracterizamos:
Muito Fácil - os itens que os discentes consideram ter, absolutamente,
nenhuma dificuldade para aprender;
Fácil – os itens que os discentes consideram não ter dificuldade para
aprender;
Regular – os itens que os discentes consideram ter dificuldade, mas
consiga aprender;
Difícil – os itens que os discentes consideram ter dificuldade para
aprender;
Muito difícil – os itens que os discentes consideram ter muita dificuldade
para aprender.
Consideramos que as iniciais MF, F, R, D e MD serão utilizados para todos os
quadros dessa natureza, com os valores absolutos (VA), em relação ao total de
declarantes que afirmaram ter estudado cada item apresentado, conforme as tabelas
6, 7, 8, 9 e 10. O Não Respondeu (NR) será utilizado aos itens que estão sem
respostas.
68% 71
%
71%
85%
86%
84%
32%
29%
29%
15%
14%
14%
5 . 1 - R E S O L V E R S I T U A Ç Õ E S - P R O B L E M A
N O Q U A L S Ã O F O R N E C I D O S O S P O N T O S
E S O L I C I T A D A A E Q U A Ç Ã O D A R E T A
5 . 2 - R E S O L V E R S I T U A Ç Õ E S - P R O B L E M A
N O Q U A L S Ã O F O R N E C I D O S O S P O N T O S E S O L I C I T A D A A Á R E A D E
U M T R I Â N G U L O
5 . 3 - R E S O L V E R S I T U A Ç Õ E S - P R O B L E M A
N O Q U A L É N E C E S S Á R I O A I N T E R P R E T A Ç Ã O
G R Á F I C A D A E Q U A Ç Ã O D A R E T A
5 . 4 - R E S O L V E R S I T U A Ç Õ E S - P R O B L E M A
N O Q U A L É F O R N E C I D A A E Q U A Ç Ã O D A
C I R C U N F E R Ê N C I A E É S O L I C I T A D O O R A I O
D E L A
5 . 5 - R E S O L V E R S I T U A Ç Õ E S - P R O B L E M A
N O Q U A L S Ã O F O R N E C I D O S O C E N T R O E
O R A I O D A C I R C U N F E R Ê N C I A E
S O L I C I T A D O A E Q U A Ç Ã O D A M E S M A
5 . 6 - R E S O L V E R S I T U A Ç Õ E S - P R O B L E M A
N O Q U A L É F O R N E C I D O A E Q U A Ç Ã O D A
C I R C U N F E R Ê N C I A E É S O L I C I T A D O A Á R E A D O
C Í R C U L O .
GRÁFICO 17 - ESTUDO DO BLOCO 5 CONFORME OS DISCENTES
sim não
66
Quadro 6 – grau de dificuldade para aprender conforme os discentes – bloco 1
Grau de dificuldade para aprender MF
(VA)
F
(VA)
R
(VA)
D
(VA)
MD
(VA)
NR
(VA)
TO
TAL
(VA)
1.1- Identificar as coordenadas de um
ponto no 1º quadrante 6 19 42 14 3 5 89
1.2- Identificar as coordenadas de um
ponto no 2º quadrante 6 18 39 15 4 5 87
1.3- Identificar as coordenadas de um
ponto no 3º quadrante 4 16 32 14 3 6 75
1.4- Identificar as coordenadas de um
ponto no 4º quadrante 4 15 32 11 3 6 71
1.5- Identificar as coordenadas de um
ponto marcado sobre o eixo das
abscissas
4 18 38 18 3 5 86
1.6- Identificar as coordenadas de um
ponto marcado sobre o eixo das
ordenadas
5 16 41 20 2 5 89
1.7 - Marcar o ponto no 1º quadrante 6 14 37 11 2 4 74
1.8 - Marcar o ponto no 2º quadrante 6 13 38 10 2 2 71
1.9 - Marcar o ponto no 3º quadrante 5 14 35 8 3 4 69
1.10 - Marcar o ponto no 4º quadrante 7 14 34 10 0 6 71
1.11 - Marcar o ponto sobre o eixo X 8 27 39 15 3 4 96
1.12 - Marcar o ponto sobre o eixo Y 7 27 40 15 3 5 97
Fonte: pesquisa de campo (2014)
67
Fonte: pesquisa de campo (2014)
De acordo com o quadro 6 e o gráfico 18, e em relação ao grau muito fácil,
destacamos o item 1.11, no qual possui maior frequência absoluta nessa categoria,
nele é abordado a marcação dos pontos sobre o eixo das abcissas, no entanto a maior
frequência absoluta nesse item é 39, 41% dos alunos que consideraram “regular”, ou
seja, não é fácil, mas também não chega a ser de difícil compreensão. Já em relação
ao grau fácil, ressaltamos o item 1.12 – apresenta frequência absoluta de 27 respostas
– que aborda a marcação dos pontos sobre o eixo das ordenadas e sua maior
frequência absoluta concentra-se no grau regular, com 40 respostas, equivalentes a
7% 7%
5% 6% 5% 6%
8% 8% 7%
10%
8% 7%
21%
21%
21%
21%
21%
18%
19%
18% 20
%
20%
28%
28%
47%
45%
43% 45
%
44% 46
%
50%
54%
51%
48%
41%
41%
16%
17% 19
%
16%
21%
22%
15%
14%
12% 14
% 16%
16%
3% 4% 4% 4% 3% 2% 3% 3% 4%
0%
3% 3%
6% 6%
8% 8%
6% 6% 5%
3%
6%
8%
4% 5%
GR ÁFICO 18 - GRAU DE DIFICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS
DISCENTES – B LOCO 1Muito Fácil Fácil Regular Difícil Muito Difícil Não Respondeu
68
41%. Os dois casos nos chamaram atenção porque considerávamos a marcação dos
pontos como habilidades muito fácil ou fácil, contudo observamos que tanto para os
itens 1.11 e 1.12, a maior parte dos informantes consideram regulares, difíceis e muito
difíceis resultando na maioria absoluta, com a soma de 60% ao item 1.11 e 59% ao
item 1.12.
Em relação ao grau “difícil”, destacam-se os itens 1.5 e 1.6, que tratam da
identificação das coordenadas sobre os eixos das abcissas e ordenadas. Já a
frequência absoluta maior ao grau “muito difícil” está no item 1.2, que aborda a
identificação dos pontos no 2º quadrante. Isso já era esperado, pois os alunos,
geralmente, conforme nossa experiência docente, sentem dificuldades em manipular
números negativos e o zero, elementos necessários a serem abordados para trabalhar
os itens em questão, embora que a maioria desses alunos não consideraram “difícil”
ou “muito difícil”, como mostra os índices gerais desses graus de dificuldade em
aprender.
Abaixo temos o quadro 7 que traz a avaliação do bloco 2, em valores absolutos
(VA):
Itens referentes ao bloco 2 MF
(VA)
F
(VA)
R
(VA)
D
(VA)
MD
(VA)
NR
(VA)
TOTAL
(VA)
2.1 - Encontrar a distância entre dois pontos 8 34 42 10 4 5 103
2.2 - Encontrar as coordenadas do ponto médio de um
segmento de reta
6 22 49 18 2 3 100
2.3 - Determinar o ponto de intersecção de duas retas 3 16 40 18 4 7 88
2.4 - Verificar se um ponto pertence a uma reta 6 24 44 17 2 4 97
2.5 - Verificar quando os pontos estão alinhados 5 22 50 17 2 4 100
2.6 - Encontrar a área de um triângulo a partir 3 pontos 5 11 43 19 6 3 87
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
Quadro 7 – Grau de dificuldade para aprender conforme os discentes – Bloco 2
69
Fonte: pesquisa de campo (2014)
De modo geral, os alunos consideram os tópicos desse bloco de “regular”
compreensão, conforme o quadro 7 e o gráfico 19. Dentre os que avaliaram em fácil,
o item 2.1 (distância entre dois pontos) teve maior frequência relativa, o que foi
esperado, já que são os principais elementos trabalhados em sala de aula, quando se
refere ao estudo da Geometria Analítica. Dentre os que avaliaram em Difícil ou Muito
Difícil, o item 2.6 (área do triângulo) teve maior frequência, que também era esperado,
pois o cálculo da área, do ponto de vista da Geometria Analítica, geralmente é
abordado através do cálculo de determinante, que ainda é um obstáculo de
aprendizagem, como sugere nossa experiência docente. O quadro 8 mostra a
avaliação dos alunos acerca do bloco 3, que se refere ao estudo da reta por meio das
frequências absolutas (FA).
Quadro 8 – Grau de dificuldade para aprender conforme os discentes – Bloco 3
Itens referentes ao bloco 3
MF
(F
A)
F (
FA)
R (
FA)
D (
FA)
MD
(F
A)
NR
(F
A)
TO
TA
L (
FA)
3.1 - Determinar a declividade de uma reta 5 15 45 18 7 5 95
3.2 - Escrever a equação da reta na sua forma geral 9 22 41 17 3 4 96
3.3 - Escrever a equação da reta na sua forma segmentária 5 15 34 19 3 5 81
3.4 - Escrever a equação da reta na sua forma paramétrica 1 9 22 18 3 4 57
3.5 - Representar graficamente de uma equação da reta 5 22 41 18 3 5 94
3.6 - Determinar a equação da reta a partir de 2 pontos 7 26 42 15 3 4 97
8% 6%
3%
6% 5% 6%
33%
22%
18% 25
%
22%
13%
40%
49%
45%
45% 50
%
49%
10%
18% 21
%
18%
17% 22
%
4% 2%
5%
2% 2%
7%5% 3%
8%
4% 4% 3%
2 . 1 -E N C O N T R A R A
D I S T Â N C I A E N T R E D O I S
P O N T O S
2 . 2 -E N C O N T R A R A S C O O R D E N A D A S
D O P O N T O M É D I O D E U M S E G M E N T O D E
R E T A
2 . 3 -D E T E R M I N A R O
P O N T O D E I N T E R S E C Ç Ã O
D E D U A S R E T A S
2 . 4 -V E R I F I C A R S E
U M P O N T O P E R T E N C E A U M A R E T A
2 . 5 -V E R I F I C A R
Q U A N D O O S P O N T O S E S T Ã O
A L I N H A D O S
2 . 6 -E N C O N T R A R A Á R E A D E U M
T R I Â N G U L O A P A R T I R 3 P O N T O S
GRÁFICO 19 - GRAU DE DIF ICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DISCENTES - BLOCO 2
Muito Fácil Fácil Regular Difícil Muito Difícil Não Respondeu
70
3.7- Determinar a equação da reta a partir de 1 ponto e sua
declividade 3 13 44 20 4 5 89
3.8 - Reconhecer retas paralelas 8 26 40 12 4 4 94
3.9 - Reconhecer retas concorrentes 5 18 40 11 3 3 80
3.10- Reconhecer retas são perpendiculares 6 21 46 13 4 6 96 3.11 - Determinar a equação da reta paralela a outra conhecendo um
ponto da mesma 1 11 35 21 4 3 75
3.12 – Determinar a equação da reta perpendicular à outra reta
conhecendo um ponto da primeira reta 0 12 37 8 2 2 61
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
Fonte: pesquisa de campo (2014)
Os alunos declararam que os tópicos trabalhados nesse bloco também são de
“regular” compreensão, de acordo com as frequências apontadas no quadro acima. O
tópico considerado “mais difícil” foi a determinação da declividade de uma reta, e o
“mais fácil” escrever a equação da reta na sua forma geral.
O quadro 9 mostra a avaliação do bloco 4 conforme os alunos:
5%
9%
6%
1%
5% 7%
3%
8% 6% 6%
1% 0%
16%
23%
19%
16%
24% 27
%
15%
28%
22%
22%
15% 20
%
48%
43%
42%
39% 44
%
43% 49
%
43%
50%
48%
47%
61%
19%
18% 23
%
32%
19%
16%
23%
13%
14%
14%
28%
13%
7%
3% 4% 5% 3% 3% 4% 4% 4% 4% 5% 3%5% 4% 6% 7% 5% 4% 6% 4% 4% 6% 4% 3%
GRÁFICO 20 - GRAU DE DIF ICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DISCENTES - BLOCO 3
Muito Fácil Fácil Regular Difícil Muito Difícil Não Respondeu
71
Quadro 9 – Grau de dificuldade para aprender conforme os discentes – Bloco 4
Itens referentes ao bloco 4 MF
(VA)
F
(VA)
R
(VA)
D
(VA)
MD
(VA)
NR
(VA)
Total
(VA)
4.1 - Reconhecer uma equação da circunferência em sua
forma reduzida 8 10 49 10 7 3
87
4.2 - Reconhecer uma equação da circunferência em sua
forma geral 5 26 49 13 4 3
100
4.3 - Determinar o centro a partir da equação reduzida da
circunferência 9 23 44 17 4 4
101
4.4 - Determinar o centro a partir da equação geral da
circunferência 9 24 43 17 5 4
102
4.5 - Determinar o raio a partir da equação reduzida da
circunferência 9 29 38 19 4 3
102
4.6 - Determinar o raio a partir da equação geral da
circunferência 8 23 45 16 5 4
101
4.7 - Verificar se um ponto pertence ou não a uma
circunferência 4 20 44 17 4 5
94
4.8 - Representar graficamente uma circunferência 3 15 44 10 5 4 81
4.9 - Reconhecer quando uma reta é secante à
circunferência 1 6 34 13 4 3
61
4.10 - Reconhecer quando uma reta é tangente à
circunferência 2 10 35 18 5 3
73
4.11 - Reconhecer quando uma reta é exterior à
circunferência 1 7 33 14 5 4
64
4.12 - Determinar a equação da circunferência a partir da
tangência exterior a outra circunferência 0 5 27 22 3 4
61
3.13 – Determinar a equação da circunferência a partir da
tangência interna a outra circunferência 0 6 24 16 5 4
55
3.14 – Determinar a área da circunferência a partir da
equação dela 0 12 44 14 5 3
78
Fonte: pesquisa de campo (2014)
Fonte: pesquisa de campo (2014)
9%
5%
9% 9% 9% 8%
4% 4%
1% 3% 1% 0% 0% 0%
12%
26%
23%
23% 28
%
23%
22%
19%
10% 13
%
11%
8%
11% 15
%
56%
49%
43%
42%
37% 44
% 47% 54
%
56%
48% 52
%
44%
44%
56%
12%
13% 17
%
17%
19%
16%
18%
12%
21% 25
%
22%
36%
29%
18%
8%
4% 4% 5% 4% 5% 4% 6% 7% 7% 8%
5%
9%
6%
3% 3% 4% 4% 3% 4% 5% 5% 5% 4% 6% 7% 7% 5%
GRÁFICO 21 - GRAU DE DIFICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DISCENTES - BLOCO 4
Muito fácil fácil regular difícil Muito Difícil Não Respondeu
72
As frequências do quadro 9 e do gráfico 21 acima indicam que os alunos
consideraram “regular”, como foram apontados nos outros blocos. Dos tópicos
declarados “mais fáceis” foram as determinações do centro e do raio a partir da
equação geral e reduzida da circunferência, e do grau de dificuldade “mais difícil”, a
maior frequência é reconhecer uma equação da circunferência em sua forma reduzida
e da categoria “difícil” a determinação da equação da circunferência a partir da
tangência exterior a outra circunferência teve o maior índice.
O quadro 10 aponta a avaliação do bloco 5 (Situações-problema) pelos alunos,
em valores absolutos (VA):
Quadro 10 – Grau de dificuldade para aprender conforme os discentes – Bloco 5
Itens referentes ao bloco 5 MF
(VA)
F
(VA)
R
(VA)
D
(VA)
MD
(VA)
NR
(VA)
Total
(VA)
5.1 - Resolver situações-problema no qual são
fornecidos os pontos e solicitada a equação da reta 0 13 30 24 5 5 77
5.2 - Resolver situações-problema no qual são
fornecidos os pontos e solicitada a área de um
triângulo
2 11 41 16 8 2 80
5.3 - Resolver situações-problema no qual é
necessário a interpretação gráfica da equação da reta 0 7 41 26 4 2 80
5.4 - Resolver situações-problema no qual é fornecida
a equação da circunferência e é solicitado o raio dela 1 17 49 19 4 6 96
5.5 - Resolver situações-problema no qual são
fornecidos o centro e o raio da circunferência e
solicitado a equação da mesma
1 15 49 21 6 5 97
5.6 - Resolver situações-problema no qual é fornecido
a equação da circunferência e é solicitado a área do
círculo.
1 7 47 23 12 5 95
Fonte: pesquisa de campo (2014)
73
Fonte: pesquisa de campo (2014)
Assim como nos blocos anteriores, esse bloco foi considerado “regular” pelos
alunos. As situações-problema nos quais são fornecidos os pontos e solicitada a área
de um triângulo foram declarados os itens mais fáceis, enquanto as mais difíceis foram
consideradas as situações-problema nos quais são necessárias as interpretações
gráficas da equação da reta, tiveram as maiores frequências.
2.1.3 Resultados do teste diagnóstico em Geometria Analítica
A terceira parte do questionário foi composta por um teste com 10 questões
(apêndice A), sendo 8 subjetivas e 2 objetivas de múltipla escolha, onde denominamos
de teste diagnóstico. Todas as questões foram problemas de Matemática retirada de
livros didáticos mais utilizados nas Escolas Públicas do Estado do Pará e outros de
vestibulares e do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) dos anos compreendidos
entre 2009 e 2013. O quadro abaixo especifica a fonte bibliográfica, o ano de
publicação, o assunto abordado e estilo de questões que classificamos em contexto e
direta, onde o estilo contexto será o problema que apresentar contextualização em
0%
2,50
%
0% 1% 1% 1%
17%
14%
8,50
%
18%
15%
7,50
%
39%
51%
51%
51%
51%
49,5
0%
31%
20%
33%
20% 22
% 24%
6,50
%
10%
5% 4%
6%
13%
6,50
%
2,50
%
2,50
%
6% 5% 5%
GRÁFICO 22 - GRAU DE DIFICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DISCENTES - BLOCO 5
Muito fácil Fácil Regular Difícil Muito Difícil Não respondeu
74
alguma situação e o estilo direta, se o problema for apenas numérico, sem
contextualização. Para nossa pesquisa, optamos por 50% direta e 50% contexto,
como veremos a seguir:
QUESTÕES FONTE ANO ESTILO ASSUNTO ABORDADO
01 Questão do livro
“Matemática volume 3” 2009 Direta
Ponto médio de um segmento
02 Questão do livro
“Matemática volume 3” 2009 Direta Distância entre dois pontos
03 Questão da prova de
seleção da UFPI 2009
Direta
Equação da reta a partir da área de um triângulo
04 Questão da prova de seleção da UNICAMP
2010 Contexto Distância entre dois pontos
05 Questão do livro
“Matemática: contexto e aplicações”
2013 Direta Equação da circunferência
06 Questão do livro
“Matemática: contexto e aplicações”
2013 Direta Área do triângulo a partir de
3 pontos
07 Questão da prova de
seleção da UEPA 2012 Contexto
Coordenadas de pontos a partir da equação da reta
08
Questão da prova de seleção da UEPA
(adaptada pela pesquisadora)
2011 Contexto Área do círculo a partir da equação da circunferência
09 Questão do exame ENEM 2010 Contexto Localização de pontos
10 Questão do exame ENEM 2013 Contexto Gráfico da circunferência Fonte: pesquisa de campo (2014)
No teste diagnóstico, aos discentes, não apareceu a origem das questões
porque, conforme nossa experiência docente, quando os discentes, em sua maioria,
sabem de onde são originados os problemas para serem resolvidos, rejeitam as
questões justificando que não conseguem resolver e acabam, sem ao menos ler o
problema, não resolvendo a questão. Logo escolhemos não declarar a instituição que
produziu cada questão.
A maior parte dos alunos, equivalente a 71%, não respondeu alguns problemas
das questões. O quadro 12 apresenta os valores absolutos e relativos de acertos e
erros das 10 questões.
Quadro 12 – acertos e erros das questões do teste diagnóstico
QUESTÕES Acertos
(FA)
% Erros (FA) % Em Branco (FA) %
1ª QUESTÃO 15 13,5% 15 13,5% 83 73%
2ª QUESTÃO 11 10% 19 17% 83 73%
3ª QUESTÃO 0 0% 13 12% 100 88%
4ª QUESTÃO 0 0% 18 16% 95 84%
5ª QUESTÃO 5 4% 17 15% 91 81%
Quadro 11 – Características das questões do teste diagnóstico
75
6ª QUESTÃO 1 1% 12 11% 100 88%
7ª QUESTÃO 0 0% 9 8% 104 92%
8ª QUESTÃO 3 3% 6 5% 104 92%
9ª QUESTÃO 21 19% 67 59% 25 22%
10ª
QUESTÃO
10 9% 81 72% 22 19%
Fonte: pesquisa de campo (2014)
O gráfico 23 aponta que a maioria dos alunos deixaram as questões em branco,
apesar de declararem que os conhecimentos de Geometria Analítica são de regulares
compreensão.
Fonte: Pesquisa de campo (2014)
A primeira questão, como resume o quadro 10, tratou do ponto médio de um
segmento entre dois pontos no primeiro quadrante, no qual obtivemos apenas 13%
de acertos, o que contradiz os resultados das avaliações referente a esse item (bloco
2), pois 77% dos alunos afirmaram que esse assunto é “fácil’, ‘muito fácil’ e de “regular”
compreensão, conforme o quadro 5, logo esperávamos um resultado mais alto.
A segunda questão abordou da distância entre dois pontos no primeiro
quadrante e tivemos 10% de acertos, enquanto o erro alcançou 17%. A terceira
questão que trabalhou equação da reta, teve um índice de acertos de 0%, assim como
a questão 4, que tratou da distância entre dois pontos contextualizado em um
problema envolvendo leitura de mapa e escala, e a questão 7, que solicitou as
13,5
0%
10%
0% 0%
4%
1% 0%
3%
19%
9%
13,5
0%
17%
12% 16
%
15%
11%
8%
5%
59%
72%
73%
73%
88%
84%
81% 88
% 92%
92%
22%
19%
Q U E S T Ã O 1
Q U E S T Ã O 2
Q U E S T Ã O 3
Q U E S T Ã O 4
Q U E S T Ã O 5
Q U E S T Ã O 6
Q U E S T Ã O 7
Q U E S T Ã O 8
Q U E S T Ã O 9
Q U E S T Ã O 1 0
GRÁFICO 23 - ACERTOS E ERROS DAS QUESTÕES DO TESTE DIAGNÓSTICO
Acertos Erros Em Branco
76
coordenadas de pontos a partir da leitura gráfica da reta, sendo que nos três
problemas a maioria dos alunos optaram em não os resolver.
A quinta questão solicitou de maneira direta a equação da circunferência,
fornecendo o centro e o raio e teve como frequência de acertos somente 4%. A sexta
questão, que pediu a área de uma figura composta por dois triângulos inseridos no
plano cartesiano obteve apenas um acerto, enquanto que 88% dos alunos deixaram
a questão em branco. A oitava questão solicitou a área do círculo a partir da equação
geral da circunferência por meio de uma situação-problema e obteve como resultado
apenas 3% de acertos. A nona questão que trabalhou localização de pontos foi o
problema com maior índice de acertos (19%), enquanto que a décima – abordou a
identificação gráfica da circunferência – obteve um acerto de 9%. Esses desempenhos
nas resoluções geraram o gráfico 24, com os valores relativos, em %, referentes as
notas, em uma escala de 0 a 10, alcançadas pelos alunos consultados.
Fonte: pesquisa de campo (2014)
De acordo com o gráfico 24, nenhum aluno consegue acertar mais do que a
metade do teste, sendo que apenas 2% (2 alunos) acertaram cinquenta por cento do
teste. A maioria absoluta, 64% (72 alunos), tiveram nota zero e, consequentemente,
a média das notas inferior a 1 – aproximadamente 0,6 – embora, conforme as
declarações os alunos, os conhecimentos serem considerados regulares, fácil e muito
fácil, com índices superiores ao grau difícil e muito difícil.
64%
25%
5%
1%
3% 2%
N O T A 0 N O T A 1 N O T A 2 N O T A 3 N O T A 4 N O T A 5
GRÁFICO 24 - NOTAS DO TESTE DIAGNÓSTICO DOS ALUNOS CONSULTADOS
Quantidade de alunos, em %, que obtiveram a nota destacada
77
Das informações disponibilizadas pelos discentes, podemos inferir a
necessidade de possibilitar meios mais diferenciados de ensino, uma vez que os
alunos declararam que a abordagem dos seus professores é, predominantemente,
tradicional, considerando esse modo aquele em que os professores usam como
recursos aulas expositivas, com apresentação de definição, exemplos e exercícios, e
isso não refletiu nas avaliações fornecidas pelos discentes, nem nos resultados do
teste diagnóstico realizado, já que a média das notas foram inferiores a um. Esse
necessário aprimoramento de ensino exige cuidado com a didática e metodologia
utilizadas em sala de aula, já que a ajuda profissional (professor particular) é muito
inferior ao índice que representa a ausência de ajuda. Nesse sentido, o que pensam
os docentes acerca desse processo de ensino e aprendizagem da Geometria
Analítica? Para responder tal questionamento, consultamos professores do estado do
Pará para verificar a visão docente sobre o ensino da Geometria Analítica.
2.2 CONSULTA A DOCENTES SOBRE O ENSINO E APRENDIZAGEM DE
GEOMETRIA ANALÍTICA
A consulta aos docentes compreendeu a última etapa realizada para compor a
fase de análises prévias dessa pesquisa e aconteceu no período de dezembro de
2014 a junho de 2015 com os professores de Matemática da rede estadual de ensino
do estado do Pará. Os participantes desse processo foram 30 professores que
ministram aulas de Matemática no 3º ano do Ensino Médio e se disponibilizaram a
participar da pesquisa. Esses professores são dos municípios de Belém, Ananindeua,
Bragança, Castanhal e Tailândia.
Essa consulta foi realizada por meio de um questionário (apêndice B) –
impresso e online. Dividimos em três partes esse questionário: a primeira parte
composta de solicitação de dados pessoais, acerca da faixa etária, tempo de serviço,
escola em que trabalha, formação acadêmica, dentre outras. A segunda parte consiste
em solicitação de informações sobre sua experiência docente, e a terceira, com a
avaliação docente relacionada ao grau de dificuldade para os alunos à resolução de
problemas de livros didáticos, de vestibulares e de Exame Nacional do Ensino Médio.
O tratamento das informações tem abordagens de aspectos quantitativos, com análise
78
de gráficos, quadros, tabelas, e qualitativos, levantando discussões acerca de alguns
problemas didático-pedagógicos.
2.4.1 Perfil dos docentes
Nessa consulta prévia, participaram 10 professoras e 20 professores, sendo
que 60% são, exclusivamente, docentes da escola pública do estado do Pará e 40%
são de escolas públicas e de outras instituições, dentre as municipais, federais e
privadas. Os professores estão concentrados, com 33% aproximadamente, na faixa
etária de 36 a 40 anos, como mostra a tabela 12 a seguir:
Tabela 12 – Faixa etária dos docentes paraenses
Faixa Etária Frequência Relativa
< 21 3%
26 a 30 17%
31 a 35 17%
36 a 40 33%
41 a 45 17%
46 a 50 6,5%
51 a 55 6,5%
Fonte: pesquisa de campo (2015)
Fonte: pesquisa de campo (2015)
Em relação ao tempo de serviço, a tabela 13 mostra que os maiores índices
estão na faixa de 6 a 10 anos e 11 a 15 anos de tempo de serviço, o que demonstra
um grupo experiente no trabalho docente.
< 213%
26 a 3017%
31 a 3517%
36 a 4033%
41 a 4517%
46 a 506,5%
51 a 556,5%
Gráfico 25 - Faixa etária dos docentes paraenses
< 21
26 a 30
31 a 35
36 a 40
41 a 45
46 a 50
51 a 55
79
Tabela 13 – Tempo de Serviço Docente
Tempo de Serviço Frequência Relativa
< 21 3%
1 a 5 10%
6 a 10 30%
11 a 15 30%
16 a 20 20%
21 a 25 3%
31 a 35 3%
Fonte: pesquisa de campo (2015)
Fonte: pesquisa de campo (2015)
O gráfico 27 retrata o nível de aperfeiçoamento (pós-graduações) em que estão
os docentes desta pesquisa.
< 214% 1 a 5
10%
6 a 1030%
11 a 1530%
16 a 2020%
21 a 253%
31 a 353%
GRÁFICO 26 - TEMPO DE SERVIÇO DOCENTE
80
Fonte: pesquisa de campo (2014)
Sobre a escolaridade dos professores consultados, destacamos que todos que
possuem algum tipo de pós-graduação estão na área educacional, sendo que 8 na
Educação Matemática, 2 na Educação Inclusiva, 1 na Didática da Matemática, 2 na
Informática Educativa, 1 na Matemática Elementar, 1 na Diversidade Racial, 1 no
Ensino da Matemática a E.J.A., 1 na Docência Superior e os outros, que estão na
categoria mestrado, em andamento ou concluído, atuam na área de Educação, seja
Matemática ou não.
Todos os professores que estão nas faixas de tempo de serviço entre 6 a 15
anos, que corresponde a 60% como mostra a tabela 13, têm pós-graduação,
especialização ou mestrado, o que indica uma apropriação maior, pelo menos
teoricamente, do campo educacional, no que concerne teorias e técnicas de ensino e
aprendizagem.
A maioria dos professores (27 participantes) declararam que inserem a
Geometria Analítica nos planos de cursos anuais de sua escola, desses 7% ensinam
esse conhecimento matemático no 2º ano do nível médio, enquanto que 93% afirmam
que ensinam no 3º ano, o que acompanha o plano anual de educação – guia dos
estudantes do Ensino Médio: orientações gerais - disponível na Secretaria de
Educação do Estado, por meio de seu site. Nele é proposto o estudo do plano
cartesiano, retas, circunferências, paralelismo e perpendicularidade no 3º bimestre do
3º ano do Ensino Médio.
Somente Graduação23%
Especialização57%
Mestrado em andamento
7%
Mestrado concluído13%
Gráfico 27 - Escolaridade dos Docentes
Somente Graduação
Especialização
Mestrado em andamento
Mestrado concluído
81
Durante sua formação acadêmica, apenas 9 professores afirmaram não ter
estudado disciplina sobre o ensino da Geometria Analítica. Dos que declararam que
estudaram, 76% afirmaram estudar a disciplina Geometria Analítica, enquanto que
19% declararam que abordaram esse conhecimento na disciplina Álgebra. No entanto,
nenhum participante fez referência ao ensino, pois de acordo com as ementas desses
cursos nas principais instituições de formação dos docentes (UFPA, UEPA e UNAMA),
o estudo das referidas disciplinas é realizado exclusivamente no campo da
Matemática pura e aplicada.
Quando perguntamos se os professores participaram de algum evento, tais
como congresso, seminário, palestra, dentre outros, sobre o ensino de Geometria
Analítica, obtivemos que 4 docentes participaram de algum desses eventos, contudo
todos declararam cursos de Geometria Analítica pura, sem citar algum relacionado
com o ensino.
Dos professores consultados, 43% afirmaram que ensinam Geometria Analítica
do mesmo modo que aprenderam em sua formação básica, como ilustra o gráfico 28
e quadro 13.
Quadro 13 – Professores que ensinam da mesma maneira que
aprenderam
Ensina da mesma maneira que aprendeu? (%)
Sim 43%
Não 57%
Fonte: pesquisa de campo (2015)
Fonte: pesquisa de campo (2015)
sim43%
não57%
GRÁFICO 28: PROFESSORES QUE ENSINAM DA MESMA MANEIRA QUE APRENDERAM
82
Ao perguntar sobre o modo como os professores aprenderam geometria
Analítica na época em que estudou tal assunto, a maioria respondeu que foi pela
definição seguida de exemplos, como mostra o quadro 14 e o gráfico 29, assim como
os discentes responderam, quando consultados, em 2014.
Quadro 14 – Modo como os professores aprenderam geometria analítica na educação básica
O modo como aprendeu Geometria Analítica Valor Relativo
Com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
3%
Pela definição seguida de exemplos e exercícios 83%
Pela definição seguida de exemplos e exercícios e com uma situação problema para depois introduzir o assunto
11%
Não informou 3% Fonte: pesquisa de campo (2015)
Fonte: Pesquisa de campo (2015)
Dos professores que declararam que ensinam da mesma maneira que
aprendeu, todos afirmaram que a maioria das aulas eram iniciadas pela definição
seguida de exemplos e exercícios, sendo que apenas 8% cita também a situação-
problema para introduzir o assunto de Geometria Analítica, o restante apontou como
única alternativa o referido modo de ensino predominante.
Conforme o quadro 15 e o gráfico 30, os professores, em geral, trabalham o
conhecimento geométrico analítico de modo tradicional, considerando que esse modo
tem seu início na definição de conteúdo, depois a resolução de exemplos e, em
Com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo
3%
Pela definição seguida de exemplos e exercícios
83%
Pela definição seguida de exemplos, exercícios e com uma situação problema para depois
introduzir o assunto11%
Não informou3%
GRÁFICO 29: MODO COMO OS PROFESSORES APRENDERAM GEOMETRIA ANALÍTICA NA EDUCAÇÃO BÁSICA
83
seguida, a apresentação de exercícios. Como as informações seguintes tem haver
diretamente com o ensino da Geometria Analítica e um professor declarou que não
ensina tal conteúdo, desconsideramos sua opinião quando relacionado com o ensino
do referido objeto matemático.
Quadro 15 – Modos de ensinar conforme os docentes
Modos de ensinar Frequência Relativa
Com um modelo para situação e em seguida analisa o modelo 10%
Com uma situação-problema para depois introduzir o assunto 28%
Pela definição seguida de exemplos e exercícios 45%
Com jogos para depois sistematizar os conceitos 0%
Com um experimento para chegar ao conceito 0%
Com uma situação-problema para depois introduzir o assunto
e pela definição seguida de exemplos e exercícios
17%
Fonte: pesquisa de campo (2015)
O gráfico 30 nos revela que nenhum professor, dentre os consultados que
ensinam Geometria Analítica, utiliza o jogo e a o experimento didático em suas
práticas docentes, em relação a Geometria Analítica, no qual o meio de ensino mais
utilizado é o uso da definição, exemplos e exercícios.
Fonte: pesquisa de campo (2015)
Modelagem10%
Situação-problema28%
Definição45%
Jogo0%
Experimento didático
0%
Situação-problema e definição
17%
GRÁFICO 30 - MODOS DE ENSINAR CONFORME OS DOCENTES
84
Como os professores demonstraram conforme a quadro 16, permeiam em suas
práticas de fixação de conteúdos o uso da lista de exercícios, que somam 90% das
declarações.
Quadro 16 – Modo de fixação conforme docentes
Modo de Fixação Frequências
Relativas
Apresentar listas de exercícios para ser resolvidas 49%
Lista de exercícios e jogos 3%
Livro didático 7%
Lista de exercícios e livro didático 17%
Livro didático, lista de exercício e solicitação de pesquisa 24%
Fonte: pesquisa de campo (2015)
O gráfico 31 ilustra predomina, nas práticas cotidiano dos docentes, o uso de
lista de exercício e /ou livro didático.
Ao relacionar a maneira de ensinar e exercitar, percebemos dos que optam
pela aula tradicional, preferem o uso somente de lista de exercício e/ou livro didático,
enquanto que os 8 docentes, que afirmaram utilizar a situação-problema para
introduzir o assunto conforme a tabela 14 (em valores relativos), se inseriram em todas
as opções existentes nessa tabela, estabelecendo uma variedade de utilização de
recursos didáticos para fixar os conteúdos trabalhados.
Lista de exercícios49%
Lista de exercícios e jogos
3%
Livro didático7%
Lista de exercícios e livro didático
17%
Livro didático e lista de exercício e
solicitação de pesquisa
24%
GRÁFICO 30 - MODO DE FIXAÇÃO CONFORME OS DOCENTES
Fonte: pesquisa de campo (2015)
85
Tabela 14 – Ensino e Exercício dos conteúdos conforme os docentes
MODOS DE
ENSINAR
Modos de Exercitar
Lista de
exercícios
Lista de
exercícios
e jogos
Lista de
exercícios
e livro
didático
Lista de
exercícios,
livro
didático,
Solicitação
de
pesquisa
Livro didático
Modelagem 7%
Situação-
problema
7% 3% 7% 7% 3%
Definição 33%
7% 7%
Jogo
Experimento
didático
Definição e
situação-
problema
3%
3% 10% 3%
Fonte: pesquisa de campo (2015)
Na tabela 14, ressaltamos o fato de apenas um professor mencionar o uso do
jogo, que é um recurso muito eficaz para estimular a reflexão e ação. Conforme
Brenelli (2005, p.24) os jogos “revestem-se de importância na medida que permitem
investigar, diagnosticar e remediar as dificuldades, sejam elas de ordem afetiva,
cognitiva ou psicomotora”. Quando comparamos os dados do quadro 13, levando em
conta as categorias Modelagem, Situação-problema, definição, jogos e experimentos
didáticos, com as pesquisas de Santos (2012), Gomes (2013) e Silva (2014), que
também buscaram ter a opinião de docentes sobre o modo de ensinar determinados
assuntos matemáticos, percebemos que aconteceram algumas variações que
entendemos como positiva, no que concerne ao modo como se ensina e exercita,
como mostram o gráfico 32 e 33.
86
No gráfico 32, em relação a categoria definição decresceu os índices do modo
tradicional de ensinar, desde 2013, o que pode ser um indicativo de transformação, já
que os resultados negativos que mostram as avaliações, tanto nacionais como
regionais, na educação, sugerem a necessidade de mudança para que haja um
avanço nos resultados de aprendizagem em Matemática.
Em relação à modelagem, houve uma evolução, já que em 2013 era 0%
passando para 10% em 2015, mostrando de maneira ainda discreta que a modelagem
Matemática está ganhando espaço nas práticas docentes como metodologia de
ensino. A categoria situação-problema está presente em todas as referidas pesquisas,
com índices crescentes até 2014 e em2015 baixou seu índice para 27%, porém
continua como o segundo maior modo de ensinar, atrás apenas do modo
predominante de ensino, que se concentra na categoria definição.
A categoria jogo tem um índice, em %, muito pequeno e aparece apenas nas
pesquisas de Santos (2012) e Silva (2014). Essa insignificante frequência do jogo nas
aulas de Matemática, seja para abordar conteúdos ou para ser um meio de fixação,
pode ter ocorrido, conforme nossa experiência docente, por conta do modo como a
sociedade encara esse procedimento metodológico, pois para alguns professores e
alunos, principalmente do Ensino Médio, o jogo não representa um meio de
construção de conhecimento, e sim apenas um momento de entretenimento.
Conforme Smole et. al (2008, p. 10):
Uma das fases escolares que menos utiliza jogos nas aulas de Matemática é, sem dúvida, o ensino médio. De fato, o sistema educativo de modo geral oferece resistência a esse recurso devido a uma crença bastante difundida na sociedade de que a Matemática se constitui em uma disciplina séria,
6%
0 2%
10%
18%
35%
47%
27%
28%
62%
45%
43%
11%
0% 2%3% 3% 4%
S A N T O S ( 2 0 1 2 ) G O M E S ( 2 0 1 3 ) S I L V A ( 2 0 1 4 ) P E S Q U I S A A T U A L ( 2 0 1 5 )
GRÁFICO 32 - MODO DE ENSINAR, CONFORME PESQUISAS ENTRE 2012 A 2015, SEGUNDO DOCENTES
Modelagem Situação-problema Definição Jogos Experimento didático
Fonte: pesquisa de campo (2015)
87
enquanto a utilização de jogos supõe introduzir a essa disciplina um componente divertido, o que comprometeria tal seriedade. Assim, o jogo na escola foi muitas vezes negligenciado por ser visto como uma atividade de descanso ou apenas como um passatempo.
A categoria experimento didático não aparece nos referidos estudos, no
entanto, nesta pesquisa, ao serem perguntados se já realizaram algum experimento
didático, três professores declararam que utilizaram como experimento didático
atividades com programas matemáticos educacionais e citam o Geogebra como
exemplo.
Dos docentes que declararam ter feito nenhum experimento, 51% afirmaram
que o motivo pelo qual não o realizaram foi a carga horária curta, que atualmente são
de 4 aulas semanais com 45 minutos cada. 30% desconhecem experimentos que
trabalham Geometria Analítica, 15% preferem ministrar o conteúdo de maneira
expositiva e 4% declararam não ter interesse em fazer experimento didático.
O gráfico 33 mostra um comparativo, de 2012 a 2015, sobre a maneira de
exercitar determinados conteúdos matemáticos.
A lista de exercícios é o recurso mais utilizado, em todas as pesquisas, não de
maneira regularmente crescente, mas está presente com frequências, relativamente,
altas, quando comparadas com os outros recursos.
A incidência do jogo nas maneiras de realizar fixação de conteúdo aparece de
maneira irregular, sendo que na pesquisa atual não há jogo no rol de respostas dos
participantes. O livro didático é um recurso de pouca utilização, conforme os
professores, já que só aparece nas pesquisas de Santos (2012), Silva (2014) e na
pesquisa atual, com índices muito baixos, apesar de que o livro é o único recurso
didático disponível na maioria das Escolas Públicas do Estado do Pará. Nessa
22%
76%
51%
47%
15%
4%
47%
0%
17%
0% 3% 7%0% 5% 0% 3%0%
15%
0% 0%
S A N T O S ( 2 0 1 2 ) G O M E S ( 2 0 1 3 ) S I L V A ( 2 0 1 4 ) P E S Q U I S A A T U A L ( 2 0 1 5 )
GRÁFICO 33 - MODO DE EXERCITAR CONTEÚDOS CONFORME PESQUISAS ENTRE 2012 A 2015, SEGUNDO
DOCENTES
Lista de exercícios Jogos Livro didático Lista/Jogos Lista/livro
Fonte: pesquisa de campo (2015)
88
consulta, perguntamos se os professores usam o livro didático adotado pela escola e
obtemos que 77% usam o livro, enquanto que 17% não utiliza e 6% não respondeu.
A tabela 15, com as frequências relativas (FR), mostra a declaração dos
professores participantes dessa pesquisa sobre a carga-horária, despendida ao
estudo da Geometria Analítica em sala de aula, levando em conta aulas de 45 minutos.
Tabela 15 – Carga-horária que os docentes trabalham com a
geometria analítica
Carga-horária FR
3 3%
4 3%
9 3%
10 15%
12 7%
14 3%
15 3%
16 22%
20 11%
30 7%
32 3%
36 3%
40 11%
48 3%
80 3% Fonte: Pesquisa de campo (2015)
3% 3% 3%
15%
7%
3% 3%
22%
11%
7%
3% 3%
11%
3% 3%
3 4 9 1 0 1 2 1 4 1 5 1 6 2 0 3 0 3 2 3 6 4 0 4 8 8 0
GRÁFI CO 34 - CARGA-HORÁRI A QUE OS D OCENTES TRABALHAM COM A GEOMETRI A ANALÍ TI CA
Fonte: Pesquisa de campo (2015)
89
Ao considerar os 29 professores declarantes a respeito do número de aulas
utilizadas para o ensino da Geometria Analítica, vimos que, em média, o mesmo é
trabalhado em aproximadamente 24 aulas, com a moda estatística de 16 aulas, que
corresponde a 22% do total de entrevistados. Tal média corrobora com os estudos de
Segura (2013), no qual afirmou que utilizou 24 aulas para experimentar sua
sequência.
2.4.2 Avaliação dos docentes sobre o aprendizado dos discentes em Geometria
Analítica
A avaliação dos docentes sobre o aprendizado dos discentes em Geometria
Analítica foi feita por meio do critério “muito fácil” (MF), “fácil” (F), “regular” (R), “difícil”
(D) e “Muito difícil” (MD) que os professores tinham que apontar em relação de alguns
tópicos da Geometria Analítica para nos informar qual o grau de dificuldade de
aprendizagem os seus alunos apresentam, segundo sua experiência docente, no qual
caracterizamos da mesma forma que fizemos na pesquisa com os discentes. Contudo,
alguns professores declararam que não ministram alguns tópicos, sendo
representados por NM (Não Ministro o assunto).
Dividimos, assim como na consulta aos discentes, os 50 itens analisados em 5
blocos:
Bloco 1: sistema cartesiano;
Bloco 2: relação entre pontos;
Bloco 3: Retas
Bloco 4: circunferência;
Bloco 5: Situação-problema.
2.4.1.1 Bloco 1 segundo docentes
Como já informamos anteriormente, o bloco 1 possui itens acerca do eixo
cartesiano ortogonal. Conforme a tabela 16, com valores absolutos (VA), de modo
geral, os professores informam que os conhecimentos acerca do sistema de eixo
cartesiano são fáceis (47%) ou muito fáceis (39%), sendo que apenas 3% dos
docentes consideram difícil e 11% regular.
90
Itens referentes ao bloco 1
MF F R D MD NM
1.1- Identificar as coordenadas de um ponto marcado no 1º
quadrante 15 12 1 1 0 0
1.2- Identificar as coordenadas de um ponto marcado no 2º
quadrante 13 14 1 1 0 0
1.3- Identificar as coordenadas de um ponto marcado no 3º
quadrante 13 14 1 1 0 0
1.4- Identificar as coordenadas de um ponto marcado no 4º
quadrante 13 14 1 1 0 0
1.5- Identificar as coordenadas de um ponto marcado sobre o
eixo das abscissas 9 12 7 1 0 0
1.6- Identificar as coordenadas de um ponto marcado sobre o
eixo das ordenadas 9 12 7 1 0 0
1.7 - Marcar o ponto no 1º quadrante 13 14 1 1 0 0
1.8 - Marcar o ponto no 2º quadrante 13 13 2 1 0 0
1.9 - Marcar o ponto no 3º quadrante 13 13 2 1 0 0
1.10 - Marcar o ponto no 4º quadrante 13 13 2 1 0 0
1.11 - Marcar o ponto sobre o eixo X 9 12 7 1 0 0
1.12 - Marcar o ponto sobre o eixo Y 8 13 7 1 0 0
A tabela 16 gerou o gráfico a seguir:
Fonte: pesquisa de campo (2015)
Conforme a tabela 16 e confirmado pelo gráfico 35, vimos que o bloco 1 foi
considerado fácil pelos professores consultados. Os itens considerados mais fáceis
foram a identificação das coordenadas de um ponto marcado no 2º, 3º e 4º
quadrantes, assim como a marcação do ponto no 1º quadrante. Quando comparamos
com a pesquisa de Silva e Silva (2008), percebemos que a maioria dos professores já
52%
45%
45%
45%
31%
31%
45%
45%
45%
45%
31%
28%
42%
49%
49%
49%
42%
42%
49%
45%
45%
45%
42% 45
%
3% 3% 3% 3%
24%
24%
3%
7% 7% 7%
24%
24%
3% 3% 3% 3% 3% 3% 3% 3% 3% 3% 3% 3%
0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
1 . 1 1 . 2 1 . 3 1 . 4 1 . 5 1 . 6 1 . 7 1 . 8 1 . 9 1 . 1 0 1 . 1 1 1 . 1 2
GRÁFICO 35 -GRAU DE DIFICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DOCENTES - BLOCO 1
Muito Fácil Fácil Regular Difícil Muito Difícil Não Ministra o assunto
Fonte: Pesquisa de campo (2015)
Tabela 16: Grau de dificuldade para aprender conforme os docentes – Bloco 1
91
não avaliam identificação nos eixos x e y como “fácil”, visto que em 2008, 65%
consideravam fácil tais conteúdos (quadro 2), enquanto que na pesquisa atual esse
percentual diminuiu para 43%.
2.4.2.2 Bloco 2 segundo docentes
O bloco 2 trata dos itens acerca da relação entre pontos, como mostra a tabela
17, na qual os professores afirmaram, de modo geral, que o grau de dificuldade à
aprendizagem relacionado aos pontos é “regular”, indicado por 48% dos professores,
a seguir 21% avaliaram “fácil”, 19% “difícil”, 8% “muito fácil”, 2% “muito difícil” e 1%
afirmaram não ensinar alguns tópicos do bloco 2, referente a intersecção de duas
retas e a relação de pertinência entre ponto e reta.
Tabela 17 – Grau de dificuldade para aprender conforme os docentes – bloco 2
Itens referentes ao bloco 2 MF F R D MD NM
2.1 - Encontrar a distância entre dois pontos 5 8 12 4 0 0
2.2 - Encontrar as coordenadas do ponto médio de um
segmento de reta
4 10 12 3 0 0
2.3 - Determinar o ponto de intersecção de duas retas 1 5 18 3 1 1
2.4 - Verificar se um ponto pertence a uma reta 2 4 18 3 1 1
2.5 - Verificar quando os pontos estão alinhados 3 6 13 6 1 0
2.6 - Encontrar a área de um triângulo a partir 3 pontos 0 5 11 12 1 0
Fonte: pesquisa de campo (2015)
O gráfico 36 evidencia que os docentes consideraram “regular” o grau de
dificuldade de os alunos aprenderem os conhecimentos acerca da relação entre
pontos e retas.
92
O item 2.3, que representa a determinação do ponto de intersecção de duas
retas e o item 2.4, que trata da verificação se um ponto pertence a uma reta foram os
itens que tiveram maior índice, com 63% dos professores apontando como regulares
esses conhecimentos. O item 2.6 (encontrar a área de triângulo a partir de três pontos)
foi o único desse bloco que foi considerado “difícil” aos alunos, conforme os
professores consultados.
2.4.2.3 Bloco 3 segundo docentes
No bloco 3 foram avaliados os conhecimentos acerca do estudo de reta. De
maneira geral, 40,3% dos professores declararam que esse bloco é “difícil “para os
alunos, 34,8% indicaram que é “regular”, 15,6% “fácil”, 3,5% “muito difícil” e 2,5%
“muito fácil”. O restante dos professores informou que não trabalham os tópicos
destacados neste bloco.
Tabela 18 – Grau de dificuldade para aprender conforme os docentes – bloco 3
Itens referentes ao bloco 3 MF F R D MD NM
3.1 – Determinar a declividade de uma reta 2 3 7 11 4 2
3.2 – Escrever a equação da reta na sua forma geral 0 4 14 11 0 0
3.3 – Escrever a equação da reta na sua forma segmentária 0 3 12 12 0 2
3.4 – Escrever a equação da reta na sua forma paramétrica 0 3 9 11 3 3
3.5 – Representar graficamente de uma equação da reta 0 3 15 10 0 1
3.6 – Determinar a equação da reta a partir de 2 pontos 1 5 14 9 0 0
3.7- Determinar a equação da reta a partir de 1 ponto e sua declividade 0 3 11 10 3 2
3.8 – Reconhecer retas paralelas 2 9 9 9 0 0
17%
14%
3%
7%
10%
0%
28%
35%
18%
14%
21%
17%
41%
41%
63%
63%
45%
39%
14%
10%
10%
10%
21%
41%
0% 0%
3% 3% 3% 3%
0% 0%
3% 3%
0% 0%
2 . 1 2 . 2 2 . 3 2 . 4 2 . 5 2 . 6
GRÁFICO 36 - GRAU DE DIFICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DOCENTES - BLOCO 2
Muito Fácil Fácil Regular Difícil Muito Difícil Não ministra o assunto
Fonte: Pesquisa de campo (2015)
93
3.9 – Reconhecer retas concorrentes 2 9 8 10 0 0
3.10- Reconhecer retas são perpendiculares 1 8 9 11 0 0
3.11 – Determinar a equação da reta paralela a outra conhecendo um
ponto da mesma
1 2 9 16 0 1
3.12 – Determinar a equação da reta perpendicular à outra reta
conhecendo um ponto da primeira reta
0 4 7 17 0 1
O gráfico 37 mostra que os índices de difícil são bem representativos, uma vez
que a maior parte dos itens receberam índices superiores a 40%.
Fonte: pesquisa de campo (2015)
O bloco 3 foi considerada “difícil”, de acordo com os professores consultados.
Determinar a equação da reta perpendicular a outra reta conhecendo um ponto da
primeira reta foi considerado “difícil”, como mostra a tabela 17 e gráfico 36, segundo
os professores consultados. Os itens considerado mais fáceis foram reconhecer retas
paralelas e concorrentes. A avaliação regular com maior índice ficou por conta da
representação gráfica da equação de uma reta e a maior porcentagem da avaliação
“muito difícil” foi a determinação da declividade de uma reta.
2.4.2.4 Bloco 4 segundo docentes
O bloco 4 abordou quatorze itens sobre circunferência, como mostra a tabela
19. Os professores, em geral, 47,1% consideram esse bloco “difícil” para os alunos
aprenderem, 21,1% afirmaram ser regular, já 13% apontaram ser “fácil” o bloco 4,
enquanto que 6,8% dos professores indicaram ser “muito difícil”, 0,5% “muito fácil” e
11,5% afirmaram não ensinar os tópicos analisados.
7%
0% 0% 0% 0%
3%
0%
7% 7%
3% 3%
0%
10% 14
%
10%
10%
10%
17%
10%
31%
31%
28%
7%
14%
24%
48%
42%
32%
52%
48%
38%
31%
27% 31
%
31%
24%
38%
38% 42
%
38%
35%
32% 35
%
31% 35
% 38%
56% 59
%
14%
0% 0%
10%
0% 0%
10%
0% 0% 0% 0% 0%
7%
0%
7%
10%
3%
0%
7%
0% 0% 0%
3% 3%
3 . 1 3 . 2 3 . 3 3 . 4 3 . 5 3 . 6 3 . 7 3 . 8 3 . 9 3 . 1 0 3 . 1 1 3 . 1 2
GRÁFICO 37 - GRAU DE DIFICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DOCENTES - BLOCO 3
Muito Fácil Fácil Regular Difícil Muito Difícil Não Ministra o assunto
Fonte: Pesquisa de campo (2015)
94
Tabela 19 – Grau de dificuldade para aprender conforme os docentes –
bloco 4
Itens referentes ao bloco 4 MF F R D MD NM
4.1- Reconhecer uma equação da circunferência em sua forma
reduzida
0 5 7 14 1 2
4.2 - Reconhecer uma equação da circunferência em sua forma
geral
0 4 11 13 0 1
4.3 - Determinar o centro a partir da equação reduzida da
circunferência
1 2 7 16 0 3
4.4 - Determinar o centro a partir da equação geral da
circunferência
0 4 6 15 1 3
4.5 - Determinar o raio a partir da equação reduzida da
circunferência
1 3 9 14 0 2
4.6 - Determinar o raio a partir da equação geral da
circunferência
0 4 6 15 1 3
4.7 - Verificar se um ponto pertence ou não a uma
circunferência
0 4 8 14 1 2
4.8 - Representar graficamente uma circunferência 0 5 10 11 1 2
4.9 - Reconhecer quando uma reta é secante à circunferência 0 5 4 12 4 4
4.10 - Reconhecer quando uma reta é tangente à circunferência 0 4 6 12 3 4
4.11 - Reconhecer quando uma reta é exterior à circunferência 0 4 5 12 4 4
4.12 - Determinar a equação da circunferência a partir da
tangência exterior a outra circunferência
0 4 4 9 6 6
4.13 - Determinar a equação da circunferência a partir da
tangência interna a outra circunferência
0 3 4 11 5 6
4.14 - Determinar a área da circunferência a partir da equação
dela
0 4 2 16 2 5
Fonte: pesquisa de campo (2015)
Fonte: pesquisa de campo (2015)
0% 0%
3%
0%
3%
0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
17%
14%
7%
14%
10% 14
%
14% 17
%
17%
14%
14%
14%
10% 14
%
25%
38%
25%
21%
31%
21%
28%
34%
14%
21%
17%
14%
14%
7%
48%
45%
55%
52%
49% 52
%
48%
39% 41
%
41%
41%
30%
38%
55%
3%
0% 0%
3%
0%
3% 3% 3%
14%
10% 14
%
21%
17%
7%7%
3%
10%
10%
7%
10%
7% 7%
14%
14%
14%
21%
21%
17%
4 . 1 4 . 2 4 . 3 4 . 4 4 . 5 4 . 6 4 . 7 4 . 8 4 . 9 4 . 1 0 4 . 1 1 4 . 1 2 4 . 1 3 4 . 1 4
GRÁFICO 38 - GRAU DE DIF ICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DOCENT ES - BLOCO 4
Muito Fácil Fácil Regular Difícil Muito Difícil Não ministrou o assunto
95
Os docentes consultados declararam que são mais difíceis os itens, conforme
a tabela 19, determinar o centro a partir da equação reduzida da circunferência e a
área da circunferência a partir da equação dela, com índices relativos de 57%. Dentre
a avaliação mais difícil, a determinação da equação da circunferência a partir da
tangência exterior a outra circunferência teve a maior porcentagem.
Dentre os itens considerados fáceis, foram o reconhecimento de uma equação
da circunferência em sua forma reduzida, representação gráfica de uma circunferência
e o reconhecimento de uma reta quando é secante à circunferência que receberam
os maiores índices.
2.4.2.5 Bloco 5 segundo docentes
O bloco 5 trata de seis itens acerca de situações-problema que trabalha ponto,
reta e/ou circunferência, como indica a tabela 20, com valores absolutos e suas
respectivas frequências relativas (FR). Em geral, 43,3% dos professores afirmaram
que esse bloco é “difícil” aos alunos, 25,5% indicaram ser “regular”, 8,9%
consideraram “muito difícil”, 8,5% “fácil” e 13,8% dos professores não ensinam esse
bloco. O que nos surpreendeu, pois, esse bloco se resume em resolução de
problemas, que deveria ser trabalhado por todos levando em conta os exames
avaliativos nacionais, que exigem tais habilidades
.
Itens referentes ao bloco 5 MF F R D MD NM
5.1 - Resolver situações-problema no qual são fornecidos os pontos e
solicitada a equação da reta 0 3 9 12 1 4
5.2 - Resolver situações-problema no qual são fornecidos os pontos e
solicitada a área de um triângulo 0 2 7 14 3 3
5.3 - Resolver situações-problema no qual é necessário a interpretação
gráfica da equação da reta 0 3 9 10 2 5
5.4 - Resolver situações-problema no qual é fornecida a equação da
circunferência e é solicitado o raio dela 0 2 8 11 4 4
5.5 - Resolver situações-problema no qual são fornecidos o centro e o raio
da circunferência e solicitado a equação da mesma 0 3 6 14 2 4
5.6 - Resolver situações-problema no qual é fornecido a equação da
circunferência e é solicitado a área do círculo. 0 2 7 11 4 5
O gráfico 39 evidencia que o bloco referente a situações-problema é
considerado pelos professores “difícil”.
Fonte: Pesquisa de campo (2015)
Tabela 20 – Grau de dificuldade para aprender conforme os docentes – Bloco 5
96
Os “mais difíceis”, conforme os professores, são as resoluções de situações-
problema nos quais são fornecidos os pontos e solicitado a área de um triângulo, e os
quais são fornecidos o centro e o raio da circunferência e solicitado a equação da reta,
com 49% de indicação.
Os itens resolver problemas no qual são fornecidos os pontos e solicitada a
equação da reta e problemas nos quais são necessárias a interpretação gráfica da
reta são considerados as habilidades com maior índice na avaliação “regular”. A
resolução de problemas no qual é fornecido a equação da circunferência, e é solicitada
a área do círculo possui o maior índice (13%), dentre o grau “muito difícil”.
2.4.3 Avaliação dos docentes sobre o teste diagnóstico
Os professores também avaliaram, como “muito fácil”, “fácil”, “regular”, “difícil”
ou “muito difícil”, avaliaram 10 questões (apêndice B), as mesmas que os alunos
resolveram como parte do questionário dado a eles, acerca dos conteúdos sobre
ponto, reta e circunferência. A tabela 21 mostra os resultados, indicados com valores
absolutos (VA) e relativos (%):
0% 0% 0% 0% 0% 0%
10%
7%
10%
7%
10%
7%
31%
24%
31%
27%
20% 24
%
42%
49%
35% 38
%
49%
38%
3%
10%
7%
14%
7%
14%
14%
10%
17%
14%
14% 17
%
5 . 1 5 . 2 5 . 3 5 . 4 5 . 5 5 . 6
GRÁFICO 39 - GRAU DE DIF ICULDADE PARA APRENDER CONFORME OS DOCENTES - BLOCO 5
Muito Fácil Fácil Regular Difícil Muito Difícil Não Respondeu
Fonte: Pesquisa de campo (2015)
97
Tabela 21 – avaliação das questões conforme docentes
QUESTÃO MF
(VA)
MF
%
F
(VA)
F
%
R
(VA)
R
%
D
(VA)
D
%
MD
(VA)
MD
%
1ª Questão 15 52% 12 42% 1 3% 1 3% 0 0%
2ª Questão 8 28% 13 44% 8 28% 0 0% 0 0%
3ª Questão 1 3% 4 14% 16 56% 7 24% 1 3%
4ª Questão 1 3% 2 7% 11 39% 14 48% 1 3%
5ª Questão 1 3% 8 28% 18 62% 2 7% 0 0%
6ª Questão 0 0% 1 3% 7 24% 17 59% 4 14%
7ª Questão 0 0% 0 0% 10 34% 17 59% 2 7%
8ª Questão 0 0% 2 7% 6 21% 16 55% 5 17%
9ª Questão 0 0% 2 7% 6 21% 15 51% 6 21%
10ª Questão 0 0% 3 10% 11 38% 13 45% 2 7%
As questões, em geral, foram consideradas “regulares”. A primeira questão
solicita que seja encontrado o ponto médio entre dois pontos dados. A metade dos
professores a consideraram “muito fácil”, não recebendo nenhuma classificação
“muito difícil”. A segunda, aborda a distância entre dois pontos, sendo que a maioria,
44%, indicam a questão como “fácil”. Já a terceira, que envolve equação da reta, foi
considerada “regular” pela maioria (56%). A quarta, que trabalha a distância entre dois
pontos, juntamente com escala estabelecida no mapa apresentado no problema,
recebeu em sua maioria (48%), a avaliação de “difícil”.
52%
42%
3% 3%
0%
28,0
0%
44%
28,0
0%
0% 0%
3%
14%
56%
24%
3%3%
7%
39%
48%
3%3%
28%
62%
7%
0%0%
3%
24%
59%
14%
0% 0%
34%
59%
7%
0%
7%
21%
55%
17%
0%
10%
38%
45%
7%
0%
10%
38%
45%
7%
M U I T O F Á C I L F Á C I L R E G U L A R D I F Í C I L M U I T O D I F Í C I L
GRÁFI CO 40 - AV ALI AÇÃO D AS QUESTÕES CONFORME D OCENTES
Questão 1 Questão 2 Questão 3 Questão 4 Questão 5
Questão 6 Questão 7 Questão 8 Questão 9 Questão 10
Fonte: Pesquisa de campo (2015)
Fonte: Pesquisa de campo (2015)
98
A quinta questão, que trata da determinação da equação da circunferência
apresentando o centro e o raio, foi indicada como “regular” (62%) pelos professores.
A sexta questão, na qual é solicitada a área de um triângulo dados os pontos dos
vértices, foi considerada “difícil” (59%). Assim como, a sétima, que aborda as
coordenadas do ponto a partir da equação da reta, teve a classificação de “difícil”
(59%) e a oitava questão, que envolve equação da circunferência e área do círculo,
também foi indicada como “difícil” (55%).
A nona e a décima questão foram objetivas, sendo retiradas do Exame Nacional
do Ensino Médio (ENEM). A nona trouxe a localização de pontos no plano, enquanto
que a décima solicita a representação gráfica de uma circunferência, a partir de
algumas informações dadas. As duas questões receberam avaliação “difícil”, sendo
que a nona obteve índice de 51%, enquanto a décima ficou com 45% da opinião dos
professores, conforme indicado na tabela 20.
A partir da consulta realizada, podemos dizer que, apesar dos docentes
consultados apresentarem experiência no trabalho docente, com seus
aperfeiçoamentos (mestrado ou especialização) na área de educação, ainda existe
uma postura tradicional de ensino, embora esteja diminuindo ao longo dos anos, mas
predomina em suas práticas o estilo tradicional que entendemos como as aulas que
iniciam pela definição de conceitos, seguida de exemplos e exercícios, quando
comparadas com outros modos de ensinar, tais como a modelagem, situação-
problema, jogos ou experimento didático.
O experimento didático é outro procedimento metodológico pouco trabalhado
em sala de aula, que no caso dessa pesquisa não foi citado, pois, conforme os
consultados, a principal justificativa está na carga-horária curta em sala de aula ou
pelo desconhecimento de experimentos que abordem a Geometria Analítica, o que
traz a necessidade de elaborar e apresentar atividades que possam ser exploradas
em sala de aula, com tempo considerado aceitável, em média 24 aulas, pelos
docentes interessados.
Em relação a avaliação dos docentes sobre a aprendizagem dos alunos acerca
dos conteúdos de Geometria Analítica, podemos afirmar que os professores julgam
“regular” os itens apresentados, contudo os problemas foram considerados “difícil” ou
“muito difícil”, o que pode ser um indicativo de que os conhecimentos, tais como
determinação da reta e da circunferência e situações-problema, devem ser mais
abordados em sala de aula para que o aluno, tendo o contato com esses itens
99
matemáticos de modo mais efetivo, possa ter oportunidades reais de resolver os
problemas relacionados a essa área do conhecimento e assim, promover a
aprendizagem.
O quadro 17 reúne as porcentagens correspondentes as respostas dos
professores consultados e alunos que estudaram os itens correspondentes ao bloco
1. Consideramos que as iniciais NR (Aluno que Não Respondeu), NM (Professor Não
Ministrou o assunto), A (Informações dos Alunos) e P (Informações dos Professores)
a todos os quadros dessa natureza.
Quadro 17 – Dificuldade de aprendizagem em relação ao bloco 1, conforme alunos e
professores
BLOCO 1
MUITO
FÁCIL
FÁCIL REGULAR DIFÍCIL MUITO
DIFÍCIL
NR NM
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
1.1. Identificar
as
coordenada
s marcadas
no 1º
quadrante
7 52 21 42 47 3 16 3 3 0 6 0
1.2. Identificar
as
coordenada
s marcadas
no 2º
quadrante
7 45 21 49 45 3 17 3 4 0 6 0
1.3.Identificar as
coordenadas
marcadas no 3º
quadrante
5 45 21 49 43 3 19 3 4 0 8 0
1.4.Identificar as
coordenadas
marcadas no 4º
quadrante
6 45 21 49 45 3 16 3 4 0 8 0
1.5.Identificar as
coordenadas
marcadas sobre
o eixo X
5 31 21 42 44 24 21 3 3 0 6 0
1.6.Identificar as
coordenadas
marcadas sobre
o eixo Y
6 31 18 42 46 24 22 3 2 0 6 0
1.7.Marcar o
ponto no 1º
quadrante
8 45 19 49 50 3 15 3 3 0 5 0
1.8.Marcar o
ponto no 2º
quadrante
8 45 18 45 54 7 14 3 3 0 3 0
1.9.Marcar o
ponto no 3º
quadrante
7 45 20 45 51 7 12 3 4 0 6 0
1.10.Marcar o
ponto no 4º
quadrante
10 45 20 45 48 7 14 3 0 0 8 0
100
1.11.Marcar o
ponto sobre o
eixo X
8 31 28 42 41 24 16 3 3 0 4 0
1.12.Marcar o
ponto sobre o
eixo Y
7 28 28 45 41 24 16 3 3 0 5 0
Fonte: Pesquisa de campo (2015)
O quadro 17 mostra que os professores e alunos discordaram em seu grau de
dificuldade com maiores índices relativos, uma vez que os alunos consideraram
regular de aprender os conteúdos do bloco 1, com destaque para marcação do ponto
no 2º quadrante, que recebeu 49% na categoria regular, enquanto que os professores
apontaram como fácil de aprender os conteúdos relacionados ao sistema cartesiano,
nos quais a identificação das coordenadas no 2º, 3º e 4º quadrantes e marcar o ponto
no 1º quadrante receberam um índice de 49% na categoria fácil. Apesar da diferença
entre as porcentagens das avaliações dos alunos e professores consultados, nas
categorias difícil e muito difícil, serem superiores a 10%, os consultados declararam
que os conteúdos abordados no bloco 1 não apresentam grandes dificuldades de
aprendizagem, considerando que os índices nessas categorias são inferiores a 23%.
Para o bloco 2, obtivemos que a maioria dos alunos, 85%, estudaram assuntos
referentes a relação entre pontos e retas. Ao considerar os alunos que declararam ter
estudado os conteúdos relacionado ao bloco 2 e os professores consultados, obtemos
o quadro 18 que apresenta as avaliações acerca do grau de dificuldade de
aprendizagem dos alunos no bloco 2, segundo alunos e professores.
Quadro 18 – Dificuldade de aprendizagem em relação ao bloco 2, conforme alunos
e professores
BLOCO 2
MUITO
FÁCIL
FÁCIL REGULAR DIFÍCIL MUITO
DIFÍCIL
NR NM
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
2.1.Encontrar
a distância
entre dois
pontos
8 17 33 28 40 41 10 14 4 0 5 0
2.2.Encontrar
as
coordenadas
do ponto
médio de um
segmento de
reta
6 14 22 35 49 41 18 10 2 0 3 0
2.3.Determina
r o ponto de
intersecção
de duas retas
3 3 18 18 45 63 21 10 5 3 8 3
101
2.4.Verificar
se um ponto
pertence a
uma reta
6 7 25 14 45 63 18 10 2 3 4 3
2.5.Verificar
quando os
pontos estão
alinhados
5 10 22 21 50 45 17 21 2 3 4 0
2.6.Encontrar
a área de um
triângulo a
partir 3 pontos
6 0 13 17 49 39 22 41 7 3 3 0
Fonte: Pesquisa de campo (2015)
De modo geral, os alunos e professores consultados consideraram os
conteúdos acerca da relação entre pontos e retas regulares. As habilidades de
encontrar a distância entre dois pontos e encontrar as coordenadas do ponto médio
de um segmento de reta foram considerados os mais fáceis, enquanto que entre os
difícil e muito difícil, encontrar a área de um triângulo a partir de 3 pontos obteve os
maiores valores relativos, o que pode indicar a necessidade de dedicar um maior
tempo para trabalhar tal conteúdo, já que exige conhecimento prévio de outro assunto
– determinante – que pode ser fator de dificuldade de aprendizagem. Os alunos que
declararam que estudaram os “sim” e os professores consultados e produzimos o
quadro 19, com as porcentagens de Alunos (A) e Professores (P) que julgaram os
tópicos relacionados com as habilidades do bloco 3 (retas).
Quadro 19 – Dificuldade de aprendizagem em relação ao bloco 3, conforme alunos e
professores
BLOCO 3
MUITO
FÁCIL
FÁCIL REGULAR DIFÍCIL MUITO
DIFÍCIL
NR NM
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
3.1.Determinar a
declividade de
uma reta
5 7 16 10 48 24 19 38 7 14 5 7
3.2.Escrever a
equação da reta
na forma geral
9 0 23 14 43 48 18 38 3 0 4 0
3.3.Escrever a
equação da reta
na forma
segmentária
6 0 19 10 42 41,5 23 41,5 4 3 6 7
3.4.Escrever a
equação da reta
na forma
paramétrica
1 0 16 10 39 32 32 38 5 10 7 10
3.5.Representar
graficamente de 5 0 24 10 44 52 19 35 3 0 5 3
102
uma equação da
reta
3.6.Determinar a
equação da reta
a partir de 2
pontos
7 3 27 17 43 48 16 32 3 0 4 0
3.7.Determinar a
equação da reta
a partir de 1
ponto e sua
declividade
3 0 15 10 49 38 23 35 4 10 6 7
3.8.Reconhecer
retas paralelas 8 7 28 31 43 31 13 31 4 0 4 0
3.9.Reconhecer
retas
concorrentes
6 7 22 31 50 27 14 35 4 0 4 0
3.10.Reconhecer
retas
perpendiculares
6 3 22 28 48 31 14 38 4 0 6 0
3.11.Determinar
a equação da
reta paralela a
outra
conhecendo um
ponto da mesma
1 3 15 7 47 31 28 56 5 0 4 3
3.12.Determinar
a equação da
reta
perpendicular à
outra reta
conhecendo um
ponto da
primeira reta
0 0 20 14 61 24 13 59 3 0 3 3
Fonte: Pesquisa de campo (2015)
Tantos professores, quantos alunos, consideraram o bloco 3 de grau de
dificuldade regular, com destaque ao tópico 3.12 - determinar a equação da reta
perpendicular a outra reta conhecendo um ponto da primeira reta – de acordo com os
alunos, que recebeu 61% e ao tópico 3.4 - representar graficamente de uma equação
da reta conforme os professores, com 54% na categoria regular. Os tópicos indicados,
considerando os maiores índices relativos, como muito fácil e fácil foram reconhecer
retas paralelas e reconhecer retas são perpendiculares, resultados previstos já que o
reconhecimento de retas paralelas e perpendiculares, de modo prático, depende
somente da comparação entre dois valores que representam a declividade da
equação da reta. Já as habilidades determinar a equação da reta paralela a outra
conhecendo um ponto da mesma e determinar a declividade de uma reta foram
indicados como os itens mais difíceis, dentre as categorias difícil e muito difícil.
103
Para o bloco 4, os alunos, aproximadamente 73%, declararam que estudaram
os assuntos relacionados com o bloco relacionado com a circunferência. O quadro 20
apresenta as avaliações em relação ao grau de dificuldade de aprendizagem em torno
do bloco 4, segundo alunos e professores.
Quadro 20 – Dificuldade aprendizagem em relação ao bloco 4, conforme alunos e
professores HABILIDADES DO
BLOCO 4
MUITO
FÁCIL
FÁCIL REGULAR DIFÍCIL MUITO
DIFÍCIL
NR NM
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
4.1Reconhecer
uma equação
da
circunferência
na forma
reduzida
9 0 12 17 56 23 12 50 8 3 3 7
4.2Reconhecer
uma equação
da
circunferência
na forma geral
5 0 26 13 49 37 13 47 4 0 3 3
4.3Determinar o
centro a partir
da equação
reduzida da
circunferência
9 3 23 7 43 23 17 57 4 0 4 10
4.4Determinar o
centro a partir
da equação
geral da
circunferência
9 0 23 13 42 20 17 54 5 3 4 10
4.5Determinar o
raio a partir da
equação
reduzida da
circunferência
9 3 28 10 37 30 19 50 4 0 3 7
4.6Determinar o
raio a partir da
equação geral
da
circunferência
8 0 23 13 44 20 16 54 5 3 4 10
4.7Verificar se
um ponto
pertence ou não
a uma
circunferência
4 0 22 13 47 27 18 50 4 3 5 7
4.8Representar
graficamente
uma
circunferência
4 0 19 17 54 33 12 40 6 3 5 7
4.9Reconhecer
quando uma
reta é secante à
circunferência
1 0 10 17 56 13 21 44 7 10 5 13
4.10Reconhecer
quando uma
reta é tangente
à circunferência
3 0 13 13 48 20 25 44 7 10 4 13
104
4.11Reconhecer
quando uma
reta é exterior à
circunferência
1 0 11 13 52 17 22 44 8 13 6 13
4.12Determinar
a equação da
circunferência a
partir da
tangência
exterior a outra
circunferência
0 0 8 13 44 13 36 34 5 20 7 20
4.13Determinar
a equação da
circunferência a
partir da
tangência
interna a outra
circunferência
0 0 11 10 44 13 29 40 9 17 7 20
4.14Determinar
a área da
circunferência a
partir da
equação dela
0 0 15 13 56 7 18 57 6 7 5 16
Fonte: Pesquisa de campo (2015)
O quadro 20 indica que existência de discrepância de resultados, quando
comparamos os índices relativos das avaliações entre alunos e professores. Os
alunos consideraram, de modo geral, regular o bloco 4, contudo os professores
consideraram difícil. A partir dos maiores índices, podemos observar que determinar
o raio a partir da equação reduzida da circunferência foi apontado como o mais fácil,
enquanto que determinar a equação da circunferência a partir da tangência interna a
outra circunferência foi designado como o mais difícil.
Quadro 21 – Dificuldade de aprendizagem em relação ao bloco 5, conforme alunos e
professores HABILIDADES DO
BLOCO 4
MUITO
FÁCIL
FÁCIL REGULAR DIFÍCIL MUITO
DIFÍCIL
NR NM
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
A
(%)
P
(%)
5.1Resolver
situações-
problema no
qual são
fornecidos os
pontos e
solicitada a
equação da
reta
0 0 17 10 39 31 31 42 6,5 3 6,5 14
5.2 Resolver
situações-
problema no
qual são
fornecidos os
pontos e
solicitada a
2,5 0 14 7 51 24 20 49 10 10 2,5 10
105
área de um
triângulo
5.3 Resolver
situações-
problema no
qual é
necessário a
interpretação
gráfica da
equação da
reta
0 0 8,5 10 51 31 33 35 5 7 2,5 17
5.4 Resolver
situações-
problema no
qual é fornecida
a equação da
circunferência e
é solicitado o
raio dela
1 0 18 7 51 27 20 38 4 14 6 14
5.5 Resolver
situações-
problema no
qual são
fornecidos o
centro e o raio
da
circunferência e
solicitado a
equação da
mesma
1 0 15 10 51 20 22 49 6 7 5 14
5.6 Resolver
situações-
problema no
qual é fornecido
a equação da
circunferência e
é solicitado a
área do círculo
1 0 7,5 7 49,5 24 24 38 13 14 5 17
Fonte: Pesquisa de campo (2015)
O quadro 21 apresenta as opiniões de professores e alunos sobre a resolução
de problemas de Geometria Analítica. Os alunos consideraram todos os itens do bloco
5 “regulares”, pois os maiores índices recaem nesse grau de dificuldade de
aprendizagem, enquanto que os professores denominaram difíceis tal bloco. Dentre
os graus de dificuldade “fácil” e “muito fácil”, os professores e alunos discordam em
relação a avaliações dos itens, pois professores trataram o item 5.4 como “mais fácil”,
enquanto que aos alunos os maiores índices são os itens resolver situações-problema
nos quais são fornecidos os pontos e solicitada equação de reta, ou são necessários
interpretação gráfica da equação da reta ou aqueles nos quais são fornecidos o centro
e o raio da circunferência e solicitado a equação da reta. Em relação aos graus de
dificuldade “difícil” e “muito difícil” houve também uma discrepância de opiniões. Os
itens 5.2 e 5.5 tiveram os maiores índices, conforme os professores, enquanto aos
106
alunos o “muito difícil” foi o item 5.3, um indicativo que, nesse caso, resolver problemas
não é tarefa fácil nem aos professores, muito menos aos alunos.
Conforme os resultados das análises prévias realizadas, que os softwares
educacionais são recursos muito utilizados em experimentações didáticas, contudo a
realidade do lócus da pesquisa não nos permite contar com esses materiais de apoio.
Portanto, optamos por adaptações na pesquisa de Silva e Silva (2008) referente as
atividades propostas, visto que está mais próxima do que é possível fazer com
materiais acessíveis ao professor.
Em relação a consultas com os discentes e docentes, observamos que embora
os conteúdos expostos à análise serem julgados “regulares”, quando colocados em
forma de problemas, demostraram-se difíceis, como indicados nos resultados do teste
diagnóstico e na avaliação docente sobre as questões do teste. Logo, escolhemos
com base nesses resultados, investir em assuntos relacionados ao plano cartesiano,
distância entre dois pontos e entre ponto e reta, ponto médio, baricentro de um
triângulo, equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, área do triângulo e
equação da circunferência, distribuídas em 20 atividades de abordagem de conteúdos
e 9 atividades de fixação, descritas na seção a seguir.
107
3 CONCEPÇÃO E ANÁLISE A PRIORI
Nessa seção apresentaremos os resultados da segunda etapa da nossa
pesquisa conforme a engenharia didática: Concepção e análise a priori. Logo
adotamos a metodologia de ensino da Matemática por atividades, com base nos
estudos de Sá (2009) e Sá e Jucá (2014). O ensino da Matemática por atividades tem
como principal característica, segundo Sá (2009), a interação dos alunos com o
professor durante o processo de construção do conhecimento. Destacamos alguns
elementos essenciais presentes na fase de elaboração das atividades, conforme Sá
(2009, p. 18):
As atividades devem apresentar-se de maneira auto orientadas para que os alunos consigam conduzir-se durante a construção de sua aprendizagem;
Toda atividade deve procurar conduzir o aluno à construção das noções matemáticas através de três fases: experiência, a comunicação oral das ideias apreendidas e a representação simbólica das noções construídas;
As atividades devem prever um momento de socialização das informações entre os alunos, pois isso é fundamental para o crescimento intelectual do grupo. Para que isso ocorra, o professor deve criar um ambiente adequado e de respeito mútuo entre os alunos e adotar a postura de membro mais experiente do grupo e que possa colaborar na aprendizagem deles;
As atividades devem ter características de continuidade, visto que precisam conduzir o aluno ao nível de representação abstrata das ideias matemáticas construídas a partir das experiências concretas vivenciadas por ele;
Nesse sentido, a partir das análises prévias realizadas, elaboramos a
sequência didática composta por 20 atividades para trabalhar alguns conteúdos da
Geometria Analítica plana. As atividades aqui propostas, baseados no ensino de
Matemática de Sá (2009), são aulas estruturadas a partir de procedimentos que
conduz o aluno a observar propriedades, testar e levantar hipóteses, socializar e
sistematizar informações, que geralmente é alguma propriedade Matemática a ser
trabalhada. Dessa forma, cada atividade dessa sequência didática, possui os
momentos a seguir:
1. Momento de elaboração: nesse momento a atividade é produzida, conforme
o assunto a ser abordado, baseado em necessidades apontadas nas
análises preliminares. A referida atividade contém os seguintes elementos:
título, objetivo, materiais necessários, procedimentos de execução da
atividade, quadro do roteiro (um quadro composto por colunas para colocar
informações que ajudarão o aluno a testar e levantar hipóteses), o espaço
108
para as observações que os alunos construirão acerca das informações do
quadro e o espaço às conclusões que os alunos desenvolverão, conforme
suas observações;
2. Momento de organização: essa organização se refere a distribuição da
turma para desenvolvimento da atividade, que pode ser feita em dupla ou
em grupo, em comum acordo com a turma;
3. Momento de apresentação: após a organização da turma, nesse momento,
apresentaremos a atividade, especificando a função de cada elemento
contido nela;
4. Momento de execução: nesse momento o professor terá o papel de
mediador no processo de interação dos alunos e coleta de dados para a
análise. Os alunos interagem entre si, trocam informações acerca dos
dados, expostos no quadro do roteiro da atividade e levantam hipóteses;
5. Momento de análise: os alunos, nesse momento, testam hipóteses,
socializam suas ideias, formando suas observações acerca dos dados
preenchidos no quadro do roteiro, com a nossa mediação, que os auxiliarão
na construção da conclusão;
6. Momento de conclusão: os alunos, nesse momento, a partir de suas
observações e socialização delas com os demais colegas, descrevem os
resultados da análise, por meio da linguagem Matemática ou da linguagem
materna, na tentativa de sistematizar o conhecimento matemático
redescoberto no momento de análise, de acordo com o objetivo da
atividade.
Essas aulas dedicadas às atividades podem durar mais ou menos tempo de
que uma aula normal (45 minutos). Nessa pesquisa, acrescentamos a hora de início
e fim da atividade para ter uma estimativa de tempo gasto por dupla em cada
atividade.
Além das aulas de abordagem dos conteúdos, fizemos 9 atividades de fixação
constituídas de 9 listas de questões, para aprimorar os conhecimentos acerca dos
assuntos estudados nas atividades e auxiliar no desenvolvimento dos testes, um pré-
teste, com a intenção de apurar o nível de conhecimento que os discentes
participantes da fase de experimentação se encontram e um pós-teste, com as
mesmas questões do pré-teste, para comparar os resultados dos mesmos
estatisticamente com os resultados do pré-teste, utilizando tabelas, gráficos e o
109
método teste de hipótese. Abaixo apresentaremos a análise a priori de cada questão
que constituíra o pré- e pós-teste, assim como as análises a priori das atividades
pertencentes a nossa sequência didática.
3.1 ANÁLISE A PRIORI DO PRÉ-TESTE E PÓS-TESTE
O pré-teste tem as mesmas questões do teste que pertenceu ao questionário
aplicado aos discentes consultados na etapa das análises prévias. O pós-teste será o
mesmo do pré-teste. A seguir apresentaremos e faremos a análise a priori do Pré e
Pós-testes por questão.
1ª questão: “Encontre o ponto médio do segmento, em que A (4, 6) e B (8, 10).”
Análise a priori do Pré-teste: Os alunos sentiram dificuldades em resolver a
questão, uma vez que é pouco provável ter estudado o assunto.
Análise a priori do Pós-teste: Os alunos encontrarão a resposta mais
adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas
atividades referentes ao ponto médio.
2ª questão: “Calcule a distância entre A (6, 7) e B (9, 11). ”
Análise a priori do Pré-teste: Os alunos sentiram dificuldades em resolver a
questão, uma vez que é pouco provável ter estudado o assunto.
Análise a priori do Pós-teste: Os alunos encontrarão a resposta mais
adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas
atividades relacionadas a distância entre dois pontos.
3ª questão: “De acordo com a figura abaixo, a área da região delimitada pelos eixos
coordenados e pela reta r vale 4 unidades de área. Se o ponto A = (-1, 2) pertence
à reta r, qual é a equação da reta r? ”
110
Análise a priori do Pré-teste: Os alunos não conseguirão resolver a questão,
já que ainda não estudaram o assunto.
Análise a priori do Pós-teste: Os alunos encontrarão, em sua maioria, a
resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos
construídos nas atividades referentes a equação da reta.
4ª questão: “A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral, a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é fornecida pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores.
Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500m, qual é a
distância real, em linha reta, entre a catedral e a câmara de vereadores? ”
Análise a priori do Pré-teste: Os alunos não conseguirão resolver a questão,
já que ainda não estudaram o assunto.
Análise a priori do Pós-teste: Os alunos encontrarão, em sua maioria, a
resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos
construídos nas atividades relacionadas a distância entre dois pontos, no entanto
alguns terão dificuldades em trabalhar com escala de mapas.
111
5ª questão: “Determine uma equação da circunferência cujo centro é C (2, 5) e o
raio é igual a 3. ”
Análise a priori do Pré-teste: Os alunos não conseguirão resolver a questão,
já que ainda não estudaram o assunto.
Análise a priori do Pós-teste: Os alunos encontrarão, em sua maioria, a
resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos
construídos nas atividades referentes a equação da circunferência.
6ª questão: “Qual é a área da figura colorida no diagrama abaixo? ”
Análise a priori do Pré-teste: Os alunos não conseguirão resolver a questão,
já que ainda não estudaram o assunto.
Análise a priori do Pós-teste: Os alunos encontrarão, em sua maioria, a
resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos
construídos nas atividades referentes a área do triângulo.
7ª questão: “O gráfico abaixo representa, dentro do sistema de eixos cartesianos ortogonais, a trajetória de um táxi, de um bairro A para um bairro B, passando pelos bairros X e Y nessa ordem.
Se os pontos A X, Y e B pertencem à reta de equação 3x – 4y + 120=0 e as distâncias entre os pontos A e X; X e Y; Y e B são iguais entre si, então, nessas condições, quais são as coordenadas dos pontos A e B? ”
Análise a priori do Pré-teste: Os alunos não conseguirão resolver a questão,
já que ainda não estudaram o assunto.
112
Análise a priori do Pós-teste: Os alunos encontrarão, em sua maioria, a
resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos
construídos nas atividades referentes as coordenadas de pontos e equação da reta.
8ª questão: “Um professor de Matemática preocupado com o desmatamento na
Amazônia resolveu desenvolver uma atividade com seus alunos, na qual abordava
o desmatamento de uma determinada área. O objetivo da atividade estava
relacionado à sensibilização para a
necessária preservação da floresta
amazônica. Na atividade foram
apresentados os gráficos abaixo, com a
figura 1 representando a área sem o
desmatamento e a figura 2 representando a
área com o desmatamento existente. Se a
área desmatada pode ser representada
pela equação da circunferência x2 + y2 – 8x
– 10y+ 40 = 0, então qual é o valor da área
desmatada? ”
Análise a priori do Pré-teste: Os alunos não conseguirão resolver a questão,
já que ainda não estudaram o assunto.
Análise a priori do Pós-teste: Os alunos encontrarão, em sua maioria, a
resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos
construídos nas atividades referentes equação da circunferência, contudo alguns
alunos terão dificuldades de calcular a área, logo apresentaremos a expressão que
representa essa área.
9ª questão: “A figura ao lado é a representação de uma região por meio de curvas
de nível, que são curvas fechadas representando a altitude da região, em relação
ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a
longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza
desenhada abaixo está associada à altitude da região.
113
Um
pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto
X = (20, 60). O helicóptero segue o percurso: 0,8° L → 0,5° N → 0,2° O → 0,1° S →
0,4° N → 0,3° L.
De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cujo altitude é:
a) Menor ou igual a 200 m.
b) Maior que 200 m e menor ou igual a 400 m.
c) Maior que 400 m e menor ou igual a 600 m.
d) Maior que 600 m ou igual a 800 m.
e) Maior que 800 m.”
Análise a priori do Pré-teste: A maioria dos alunos não conseguirá resolver a
questão, já que ainda não estudaram o assunto, no entanto como a questão é objetiva
pode ter aproximadamente 15% de acertos.
Análise a priori do Pós-teste: Os alunos encontrarão, em sua maioria, a
resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos
construídos nas atividades referentes a localização de pontos.
10ª questão: “Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:
I — É a circunferência de equação x2 + y2 = 9;
II — É a parábola de equação y = − x2− 1, com x variando
de −1 a 1;
III — É o quadrado formado pelos vértices (−2, 1), (−1, 1), (−1,
2) e (−2, 2);
114
IV — É o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e
(1, 2);
V — É o ponto (0, 0).
A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura.
Qual destas figuras foi desenhada pelo professor? ”
Análise a priori do Pré-teste: A maioria dos alunos não conseguirá resolver a
questão, já que ainda não estudaram o assunto, no entanto como a questão é objetiva
pode ter aproximadamente 15% de acertos.
Análise a priori do Pós-teste: Os alunos encontrarão, em sua maioria, a
resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos
9
-9 9
-9
9
-9 9
-9
3
-3 3
-3
3
-3 3
-3
a) b)
c) d)
e)
115
construídos nas atividades referentes a equação da circunferência, mas alguns terão
dificuldades de interpretar as descrições apresentadas no problema.
3.2 APRESENTAÇÃO E ANÁLISE A PRIORI DAS ATIVIDADES PARA ABORDAGEM DOS CONTEÚDOS EM GEOMETRIA ANALÍTICA
As atividades propostas para compor a nossa sequência didática abordam os
seguintes conteúdos: Localização e marcação de pontos nos quadrantes e sobre os
eixos cartesianos; coordenadas do ponto médio e do baricentro do triângulo; Condição
de alinhamento de três pontos; Distância entre dois pontos e entre ponto e uma reta;
Declividade e equação da reta; Propriedades das retas paralelas e perpendiculares;
Área do triângulo; Equação da circunferência.
A seguir apresentaremos essas atividades com suas respectivas análises
3.2.1 Atividade 1
Título: Localização na sala de aula
Objetivo: Praticar a localização de pontos no plano.
Material: Roteiro da atividade 1, papel, caneta ou lápis.
Hora de Início da atividade: _______________
Procedimentos
Observe a figura a seguir que representa uma sala de aula com carteiras
organizadas em fileira:
Identifique os alunos a partir das orientações do quadro abaixo:
Localização Identificação
O aluno que está na 3ª carteira, da 2ª fileira.
O aluno que está na 2ª carteira, da 3ª fileira.
O aluno que está na 1ª carteira, da 1ª fileira.
O aluno que está na 3ª carteira, da 4ª fileira.
O aluno que está na 2ª carteira, da 4ª fileira.
Fonte: www.portaldoprofessor.mec.gov.br/ acesso em 25/08/15
116
Você conseguiria identificar os alunos, se fosse fornecido apenas uma informação,
por exemplo, o aluno que está na 2ª fileira? Por quê?
Quantas informações foram necessárias para fornecer a localização dos alunos?
Quantas informações são necessárias para fornecer a localização de qualquer
objeto?
Hora do final da atividade: _________________________________
A atividade 1 foi produzida por Sá e Pires (2016) como atividade exploratória.
Atividade exploratória é aquela cujo objetivo é verificar até onde se conhece sobre o
conceito de ponto e localização. Para análise a priori da atividade 1, esperamos que
os alunos percebam a noção de coordenadas em uma situação cotidiana, no entanto,
provavelmente os alunos encontrarão resultados diferentes, já que não
estabelecemos nenhum ponto de referência, de modo proposital, para que haja a
discussão acerca do assunto.
3.2.2 Atividade 2
Atividade 2
Título: Localização de pontos no xadrez
Objetivo: Praticar a localização de pontos no tabuleiro de xadrez.
Material: Roteiro da atividade 2, caneta ou lápis.
Hora de Início da atividade: _______________
Procedimento:
A partir das figuras, indique a posição das peças em cada questão;
Identifique a posição seguindo a seguinte nomenclatura:
1) Qual é a posição do rei preto no tabuleiro a seguir?
2) Qual é a posição da torre branca no tabuleiro a seguir?
117
3) Qual é a posição do bispo branco no tabuleiro a seguir?
4) Qual é a posição da rainha preta, no tabuleiro a seguir?
5) Qual é a posição do cavalo branco no tabuleiro a seguir?
6) Ao considerar o bispo do tabuleiro a seguir, qual é a posição dele se ele for deslocado até
a metade de sua trajetória no sentido AB?
118
7) Se o bispo preto da figura a seguir estiver na parte inferior à direita, qual será sua posição?
8) De acordo com a figura 8, se a torre branca se deslocar para a última casa a direita,
considerando sua movimentação, qual será sua nova posição?
9) Considerando a movimentação do cavalo branco, qual será a posição dele se ele se
deslocar para a esquerda, de acordo com a figura a seguir?
10) Qual será a posição do peão preto, ao se deslocar para frente, conforme a figura a seguir?
A
B
119
Hora do final da atividade: _________________________________
A atividade 2 foi elaborada por Sá e Pires (2016). Para análise a priori da
atividade 2, atividade exploratória, prevemos que os alunos sentirão dificuldades de
identificar os pontos, já que o xadrez apesar de ser um jogo conhecido é pouco usado
em nossas escolas como recurso pedagógico. Logo, apresentaremos as peças do
xadrez e suas respectivas movimentações, antes de iniciar a atividade.
Conforme as análises prévias, verificamos que, aproximadamente 50% dos
discentes egressos julgaram “regulares” o grau de dificuldade de aprendizagem para
o bloco I (plano cartesiano), embora dos docentes, de modo geral, avaliarem como
“fácil” o mesmo. Logo optamos em abordar esse bloco em três atividades distintas
(atividades de 3 a 5) trabalhando as habilidades de marcar e identificar pontos no
plano cartesiano ortogonal.
3.2.3 Atividade 3
Atividade 3
Título: Plano Cartesiano Objetivo: Encontrar relações entre pontos de mesmo quadrante ou eixo do plano cartesiano. Material: Roteiro da atividade 3, folha do sistema de eixos cartesianos I, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: __________________ Procedimentos:
A partir dos pontos indicados abaixo, marquei-os no plano cartesiano: A(1, 4); B(2, 5); C(1,1); D(0,0); E(-3,5); F(-4,6); G(-5, 1); H(-1, -2); I(-6, -5); J( -7, -3); K(0,7); L(8,0); M(-2, 0); N(0, -7); O(7, -3); P(10, -8); Q(5, -5); R (4, -10); S (-5, 0); T (-2, -4).
Após a marcação dos pontos no plano, preencha o quadro a seguir:
Pontos do
1º
Quadrante
Pontos do
2º
Quadrante
Pontos do
3º
quadrante
Pontos do
4º
quadrante
Pontos
sobre o
eixo x
Pontos
sobre o
eixo y
120
Observação: Conclusão: Hora do final da atividade: ___________________
A atividade 3 foi produzida por Sá e Pires (2016). Para análise a priori da
atividade 3 esperamos que os alunos percebam que os pontos pertencentes ao 1º
quadrante têm abscissas e ordenadas positivas, os pontos do 2º quadrante têm
abscissas negativas e ordenadas positivas, os pontos do 3º quadrante têm abscissas
e ordenadas negativas e os pontos do 4º quadrante possuem abscissas positivas e
ordenadas negativas.
3.2.4 Atividade 4
Título: Ponto sobre o eixo x
Objetivo: Descobrir uma condição suficiente para um ponto esteja sobre o eixo das abscissas. Material: Roteiro da atividade 4, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:
Observe o plano cartesiano a seguir:
Identifique as coordenadas dos pontos que estão destacados no plano cartesiano ortogonal;
121
Com os dados obtidos, complete o quadro a seguir:
PONTO COORDENADAS DO
PONTO
O PONTO ESTÁ SOBRE
O EIXO X?
Abscissa Ordenada Sim Não
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Observação: Conclusão: Hora Final da atividade: ______________________________________
A atividade 4 foi produzida por Sá e Pires (2016). Para análise a priori da
atividade 4 prevemos que os alunos percebam que os pontos sobre o eixo das
abscissas possuem ordenadas iguais a zero.
3.2.5 Atividade 5
Título: Ponto sobre o eixo Y Objetivo: Descobrir uma condição suficiente para um ponto sobre o eixo das ordenadas. Material: Roteiro da atividade 5, folha sistema de eixos cartesianos III, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:
Observe o plano cartesiano a seguir:
122
Identifique as coordenadas dos pontos que estão destacadas no eixo cartesiano;
Com os dados obtidos, complete o quadro abaixo:
PONTO COORDENADAS DO
PONTO
O PONTO ESTÁ SOBRE
O EIXO Y?
Abscissa Ordenada Sim Não
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Observação: Conclusão: Hora de Final da atividade: ______________________________________
A atividade 5 foi formada por Sá e Pires (2016). Para análise a priori dessa
atividade esperamos que os alunos percebam que os pontos que se encontram sobre
o eixo das ordenadas possuem abscissas iguais a zero.
3.2.6 Atividade 6
Título: Ponto Médio Objetivo: Descobrir uma maneira de determinar analiticamente o ponto médio de um segmento Material: Roteiro da atividade 6, papel quadriculado, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos: Para cada par de pontos a seguir:
Marque cada de par de pontos no plano cartesiano;
Encontre, com o auxílio da régua, em cm, o ponto médio em cada segmento AB;
Após os dados obtidos, preenche o quadro a seguir: PONTOS SOMA DAS
ABSCISSAS
SOMA DAS
ORDENADAS
COORDENADAS DO PONTO MÉDIO
(XM,YM) DO SEGMENTO AB
A= (3,1)
B= (1,7)
A = (2,3)
B = (4,3)
123
A= (5,6)
B = (7,8)
A = (-3,4)
B = (-5,8)
A= (-5,1)
B= (-5,5)
A = (-6, -8)
B = (-8,2)
A= (-1, -2)
B= (-3, -2)
A= (2, -8)
B = (4, -6)
A= (5, -6)
B = (3, -2)
A= (1, -8)
B= (3, -4)
Observação: Conclusão: Hora de Final da atividade: ______________________________________
A atividade 6 foi produzida por Sá e Pires (2016) baseada nos índices
declarados pelos docentes e discentes (análises prévias). Para análise a priori dessa
atividade indicamos que, a partir do plano cartesiano, os alunos marcarão os pares de
pontos no plano e destacarão o segmento de reta formados pelos referidos pares de
pontos e, com auxílio de uma régua, encontrarão o ponto médio. Preencherão o
quadro conforme a solicitação do roteiro da atividade, em seguida farão observações
sobre os valores do quadro. Com isso, esperamos que os alunos percebam que as
coordenadas do ponto médio de um segmento são determinadas pela média dos
valores das abscissas dos pontos A e B e das ordenadas dos pontos A e B.
3.2.7 Atividade 7
Atividade 7
Título: Baricentro Objetivo: Descobrir uma maneira de determinar analiticamente as coordenadas do baricentro de um triângulo Material: Roteiro da atividade 7, quadro do baricentro, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:
Para cada triangulo do quadro de figuras determine:
As coordenadas dos vértices;
As coordenadas do ponto de interseção das medianas;
124
Após os dados obtidos, preenche o quadro a seguir: TRIÂN GULO
ABSCISSA
DO 1º
VÉRTICE
ABSCISSA
DO 2º
VÉRTICE
ABSCISSA
DO 3º VÉRTICE
ABSCISSA
DO PONTO
DE
INTERSEÇÃO
DAS
MEDIANAS
ORDENADA
DO 1º
VÉRTICE
ORDENADA DO 2º
VÉRTICE
ORDENADA DO 3º
VÉRTICE
ORDENADA DO PONTO DE
INTERSEÇÃO
DAS MEDIANAS
COORDENADAS DO PONTO
DE INTERSEÇÃO DAS
MEDIANAS
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Observação: Conclusão:
Hora final da atividade: _______________
A atividade 7 foi elaborada por Sá e Pires (2016). Para análise a priori dessa
atividade apontamos que os alunos terão que encontrar o ponto que representa o
baricentro de um triângulo. Como os alunos já terão noção básica de determinação
de pontos, eles não terão dificuldades de realizar essa atividade, embora, para alguns
triângulos os vértices serão negativos, o que pode ser um obstáculo para que eles
percebam que a abscissa e a ordenadas do ponto do baricentro é a média aritmética
das abcissas e ordenadas dos vértices.
3.2.8 Atividade 8
Título: alinhamento de três pontos Objetivo: Descobrir uma condição para o alinhamento de três pontos. Material: Roteiro da atividade 8, folha plano cartesiano ortogonal, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:
Marque os pontos A (a1, a2), B (b1, b2) e C (c1, c2), exibidos pelo quadro abaixo, no plano cartesiano ortogonal;
Verifique se os pontos estão alinhados ou não;
Calcule o determinante da matriz D, sendo D =[𝑎1 𝑎2 1𝑏1 𝑏2 1𝑐1 𝑐2 1
]
Com as informações obtidas preencha o quadro a seguir:
A (a1, a2) B (b1, b2) C (c1, c2) Os pontos A, B e C
estão alinhados? Det D
(1,5) (3,8) (-1,1)
(-1,-3) (2,3) (0,-1)
125
(-2,2) (0,0) (-6,6)
(-4,1) (4,4) (-4,5)
(-1,0) (0,1) (-2,-1)
(3,-5) (1,-5) (1,1)
(-1,4) (2,-2) (3,-4)
(3,-1) (-4,-8) (7,3)
(-2,-4) (8,1) (-8,3)
(-4,-2) (2,1) (4,2)
Observação: Conclusão:
Hora de Final da atividade: ______________________________________
A atividade foi elaborada por Sá e Pires (2016), baseados na pesquisa de Silva
e Silva (2008). Para análise a priori da atividade 8, prevemos que os alunos marcarão
os pontos no plano cartesiano ortogonal e verificarão se eles estão alinhados. Após
isso, calcularão o determinante (det D), em cada caso. Esperamos que os alunos
observem que o det D terá resultado zero quando os pontos forem alinhados,
enquanto que, quando os pontos não forem, o det D será diferente de zero.
3.2.9 Atividade 9
Título: Distância entre dois pontos com as mesmas abscissas Objetivo: Descobrir uma maneira de determinar a distância entre dois pontos que possuem as mesmas abscissas. Material: roteiro da atividade 9, régua, papel A4, régua, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:
Para cada par de pontos a seguir:
Marque cada de par de pontos no plano cartesiano;
Determine, em cm, a distância entre cada par de pontos;
Com os dados obtidos, preenche o quadro a seguir:
PARES
DE
PONTOS
ABSCISSA ORDENADA VARIAÇÃO DAS
ABSCISSAS
(∆X)
VARIAÇÃO DAS
ORDENADAS
(∆Y)
DISTÂNCIA
ENTRE OS
PONTOS (D) 1º ponto 2º ponto 1º ponto 2º ponto
(1,1)
(1,7)
(2,3)
(2,5)
(5,6)
(5,7)
(-3,4)
(-3,8)
126
(-5,8)
(-5,5)
(-6,-8)
(-6,-1)
(-1,-2)
(-1,-5)
(2,-8)
(2,-8)
(5,-6)
(5,-2)
(1,-7)
(1,-4)
Observação: Conclusão:
Hora de Final da atividade: ______________________________________
A atividade foi produzida por Sá e Pires (2016), adaptada de Silva e Silva
(2008). Para análise a priori da atividade 9, esperamos que os alunos, a partir dos
pontos colocados o plano cartesiano, percebam que as distâncias entre os pontos
com as mesmas abscissas são iguais as variações das ordenadas, enquanto que as
variações das abscissas, nesses casos, são iguais a zero.
3.2.10 Atividade 10
Título: Distância entre dois pontos com as mesmas ordenadas Objetivo: Descobrir uma maneira de determinar analiticamente a distância entre dois pontos que possuem as mesmas ordenadas. Material: Roteiro da atividade 10, régua, papel A4, régua, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:
Para cada par de pontos a seguir:
Marque cada de par de pontos no plano cartesiano;
Determine, em cm, a distância entre cada par de pontos; Com os dados obtidos, preenche o quadro a seguir:
PARES
DE
PONTOS
ABSCISSA ORDENADA VARIAÇÃO
DAS
ABSCISSAS
(∆X)
VARIAÇÃO DAS
ORDENADAS
(∆Y)
DISTÂNCIA
ENTRE OS
PONTOS (D) 1º
ponto
2º
ponto 1º ponto
2º
ponto
(1,1)
(7,1)
(5,3)
(8,3)
(3,5)
(4,5)
(-2,1)
(-4,1)
127
(-4,3)
(-8,3)
(-5,-2)
(-1,-2)
(-6,-1)
(-7,-1)
(5,-3)
(8,-3)
(4,-1)
(10,-1)
(7,-8)
(2,-8)
Observação: Conclusão:
Hora de Final da atividade: ______________________________________
A atividade foi produzida por Sá e Pires (2016) adaptada da atividade de Silva
e Silva (2008). Para análise a priori da atividade 10, esperamos que os alunos, a partir
dos pontos colocados no plano cartesiano, percebam que as distâncias entre os
pontos com as mesmas ordenadas são iguais as variações das abscissas, enquanto
que a variação das ordenadas, nesses casos, são iguais a zero.
3.2.11 Atividade 11
Atividade 11
Título: Distância entre dois pontos quaisquer Objetivo: Descobrir uma maneira de determinar a distância entre dois pontos quaisquer. Material: Roteiro da atividade 11, caneta ou lápis, régua, calculadora (opcional). Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:
Para cada segmento de reta a seguir:
128
Determine a variação de X (∆X);
Determine a variação de Y (∆Y);
Encontre a distância entre eles (d), com o auxílio da régua, em cm;
Calcule o quadrado de (∆X), (∆Y) e (d); Após os dados obtidos, preencha o quadro a seguir:
Coordenadas
do Ponto
Coordenadas
do Ponto
Variação
de X (∆X)
Variação
de Y
(∆Y)
Distância
entre os
pontos e
(d)
(∆X)2 (∆Y)2 (d) ²
A B
C D
E F
G H
I J
K L
M N
O P
Q R
S T
Observação: Conclusão: Hora final da atividade: ______________________________
A atividade foi produzida por Sá e Pires (2016) baseados nas pesquisas de
Silva e Silva (2008), que apontamos nas análises prévias. Para análise a priori da
atividade 11, prevemos que os alunos calcularão a distância entre dois pontos com o
auxílio do teorema de Pitágoras e dos conhecimentos adquiridos nas atividades 9 e
10. Determinarão o quadrado dessa distância, o quadrado da variação de x e de y.
Esperamos que os alunos observem que a distância ao quadrado é aproximadamente
129
a soma dos quadrados das variações de x e y. A partir disso, esperamos que concluam
que a distância entre dois pontos quaisquer é igual a raiz quadrada da soma dos
quadrados das variações de x e y.
3.2.12 Atividade 12
Título: Declividade da reta Objetivo: Descobrir uma maneira de determinar a declividade da reta (tg α). Material: Roteiro da atividade 12, quadro de retas, calculadora, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos: Para cada reta, conforme o quadro de retas (apêndice F):
Identifique os pontos destacados;
Determine a variação de X (∆X = XB - XA);
Determine a variação de Y (∆Y = YB - YA);
Encontre a razão entre ∆Y e ∆X;
Determine a tangente do ângulo entre essa reta e o eixo x (tg α); Com os dados obtidos, preencha o quadro abaixo:
Retas Coordenadas
do Ponto A
Coordenadas
do Ponto B
Variação
de X (∆X)
Variação
de Y (∆Y)
∆𝑦
∆𝑥
Ângulo
α
(tg α)
A 31,19º
B 21,8º
C 122,01º
D 26,57°
E 135º
F 21,8°
G 26,57º
H 140,19º
I 52,13º
J 71,57º
Observação: Conclusão:
Hora final da atividade: ________________________________________
A atividade 12 foi elaborada por Sá e Pires (2016), conforme recomendações
da Rizzon (2008), que apontamos nas análises prévias. Para análise a priori da
atividade 12, esperamos que os alunos percebam que a declividade da reta (tg α) é,
aproximadamente, a razão entre as variações de Y e X, no entanto os alunos sentiram
dificuldades em dividir os valores dessa razão, já que, em alguns casos, não serão
exatos.
130
3.2.13 Atividade 13
Título: declividade em pontos distintos e colineares Objetivo: Descobrir uma relação entre a declividade pontos distintos e colineares de uma reta. Material: Roteiro da atividade 13, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos: Para cada terna de pontos apresentados verifique se os mesmos são
colineares; -Determine a declividade dos pontos A e B; -Determine a declividade dos pontos B e C; -Determine a declividade dos pontos A e C;
Com os dados obtidos, preencha o quadro a seguir: PONTOS OS PONTOS A, B E C SÃO
COLINEARES?
DECLIVIDADE NOS
PONTOS A E B
DECLIVIDADE NOS
PONTOS B E C
DECLIVIDADE NOS PONTOS
A E C
Sim Não
A (2, 5)
B (3, 7)
C (1, 3)
A (-1, 1)
B (3, 4)
C (0, -2)
A (2, -1)
B (-1,11)
C (3, -5)
A (4,3)
B (1,1)
C (-2,2)
A (1, -3)
B (4, -9)
C (-2, 3)
A (-3, 0)
B (3, -6)
C (0, -3)
A (2,2)
B (-1,3)
C (4,0)
A (1, 0)
B (2, 1)
C (-1, -2)
A (2, 2)
B (8, 5)
C (10, 6)
A (-2,5)
B (1,2)
C (-2, -2)
Observação: Conclusão: Hora final da atividade: __________________________________________
A atividade 13 foi elaborada por Sá e Pires (2016). Para análise a priori da
atividade 13, apontamos que os alunos calcularão as declividades da reta nos pontos
A B, C, dados em cada caso, combinados 2 a 2. Esperamos que os alunos observem
131
que os valores das declividades da reta entre os pontos dados serão iguais, quando
colineares.
3.2.14 Atividade 14
Título: Equação da reta Objetivo: Descobrir uma maneira de encontrar a equação da reta a partir de dois pontos. Material: Roteiro da atividade 14, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:
Determine a declividade nos pontos A e B; Determine a declividade nos pontos A (ou B) e um ponto genérico (x, y); Determine a relação entre as declividades obtidas; Isole a variável y da equação obtida; Com dados obtidos, preencha o quadro abaixo:
Coordenadas dos
Pontos
Declividade dos
pontos A e B
Declividades no
ponto A (ou B) e um
ponto genérico (x, y)
Relação entre
as declividades
Equação obtida
A (1,2)
B (3,4)
A (2,7)
B (5,13)
A (-1,5)
B (2, -4)
A (3, -14)
B (-2,11)
A (-1, -10)
B (5,8)
A (-2,1)
B (0, -9)
A (1, -9)
B (-1, -5)
A (5, -37)
B (-4,26)
A (5,3)
B (10,4)
A (8, -5)
B (-4,4)
Observação: Conclusão: Hora final da atividade: _______________________________________
A atividade foi produzida por Sá e Pires (2016). Para análise a priori da
atividade 14, indicamos que os alunos encontrarão declividades solicitadas. Como na
atividade 13 descobrirão que as declividades entre pontos de uma mesma reta são
iguais, esperamos que os alunos percebam que as igualdades das declividades de
uma mesma reta, gerará a equação dela.
132
3.2.15 Atividade 15
Atividade 15
Título: Equação geral da reta Objetivo: Descobrir uma maneira de encontrar analiticamente a equação da reta na forma geral; Material: Roteiro da atividade 15, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:
Considere que os pontos de cada terna do quadro abaixo pertencem à mesma reta. A partir disso, determine:
A declividade da reta nos pontos A e B; A equação da reta obtida a partir da declividade em sua forma geral, ou
seja, equação na forma ax +by +c = 0, onde a, b, c ϵ IR;
O determinante da matriz D=(𝑥 𝑦 1𝑥𝑎 𝑦𝑎 1𝑥𝑏 𝑦𝑏 1
), onde 𝐴 = (𝑥𝑎, 𝑦𝑎) 𝑒 𝐵 = (𝑥𝑏 , 𝑦𝑏);
Com dados obtidos, preencha o quadro abaixo: Nº Terna
dos
pontos
Equação geral
(ax +by +c = 0) D = |
𝑥 𝑦 1𝑥𝑎 𝑦𝑎 1𝑥𝑏 𝑦𝑏 1
|
1 P(x,y)
A(3,3)
B(0,1)
2 P(x,y)
A(2,8)
B(1,5)
3 P(x,y)
A(2,9)
B(1,4)
4 P(x,y)
A(0,5)
B(2,1)
5 P(x,y)
A(0,0)
B(2,12)
6 P(x,y)
A(0,10)
B(1,5)
7 P(x,y)
A(3,2)
B(1,4)
8 P(x,y)
A(1,5)
B(5,25)
9 P(x,y)
A(4,4)
B(12,6)
10 P(x,y)
A(3,15)
B(1,7)
Observação: Conclusão:
133
Hora final da atividade: _______________________________________
A atividade 15 foi produzida por Sá e Pires (2016). Para análise a priori da
atividade 15 apontamos que os alunos encontrarão a equação na forma geral
conforme a atividade 14 e encontrarão o determinante de uma matriz formada pelos
pontos da reta. Esperamos que os alunos percebam que a equação da reta por meio
da declividade seja equivalente a equação da reta encontrada por meio do
determinante da matriz gerada pelos pontos colineares da reta.
3.2.16 Atividade 16
Título: Retas paralelas Objetivo: Descobrir uma relação analítica entre retas paralelas. Material: Roteiro da atividade 16, quadro de pares de retas I, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:
Identifique cada par de reta r e s; Para cada par de reta r e s, verifique se as retas são paralelas (r//s) ou
não paralelas [retas concorrentes Determine a declividade da reta r(mr) e da reta s(ms); Com os dados obtidos, preencha o quadro abaixo:
Pares
de
retas
As retas r
e s são
paralelas?
Declividade
da reta r
(mr)
Declividade
da reta s
(ms)
1º par
2º par
3º par
4º par
5º par
6º par
7º par
8º par
9º par
10º par
Observação: Conclusão: Hora final da atividade: _____________________________
A atividade 16 foi construída por Sá e Pires (2016) com base na pesquisa de
Silva e Silva (2008), conforme análise prévias realizadas. Para análise a priori da
atividade 16, previmos que os alunos identificarão as retas r e s, verificarão,
visualmente, se essas retas são paralelas ou não, identificarão os coeficientes
(r s)];
134
angulares de cada reta são paralelas ou não, identificarão os coeficientes angulares
de cada reta para verificar se há relação entre eles. Assim, esperamos que os alunos
percebam que os coeficientes angulares de r e s, quando são paralelas, serão iguais,
enquanto que quando as retas não forem paralelas os valores dos coeficientes
angulares serão diferentes.
3.2.17 Atividade 17
Título: Retas perpendiculares Objetivo: Descobrir uma relação analítica entre retas perpendiculares. Material: Roteiro da atividade 17, quadro pares de retas II, caneta ou lápis. Hora de Início da atividade: ______________________________________ Procedimentos:
Identifique cada par de reta r e s; Para cada par de reta r e s, verifique se as retas são perpendiculares ou
não perpendiculares (ou seja, serão paralelas ou concorrentes obliquas); Identifique o valor do ângulo entre as retas r e s, em cada par de retas; Determine a declividade da reta r (mr) e da reta s (ms); Com os dados obtidos, preencha o quadro abaixo:
Pares
de retas
As retas r e s são
perpendiculares?
Valor dos ângulos
entre as retas r e s
Declividade
da reta r (mr)
Declividade da
reta s (ms)
mr . ms
1º par
2º par
3º par
4º par
5º par
6º par
7º par
8º par
9º par
10º par
Observação: Conclusão:
Hora final da atividade: __________________________
A atividade 17 foi produzida por Sá e Pires (2016) baseados nas pesquisas de
Silva e Silva (2008), de acordo com as análises prévias. Para análise a priori dessa
atividade indicamos que os alunos identificarão as retas r e s, verificarão, visualmente,
se essas retas são perpendiculares ou não, identificarão a declividade de cada reta,
efetuarão a multiplicação entre esses valores. Assim, esperamos que os alunos
percebam que essa multiplicação entre os coeficientes angulares de r e s, quando são
perpendiculares, será -1, enquanto que quando as retas não forem perpendiculares a
(r s)
135
referida multiplicação será diferente de -1, para concluir que as declividades serão
inversas e opostas para retas perpendiculares.
3.2.18 Atividade 18
Título: Equação da circunferência Objetivo: Descobrir a forma da equação da circunferência Material: Roteiro da atividade 18, quadro de circunferências, papel e caneta ou lápis. Hora de início da atividade: _____________________________ Procedimentos:
1. Para cada circunferência do quadro de circunferências:
Determine as coordenadas do centro C (xo, yo);
Determine a medida do raio (r), em cm;
Determine a expressão de distância do centro a um ponto genérico
P(x, y) da circunferência;
2. Com os dados obtidos preencha o quadro a seguir:
Circunferência Coordenadas do
centro (C)
Medida do
raio (r)
Expressão simplificada da distância
entre o centro e um ponto P(x,y)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Observação: Conclusão: Hora final da atividade: ______________________________________
A atividade 18 foi construída por Sá e Pires (2016), de acordo com as análises
prévias. Para análise a priori dessa atividade prevemos que os alunos, por meio dos
gráficos contidos no quadro de circunferência, encontrarão os valores do raio e das
coordenadas do Centro da circunferência, em cada caso. Após os resolverem os
procedimentos solicitados, os alunos determinarão a distância entre o centro e um
ponto genérico pertencente a circunferência. Logo, esperamos que os alunos
observem que, na forma simplificada, a referida distância representa a equação da
circunferência e que o centro e o raio são elementos contidos nessa equação,
resultando na forma r² = (x – xo) ² + (y – yo) ².
136
3.2.19 Atividade 19
Atividade 19
Título: Distância de um ponto a reta Objetivo: Descobrir a forma analítica de determinar a distância de um ponto a reta. Material: Roteiro de atividade 19, papel e caneta ou lápis. Hora de início da atividade: _____________________________ Procedimentos: Para cada equação da reta r (ax +by + c = 0) e um ponto P (Xo, Yo) do quadro de
ponto e reta:
Identifique a reta r e os pontos P e Q;
Determine a distância entre P e Q;
Encontre os valores |aXo + bYo + c| e √𝑎2 + 𝑏2.
Com os dados obtidos, preencha o quadro a seguir:
Par
Reta r
ax +by +c = 0
Ponto
P(Xo, Yo) Ponto Q
Distância entre
P e Q √𝑎2 + 𝑏2 |𝑎𝑋𝑜 + 𝑏𝑌𝑜 + 𝑐|
1º
2º
3º
4º
5°
6°
7°
8°
9°
10°
Observação: Conclusão:
Hora final da atividade: _______________________________________
A atividade 19 foi construída por Sá e Pires (2016), de acordo com as análises
prévias. Para análise a priori dessa atividade, prevemos que os alunos identificarão
os pontos P e Q, que são pertencentes à reta perpendicular à reta r. Esperamos que
os alunos observem que a distância entre um ponto P a uma reta é representado pela
razão entre |aXo + bYo + c| e √𝑎2 + 𝑏2, contudo, é possível que os alunos sintam
dificuldades em calcular essa razão, já que envolve a divisão e radiciação.
137
3.2.20 Atividade 20
Título: Área do triângulo Objetivo: Descobrir uma maneira diferenciada de calcular a área do triângulo. Material: Roteiro da atividade 20, quadro de triângulos, papel e caneta ou lápis. Hora de início da atividade: _____________________________ Procedimentos:
1. Para cada triângulo do quadro de triângulos:
Identifique os vértices A (a1, a2), B (b1, b2) e C (c1, c2) de cada triângulo;
Determine a equação da reta (r) que passa pelos vértices A e C; Determine a distância do ponto B a reta r; Determine a distância entre os pontos A e C; Calcule a área do triângulo ABC;
Calcule o valor do determinante de D (det D), no qual 𝐷 = [𝑎1 𝑎2 1𝑏1 𝑏2 1𝑐1 𝑐2 1
]
2. Com os dados obtidos preencha o quadro a seguir:
∆
ABC
Ponto
A
Ponto
B
Ponto
C
Reta
r
Distância
do ponto
B
a reta r
Distância
entre os
Pontos
A e C
Área
do
∆
ABC
Det D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Observação: Conclusão:
Hora final da atividade: _______________________________________
A atividade 20 foi produzida por Sá e Pires (2016), adaptada de Silva e Silva
(2008) de acordo com as análises prévias. Para análise a priori dessa atividade
indicamos que os alunos encontrarão a reta r que passa pelos vértices A e C para
determinar a distância do vértice B à reta r, valor equivalente à altura do triângulo ABC,
além disso, determinarão a distância entre os pontos A e C, que se refere a base do
triângulo ABC, para encontrar o valor da área do referido triângulo. Após calcular os
138
determinantes solicitados (det D), esperamos que os alunos observem que o valor do
det D é o dobro do valor da área do triângulo ABC, em cada caso.
Durante o desenvolvimento da experimentação vamos inserir as atividades de
fixação, que serão apresentadas a seguir.
3.3 ATIVIDADES DE FIXAÇÃO DOS CONTEÚDOS EM GEOMETRIA ANALÍTICA
As atividades de fixação de nossa sequência didática serão constituídas de lista
de Questões, baseados nos livros de Iezzi (2005), Iezzi et al (2010), Souza (2010),
Paiva (2009, 2010) e Dante (2012), além da utilização de questões adaptadas de
vestibulares, SISPAE (Sistema de Avaliação Paraense) e do ENEM (Exame Nacional
do Ensino Médio). Essas listas de questões serão aplicadas durante a
experimentação, após a realização de algumas atividades e terão como principais
objetivos aprimorar as atividades de abordagem dos conteúdos e auxiliar os alunos
na resolução do teste no final da experimentação.
3.3.1 Listas de Questões
As análises prévias mostraram que a maioria dos alunos, equivalente a 73%,
não possuem ajuda em casa em suas atividades de Matemática, o que nos motivou a
construir listas com questões distribuídas de três em três, com raciocínios similares,
no qual uma, resolveremos com os alunos para compartilhar estratégias de resolução
das questões da lista, retomando as informações descoberta por eles nas atividades;
a outra questão, o aluno resolverá em sala de aula com a nossa orientação para
aperfeiçoar o que foi aprendido e deixamos, aos alunos, a última questão de raciocínio
parecido para ser resolvido em casa no intuito de fazer com que os alunos revisem o
que foi construído de conhecimento nesse processo. Logo essas listas têm como
objetivo aperfeiçoar os assuntos discutidos em sala durante os encontros. A seguir
apresentaremos as fontes de cada lista da sequência, que podem ser identificadas
nos apêndices desse trabalho.
3.3.1.1 Lista de questões 1
A lista de questões 1 (apêndice L) possui 12 questões sobre localização,
determinação e interpretação de pontos no plano artesiano que contempla a matriz de
referência do ENEM (Exame Nacional do Ensino Médio), no qual relaciona a
competência “utilizar o conhecimento geométrico para realizar a leitura e a
139
representação da realidade e agir sobre ela” (BRASIL, 2015, p. 36) com as habilidades
de “interpretar a localização e a movimentação de pessoas/objetos no espaço
tridimensional e sua representação no espaço bidimensional” (BRASIL, 2015, p.36) e
de “interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas” (BRASIL,
2015, p.37). O quadro 22 indica a fonte e o ano de cada questão da referida lista.
Quadro 22: Fonte e ano das questões da lista 1
QUESTÕES FONTE ANO
01 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” 2010
02 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” (2010), adaptada pela pesquisadora
2016
03 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” (2010), adaptada pela pesquisadora
2016
04 Questão do livro “conexões da Matemática. Volume 3”, adaptada pela pesquisadora
2016
05 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2010
06 Questão elaborada pela pesquisadora 2016
07 Questão elaborada pela pesquisadora 2016
08 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” 2010
09 Questão elaborada pela pesquisadora 2016
10 Questão do livro “Cálculo: um curso moderno e suas aplicações” (1998), adaptada pela pesquisadora
2016
11 Questão do livro “Cálculo: um curso moderno e suas aplicações” (1998), adaptada pela pesquisadora
2016
12 Questão do livro “Cálculo: um curso moderno e suas aplicações” (1998), adaptada pela pesquisadora
2016
Fonte: pesquisa de campo (2016)
A análise a priori da lista de questões 1 indica que, nessa atividade, os alunos
utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o
desenvolvimento das atividades da sequência referente a localização e determinação
de ponto. Esperamos que os alunos percebam, por meio dos problemas, a utilização
prática dos conteúdos abordados.
3.3.1.2 Lista de questões 2
A lista de questões 2 (Apêndice M) é composta de 10 questões sobre ponto
médio, baricentro e alinhamento entre pontos, que contemplam a matriz de referência
do Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), competência de “modelar e resolver
problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas usando
representações algébricas” (BRASIL, 2015,p.36) com as habilidades de “interpretar
gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas “(BRASIL, 2015, p. 36) e
140
“avaliar propostas de intervenção na realidade utilizando conhecimentos
algébricos”(BRASIL, 2015, p.36). O quadro 23 apresenta as fontes e ano de produção
de cada questão.
Quadro 23: Fonte e ano das questões da lista 2
QUESTÕES FONTE ANO
01 Questão do livro “Matemática: contexto e aplicações” 2009
02 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2010
03 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2010
04 Questão do vestibular da PUC/RJ 2005
05 Questão do vestibular da UERJ (2005) citado no livro “Matemática: ciência e aplicações”
2010
06 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” 2010
07 Questão do livro “Matemática: contexto e aplicações” 2012
08 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” 2010
09 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações”, adaptada pela pesquisadora
2016
10 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações”, adaptada pela pesquisadora
2016
Fonte: pesquisa de campo (2016)
A análise a priori da lista de questões 2 indica que, nessa atividade, os alunos
utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos adquiridos durante o
desenvolvimento das atividades da sequência referente a ponto médio, alinhamento
entre pontos e baricentro. Esperamos que os alunos consigam efetuar os cálculos
com sucesso.
3.3.1.3 Lista de questões 3
A lista de questões 3 (Apêndice N) é constituída de 9 questões sobre distância
entre dois pontos. A lista de questões 3 contempla a matriz de referência do ENEM
na competência “modelar e resolver problemas que envolvem variáveis, usando
representações algébricas” (BRASIL, 2015, p.36) referente as habilidades de
“interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas” (BRASIL,
2015, p. 36) e “utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para
construção de argumentação” (BRASIL, 2015, p.36). O quadro 24 apresenta as fontes
e ano de produção de cada questão.
Quadro 24: Fonte e ano das questões da lista 3
QUESTÕES FONTE ANO
01 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2010
02 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2010
03 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2009
141
04 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2009
05 Questão do exame ENEM 2012
06 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2009
07 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” 2010
08 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações”, adaptada pela pesquisadora
2016
09 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações”, adaptada pela pesquisadora
2016
Fonte: pesquisa de campo (2016)
A análise a priori da lista de questões 3 indica que, nessa atividade, os alunos
utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o
desenvolvimento das atividades da sequência referente a distância entre pontos.
Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar as questões de acordo com
as atividades estudadas.
3.3.1.4 Lista de questões 4
A lista de questões 4 (Apêndice O) é constituída de 15 questões sobre equação
da reta. A lista também contempla a matriz de referência do ENEM na competência
“interpretar informações de natureza científica e social obtidas da leitura de gráficos e
tabelas” (BRASIL, 2015, p.36) referente as habilidades de “resolver problemas com
dados apresentados em tabelas e gráficos” (BRASIL, 2015, p. 36) e “analisar
informações expressas em gráficos e tabelas como recurso para construção de
argumentos” (BRASIL, 2015, p.36). O quadro 25 apresenta as fontes e ano de
publicação das questões.
Quadro 25: Fonte e ano das questões da lista 4
QUESTÕES FONTE ANO
01 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2009
02 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2010
03 Questão do vestibular da UFPB (2005), adaptada pela pesquisadora
2016
04 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2010
05 Questão da prova de seleção da EFOMM (2002), adaptada pela pesquisadora
2016
06 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2009
07 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2010
08 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2009
09 Questão do livro “Conexões com a Matemática” 2010
10 Questão elaborada pela pesquisadora 2016
11 Questão elaborada pela pesquisadora 2016
12 Questão elaborada pela pesquisadora 2016
13 Questão elaborada pela pesquisadora 2016
14 Questão elaborada pela pesquisadora 2016
142
15 Questão elaborada pela pesquisadora 2016 Fonte: pesquisa de campo (2016)
A análise a priori da lista de questões 4 indica que, nessa atividade, os alunos
utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o
desenvolvimento das atividades da sequência referente a equação da reta.
Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar as questões de acordo com
os assuntos estudados.
3.3.1.5 Lista de questões 5
A lista de questões 5 (Apêndice P) é constituída de 9 questões sobre retas
paralelas e perpendiculares baseados nos livros didáticos de Matemática. O quadro
26 apresenta as fontes e ano de produção de cada questão.
Quadro 26: Fonte e ano das questões da lista 5
QUESTÕES FONTE ANO
01 Questão do livro “Matemática: contexto e aplicações”
2010
02 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações”
2010
03 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2010
04 Questão da prova de seleção à UFRN (2001) adaptada pela pesquisadora
2016
05 Questão da Prova de seleção à UFRN 2001
06 Questão da prova de seleção à EFOMM 1997
07 Questão elaborada pela pesquisadora 2016
08 Questão elaborada pela pesquisadora 2016
09 Questão elaborada pela pesquisadora 2016 Fonte: pesquisa de campo (2016)
A análise a priori da lista de questões 5 indica que, nessa atividade, os alunos
utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o
desenvolvimento das atividades da sequência referente a retas paralelas e
perpendiculares. Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar pelo menos
a metade dos exercícios com sucesso.
3.3.1.6 Lista de questões 6
A lista de questões 6 (Apêndice Q) é formada de 6 questões sobre equação da
circunferência conforme algumas questões de vestibulares e na prova do ENEM que
contempla a matriz de referência na competência “interpretar informações de natureza
143
científica e social obtidas da leitura de gráficos e tabelas” (BRASIL, 2015, p.36)
referente as habilidades de “resolver problemas com dados apresentados em tabelas
e gráficos” (BRASIL, 2015, p. 36) e “analisar informações expressas em gráficos e
tabelas como recurso para construção de argumentos”(BRASIL, 2015, p.36) O quadro
27 apresenta as fontes e ano de produção de cada questão.
Quadro 27: Fonte e ano das questões da lista 6
QUESTÕES FONTE ANO
01 Questão da prova de seleção da EFOMM 1998
02 Questão do livro “Matemática: contexto e aplicações” 2010
03 Questão da prova de seleção da UEPA 2013
04 Questão do exame ENEM (2014) adaptada pela pesquisadora
2016
05 Questão da prova de seleção da EFOMM 2007
06 Questão elaborada pela pesquisadora 2016 Fonte: pesquisa de campo (2016)
A análise a priori da lista de questões 6 indica que, nessa atividade, os alunos
utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o
desenvolvimento da atividade da sequência que trata de equação da circunferência.
Esperamos que os alunos consigam realizar as questões de modo coerente com que
foi realizada durante as atividades.
3.3.1.7 Lista de questões 7
A lista de questões 7 (Apêndice R) é constituída de 9 questões sobre distância
de um ponto a reta de acordo baseados nos livros didáticos que trabalham os assuntos
dessa lista. O quadro 28 apresenta as fontes e ano de produção de cada questão.
Quadro 28: Fonte e ano das questões da lista 7
QUESTÕES FONTE ANO
01 Questão do livro “Fundamentos de Matemática elementar: Geometria Analítica” (2010) adaptada pela pesquisadora
2016
02 Questão do livro “Fundamentos de Matemática elementar: Geometria Analítica” (2010) adaptada pela pesquisadora
2016
03 Questão do livro “Fundamentos de Matemática elementar: Geometria Analítica” (2010) adaptada pela pesquisadora
2016
04 Questão do livro “Fundamentos de Matemática elementar: Geometria Analítica” (2010) adaptada pela pesquisadora
2016
144
05 Questão do livro “Fundamentos de Matemática elementar: Geometria Analítica” (2010) adaptada pela pesquisadora
2016
06 Questão do livro “Fundamentos de Matemática elementar: Geometria Analítica” (2010) adaptada pela pesquisadora
2016
07 Questão do livro “Fundamentos de Matemática elementar: Geometria Analítica” (2010) adaptada pela pesquisadora
2016
08 Questão do livro “Fundamentos de Matemática elementar: Geometria Analítica” (2010) adaptada pela pesquisadora
2016
09 Questão do livro “Fundamentos de Matemática elementar: Geometria Analítica” (2010) adaptada pela pesquisadora
2016
Fonte: pesquisa de campo (2016)
A análise a priori da lista de questões 7 indica que, nessa atividade, os alunos
utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o
desenvolvimento da atividade da sequência correspondente a distância de um a reta.
Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar as questões com sucesso.
3.3.1.8 Lista de questões 8
A lista de questões 8 (Apêndice S) é correspondente de 6 questões acerca da
área de triângulos e quadrilátero de acordo com os livros didáticos que abordam os
assuntos trabalhados nessa lista. O quadro 29 apresenta as fontes e ano de produção
de cada questão.
Quadro 29: Fonte e ano das questões da lista 8
QUESTÕES FONTE ANO
01 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” 2010
02 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” (2010) adaptada pela pesquisadora
2016
03 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” (2010) adaptada pela pesquisadora
2016
04 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” 2010
05 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2010
06 Questão da prova de seleção da EFOMM 1998 Fonte: pesquisa de campo (2016)
A análise a priori da lista de questões 8 indica que, nessa atividade, os alunos
utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o
desenvolvimento da atividade da sequência correspondente a área do triângulo.
145
Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar as questões conforme as
atividades estudadas sobre área do triângulo.
3.3.1.9 Lista de questões 9
A lista de questões 9 (Apêndice T) é composta de 9 questões abordando os
conhecimentos adquiridos durante a experimentação. O quadro 30 apresenta as
fontes e ano de produção de cada questão.
Quadro 30: Fonte e ano das questões da lista 9
QUESTÕES FONTE ANO
01 Questão da prova de seleção da UFSC (2006) adaptada pela pesquisadora
2016
02 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2010
03 Questão do livro “Matemática. Volume 3” 2010
04 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” 2010
05 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” (2010) adaptada pela pesquisadora
2016
06 Questão elaborada pela pesquisadora 2016
07 Questão do livro “Matemática: ciência e aplicações” (2010) adaptada pela pesquisadora
2016
08 Questão da prova de seleção da UFRN (2001) adaptada pela pesquisadora
2016
09 Questão elaborada pela pesquisadora 2016 Fonte: pesquisa de campo (2016)
A análise a priori da lista de questões 9 indica que, nessa atividade, os alunos
utilizarão todos conhecimentos construídos durante o desenvolvimento das
atividades. Esperamos que a maioria dos alunos consigam entender e realizar a
revisão sobre os assuntos estudados.
As atividades que contemplam a sequência didática foram aplicadas em uma
escola da rede estadual de ensino, sendo que o desenvolvimento e resultados de cada
atividade será descrita na seção a seguir.
146
4 EXPERIMENTAÇÃO
Essa seção é dedicada ao relato e alguns resultados da experimentação da
sequência didática em sala de aula, na qual foi realizada em uma Escola Estadual de
Ensino Fundamental e Médio do Município de Belém-Pa, localizado no bairro de Val-
de-cans, onde trabalha a pesquisadora na função de professora de algumas turmas
do ensino médio no turno da manhã e da tarde. Conforme o site da Secretaria de
Estado de Educação do Estado do Pará, essa escola 35 turmas do ensino médio,
distribuídas nos turnos da manhã, tarde ou noite. Em relação as avaliações nacionais
promovidas pelo Ministério de Educação (MEC), em 2013, o índice de
desenvolvimento da Educação Básica (IDEB) foi de 3,5, conforme o Instituto Nacional
de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira (INEP).
A turma escolhida para essa experimentação pertence ao turno da tarde
composta por alunos do 3º ano do nível médio, e tem como tempo disponível 4 aulas
semanais de Matemática, com 45 minutos cada, distribuídas em duas aulas na terça-
feira, uma na quinta-feira e uma na sexta-feira. Essa turma tem como professor
responsável a pesquisadora, que vai mediar a aplicação dessa sequência didática.
Essa experimentação aconteceu no período de 30 de agosto de 2016 a 19 de
dezembro do mesmo ano, com a participação de 29 alunos, realizada em 23
encontros, destinados ao desenvolvimento das atividades com abordagem dos
conteúdos (20 atividades), atividades de fixação dos conteúdos (9 listas de questões)
e dois testes (um pré-teste e um pós-teste). O quadro 31 abaixo especifica as
atividades realizadas, o tempo despendido e a presença da turma em cada encontro:
Quadro 31 – Atividades realizadas x números de aulas da experimentação ENCONTROS ATIVIDADES REALIZADAS QUANTIDADE
DE AULAS NÚMERO
DE
ALUNOS
1º - Pré-teste; Ativ. 1: Localização na sala de aula; Ativ. 2: Localização de pontos no xadrez
02 29
2º Ativ. 3: Plano Cartesiano 01 26 3º Ativ. 4: Pontos sobre o eixo X;
Ativ. 5: Pontos sobre o eixo Y 01 22
4º Resolução de questões sobre Localização de pontos e leitura de gráfico.
02 19
5º Ativ. 6: Ponto Médio 01 25
6º Ativ. 7: Baricentro; 02 25
147
Ativ. 8: Condição de alinhamento de três pontos
7º Resolução de questões sobre ponto médio, baricentro e alinhamento de três pontos
01 20
8º Ativ. 9: Distância entre dois pontos com as mesmas abscissas; Ativ. 10: Distância entre dois pontos com as mesmas ordenadas.
01 12
9º Ativ. 11: Distância entre dois pontos quaisquer; Resolução de questões sobre distância entre pontos
02 29
10º Conclusão da resolução de questões sobre distância entre pontos
01 26
11° Ativ.12: Declividade da reta; Ativ.13: Declividade em pontos distintos e colineares
02 25
12º Ativ. 14: Equação da reta 01 24 13° Resolução de questões sobre
equação da reta 02 24
14º Conclusão da resolução de questões sobre equação da reta
01 27
15° Ativ. 15: equação da reta na forma geral
01 29
16° Ativ. 16: Retas paralelas; Ativ. 17: Retas perpendiculares
01 26
17º Resolução de questões sobre retas paralelas e perpendiculares
02 28
18º Ativ. 18: equação da circunferência Resolução de questões sobre equação da circunferência
02 12
19º Ativ. 19: distância de um ponto a reta 02 25
20° Resolução de questões sobre distância de um ponto a reta
02 21
21º Ativ. 20: área do triângulo; Resolução de questões sobre área do triângulo
02 18
22º Revisão dos assuntos estudados 02 25
23º Pós-teste 03 29 Fonte: pesquisa de campo (2016)
Como explicita o quadro 31, a experimentação foi realizada em 37 aulas, sendo
33 aulas dedicadas à sequência didática e 4 aulas aos testes (pré-teste e pós-teste).
As atividades aplicadas foram realizadas em duplas e individual, sendo que foram
formadas 14 duplas (denominadas por D1, D2, D3, ...., D13, D14) e um aluno que fez
as atividades individualmente (Denominado por D15), nos quais D1 representava os
148
alunos A1 e A2; D2, os alunos A3 e A4; D3, os alunos A5 e A6; D4, os alunos A7 e
A8; D5, os alunos, A9 e A10; D6, os alunos, A11 e A12; D7, os alunos A13 e A14; D8,
os A15 e A16; D9, os alunos A17 e A18; D10, os alunos A19 e A20; D11, os alunos
A21 e A22; D12, os alunos A23 e A24; D13, os A25 e A26; D14, os alunos A27 e A28
e D15 representava o aluno A29.
A seguir descreveremos o desenvolvimento dos encontros e os resultados das
atividades realizadas.
4.1 PRIMEIRO ENCONTRO
O primeiro encontro foi realizado no dia 30/08/16, com duração de duas aulas.
Incialmente explicamos o objetivo da experimentação assim como apresentamos o
roteiro previsto das atividades. Os alunos demonstraram curiosidade em saber como
se desenvolveriam essas atividades, uma vez que declararam que outras turmas que
já estudaram Geometria Analítica, a consideraram de difícil compreensão.
Após explicação sobre como aconteceria a experimentação, aplicamos um
questionário socioeconômico de caráter pessoal, com a finalidade de estabelecer um
perfil da turma. Abaixo o breve perfil dos participantes da experimentação.
4.1.1 Perfil dos participantes da experimentação
A turma participante da experimentação tem 29 alunos, constituída por 13 sexo
feminino e 16 do masculino. As idades variam de 16 a 19 anos, distribuídas por sexo,
de acordo com a tabela 22:
Tabela 22: Idades dos participantes da experimentação
Idade Feminino Masculino
Frequência Absoluta
Frequência Relativa
Frequência Absoluta
Frequência Relativa
16 1 3% 2 6% 17 9 32% 9 32% 18 3 10% 4 14% 19 0 0% 1 3%
Fonte: pesquisa de campo (2016)
A tabela 22 gerou o gráfico 40 a seguir:
149
Dentre os alunos participantes, observamos que os participantes estão com as
idades adequadas ao 3º ano do nível médio, uma vez que é considerada adequada a
faixa etária de 16 a 18 anos e apenas 3% tem a idade superior a essa faixa etária.
Isso ocorre provavelmente porque nenhum desses participantes são repetentes,
conforme suas declarações.
Relacionado aos responsáveis, os participantes declararam que os pais (mãe
e pai), tios, apenas a mãe ou somente o pai respondem por eles, conforme mostra a
tabela 23.
Tabela 23: responsáveis pelos participantes da experimentação
Responsáveis Frequência Absoluta Frequência Relativa
PAIS 10 34%
PAI 5 18%
MÃE 10 34%
TIOS 4 14%
Fonte: pesquisa de campo (2016)
O gráfico 42 explicita as porcentagens correspondentes aos responsáveis dos
participantes dessa etapa da pesquisa.
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
16 anos 17 anos 18 anos 19 anos
3%
32%
10%
0%
6%
32%
14%
3%
Gráfico 40: Idade x Gênero dos participantes da experimentação
feminino masculino
Fonte: pesquisa de campo (2016)
150
Nesse gráfico a palavra “pais” está relacionada aos alunos que afirmam que
seus responsáveis são pai e mãe. Observamos que a participação materna é
predominante, com a frequência de 68%. Desse grupo, 79% trabalham, enquanto que
10,5% não trabalham e 10,5% dos alunos optaram em não responder.
Em relação a escolaridade dos responsáveis dos participantes da
experimentação, observamos que a maioria tem a educação básica completa,
conforme a tabela 24 e o gráfico 42:
Tabela 24: Escolaridade dos Responsáveis pelos participantes da experimentação
Escolaridade dos Responsáveis
Frequência Absoluta Frequência relativa
Fundamental Completo 1 3,5%
Médio Completo 17 57%
Superior Incompleto 1 3,5%
Superior Completo 3 11%
sem escolaridade/ Sem resposta
7 25%
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Pais44%
Pai7%
Mãe44%
Tios5%
GRÁFICO 42:RESPONSÁVEIS PELOS PARTICIPANTES DA EXPERIMENTAÇÃO
Fonte: pesquisa de campo (2016)
151
O gráfico 43 é originado da tabela 24:
Os índices relativos de escolaridade dos pais dos participantes da
experimentação melhoraram, um pouco, em relação a escolaridade dos responsáveis
dos discentes da pesquisa realizada em 2014 na etapa de análises prévias, no qual a
maioria está com ensino médio completo. A maior parte dos alunos fizeram o ensino
fundamental em rede pública, como mostra a tabela 25:
Tabela 25: Ensino fundamental dos participantes da experimentação
Rede Frequência Absoluta Frequência relativa
Municipal 3 10%
Estadual 17 59%
Privada 9 31%
Fonte: pesquisa de campo (2016)
O gráfico 44 apresenta os índices relativos da rede de ensino fundamental dos
alunos participantes da experimentação:
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Fundamental Completo
3%
Médio Completo57%
Superior Incompleto4%
Superior Completo11%
Sem resposta25%
Gráfico 43: Escolaridadade dos responsáveis pelos participantes da experimentação
Fundamental Completo Médio Completo Superior Incompleto
Superior Completo Sem resposta
152
Entre os participantes dessa experimentação, apenas 7% trabalham de forma
remunerada, 7% trabalham às vezes, 7% não responderam, 79% declararam não
trabalhar, sendo que 64% deles apenas estudam no ensino médio regular, enquanto
que 36% dos alunos que não trabalham fazem cursos de língua estrangeira ou curso
técnico. No questionário, perguntamos se os alunos gostavam de Matemática e
obtivemos que:
Tabela 26: Declaração dos alunos sobre afinidade com Matemática
Gosto pela Matemática Frequência Absoluta
Frequência Relativa
Não 3 10% um pouco 21 72%
muito 5 18% Fonte: pesquisa de campo (2016)
A tabela 26 gerou o gráfico 45:
Municipal10%
Estadual59%
Privada31%
GRÁFICO 44: ENSINO FUNDAMENTAL DOS ALUNOS PARTICIPANTES DA EXPERIMENTAÇÃO
Não10%
Um pouco72%
Muito18%
Gráfico 45: Gosto pela Matemática dos participantes da experimentação
Não Um pouco Muito
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Fonte: pesquisa de campo (2016)
153
Observamos que poucos alunos declararam não gostar de Matemática, o que
pode ser um fator positivo ao bom desenvolvimento das atividades. No entanto, não
significa a ausência de dificuldades no aprendizado em Matemática, uma vez que
somente 18% dos participantes da experimentação declararam não ter dificuldades
em aprender Matemática, enquanto que 7% declararam ter muita e 75% informaram
ter pouca dificuldade com Matemática. Perguntamos ainda se eles se distraem nas
aulas de Matemática, o que obtivemos 42% declarando que se distraem nas aulas
sempre ou às vezes, 36% não se distraem e o restante não quiseram responder. Nos
casos de distração, o motivo foi a bagunça da turma, segundo os declarantes.
A frequência de estudo dos participantes é bem distribuída, como mostra a
tabela 27:
Tabela 27: Frequência de estudos dos participantes da experimentação
Frequência de estudos Frequência Absoluta Frequência Relativa Alguns dias na semana 12 41%
Fins de semana 2 7% Período de prova 5 17% Véspera da prova 1 3,5% Em sala de aula 8 28% Sem resposta 1 3,5%
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Os declarantes, conforme mostra a tabela 27, mostraram que a metade dos
alunos estudam pouco Matemática, como explicita o gráfico 46, apesar de afirmarem
gostar de Matemática muito ou pouco.
Alguns dias da semana
41%
Fins de semana7%
Período de prova17%
Véspera da prova3%
Em sala de aula28%
Sem resposta4%
Gráfico 46: Frequência de estudo dos participantes da experimentação
Alguns dias da semana Fins de semana Período de prova
Véspera da prova Em sala de aula Sem resposta
Fonte: pesquisa de campo (2016)
154
Ao comparar com as pesquisas de Gomes (2013), Silva (2014) e Silva (2015),
que fizeram consultas aos discentes do ensino médio do estado do Pará em relação
a frequência de estudo, observamos que os índices de estudo em alguns dias na
semana aumentaram, contudo, nos últimos dois anos, decresceram um pouco,
conforme ilustra o gráfico 47:
O índice de estudo somente em sala de aula aparece apenas na pesquisa atual,
onde nenhum aluno declarou estudar todos os dias. Os índices de estudos nos fins
de semana, assim como na véspera de prova, são relativamente baixos, embora seja
oscilante. O índice “Outros” que apresenta a pesquisa de Gomes (2013) faz referência
aos alunos que estudam em casa, só quando tem tarefas de casa. Em relação a ajuda
nas tarefas de casa de Matemática, de acordo com as declarações dos alunos
participantes da experimentação, verificamos que a maioria absoluta não tem auxílio
em casa, como mostra a tabela 28:
Tabela 28: Auxílio em casa nas tarefas dos participantes da experimentação
Auxílio em casa Frequência Absoluta Frequência Relativa Mãe 1 3,5%
Ninguém 23 79% Amigo 2 7% Irmão 1 3,5%
Professor Particular 2 7% Fonte: pesquisa de campo (2016)
A tabela 28 associa ao gráfico 48:
14%
8%
28%
2%
0%
6%
42%
5% 5%
55%
10%
0%
25%
0%
45%
5%
39%
10%
0% 1% 0%
41%
7%
17%
4%
28%
0% 0%
A L G U N S D I A S D A S E M A N A
F I N S D E S E M A N A
P E R Í O D O D E P R O V A
V É S P E R A D E P R O V A
E M S A L A D E A U L A
T O D O D I A O U T R O S
GRÁFICO 47: FREQUÊNCIA DE EST UDO DOS ALUNO CONFORME PESQUISAS NO EST ADO DO PARÁ, ENT RE 2013
A 2016
Gomes (2013) Silva(2014) Silva(2015) Pesquisa atual (2016)
Fonte: pesquisa de campo (2016)
155
Os dados do gráfico 48, assim como a pesquisa feita na etapa das análises
prévias em 2014, mostram que os alunos estudam por conta própria, uma vez que
apenas 21% tem ajuda dos amigos, parentes ou professor particular. Quando
comparamos com as pesquisas de Gomes (2013), Silva (2014) e Silva (2015) cujas
pesquisas também aborda esse fator, verificamos que o auxílio de ninguém em casa
para realização de tarefas cresce nos últimos dois anos, como enfatiza o gráfico 49:
Os índices de familiares que ajudam os alunos em tarefas de casa vêm
diminuindo, enquanto aumenta o índice da falta de auxílio, o que pode ser um
indicativo preocupante, pois a presença da família é um fator determinante para o
sucesso escolar do aluno.
Mãe3%
Ninguém79%
Amigo7%
Irmão4%
Professor Particular7%
Gráfico 48: Auxílio nas tarefas em casa de Matemática
Mãe Ninguém Amigo Irmão Professor Particular
2% 0%
10%
40%
22%
18%
0% 0%
15%
0%
5%
80%
1% 3% 1%
15%
5%
69%
3,50
%
0%
3,50
%
7% 7%
79%
M Ã E P A I I R M Ã O A M I G O P R O F E S S O R P A R T I C U L A R
N I N G U É M
GRÁFICO 49 : A U X Í L I O N A S T A R E F A S D E C A S A C O N F O R M E P E S Q U I S A S E N T R E 2 0 1 3 A 2 0 1 6
Gomes (2013) Silva(2014) Silva(2015) Pesquisa atual (2016)
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Fonte: pesquisa de campo (2016)
156
4.1.2 Resultados do Pré-teste
O Pré-teste foi realizado individualmente no dia 31/08/16 e composto por 10
questões sobre problemas acerca de ponto, reta e circunferência, juntamente com o
questionário socioeconômico. Cada aluno foi representado por A1, A2, A3, ......, A27,
A28 e 29. O quadro 32 apresenta o desempenho individual dos alunos, onde A
representa questão certas, E indica questão errada e B, questões em branco.
Quadro 32: Desempenho Individual dos alunos no Pré-teste
ALUNO Q 1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10
A1 B B B B B B B B B B
A2 B B B B B B B B B B
A3 B B B B B B B B B B
A4 B B B B B B B B B B
A5 B B B B B B B B B B
A6 B B B B B B B B B B
A7 B B B B B B B B B B
A8 B B B B B B B B B B
A9 B B B B B B B B B B
A10 B B B B B B B B B B
A11 A A B B B E B B B B
A12 A A B B B B B B B B
A13 B B B B B B B B B B
A14 B B B B B B B B B B
A15 B B B B B B B B B B
A16 B B B B B B B B B B
A17 B B B B B B B B B B
A18 B B B B B B B B B B
A19 B B B B B B B B B B
A20 B B B B B B B B E B
A21 B B B B B B B B B B
A22 B B B B B B B B B B
A23 B B B B B B B B B B
A24 B B B B B B B B B B
A25 B B B B B B B B B B
A26 A B B B B B B B B B
A27 B B B B B B B B B B
A28 B B B B B B B B B B
A29 B B B B B B B B B B
Fonte: pesquisa de campo (2016)
157
Como demonstra o quadro 32, a quantidade de branco é predominante nos pré-
testes dos alunos participantes da experimentação. Além disso, os poucos acertos se
restringiram a primeira e a segunda questão. O quadro 33 mostra o desempenho por
questão realizada pela turma por questão.
Quadro 33: Resultados do pré-teste por questão
QUESTÕES
Acertos Erros Branco
Valor Absoluto
%
Valor Absoluto
%
Valor Absoluto
%
1ª Q 3 10% 0 0% 26 90%
2ª Q 2 7% 0 0% 27 93%
3ª Q 0 0% 0 0% 29 100%
4ª Q 0 0% 0 0% 29 100%
5ª Q 0 0% 0 0% 29 100%
6ª Q 0 0% 1 3% 28 97%
7ª Q 0 0% 0 0% 29 100%
8ª Q 0 0% 0 0% 29 100%
9ª Q 0 0% 1 3% 28 97%
10ª Q 0 0% 0 0% 29 100% Fonte: pesquisa de campo (2016)
Os acertos são referentes ao ponto médio (1ª questão) e distância entre dois
pontos (2ª questão). O erro que aparece na sexta questão cujo assunto abordado foi
área de figura geométrica composta por triângulos, ocorreu porque o aluno assumiu
que a figura poderia ser dividida em 4 triângulos equiláteros e calculou área,
demonstrando que houve um erro relacionado a definição de triângulo equilátero. O
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
1ªquestão
2ªquestão
3ªquestão
4ªquestão
5ªquestão
6ªquestão
7ªquestão
8ªquestão
9ªquestão
10ªquestão
Gráfico 50: Resultados do Pré-teste por questão
Acertos Erros Em Branco
Fonte: pesquisa de campo (2016)
158
erro da nona questão aconteceu porque o aluno não soube ler o plano cartesiano e
não seguiu as orientações norte, sul, leste e oeste.
Após a realização do pré-teste, como tínhamos tempo disponível, fizemos as
duas primeiras atividades. Abaixo o desenvolvimento das atividades:
4.1.3 Desenvolvimento da Atividade 1
A atividade 1 cujo título é “Localização na sala de aula” teve a finalidade de
praticar a localização de pontos na sala de aula e servir como atividade exploratória –
atividade para verificar entendimento do aluno sobre a localização de um ponto em
um plano. A atividade solicitou a localização de alunos a partir da observação da figura
4 que representa a sala de aula.
Inicialmente falamos sobre o surgimento da Geometria Analítica, a utilização
desse conhecimento no cotidiano. Após o breve comentário sobre o assunto,
distribuímos o roteiro da atividade 1, onde solicitamos que eles identificassem os
alunos a partir das orientações dada no quadro sobre cada aluno a ser localizado. Ao
preencher o quadro, os alunos levantaram algumas dúvidas acerca da sequência da
identificação dos alunos e 50% afirmaram uma sequência diferente da outra metade
das duplas, como mostra o quadro 34 e a exemplo de respostas as duplas D9 e D14:
Fonte: www.portaldoprofessor.mec.gov.br/ acesso em 25/08/15
Figura 3: sala de aula
159
Quadro 34: Respostas da atividade 1 relacionadas a localização
Nº Respostas Duplas 1
Localizaram os alunos considerando a primeira fileira a que estava na frente da mesa do professor.
D1, D2, D5, D6, D8, D9, D13
2
Localizaram os alunos considerando a primeira fileira a que estava próximo na porta da sala.
D3, D4, D7, D10, D11, D12, D14
Fonte: pesquisa de campo (2016)
As duplas que deram a resposta 1, justificaram que iniciaram a contagem das
fileiras a partir da mesa do professor e tiveram como resposta a sequência: Valéria,
Sara, Vitor, Fernando e Carolina, enquanto que, os que deram a resposta 2
informaram que começaram a contar as fileiras considerando como ponto de
referência a porta de entrada da sala e tiveram como resposta a sequência: Bruno,
Jonas, Fábio, Rodrigo e Patrícia, o que gerou a discussão sobre a importância de um
ponto de referência. Perguntamos se com apenas uma informação é possível localizar
um objeto, que no caso são os alunos na sala de aula, e os alunos, de modo geral,
responderam que ficaria difícil, porque, em relação a figura, “são quatro alunos em
cada fileira e não daria para identificar apenas com uma informação” (Dupla D1) e
“poderia haver uma confusão já que não possuímos nenhum referencial do ponto de
Fonte: resposta da dupla D9 na atividade 1
Fonte: resposta da dupla D14 na atividade 1
160
partida para definir qual seria a segunda fileira” (Dupla D6). Além disso, perguntamos
“quantas informações são necessárias para fornecer a localização de qualquer
objeto? ”, e os alunos responderam que duas ou mais informações são obrigatórios
para determinação de qualquer ponto no plano. Ao final, os alunos demonstraram
satisfação com a atividade.
Essa atividade durou 30 minutos e a execução da atividade, por dupla, variou
entre 3 a 15 minutos, conforme as declarações dos participantes. A partir dessa
discussão na turma, fomos para próxima atividade.
4.1.4 Desenvolvimento da Atividade 2
A atividade 2 teve como título “Localização de pontos no xadrez” cujo objetivo
era de praticar a localização de pontos no tabuleiro. Essa atividade também é uma
atividade exploratória, com nível mais complexo uma vez que o xadrez é jogo de
estratégia que tem como base de movimentação das peças no plano cartesiano.
Ao entregar o roteiro das atividades as duplas formadas, perguntamos aos
alunos se eles conheciam o jogo de xadrez e metade da turma respondeu que sim,
mas não sabia jogar e a outra metade afirmou saber como as peças se
movimentavam, então apresentamos as peças com suas devidas movimentações e
solicitamos que eles identificassem a posição delas conforme as perguntas do roteiro,
utilizando como nomenclatura (letra, número) para indicar a localização das peças,
onde a letra indica a posição no sentido horizontal e o número representa a posição
no sentido vertical.
As duplas demonstraram interesse e realizaram a atividade sem dificuldades,
fazendo até a questão 6, que consideramos a mais difícil das dez perguntas feitas
sobre a localização das peças, visto que nela solicitamos a posição do bispo na
metade de sua trajetória, partindo do ponto A até o B, indicado no roteiro. Logo o
tempo de realização da atividade 2 foi 20 minutos, sendo que a execução da mesma,
por dupla, variou entre 3 a 12 minutos.
4.2 SEGUNDO ENCONTRO
O segundo encontro aconteceu no dia 02/09/16, com a duração de uma aula
de 45 minutos. Nesse encontro foi desenvolvida a atividade 3 intitulada “plano
cartesiano” com a finalidade de encontrar relações entre os pontos de mesmo
quadrante. Esse encontro teve a participação dos alunos A1eA2 (D1), A3eA4 (D2),
161
A5eA6 (D3), A7 (D4), A9eA10 (D5), A11eA12 (D6), A13eA14 (D7), A15eA16 (D8),
A17eA18 (D9), A19eA20 (D10), A21eA22 (D11), A23eA24 (D12), A26 (D13),
A27eA28(D14). Pedimos a turma que permanecessem com as mesmas duplas.
4.2.1 Desenvolvimento da atividade 3
Nessa atividade, foram fornecidos 20 pontos os quais deveriam ser marcados
no plano cartesiano para que eles observassem a que quadrante cada ponto
pertencia. Aproximadamente 46% das duplas demonstraram dificuldade em marcar
os pontos, não compreendendo a função do tracejado na folha de plano cartesiano,
como exemplifica a dupla D10:
Nesse caso, orientamos as duplas informando a função do tracejado e
indicando os sentidos dos eixos das abscissas e ordenadas. As duplas D1, D4, D5,
D9, D10 e D13 apontaram para tais dificuldades. Quando acabaram de marcar os
pontos no plano cartesiano, pedimos que verificassem quais pontos ficavam em cada
quadrante e colocassem no quadro que estava no roteiro da atividade 3, agrupando
os pontos de mesmo quadrante. Após esse agrupamento, as duplas verificaram que
“os pontos no I quadrante são todos positivos, no segundo os pontos do eixo x é
negativo e o y é positivo, 3º quadrante os pontos são todos negativos e no quarto o
eixo x é positivo e o y é negativo” (Dupla D1). Respostas semelhantes a essa foram
Fonte: determinação dos pontos no plano cartesiano pela dupla D10 na atividade 3
162
dadas por 54% das duplas participantes. 23% observaram corretamente, mas quando
foram escrever suas observações, confundiram os eixos, ocasionando erros de sinais
no quarto quadrante, como descreve a dupla D13 ao afirmar que “1º quadrante são
positivo, 2º x=negativo e o y=positivo, 3º quadrante são todos negativos, 4º quadrante
x=negativo e y=positivo”.
Em alguns casos, relacionaram os sinais aos quadrantes, sem especificá-los
para que eixo pertence os sinais, como respondeu a dupla D3 “O D passa sobre os
dois eixos, os pontos do primeiro quadramento são positivos, os pontos do segundo e
do quarto quadramento são positivos e negativos, os pontos do terceiro quadramento
são negativos”. Nesse caso, a dupla D3 usou a expressão “quadramento” para
representar os quadrantes. Após as observações feitas, cada dupla socializou as
informações produzidas. Solicitamos que cada dupla fizesse suas conclusões com
base nas observações, tentando utilizar a linguagem Matemática para efetuar a
conclusão da atividade.
As conclusões foram agrupadas em categorias especificadas em cada
atividade. Informaremos as categorias de conclusão realizadas em duplas em cada
atividade a partir da terceira. Na atividade 3, tivemos três tipos de categorias de
conclusões, sendo que a categoria 1 da atividade 3 representou as conclusões dadas
indicando as relações entre os pontos de mesmo quadrante informados de modo
correto, especificando os sinais das abscissas e ordenadas das coordenadas de cada
quadrante, conforme mostra a dupla D3, a exemplo.
As duplas dessa categoria fizeram com clareza a análise dos sinais nos
quadrantes, enquanto as duplas da categoria 2 dessa atividade fizeram análise das
coordenadas nos quadrantes, sem especificar os sinais das abscissas e das
ordenadas, a exemplo da dupla D10:
Fonte: conclusão da atividade 3 feita por D3
163
A categoria 3 da atividade 3 representou as duplas que analisaram os sinais
corretamente somente de alguns quadrantes, como a dupla D12, que não comentou
relação alguma sobre os sinais das coordenadas no quarto quadrante.
A tabela 29 mostra as duplas que se enquadraram nas categorias acima
citadas.
Tabela 29: Categorias de conclusões da atividade 3 Nº CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 3 DUPLAS
1
Informaram as relações entre os pontos de mesmo quadrante corretamente, em todos os quatro quadrantes.
D3, D6, D8, D14
2
Informaram as relações entre os pontos de mesmo quadrante, em todos os quadrantes, sem especificar os sinais das abscissas e ordenadas.
D1, D2, D7, D10
3 Informaram as relações entre os pontos de alguns quadrantes. D4, D12
Sem produção escrita na conclusão D9, D5, D13
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Como os alunos fizeram relações entre os pontos de mesmo quadrante
conforme o esperado, entendemos que as conclusões foram válidas e a atividade teve
ótimo rendimento, considerando a atividade de ótimo rendimento aquela que teve a
maioria das conclusões válidas. Essa atividade teve a duração de 40 minutos, com a
produção, por dupla, variando de 10 a 25 minutos.
Fonte: conclusão da atividade 3 feita por D10
Fonte: conclusão da atividade 3 feita por D12
164
4.3 TERCEIRO ENCONTRO
O terceiro encontro aconteceu em uma aula no dia 09/09/16, com a aplicação
da atividade 4, intitulada “Ponto sobre o eixo x”, e da atividade 5, denominada de
“Ponto sobre o eixo y”. Esse encontro contou com a participação dos alunos A1eA2
(D1), A3eA4 (D2), A5(D3), A7eA8(D4), A9eA10(D5), A11eA12 (D6), A13 (D7),
A15eA16 (D8), A17 (D9), A19eA20 (D10), A21 (D11), A23eA24 (D12), A25eA26
(D13).
4.3.1 Desenvolvimento da atividade 4
A atividade 4 teve o objetivo de descobrir uma condição suficiente para que um
ponto esteja sobre o eixo das abscissas. Para isso, fornecemos o plano cartesiano
com 10 pontos marcados nos quais as duplas deveriam identificar os valores das
coordenadas, especificando quem seria a abscissa e a ordenada. Além disso,
responderiam se o ponto estava, ou não, sobre o eixo x, conforme mostra a dupla D6,
a exemplo.
De início, orientamos as duplas acerca da atividade, enfatizando o objetivo dela
e solicitamos que preenchessem o quadro do roteiro da atividade 4, antes que
fizessem as observações e conclusões. As duplas preencheram o quadro de acordo
com as orientações. Após o preenchimento do quadro, perguntamos se eles tinham
observado os pontos quando estão sobre o eixo x e o que tinha em comum entre eles.
Logo os alunos perceberam a relação e responderam, como observação, de forma
similar a dupla D14:
Fonte: Resposta da dupla D14
165
Das duplas participantes desse encontro, as duplas D2, D3, D4 e D10 duplas
preencheram o quadro, inicialmente, mas não conseguiram estabelecer relação
alguma entre os dados para fazer suas observações. Solicitamos a esses alunos que
observassem a coordenadas dos pontos que se encontravam sobre o eixo das
abscissas para verificar se haveriam algo em comum entre eles. Nesse momento, os
alunos perceberam a semelhança e as duplas fizeram suas conclusões, exceto D3 e
D13. A atividade 4 teve uma única categoria de conclusão, onde os alunos informaram
corretamente a condição suficiente para um ponto que está sobre o eixo de x, como
mostra a dupla D1:
A tabela 30 indica as duplas que entraram na categoria de conclusões indicada
na atividade 4.
Tabela 30: Categoria de conclusões da atividade 4
Nº CATEGORIA DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 4 DUPLAS
1
Estabeceu corretamente a condição da coordenada do ponto quando está sobre o eixo das abscissas
D1, D2, D4, D5, D6, D9, D10, D12
Sem produção escrita na conclusão D3, D13 Fonte: pesquisa de campo (2016)
Essa atividade foi realizada com tranquilidade visto que a maioria das duplas
percebeu a relação entre as coordenadas sobre o eixo das abscissas, embora duas
duplas não explicitaram em suas conclusões a relação encontrada. Todas as
conclusões foram consideradas válidas, pois alcançaram o objetivo da atividade. O
tempo de duração dessa atividade foi de 20 minutos, com o tempo de execução, por
dupla, variando de 3 a 15 minutos. Como a atividade acabou dentro do tempo
disponível, prosseguimos para a atividade 5, que era semelhante a esta.
4.3.2 Desenvolvimento da atividade 5
A atividade 5 teve a finalidade de descobrir uma condição suficiente para que
um ponto esteja sobre o eixo das ordenadas. Como na atividade anterior, colocamos
10 pontos no plano cartesiano e solicitamos que eles identificassem os pontos e
colocassem no quadro da atividade 5 as coordenadas desses pontos, separando
Fonte: Conclusão da dupla D1 na atividade 4
166
abscissa e ordenada, assim como, respondessem se o ponto estava sobre o eixo y
ou não.
As duplas preencheram o quadro fornecido, e logo deram resposta semelhante
a essa “quando o ponto está no eixo do y o x é igual a zero” (Dupla D1). Socializaram
as informações e fizeram suas conclusões de acordo com o esperado, ou seja,
estabelecendo a condição suficiente para o ponto sobre o eixo das ordenadas, como
exemplifica as duplas D5 e D6.
A dupla D6 foi a única que acrescentou uma informação complementar:
A tabela 31 apresentou as duplas que se enquadraram na única categoria de
conclusões da atividade 5.
Tabela 31: Categoria de conclusões da atividade 5
Nº CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 5 DUPLAS
01
Estabeleceu corretamente a condição da coordenada do ponto quando o mesmo está sobre o eixo das ordenadas.
D1, D2, D5, D6, D9, D10, D12, D13
Sem produção escrita da conclusão D3, D4 Fonte: pesquisa de campo (2016)
As conclusões apresentadas nessa atividade foram consideradas válidas, pois
todas alcançaram a finalidade da atividade. A mesma durou 15 minutos, tendo o tempo
de execução, por dupla, tempo variando de 3 a 14 minutos.
4.4 QUARTO ENCONTRO
O quarto encontro foi dedicado a resolução da lista 1 (Apêndice L) e aconteceu
no dia 13/09/16 em duas aulas e contamos com a participação dos alunos A1, A2, A3,
A4, A6, A8, A11, A12, A13, A14, A15, A16, A20, A21, A22, A23, A24, A27 e A28. O
encontro teve como finalidade de aprimorar os conhecimentos construídos durante as
atividades de 1 a 5 – localização e determinação de pontos no plano cartesiano.
Fonte: Conclusão da dupla D5 na atividade 5
Fonte: Conclusão da dupla D6 na atividade 5
167
Inicialmente, foi combinado entre todos que resolveríamos algumas questões juntos,
outras os alunos fariam em sala de aula sob nossa orientação e outros para levarem
para casa para exercitar. Resolvemos a 1ª,4ª,7ª e 10ª questões. A 2ª, 5ª,8ª e 11ª
questões foram feitas pelos alunos e a 3ª,6ª,9ª e 12ª questões para casa.
Os alunos apresentaram dificuldades em marcar os pontos no 3º e 4º
quadrantes, mas à medida que eles exercitavam as dúvidas se dissipavam e
conseguiam resolver as questões. A quarta questão, que tratou de localização de
pontos, os alunos não demonstraram falta de entendimento do problema e fizeram
com tranquilidade a quinta, que foi similar a quarta.
A sétima questão, onde solicitamos as coordenadas dos vértices de um
trapézio isósceles dados os segmentos que medem seus lados, foi a questão mais
complicada para eles, pois não sabiam a definição de trapézio isósceles e não
lembravam do teorema de Pitágoras, que foi utilizado para encontrar a altura e,
consequentemente, auxiliou na determinação dos vértices da figura. Ao resolver a
questão, tiramos as dúvidas em relação a esses assuntos e os alunos resolveram a
8º questão (semelhante a 7ª), onde mostraram segurança em resolver as questões. A
10ª questão tratou de análise de gráficos a partir da observação da reta. Nessa
questão os alunos tinham que determinar em que momento o fabricante teria lucro ou
prejuízo na venda de um certo produto, sendo que os alunos não apresentaram
incompreensão acerca do problema e conseguiram fazer a 11ª questão que era
semelhante a décima. Em relação ao dever de casa, 31% resolveram o dever de casa
completamente, 31% entregaram o dever incompleto e 38% não entregaram o dever
de casa.
Os alunos mostraram ter entendimento do assunto e a aula discorreu com
tranquilidade e durou aproximadamente 90 minutos.
4.5 QUINTO ENCONTRO
O quinto encontro aconteceu no dia 23/09/16 em uma aula para execução da
atividade 6 que teve como finalidade determinar analiticamente o ponto médio de um
segmento. Teve a participação dos alunos A1eA2 (D1), A3eA4 (D2), A5 (D3), A7eA8
(D4), A9eA10 (D5), A11eA12 (D6), A13eA14 (D7), A15 (D8), A17 (D9), A19eA20
(D10), A21eA22 (D11), A23eA24 (D12), A26 (D26), A27eA28 (D14) e A29 (D15).
Como recurso material auxiliar, utilizamos a régua e o papel quadriculado para
construção do plano cartesiano ortogonal, pois verificamos que os alunos não tinham
168
familiaridade com o mesmo. Entregamos o roteiro da atividade e os materiais
auxiliares para que as duplas construíssem seu plano cartesiano, considerando como
unidade o centímetro. Solicitamos aos alunos que marcassem os pontos dados no
quadro da atividade em seus planos cartesianos construídos e medissem, utilizando
a régua, o tamanho do segmento delimitado pelos pares de pontos dados no quadro
do roteiro da atividade 6 e, em seguida, encontrassem o ponto que divide o segmento
AB ao meio, como mostra o plano cartesiano desenhado pela Dupla D9.
Paralelamente, as duplas preencheram o quadro contendo os pares de pontos,
a coluna da soma das abscissas, a coluna da soma das ordenadas e o espaço para
informar as coordenadas do ponto médio, como ilustra D7:
Fonte: atividade no papel quadriculado por D9
169
Os alunos levaram aproximadamente, em média, de 15 minutos para desenhar
o plano cartesiano e marcar os pontos nele. Para agilizar a atividade, já que apenas
tínhamos disponível uma aula, alguns alunos sugeriram que colocássemos o quadro
da atividade 6 no “quadro branco” para que cada dupla preenchesse as informações
correspondentes a um par de ponto. Portanto, reproduzimos no “quadro branco” o
quadro da atividade 6 e cada dupla respondeu o que foi solicitado, que as duplas D1,
D4, D9 e D10 apresentaram dificuldades em montar o plano cartesiano, no
preenchimento do quadro e nas observações, pois confundiram os eixos das
abscissas com o eixo das ordenadas e, além disso, não conseguiam operacionalizar
os pontos que apresentavam uma das coordenadas negativas, o que mostrou a falta
de domínio as regras elementares dos números inteiros relacionados com suas
operações. Nesse momento, lembramos as operações com números inteiros e
orientamos a turma sobre o assunto.
Quando todos informaram seus dados, perguntamos quais foram as
observações feitas em relação ao ponto que representava a metade do segmento AB
e 9 duplas (D3, D6, D9, D7, D10, D11,D12,D14 e D15) se manifestaram afirmando
que o ponto médio tem relação com a metade dos valores das coordenadas do
segmento dado, sendo que a D6 foi a única dupla que relacionou as coordenadas de
A e B com o ponto médio utilizando a expressão “dobro” ao afirmar que “A soma das
abscissas e a soma das ordenadas é sempre o dobro da abscissa e ordenada do
ponto médio” (Dupla D6). A dupla D9 verbalizou corretamente demostrando no plano
Fonte: quadro preenchido pela dupla D7
170
construído sua observação, porém quando escreveu suas observações, não utilizou
os termos de modo adequado:
A dupla D7 percebeu mais rápido que as outras a relação gerada pela atividade
6 e utilizou por pouco tempo a régua, como recurso auxiliar, por isso respondeu, em
suas observações, que não precisavam da régua e conseguiram sistematizar
matematicamente a informação descoberta por eles. Em seguida, solicitamos aos
alunos que, em suas conclusões, escrevessem com a linguagem Matemática o que
descobriram pensando como seria a expressão para determinar o ponto médio para
um segmento de reta qualquer. Nesse sentido, surgiu duas categorias de conclusões.
A categoria de conclusões 1 da atividade 6 representou as duplas que
mostraram a expressão Matemática do ponto médio como correto, como exemplifica
a dupla D11 e D7:
A categoria de conclusões 2 da atividade 6 apresentou uma conclusão no qual
expressou o ponto médio como a divisão das somas das abscissas e ordenadas por
dois, o que foi considerada conclusão inválida, conforme mostra a dupla D3:
A tabela 32 mostra as duplas que se encaixaram nas categorias de conclusões
citadas na atividade 6.
Tabela 32: Categorias de conclusões da atividade 6
Nº CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 6 DUPLAS
1 expressou as coordenadas do ponto médio adequadamente. D1, D2, D5, D6, D7, D9, D10, D11, D12, D14, D15
2 expressou a as coordendas do ponto médio inadequadamente.
Fonte: Observação de D9 na atividade 6
Fonte: Conclusão de D11 na atividade 6
Fonte: Conclusão de D3 na atividade 6
171
D3
Sem produção escrita na conclusão D4 Fonte: pesquisa de campo (2016)
Como a maioria da turma conseguiu atingiu conclusões válidas, consideramos
a atividade com ótimo rendimento e válida. A atividade 6 teve a duração de 50 minutos,
com tempo médio de desenvolvimento da atividade, por dupla, variando de 15 a 40
minutos.
4.6 SEXTO ENCONTRO
O sexto encontro ocorreu no dia 29/09/16 em duas aulas. Compreendeu a
realização das atividades 7 e 8, referente as coordenadas do baricentro de um
triângulo e o alinhamento entre pontos, com a participação dos alunos A2 (D2), A3eA4
(D2), A5eA6(D6), A7eA8 (D4), A9 (D5), A11eA12 (D6), A13eA14 (D7), A17eA18 (D9),
A19eA20 (D10), A21eA22 (D11), A23eA24(D12), A25eA26 (D13), A27eA28 (D14) e
A29 (D15).
4.6.1 Desenvolvimento da atividade 7
A atividade 7 denominada “baricentro” teve o objetivo de descobrir uma maneira
de determinar analiticamente as coordenadas do baricentro de um triângulo a partir
da análise dos vértices dos 10 triângulos dados, da coordenada do ponto de
interseção das medianas de cada triângulo. A partir dessas informações, os alunos
deveriam preencher o quadro do roteiro da atividade 7, no qual solicitamos,
separadamente, os valores das abscissas e ordenadas de cada vértice do triângulo,
assim como, as abscissas e ordenadas do ponto de interseção das medianas, que foi
destacado em cada triângulo.
O encontro foi iniciado com a revisão da atividade sobre o ponto médio e, a
partir disso, perguntamos se algum aluno já tinha ouvido falar do termo mediana e
baricentro e com o sinal de negativo dos alunos, comentamos acerca da definição de
mediana e baricentro para que eles pudessem identificar nos triângulos dados essas
informações. Organizamos as duplas e foi entregue a cada uma o roteiro da atividade
7, juntamente com o “quadro de baricentro” – folha contendo 10 triângulos, com suas
medianas e baricentro marcados no plano cartesiano (apêndice E). Assim como na
atividade anterior, o quadro do roteiro da atividade 7 foi colocado no quadro branco,
172
onde cada dupla era responsável em escrever as informações referentes a um
triângulo, sendo que todos fariam a atividade inteira.
Dentre os participantes dessa atividade, 6 duplas (D2, D4, D9, D11, D13 e D14),
inicialmente, não conseguiram preencher o quadro, logo preenchemos a primeira linha
para ensinar como obter as informações solicitadas a partir do triângulo dado. A partir
disso, os alunos compreenderam melhor o preenchimento do quadro e o objetivo do
mesmo para sistematização de informações e construção da relação projetada à
atividade, visto que informamos que por meio dos dados preenchidos poderíamos
encontrar uma relação para determinar as coordenadas do baricentro. Como exemplo,
a ilustração de dupla D13, que mostra o quadro do roteiro preenchido.
Quando a maioria da turma tinha preenchido seus quadros, solicitamos que
cada dupla colocasse as informações no quadro branco. Duas duplas (D4 e D9)
demonstraram dificuldades identificar os vértices e baricentros dos triângulos.
Percebemos que persistia a falta de compreensão em determinar o ponto no plano,
assim orientamos cada dupla na tentativa de sanar tais dificuldades.
A partir do quadro preenchido, solicitamos que os alunos observassem as
informações referentes as abscissas e ordenadas destacadas. Os alunos demoraram
alguns minutos e desenvolveram algumas observações acerca dos dados coletados
no quadro. Seis duplas (D2, D4, D6, D12, D14, D15) associaram as coordenadas do
baricentro a divisão por três das somas das abscissas dos vértices do triângulo e das
somas das ordenadas dos vértices do mesmo triângulo para determinação das
coordenadas do baricentro, sendo que D15 foi o único que utilizou o termo média para
representar a ideia de baricentro. A dupla D10 observou que o baricentro é “a soma
de um triângulo dividido por 3”, confundindo a ideia de triângulo com coordenadas do
Fonte: o quadro da atividade 7 preenchido pela dupla D13
173
vértice de um triângulo. A dupla D4, apesar da dificuldade inicial em desenvolver a
atividade, compreendeu relação dos elementos destacados no triângulo e expressou
somente o processo aritmético de encontrar o valor do baricentro. Seis duplas (D1,
D3, D7, D9, D11, D13) declararam dificuldades em encontrar as relações devidas,
então solicitamos que eles observassem as abscissas dos vértices e a abscissa do
baricentro e tentasse relacioná-las por meio de alguma operação aritmética e assim
fizessem com as ordenadas dos vértices do mesmo triângulo e a ordenada do
baricentro. Com a nossa orientação e a ajuda dos colegas que compreenderam o
processo aritmético, as duplas com dificuldades em entender a atividade,
conseguiram encontrar e compreender a relação existente.
Após as observações declaradas verbalmente e em forma escrita, as duplas
construíram suas conclusões, que se encaixaram em duas categorias de conclusões.
Na categoria de conclusão 1 da atividade 7, as duplas utilizaram a linguagem
Matemática apropriada, apresentando a fórmula algébrica das coordenadas do
baricentro do triângulo corretamente, como exemplifica a dupla D10:
Na categoria de conclusão 2 da atividade 7, a dupla representou o baricentro
como a divisão da soma das ordenadas por 3 ou pela divisão da soma das abscissas
por 3, o que tornou sua conclusão inválida, como indica D14:
A dupla D4 conseguiu fazer observação pertinente sobre o assunto,
demonstrando o processo aritmético da determinação do baricentro, no entanto não
representou algebricamente tal observação, deixando sua atividade sem conclusão.
A tabela 33 mostra as duplas que se enquadraram em cada categoria de
conclusões da referida atividade.
Fonte: Conclusão de D10 na atividade 7
Fonte: Conclusão de D14 na atividade 7
174
Tabela 33: Categorias de conclusões da atividade 7
Nº CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 7 DUPLAS
1 Expressou as coordenadas do baricentro corretamente.
D1, D2, D3, D6, D7, D9, D10, D11, D12, D13, D15
2 Expressou as coordenadas do baricentro incorretamente. D14
Sem produção escrita D4 Fonte: pesquisa de campo (2016)
De modo geral, a atividade 7, apesar de 4 duplas (D1, D3, D4 e D9)
demonstrarem que possuem pouca compreensão relacionada aos conceitos de
pontos, vértices e triângulos, teve um bom desempenho uma vez que, a maioria dos
participantes conseguiu produzir conclusões de acordo com a finalidade da atividade,
o que consideramos a mesma válida.
Essa atividade teve a duração de 35 minutos, com o tempo de execução, por
dupla, variando de 10 a 30 minutos. Como ainda restava uma aula, fizemos a atividade
8 que tratava de alinhamento entre pontos.
4.6.2 Desenvolvimento da atividade 8
A atividade 8 intitulada “Alinhamento de três pontos” teve a finalidade de
descobrir uma condição analítica para o alinhamento entre pontos, no qual os alunos,
divididos em duplas, tinham que marcar os pontos no plano cartesiano e verificar se
eles estavam sobre a mesma reta, ou seja, se estavam alinhados. Além disso, para
cada terna de pontos, os alunos deveriam encontrar o determinante da matriz gerada
por tais pontos. No roteiro da atividade 8 continha um quadro que seria preenchido de
acordo com as informações solicitadas.
Ao entregar e ler o roteiro dessa atividade à turma enfatizamos o objetivo e os
conceitos de alinhamento e determinante. Uma breve revisão sobre o assunto de
determinante foi feita antes do preenchimento do quadro no roteiro da atividade. Os
alunos iniciaram a atividade marcando os pontos no plano para verificar se esses
estavam alinhados, como ilustra D15.
175
Após a marcação e verificação se os pontos são ou não alinhados, as duplas
calcularam o determinante da matriz formada pela terna de pontos dados. Orientamos
dupla por dupla para tirar as dúvidas em relação as operações com os números
inteiros. Por conta dessa dificuldade, a turma gerou dois quadros diferentes, conforme
mostra a quadro preenchido por D14 e D15:
Fonte: plano marcado por D15
Fonte: quadro preenchido pela dupla D14
176
O primeiro quadro (dupla D14) representou 8 duplas – D1, D2, D7, D9, D10,
D11, D13 e D14 – que responderam de forma similar, e que erraram a sétima, oitava
e nona linha, por conta de erros de sinal dos números inteiros, enquanto que o
segundo quadro (dupla D3) representou 4 duplas que conseguiram encontrar todos
os valores dos determinantes corretamente, apresentando pequenos erros de
subtração, que foram corrigidos facilmente durante a exposição das informações no
quadro branco. As duplas que chegaram a resultados semelhantes ao primeiro
quadro, observaram que “quando os pontos não são alinhados, o resultado é diferente
de zero” (Dupla D14). Essas duplas não conseguiram formular uma conclusão
Matemática para atividade e deixaram em branco suas conclusões.
Das duplas que preencheram corretamente a coluna do determinante, duas
delas (D3 e D11) observaram que “O det só vai ser 0 quando os pontos alinhados”
(Dupla D11), enquanto que as duplas D6 e D15 observaram de modo mais amplo,
considerando os casos de pontos alinhados e não-alinhados, comentando como
mostra, a exemplo, a dupla D6.
Fonte: quadro preenchido pela dupla D15
Fonte: observação da dupla D6 na atividade 8
177
Ao socializar as informações, os alunos corrigiram seus cálculos, mas a maioria
das duplas, não conseguiram formular conclusões, o que gerou apenas duas
categorias de conclusões. A categoria de conclusão 1 da atividade 8 representou a
dupla D3 que usou a linguagem materna para estabelecer a condição para pontos
alinhados, porém não deixou claro que matriz faria o determinante ser zero.
A categoria de conclusões 2 da atividade 8 representou a dupla D15, que foi a
única que conseguiu formular sua conclusão recorrendo a linguagem Matemática,
demonstrando um bom domínio, enquanto que as outras duplas não conseguiram
concluir a referida atividade.
A tabela 34 mostra a produção de conclusão da atividade 8:
Tabela 34: Categorias de conclusões da atividade 8 N° CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DE ATIVIDADE 8 DUPLAS
1 Estabeleceu a condição de alinhamento entre três pontos por meio da linguagem materna
D3, D6
2 Estabeleceu a condição de alinhamento entre três pontos por meio da linguagem Matemática
D15
Sem produção escrita na conclusão D1, D2, D7, D9, D10, D11, D12,
D13, D14
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Como apenas poucos conseguiram realizar a conclusão conforme o esperado,
podemos dizer que essa atividade não teve um bom rendimento. O tempo de
realização dela foi de aproximadamente 60 minutos e teve tempo de execução, por
dupla, variando de 17 a 55 minutos.
Fonte: conclusão da dupla D3 na atividade 8
Fonte: conclusão da dupla D15 na atividade 8
178
4.7 SÉTIMO ENCONTRO
O sétimo encontro ocorreu no dia 04/10/16 em uma aula onde abordamos a
lista de questões 2 (apêndice M) referente aos conhecimentos de ponto médio,
baricentro e alinhamento. Nesse encontro contamos com a participação dos alunos
A2, A3, A4, A5, A6, A9, A10, A11, A12, A13, A14, A15, A16, A18, A22, A25, A26, A27,
A28 e A29. Essa lista contém 10 questões, da qual resolvemos, junto com eles, as
questões 1, 5, 7a e 9, enquanto que os alunos resolveram em sala as questões 2,4,7b
e 9 e para casa foram as questões 3, 6, 7c e 10.
Os alunos demonstraram ter entendido o assunto de ponto médio e baricentro,
porém a condição de alinhamento entre pontos ainda faltava uma compreensão maior,
por isso revisamos atividade 8, que apesar da maioria não ter concluído, entenderam
o motivo pelo qual o determinante da matriz formada pelos pontos, em alguns casos,
é zero, e em outros, diferente de zero. Resolvemos a questão 4 referente a condição
de alinhamento e pedimos que eles resolvessem a quinta questão, sendo que os
alunos A2 (dupla D1), A18 (dupla D9) e A22 (Dupla D11), indicaram problemas em
relação ao cálculo do determinante por conta do “jogo de sinal” dos números inteiros,
então tentamos diminuir as dúvidas em relação a esse assunto.
Apesar de tais dificuldades, os alunos fizeram as questões e exercitaram os
conteúdos trabalhados na referida lista. Sobre o dever de casa, verificamos que 56%
o fizeram completamente, 38% parcialmente e 6% não apresentaram o dever de casa.
A aula durou aproximadamente 50 minutos.
4.8 OITAVO ENCONTRO
O oitavo encontro abordou as atividades 9 e 10 correspondentes a distância
com mesmas abscissas e ordenadas e aconteceu em uma aula no dia 07/10/16. Teve
a participação dos alunos A7eA8 (D4), A9eA10 (D5), A11eA12 (D6), A17eA18 (D9),
A25eA26 (D13), A27 (D14) e A29 (D15). Esse encontro teve um número de presença
baixo, pois a maioria dos alunos pensavam que não haveria aula nesse dia uma vez
que era uma sexta-feira antes do círio da cidade, dia que normalmente não tem aula
por conta das romarias que acontecessem nesse período.
4.8.1 Desenvolvimento da atividade 9
A atividade 9 cujo título foi “Distância entre dois pontos com as mesmas
abscissas” teve a finalidade de descobrir uma maneira de determinar a distância entre
179
dois pontos que possuam as mesmas abscissas. Essa atividade foi organizada em
dupla, onde disponibilizamos uma régua, juntamente com o roteiro, para cada dupla
fazer seu plano cartesiano. Os alunos deveriam, a partir dos pares de pontos dados,
identificar as abscissas e ordenadas de cada ponto, assim como, construir um plano
cartesiano – que poderia ser feito no caderno ou na folha A4 –, utilizando como
unidade o centímetro, e marcar os pontos dados, como exemplifica D4.
Após a construção do plano e marcação dos pontos, as duplas mediriam a
distância entre tais pontos para preencher o quadro do roteiro da atividade 9. As
duplas não demonstraram dificuldades em manipular a régua e fazer o plano
cartesiano. A fim de socializar os resultados e aproveitar melhor o tempo disponível,
copiamos o quadro do roteiro no quadro branco, onde cada dupla colocou as
informações referentes a uma linha e a turma preencheu o quadro de modo
semelhante ao da dupla D13.
Fonte: plano desenhado pela dupla D4
Fonte: quadro feito pela dupla D13
180
No quadro do roteiro dessa atividade, foram solicitadas as variações das
abscissas e ordenadas, sendo que os alunos, inicialmente, não recordavam da
nomenclatura “variação” e perguntaram sobre o significado de tal termo. Nesse
momento explicamos o sentido da variação entre dois valores e fizemos associação a
física, onde é usado tal conhecimento para determinar o intervalo de tempo, assim
como o de distância, e consequentemente, encontrar o valor da velocidade de um
certo corpo. Ressaltamos que utilizamos os valores absolutos para representar as
variações. Logo os alunos demonstraram ter lembrado do termo e preencheram o
quadro sem problemas. Após o preenchimento do quadro do roteiro dessa atividade,
as duplas fizeram suas observações e socializaram com a turma. Essas observações
foram semelhantes a essa “a distância entre os pontos sempre igual a variação das
ordenadas, quando x1=x2” (Aluno D15). Depois desse momento, os alunos fizeram
suas conclusões que geraram duas categorias. Na categoria de conclusão 1 da
atividade 9, a dupla D5 que expressou a distância entre dois pontos com as mesmas
abscissas, sem deixar claro que essa expressão só vale para esse caso.
A categoria de conclusão 2 da atividade 9 representou as duplas que
conseguiram escrever a distância entre dois pontos, deixando claro que a subtração
entre as ordenadas representa a distância, quando os pontos possuem as mesmas
abscissas, como mostra, em sua conclusão, D15:
Duas duplas (D9 e D13), embora tenham elaborado suas observações de
maneira clara, não finalizaram a atividade, afirmando que não conseguiram
transformar o que observaram para linguagem Matemática.
Conforme suas observações, as duplas construíram suas conclusões que se
encaixaram nas categorias citadas nessa atividade, conforme a tabela 35.
Fonte: conclusão da dupla D5 na atividade 9
Fonte: conclusão da dupla D15 na atividade 9
181
Tabela 35: Categorias de conclusões da atividade 9 N° CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 9 DUPLAS
1 Expressou a distância entre dois pontos, sem especificar que esses pontos possuem as mesmas abscissas
D5
2 Expressou a distância entre dois pontos, especificando que esses pontos possuem as mesmas abscissas
D4, D6, D15
Sem produção escrita D9, D13
Fonte: pesquisa de campo (2016)
A atividade teve um bom rendimento, visto que a maior parte dos alunos
descobriu um modo de determinar a distância entre dois pontos que possuam as
mesmas abscissas. Essa atividade durou 30 minutos e teve um tempo de execução,
por dupla, variando de 10 a 28 minutos. Como ainda tínhamos tempo disponível,
realizamos a atividade 10 em seguida.
4.8.2 Desenvolvimento da atividade 10
A atividade 10 intitulada “Distância entre dois pontos com as mesmas
ordenadas” teve por objetivo descobrir uma maneira de determinar analiticamente a
distância entre dois pontos que possuem mesmas ordenadas. O procedimento de
realização dela foi similar ao da atividade 9, o que proporcionou às duplas mais
agilidade no processo de construção da mesma. Sem dificuldades, os alunos fizeram
o plano cartesiano, marcaram os pontos e preencheram o quadro do roteiro da
atividade 10. Rapidamente, os alunos fazendo analogia com a atividade 9, colocaram
os dados no quadro branco a fim de que cada dupla socializasse as informações,
formando um quadro similar ao produzido pela dupla D4:
Fonte: quadro feito pela dupla D4
182
As duplas logo fizeram suas observações, análogas ao da atividade anterior,
sendo que a maioria – D4, D6, D9, D13 e D15 - observaram que “Quando dois pontos
possuem as mesmas ordenadas, a distância entre os pontos é igual a variação das
abscissas e a variação das ordenadas é igual a zero” (Dupla D6). A dupla D5
expressou a variação das abscissas como distância, sem explicar em que condições
será obedecido esse cálculo, afirmando apenas que “A variação das abscissas é a
distância entre os pontos AB” (dupla D5). Das duplas participantes, duas – D9 e D13
– não conseguiram produzir suas conclusões, alegando não saber escrever
matematicamente a expressão da distância, apesar de insistirmos que as duplas
poderiam se expressar pela linguagem materna, como fez a dupla D5. Com isso, essa
atividade gerou duas categorias de conclusões. A categoria de conclusão 1 da
atividade 10, representou a dupla D5 que expressou a distância sem considerar que
a expressão vale apenas para situação onde os pontos têm as mesmas ordenadas,
conforme mostra sua conclusão.
A categoria de conclusões 2 da atividade 10 representou as duplas que
apresentaram a distância entre dois pontos, restringindo que o cálculo vale quando os
pontos têm as mesmas ordenadas, como exemplifica D15:
A tabela 36 mostra as categorias de conclusões da atividade 10 apresentadas
logo acima.
Tabela 36: Categorias de conclusões da atividade 10 N° CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 10 DUPLAS
1 Expressou a distância entre dois pontos, sem especificar que esses pontos possuem as mesmas ordenadas
D5
2 Expressou a distância entre dois pontos, especificando que esses pontos possuem as mesmas ordenadas
D4, D6, D15
Sem produção escrita D9, D13
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Fonte: conclusão da dupla D5 na atividade 10
Fonte: conclusão da dupla D15 na atividade 10
183
Como a maioria das duplas alcançou suas conclusões conforme o objetivo da
atividade, a consideramos com bom rendimento. O tempo de duração da atividade foi
15 minutos, com o tempo de realização, por dupla, variando de 5 a 14 minutos.
4.9 NONO ENCONTRO
O nono encontro abordou a atividade 11 e a lista de questões 3 (apêndice N),
abordando distância entre dois pontos quaisquer. O encontro ocorreu no dia 13/10/16
em duas aulas. Esse encontro contou com a participação de todos os alunos da turma.
4.9.1 Desenvolvimento da atividade 11
A atividade 11 denominada de “Distância entre dois pontos quaisquer” teve a
finalidade de descobrir uma maneira de determinar a distância entre dois pontos
quaisquer. Os alunos, divididos em duplas, tinham que encontrar a distância, com a
ajuda da régua, de 10 segmentos de retas colocados em um mesmo plano cartesiano
dado na folha roteiro da atividade 11, encontrar a variação das abscissas e ordenadas,
assim como, calcular o quadrado das variações de x, y e da distância encontrada. Ao
apresentar a atividade, enfatizando seu objetivo. Fizemos a primeira linha do quadro
do roteiro da atividade 11, como exemplo para realização da atividade, e proporcionar
mais agilidade no desenvolvimento dela, indicando uma linha para cada dupla
preencher. Os alunos utilizaram a régua para medir os segmentos entre os pontos do
plano cartesiano e preencheram um quadro semelhante ao da dupla D1:
184
Durante o preenchimento do quadro, percebemos que aproximadamente 60%
das duplas apresentavam dificuldades em identificar os pontos no plano cartesiano,
logo orientamos dupla por dupla na tentativa de sanar essa dificuldade. As duplas D6,
D14 e D15 se destacaram nesse momento, pois auxiliaram os colegas da turma,
reforçando onde localizava as abscissas e ordenadas, ajudaram com a manipulação
da régua e no cálculo dos quadrados, o que permitiu uma interatividade maior entre
eles.
Em relação ao quadro do roteiro da atividade 11, quatro linhas (2ª, 6ª, 7ª e 9ª)
são dadas por valores inteiros, gerando o quadrado dessas distâncias números
inteiros, enquanto que seis linhas (1ª, 3ª, 4ª, 5ª, 8ª e 10ª) tiveram distâncias cujos
valores são não-inteiros, sendo assim o quadrado dessas distâncias também não-
inteiros, o que causou um pequeno obstáculo para observação, mas o aluno A29
sugeriu que houvesse um arredondamento dos valores ao quadrado para facilitar os
cálculos e a visualização da relação que pretendíamos encontrar e os alunos assim
fizeram. As duplas D1, D2, D7, D8, D9 e D11 não conseguiram perceber, inicialmente,
a relação entre a distância e as variações das abscissas e ordenadas, por isso não
registraram nenhuma informação em suas observações. As outras duplas fizeram
observações, semelhante à da dupla D10 ao afirmar que “A soma de (∆x)² e (∆y) ² é
a mesma de d²”. A dupla D13 embora tenha se expressado de forma adequada, não
representou em sua escrita o que verbalizou, uma vez que a dupla informa que “a
Fonte: quadro feito pela dupla D1
185
distância ao quadrado é resultado das variações ao quadrado”. Já D15 associou ao
teorema de Pitágoras ao acrescentar que “A distância entre dois pontos é obtida
utilizando Pitágoras, onde os catetos são variações (∆x e ∆y) e a hipotenusa é a
distância”.
Os alunos socializaram suas observações e, no momento da construção das
conclusões, as duplas D1, D4, D8, D9 e D11 sentiram dificuldades em sistematizar a
relação encontrada para linguagem Matemática, logo auxiliamos nesse processo de
construção da conclusão, solicitando que eles usassem a relação encontrada entre as
três últimas colunas e baseados no objetivo da atividade tentassem determinar a
distância entre dois pontos, e assim fizeram. Com isso, gerou duas categorias de
conclusões dessa atividade. A categoria de conclusão 1 da atividade 11 representou
a dupla D4 que expressou a distância sem associar a raiz quadrada:
A categoria de conclusão 2 da atividade 11 representou as duplas que
indicaram a distância como a raiz quadrada da soma dos quadrados das variações
das abscissas e ordenadas, como exemplifica D11:
A tabela 37 mostra a distribuição das duplas nas categorias de conclusões que
se apresentaram nessa atividade.
Tabela 37: Categorias de conclusões da atividade 11
N° CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 11 DUPLAS
1 Expressou a distância entre dois pontos na forma d² = (∆x) ² + (∆y) ²
D4
2 Expressou a distância entre dois pontos por meio da raiz quadrada das somas dos quadrados das variações
D1, D2, D3, D5, D6, D7, D8, D9, D10, D11, D12, D13, D14, D15
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Fonte: conclusão da dupla D4 na atividade 11
Fonte: conclusão da dupla D11 na atividade 11
186
Atividade 11 teve ótimo rendimento uma vez que todas as duplas concluíram
suas atividades. Essa atividade durou 45 minutos, com o tempo de realização, por
dupla, variando de 10 a 43 minutos.
4.9.1 Desenvolvimento da Lista 3
A lista de questões 3 (apêndice N) teve a finalidade de trabalhar os
conhecimentos de distância entre pontos e foi elaborada com 9 questões. Ao ler as
questões com eles, percebemos que os alunos estavam entendendo pouco as
questões que envolviam problemas que relacionava distância no gráfico com a
distância real, pois não compreendiam a ideia de escala no plano cartesiano.
Resolvemos então a 1ª e 2ª para tratar da dificuldade encontrada, inicialmente. Os
alunos compreenderam e resolveram conosco a questão. Solicitamos que
resolvessem em sala a 3ª e 4ª questões cujo desenvolvimento foi mais demorado do
que o esperado, pois ainda era um obstáculo o entendimento das questões e
associação dela no plano cartesiano. Orientamos cada dupla para uma melhor
compreensão dos problemas e eles conseguiram fazer as questões solicitadas e os
alunos que compreenderam auxiliaram os outros para o entendimento e solução das
questões.
Como o tempo disponível já tinha acabado, deixamos para o próximo encontro
as questões de 5 a 9 da lista 3.
4.10 DÉCIMO ENCONTRO:
O décimo encontro foi realizado no dia 14/10/16 em uma aula. Foi dedicado ao
término da lista 3. Contamos com a participação dos alunos A2, A3, A4, A5, A6, A9,
A10, A11, A12, A13, A14, A15, A16, A17, A18, A19, A120, A21, A22, A23, A24, A25,
A26, A27, A28 e A29. Antes de iniciar a aula, os alunos nos disseram que não
conseguiram fazer as questões em casa, logo fizemos o restante da lista em sala.
Os alunos, sob nossa orientação, entenderam as questões e as resolveram,
contudo as questões mais complexas foram a 7, 8 e 9, nas quais eram informados os
vértices dos triângulos e solicitado a prova de que o triângulo era retângulo, já que
estavam habituados em enxergar o triângulo em uma mesma disposição – triângulo
ABC, com o ângulo reto em A, todos os vértices no primeiro quadrante -, no entanto,
no caso dessas questões, cada vértice estava em quadrante diferente, o vértice A, no
187
1º, o vértice B, no 3º e o vértice C no 4º quadrante, e isso foi um fator complicador
para entendimento das questões. Quando resolvemos a sétima, eles compreenderam
e resolveram as demais.
4.11. DÉCIMO PRIMEIRO ENCONTRO:
O décimo primeiro encontro aconteceu dia 18/10/16 em duas aulas. Nesse
encontro foram realizadas as atividades 12 e 13, que tratavam de declividade da reta.
Contamos com a participação dos alunos A1eA2 (D1), A3eA4 (D2), A5eA6 (D3),
A8(D4), A9eA10 (D5), A13eA14 (D7), A15eA16 (D8), A17eA18 (D9), A19eA20 (D10),
A21eA22 (D11), A23eD24 (D12), A25eA26 (D13), A27eA28 (D14).
4.11.1 Desenvolvimento da Atividade 12
A atividade 12 denominada de “Declividade da reta” teve como objetivo
descobrir uma maneira analítica de determinar a declividade da reta. Cada dupla
recebeu seu roteiro da atividade e um quadro de retas (apêndice F) – uma lista de 10
planos cartesianos contendo, em cada um, uma reta que passa pelos pontos A e B.
Nesse roteiro havia um quadro a ser preenchido no qual era solicitado os valores das
coordenadas de A e B, suas variações de x e y, a razão entre essas variações e a
tangente do ângulo que forma entre a reta destacada no plano e a eixo das abscissas,
como mostra o quadro preenchido pela dupla D8:
Ao apresentar a atividade as duplas, enfatizamos a finalidade da atividade.
Como estava acontecendo nos encontros anteriores, reproduzimos o quadro do
roteiro da atividade 11 no quadro branco e cada dupla se responsabilizou por uma
Fonte: quadro feito pela dupla D8
188
linha a ser preenchida. As duplas D1, D3, D4, D5, D11 e D13 ainda apresentavam
pouca compreensão em relação as operações com números inteiros, logo orientamos
cada dupla na tentativa de sanar essas dificuldades. Após o preenchimento do quadro,
cada dupla fez sua observação em relação a declividade da reta, e socializou a
informação com a turma. As duplas D1 e D8 observaram que “o valor da divisão de y
e x é o mesmo valor da tangente” (dupla D8), a dupla D7 escreveu que “a tangente é
o número de variações de x”, enquanto que a dupla D10 afirmou que “dividindo as
variações de X e de y achamos o ângulo e a tangente”. As outras duplas observaram
que “a divisão de variação de y pela variação de x é igual a tangente do ângulo” (dupla
D12), exceto a dupla D13 que não registrou observação escrita, mas se manifestou
dizendo “a variação de y dividido pela variação de x encontra a tangente”.
Questionamos sobre algumas dessas afirmações e os alunos perceberam suas falhas
e ao fazer a conclusão tentaram escrever de modo matematicamente adequado, que
gerou uma categoria de conclusão.
A única categoria de conclusão da atividade 12 representou as duplas que
expressaram a declividade da reta corretamente, como exemplifica as duplas D6 e
D7:
A tabela 38 apresenta as duplas que se enquadraram na categoria criada nessa
atividade.
Tabela 38: Categoria de conclusões da atividade 12 N° CATEGORIA DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 12 DUPLAS
1 Representou a declividade da reta como a razão entre ∆y e ∆x.
D1, D2, D3, D4, D5, D7, D8, D9, D10, D11, D12, D13, D14
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Fonte: conclusão da dupla D13 na atividade 12
Fonte: conclusão da dupla D7 na atividade 12
189
Como todos fizeram conclusões da atividade conforme a finalidade a atividade,
a consideramos com ótimo rendimento. Essa atividade durou 40 minutos, com a média
de desenvolvimento, por dupla, variando de 10 a 37 minutos.
4.11.2 Desenvolvimento da atividade 13
A atividade 13 intitulada “Declividade em pontos distintos e colineares” teve
como finalidade descobrir uma relação entre a declividade de pontos distintos e
colineares de uma reta. Os alunos deveriam verificar se os pontos A, B e C de cada
terna de pontos dados no quadro do roteiro se eram colineares, assim como deveriam
encontrar os valores das declividades nos pontos A e B, nos pontos B e C e nos pontos
A e C.
Quando aos alunos foi apresentada a atividade, resgatamos os conhecimentos
acerca de alinhamento entre pontos e o cálculo do determinante. Perguntamos o valor
do determinante quando os pontos são alinhados e a dupla D5 respondeu “zero”.
Nesse momento, afirmamos que eles precisariam dessa informação para o
desenvolvimento da atividade 13. Resolvemos a primeira linha do quadro do roteiro
da atividade e encaminhamos para cada dupla uma linha para que eles socializassem
com a turma, referente as informações obtidas através dos cálculos das declividades.
A dupla D1 foi a única que para verificar se os pontos são colineares, ou não,
desenharam o plano cartesiano e marcaram os pontos nele. O restante das duplas
calculou os determinantes necessários para responder a pergunta do quadro do
roteiro. As duplas D2, D4, D5 e D9 apresentaram insegurança referente aos cálculos
envolvendo números inteiros, logo explicamos novamente o processo aritmético de
dupla em dupla na tentativa de tirar as dúvidas referente a esse assunto. As duplas
D13 e D14 se destacaram ao se mostrarem dispostos a ajudar os colegas com
dificuldades em preencher o quadro, que ficou similar a dupla D9:
190
Após o preenchimento do quadro, a maioria das duplas (com exceção de D4)
perceberam facilmente a relação entre as declividades afirmando, em suas
observações que “Quando os pontos são colineares a declividade é a mesma em
todos eles” (Dupla D13) ou “Quando os pontos são colineares a declividade entre eles
serão sempre os mesmos valores” (Dupla D2). As duplas, em sua maioria, baseadas
nas observações feitas e socializadas, fizeram suas conclusões, que gerou uma
categoria de conclusões dessa atividade.
Essa categoria de conclusão da atividade 13 representou as duplas que
expressaram coerentemente a relação entre as declividades nos pontos sobre a
mesma reta, como mostra a dupla D12 a exemplo:
A tabela 39 mostra as duplas que produziram suas conclusões.
Fonte: quadro preenchido pela dupla D14
Fonte: conclusão da dupla D12 na atividade 13
191
Tabela 39: Categoria de conclusões na atividade 13 N° CATEGORIA DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 13 DUPLAS
1 Estabeleceu a relação da declividade entre pontos colineares adequadamente
D1, D2, D3, D4, D5, D6, D10, D11, D12, D14
Sem produção escrita na conclusão D8, D9, D13
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Como a maioria das duplas finalizaram essa atividade, a consideramos com um
bom rendimento. E teve a duração de 40 minutos, com o tempo de realização, por
dupla, variando de 25 a 40 minutos, conforme suas declarações.
4.12. DÉCIMO SEGUNDO ENCONTRO:
O décimo segundo encontro ocorreu no dia 21/10/16 em uma aula, no qual
trabalhamos a atividade 14 intitulada “Equação da reta” que teve como objetivo
descobrir uma maneira de encontrar a equação da reta a partir de dois pontos. Esse
encontro teve a participação A2 (D1), A3eA4 (D2), A5eA6 (D3), A7eA8 (D4), A9eA10
(D5), A11eA12 (D6), A13eA14 (D7), A15eA16 (D8), A19e A20 (D10), A21eA22 (D11),
A23eA24 (D12), A27eA28 (D14) e A29 (D15).
Nessa atividade solicitamos a declividade dos pontos A e B dados,
declividades dos pontos A (ou B) e um ponto genérico (x,y), a relação entre as
declividades e a equação da reta. Apresentamos a atividade, resolvemos a primeira
linha do quadro para exemplificar o procedimento, como fizemos nas atividades
anteriores, indicando para cada dupla uma linha a ser preenchida do quadro. As
duplas preencheram o quadro similar ao feito pela dupla D2:
192
A maioria dos alunos apontou uma dificuldade no desenvolvimento da equação,
se confundindo com sinais dos números inteiros. Quando acabaram de informar os
valores solicitados no quadro não conseguiram fazer observações, com exceção da
dupla D8 que escreveu “a declividade de A e B é igual ao coeficiente de x”. Como
percebemos que a maioria não tinha feito observações, enfatizamos o objetivo da
atividade e os procedimentos para chegar até a equação da reta que as duplas
encontraram. Com isso apenas duas duplas conseguiram alcançar uma conclusão
adequada, gerando uma categoria de conclusões dessa atividade.
A única categoria de conclusão da atividade 14 representou as duplas que
entenderam o processo algébrico de chegar a equação da reta a partir da tangente,
como exemplifica a dupla D14:
A tabela 40 aponta as duplas que fazer as conclusões e se encaixaram na
categoria apresentada logo acima.
Fonte: Quadro preenchido feito por D2
Fonte: conclusão da dupla D14 na atividade 14
193
Tabela 40: Categoria de conclusões da atividade 14
N° CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 14 DUPLAS
1 Representou a equação da reta por meio da tangente D14, D15
Sem produção escrita na conclusão D1, D2, D3, D4, D5, D6, D7, D8, D10, D11, D12
Fonte: pesquisa de campo (2016)
As demais duplas não registraram conclusões e nem observações,
demostrando o não entendimento da atividade. Consideramos com essa situação que
a atividade teve um baixo rendimento. Essa atividade teve a duração de 50 minutos,
com o tempo de realização, por dupla, variando de 10 a 50 minutos.
4.13 DÉCIMO TERCEIRO ENCONTRO:
O décimo terceiro encontro ocorreu no dia 25/10/16 em duas aulas, onde
trabalhamos a lista de questões 4 (apêndice O) sobre declividade e equação da reta,
contendo 15 questões. Esse encontro teve a participação dos alunos A1, A2, A3, A4,
A5, A7, A8, A9, A10, A11, A12, A13, A14, A15, A16, A17, A19, A20, A21, A22, A23,
A24, A27 e A28.
Como os alunos sentiram dificuldades em visualizar a equação da reta a partir
da declividade no encontro anterior, resolvemos as questões 1, 2, 3 e 4 juntos e a 5,
6 e 7 resolveram sob nossa orientação em sala.
Inicialmente, os alunos demonstraram pouco entendimento do assunto, mas
conforme eles resolviam as questões, demonstravam mais segurança para
representar a equação. No entanto, observamos que os alunos A1, A2, A5, A7, A8,
A15, A17, A19, A21, A22 e A24, no momento de encontrar a declividade se
confundiam ao efetuar cálculos com números inteiros. Nesse momento, quase
individualmente, tiramos as dúvidas e a maioria dos alunos conseguiu fazer as
questões solicitadas (exceto os alunos A7, A8 e A17 que não conseguiram resolver
sozinhos) e pedimos que fizessem as questões 8 e 9 em casa. As questões de 10 a
15, deixamos para o próximo encontro, uma vez que não tínhamos mais tempo para
concluir a lista 4. Essa aula durou aproximadamente, 90 minutos.
194
4.14 DÉCIMO QUARTO ENCONTRO:
O décimo quarto encontro ocorreu no dia 01/11/16 em uma aula, onde
concluímos a lista de questões 4 (equação da reta) e teve a participação dos alunos
A1eA2 (D1), A3eA4 (D2), A5eA6 (D3), A9eA10 (D5), A11eA12 (D6), A13eA14 (D7),
A15eA16 (D8), A17eA18 (D9), A19eA20 (D10), A21eA22 (D11), A23eA24 (D12),
A25eA26 (D13), A27eA28 (D14) e A29 (D15).
Os alunos declararam que não conseguiam resolver as questões deixadas para
casa, então resolvemos questão 8, 10 e 13, os alunos fizeram em sala as questões 9,
11, 14 e 15, sob nossa orientação. Após a abordagem das questões feitas por nós, os
alunos conseguiram fazer as questões deixadas para eles. Demonstraram
entendimento dos procedimentos algébricos e geométricos para obtenção do ponto
por meio da equação e determinação da equação da reta através dos pontos dados.
4.15 DÉCIMO QUINTO ENCONTRO:
O décimo quinto encontro aconteceu no dia 22/11/16 em uma aula para
desenvolver a atividade 15 denominada “Equação da reta geral” e contamos com a
participação de todos os alunos da turma.
A finalidade da atividade foi descobrir a maneira de encontrar analiticamente a
equação da reta na forma geral por meio do determinante. Essa atividade não estava
prevista inicialmente na sequência didática dessa pesquisa, mas foi inserida pois
acreditamos que a turma precisava de um recurso a mais para determinar a equação
da reta uma vez que apresentaram muita dificuldade no desenvolvimento da atividade
14 (equação da reta por meio de dois pontos) e, além disso, sabemos que faz parte
do currículo escolar e do livro didático esse tópico da Geometria Analítica, então
incluímos essa atividade na sequência.
Na atividade 15 foi solicitado a equação da reta por meio da declividade dos
pontos A e B na forma ax + by + c = 0, assim como o determinante da matriz gerada
por esses pontos. A turma foi dividida em duplas, como nos encontros anteriores, e a
atividade foi apresentada. Fizemos a primeira linha do quadro do roteiro da atividade
15 e deixamos as outras linhas do quadro sob responsabilidade de cada dupla
participante do encontro. As duplas apresentaram, como era esperado, dificuldades
referentes ao cálculo do determinante e da declividade, sendo que somente as duplas
D6, D14 e D15 fizeram os cálculos sem problemas. O quadro preenchido mostrou-se
semelhante ao da D15:
195
Durante o momento de análise, a dupla D2 observou que “em alguns casos a
equação é igual ao determinante”, enquanto que as duplas D3, D4, D6, D8, D11, D12
e D14 declararam que “a equação geral é igual a equação do determinante” (dupla
D12). As duplas D1. D7 e D9 fizeram referência ao alinhamento, afirmando que “tanto
e equação geral, quanto o determinante, o resultado final vai ser igual a 0, quando são
alinhados” (dupla D9). Já a dupla D15 tenta explicar o processo da equação geral
quando afirmou que “a equação geral é igual ou divisora do determinante dos pontos,
pois são equações proporcionais”. As duplas D5 e D13 também faz referência a
proporcionalidade citada por D15, expressando que “o determinante pode multiplicar
a equação geral” (Dupla D5) e que as equações e os determinantes “são parecidas”
(Dupla D13). Após a socialização das observações, questionamos sobre alguns
termos utilizados nas observações das duplas, tais como, as palavras “divisora” e
“parecidas”. Os alunos explicaram que estavam se referindo as equações
equivalentes. Solicitamos a construção da conclusão, ressaltando que eles tinham que
utilizar a linguagem Matemática para sistematizar suas observações e surgiu duas
categorias de conclusões.
A categoria de conclusão 1 da atividade 15 representou as duplas que
indicaram a equação da reta através do determinante da matriz gerada pelos pontos
da reta, sem fazer referência ao zero como um dos membros, como mostra D15:
Fonte: quadro preenchido por D15
196
A categoria de conclusão 2 da atividade 15 mostrou as duplas que
representaram a equação da reta utilizando o zero como um dos membros, como
exemplifica D10, para indicar que os pontos terão que pertencer a mesma reta.
A tabela 41 indica a distribuição das duplas nas categorias de conclusões
formadas nessa atividade.
Tabela 41: Categorias de conclusões da atividade 15
N° CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 15 DUPLAS
1 Expressou a equação da reta por meio do determinante, sem igualar a zero a equação.
D4, D6, D12, D13, D15
2 Expressou a equação geral da reta por meio do determinante, igualando a equação a zero
D1, D2, D3, D5, D7, D8, D9, D10, D11, D14
Fonte: pesquisa de campo (2016)
.
Como todos concluíram a atividade, consideramos de ótimo rendimento a
mesma. O tempo de desenvolvimento da atividade foi de 50 minutos, sendo o tempo
de realização, por dupla, de 10 a 50 minutos.
4.16 DÉCIMO SEXTO ENCONTRO:
O décimo sexto encontro ocorreu no dia 24/11/16 em uma aula. Nesse encontro
foi trabalhado retas paralelas e perpendiculares que compreende as atividades 16 e
17. Desse encontro participaram os alunos A2 (D2), A3eA4 (D2), A5 (D3), A7eA8 (D4),
A9eA10 (D5), A11eA12 (D6), A13eA14 (D7), A15eA16 (D8), A17eA18 (D9), A19eA20
(D10), A21eA22 (D11), A23eA24 (D12), A25eA26 (D13), A27eA28 (D14).
Fonte: conclusão da dupla D15 na atividade 15
Fonte: conclusão da dupla D10 na atividade 15
197
4.16.1 O desenvolvimento da atividade 16
A atividade 16 denominada “Retas paralelas” teve o objetivo de descobrir uma
relação analítica entre as retas paralelas. Os alunos tinham que identificar os pares
de retas r e s, contidos no quadro de retas (apêndice G), e verificar se essas retas
eram paralelas ou não, assim como, determinar a declividade das retas r e s por meio
de suas equações. Apresentamos a atividade, ressaltando o objetivo da mesma.
Resgatamos a atividade 14, que tratou de equação da reta, devolvendo a cada dupla
a referida atividade e solicitamos que observassem os coeficientes das variáveis x e
y de cada equação e a declividade nos pontos A e B. Como uma dupla tinha percebido,
na época do desenvolvimento da atividade 14, tal relação, respondeu que “os
coeficientes de x é igual a declividade de A e B” (Dupla D8).
Nesse momento, abordamos a equação na forma reduzida e fizemos
associação com a função afim, destacando o coeficiente angular e linear, uma vez
que as retas r e s da atividade 16 e 17 estão na forma reduzida da reta. Ao explicar
os procedimentos da atividade, perguntamos a turma se alguém sabe o que são retas
paralelas. A dupla D5 tentou definir dizendo que as retas paralelas são retas que
“ficam uma em cima e outra embaixo”. Desenhamos tal representação e a partir disso,
acrescentamos que essas retas não vão ter pontos em comum. Aproveitamos a
situação e tratamos das retas concorrentes, diferenciando-as das paralelas. Nessa
atividade o quadro roteiro foi preenchido sem dificuldades e ficou similar a esse:
Fonte: quadro preenchido por D1
198
As duplas enxergaram a relação rapidamente, afirmando que “quando as retas
são paralelas as declividades são iguais” (dupla D2) e a dupla D6 a ideia observando
que “quando as retas r e s são paralelas a declividade é a mesma e em retas
concorrentes a declividade é diferente”. A dupla D3 compreendeu a relação, mas não
conseguiu expressar-se adequadamente, pois substituiu o termo “coeficiente” pelo
termo “reta” ao escrever “As retas têm o mesmo valor quando são paralelas” (dupla
D3), demonstrando pouca compreensão do conceito de reta. Os alunos socializaram
suas observações, onde a partir disso, construíram suas conclusões, formando três
categorias.
A categoria de conclusão 1 da atividade 16 representou as duplas que
apresentaram as equações da reta e relação entre seus coeficientes angulares, no
caso das retas paralelas de forma coerente, como mostra a dupla D8, a exemplo:
A categoria de conclusão 2 da atividade 16, representada pela dupla D3,
utilizou, como recurso de representação auxiliar, a linguagem materna para concluir a
atividade:
A categoria de conclusão 3 da atividade 16 apresentou a conclusão da dupla
D6 que usou os símbolos das retas paralelas e concorrentes para finalizar sua
atividade:
A tabela 42 mostra a distribuição das duplas nas categorias formadas nessa
atividade.
Fonte: conclusão da dupla D8 na atividade 16
Fonte: conclusão da dupla D3 na atividade 16
Fonte: conclusão da dupla D6 na atividade 16
199
Tabela 42: Categorias de conclusões da atividade 16 N° CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 16 DUPLAS
1 Estabeleceu a relação entre os coeficientes angulares das retas paralelas, utilizando a linguagem Matemática como recurso para
representação.
D1, D2, D5, D7, D8, D9, D10, D11, D12, D14
2 Estabeleceu a relação entre os coeficientes angulares das retas paralelas, utilizando a linguagem materna como recurso auxiliar
para representação.
D3
3 Estabeleceu a relação entre os coeficientes angulares das retas paralelas, utilizando os símbolos específicos de retas paralelas e
concorrentes.
D6
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Como todos conseguiram concluir suas atividades de acordo com o objetivo da
referida atividade, a consideramos de ótimo rendimento.
A atividade durou 20 minutos e o tempo de execução dela, por dupla, variou de
5 a 14 minutos. Com tínhamos tempo disponível na aula, realizamos a atividade 17.
4.16.2 Desenvolvimento da atividade 17
A atividade 17 denominada “Retas perpendiculares” teve a finalidade de
“descobrir uma relação analítica entre retas perpendiculares”. A atividade 17, análoga
a atividade 16, consistia em identificar se as retas r e s, contido no quadro de retas
(apêndice H) eram perpendiculares a partir do ângulo entre elas, assim como,
identificar as declividades de r e s para, em seguida efetuar o produto desses valores.
Cada dupla recebeu seu roteiro e apresentamos a atividade. Informamos a
característica de identificação das retas perpendiculares, em relação ao ângulo entre
elas. A partir das informações dadas, as duplas preencheram a quadro do roteiro sem
dificuldades, como exemplifica o quadro da dupla D3:
200
Vale ressaltar que a 7º e 8º linhas referem-se a pares de retas paralelas, por
isso que as duplas colocaram que não existia um ângulo entre elas, outros colocaram
zero ou colocaram nada. Com base nos quadros preenchidos, as duplas observaram,
sem dificuldades, que o produto das declividades das retas r e s resultava -1, quando
as retas eram perpendiculares ao socializar que “quando as retas são perpendiculares
a multiplicação das declividades das retas r e s será igual a -1” (dupla D12) ou que
“quando as retas são perpendiculares a declividade da reta s é negativa e o produto
das declividades é -1” (dupla D6). No entanto, as duplas D1, D7, D9 e D10 não fizeram
observações escritas, mas verbalizaram a relação entre as retas perpendiculares.
Após a socialização da análise realizada, as duplas construíram suas conclusões, que
formou duas categorias.
A categoria de conclusão 1 da atividade 17 representou as duplas que
mostraram relação entre os coeficientes angulares das retas perpendiculares por meio
da apresentação das equações, como ilustra a dupla D5 a exemplo:
A categoria de conclusão 2 da atividade 17 simbolizou a conclusão da dupla
D6 que usou os símbolos de retas perpendiculares para representar sua conclusão:
Fonte: quadro preenchido da atividade 17 por D3
Fonte: conclusão da dupla D5 na atividade 17
201
A tabela 43 mostra a distribuição das duplas nas categorias formadas nessa
atividade.
Tabela 43: Categorias de conclusões da atividade 17
N° CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 17 DUPLAS
1 Estabeleceu a relação entre os coeficientes angulares de retas perpendiculares, especificando as equações da reta.
D2, D3, D5, D7, D8, D9, D10, D11, D12, D14
2 Estabeleceu a relação entre os coeficientes angulares das retas perpendiculares com o uso dos símbolos específicos.
D6
Sem produção escrita na conclusão D1, D4
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Como a maioria da turma concluiu a atividade conforme o esperado no objetivo,
consideramos que a atividade 17 teve bom rendimento. Ela durou 20 minutos. A
realização dela, por dupla, variou de 9 a 20 minutos.
4.17 DÉCIMO SÉTIMO ENCONTRO:
O décimo sétimo encontro aconteceu dia 01/12/16 em duas aulas, onde
trabalhamos a lista 5 (apêndice P), constituída de 9 questões, que tratava de retas
paralelas e perpendiculares. Contamos com a presença dos alunos A1, A2, A3, A4,
A5, A7, A8, A9, A10, A11, A12, A13, A14, A15, A16, A17, A18, A19, A20, A21, A22,
A23, A24, A25, A26, A27, A28 e A29.
Dessa lista, resolvemos as questões 1a, 2a, 3a, 4 e 6, junto com a turma. Aos
alunos para serem resolvidos em sala, foram solicitadas as questões 1b, 2b, 3c, 5 e 8
e para os alunos resolverem em casa, as questões 1c, 2c, 3c, 6 e 9.
Das questões resolvidas por nós, percebemos que a mais difícil ao
entendimento dos alunos foram as questões 3 e 4, que tratavam de determinar a
equação da reta r que passa por P e é perpendicular a reta s. Fizemos com bastante
cuidado, para que os alunos compreendessem e conseguissem fazer as questões que
são semelhantes.
Sob nossa orientação, os alunos fizeram as questões destinadas para sala,
mas se confundiram na questão 5, pois nela, que envolvia equações perpendiculares,
Fonte: conclusão da dupla D5 na atividade 17
202
onde a partir de uma equação da reta r, pedia a equação da reta s, sendo r
perpendicular a s, os alunos se confundiam ao substituir as declividades das retas r e
s. Sobre os deveres de casa, 36% fizeram o dever todo, 6% o fez incompleto e 58%
não fizeram o dever de casa solicitado.
4.18 DÉCIMO OITAVO ENCONTRO:
O décimo oitavo encontro ocorreu no dia 03/12/16 em duas aulas onde
trabalhamos a atividade 18 e lista de questões 6, abordando a equação da
circunferência. Esse encontro teve a presença dos alunos A11eA12 (D6), A13eA14
(D7), A19eA20 (D10), A23eA24 (D12), A25eA26 (D13), A27eA28 (D14). Essa baixa
frequência deve-se ao fato de que essa aula aconteceu no sábado pela manhã – dia
que regularmente os alunos não estudam – logo alguns justificaram que não
apareceram por conta de motivos religiosos, trabalho ou por estarem fazendo cursos
de idiomas.
4.18.1 Desenvolvimento da atividade 18
A atividade 18 intitulada “Equação da circunferência” teve o objetivo de
descobrir a forma da equação da circunferência. Incialmente, perguntamos se a turma
lembrava do conceito de raio e centro da circunferência e o aluno A27 informou que
era a “distância do meio até um ponto da circunferência”. A partir disso, apresentamos
os procedimentos da atividade 18, no qual as duplas deveriam identificar o centro das
circunferências, verificar as medidas do raio, considerando as unidades estabelecidas
em cada plano cartesiano, contido no quadro das circunferências (apêndice I). Além
disso, determinar a distância entre o centro e um ponto genérico pertencente a
circunferência, em função de x e y, na forma simplificada, como mostra o quadro da
dupla D6.
203
As duplas preencheram o quadro conforme as orientações. Observaram que
as variações de x e y nem sempre eram subtrações, logo as duplas D6 e D12 fizeram
comentários em torno dos sinais nos quadrantes “quando as coordenadas do centro
estão no 1º quadrante as variações de x e y serão uma subtração, no 2º quadrante a
variação de x será uma adição; no 3º quadrante a variação de x e y serão uma adição
e no 4º quadrante a variação de y será uma adição” (Dupla D12), enquanto que a
dupla D6 registrou que “em relação ao centro, quando o mesmo se encontra no II
quadrante a abscissa x será negativa e a ordenada y será positiva, entretanto, quando
estiver no III quadrante as coordenadas (x,y) será negativa”.
A dupla D14 percebeu a relação entre a distância e o raio da circunferência ao
observar que “a distância entre o centro e um ponto P (x,y) é igual ao valor do raio (r)
”. As demais duplas não registraram observações, alegando dificuldades de
entendimento da atividade, então orientamos de dupla em dupla para proporcionar
esse entendimento, chamando a atenção para o valor do raio e a distância entre o
centro e o ponto P(x,y). As duplas socializaram suas observações e a partir disso,
construíam suas conclusões, que gerou uma categoria.
A única categoria de conclusão da atividade 18 representou as duplas que
expressaram a equação da circunferência na forma reduzida corretamente, como
exemplifica D14:
Fonte: quadro preenchido por D6
Fonte: conclusão da dupla D14 na atividade 18
204
A tabela 44 mostra as duplas que construíram as conclusões conforme a
categoria formada.
Tabela 44: Categoria de Conclusão da atividade 18 N° CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 18 DUPLAS
1 Expressou a equação da circunferência na sua forma reduzida corretamente
D6, D7, D10, D12, D13, D14
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Como todos conseguiram concluir de acordo com a finalidade da referida
atividade, consideramos que a atividade teve ótimo rendimento. Teve a duração de
35 minutos, com o tempo de execução dela, por dupla, variando de 24 a 33 minutos.
Após essa atividade, fizemos a lista de questões 6 referente a circunferência.
4.18.2 Desenvolvimento da lista de questões 6
A lista de questões 6 (apêndice Q) tratava de questões para aprimorar os
conhecimentos sobre a equação da circunferência. Nela havia 6 questões, onde
resolvemos as questões 1 e 4, os alunos resolveram as questões 2 e 5 e para casa
ficaram as questões 3 e 6. Antes de iniciar a resolução das questões, comentamos
sobre a forma geral da equação da circunferência e fizemos uma revisão de produto
notável (quadrado da diferença e da soma), para desenvolver a equação da
circunferência. Apresentamos o procedimento para chegar na equação geral da
circunferência a partir da equação reduzida e o procedimento para encontrar a
equação reduzida a partir da equação geral da circunferência.
Ao resolver as questões, não percebemos muitas dificuldades de
entendimento, exceto a questão 4 que tratavam do conceito de tangência entre duas
circunferências e área. Demoraram para entender que a questão perguntava sobre a
área ampliada, acreditavam que a problema se referia a área circular apenas.
Chamamos a atenção para representação da situação do problema demonstrada pelo
desenho contido na questão. As questões destinadas para eles exercitarem em sala,
com nossa orientação foram feitas, sendo que a segunda no qual solicitamos a
equação da circunferência a partir do centro e o raio foi desenvolvida tranquilamente,
enquanto a quinta cujo objetivo era obter a razão entre área e o comprimento da
circunferência por meio da equação geral dela foi mais trabalhosa, pois os alunos se
perdiam quando tinham que fazer a redução da equação. Orientamos os alunos para
205
tirar as possíveis dúvidas em relação ao entendimento da questão e todos os
participantes da aula fizeram as questões propostas. Em relação ao dever de casa,
ninguém entregou o dever. Essa atividade aconteceu em aproximadamente em 45
minutos.
4.19 DÉCIMO NONO ENCONTRO:
O décimo nono encontro aconteceu dia 06/12/16 em duas aulas e teve a
presença dos alunos A2 (D1), A3eA4 (D2), A5 (D3), A7eA8 (D4), A9eA10 (D5),
A11eA12 (D6), A13eA14 (D7), A15eA16 (D8), A17 (D9), A19eA20 (D10), A21eA22
(D11), A23eA24 (D12), A26 (D13), A27eA28 (D14) e A29 (D15).
Nesse encontro trabalhamos a distância entre ponto a uma reta e fizemos um
quadro-resumo (apêndice U) das atividades anteriores, fruto de um comentário do
aluno A25 que, em encontros anteriores, sugeriu um quadro com as informações
estudadas, pois alguns alunos não registravam no caderno o que abordavam nas
atividades, logo um quadro com tais informações auxiliaria no momento de estudo em
casa. Nesse quadro-resumo colocamos três colunas: a primeira com o assunto
trabalhado, a segunda, um exemplo para ser resolvido e a última coluna um espaço
para colocar as conclusões já encontradas pela turma durante as atividades. Cada
aluno recebeu um quadro-resumo para preencher e guardar consigo. Todos
contribuíram para o preenchimento do quadro e resolveram os exemplos, exceto as
duas últimas linhas do quadro que seriam preenchidas após o desenvolvimento das
atividades 19 e 20. Depois do preenchimento do quadro-resumo, que levou
aproximadamente uns 30 minutos, iniciamos a atividade 19.
4.19.1 Desenvolvimento da atividade 19
A atividade 19 teve o objetivo de descobrir a forma analítica de determinar a
distância de um ponto a reta. Os alunos, divididos em dupla, deveriam, a partir do
quadro de ponto e reta (apêndice J), identificar o ponto P(x0, y0) e o Q, pertencente a
reta r, determinar a distância entre esses pontos, encontrar os valores de
√𝑎2 + 𝑏2 𝑒 |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐|. Cada dupla recebeu seu roteiro de atividade e
apresentamos a atividade, de acordo com os procedimentos dela.
Conforme o combinado com a turma, cada dupla ficou responsável por uma
linha do quadro do roteiro da atividade 19 para preencher e socializar as informações.
As duplas geraram um quadro semelhantes ao da dupla D12
206
No momento da execução da atividade, os alunos perceberam que nas linhas
1, 3, 5, 6, 7, 8 e 10, tinham raízes quadradas não-exatas, então deixaram o resultado
em forma de raiz quadrada. O aluno A29 percebeu logo a relação e comentou que a
“a multiplicação entre a distância de P a Q e √𝑎2 + 𝑏2 é igual ao |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐|”,
explicando à turma como faria a multiplicação entre raiz não-exatas e a turma se
mostrou bastante atenta a explicação. As duplas D2, D4, D10 e D13 fizeram uma
relação com o teorema de Pitágoras ao escrever que a “multiplicação da dP,Q e o
Pitágoras obtemos o resultado no módulo |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐|” (Dupla D10), onde utilizou
a palavra Pitágoras para substituir a raiz quadrada de a² + b². Duas duplas (D1 e D3)
não registraram observações, mas com a socialização dos resultados conseguiram
entender a relação e formular uma conclusão. Para as conclusões dessa atividade
foram criadas duas categorias.
A categoria de conclusão 1 da atividade 19 representou as duplas que a partir
da relação encontrada, expressaram a distância de um ponto a reta como a razão
entre |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐| e √𝑎2 + 𝑏2, como exemplifica a dupla D10:
A categoria de conclusão 2 da atividade 19 representou a dupla D9 que
informou a relação da distância com valores |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐| e √𝑎2 + 𝑏2, sem
Fonte: quadro feito por D12
Fonte: conclusão da dupla D10 na atividade 19
207
evidenciar a distância como razão entre esses dois valores, como coloca em sua
conclusão:
A tabela 45 mostra a distribuição das categorias de conclusões formadas na
atividade 19.
Tabela 45: Categorias de conclusões da atividade 19
N° CATEGORIAS DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 19 DUPLAS
1 Expressou a distância como a razão entre os
valores |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐| e √𝑎2 + 𝑏2
D1, D2, D3, D4, D6, D8, D10, D11, D12, D14, D13, D15
2 Expressou a distância sem evidenciar a razão
entre os valores |𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦𝑜 + 𝑐| e √𝑎2 + 𝑏2
D9
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Essa atividade teve ótimo rendimento, uma vez que todos conseguiram fazer
sua conclusão conforme a finalidade da atividade. A duração dela foi de 50 minutos,
com o tempo de realização, por dupla, variando de 20 a 50 minutos.
4.20 VIGÉSIMO ENCONTRO:
O vigésimo encontro aconteceu dia 07/12/16 em duas aulas, onde foi abordada
a lista de questões 7 (apêndice R), com a presença dos alunos A2, A3, A4, A8, A10,
A11, A12, A13, A14, A15, A16, A17, A18, A19, A20, A21, A23, A24, A25, A27 e A28.
Essa lista foi composta de 9 questões, que tratou de distância de um ponto a
reta. Como a maioria não estava retornando com os deveres de casa, apesar da
cobrança de nossa parte, decidimos fazer todas as questões dessa lista em sala de
aula, sendo que resolveríamos as questões 1, 4 e 7, enquanto os alunos fariam, sob
nossa orientação, as questões 2, 3, 4, 5, 6, 8 e 9.
Os alunos não demonstraram dificuldades de entendimento das questões feitas
por nós e desenvolveram o restante da lista 7 com tranquilidade, apresentando pouca
dificuldade em relação as operações com números inteiros, apenas as duplas A2, A8
e A17 apresentaram ainda essa dificuldade, que tentamos sanar.
Fonte: conclusão da dupla D9 na atividade 19
208
4. 21 VIGÉSIMO PRIMEIRO ENCONTRO:
O vigésimo primeiro encontro ocorreu no dia 09/12/16 em duas aulas, no qual
aplicamos atividade 20 e a lista 8 referente a área de triângulo a partir das
coordenadas dos vértices. Esse encontro contou com a participação dos alunos A2
(D1), A9eA10 (D5), A11eA12 (D6), A13eA14 (D7), A15eA16 (D8), A19eA20 (D10),
A21eA22 (D11), A23eA24 (D12), A26 (D13), A27eA28 (D14).
4.21.1 Desenvolvimento da atividade 20
A atividade 20 teve a finalidade de descobrir uma maneira analítica de
encontrar a área do triângulo. Organizamos a turma, solicitando como nos encontros
anteriores que os alunos permanecessem com as suas duplas, apresentamos a
atividade e seus procedimentos, nos quais os alunos deveriam identificar os vértices
do triângulo, contido no quadro de triângulos (apêndice K), a reta r que passa pelos
vértices A e C, determinar a distância do B a reta r (altura do triângulo) e a distância
entre os pontos A e C (base do triângulo), calcular a área do triângulo por meio da
fórmula (S = 𝑏
ℎ, onde b é a base e h é a altura do triângulo), assim como, calcular o
valor do determinante da matriz formada pelos vértices do triângulo para comparar e
relacionar os dois resultados (área e determinante).
Aos alunos, solicitamos que preenchessem o quadro do roteiro da atividade 20,
sendo que a primeira linha preenchemos para que relembrassem os procedimentos
para o cálculo da distância, base, altura, área e determinante. Em relação as outras
linhas, cada dupla se responsabilizou de preencher as informações referentes a uma
linha que representa um dos 10 triângulos do quadro de triângulos. A dupla D1
exemplifica o quadro preenchido:
209
As duplas D1, D7, D10 e D11 ainda apresentaram pouco domínio das
operações com números inteiros. Antes de concluir o quadro, os alunos comentaram
que “a área vai ser a metade do determinante” (Dupla 14) e completaram o quadro
afirmando que “a multiplicação da área por 2, o resultado é o mesmo do det” (dupla
D5). As duplas socializaram suas observações a turma, onde a maioria afirmou que
“quando multiplico a área do triângulo ABC por 2 obtém-se o valor do determinante”
(dupla D6). Após o momento de análise, os alunos construíram suas conclusões,
formando uma categoria de conclusão.
A única categoria de conclusão da atividade 20 mostra as duplas que
conseguiram expressar a área do triângulo como a metade do valor do determinante
da matriz gerada pelos vértices do triângulo a partir da relação encontrada nas
observações, como mostra a exemplo D10:
A tabela 46 mostra as duplas que formaram a categoria de conclusão dessa
atividade.
Fonte: quadro feito por D1 da atividade 20
Fonte: conclusão da dupla D10 na atividade 20
210
Tabela 46: Categoria de conclusão da atividade 20
N° CATEGORIA DE CONCLUSÕES DA ATIVIDADE 20 DUPLAS
1 Expressão a área do triângulo como a metade do valor do determinante
D1, D5, D6, D7, D8, D10, D12, D11, D14
Fonte: pesquisa de campo (2016)
A atividade teve ótimo rendimento, visto que todos construíram suas
conclusões de acordo com a finalidade da mesma. Essa atividade durou 50 minutos,
com o tempo de execução da atividade, por dupla, variando de 35 a 50 minutos. Como
ainda tínhamos uma aula disponível, exploramos a atividade de fixação
correspondente a referida atividade.
4.21.2 Desenvolvimento da lista de questões 8
A lista de questões 8 (apêndice R), constituídas de 6 questões, teve a finalidade
de exercitar o cálculo da área do triângulo dados os vértices. Resolvemos as questões
3 e 6, enquanto os alunos resolveram as questões 1, 2, 4 e 5.
Durante a resolução, percebemos ainda dificuldade dos alunos em manipular
os pontos que estavam no 2º e 3º quadrante por conta do sinal negativo, que ao longo
da aula tentamos sanar. Apesar dessas deficiências, os alunos desenvolveram os
problemas com tranquilidade. O desenvolvimento dessa lista pelos alunos demorou
cerca de 45 minutos.
4.22 VIGÉSIMO SEGUNDO ENCONTRO:
O vigésimo segundo encontro aconteceu no dia 15/12/16 em duas aulas para
fazer uma revisão de todos os conhecimentos abordados durante o período da
experimentação. Esse encontro teve a presença dos alunos A1, A2, A3, A4, A5, A8,
A9, A10, A11, A12, A13, A15, A16, A17, A19, A20, A21, A22, A23, A24, A25, A26,
A27, A28 e A29.
Essa revisão foi realizada por meio da lista de questões 9 (apêndice K), formada
por 9 questões. À medida que íamos perguntando sobre qual assunto se tratava cada
questão, os alunos respondiam corretamente. Mostraram entendimento no que
concerne o ponto médio, distância entre dois pontos, distância de um ponto a reta,
retas paralelas, retas perpendiculares e área do triângulo, mas ainda ficavam em
dúvida, quando perguntávamos sobre equação, tanto da reta, quanto da
circunferência. Com o auxílio dos alunos que entenderam melhor o assunto, tentamos
211
tirar as possíveis dúvidas, que estavam em torno do número racional, no momento de
determinar a declividade da reta ou em torno dos produtos notáveis (ao resolver
questões relacionadas a equação da circunferência).
A questão 5 foi pouco compreendida, pois tratava da determinação da distância
a partir de duas retas paralelas quaisquer, demonstrando que eles ainda não têm
condições de resolver um problema algébrico sem auxílio. Apesar das dificuldades
ainda apresentadas, de modo geral, os alunos demonstraram ter compreendido os
assuntos abordados, o que vimos como ponto positivo para essa pesquisa.
4. 23 VIGÉSIMO TERCEIRO ENCONTRO:
O vigésimo terceiro encontro ocorreu dia 19/12/16 e correspondeu a realização
do pós-teste. No pós-teste continha as mesmas questões do pré-teste, 10 questões
acerca dos conteúdos de ponto, reta e circunferência.
4.23.1 Resultados do Pós-teste
Consideramos que E representa questões erradas relacionados com a
Geometria Analítica, A indica questões certas e B indica questões em branco. Abaixo
o rol de desempenho individual por questão:
Quadro 35: Desempenho individual dos alunos no pós-teste
ALUNO Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 Q 5 Q 6 Q 7 Q 8 Q 9 Q 10
A1 E A B B B B B B E E
A2 A A A A A A B A A A
A3 A A B A A E B B E E
A4 A A E A A A B E A E
A5 E A B A B B E B A E
A6 B B B B B B B B E E
A7 B B B B B B B B E E
A8 B B B B B B B B A E
A9 A A B A A A E E E E
A10 E A B A A A B B A E
A11 A A A A A A E A A A
A12 A A A A A A A E A E
A13 A A B A A B B A A A
A14 A A B A A A B A A A
A15 E A B A A A B A A E
A16 E B B B B A B B E E
A17 A A B B B B B B E E
A18 A B B A E B B B E E
A19 E A B E A E E A A E
212
A20 A A B A A A B B A A
A21 A E B E E E B B A A
A22 A A B A A E B B A A
A23 A A B A A A A A A A
A24 A A B A A B B A E A
A25 A A E A E A B B A A
A26 A A A A A A B A A A
A27 A A B A A A E A A E
A28 A A E B A A E E E E
A29 A A B A B E B B A A
Fonte: pesquisa de campo (2016)
O pós-teste teve 49% de questões certas, 20% de questões erradas e 31% de
questões em branco, de acordo com o quadro 36:
Quadro 36: Resultados do Pós-teste por questão
QUESTÕES
ACERTOS ERROS EM BRANCO
Valor Absoluto
% Valor Absoluto
% Valor Absoluto
%
1ª questão 20 69% 6 20% 3 10% 2ª questão 23 79% 1 3% 5 17%
3ª questão 4 14% 3 10% 22 76% 4ª questão 20 69% 2 7% 7 24%
5ª questão 18 62% 3 10% 8 28% 6ª questão 15 51% 5 17% 9 32%
7ª questão 2 7% 6 20% 21 73% 8ª questão 9 31% 4 14% 16 55%
9ª questão 19 66% 10 34% 0 0% 10ª questão 12 41% 17 59% 0 0%
Fonte: pesquisa de campo (2016)
O gráfico 51 traz as informações para comparação dos números de
acertos, de erros e de questões deixadas em branco no pós-teste.
213
Ao observar o gráfico 51, verificamos que a quantidades de acertos é superior
ou iguais aos erros em cada questão, exceto na 7ª, que trabalha a equação da reta e
na 10ª questão, que trata da equação da circunferência.
4.23.2 Tempo de realização das atividades
Após o desenvolvimento da sequência didática, fizemos um levantamento do
tempo de realização das atividades de abordagem dos conteúdos trabalhados, o que
gerou a tabela 47:
Tabela 47: Tempo de realização das atividades
Atividades Tempo de realização da atividade, em
minutos
Tempo mínimo de realização
da atividade, por dupla,
em minutos
Tempo máximo de realização
da atividade, por dupla,
em minutos
Média do tempo de realização da
atividade, por dupla, em minutos
1.Localização de pontos na sala de
aula
30 3 15 9
2.Localização de pontos no xadrez
20 3 12 8
3.Plano cartesiano
40 10 35 30
4.Pontos sobre o eixo x
20 3 15 8
5.Pontos sobre o eixo y
15 3 14 7
6.Ponto médio 50 15 40 30 7.Baricentro 35 10 30 20
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
1ªquestão
2ªquestão
3ªquestão
4ªquestão
5ªquestão
6ªquestão
7ªquestão
8ªquestão
9ªquestão
10ªquestão
Gráfico 51: Resultados no Pós-teste por questão
Acertos Erros Em branco
Fonte: pesquisa de campo (2016)
214
8.Condição de alinhamento de 3
pontos
60 17 55 35
9.Distância entre dois pontos com
as mesmas abscissas
30 10 28 15
10.Distância entre dois pontos com
as mesmas ordenadas
15 5 14 8
11.Distância entre dois pontos quaisquer
45 10 43 26
12.Declividade da reta
40 10 37 23
13.Declividade em pontos distintos e
colineares
40 25 40 35
14.Equação da reta por meio da
declividade
50 10 50 37
15.Equação da reta por meio do
determinante
50 10 50 36
16.Retas paralelas 20 5 14 9 17.Retas
perpendiculares 20 9 20 15
18.Equação da circunferência
35 24 33 28
19.Distância de um ponto a reta
50 20 50 40
20.Área do triângulo
50 35 50 42
Fonte: pesquisa de campo (2016)
De modo geral, o tempo de realização das atividades oscilou no decorrer do
processo de experimentação, no entanto quando consideramos as atividades com o
mesmo grau de dificuldade, como a 3, 4 e 5, esse tempo decai ou se mantém
constante, como aconteceu com as atividades 19 e 20. O gráfico 52, mostra com mais
clareza tal afirmação.
215
Fonte: pesquisa de campo (2016)
O gráfico 52 destaca as atividades que possuem o mesmo grau de dificuldade,
ou seja, atividades contendo assuntos similares ou assuntos que se complementam –
como 19 e 20, que se completam, pois, para encontrar a área do triângulo (at. 20)
necessitou da distância de um ponto a reta (at. 19). Nesse sentido, separamos as
atividades por grupo (de A a H), onde o grupo A tem as atividades 1 e 2; grupo B, as
atividades 3, 4 e 5; grupo C, as atividades 6 e 7; grupo D, as atividades 9, 10 e 11;
grupo E, as atividades 12 e 13; grupo F, as atividades 14 e 15; grupo G, as atividades
16 e 17 e o grupo H tem as atividades 19 e 20. Percebemos que, em relação ao tempo
das atividades (linha azul), há uma redução de tempo nos grupos A, B e C e se
manteve constante nos grupos E, F, G e H. Apenas no grupo D houve uma oscilação,
0
10
20
30
40
50
60
70
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Gráfico 52: Tempo de realização das atividades de abordagem dos conteúdos em geometria analítica
Tempo de realização da atividade
Tempo mínimo de realização da atividade, por dupla
Tempo máximo de realização da atividade, por dupla
Média do tempo de realização da atividade, por dupla
A
B
C
D
E
F
G
H
216
isso aconteceu porque na atividade 11 exigiu-se mais cálculos aritméticos do que nas
atividades 9 e 10.
Em relação a média de tempo de realização das atividades por dupla (linha
amarela) houve um decrescimento de tempo nos grupos A, B e C, o tempo se manteve
constante no grupo H, houve uma alternância no grupo D e nos grupos E, F, G e H
tive um crescimento de tempo de realização das atividades cujos desenvolvimentos
exigiam mais operações aritméticas para alcançar as conclusões esperadas, do que
as outras, por isso esse fator crescente. Os tempos mínimos e máximos de execução
das atividades, por dupla, foram proporcionais na maioria das atividades.
Sobre a lista de questões abordadas nessa sequência, o tempo foi quase
constante, geramos o gráfico 53:
A maioria das listas teve duração de 90 minutos e um tempo médio 75 minutos
de realização, com moda estatística de 90 minutos. Essa duração se deve as
dificuldades que os alunos apresentaram em resolver as questões, pois algumas delas
exigiam conhecimentos prévios, tais como, teorema de Pitágoras, determinante,
radiciação e operações com números inteiros, que se apresentaram como obstáculos
de aprendizagem durante a experimentação.
Diante desse quadro, podemos dizer que a sequência didática experimentada
teve um aproveitamento bom em relação ao tempo de realização, proporcional ao
tempo gasto por Segura (2013) em sua pesquisa, que afirmou ter levado 24 aulas para
executar sua sequência de 15 atividades, com auxílio de tecnologia (Geogebra) e o
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gráfico 53: Tempo de realização das listas de questões da experimentação
Tempo de realização, em minutos Tempo disponível para essas atividades
Fonte: pesquisa de campo (2016)
217
declarado pelos professores consultados na etapa de análises prévias, no qual
apontaram uma média de 24 aulas para trabalhar os assuntos da Geometria Analítica.
4.24. ENCONTRO PARA AVALIAÇÃO DAS ATIVIDADES
Após o pós-teste fizemos uma avaliação com os alunos sobre a
experimentação, onde eles apontaram os pontos positivos, os pontos negativos e
estabeleceram uma nota às atividades desenvolvidas.
Os alunos atribuíram uma nota, em média, 9,0 às atividades, em uma escala
de 0 a 10. Dentre os pontos positivos, apontaram a fácil compreensão, auxílio na
orientação espacial, a interatividade entre os alunos e aplicabilidade do conceito de
matriz na Geometria Analítica. Entre os pontos negativos, destacaram a demora,
fazendo referência a atividade 3, e que algumas foram complicadas e trabalhosas, ao
tratar das atividades 19 e 20.
Em relação as listas de questões, considerando as notas dadas, tiveram média
9,0, apontando como pontos positivos o auxílio para resolução de questões do
vestibular e aplicabilidade dos assuntos estudados, já entre os pontos negativos,
estão a complexidade das questões, avaliando como difíceis. Solicitamos aos alunos
um comentário sobre a sequência didática e tivemos declarações de que apesar das
dificuldades apresentadas durante a experimentação, conceituaram como ótimas as
atividades, sendo que um deles expressou que a sequência didática experimentada
foi “fácil de aprender, dinâmico, envolve trabalho em equipe, o único problema foi que
demorou muito. Embora a demora, o método é mais eficaz do que o tradicional” (aluno
A29), onde o tradicional para ele é a aula que começa pelos conceitos e propriedades
e depois exemplos. Essa demora que o aluno se refere foi ao período de
experimentação, que aconteceu por conta dos problemas físico-estruturais e
administrativos que a escola apresentou, algumas paralisações dos professores,
assim como, o período de revisão ao Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM), pois
nesses momentos tivemos que transferir as aulas, o que estendeu esse período.
Ao descrever as atividades, sistematizar e apresentar os resultados da
sequência didática experimentada, vamos para as análises a posteriori, comparando
com as análises a priori para a validação (ou não) da sequência didática.
218
5 ANÁLISE A POSTERIORI E VALIDAÇÃO
Essa seção é destinada à análise a posteriori e validação, cuja finalidade é
analisar o conjunto de resultados obtidos na aplicação da referida sequência didática,
com base nos registros das atividades realizadas pelos alunos, nos registros feitos
por nós sobre nossas impressões, enquanto pesquisadores do desenvolvimento do
experimento didático, avaliando os pontos positivos e negativos da sequência aplicada
e compará-la com as análises a priori realizadas.
Para validação da pesquisa utilizamos técnicas estatísticas, como o teste de
hipóteses e a correlação de Pearson e análises de tabelas para encontrar (ou não)
correlações entre as informações fornecidas pelos participantes com os resultados
obtidos durante o processo de experimentação. Além disso, consideramos os
registros das atividades realizadas pelos alunos participantes da pesquisa e o diário
de campo produzido por nós para obtenção de resultados.
Para iniciar essa análise, consideramos o teste de hipóteses para validação de
que, com a aplicação da sequência didática houve uma melhora no desempenho dos
alunos em Geometria Analítica.
5.1 TESTE DE HIPÓTESES
O teste de hipóteses tem como finalidade provar que a hipótese da pesquisa é
válida. Segundo Levin e Fox (2004) para utilizar o teste de hipóteses é preciso fazer
o teste unilateral para duas medições da mesma amostra. Logo, devemos determinar
quem é a nossa hipótese nula, ou seja, a hipótese que é a contrária a hipótese de
pesquisa. A partir da razão entre as diferenças das médias e o erro do desvio-padrão
das médias (𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜), faremos a comparação com 𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 , conforme Levin e Fox
(2004, p. 465) para realizar o referido teste.
Logo, denotamos M1 a média obtida pelas notas dos alunos no pré-teste e M2
a média obtida pelas notas dos alunos no pós-teste, sendo que nossa hipótese de
pesquisa é que M2>M1. Portanto, adotamos nossa hipótese nula (M1 ≥ M2), ou seja,
o desempenho matemático dos alunos não melhora após a aplicação da sequência
didática da Geometria Analítica, enquanto que nossa hipótese de pesquisa (M1<M2)
indica que houve uma melhora no desempenho matemático dos alunos após a
sequência didática da Geometria Analítica.
219
Para efetuar o teste de hipóteses, precisamos encontrar o valor de tcalculado para
comparar com ttabelado, conforme Levin e Fox(2004, p. 241) que afirma se tcalculado< -
ttabelado, então a hipótese nula será rejeitada.
Para determinar o valor de tcalculado, consideramos as notas dos alunos nos dois
testes. Os testes foram compostos por 10 questões, onde cada questão valia 1 ponto,
logo, a nota está no intervalo de 0 a 10, no qual gerou a tabela 48:
Tabela 48: Desempenho nos testes e a diferença entre as notas
Alunos Notas no Pre- (X1)
Notas no Pós-(X2)
Diferença das notas (D) D²
A1 0 1 1 1
A2 0 9 9 81
A3 0 4 4 16
A4 0 6 6 36
A5 0 3 3 9
A6 0 0 0 0
A7 0 0 0 0
A8 0 1 1 1
A9 0 5 5 25
A10 0 5 5 25
A11 2 9 7 49
A12 2 8 6 36
A13 0 7 7 49
A14 0 8 8 64
A15 0 5 5 25
A16 0 1 1 1
A17 0 2 2 4
A18 0 2 2 4
A19 0 4 4 16
A20 0 7 7 49
A21 0 3 3 9
A22 0 6 6 36
A23 0 9 9 81
A24 0 6 6 36
A25 0 6 6 36
A26 1 9 8 64
A27 0 7 7 49
A28 0 4 4 16
A29 0 5 5 25
Fonte: Pesquisa de campo (2016)
A partir dos dados da tabela 48, vamos calcular a média do Pré-teste (M1) e a
média do Pós-teste (M2), conforme abaixo:
220
𝑀1 =∑ 𝑋1
𝑛=
5
29≅ 0,2 𝑒 𝑀2 =
∑ 𝑋2
𝑛=
142
29≅ 4,9
O desvio-padrão das diferenças de notas (SD) é dado por:
𝑆𝐷 = √∑ 𝐷2
𝑛− (𝑀1 − 𝑀2)2 ≅ √
828
29− (0,2 − 4,9)2 = √6,4 ≅ 2,5
O erro padrão(𝑆�̅�) da diferença entre as notas do Pré- e Pós-teste, conforme
Levin e Fox (2004) é dado por:
𝑆�̅� =𝑆𝐷
√𝑛 − 1=
2,5
√28≅ 0,47
O valor de tcalculado é dado por:
𝑡 = 𝑀1 − 𝑀2
𝑆�̅�=
0,2 − 4,9
0,47≅ −10
Antes de comparar tcalculado com ttabelado, precisamos encontrar o grau de
liberdade (𝐺𝑙) dado por 𝐺𝑙 = 𝑛 − 1 = 28, onde n = 29 (nº de alunos participantes) e o
nível de significância, que Levin, Fox (2004) recomenda 0,05 para pesquisas na área
de ciências sociais e humanas. Portanto, ttabelado = 1,701, o que rejeita a hipótese nula,
uma vez que 𝑡𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜(−10) < −𝑡𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜(−1,701) e assim vale a hipótese da
pesquisa que indica que houve uma melhora no desempenho dos alunos após a
aplicação da sequência didática da Geometria Analítica.
4.1 CORRELAÇÕES DE PEARSON
A correlação de Pearson (r) é um coeficiente que estabelece um nível de
relação entre variáveis analisadas cujo valor de r varia entre -1 a +1. Conforme Levin
e Fox (2004, p.335) “Com auxílio do coeficiente de Pearson (r) podemos determinar a
intensidade e a direção entre as variáveis x e y”, onde dependendo de r, a relação
entre as variáveis apontará a uma direção, como indica a tabela 49:
Tabela 49: Intensidade dos coeficientes de Pearson ( r )
Coeficiente de Pearson (r) Intensidade e direção
-1 Correlação negativa perfeita
(-1; -0,6] Forte correlação negativa
(-0,6; -0,3] Correlação negativa moderada
(-0,3; -0,1] Fraca correlação positiva
(-0,1; 0,1) Não há correlação
[0,1; 0,3) Fraca correlação positiva
221
[0,3; 0,6) Correlação positiva moderada
[0,6; 1) Forte correlação positiva
1 Correlação positiva perfeita
Fonte: Adaptada de Levin e Fox (2004, p. 234)
Logo, usamos a correlação de Pearson para verificar relações (ou não) entre
variáveis sociais (variável x) e a diferença de notas do Pré-teste e Pós-teste (variável
y), já que entendemos essa diferença como a evolução dos alunos em relação as
notas. As variáveis sociais escolhidas foram “escolaridade dos responsáveis”,
“afinidade pela Matemática”, “Frequência de estudo em Matemática”, “dificuldades em
Matemática”, “distração nas aulas”, “auxílio nas tarefas de casa”, “rede de ensino do
nível fundamental dos alunos” e “notas em Matemática” – retirado entre as notas do
primeiro semestre (conforme o diário de classe da turma).
O quadro 37 mostra os valores utilizados a parametrização da variável
“escolaridade dos responsáveis”.
Quadro 37: Parametrização da escolaridade dos responsáveis
Escolaridade dos responsáveis Valor parametrizado
Sem escolaridade ou sem resposta 1
Nível fundamental completo ou incompleto 2
Nível médio completo ou incompleto 3
Nível superior completo ou incompleto 4 Fonte: adaptado Silva(2015)
A tabela 50 mostra as colunas que serão utilizadas para efetuar a correlação r
entre a variável “escolaridade dos responsáveis” e a diferença de notas.
Tabela 50: Escolaridade dos responsáveis (valores parametrizados) x Diferença de Notas
Alunos Escolaridade dos responsáveis Diferença das notas
A1 3 1
A2 3 9
A3 2 4
A4 3 6
A5 3 3
A6 3 0
A7 3 0
A8 3 1
A9 1 5
A10 4 5
A11 3 7
A12 3 6
222
A13 2 7
A14 1 8
A15 3 5
A16 1 1
A17 3 2
A18 3 2
A19 1 4
A20 4 7
A21 3 3
A22 3 6
A23 4 9
A24 1 6
A25 1 6
A26 3 8
A27 3 7
A28 4 4
A29 3 5
Fonte: pesquisa de campo (2016)
O quadro 38 mostra os parâmetros utilizados para variável “afinidade pela
Matemática”.
Quadro 38: Parametrização da Afinidade pela Matemática
Afinidade Valor parametrizado
Não gosta de Matemática 1
Gosta pouco de Matemática 2
Gosta muito de Matemática 3 Fonte: adaptado Silva(2015)
A tabela 51 mostra as colunas que serão utilizadas no cálculo da correlação
entre a variável “afinidade pela Matemática” e a diferença de notas.
Tabela 51: Afinidade pela Matemática (valores parametrizados) x Diferença de Notas
Alunos Afinidade pela Matemática Diferença das notas
A1 1 1
A2 2 9
A3 2 4
A4 2 6
A5 2 3
A6 2 0
A7 2 0
A8 2 1
A9 2 5
A10 2 5
A11 3 7
A12 2 6
A13 2 7
223
A14 2 8
A15 3 5
A16 1 1
A17 2 2
A18 2 2
A19 2 4
A20 1 7
A21 2 3
A22 3 6
A23 2 9
A24 3 6
A25 2 6
A26 2 8
A27 3 7
A28 2 4
A29 2 5
Fonte: pesquisa de campo (2016)
O quadro 39 Apresenta os parâmetros da variável “frequência de estudo”.
Quadro 39: Parametrização da Frequência de estudo em Matemática
Frequência de estudo Valor parametrizado
Véspera de prova ou somente em sala de aula 1
Período de prova 2
Fins de semana 3
Alguns dias da semana 4 Fonte: adaptado Silva (2015)
A tabela 52 mostra as colunas que serão utilizadas no cálculo da correlação
entre a variável “frequência de estudo” e a diferença de notas.
Tabela 52: Frequência de estudos (valores parametrizados) x Diferença de Notas
Alunos Frequência de estudos Diferença das notas
A1 1 1
A2 4 9
A3 1 4
A4 1 6
A5 3 3
A6 1 0
A7 1 0
A8 2 1
A9 2 5
A10 3 5
A11 4 7
A12 4 6
A13 4 7
A14 4 8
224
A15 1 5
A16 2 1
A17 1 2
A18 2 2
A19 4 4
A20 2 7
A21 4 3
A22 4 6
A23 4 9
A24 1 6
A25 4 6
A26 1 8
A27 4 7
A28 4 4
A29 4 5
Fonte: pesquisa de campo (2016)
O quadro 40 mostra os parâmetros da variável “dificuldades em Matemática”.
Quadro 40: Parametrização da Dificuldade em Matemática
Dificuldades em Matemática Valor parametrizado
Muita dificuldade 1
Um pouco de dificuldade 2
Não tem dificuldade 3 Fonte: adaptado Silva (2015)
A tabela 53 fornece as colunas que serão utilizadas no cálculo da correlação
entre a variável “dificuldade em Matemática” e a diferença de notas.
Tabela 53: dificuldade em Matemática (valores parametrizados) x Diferença de Notas
Alunos Dificuldade em Matemática Diferença das notas
A1 2 1
A2 3 9
A3 2 4
A4 2 6
A5 2 3
A6 2 0
A7 1 0
A8 2 1
A9 2 5
A10 2 5
A11 2 7
A12 2 6
A13 2 7
A14 2 8
A15 3 5
A16 2 1
225
A17 2 2
A18 2 2
A19 2 4
A20 1 7
A21 2 3
A22 2 6
A23 2 9
A24 3 6
A25 2 6
A26 2 8
A27 3 7
A28 3 4
A29 3 5
Fonte: pesquisa de campo (2016)
O quadro 41 apresenta os parâmetros da variável distração nas aulas de
Matemática.
Quadro 41: Parametrização da Distração nas aulas de Matemática
Distração nas aulas Valor parametrizado
Sim (ou sem resposta) 1
Ás vezes 2
Não 3 Fonte: adaptado Silva (2015)
A tabela 54 mostra as colunas que serão utilizadas no cálculo da correlação
entre a variável “distração nas aulas” e a diferença de notas
Tabela 54: Distração nas aulas (valores parametrizados) x Diferença de Notas
Alunos Distração nas aulas Diferença das notas
A1 3 1
A2 1 9
A3 1 4
A4 1 6
A5 2 3
A6 1 0
A7 3 0
A8 3 1
A9 1 5
A10 2 5
A11 3 7
A12 3 6
A13 1 7
A14 1 8
A15 3 5
226
A16 1 1
A17 2 2
A18 2 2
A19 1 4
A20 1 7
A21 1 3
A22 2 6
A23 3 9
A24 1 6
A25 3 6
A26 3 8
A27 2 7
A28 3 4
A29 3 5
Fonte: pesquisa de campo (2016)
O quadro 42 fornece os parâmetros da variável “auxílio nas tarefas de casa em
Matemática”.
Quadro 42: Parametrização do auxílio nas tarefas de casa de Matemática
Auxílio nas tarefas de casa Valor parametrizado
Não tem auxílio 1
Recebe auxílio de parentes ou amigos 2
Recebe auxílio especializado 3 Fonte: adaptado Silva (2015)
A tabela 55 apresenta as colunas que serão utilizadas no cálculo da correlação
entre a variável “auxílio nas tarefas de casa de Matemática” e a diferença de notas.
Tabela 55: Auxílio nas tarefas de casa de Matemática (valores parametrizados) x Diferença de Notas
Alunos Auxílio nas tarefas de casa de Matemática
Diferença das notas
A1 1 1
A2 1 9
A3 1 4
A4 1 6
A5 1 3
A6 1 0
A7 1 0
A8 1 1
A9 1 5
A10 1 5
A11 1 7
A12 1 6
A13 2 7
A14 2 8
A15 4 5
227
A16 1 1
A17 1 2
A18 1 2
A19 1 4
A20 1 7
A21 4 3
A22 2 6
A23 2 9
A24 1 6
A25 1 6
A26 1 8
A27 1 7
A28 1 4
A29 1 5
Fonte: pesquisa de campo (2016)
O quadro 43 apresenta os parâmetros da variável “rede de ensino no nível
fundamental”.
Quadro 43: Parametrização da rede de ensino no nível fundamental
Rede de ensino do nível fundamental Valor parametrizado
Municipal 1
Estadual 2
Particular 3 Fonte: pesquisa de campo (2016)
A tabela 56 apresenta as colunas que serão utilizadas no cálculo da correlação
entre a variável “rede de ensino no nível fundamental” e a diferença de notas.
Tabela 56: Rede de ensino no nível fundamental (valores parametrizados) x Diferença de Notas
Alunos Rede de ensino no nível fundamental
Diferença das notas
A1 3 1
A2 2 9
A3 2 4
A4 3 6
A5 3 3
A6 2 0
A7 1 0
A8 3 1
A9 3 5
A10 3 5
A11 3 7
A12 3 6
A13 3 7
A14 1 8
A15 2 5
228
A16 2 1
A17 2 2
A18 2 2
A19 2 4
A20 2 7
A21 2 3
A22 2 6
A23 2 9
A24 1 6
A25 2 6
A26 2 8
A27 2 7
A28 2 4
A29 2 5 Fonte: pesquisa de campo (2016)
O quadro 44 fornece os parâmetros da variável “notas em Matemática”. Quadro 44: Parametrização das Notas em Matemática
Notas em Matemática Valor parametrizado
Geralmente abaixo da média 1
Na média 2
Geralmente acima da média 3 Fonte: adaptado Silva (2015)
A tabela 57 apresenta as colunas que serão utilizadas no cálculo da correlação
entre a variável “Notas em Matemática” e a diferença de notas.
Tabela 57: Notas em Matemática (valores parametrizados) x Diferença de Notas
Alunos Notas em Matemática Diferença das notas
A1 1 1
A2 3 9
A3 2 4
A4 3 6
A5 3 3
A6 3 0
A7 2 0
A8 3 1
A9 3 5
A10 3 5
A11 3 7
A12 3 6
A13 3 7
A14 1 8
A15 3 5
A16 3 1
A17 2 2
229
A18 3 2
A19 3 4
A20 3 7
A21 1 3
A22 2 6
A23 3 9
A24 3 6
A25 3 6
A26 2 8
A27 3 7
A28 3 4
A29 3 5
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Após a parametrização, com auxílio do programa Microsoft Office Excel,
utilizamos a função correl(matriz1;matriz2) para calcular as correlações de Pearson
(r). A tabela 58 indica a classificação da correlação de acordo com o valor de r
encontrado.
Tabela 58: Correlações entre a diferença de notas e as variáveis socioeconômicas
Variável socioeconômica Correlação de Pearson (r)
Classificação da Correlação
Escolaridade dos responsáveis 0,01 Nenhuma correlação
Afinidade pela Matemática 0,33 Fraca positiva Frequência de estudo em Matemática 0,51 Moderada positiva
Dificuldade em Matemática 0,31 Fraca positiva
Distração nas aulas -0,06 Fraca negativa
Auxílio nas tarefas de casa 0,2 Fraca positiva Rede de ensino no nível fundamental 0,07 Fraca negativa
Notas em Matemática 0,21 Fraca positiva Fonte: Pesquisa de campo (2016)
Ao observar os resultados das correlações, nenhuma obteve a classificação
forte, logo não podemos afirmar que essas variáveis interferem relevantemente nos
resultados dos alunos nos testes. No entanto, a variável frequência de estudo em
Matemática obteve a maior correlação, enquadrando-se na classificação moderada
positiva, o que pode indicar alguma relação entre a frequência de estudos e a
diferença de notas. Diante desses dados, nos questionamos se a frequência nos
encontros da experimentação influenciou nos resultados do pós-teste. Logo utilizamos
a correlação de Pearson (r) entre o número de presença dos alunos na
experimentação e a nota no pós-teste, o que gerou a tabela 59:
230
Tabela 59: Presenças nas aulas da experimentação x Notas no Pós-teste
Alunos Nº de Presenças nas aulas Notas no Pós-teste
A1 12 1
A2 20 9
A3 19 4
A4 19 6
A5 17 3
A6 11 0
A7 13 0
A8 16 1
A9 19 5
A10 19 5
A11 21 9
A12 21 8
A13 21 7
A14 19 8
A15 19 5
A16 18 1
A17 17 2
A18 13 2
A19 19 4
A20 20 7
A21 19 3
A22 18 6
A23 20 9
A24 20 6
A25 15 6
A26 18 9
A27 21 7
A28 20 4
A29 13 5
Fonte: Pesquisa de campo (2016)
Ao calcular o valor de r, encontramos r = 0,69, classificando a correlação em
forte positiva, ou seja, existe uma forte relação entre a frequência nas aulas com os
resultados no pós-teste. Para visualizar com mais clareza, geramos o gráfico 54:
231
O gráfico 54 representa a dispersão entre a frequência dos alunos na
experimentação (variável x) e as notas no pós-teste (variável y) e nos indica uma
tendência a uma reta crescente, ou seja, um indicativo de que se os alunos fossem
mais frequentes nas aulas, os resultados no referido teste seriam melhores. Os
indicadores do teste de hipótese e das correlações apontam para uma sequência
didática válida ao ensino da Geometria Analítica, uma vez que os alunos, apesar dos
obstáculos para aprendizagem, melhoraram seus desempenhos em relação aos
resultados apresentados durante o desenvolvimento das atividades, como veremos a
seguir nas análises a posteriori das atividades.
5.3 ANÁLISE A POSTERIORI DAS ATIVIDADES APLICADAS DURANTE A
EXPERIMENTAÇÃO
Após os resultados da experimentação e apresentação de resultados a partir
das informações produzidas ao longo do processo de experimentação da sequência
didática, algumas análises a posteriori foram feitas acerca das atividades. Nesse
momento, a partir do rendimento da atividade e da produção de conclusões conforme
os objetivos de cada atividade (denominaremos de conclusões válidas), validaremos
positiva ou negativamente as atividades.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 5 10 15 20 25
Gráfico 54: Dispersão entre notas em função da presença
frequência de participação na experimentação
Fonte: Pesquisa de campo (2016)
No
tas
do
s al
un
os
no
pó
s-te
ste
232
5.3.1 Sobre as atividades de abordagem dos conteúdos em Geometria Analítica
Das atividades exploratórias sobre a localização dos alunos em sala de aula,
verificamos que os alunos conseguiram perceber a importância de determinar um
ponto com no mínimo duas informações para localizar objetos, logo todas as
respostas foram consideradas válidas. Em relação a atividade de localização do
tabuleiro de xadrez, verificamos que os alunos conseguiram desenvolver as atividades
com sucesso e discutiram positivamente acerca a importância das coordenadas para
determinação de qualquer objeto, portanto consideramos todas as respostas válidas.
Em relação a atividade 3, observamos que a metade da turma tinha dificuldades
em marcar pontos no plano. Desses alunos, 43% demonstraram falta de compreensão
do conceito de ponto, enquanto que 57% erraram a marcação dos pontos ao
confundirem o eixo das abscissas com o eixo das ordenadas. Apesar dessas
dificuldades iniciais, os alunos conseguiram desenvolver essa atividade com 77% de
conclusões válidas. Sobre a atividade 4, 80% dos participantes construíram
conclusões válidas, demonstrando entendimento acerca da coordenada do ponto
quando está sobre o eixo das abscissas. De modo similar, aconteceu com a atividade
5 visto que 80% dos participantes elaboraram conclusões válidas, indicando que
compreenderam as condições dos pontos sobre o eixo das ordenadas.
Referente a atividade 6, embora alguns alunos apresentassem dificuldades em
construir o plano cartesiano, assim como marcar os pontos no plano, a atividade teve
bom rendimento, já que teve 77% das conclusões válidas, demonstrando o
entendimento sobre a determinação das coordenadas do ponto médio. Acerca da
atividade 7, podemos afirmar que o rendimento dela também foi bom, pois 85% das
conclusões foram consideradas válidas, indicando que a maioria dos alunos
entenderam como determinar as coordenadas do baricentro de um triângulo.
A atividade 8 não teve um bom rendimento, pois o índice de conclusões válidas
foi apenas de 17%, enquanto 83% dos participantes não registraram conclusões, o
que fez considerarmos tal atividade complexa, sendo que essa complexidade se deve
aos necessários conhecimentos prévios como o uso do determinante e das operações
com números inteiros relativos, que a maioria apresentou pouco domínio.
Em relação a atividade 9, os alunos, de modo geral, tiveram bom rendimento,
pois a maioria alcançou a finalidade da atividade e 67% das duplas produziram
conclusões válidas, demonstrando entendimento na determinação da distância entre
dois pontos com as mesmas abscissas. A atividade 10 proporcionou bom rendimento
233
aos alunos, uma vez que teve 67% de conclusões válidas, apontando boa
compreensão acerca da distância entre dois pontos com as mesmas ordenadas.
Sobre a atividade 11, apesar da dificuldade, apresentada pelos alunos, no momento
de calcular as variações e seus quadrados por conta do pouco domínio em relação as
operações com números inteiros, todos participaram e conseguiram alcançar o
objetivo da atividade, apresentando 100% de conclusões válidas e demonstrando que
a maioria dos alunos compreenderam como determinar a distância entre dois pontos
quaisquer.
A atividade 12 teve ótimo rendimento, pois os alunos alcançaram a finalidade e
teve 100% de conclusões válidas, indicando que todos os participantes entenderam
como encontrar a declividade da reta. A atividade 13 teve bom rendimento, visto que
a maioria atingiu o objetivo da atividade e produziram 85% das conclusões válidas,
apontando um entendimento sobre a relação entre as declividades de pontos distintos
e colineares. A atividade 14, determinação da equação por meio da declividade entre
dois pontos, não teve bom rendimento uma vez que 15% apenas conseguiu produzir
conclusões válidas, enquanto que 85% não registraram conclusões. Os alunos que
não registraram conclusões demonstraram pouco domínio com as operações dos
números inteiros e na manipulação de uma equação, o que se mostraram como
obstáculos para a compreensão e alcance a finalidade da atividade. Em contrapartida,
a atividade 15, que trabalhou a equação da reta por meio do determinante, teve ótimo
rendimento, pois todos os alunos chegaram na finalidade da atividade e tiveram 100%
de conclusões válidas, demonstrando entendimento acerca do assunto.
A atividade 16 teve ótimo rendimento, uma vez que todos os alunos
participantes conseguiram perceber a relação entre os coeficientes angulares das
retas paralelas, produzindo 100% de conclusões válidas. A atividade 17 obteve 85%
de conclusões válidas, indicando que a maioria dos alunos identificou a relação entre
os coeficientes angulares das retas perpendiculares.
A atividade 18 teve ótimo rendimento, com 100% de conclusões válidas,
mostrando que os alunos participantes conseguiram encontrar a equação da
circunferência por meio da distância entre um ponto qualquer da circunferência ao seu
centro.
A atividade 19 teve ótimo rendimento, obteve 100% de conclusões válidas, pois
os alunos conseguiram encontrar a expressão que determina a distância de um ponto
qualquer a uma reta, embora alguns alunos tenham apresentado dificuldades com
234
cálculos envolvendo radicais. A atividade 20 obteve 100% de conclusões válidas e
ótimo rendimento, já que todos os alunos conseguiram encontrar a expressão da área
de um triângulo por meio de seus vértices, no entanto alguns alunos apresentaram
dificuldades no desenvolvimento dos cálculos envolvendo divisão para se chegar a
relação desejada, mas não se tornou um obstáculo, uma vez que esses alunos, à
medida que faziam os cálculos, dissipavam essas dúvidas. De modo geral, as
atividades de abordagem de conteúdos da Geometria Analítica proporcionaram, aos
alunos, momentos de construção de conhecimentos visto que, por meio da
experimentação, os alunos puderam testar, verificar e redescobrir as relações
numéricas em propriedades relacionando com assuntos matemáticos trabalhados
durante as atividades, assim como, verificar como os procedimentos aritméticos e
algébricos funcionam para obtenção da equação da reta ou da circunferência.
4.3.2 Sobre as atividades de fixação
Como foi mencionado na etapa de concepção e análise a priori, as listas de
questões tiveram a finalidade de aprofundar sobre as informações obtidas durante as
atividades de abordagem de conteúdos, além de auxiliar os alunos na resolução do
teste final da experimentação. Em relação a primeira lista de questões, verificamos
que os alunos, embora as dificuldades apresentadas, em relação a determinação de
pontos e a não recordação de assuntos do ensino fundamental, tais como o teorema
de Pitágoras e trapézio isósceles, os alunos desenvolveram bem a lista. Contudo
observamos a pouca incidência de retorno em relação aos deveres de casa feito
completamente, o que é compreensível, uma vez que a maioria deles não têm auxílio
em casa, como declararam no primeiro encontro.
Sobre a lista 2, podemos dizer que apesar das dificuldades apresentadas nas
atividades de alinhamento entre três pontos, os alunos conseguiram entender e
resolver os problemas relacionados com esse assunto, da mesma forma, que
demonstraram entendimento sobre o ponto médio e baricentro. Nessa atividade, os
alunos retornaram com 58% dos deveres de casa completo, um índice superior ao da
lista anterior. Na lista 3, os alunos conseguiram realizar as questões solicitadas,
apesar das dificuldades no entendimento de escala.
Em relação a lista 4, os alunos apresentaram dificuldades em encontrar a
declividade para determinar a equação, mas à medida que eles exercitavam, as
questões ficavam mais claras e eles conseguiam resolver, o que entendemos como
235
positivo a esta atividade, uma vez que a lista 4 foi feita para aprimorar a atividade de
equação da reta, que eles não compreenderam bem. Já a lista 5, observamos que os
alunos conseguiram resolver as questões solicitadas de modo coerente com que foi
abordado durante as atividades de retas paralelas e perpendiculares, apontando
dificuldade em manipular as equações perpendiculares. Nesse caso, 36% dos alunos
fizeram o dever de casa completamente.
Sobre a lista 6, os alunos demonstraram entendimento sobre os problemas de
equação da circunferência, de modo geral, e fizeram com tranquilidade as questões
solicitadas. No entanto, não deram retorno em relação ao dever de casa, pois ninguém
entregou as questões solicitadas para casa. Os alunos participantes fizeram a lista 7
com segurança e com pouca dificuldade, apontando apenas as operações com
números inteiros como obstáculo a resolução de alguns problemas.
Ao considerar a lista 8, que abordava a área do triângulo, verificamos que os
alunos participantes conseguiram resolver as questões de modo coerente com que foi
tratado nas atividades sobre área de triângulo, no entanto ainda apresentando
dificuldades em marcar os pontos em determinados quadrantes, como o 2º e o 3º. E
a lista 9, os alunos mostraram ter entendido os assuntos abordados durante as
atividades, de modo geral, embora verificamos que a equação da reta ainda era um
obstáculo para superarmos.
Após todas as atividades realizadas, fizemos o pós-teste, como foi mencionado
na seção anterior, onde destacamos as categorias de acertos e de erros, como
apresentaremos a seguir.
5. 3.3 Acertos e Erros no Pós-teste
Os acertos e erros são parâmetros que buscam o aprimoramento das
atividades de ensino, mostrando os conceitos que precisamos abordar com mais
cautela e os conceitos que podemos continuar investindo para o entendimento da
Matemática. Conforme Cury (2008, p. 65):
Na análise das respostas dos alunos, o importante não é o acerto ou o erro em si – que são pontuados em uma prova de avaliação da aprendizagem -, mas as formas de se apropriar de um determinado conhecimento, que emergem na produção escrita e que podem evidenciar dificuldades de aprendizagem.
236
Nesse sentido, ao considerar aspectos gerais da ideia de Cury (2008), vamos
sintetizar em categorias de acertos e erros a produção escrita dos alunos no Pós-
teste, onde serão descritos os acertos e erros questão por questão.
5. 3. 3. 1. Sobre os acertos no Pós-teste
Os alunos, em algumas questões, ao resolver o teste, optaram por estratégias
diferentes de solução, então dividimos em 17 categorias de acertos, representadas
pelas letras de A até Q, distribuídas ao longo do teste, onde descrevemos o processo
de resolução de cada questão que foi possível fazer.
A primeira questão do pós-teste cujos acertos corresponderam a 69%, tem
duas categorias de acertos – A e B. A categoria A representa os alunos que utilizaram
corretamente a expressão do ponto médio, recorrendo a média aritmética, a exemplo
a resposta do aluno A29
A categoria B representada pela resposta do aluno A25 que apresentou a
distância entre os pontos, por meio do plano cartesiano como mostra sua resposta.
Nesse caso, esse aluno solicitou a régua como auxílio, o que foi permitido, uma vez
que eles usaram tal recurso durante o desenvolvimento das atividades da sequência
didática.
O quadro 45 indica a distribuição das respostas, conforme as categorias
estabelecidas na primeira questão.
Fonte: Resposta do aluno A29 na primeira questão
Fonte: Resposta do aluno A25 na primeira questão
237
Quadro 45: Acertos realizados na primeira questão do pós-teste
Alunos Categorias de Acertos
A2, A3, A4, A9, A11, A12, A13, A14, A17, A18, A20, A21, A22, A23, A24, A26, A27, A28, A29
A. utilizou a média aritmética
A25 B. utilizou a representação gráfica Fonte: pesquisa de campo (2016)
Dentre esses acertos, 95% foram inseridos na categoria A, pois os alunos
compreenderam o ponto médio como a média aritmética das coordenadas dos pontos
A e B, e 5% é da categoria B uma vez representou graficamente sua resposta,
especificando a abscissa e a ordenada do ponto médio.
Em relação aos acertos da segunda questão, cujo assunto é a distância entre
dois pontos, identificamos duas categorias de acerto, que denominaremos C, para os
aqueles onde foi utilizado a fórmula da distância, e D para os acertos onde foi utilizada
a representação gráfica da distância. Observamos que a maioria dos acertos se
concentrou na categoria C, conforme resposta do aluno A11:
Para representar a categoria de acerto D, reproduzimos abaixo a resposta do
aluno A1:
Fonte: Resposta do aluno A11 na segunda questão
Fonte: Resposta do aluno A1 na segunda questão
238
O quadro 46 abaixo representa a distribuição das respostas nas categorias de
acertos identificadas.
Quadro 46: Acertos realizados na segunda questão do pós-teste Alunos Categorias de Acertos
A2, A3, A4, A5, A9, A10, A11, A12, A13, A14, A15, A17, A19, A20, A22, A23, A24, A25, A26, A27, A28, A29
C. utilizou a expressão da distância
A1 D. utilizou a representação gráfica da distância
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Dentre esses acertos, 96% foram inseridos na categoria C, já que os alunos
utilizaram a expressão 𝑑 = √∆𝑥2 + ∆𝑦2, enquanto que 4% foram da categoria D
porque representou graficamente sua resposta, utilizando a régua como recurso
auxiliar.
A terceira questão tratou da equação da reta por meio da análise gráfica e a
área de triângulo. Como a questão solicitava a equação da reta, consideramos correta
a solução que apresentou pelo menos o procedimento inicial que indicasse a equação.
Para essa questão tivemos duas categorias de respostas dadas, denominamos
categoria E para as respostas da terceira questão em que foi utilizado como recurso
para a resolução o cálculo do determinante, onde ilustramos esses casos com a
resposta do aluno A11.
Enquanto a categoria F refere-se ao tipo de acerto no qual foi utilizado o
recurso da declividade da reta para determinação da equação, abaixo destacamos a
resposta do aluno A12.
Fonte: Resposta do aluno A11 na terceira questão
239
Conforme descrito no quadro 47 a maioria dos alunos que acertaram essa
questão enquadraram-se na categoria E, apesar das dificuldades com os cálculos
relacionados ao determinante.
Quadro 47: Acertos realizados na terceira questão do pós-teste Alunos Categorias de Acertos
A2, A11, A26 E. a equação da reta foi dada por meio do cálculo do determinante
A12 F. a equação da reta foi dada pela declividade Fonte: pesquisa de campo (2016)
A quarta questão que abordou distância entre pontos, aceitamos como certas
as questões que apresentaram coerentemente o cálculo da distância entre os pontos
dados (utilizando ou não a escala dada para converter para distância real). Nesse
caso, os acertos foram enquadrados em quatro categorias. Denominamos de G a
categoria de acertos em que os alunos calcularam a distância e determinaram, com o
auxílio da calculadora, o valor da raiz quadrada da distância solicitada e fizeram regra
de três para responder o problema, para ilustrar estes casos destacamos a resposta
do aluno A13.
Na categoria H, o aluno utilizou a distância na forma de raiz quadrada não-
exata e fez a conversão para distância real, ilustramos esse com a resposta do aluno
A12.
Fonte: Resposta do aluno A13 na quarta questão
Fonte: Resposta do aluno A12 na terceira questão
240
Na categoria I, os alunos encontraram o valor da distância, mas não fizeram a
conversão para distância real. Abaixo a resposta do aluno A11 exemplifica as
resoluções que enquadramos nesta categoria.
Na categoria J, os alunos fizeram uma estimativa de quantas unidades no mapa
equivale a distância solicitada e fizeram uma regra de três, informando um valor
aproximado, como mostra a resposta do aluno A28.
O quadro 48 exibe a distribuição das respostas de acordo com as categorias
elencadas.
Quadro 48: Acertos realizados na quarta questão do pós-teste Alunos Categorias de Acertos
A2, A5, A9, A13, A14, A16, A22, A23, A24, A25, A26, A27, A29
G. Usou a expressão da distância entre dois pontos no seu valor aproximado.
A12 H. Usou a expressão da distância entre dois pontos na forma de raiz quadrada.
Fonte: Resposta do aluno A12 na quarta questão
Fonte: Resposta do aluno A11 na quarta questão
Fonte: Resposta do aluno A28 na quarta questão
241
A quinta questão abordou a equação da circunferência, onde foi informado as
coordenadas do centro e o valor do raio. Consideramos a questão certa quando os
alunos apresentavam, pelo menos, a equação reduzida da circunferência.
Nesta questão identificamos três categorias de acertos, na categoria K estão
contidas as resoluções que apresentaram a equação da circunferência na sua forma
reduzida, sem a preocupação de mostrar a forma geral dessa equação. O aluno A12,
em sua resposta, ilustra essa categoria conforme abaixo:
Já na categoria L, além de apresentar a equação reduzida, os alunos tentaram
encontrar a forma geral, mas não foi possível porque erraram no momento de aplicar
o quadrado da diferença de dois termos e/ou alguns erros relacionados aos sinais dos
números inteiros relativos. Abaixo reproduzimos a resposta do aluno A9 para
representar esta análise
O aluno A11 foi o único que alcançou a equação geral utilizando a linguagem
Matemática mais adequada para resolver o problema, sua resposta está vinculada a
categoria M.
A4, A11 I. Usou a expressão da distância, contudo sem utilizar a escala dada.
A10, A18, A28 J. Encontrou a distância utilizando regra de três Fonte: pesquisa de campo (2016)
Fonte: Resposta do aluno A12 na quinta questão
Fonte: Resposta do aluno A9 na quinta questão
Fonte: Resposta do aluno A11 na quinta questão
242
Alguns alunos conseguiram apresentar a equação reduzida e tentaram
encontrar a partir dela a equação geral, porém por falta de conhecimento na área de
produtos notáveis não chegaram à equação geral adequada. O quadro 49 apresenta
a distribuição dos acertos nas categorias identificadas.
Quadro 49: Acertos realizados na quinta questão do pós-teste Alunos Categorias de Acertos
A2, A3, A4, A12, A13, A14, A15, A19, A20, A22, A23, A24, A26, A27, A28
K: apresentaram a equação da circunferência na forma reduzida
A9, A10 L: Apresentaram a equação na forma reduzida e uma tentativa de apresentar na forma geral
A11 M: Apresentou a equação na forma reduzida e geral
Fonte: pesquisa de campo (2016)
A sexta questão solicitou a área do quadrilátero descrito no plano cartesiano
através da área de triângulos, logo aceitamos como correta a questão que
apresentasse o quadrilátero como soma ou subtração de triângulos calculados por
meio do determinante da matriz dada pelos vértices do triângulo. Essa questão
apresenta duas categorias de acertos, são elas N e O.
Na categoria N, os alunos visualizaram o triângulo ABC, onde A(4,0), B(0,1) e
C(4,4) e o triângulo ABD, onde A(4,0), B(0,1) e D(3,2) e para encontrar o quadrilátero
destacado fizeram a diferença entre as áreas de ∆ABC e ∆ABD. O aluno A11
solucionou esta questão de acordo com a categoria N.
Já os alunos da categoria O dividiram o quadrilátero em dois triângulos, ∆ABC,
onde A(4,0), B(4,4) e C(3,2) e ∆BCD, no qual B(4,4), C(3,2) e D(0,1) e efetuaram a
soma das áreas desses triângulos para gerar a área do quadrilátero. Selecionamos a
resposta do aluno A2 para exemplificar esta categoria.
Fonte: Resposta do aluno A11 na sexta questão
Fonte: Resposta do aluno A9 na sexta questão
243
No quadro 50 apresentamos a distribuição dos acertos nas categorias
estabelecidas.
Quadro 50: Acertos realizados na sexta questão do pós-teste Alunos Categorias de Acertos
A11, A12 N. Consideraram a área do quadrilátero como a diferença de dois triângulos.
A2, A6, A9, A10, A14, A15, A16, A20, A23, A25, A26, A27, A28
O. Consideraram a área do quadrilátero como a soma de dois triângulos.
Fonte: pesquisa de campo (2016)
A sétima questão pediu as coordenadas dos pontos pertencentes a uma reta
dada. Portanto, consideramos a questão certa a solução que apresentou os pontos A
e B de acordo com a determinação da questão. Essa questão teve o menor índice de
acertos entre as dez realizadas nesse teste.
Com isso, essa questão apresentou apenas a categoria de acertos P, e
representou as resposta dos alunos que substituíram os valores dos pontos X e Y na
reta dada, para encontrar os valores da abscissa de X e a ordenada de Y, e em
seguida, como eles sabiam que a declividade nos pontos dessa reta tem o mesmo
valor, então eles foram atribuindo valores no eixo das abscissas e ordenadas na
mesma proporção da declividade dessa reta para encontrar as coordenadas de A e
B, conforme destacamos a resposta do aluno A12.
O quadro 51 mostra a distribuição dos acertos na sétima questão:
Quadro 51: Acertos realizados na sétima questão do pós-teste
Alunos Categorias de Acertos
A12, A23 P. Encontraram as coordenadas A e B por meio da determinação dos pontos X e Y
Fonte: pesquisa de campo (2016)
A oitava questão solicitou a área do círculo por meio da equação da
circunferência, onde obteria o valor do raio. Consideramos acerto o cálculo que
Fonte: Resposta do aluno A12 na sétima questão
244
apresentou a equação na forma reduzida, e consequentemente, e encontrou o valor
da área do círculo.
Nessa questão foi apresentada uma categoria, a Q, e ela apresenta a solução
onde os alunos a partir da equação geral da circunferência encontraram a equação
reduzida da circunferência e indicou o raio, determinando a área do círculo. Abaixo a
solução apresentada pelo aluno A2
O quadro 52 exibe os alunos que conseguiram acertar a oitava questão:
Quadro 52: Acertos realizados na oitava questão do pós-teste Alunos Categorias de Acertos
A2, A11, A13, A14, A19, A23, A24, A26, A27
Q. Determinaram a área do círculo utilizando o raio da circunferência obtida na equação reduzida da circunferência encontrada.
Fonte: pesquisa de campo (2016)
A nona questão foi objetiva e solicitava a localização das coordenadas de um
determinado objeto (helicóptero), logo podemos afirmar que 66% acertaram,
marcando a alternativa em que altitude do helicóptero era menor ou igual a 200m.
A décima questão também foi objetiva e pediu a representação gráfica de uma
figura que exigia conhecimentos sobre circunferência, assim como, outras descrições
foram dadas sobre geometria plana e equação quadrática, mas se o aluno
conseguisse identificar o raio e a representação gráfica da equação da circunferência
corretamente e identificar em quais quadrantes a parábola se encontrava, conseguiria
encontrar a alternativa certa que era a alternativa “a”, tendo 41% de acertos.
Quando comparamos os resultados desse teste, com o pré-teste e o teste
diagnóstico (análises prévias), percebemos que houve uma evolução, visto que, ao
Fonte: Resposta do aluno A11 na oitava questão
245
considerar o total de itens analisados, o teste diagnóstico obteve um índice de acertos
de 6%, o pré-teste de 2% e o pós-teste de 49%, como indica o gráfico 55.
A partir do gráfico 55, observamos que em todas as questões houve um
aumento relevante de acertos no pós-teste em relação aos resultados outros testes,
com as mesmas questões realizados em momentos distintos, exceto nas questões 3
e 7, que houve uma evolução, mas foi de 14% e 7%, respectivamente.
5.3.3.2 Sobre os erros no Pós-teste
Os erros que aconteceram nesse teste são erros referentes ao conceito dos
assuntos em torno da Geometria Analítica ou erros em torno de outros conhecimentos
da Matemática e a falta de entendimento da pergunta do problema. Logo os dividimos
em dois tipos: erros procedimentais e conceituais1, onde entendemos o erro
procedimental como o erro cometido no âmbito da aritmética ou da álgebra
relacionados aos conteúdos matemáticos de natureza distinta do assunto que está
sendo trabalhado, assim como o não entendimento do problema, enquanto que o erro
conceitual é aquele cometido por conta do não entendimento do conceito estudado.
Esses erros foram distribuídos no pós-teste de acordo com a tabela 60:
1 As palavras conceitual e conceito estão relacionadas com a falta de entendimento do assunto estudado e não segundo a perspectiva de Vergnaud.
13,5
0%
10%
0% 0% 4%
1% 0% 3%
19%
9%
10%
7%
0% 0% 0% 0% 0% 0% 0% 0%
69% 79
%
14%
69%
62%
51%
7%
31%
66%
41%
G R ÁF ICO 55: V AL O R ES R EL AT IV O S D O S ACER T O S N O S T ES T ES N O D ECO R R ER D A P ES QU S A
Teste diagnóstico Pré-teste Pós-teste
Fonte: pesquisa de campo (2016)
246
Tabela 60: Erros conceituais e procedimentais no Pós-teste
Questões
Tipos de erros Conceitual
Procedimental
Valor Absoluto
Em %
Valor Absoluto
Em %
1ª Q. 6 100% 0 0% 2ª Q. 0 0% 1 100% 3ª Q. 0 0% 3 100% 4ª Q. 1 50% 1 50% 5ª Q. 2 67% 1 33% 6ª Q. 1 20% 4 80% 7ª Q. 1 17% 5 83% 8ª Q. 3 75% 1 25% 9ª Q. 10 100% 0 0% 10ª Q. 14 82% 3 18%
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Como esses erros conceituais e procedimentais aconteceram de distintos
modos, utilizamos a nomenclatura E1, E2, E3,....., E20 para denominá-los e explicitá-
los. Os erros da primeira questão foram todos conceituais, uma vez que os alunos que
erraram a questão não compreenderam o conceito de ponto médio como a média
aritmética das coordenadas.
Em E1, o aluno entendeu ponto médio como a divisão das abscissas e
ordenadas por dois, onde cada ponto gera um ponto médio. Conforme exemplo de
solução apresentada pelo aluno A1:
Em E2, o aluno entendeu o ponto médio como a divisão da diferença entre as
ordenadas e a diferença entre as abscissas. A exemplo da resposta do aluno A5:
Em E3, o aluno A10 definiu o ponto médio como a soma das abscissas
dividido por 2.
Fonte: Resposta do aluno A1 na primeira questão
Fonte: Resposta do aluno A5 na primeira questão
247
Em E4, os alunos entenderam o ponto médio como a soma da metade da
diferença entre as coordenadas do ponto A e B. como mostra a resposta do aluno
A16:
Por fim, em E5, o aluno A19 considerou o ponto médio como a soma da divisão
por dois da subtração entre as coordenadas A e B.
O quadro 53 mostra os erros conceituais existentes na primeira questão.
Quadro 53: Erros cometidos na primeira questão do pós-teste Aluno Tipo de erro Erros cometidos
A1 Conceitual E1. Ponto médio foi considerado como divisão das abscissas e ordenadas por dois.
A5 Conceitual E2. Ponto médio assumiu a razão entre a diferença das ordenadas e abscissas.
A10 Conceitual E3. Ponto médio foi considerado a metade da soma das abscissas
A15, A16 Conceitual E4. O ponto médio foi considerado a coordenada dada por metade da diferença entre as coordenadas do ponto A e B.
A19 Conceitual E5. O ponto médio foi dado pela soma da metade da diferença entre as coordenadas A e B
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Dentre os alunos que responderam a segunda questão, houve apenas um erro,
o aluno A21 lembrou que a distância entre dois pontos é dada pela raiz quadrada da
soma dos quadrados, mas não resolveu a variação das coordenadas por meio da
diferença, e sim pela soma, o que indicou incompreensão do conceito de variação
entre grandezas, gerando o equívoco no momento de resolver a questão sobre
distância entre dois pontos.
Fonte: Resposta do aluno A10 na primeira questão
Fonte: Resposta do aluno A16 na primeira questão
Fonte: Resposta do aluno A16 na primeira questão
248
O quadro 54 mostra o tipo de erro do aluno A21.
Quadro 54: Erro cometido na segunda questão do pós-teste Aluno Tipo de erro Erros cometidos
A21 Procedimental E6. Assumiu a distância como √(𝑥𝑎
+ 𝑥𝑏)2 + (𝑦𝑎
+ 𝑦𝑏)2
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Os erros, correspondentes a terceira questão, perpassam pela não
compreensão do que foi solicitado. Em E7, o aluno compreende que é solicitado uma
equação, contudo assumiu que essa equação é da circunferência e não da reta,
supondo que o valor da área dada é o raio dessa equação, o que demonstra o não
entendimento do problema e os conceitos de área e raio como ilustra a resposta do
aluno A4.
Já em E8, os alunos não entenderam o que foi solicitado, visto que eles
trabalharam a área do triângulo dado e não a equação da reta, como mostra a
resposta do aluno A22.
O quadro 55 contém a distribuição dos erros de acordo com as categorias
elencadas.
Fonte: Resposta do aluno A21 na segunda questão
Fonte: Resposta do aluno A4 na terceira questão
Fonte: Resposta do aluno A22 na terceira questão
249
Quadro 55: Erros cometidos na terceira questão do pós-teste Aluno Tipos de erros Erros cometidos
A4 Procedimental E7. Encontrou a equação da circunferência
A22, A28 Procedimental E8. Trataram a questão como somente um problema de área
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Em relação a quarta questão, identificamos dois tipos de erros em E9, o aluno
A19 admitiu que, nesse caso, a distância era determinada pelo baricentro, no entanto
pensou o baricentro como a soma da razão entre o produto das abscissas por três e
o produto das ordenadas por três, ou seja, não entendeu de conceito de distância e
nem de baricentro.
Em E10, o aluno A21 utilizou o mesmo recurso da questão 2, onde expressou
a variação das abscissas e das ordenadas como uma soma, embora ter expressado
a distância como a raiz quadrada da soma dos quadrados.
O quadro 56 mostra a distribuição dos erros destacados na quarta questão.
Quadro 56: Erros cometidos na quarta questão do pós-teste Aluno Tipo Erros cometidos
A19 Conceitual E9. Assumiu que a solução era de baricentro (calculado errado)
A21 Procedimental
E10. Assumiu a distância como
√(𝑥𝑎 + 𝑥𝑏)2 + (𝑦𝑎
+ 𝑦𝑏)2
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Fonte: Resposta do aluno A19 na quarta questão
Fonte: Resposta do aluno A21 na quarta questão
250
A quinta questão apresentou erros conceituais e procedimental, onde em E11
o aluno A18 lembra a forma da equação da circunferência, no entanto substituiu os
valores das coordenadas do centro em sua equação reduzida, sem se preocupar com
o sinal da expressão que representa a equação.
Enquanto que o aluno A21, em E12, entende a equação como um valor
numérico e resolve a expressão sem considerar as variáveis x e y, um indicativo que
o aluno não compreende o conceito de equação qualquer.
Já em E13, o aluno A25 entende a equação da circunferência como x² +y² - 2.ycx+
2xcy =0, sem uma aparente justificativa.
O quadro 57 exibe a distribuição dos erros na quinta questão:
Quadro 57: Erros cometidos na quinta questão do pós-teste Aluno Tipo Erros cometidos
A18 Procedimental E11. Equação da circunferência foi dada por (𝑥 + 𝑥𝑐)2 + (𝑥 + 𝑦
𝑐)2 =
𝑟2 onde o centro é dado por (xc,yc)
A21 Conceitual E12. Equação da circunferência foi entendida como um valor numérico
A25 Conceitual E13. Equação da circunferência foi dada por x² +y² - 2.ycx+ 2xcy =0
Fonte: pesquisa de campo (2016)
A sexta questão trabalhou área de triângulo por meio do valor da área de um
quadrilátero. Essa questão teve os dois tipos de erros. Em E14, o aluno A3 considerou
os vértices diferentes dos triângulos que compõem o quadrilátero, o que demonstra
que a identificação do ponto no plano ainda é uma dificuldade que precisa ser
Fonte: Resposta do aluno A18 na quinta questão
Fonte: Resposta do aluno A21 na quinta questão
Fonte: Resposta do aluno A25 na quinta questão
251
trabalhada mais intensamente, mas calculou a área da figura construída por ele de
forma adequada.
Em E15, o aluno A19 encontra a área de um triângulo, por meio do
determinante adequadamente, no entanto esse está sobreposto a outro maior,
gerando uma área total maior do que a solicitada.
Em E16, o aluno A22 calculou apenas uma das áreas dos triângulos que
compõem o quadrilátero, fazendo com que o valor esteja inferior ao solicitado.
Em E17, o aluno A29 calculou o determinante corretamente utilizando os
vértices de acordo com o quadrilátero, porém considerou o valor desse determinante
como a área do triângulo, o que faz a área total ser o dobro do solicitado.
Fonte: Resposta do aluno A19 na sexta questão
Fonte: Resposta do aluno A29 na sexta questão
Fonte: Resposta do aluno A3 na sexta questão
Fonte: Resposta do aluno A22 na sexta questão
252
A maioria dos erros da sexta questão foram erros procedimentais, uma vez que,
os alunos lembram o conceito de área do triângulo utilizando o determinante, mas não
consegue uma estratégia de decomposição geométrica coerente. O quadro 58 exibe
a distribuição dos erros nas categorias elencadas:
Quadro 58: Erros cometidos na sexta questão do pós-teste Aluno Tipo Erros cometidos
A3, A21 Procedimental E14. Adotou vértices que não pertencem ao quadrilátero
A19 Procedimental E15. Calculou a área de triângulos sobrepostos
A22 Procedimental E16. Calculou apenas uma parte do quadrilátero
A29 Conceitual E17. Assumiu a área de um triângulo como o valor do determinante.
Fonte: pesquisa de campo (2016)
A sétima questão abordou coordenadas do ponto a partir da equação da reta
dada. A mesma teve um índice de acertos menor do que erros, e estes se restringiram
a má interpretação do problema. Em E18 foram agrupados pela interpretação
precipitada do problema uma vez que, nele foi solicitado os pontos A e B, sabendo
que as distâncias entre A e X; X e Y; Y e B são iguais e os alunos entenderam que os
pontos são iguais, e isso levou a esse erro, como mostra a resposta do aluno A11.
O quadro 59 mostra os alunos que cometeram E18.
Quadro 59: Erros cometidos na sétima questão do pós-teste Aluno Tipo Erros cometidos
A5, A9, A11, A19, A27, A28
Procedimental E18. Assumiram os pontos A e B com os mesmos valores de X e Y
Fonte: pesquisa de campo (2016)
A oitava questão trabalhou a área da circunferência a partir da equação da
circunferência na forma geral. Em E19, os alunos efetuaram as subtrações (x² - 8x) e
(y²- 10y) como se fossem termos semelhantes e não fizeram as potenciações
corretamente, a resposta do aluno A4 exemplifica esta categoria.
Fonte: Resposta do aluno A11 na sétima questão
253
Em E20, o aluno A12 apresentou a equação reduzida da circunferência,
contudo não soube manipular a equação e chegou ao valor do raio errado.
Conforme identificamos, os erros cometidos pelos alunos na oitava questão
mostraram que têm dificuldades em manipular equações algébricas. Conforme o
quadro 60:
Quadro 60: Erros cometidos na oitava questão do pós-teste Aluno Tipo Erros cometidos
A4, A9, A28 Conceitual
E19. Não manipulou corretamente a equação da circunferência
A12 Procedimental E20. Encontrou o raio errado da equação da circunferência Fonte: pesquisa de campo (2016)
A nona e décima questões são de múltiplas alternativas, sendo que a nona
questão trabalhou localização de pontos a partir das orientações norte, sul, leste,
oeste. Nessa questão houve 10 erros, sendo que 40% optaram pela alternativa b
(maior que 200m e menor ou igual a 400m), 10% marcaram a alternativa c (maior que
400m e menor ou igual a 600m) e 50% optaram pela alternativa d (maior que 600m
ou igual a 800m), que são indicativos de erros conceituais de pontos relacionados a
localização.
A décima questão trabalhou a representação gráfica da circunferência por
meio das caraterísticas dadas no problema. Dentre os erros da décima questão, 76%
(13 erros) optaram pela alternativa “b”, em que os alunos adotaram como raio da
circunferência o valor 9, sabendo que a equação é x² + y² = 9, enquanto 18% (3 erros)
marcaram a alternativa “e” que considerou o raio da circunferência igual a 3, no
Fonte: Resposta do aluno A4 na oitava questão
Fonte: Resposta do aluno A12 na oitava questão
254
entanto assumiram que a parábola dada na questão tem concavidade para cima,
sabendo que a parábola é dada por y = -x² - 1 e 6% (1 erro) opinou pela alternativa
“a” que acertou a parábola, contudo considerou o raio da circunferência igual a 9, logo
os que marcaram “b” foram considerados erros procedimentais, pois acertaram o raio
a partir da equação da circunferência e os outros erros foram conceituais, visto que,
não reconheceram o valor do raio na equação x² + y² = 9.
Ao comparar os resultados do teste diagnóstico (realizado na etapa de análises
prévias) e o pós-teste, verificamos que diminuíram os índices, em relação ao total,
como mostra a tabela 61 e gráfico 56:
Tabela 61: Valores relativos dos erros dos testes no decorrer da pesquisa
Questões Teste diagnóstico Pré-teste Pós-teste
1ª 13,5% 0% 20%
2ª 17% 0% 3% 3ª 12% 0% 14% 4ª 16% 0% 7% 5ª 15% 0% 10%
6ª 11% 3% 17% 7ª 8% 0% 20% 8ª 5% 0% 14% 9ª 59% 3% 34%
10ª 72% 0% 59% Fonte: Pesquisa de campo (2016)
Assim como diminuíram os índices de erros, aumentaram os índices de acertos
ao comparar os testes. Em relação ao Pré-teste, o índice de erros foi inferior porque
os alunos deixaram muitas questões em branco. Vale ressaltar, ao considerar as
questões em branco, que houve uma diminuição em índices relativos quando
13,5
0%
17%
12% 16
%
15%
11%
8%
5%
59%
72%
0% 0% 0% 0% 0%
3%
0% 0%
3%
0%
20%
3%
14%
7%
10% 17
% 20%
14%
34%
59%
1 ª 2 ª 3 ª 4 ª 5 ª 6 ª 7 ª 8 ª 9 ª 1 0 ª
G R ÁF ICO 56: V AL O R ES R EL AT IV O S D O S ER R O S , P O R QU ES T ÃO , N O S T ES T ES N O D ECO R R ER D A P ES QU IS A
Teste diagnóstico Pré-teste Pós-teste
Fonte: pesquisa de campo (2016)
255
comparamos o teste diagnóstico (análises prévias), o pré-teste e pós-teste da
experimentação, pois no teste diagnóstico foi de 71%, no pré-teste de 98%, enquanto
que no pós-teste 31%, como indica a tabela 62:
Tabela 62: Valores relativos das questões em branco dos testes no decorrer da pesquisa
Questões Teste diagnóstico Pré-teste Pós-teste 1ª 73% 90% 10% 2ª 73% 93% 17% 3ª 88% 100% 76% 4ª 84% 100% 24% 5ª 81% 100% 28% 6ª 88% 97% 32% 7ª 92% 100% 73% 8ª 92% 100% 55% 9ª 22% 100% 0%
10ª 71% 98% 0% Fonte: Pesquisa de campo (2016)
Os dados da tabela 62 e gráfico 57 podem ser um indício de que os alunos se
sentiram mais seguros em resolver as questões propostas nos testes, após o
processo da experimentação, o que consideramos um ponto positivo da pesquisa.
73%
73%
88%
84%
81% 88
% 92%
92%
22%
71%
90%
93% 10
0%
100%
100%
97%
100%
100%
100%
98%
14%
17%
73%
24% 28
% 32%
73%
52%
0%
1 ª Q U E S T Ã O
2 ª Q U E S T Ã O
3 ª Q U E S T Ã O
4 ª Q U E S T Ã O
5 ª Q U E S T Ã O
6 ª Q U E S T Ã O
7 ª Q U E S T Ã O
8 ª Q U E S T Ã O
9 ª Q U E S T Ã O
1 0 ª Q U E S T Ã O
GRÁFICO 57 : VALORES RELAT IVOS DAS QUEST ÕES EM BRANCO DOS T EST ES NO DECORRER DA PESQUISA
Teste diagnóstico Pré-teste Pós-teste
Fonte: pesquisa de campo (2016)
256
5.3.3.3 Sobre os testes aplicados durante a experimentação
Ao comparar com os resultados do pré-teste, percebemos que os índices dos
itens em branco diminuíram e de acertos aumentaram, exceto a 10ª questão que no
pré-teste nenhum aluno respondeu e no pós-teste 41% acertou e 59% errou, como
mostra a Quadro 61:
Quadro 61: Comparação dos Pré- e Pós-testes Questões
Assuntos
Acertos Erros Em branco
Pré-(%)
Pós-(%)
Pré-(%)
Pós-(%)
Pré-(%)
Pós- (%)
01 Ponto médio 10% 69% 0% 20% 90% 10%
02 Distância entre pontos estilo direta
7% 79% 0% 3% 93% 17%
03 Equação da reta 0% 17% 0% 7% 100% 76%
04 Distância entre pontos estilo contexto
0% 69% 0% 7% 100% 24%
05 Equação da circunferência
0% 59% 0% 14% 100% 27%
06 Área do triângulo 0% 51% 3% 17% 97% 32%
07 Equação da reta e coordenadas do ponto
0% 7% 0% 20% 100% 76%
08 Equação e área da circunferência
0% 31% 0% 10% 100% 55%
09 Localização de pontos
0% 66% 3% 34% 97% 0%
10 Representação gráfica da circunferência
0% 41% 0% 59% 100% 0%
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Quando comparamos o desempenho individual dos alunos no Pré-teste e pós-
teste verificamos que a maioria dos alunos atingiu notas iguais ou superiores a 50%,
como ilustra o gráfico 58:
257
Os alunos A6 e A7 não conseguiram melhorar, assim como os alunos A1, A8,
A16, A17 e A18 tiveram índices inferiores a 20%. Percebemos que esses alunos
pouco participaram da experimentação, apresentando pouco interesse no momento
de desenvolvimento das atividades, o que é compreensível visto que elas declararam
estudar pouco Matemática. Os alunos que tiveram notas superiores ou iguais a 50%,
que foi a maioria, participaram mais ativamente da experimentação, pois 72% desses
alunos tiveram atividades válidas, 17% de participação nas atividades sem produção
escrita e 11% faltaram as atividades.
5.4 COMPARAÇÃO ENTRE A ANÁLISE A PRIORI E A POSTERIORI DAS
ATIVIDADES DA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Ao considerar Artigue (1996) e Almouloud (2010), compreendemos que a
comparação entre as análises a priori e a posteriori das atividades são necessários
para a validação da sequência didática experimentada nessa pesquisa.
O quadro 62 estabelece essa comparação e a validação correspondente aos
assuntos trabalhados na sequência.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%A
1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A1
0
A1
1
A1
2
A1
3
A1
4
A1
5
A1
6
A1
7
A1
8
A1
9
A2
0
A2
1
A2
2
A2
3
A2
4
A2
5
A2
6
A2
7
A2
8
A2
9
Gráfico 58: Desempenho dos alunos nos testes
Nota do Pré-teste Notas do Pós-teste
Fonte: pesquisa de campo (2016)
258
Quadro 62: Comparação da análise a priori com a posteriori das atividades de abordagem dos conteúdos
Atividade Análise Excertos Validação
Localização de pessoas em sala de aula
A priori Esperamos que os alunos percebam a noção de coordenadas em uma situação cotidiana, no entanto, provavelmente os alunos encontrarão resultados diferentes, já que não estabelecemos nenhum ponto de referência, de modo proposital, para que haja a discussão acerca do assunto.
Positiva
A posteriori
Verificamos que os alunos conseguiram perceber a importância de determinar um ponto com no mínimo duas informações para localizar objetos, logo todas as respostas foram consideradas.
Localização de peças no tabuleiro de xadrez
A priori Prevemos que os alunos sentirão dificuldades de identificar os pontos, já que o xadrez apesar de ser um jogo conhecido é pouco usado em nossas escolas como recurso pedagógico. Logo, apresentaremos as peças do xadrez e suas respectivas movimentações, antes de iniciar a atividade.
Positiva
A posteriori
Verificamos que os alunos conseguiram desenvolver as atividades com sucesso e discutiram positivamente acerca a importância das coordenadas para determinação de qualquer objeto, portanto consideramos todas as respostas válidas.
Plano cartesiano
A priori Esperamos que os alunos percebam que os pontos pertencentes ao 1º quadrante têm abscissas e ordenadas positivas, os pontos do 2º quadrante têm abscissas negativas e ordenadas positivas, os pontos do 3º quadrante têm abscissas e ordenadas negativas e os pontos do 4º quadrante possuem abscissas positivas e ordenadas negativas.
Positiva
A posteriori
Em relação a atividade 3, apesar das dificuldades iniciais, os alunos conseguiram desenvolver as atividades com 77% de conclusões válidas.
Pontos sobre o eixo x
A priori Esperamos que os alunos percebam que os pontos sobre o eixo das abscissas possuem ordenadas iguais a zero.
Positiva A
posteriori Sobre a atividade 4, 80% dos participantes construíram conclusões válidas, demonstrando entendimento acerca da coordenada do ponto quando está sobre o eixo das abscissas.
A priori Esperamos que os alunos percebam que os pontos que se encontram sobre o eixo
259
Pontos sobre o eixo y
das ordenadas possuem abscissas iguais a zero.
Positiva
A posteriori
A atividade 5 bom rendimento uma vez que 80% dos participantes elaboraram conclusões válidas, indicando que compreenderam as condições dos pontos sobre o eixo das ordenadas.
Ponto Médio A priori Esperamos que os alunos percebam que as coordenadas do ponto médio de um segmento são determinadas pela média dos valores das abscissas dos pontos A e B e das ordenadas dos pontos A e B.
Positiva
A posteriori
Embora alguns alunos apresentassem dificuldades em construir o plano cartesiano, assim como marcar os pontos no plano, a atividade teve bom rendimento, já que 77% das conclusões foram válidas, demonstrando o entendimento a determinação das coordenadas do ponto médio.
Baricentro A priori Como os alunos já terão noção básica de determinação de pontos, eles não terão dificuldades de realizar essa atividade, embora, para alguns triângulos os vértices serão negativos, o que pode ser um obstáculo para que eles percebam que a abscissa e a ordenadas do ponto do baricentro é a média aritmética das abcissas e ordenadas dos vértices.
Positiva
A posteriori
Acerca da atividade 7, podemos afirmar que o rendimento foi bom, pois 85% das conclusões foram consideradas válidas, indicando que a maioria dos alunos entenderam como determinar as coordenadas do baricentro de um triângulo.
Alinhamento de três pontos
A priori Esperamos que os alunos observem que o det D terá resultado zero quando os pontos forem alinhados, enquanto que, quando os pontos não forem, o det D será diferente de zero.
Negativa
A posteriori
A atividade 8 não teve um bom rendimento pois o índice de conclusões válidas foi de 17%, enquanto 83% dos participantes registraram conclusões.
Distância entre pontos com as mesmas abscissas
A priori Esperamos que os alunos, a partir dos pontos colocados o plano cartesiano, percebam que as distâncias entre os pontos com as mesmas abscissas são iguais as variações das ordenadas, enquanto que as variações das abscissas, nesses casos, são iguais a zero.
Positiva
260
A posteriori
Os alunos, de modo geral, tiveram bom rendimento, pois a maioria alcançou a finalidade da atividade e 67% das duplas produziram conclusões válidas.
Distância entre pontos com as mesmas ordenadas
A priori Esperamos que os alunos, a partir dos pontos colocados no plano cartesiano, percebam que as distâncias entre os pontos com as mesmas ordenadas são iguais as variações das abscissas, enquanto que a variação das ordenadas, nesses casos, são iguais a zero.
Positiva
A posteriori
A atividade 10 proporcionou bom rendimento aos alunos uma vez que teve 67% de conclusões válidas.
Distância entre dois pontos quaisquer
A priori Esperamos que os alunos observem que a distância ao quadrado é aproximadamente a soma dos quadrados das variações de x e y. A partir disso, esperamos que concluam que a distância entre dois pontos quaisquer é igual a raiz quadrada da soma dos quadrados das variações de x e y.
Positiva
A posteriori
Todos participaram e conseguiram alcançar o objetivo da atividade, apresentando 100% de conclusões válidas e demonstrando que a maioria dos alunos compreenderam como determinar a distância entre dois pontos quaisquer.
Declividade da reta
A priori Esperamos que os alunos percebam que a declividade da reta (tg α) é, aproximadamente, a razão entre as variações de Y e X, no entanto os alunos sentiram dificuldades em dividir os valores dessa razão, já que, em alguns casos, não serão exatos.
Negativa
A posteriori
A atividade 12 teve ótimo rendimento, pois os alunos alcançaram a finalidade e teve 100% de conclusões válidas, indicando que os participantes entenderam com encontrar a declividade da reta.
Declividade em pontos distintos e colineares
A priori Esperamos que os alunos observem que os valores das declividades da reta entre os pontos dados serão iguais, quando colineares.
Positiva
A posteriori
A atividade 13 teve bom rendimento visto que a maioria atingiu o objetivo da atividade e produziram 85% das conclusões válidas, apontando um entendimento sobre a relação entre declividades de pontos distintos e colineares.
261
Equação de reta por meio da declividade
A priori Esperamos que os alunos percebam que as igualdades das declividades de uma mesma reta, gerará a equação dela.
Negativa
A posteriori
A atividade 14 não teve bom rendimento uma vez que 15% apenas conseguiu produzir conclusões válidas, enquanto que 85% não registraram conclusões.
Equação geral da reta por meio do determinante
A priori Esperamos que os alunos percebam que a equação da reta por meio da declividade seja equivalente a equação da reta encontrada por meio do determinante da matriz gerada pelos pontos colineares da reta.
Positiva
A posteriori
A atividade que trabalhou a equação da reta por meio do determinante teve ótimo rendimento, pois todos os alunos chegaram na finalidade da atividade e tiveram 100% de conclusões válidas.
Retas Paralelas
A priori Esperamos que os alunos percebam que os coeficientes angulares de r e s, quando são paralelas, serão iguais, enquanto que quando as retas não forem paralelas os valores dos coeficientes angulares serão diferentes.
Positiva
A posteriori
A atividade 16 teve ótimo rendimento, uma vez que todos os alunos participantes conseguiram perceber a relação entre os coeficientes angulares das retas paralelas, produzindo 100% de conclusões válidas.
Retas Perpendiculares
A priori Esperamos que os alunos percebam que essa multiplicação entre os coeficientes angulares de r e s, quando são perpendiculares, será -1, enquanto que quando as retas não forem perpendiculares a referida multiplicação será diferente de -1, para concluir que as declividades serão inversas e opostas para retas perpendiculares.
Positiva
A posteriori
A atividade 17 obteve 85% de conclusões válidas, indicando que a maioria dos alunos identificou a relação entre os coeficientes angulares das retas perpendiculares.
Equação da circunferência
A priori Esperamos que os alunos observem que, na forma simplificada, a referida distância representa a equação da circunferência e que o centro e o raio são elementos contidos nessa equação, resultando na forma r² = (x – xo) ² + (y – yo) ².
Positiva
A posteriori
A atividade 18 teve ótimo rendimento, com 100% de conclusões válidas,
262
mostrando que os alunos participantes conseguiram encontrar a equação da circunferência por meio da distância entre um ponto qualquer da circunferência ao seu centro.
Distância de um ponto a reta
A priori Esperamos que os alunos observem que a distância entre um ponto P a uma reta é representado pela razão entre |aXo +
bYo + c| e √𝑎2 + 𝑏2, contudo, é possível que os alunos sintam dificuldades em calcular essa razão, já que envolve a divisão e radiciação.
Positiva
A posteriori
A atividade 19 teve ótimo rendimento, obteve 100% de conclusões válidas, pois os alunos conseguiram encontrar a expressão que determina a distância de um ponto qualquer a uma reta.
Área de triângulo
A priori Esperamos que os alunos observem que o valor do det D é o dobro do valor da área do triângulo ABC, em cada caso.
Positiva
A posteriori
A atividade 20 obteve 100% de conclusões válidas e ótimo rendimento, já que todos os alunos conseguiram encontrar a expressão da área de um triângulo por meio de seus vértices.
Fonte: pesquisa de campo (2016)
De acordo com o exposto no quadro 62, as atividades 8 e 14 teve validação
negativa, correspondente a 10% das atividades aplicadas relacionadas a abordagem
de conteúdos, enquanto as demais tiveram validação positiva. No caso da atividade 8
acreditamos que se colocássemos apenas pontos no primeiro quadrante, o
desempenho dos alunos melhoraria, já que os alunos apresentaram muita deficiência
em manipular os inteiros negativos. Com os pontos no primeiro quadrante o risco de
errarem por conta do “jogo de sinal” cairia. Já no caso da atividade 14, sugerimos o
acréscimo de uma coluna no quadro do roteiro, solicitando a equação reduzida da
reta, isso facilitaria, aos alunos, fazer observações acerca da equação da reta e seus
coeficientes.
O quadro 63 apresenta a comparação da análise a priori com a posteriori das
listas de questões trabalhadas durante a experimentação da sequência didática.
263
Quadro 63: Comparação da análise a priori com a posteriori das atividades de fixação
Atividade Análise Excertos Validação
Lista 1(localização de pontos)
A priori Os alunos utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o desenvolvimento das atividades da sequência referente a localização e determinação de ponto. Esperamos que os alunos percebam, por meio dos problemas, a utilização prática dos conteúdos abordados.
Positiva
A posteriori
Verificamos que os alunos, embora as dificuldades apresentadas, em relação a determinação de pontos e a não recordação de assuntos do ensino fundamental, tais como o teorema de Pitágoras e trapézio isósceles, os alunos desenvolveram bem a lista.
Lista 2 (ponto médio, baricentro e alinhamento de pontos)
A priori Os alunos utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos adquiridos durante o desenvolvimento das atividades da sequência referente a ponto médio, alinhamento entre pontos e baricentro. Esperamos que os alunos consigam efetuar os cálculos com sucesso.
Positiva
A posteriori
Apesar das dificuldades apresentadas nas atividades de alinhamento entre três pontos, os alunos conseguiram entender e resolver os problemas relacionados com esse assunto, da mesma forma, que demonstraram entendimento sobre o ponto médio e baricentro.
Lista 3 (distância entre dois pontos)
A priori Os alunos utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o desenvolvimento das atividades da sequência referente a distância entre pontos. Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar as questões de acordo com as atividades estudadas.
Positiva A
posteriori Os alunos conseguiram realizar as questões solicitadas, apesar das dificuldades no entendimento de escala.
Lista 4 (equação da reta)
A priori Os alunos utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o desenvolvimento das atividades da sequência referente a equação da reta. Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar as questões de acordo com os assuntos estudados.
Positiva
A posteriori
Os alunos apresentaram dificuldades em encontrar a declividade para determinar
264
a equação, mas à medida que eles exercitavam, as questões ficavam mais claras e eles conseguiam resolver, o que entendemos como positivo a esta atividade.
Lista 5 (retas paralelas e perpendiculares)
A priori Os alunos utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o desenvolvimento das atividades da sequência referente retas paralelas e perpendiculares.
Positiva
A posteriori
Observamos que os alunos conseguiram resolver as questões solicitadas de modo coerente com que foi abordado durante as atividades de retas paralelas e perpendiculares, apontando dificuldade em manipular as equações perpendiculares.
Lista 6 (equação da circunferência)
A priori Os alunos utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o desenvolvimento da atividade da sequência que trata de equação da circunferência. Esperamos que os alunos consigam realizar as questões de modo coerente com que foi realizado durante as atividades.
Positiva
A posteriori
Os alunos demonstraram entendimento sobre os problemas de equação da circunferência, de modo geral, e fizeram com tranquilidade as questões solicitadas.
Lista 7 (distância de um ponto a reta)
A priori Os alunos utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o desenvolvimento da atividade da sequência correspondente a distância de um a reta. Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar as questões com sucesso.
Positiva
A posteriori
Os alunos participantes fizeram a lista 7 com segurança e com pouca dificuldade, apontando apenas às operações com números inteiros como obstáculo a resolução de alguns problemas.
Lista 8 (área do triângulo)
A priori Os alunos utilizarão, para resolver os problemas, os conhecimentos construídos durante o desenvolvimento da atividade da sequência correspondente a área do triângulo. Esperamos que a maioria dos alunos consigam realizar as questões conforme as atividades estudadas sobre área do triângulo.
Positiva
265
A posteriori
Verificamos que os alunos participantes conseguiram resolver as questões de modo coerente com que foi tratado nas atividades sobre área de triângulo, no entanto ainda apresentando dificuldades em marcar os pontos em determinados quadrantes, como o 2º e o 3º
Lista 9 (revisão)
A priori Os alunos utilizarão todos conhecimentos construídos durante o desenvolvimento das atividades. Esperamos que a maioria dos alunos consigam entender e realizar a revisão sobre os assuntos estudados.
Positiva
A posteriori
Os alunos mostraram ter entendido os assuntos abordados durante as atividades, de modo geral, embora verificamos que a equação da reta ainda era um obstáculo para superarmos.
Fonte: pesquisa de campo (2016)
As listas de questões foram importantes para que os alunos percebessem a
aplicação de determinados assuntos, tais como distância entre dois pontos e áreas do
triângulo, em questões próximos ao seu cotidiano. Todas as listas tiveram validação
positiva, porque serviram para aprimorar a Geometria Analítica plana estudada, assim
como, para que pudéssemos trabalhar em torno das dificuldades que os alunos têm
acerca de assuntos já estudado em outro nível de ensino, mas que ainda não foi
compreendido por eles.
O quadro 64 apresenta a comparação das análises a priori e a posteriori dos
pré- e pós-teste da experimentação.
Quadro 64: Comparação da análise a priori com a posteriori dos testes
Assunto Análise Pré-teste Pós-teste Validação
1ª Questão (Ponto médio)
A priori Os alunos não conseguirão resolver, já que ainda não estudaram o assunto.
Os alunos encontrarão a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades referentes ao ponto médio.
Positiva
A posteriori
Os alunos tiveram 10% de acertos e 90% de questões em branco.
Os alunos tiveram um avanço em relação a essa questão, pois apresentaram 69% de acertos, enquanto houve 20% de erros conceituais. Esses resultados são satisfatórios, uma vez que
266
os índices de acertos são superiores a 50%.
2ª Questão (Distância entre dois pontos estilo direta.
A priori Os alunos não conseguirão resolver, já que ainda não estudaram o assunto.
Os alunos encontrarão a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades relacionadas a distância entre dois pontos.
Positiva
A posteriori
Os alunos tiveram 7% de acertos e 93% de questões em branco.
Os alunos tiveram um avanço em relação a essa questão, pois apresentaram de 79% de acertos, enquanto houve 3% de erros procedimentais. Esses resultados são satisfatórios, visto que os índices de acertos são superiores a 50%.
3ª Questão (Equação da reta)
A priori Os alunos não conseguirão resolver, já que ainda não estudaram o assunto.
Os alunos encontrarão, em sua maioria, a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades referentes a equação da reta.
Negativa
A posteriori
Os alunos deixaram 100% das questões em branco.
Os alunos tiveram 14% de acertos nessa questão e 10% de erros procedimentais. Apesar dos índices de acertos no pós-teste serem maiores que no pré-teste, foram menores que o previsto na análise a priori.
4ª Questão (Distância entre dois pontos estilo contexto.
A priori Os alunos não conseguirão resolver, já que ainda não estudaram o assunto.
Os alunos encontrarão, em sua maioria, a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades relacionadas a distância entre dois pontos.
Positiva
A posteriori
Os alunos deixaram 100% das questões em branco.
Os alunos tiveram 69% de acertos nessa questão e 7% de erros, sendo a metade desses erros procedimental. Esses resultados foram satisfatórios, pois os
267
índices de acertos foram maiores que 50%.
5ª Questão (Equação da circunferência)
A priori Os alunos não conseguirão resolver, já que ainda não estudaram o assunto.
Os alunos encontrarão, em sua maioria, a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades referentes a equação da circunferência.
Positiva
A posteriori
Os alunos deixaram 100% das questões em branco.
Os alunos apresentaram 62% de acertos nessa questão e 10% de erros, onde 33% desses erros foram procedimentais, enquanto que 67% foram erros conceituais. Os resultados foram satisfatórios, visto que o índice de acerto representa a maioria das respostas nessa questão.
6ª Questão (Área do triangulo)
A priori Os alunos não conseguirão resolver, já que ainda não estudaram o assunto.
Os alunos encontrarão, em sua maioria, a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades referentes a área do triângulo.
Positiva
A posteriori
Os alunos deixaram 93% das questões em branco e teve 3% de erros.
Os alunos apresentaram 51% de acertos nessa questão e 17% de erros, onde 80% desses erros foram procedimentais, enquanto que 20%, erros conceituais. Os resultados foram satisfatórios, visto que o índice de acerto foi superior a 5% nessa questão.
7ª Questão (Equação da reta e coordenadas do ponto
A priori Os alunos não conseguirão resolver, já que ainda não estudaram o assunto.
Os alunos encontrarão, em sua maioria, a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades referentes as coordenadas de pontos e equação da reta.
Negativa
A posteriori
Os alunos deixaram
Os alunos indicaram 7% de acertos e 20% de erros,
268
100% das questões em branco.
onde 83% foram erros procedimentais e 17%, erros conceituais. Esses resultados não foram satisfatórios, uma vez que que o índice de acertos foi menor que o de erros, embora tenha sido maior que o do pré-teste.
8ª Questão (Equação e área da circunferência)
A priori Os alunos não conseguirão resolver, já que ainda não estudaram o assunto.
Os alunos encontrarão, em sua maioria, a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades referentes equação da circunferência.
Positiva
A posteriori
Os alunos deixaram 100% das questões em branco.
Os alunos apresentaram 31% de acertos e 14% de erros, no qual 25% são erros procedimentais e 75%, erros conceituais, o que indica erros relacionados a outros assuntos matemáticos, e não a equação da circunferência. Esses resultados foram satisfatórios mediante os dados mostrado.
9ª Questão (localização de pontos)
A priori Os alunos não conseguirão resolver, já que ainda não estudaram o assunto.
Os alunos encontrarão, em sua maioria, a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades referentes a localização de pontos
Positiva
A posteriori
Os alunos deixaram 97% das questões em branco e teve 3% de erros.
Os alunos indicaram 66% de acertos e 34% de erros conceituais. Esses resultados foram satisfatórios, uma vez que a maioria conseguiu alcançar a alternativa correta.
10ª Questão (Representação gráfica da circunferência)
A priori Os alunos não conseguirão resolver, já que ainda não
Os alunos encontrarão, em sua maioria, a resposta mais adequada para resolver a questão, pois utilizarão os conhecimentos construídos nas atividades
269
estudaram o assunto.
referentes a equação da circunferência.
A posteriori
Os alunos deixaram 100% das questões em branco.
Os alunos apresentaram 41% de acertos e 59% de erros, onde 82% foram erros conceituais e 18%, erros procedimentais, indicando erros relacionados com outros assuntos diferentes da equação da circunferência. Logo, consideramos o resultado satisfatório, visto que apenas 48% dos erros está diretamente relacionado com a equação da circunferência.
Positiva
Fonte: pesquisa de campo (2016)
Na etapa de análises prévias, foi realizado um teste diagnóstico com os alunos
da mesma escola lócus da pesquisa, assim como, realizamos dois testes, um no início
e outro no final da experimentação da sequência didática. Quando comparamos esses
testes, observamos que houve um aumento, em relação aos acertos nessas questões.
Esses valores relativos são indícios de uma melhora no desempenho dos alunos em
relação a Geometria Analítica, uma vez que a média no teste diagnóstico foi 0,6, no
pré-teste foi de 0,2, enquanto no pós-teste foi de 4,9, em uma escala de 0 a 10. O
quadro 65 trouxe um comparativo dos valores relativos, em relação aos acertos
desses testes, junto com o grau de dificuldade, em relação aos maiores índices,
apontado pelos professores nas análises prévias dessa pesquisa.
Quadro 65: Comparativo dos acertos nos testes da pesquisa com o grau de dificuldade indicada pelos docentes
Questões Grau de dificuldade Teste diagnóstico Pré-teste Pós-teste
1ª Muito Fácil 13,5% 10% 69%
2ª Fácil 10% 7% 79%
3ª Regular 0% 0% 14%
4ª Difícil 0% 0% 69%
5ª Regular 4% 0% 62%
6ª Difícil 1% 0% 51%
7ª Difícil 0% 0% 7%
8ª Difícil 3% 0% 31%
9ª Difícil 19% 0% 66%
10ª Difícil 9% 0% 41% Fonte: pesquisa de campo (2016)
270
As questões que os professores, na etapa de análises prévias, afirmaram
serem “muito fácil” (questão 1) ou “fácil” (questão 2), alcançou os índices, no pós-
teste, de acordo com o grau de dificuldade apontada pelos professores, no entanto
nos outros testes foram inferiores a 14%. As questões 7, 8 e 10, julgadas pelos
professores “difícil” foram confirmadas em todos os testes, pois tiveram índices
inferiores a 42%, no entanto o pós-teste teve o maior índice, em relação aos outros
testes.
As questões 4, 6 e 9, embora julgadas “difícil” pelos professores, os índices no
pós-teste foram superiores a 50% no Pós-teste, mas nos outros testes foram inferiores
a 20%. A questão 5 avaliado como “regular” teve um índice de acertos superior a 50%
no pós-teste, contudo nos outros testes foram inferiores a 2%. A questão 3 também
julgada “regular” apresenta uma discordância com os resultados dos testes porque os
índices de acertos foram inferiores a 18%, indício de que a questão é difícil aos alunos.
De modo geral, as questões foram resolvidas de acordo com o grau de dificuldade
que os professores apontaram.
Ao observar os resultados das análises prévias, experimentação e das análises
a posteriori, observamos que essa pesquisa teve resultados semelhantes a pesquisa
de Mesquita Filho (2014) que trabalhou com pré- e pós-testes, onde apresentou um
avanço de 42%, enquanto que essa, houve um aumento de 47%, quando
comparamos os dois testes. Além disso, conforme os dados estatísticos
apresentados, podemos indicar a relevância dessa sequência ao ensino da
matemática, uma vez que, com recursos acessíveis aos professores e alunos,
obtivemos resultados satisfatórios, fazendo com que a mesma proporcionasse uma
melhora na habilidade matemática relacionada a geometria analítica plana, aos
alunos, e aos professores, uma alternativa de ensino diferente do convencional.
271
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Como mencionamos inicialmente, nossa intenção foi analisar as
potencialidades de uma sequência didática para o ensino da Geometria Analítica
plana na educação básica, baseado no ensino de Matemática por atividades,
abordando os conhecimentos acerca de ponto, reta e circunferência. Para isso,
optamos em adotar a engenharia didática como metodologia de pesquisa. Nesse
sentido, fizemos análises prévias do ensino habitual, baseados em uma revisão de
estudos dos centros de formação, em nível nacional, um breve histórico da Geometria
Analítica, uma consulta com discentes e docentes paraenses sobre o ensino e
aprendizagem, para elaboração e experimentação de nossa sequência didática.
Em relação as informações obtidas nas análises prévias, podemos dizer que
os estudos levantados, no que se trata o ensino da Geometria Analítica, mostram que
os softwares educacionais, tais como Geogebra, Grafeq, Kig e Cabri-geometre são
recursos bem recorrentes nas pesquisas, visto que a maioria dos estudos os utilizam
como suportes mediadores de aprendizagem. No caso específico desse estudo, não
foi possível o uso de recursos similares, pois a escola locus dessa pesquisa está com
seu laboratório de informática desativado.
As opiniões dos discentes e docentes consultados apontaram para a
necessidade de construir atividades valorizando os conhecimentos de base ao estudo
da Geometria Analítica plana, tais como, coordenadas de pontos, distância entre dois
pontos e equação da reta, visto que os testes, assim como as declarações fornecidas
pelos alunos, revelam possíveis deficiências de compreensão desses conceitos. As
consultas também indicaram que o experimento didático é um procedimento
metodológico pouco explorado em sala de aula por conta de carga-horária curta e
desconhecimento de atividades que possam trabalhar os conteúdos de Geometria
Analítica, o que traz a necessidade de elaborar e apresentar atividades que possam
ser trabalhadas, respeitando o tempo e os obstáculos que os professores apontam
durante suas avaliações relacionadas a aprendizagem de seus alunos.
Na experimentação, detectamos deficiências em relação a aprendizagem dos
conjuntos dos números inteiros, quando tratava-se do processo aditivo desse
conjunto, o que se tornou, inicialmente, um obstáculo de aprendizagem ao
desenvolvimento de algumas atividades, principalmente as relacionadas ao
272
alinhamento de três pontos e equação da reta. No entanto, isso não implica na
impossibilidade de realização das mesmas, pelo contrário, essa sequência
proporcionou a oportunidade à percepção mais clara das dificuldades dos alunos, no
momento de interação conosco e com os colegas de turma, para fazer com que os
alunos superem esses obstáculos.
No que se refere ao tempo de realização dessa sequência didática,
observamos que esse tempo é proporcional às experimentações que tem o auxílio da
tecnologia, o que destacamos como ponto positivo, já que, em algumas situações, por
conta da ausência de laboratórios de informática em funcionamento, as sequências
didáticas que exigem tais recursos específicos ficam comprometidas, e no caso dessa
sequência didática, para execução dela, foram necessários materiais de baixo custo
e bem acessíveis, tais como papel, caneta e régua.
A sequência didática analisada se revelou possível e válida, uma vez que os
alunos, por meio da sua realização, testaram e experimentaram as expressões e
propriedades da Geometria Analítica que habitualmente são apenas anunciadas.
De modo geral, essa sequência didática, mediante alguns ajustes relacionados
a equação de reta, pode se transformar em um produto metodológico, aos
professores, muito relevante ao ensino da Geometria Analítica, visto que os resultados
dessa pesquisa mostraram um avanço no que concerne o desempenho dos alunos,
em relação ao desenvolvimento das atividades aplicadas e aos testes que
aconteceram durante esse processo.
273
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VALENTE, Wagner R. (Org.). História da Matemática no Brasil: problemáticas de pesquisa, fontes, referências teórico-metodológicas e histórias elaboradas. São Paulo: editora livraria da Física, 2014. VARELLA, Marcia. Prova e demonstrações na Geometria Analítica: uma análise das organizações didática e Matemática em materiais didáticos. Dissertação do mestrado em educação Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. São Paulo/SP, 2010. VOSGERAU, Dilmiere S.; ROMANOWSKI, Joana P. Estudos de revisão: implicações conceituais e metodológicas. Rev. Diálogo Educ., vol. 14, n. 41., p. 165-189, jan/abr. Curitiba, 2014. Wikipédia. Disponível em: <Wikipédia/wiki/xadrez> Acesso em 07 de agosto de 2015.
278
APÊNDICE A–Questionário para Discentes
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO – MESTRADO
Prezado (a) aluno (a), Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-
aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que a sua identificação será mantida em sigilo.
Muito obrigada!
1. Idade: ____ anos. 2- Município da escola: _______________ Data: ____/____/______
3. Sexo: () masculino () feminino 4. Quem é o seu responsável? () Pai () Mãe () Avô () Avó () Tia () Tio () Irmão () Irmã () não tenho () outro. Quem? ________________________________ 5. Até que série estudou o seu responsável? ________________________________________________________ 6. Seu responsável trabalha? ( ) Sim ( ) Não 7. Você estudou o Ensino Fundamental em que tipo de escola: ( ) Estadual ( ) Municipal ( ) Particular ( ) Outra. Qual?___________ 8. Você trabalha de forma remunerada? ( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes 9. Você faz algum curso extracurricular? ( ) Não faço ( ) Informática ( ) Língua estrangeira ( ) Outro, qual?
___________ 10. Você gosta de Matemática? ( ) Não gosto ( ) Gosto pouco ( ) gosto muito 11. Você está repetindo esta série? ( ) Não ( ) Sim 12. Você tem dificuldade para aprender Matemática? ( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muito
13. Você se distrai nas aulas de Matemática? Por quê? __________________________________________________________________________________________
14. Você costuma estudar Matemática fora da escola? ( ) Só no período de prova ( ) Só na véspera da prova. ( ) Só nos fins de semana. ( ) Alguns dias da semana. ( )Todo dia. ( ) Só estudo em sala de aula. 15. Quem lhe ajuda nas tarefas de casa de Matemática? ( ) Professor particular ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Amigo(a) ( ) Ninguém ( ) Outros. Quem? _______________________________ 16. Quando você estudou Geometria Analítica, a maioria das aulas iniciava:
( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios. ( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto. ( ) com um experimento para chegar ao conceito. ( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo. ( ) com a História do assunto. ( ) Ainda não estudei esse assunto em sala.
17. Para exercitar os conteúdos de Geometria Analítica seu professor costuma: ( ) apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos. ( ) apresentar jogos envolvendo o assunto. ( ) solicitar que os alunos resolvessem questões do livro didático. ( ) não propor questões de fixação. ( ) solicitar que os alunos procurassem questões sobre o assunto para resolver. ( ) o professor ainda não ministrou esse conteúdo.
18 – Acerca dos conhecimentos de Geometria Analítica, preencha o quadro abaixo:
279
ITENS REFERENTES AOS CONTEÚDOS DE GEOMETRIA
ANALÍTICA
VOCÊ
LEMBRA DE
TER
ESTUDADO?
GRAU DE DIFICULDADE PARA APRENDER
Sim Não Muito
Fácil
Fácil Regular
Difícil Muito
Difícil
1) Identificar as coordenadas de um ponto marcado no 1º quadrante.
2) Identificar as coordenadas de um ponto marcado no 2º quadrante.
3) Identificar as coordenadas de um ponto marcado no 3º quadrante.
4) Identificar as coordenadas de um ponto marcado no 4º quadrante.
5) Identificar as coordenadas de um ponto marcado sobre o eixo das abcissas.
6) Identificar as coordenadas de um ponto marcado sobre o eixo das ordenadas.
7) Marcar o ponto no 1º quadrante.
8) Marcar o ponto no 2º quadrante.
9) Marcar o ponto no 3º quadrante.
10) Marcar o ponto no 4º quadrante.
11) Marcar o ponto sobre o eixo X.
12) Marcar o ponto sobre o eixo Y.
13) Encontrar a distância entre dois pontos.
14) Encontrar as coordenadas do ponto médio de um segmento de reta.
15) Determinar o ponto de intersecção de duas retas.
16) Verificar se um ponto pertence a uma reta.
17) Verificar quando os pontos estão alinhados.
18) Determinar a declividade de uma reta.
19) Escrever a equação da reta na sua forma geral.
20) Escrever a equação da reta na sua forma segmentária.
21) Escrever a equação da reta na sua forma paramétrica.
22) Representar graficamente uma equação da reta.
23) Determinar a equação da reta a partir de 2 pontos.
24) Determinar a equação da reta a partir de 1 ponto e sua declividade.
25) Reconhecer retas paralelas.
26) Reconhecer retas concorrentes.
27) Reconhecer retas são perpendiculares.
28) Determinar a equação da reta paralela a outra conhecendo um ponto da mesma.
29) Determinar a equação da reta perpendicular a outra reta conhecendo um ponto da primeira reta.
30) Encontrar a área de um triângulo a partir de 3 pontos.
31) Reconhecer uma equação da circunferência em sua forma reduzida.
32) Reconhecer uma equação da circunferência em sua forma geral.
33) Determinar o centro a partir da equação reduzida da circunferência.
34) Determinar o centro a partir da equação geral da circunferência.
280
35) Determinar o raio a partir da equação reduzida da circunferência.
36) Determinar o raio a partir da equação geral da circunferência.
37) Verificar se um ponto pertence ou não a uma circunferência.
38) Representar graficamente uma circunferência.
39) Reconhecer quando uma reta é secante à circunferência.
40) Reconhecer quando uma reta é tangente à circunferência.
41) Reconhecer quando uma reta é exterior à circunferência.
42) Determinar a equação da circunferência a partir da tangência exterior a outra circunferência.
43) Determinar a equação da circunferência a partir da tangência interna a outra circunferência.
44) Determinar a área da circunferência a partir da equação dela.
45) Resolver situações-problema no qual são fornecidos os pontos e solicitada a equação da reta.
46) Resolver situações-problema no qual são fornecidos os pontos e solicitada a área de um triângulo.
47) Resolver situações-problema no qual é necessário a interpretação gráfica da equação da reta.
48) Resolver situações-problema no qual é fornecida a equação da circunferência e é solicitado o raio dela.
49) Resolver situações-problema no qual são fornecidos o centro e o raio da circunferência e solicitado a equação da mesma.
50) Resolver situações-problema no qual é fornecido a equação da circunferência e é solicitado área do círculo.
Por favor, resolva as questões abaixo:
1) Encontre o ponto médio do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , em que A(4, 6) e B(8, 10).
2) Calcule a distância entre A(6, 7) e B(9, 11).
3) De acordo com a figura abaixo, a área da região delimitada pelos eixos coordenados e pela reta r vale 4 unidades de área. Se o ponto A = (-1, 2) pertence à reta r, qual é a equação da reta r ?
4) A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a Catedral, a
Prefeitura e a Câmara de Vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da Catedral e da Prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é fornecida pelos pontos equidistantes da Prefeitura e da Câmara de Vereadores.
281
Sabendo que a distância real entre a Catedral e a Prefeitura é de 500m, qual é a distância real, em linha reta,
entre a Catedral e a câmara de Vereadores?
5) Determine uma equação da circunferência cujo centro é C (2, 5) e o raio é igual a 3.
6) Qual é a área da figura colorida no diagrama abaixo?
7) O gráfico abaixo representa, dentro do sistema de eixos cartesianos ortogonais, a trajetória de um táxi, de um bairro A para um bairro B, passando pelos bairros X e Y nessa ordem.
Se os pontos A, X, Y e B pertencem a reta de equação 3x – 4y + 120=0 e as distâncias entre os pontos A e X; X e Y; Y e B são iguais entre si, então, nessas condições, quais são as coordenadas dos pontos A e B ?
8) Um professor de Matemática preocupado com
o desmatamento na Amazônia resolveu
desenvolver uma atividade com seus alunos,
na qual abordava o desmatamento de uma
determinada área. O objetivo da atividade
estava relacionado à sensibilização para a
necessária preservação da floresta
amazônica. Na atividade foram apresentados
os gráficos abaixo, com a figura 1
representando a área sem o desmatamento e
a figura 2 representando a área com o
desmatamento existente. Se a área
desmatada pode ser representada pela equação da circunferência x2 + y2 – 8x – 10y+ 40 = 0, então qual é o
valor da área desmatada?
Dados: 𝜋 = 3,14
Ac = 𝜋. 𝑟2
282
9) A figura a seguir é a
representação de uma região por
meio de curvas de nível, que são
curvas fechadas representando a
altitude da região, em relação ao
nível do mar. As coordenadas
estão expressas em graus de
acordo com a longitude, no eixo
horizontal, e a latitude, no eixo
vertical. A escala em tons de cinza
desenhada abaixo está associada
a altitude da região. Um pequeno
helicóptero usado para
reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto X = (20, 60). O helicóptero segue o percurso: 0,8° L
→ 0,5° N → 0,2° O → 0,1° S → 0,4° N → 0,3° L.
De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cujo altitude é:
a) Menor ou igual a 200 m.
b) Maior que 200 m e menor ou igual a 400 m.
c) Maior que 400 m e menor ou igual a 600 m.
d) Maior que 600 m ou igual a 800 m.
e) Maior que 800 m.
10) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III,
IV e V, como se segue:
VI — É a circunferência de equação x2 + y2 = 9;
VII — É a parábola de equação y = −x2− 1, com x variando de −1 a 1;
VIII — É o quadrado formado pelos vértices (−2, 1), (−1, 1), (−1, 2) e (−2, 2);
IX — É o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2);
X — É o ponto (0, 0).
A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura.
Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?
3
-3 3
-3
9
-9 9
-9
9
-9 9
-9
3
-3 3
-3
283
APÊNDICE B–Questionário para os Docentes
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIASSOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO STRICTO SENSU EM EDUCAÇÃO - MESTRADO
Caro(a) Professor (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que pretende contribuir na
superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem de Matemática, encontrados por professores e alunos durante as atividades em sala de aula referente ao ensino de Geometria Analítica. Nesse sentido, sua
colaboração respondendo a este questionário é de grande importância para o êxito do estudo em questão e garantimos que a sua identificação será mantida em sigilo.
Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho!
1 - Sexo: Masculino ( ) Feminino ( ) 2 – Município:________________ Data:___/_____/_____ 3 - Faixa Etária: ( ) Menos de 21 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31- 35 anos ( ) 36-40 anos ( ) 41-45 anos ( ) 46-50 anos ( ) 51-55 anos ( ) 56 –60 anos ( ) 61-65 anos ( ) mais de 65 anos 4 - Escolaridade (informe sua graduação e todas as suas pós-graduações)
Ensino Superior.____________________________Instituição:_________________ Ano de Conclusão_______ Especialização. ____________________________Instituição:________________ Ano de Conclusão_______ Mestrado._________________________________Instituição:________________ Ano de Conclusão_______ Doutorado.________________________________Instituição:________________ Ano de Conclusão_______ 5 - Tempo de serviço como professor de Matemática? ( ) Menos de um ano ( ) 1-5 anos ( ) 6-10 anos ( ) 11-15 anos ( ) 16-20 anos ( ) 21-25 anos ( ) 26-30 anos ( ) 31-35 anos ( ) Mais de 35 anos 6 - Tipo de escola que trabalha atualmente: ( ) Pública Estadual. Qual?____________________________________________________________________ ( ) Pública Municipal. Qual?___________________________________________________________________ ( ) Publica Federal. Qual?____________________________________________________________________ ( ) Privada. Qual?____________________________________________________________________________ ( ) Outra. Qual?____________________________________________________________________________ 7 – Você insere o conteúdo de Geometria Analítica em seu plano de curso anual? ( )sim ( )não 8 – Se você respondeu sim para a questão 7, em que série (ensino médio) você ensina o conteúdo de Geometria
Analítica? ( ) 1º ano ( ) 2º ano ( ) 3º ano 9 - Durante sua formação de professor de Matemática, você fez alguma disciplina sobre o ensino de Geometria Analítica? ( ) Não ( ) Sim, Qual?________________________________________________________
10 - Como professor de Matemática, você já participou de algum evento (por exemplo, congresso, seminário ou palestra) ou curso sobre o ensino de Geometria Analítica? ( ) Não ( ) Sim, qual?
_________________________________ 11 - Você ensina Geometria Analítica do modo como aprendeu na sua formação básica? ( ) Não ( ) Sim
12 – Na época que você estudou Geometria Analítica suas aulas iniciavam: ( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios. ( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto. ( ) com um experimento para chegar ao conceito. ( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo. ( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos. 13 - Quando você ensina Geometria Analítica, a maioria das aulas começa:
( ) pela definição seguida de exemplos e exercícios. ( ) com uma situação problema para depois introduzir o assunto. ( ) com um experimento para chegar ao conceito.
284
( ) com um modelo para situação e em seguida analisando o modelo. ( ) com jogos para depois sistematizar os conceitos. 14 - Para exercitar os conteúdos de Geometria Analítica você costuma:
( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos. ( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto. ( ) Solicitar que os alunos resolvam os exercícios do livro didático. ( ) Não propõe questões de fixação. ( ) Solicita que os alunos procurem questões sobre o assunto para resolver. 15 - Você já realizou o ensino Geometria Analítica por meio de experimentos didáticos? ( ) Não ( ) Sim, qual? _________________________________________________________________________________________ 16 - Se você respondeu não para a questão 15, qual seria o motivo? ( ) A carga horária é muito curta para realizar experimento didático. ( ) Desconheço experimentos didáticos para trabalhar o conteúdo de Geometria Analítica. ( ) Prefiro ministrar o conteúdo de Geometria Analítica de maneira expositiva. ( ) Outro motivo__________________________________________________________________________ 17 – Quantas aulas você gasta aproximadamente para ministrar o conteúdo de Geometria Analítica?________________ 18 – Você utiliza o livro didático adotado para ensinar os conteúdos de Geometria Analítica? ( ) sim ( ) não 19 – Sobre sua experiência docente ensinando os conteúdos referentes a Geometria Analítica, preencha abaixo:
ITENS REFERENTES AOS CONTEÚDOS DA GEOMETRIA
ANALÍTICA
VOCÊ
COSTUMA
MINISTRAR
?
GRAU DE DIFICULDADE PARA OS ALUNOS
APRENDEREM
Si
m
Não Muito
Fácil
Fáci
l
Regular Difícil Muito
Difícil
1) Identificar as coordenadas de um ponto marcado
no 1º quadrante.
2) Identificar as coordenadas de um ponto marcado
no 2º quadrante.
3) Identificar as coordenadas de um ponto marcado
no 3º quadrante.
4) Identificar as coordenadas de um ponto marcado
no 4º quadrante.
5) Identificar as coordenadas de um ponto marcado
sobre o eixo das abcissas.
6) Identificar as coordenadas de um ponto marcado
sobre o eixo das ordenadas.
7) Marcar o ponto no 1º quadrante.
8) Marcar o ponto no 2º quadrante.
9) Marcar o ponto no 3º quadrante.
10) Marcar o ponto no 4º quadrante.
11) Marcar o ponto sobre o eixo X.
12) Marcar o ponto sobre o eixo Y.
13) Encontrar a distância entre dois pontos.
14) Encontrar as coordenadas do ponto médio de um
segmento de reta.
15) Determinar o ponto de intersecção de duas retas.
16) Verificar se um ponto pertence a uma reta.
17) Verificar quando os pontos estão alinhados.
18) Determinar a declividade de uma reta.
19) Escrever a equação da reta na sua forma geral.
285
20) Escrever a equação da reta na sua forma
segmentária.
21) Escrever a equação da reta na sua forma
paramétrica.
22) Representar graficamente uma equação da reta.
23) Determinar a equação da reta a partir de 2 pontos.
24) Determinar a equação da reta a partir de 1 ponto
e sua declividade.
25) Reconhecer retas paralelas.
26) Reconhecer retas concorrentes.
27) Reconhecer retas são perpendiculares.
28) Determinar a equação da reta paralela a outra
conhecendo um ponto da mesma.
29) Determinar a equação da reta perpendicular a
outra reta conhecendo um ponto da primeira reta.
30) Encontrar a área de um triângulo a partir de 3
pontos.
31) Reconhecer uma equação da circunferência em
sua forma reduzida.
32) Reconhecer uma equação da circunferência em
sua forma geral.
33) Determinar o centro a partir da equação reduzida
da circunferência.
34) Determinar o centro a partir da equação geral da
circunferência.
35) Determinar o raio a partir da equação reduzida da
circunferência.
36) Determinar o raio a partir da equação geral da
circunferência.
37) Verificar se um ponto pertence ou não a uma
circunferência.
38) Representar graficamente uma circunferência.
39) Reconhecer quando uma reta é secante à
circunferência.
40) Reconhecer quando uma reta é tangente à
circunferência.
41) Reconhecer quando uma reta é exterior à
circunferência.
42) Determinar a equação da circunferência a partir
da tangência exterior a outra circunferência.
43) Determinar a equação da circunferência a partir
da tangência interna a outra circunferência.
44) Determinar a área da circunferência a partir da
equação dela.
45) Resolver situações-problema no qual são
fornecidos os pontos e solicitada a equação da reta.
46) Resolver situações-problema no qual são
fornecidos os pontos e solicitada a área de um
triângulo.
47) Resolver situações-problema no qual é
necessário a interpretação gráfica da equação da
reta.
48) Resolver situações-problema no qual é fornecida
a equação da circunferência e é solicitado o raio dela.
286
49) Resolver situações-problema no qual são
fornecidos o centro e o raio da circunferência e
solicitado a equação da mesma.
50) Resolver situações-problema no qual é fornecido
a equação da circunferência e é solicitado área do
círculo.
Por favor, a seguir solicitamos que indique o grau de dificuldade, relacionado a resolução, em cada questão abaixo:
1) Encontre o ponto médio do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , em que A(4, 6) e B(8, 10).
2) Calcule a distância entre A(6, 7) e B(9, 11).
3) De acordo com a figura abaixo, a área da região delimitada pelos eixos coordenados e pela reta r vale 4
unidades de área. Se o ponto A = (-1, 2) pertence à reta r, qual é a equação da reta r?
4) A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a Catedral, a Prefeitura e a Câmara de Vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da Catedral e da Prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é fornecida pelos pontos equidistantes da Prefeitura e da Câmara de Vereadores.
Sabendo que a distância real entre a Catedral e a Prefeitura é de 500m, qual é a distância real, em linha
reta, entre a Catedral e a Câmara de Vereadores?
5) Determine uma equação da circunferência cujo centro é C(2, 5) e o raio é igual a 3.
6) Qual é a área da figura colorida no diagrama abaixo?
7) O gráfico abaixo representa, dentro do sistema de eixos cartesianos ortogonais, a trajetória de um táxi, de um bairro A para um bairro B, passando pelos bairros X e Y nessa ordem.
Nível de dificuldade para resolução aos alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular
( ) Difícil ( ) Muito Difícil
Nível de dificuldade para resolução aos alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular
( ) Difícil ( ) Muito Difícil
Nível de dificuldade para resolução aos alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular
( ) Difícil ( ) Muito Difícil
Nível de dificuldade para resolução aos alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular
( ) Difícil ( ) Muito Difícil
Nível de dificuldade para resolução aos alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular
( ) Difícil ( ) Muito Difícil
Nível de dificuldade para resolução aos alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular
( ) Difícil ( ) Muito Difícil
Nível de dificuldade para resolução aos alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular
( ) Difícil ( ) Muito Difícil
287
Se os pontos A, X, Y e B pertencem à reta de equação 3x – 4y + 120=0 e as distâncias entre os pontos A e X; X e Y; Y e B são iguais entre si, então, nessas condições, quais são as coordenadas dos pontos A e B?
8) Um professor de Matemática preocupado com o desmatamento na Amazônia resolveu desenvolver uma
atividade com seus alunos, na qual abordava o desmatamento de
uma determinada área. O objetivo da atividade estava relacionado
à sensibilização para a necessária preservação da floresta
amazônica. Na atividade foram apresentados os gráficos abaixo,
com a figura 1 representando a área sem o desmatamento e a
figura 2 representando a área com o desmatamento existente. Se
a área desmatada pode ser representada pela equação da
circunferência x2 + y2 – 8x – 10y+ 40 = 0, então qual é o valor da
área desmatada?
Dados: 𝜋 = 3,14
Ac = 𝜋. 𝑟2 9) A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível, que são curvas fechadas
representando a altitude da região, em relação ao nível do mar.
As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a
longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala
em tons de cinza desenhada abaixo está associada à altitude da
região. Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento
sobrevoa a região a partir do ponto X = (20, 60). O helicóptero
segue o percurso: 0,8° L → 0,5° N → 0,2° O → 0,1° S → 0,4° N
→ 0,3° L. De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em
um local cujo altitude é:
a) Menor ou igual a 200 m.
b) Maior que 200 m e menor ou igual a 400 m.
c) Maior que 400 m e menor ou igual a 600 m.
d) Maior que 600 m ou igual a 800 m.
e) Maior que 800 m.
10) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III,
IV e V, como se segue:
XI — é a circunferência de equação x2 + y2 = 9;
XII — é a parábola de equação y = −x2− 1, com x variando de −1 a 1;
XIII — é o quadrado formado pelos vértices (−2, 1), (−1, 1), (−1, 2) e (−2, 2);
XIV — é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2);
XV — é o ponto (0, 0).
A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?
9
-9 9
-9
9
-9 9
-9
3
-3
3 -3
Nível de dificuldade para resolução aos alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular ( ) Difícil ( ) Muito Difícil
Nível de dificuldade para resolução aos alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular
( ) Difícil ( ) Muito Difícil
a) b) c)
288
3
-3 3 -3
d)
e)
Nível de dificuldade para resolução aos alunos: ( ) Muito Fácil ( ) Fácil ( ) Regular
( ) Difícil ( ) Muito Difícil
289
Apêndice C – Pré- e Pós-teste
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO – MESTRADO
Prezado(a) aluno (a), Neste momento estamos realizando um estudo que busca a melhoria do processo de ensino-
aprendizagem da Matemática, para tanto necessitamos de sua colaboração respondendo as questões abaixo para o êxito deste trabalho. Desde já agradecemos sua colaboração e garantimos que a sua identificação será mantida em sigilo.
Muito obrigada!
Nome do(a) aluno(a):________________________________________ Identificação:_______ 1. Idade: ____ anos. 2- Município da escola:_______________ Data:____/____/______
3. Sexo: ( ) Masculino ( ) Feminino 4. Quem é o seu responsável? ( )Pai ( )Mãe ( )Avô ( )Avó ( )Tia ( )Tio ( )Irmão ( )Irmã ( ) Não tenho ( )Outro. Quem?________________________________
5. Até que série estudou o seu responsável? __________________________________________ 6. Seu responsável trabalha? ( ) Sim ( ) Não 7. Você estudou o Ensino Fundamental em que tipo de escola: ( ) Estadual ( ) Municipal ( ) Particular ( ) Outra. Qual?___________ 8. Você trabalha de forma remunerada? ( ) Sim ( ) Não ( ) Às vezes 9. Você faz algum curso extracurricular? ( ) Não faço ( ) Informática ( ) Língua estrangeira ( ) Outro,
qual?___________ 10. Você gosta de Matemática? ( ) Não gosto ( ) Gosto pouco ( ) gosto muito 11. Você está repetindo esta série? ( ) Não ( ) Sim 12. Você tem dificuldade para aprender Matemática? ( ) Não ( ) Um pouco ( ) Muito 13. Você se distrai nas aulas de Matemática? Por quê? _________________________________
14. Você costuma estudar Matemática fora da escola? ( ) Só no período de prova ( ) Só na véspera da prova ( ) Só nos fins de semana ( ) Alguns dias da semana. ( )Todo dia ( ) Só estudo em sala de aula 15. Quem lhe ajuda nas tarefas de casa de Matemática? ( ) Professor particular ( ) Pai ( ) Mãe ( ) Irmão ( ) Amigo(a) ( ) Ninguém ( ) Outros. Quem? _____________
290
Por favor, resolva as questões abaixo:
1) Encontre o ponto médio do segmento 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , em que A(4, 6) e B(8, 10).
2) Calcule a distância entre A(6, 7) e B(9, 11).
3) De acordo com a figura abaixo, a área da região delimitada pelos eixos coordenados e pela
reta r vale 4 unidades de área. Se o ponto A = (-1, 2) pertence à reta r, qual é a equação da
reta r ?
4) A figura abaixo apresenta parte do mapa de uma cidade, no qual estão identificadas a catedral,
a prefeitura e a câmara de vereadores. Observe que o quadriculado não representa os quarteirões da cidade, servindo apenas para a localização dos pontos e retas no plano cartesiano. Nessa cidade, a Avenida Brasil é formada pelos pontos equidistantes da catedral e da prefeitura, enquanto a Avenida Juscelino Kubitschek (não mostrada no mapa) é fornecida pelos pontos equidistantes da prefeitura e da câmara de vereadores.
Sabendo que a distância real entre a catedral e a prefeitura é de 500m, qual é a distância real, em linha
reta, entre a catedral e a câmara de vereadores?
5) Determine uma equação da circunferência cujo centro é C (2, 5) e o raio é igual a 3.
6) Qual é a área da figura colorida no diagrama abaixo?
291
7) O gráfico abaixo representa, dentro do sistema de eixos cartesianos ortogonais, a trajetória de um táxi, de um bairro A para um bairro B, passando pelos bairros X e Y nessa ordem.
Se os pontos A, X, Y e B pertencem à reta de equação 3x – 4y + 120=0 e as distâncias entre os pontos A e X; X e Y; Y e B são iguais entre si, então, nessas condições, quais são as coordenadas dos pontos A e B ?
8) Um professor de Matemática preocupado com o desmatamento na Amazônia resolveu desenvolver
uma atividade com seus alunos, na qual abordava o
desmatamento de uma determinada área. O objetivo
da atividade estava relacionado à sensibilização para
a necessária preservação da floresta amazônica. Na
atividade foram apresentados os gráficos abaixo,
com a figura 1 representando a área sem o
desmatamento e a figura 2 representando a área com
o desmatamento existente. Se a área desmatada
pode ser representada pela equação da
circunferência x2 + y2 – 8x – 10y+ 40 = 0, então qual
é o valor da área desmatada?
Dados: 𝜋 = 3,14
Ac = 𝜋. 𝑟2
9) A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível, que são curvas
fechadas representando a
altitude da região, em relação ao
nível do mar. As coordenadas
estão expressas em graus de
acordo com a longitude, no eixo
horizontal, e a latitude, no eixo
vertical. A escala em tons de
cinza desenhada abaixo está
associada à altitude da região.
Um pequeno helicóptero usado
para reconhecimento sobrevoa
a região a partir do ponto X =
(20, 60).
O helicóptero segue o percurso: 0,8° L → 0,5° N → 0,2° O → 0,1° S → 0,4° N → 0,3° L.
De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cujo altitude é:
f) Menor ou igual a 200 m.
g) Maior que 200 m e menor ou igual a 400 m.
h) Maior que 400 m e menor ou igual a 600 m.
i) Maior que 600 m ou igual a 800 m.
j) Maior que 800 m.
292
10) Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:
XVI — é a circunferência de equação x2 + y2 = 9;
XVII — é a parábola de equação y = − x2 − 1, com x variando de −1 a 1;
XVIII — é o quadrado formado pelos vértices (−2, 1), (−1, 1), (−1, 2) e (−2, 2);
XIX — é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2);
XX — é o ponto (0, 0).
A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura.
Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?
a) b)
c)
d) e)
9
-9 9
-9
9
-9 9
-9
3
-3 3
-3
3
-3 3
-3
293
APÊNDICE D - PLANO CARTESIANO
294
APÊNDICE E – QUADRO DE BARICENTRO Triângulo 1:
Triângulo 2:
Triângulo 3:
Triângulo 4:
295
Triângulo 5:
Triângulo 6:
Triângulo 7:
Triângulo 8:
296
Triângulo 9:
Triângulo 10:
297
APÊNDICE F - QUADRO DE RETAS I
RETA a:
RETA b:
RETA c:
RETA d:
298
RETA e:
RETA f:
RETA g:
299
RETA h:
RETA i:
RETA j:
300
301
APÊNDICE G - QUADRO DE PARES DE RETAS II
1º par:
2º par:
3º par:
4º par:
5º par:
302
6º par:
7º par:
8º par:
9º par:
303
10° par:
304
APÊNDICE H - QUADRO DE PARES DE RETAS III
1º par:
2º par:
3º par:
4º par:
5º par:
305
6º par:
7º par:
8º par:
9º par:
306
10º par:
307
APÊNDICE I - QUADRO DE CIRCUNFERÊNCIAS
Circunferência 1:
Circunferência 2:
Circunferência 3:
Circunferência 4:
Circunferência 5:
308
Circunferência 6:
Circunferência 7:
Circunferência 8:
Circunferência 9:
309
Circunferência 10:
310
APÊNDICE J – QUADRO DE PONTO E RETA 1º par:
2º par:
3º par:
4º par:
311
5º par:
6º par:
7º par:
312
8º par:
9º par:
313
10º par:
314
Apêndice K – Quadro de triângulos
Quadro de triângulos Triângulo 1:
Triângulo 2:
Triângulo 3:
315
Triângulo 4:
Triângulo 5:
b Triângulo 6:
316
Triângulo 7:
Triângulo 8:
317
Triângulo 9:
Triângulo 10:
318
319
APÊNDICE L – LISTA DE QUESTÕES 1 Título: Lista de Questões sobre localização
Objetivo: Exercitar os conhecimentos acerca de localização, marcação de pontos e leitura de
gráficos.
Material: folha de atividade de fixação 1, lápis ou caneta.
Procedimento:
Resolver as seguintes questões:
1) Situe no mesmo sistema de eixos cartesianos os pontos A (1,3), B (-2,1), C (0, -4), D (4,0), E (-2,
-3), F (2, -1) e G (3, -4).
2) Marque, em um mesmo plano cartesiano, os pontos A (-1, -2), B (-4,5), C (0,4), D (3,0), E (6,7), F
(0, -5) e G (3, -3).
3) Identifique em um plano cartesiano os pontos A (-3,4), B (0, -1), C (-3,0), D (0,5), E (1,1), F (-2, -
5) e G (3,6).
4) O corpo de bombeiros de certa região florestal recebeu um chamado de grupo de pessoas que se
perdeu em uma caminhada na mata. Para o resgate, há um helicóptero, que está posicionado a 8km
ao norte do centro médico local, conforme indica o esquema a seguir. O helicóptero não conseguirá
ir em reta para encontrar o grupo, no entanto seguirá uma rota que indicará o ponto de encontro para
capturar essas pessoas. A rota será 3km ao leste, 4km ao norte, 5km ao leste, 2km ao sul e 6km ao
leste.
a) Qual é a posição do grupo de pessoas, de acordo com o sistema de eixos cartesianos
apresentado?
b) Qual é a coordenada que indica o ponto de encontro do helicóptero com o grupo?
5) Um sistema cartesiano ortogonal é associado à planta de uma cidade plana de modo que o eixo
Ox é orientado de oeste para leste, e eixo Oy é orientado de sul para norte e a unidade adotada em
cada eixo é o quilômetro. Um automóvel que parte do ponto A do terceiro quadrante distante 3 km
do eixo Ox e 5km do eixo Oy percorre o seguinte trajeto: 15km para o leste, 3km para o norte, 3km
320
para o oeste e, finalmente, 2km para o norte, estacionando em um ponto B. Que coordenadas
representa o ponto B?
6) Um pai, na época da páscoa, esconde ovos de chocolate para que seu filho os encontrem. Para
localizá-los, o filho fica em uma posição determinada pelo pai
e segue as orientações dadas para encontrar os ovos. Se o
pai fornecer as seguintes orientações: “Dê 10 passos para o
norte, em seguida, 4 passos para o leste, 15 passos para o
sul e 5 passos para o oeste e encontrará seu desejado ovo
de páscoa”, qual será as coordenadas do ponto onde estarão
os ovos, considerando que o menino estava na posição
(1,1)?
7) Encontre as coordenadas do vértice do trapézio isósceles ABCD a seguir, sabendo que A (3,3),
BC̅̅̅̅ = 9cm, AD̅̅ ̅̅ = 15cm e CD̅̅ ̅̅ = 5cm.
8) Determine as coordenadas dos vértices A, B, C e D do trapézio isósceles abaixo:
9) Determine as coordenadas do vértice de um quadrado ABCD, sabendo que A (2,0), os vértices
AC estão sobre o eixo X e os vértices BD estão sobre o eixo Y.
A
B C
D
321
10) Um fabricante vende a unidade de certo produto por R$150,00. O custo total consiste em uma
taxa fixa de R$10.000,00 somada ao custo de produção de R$50,00 por unidade. Os gráficos abaixo
representam o custo total e a receita do fabricante.
a) Quantas unidades o fabricante precisa vender para atingir o ponto de equilíbrio?
b) Se forem vendidas 90 unidades, o fabricante terá lucro ou prejuízo? Por quê?
c) Qual quantidade mínima para que o fabricante tenha lucro?
11) Em certo clube de tênis, a taxa anual cobrada aos sócios é de R$500,00 e o sócio pode utilizar
a quadra de tênis, pagando R$1,00 por hora. Em outro clube, a taxa é de R$440,00 e cobram R$1,75
por hora de uso da quadra. O tenista fez gráficos que representam os custos que os clubes lhe darão.
a) Se o tenista pretende treinar 4h por dia de segunda a sexta durante o mês e levando em
conta apenas a questão financeira, ou seja, o que for mais barato, qual clube o tenista
escolherá?
322
b) Se esse tenista aumentar a quantidade de horas diárias de treinamento, qual clube ele
optará, considerando somente a questão financeira na escolha?
12) O aluguel de um carro numa agência A é de R$100,00 mais R$25,00 por km rodado. Uma
segunda agência B cobra R$500,00 mais R$5,00 por km rodado. Os gráficos a seguir representam
os custos dos aluguéis das agências A e B.
a) Em que ponto não há diferença de preço entre as agências A e B?
b) Que agência oferece o melhor plano?
Suponha que a pessoa deseja alugar um carro para dirigir 80km, logo qual será a melhor opção de aluguel, considerando apenas o custo?
323
APÊNDICE M – LISTA DE QUESTÕES 2
Título: Lista de Questões 2
Objetivo: Exercitar os conhecimentos acerca de ponto médio, baricentro e
alinhamento de três pontos
Material: folha de atividade de fixação 2, lápis ou caneta.
Procedimentos:
Resolva as questões abaixo:
1) Determine as coordenadas do ponto médio do segmento das seguintes extremidades: a) A (2, 5) e B (1, 1). b) A ( -2, 6) e B (4, -2).
2) No plano cartesiano, os pontos A e B representam duas casas de uma
propriedade rural. Deseja-se perfurar um poço equidistante às casas, de maneira que essa distância seja a menor possível. Quais devem ser as coordenadas do ponto M onde o poço deve ser construído?
3) Para estudar o movimento de um astro que se desloca com velocidade constante em trajetória retilínea, um astrônomo fixou um plano cartesiano, contendo essa trajetória, e adotou nos eixos coordenados uma unidade conveniente para grandes distâncias. Em certo momento, o cientista observou que o astro estava no ponto A(1, 2) e oito minutos depois estava no ponto B(7, 10). a) Qual era a posição do astro, quatro minutos após a passagem pelo ponto A? b) Qual era a posição do astro, dois minuto após a passagem pelo ponto A? 4) Qual é o valor de x para que os pontos (1,3), (-2,4) e (x,0) do plano sejam
colineares?
5) A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada,
no gráfico a seguir, por 6 pontos de uma mesma reta.
324
Quem comprar 20 unidades dessa
mercadoria, na promoção, pagará
por unidade, em reais, o equivalente
a:
a) R$4,50
b) R$5,00
c) R$5,50
d) R$6,00
6) Em um jogo de computador, idealizado na tela por um plano cartesiano, o
herói encontra-se no ponto (-3,2) e precisa salvar a princesa no castelo, representado pelo ponto (2,5), do outro lado de um estreito rio, de trajetória retilínea, representado pelo eixo das ordenadas. O objetivo do jogo é fazer esse caminho o mais rápido possível. Nessas condições, em que ponto do plano ele deverá cruzar o rio a fim de minimizar o tempo de viagem?
7) Determine as coordenadas do baricentro dos segmentos de extremidades: a) A (-4, 1), B (5, 5) e C (5, -3) b) A (3, -1), B (6, -2) e C (3, -6) c) A (5, 10), B ( 3, 2) e C (1, 3) 8) Seja um triângulo ABC cujo baricentro é dado pelo ponto G(5,1). Se A(9,3) e B(1,2), qual será a coordenada do vértice C? 9) Se o triângulo DEF tem como baricentro o ponto B(4,3) e os vértices D(1,1) e E(5,4), qual será a coordenada do vértice F? 10) Considere o triângulo EFG, com vértice E(-2,-1) e F(7,10) e baricentro dado por B(3,4). Qual é a coordenada do vértice G?
325
APÊNDICE N – LISTA DE QUESTÕES 3
Título: Lista de questões 3 Objetivo: Aprimorar os conhecimentos acerca de distância entre dois pontos. Material: folha de atividade, lápis ou caneta. Procedimento: - Resolver as questões dessa folha de exercícios. 1) Calcule a distância entre os pontos:
a) A (1, 9) e B( 2, 8)
b) C(-3,5) e B(-3,12)
c) M (0, 12) e N(9,0)
2) Observe no esquema parte da rota de um ônibus. Entre os pontos de paradas
A e B, deseja-se instalar outros
dois pontos, C e D, tal que a
distância entre os pontos
adjacentes seja a mesma.
a)Determine as coordenadas
dos pontos C e D.
b)Sabendo que cada unidade
do esquema representa 120m,
qual é a distância, em metros, entre os pontos A e B?
3) Observe o esquema abaixo que representa a localização das cidades A, B,
C, D, E e de uma antena de transmissão de sinal de rádio, R. Sabendo que o
raio de transmissão dessa é de 300km e que cada unidade representada no
esquema corresponde a 100km. Considerando √2 = 1,4:
a) Qual cidade recebe o sinal transmitido?
326
b) Qual é a distância do Rádio R até a cidade que está dentro do raio de
transmissão?
4) Ao mapa de uma região plana foi associado um sistema cartesiano de
coordenadas, cuja unidade adotada em cada eixo é o quilômetro, conforme
mostra a figura a seguir. O ponto E representa uma empresa de entregas, que
se comunica com seus motoboys via rádio, cuja alcance é de 23 km.
a) A empresa conseguirá se comunicar com o motoboy, via rádio, quando
ele estiver no ponto P(6, -12)? Por quê?
b) A empresa conseguirá se comunicar com motoboy, via rádio, quando ele
estiver no ponto M(14,16)? Por quê?
5) Nos últimos anos, a televisão tem
passado por uma verdadeira revolução,
em termos de qualidade de imagem,
som e interatividade com o
telespectador. Essa transformação se
deve à conversão do sinal analógico
para o sinal digital. Entretanto, muitas
cidades ainda não contam com essa
tecnologia. Buscando levar esses
benefícios a três cidades, uma emissora
327
de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal
às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas
estão representadas no plano cartesiano. A torre deve estar situada em um local
equidistante das três antenas. Qual é o ponto de coordenadas que corresponde
o local adequado para a construção dessa torre?
6) Um sistema cartesiano ortogonal é associado à planta de uma cidade plana
de modo que o eixo Ox é orientado de oeste para leste, e eixo Oy é orientado
de sul para norte e a unidade adotada em cada eixo é o quilômetro. Um
automóvel que parte do ponto A do terceiro quadrante
distante 3 km do eixo Ox e 5km do eixo Oy percorre o
seguinte trajeto: 15km para o leste, 3km para o norte, 3km
para o oeste e, finalmente, 2km para o norte, estacionando
em um ponto B. Qual é a distância entre os pontos A e B?
7) Prove que o triângulo cujos vértices são A(2,2), B(-4,-6) e C(4, -12) é
retângulo.
8) Prove que o triângulo cujos vértices são A(1,1), B(5,4) e C(-5,9) é retângulo.
9) Prove que o triângulo cujos vértices são A(2,1), B(5,1) e C(5,5) é retângulo.
328
APÊNDICE O – lista de questões 4
Título: Lista de Questões 4
Objetivo: Aprimorar os conhecimentos acerca de equação da reta
Material: folha de atividade de fixação 4, lápis ou caneta.
Procedimentos:
Resolva as questões abaixo:
1) O gráfico abaixo descreve a temperatura y, em grau Celsius, de um aquecedor
de ambiente, em função do tempo x, em minuto desde o instante em que foi ligado
(instante zero), quando sua temperatura era de 32°C, até o instante em que atinge
sua temperatura máxima, que é de 50°C.
Determine o coeficiente angular (declividade da reta) e a equação da reta que
representa essa situação.
2) Quando um tanque continha 10 litros de água, foi aberta uma torneira com a
vazão constante. Vinte e quatro segundos depois o tanque havia atingido sua
capacidade total, que é de 40 litros, conforme o gráfico abaixo.
a) Qual é a equação da reta que determina o volume de água, em l, em
função do tempo, em s?
10
40
24 Tempo (s)
Volume (L)
0
329
b) Quantos litros de água continha o tanque 8 segundos depois que a torneira
foi aberta?
3) O gráfico abaixo mostra como varia a pressão da água do mar em função da
profundidade.
Baseado no gráfico, responda:
a) Qual a expressão que representa a relação de x(profundidade em metros) e
y (pressão em atm)?
b) Quando a pressão da água do mar estiver em 12 atm, qual será a
profundidade?
4) Certo móvel desloca-se em velocidade constante, tendo a relação entre a sua
posção (y) e o tempo (x) representada por uma reta r. Sabendo que nos instantes
2s e 5s o móvel encontra-se, respectivamente, nas posições 24m e 60m,
responda:
a) Qual é a equação da reta r?
b) O ponto A (9, 110) pertence a r?
c) No instante 8s, qual era a posição do móvel?
d) Em que instante o móvel ocupava a posição 156m?
5) O instituto de Pesquisa da Marinha, em estudo realizado sobre a variação de
temperatura nas águas do Oceano Atlântico em função da profundidade,
apresentou a tabela abaixo:
Profundidade Superfície 100m 300m 500m
Temperatura 27°C 21°C 9°C -3°C
Considerando que a temperatura é linear entre duas quaisquer das medições
consecutivas apresentadas, qual é a equação da reta que representa essa
situação e qual é a temperatura na profundidade de 400m?
330
6) Para um estudo oceanográfico foram feitas duas medições da temperatura duas medições da temperatura das águas de certa região do oceano Atlântico: uma na superfície, onde se obteve a temperatura de 27°C e a outra a 100m de profundidade, onde se obteve a temperatura varie linearmente com a profundidade de 21°C. Admitindo que a temperatura varie linearmente com a profundidade, de 0 a 100m, determine a equação da reta que representa a temperatura em função da profundidade e calcule a temperatura da água a 40m de profundidade. 7) A temperatura de uma região variou linearmente de 12°C a -3°C das 5h às 11h de determinado dia, conforme mostra gráfico ao lado. a) qual é a equação da reta que representa esse gráfico? b) Qual era a temperatura às 6h desse dia?
8) Na troposfera, que é a camada da atmosfera que vai desde o nível do mar
até a altitude de 40 mil pés, a temperatura varia linearmente em função da
altitude. Quando a temperatura, ao nível do mar, é 36°C, pode-se
representar essa variação por meio do gráfico abaixo.
Analisando o gráfico, determine:
36
-44
40.000
Temperatura (°C)
Altitude (em pés) 0
12
5
11
- 3
Temperatura (°C)
Horário (h)
331
a) a equação da reta que representa a temperatura (em °C) em função da
altitude (em pés).
b) A temperatura a 20 mil pés de altitude.
9) Um laboratório estudou uma colônia de bactérias composta de 350 indivíduos vivos. Verificou-se que, após a aplicação de certa droga, o número de indivíduos vivos na colônia diminuía com o tempo, sendo que, após 25 horas, não havia mais nenhum indivíduo vivo na colônia. Supondo que o número y de indivíduos vivos varie linearmente com o tempo x de vida, como mostra o gráfico abaixo: Qual é a equação da reta que representa essa situação? 10) O gráfico abaixo mostra, dentro do sistema de eixos cartesianos ortogonais, a rua onde moram as amigas Ana e Bianca, representada pelos pontos A e B, respectivamente. Nessa rua reside também a mãe de Ana (ponto X) e a mãe de Bianca (ponto Y) de tal modo que a distância entre as casas das mães das amigas é a mesma distância entre as casas das mães e suas respectivas filhas.
X
y
x
Y
B
A
350
25
y(número de indivíduos)
x (em horas) 0
332
Se pontos A, X, Y e B pertencem à reta de equação 13x + 5y – 65=0, então quais são as coordenadas dos pontos que representam a casa de Ana e Bianca?
11) Considere os pontos A,B,C e D pertencentes a reta 3x -4y +24 = 0 tal que a
distância entre os pontos adjacentes são equidistantes, como mostra a figura:
Quais são as coordenadas dos pontos A, B, C e D?
12) Seja uma reta r: 3x -4y +12 = 0 com E,F,G, H pertencentes a r. Se as
distâncias entre os pontos E e F; F e H; G e E são iguais entre si, como ilustra o
eixo cartesiano a seguir:
D
C
B
A
x
y
333
Quais são as coordenadas dos pontos G, E, F e H?
13) Considere a área da região delimitada pelos eixos cartesianos e a reta r é
igual a 16 cm². Se B (-1,6) pertence a r, qual é a equação da reta?
H
F
E
G
x
y
334
14) Seja a área da região limitada pelos eixos cartesianos e a reta s é igual a
6cm². Se A(-2, 4/3) a reta s, qual é a equação da reta s?
15) Seja a área da região limitada pelos eixos cartesianos e a reta s é igual a
8cm². Se A(-3, 1) a reta s, qual é a equação da reta s?
335
APÊNDICE P – lista de questões 5
Título: Lista de questões 5 Objetivo: Exercitar conhecimentos sobre retas paralelas e perpendiculares. Material: folha de atividade, lápis ou caneta. Procedimentos:
1) Em cada item, verifique, se as retas r e s são paralelas, ou perpendiculares:
a) r: x + y – 3 = 0 e s: x – y + 1 = 0 b) r: 2x – y + 2 = 0 e s: x – 1/2y + 1 = 0 c) r: x + y – 2 = 0 e s: x + y -1 = 0 d) r: 5x – 7y = 0 e s: 7x +5y – 1 = 0 e) r: 3x –4y – 2 = 0 e s: 6x -8y +1 = 0 f) r: 5y -3 = 0 e s: 2y +7 = 0
2) Forneça o valor de k para que sejam paralelas as retas de equações: a) Y = 2x -1 e 6x +ky +4 = 0 b) Y = 2x +k e kx –y +1 = 0 c) 4x +10y +13 = 0 e 6x +ky +11 = 0
3) Obtenha, em cada caso, a equação da reta r que passa por P e é
perpendicular à reta s. a) P (2,3), s: 4x – 5y -1 = 0 b) P (3, -2), s: x +2y -3 = 0 c) P (5, -6), s: 2x + 3 = 0
4) Um objeto se desloca em um plano, ao longo de uma reta. Esse objeto
passa pelo ponto (1,2) e percorre a menor distância até interceptar a trajetória retilínea de outro objeto descrita pela equação y + x = 10. Qual é o percurso do primeiro objeto?
5) Uma formiga se desloca num plano, ao longo de uma reta. Passa pelo ponto (1, -2) e percorre a menor distância até interceptar a trajetória retilínea de outra formiga, nesse mesmo plano, descrita pela equação y +2x = 8. Qual é a equação da reta representa a trajetória da primeira formiga?
6) Sabendo-se que P ϵ r: 2x – y = 0 e Q ϵ s: 3x + 4 = y e R(3,10) é o ponto
médio do segmento 𝑃𝑄, então, podemos afirmar que a distância entre os pontos P e Q e a equação da reta que passa por P e é perpendicular a reta t: 3x +y – 16 = 0 valem, respectivamente:
a) √7 𝑒 𝑦 = 𝑥
3+
10
3
b) 2√37 𝑒 𝑦 = 𝑥
3−
10
3
c) 3√2 𝑒 𝑦 = 3𝑥 + 10
d) √37 𝑒 𝑦 = 3𝑥 − 10
e) 2√37 𝑒 𝑦 = 𝑥
3+
10
3
336
7) Demonstre que (r) 𝑥
3+
𝑦
7= 1 e (s)
𝑥
7=
𝑦
3 são retas perpendiculares.
8) Mostre que (r) 2𝑥 − 5(𝑦 + 1) = 0 e (s) 2
5𝑥 − 𝑦 = 5 são retas paralelas.
9) Mostre que (r) 2𝑦 + 𝑥 − 8 = 0 e (s) 𝑦 = 2𝑥 + 3 são perpendiculares.
337
APÊNDICE Q – lista de questões 6
Título: Lista de Questões 6
Objetivo: Aprimorar os conhecimentos acerca da Circunferência
Material: folha de atividade de fixação 6, lápis ou caneta.
Procedimentos:
1) Sabendo-se que a C(-1,3) e 2√2 cm representam, respectivamente, o
centro e o raio de uma circunferência, pode-se afirmar que sua equação
é:
a) x² + y² + 2x -6y = 0
b) 3x² +3y² +2x +7y = 0
c) 2x² + 2y² +2x -6y +2 = 0
d) X² + y² -2x +6y +2 = 0
e) X² +y² +2x -6y +2 = 0
2) Dado um centro C(1,4) e raio igual a 4cm representa qual equação da
circunferência?
3) Com o projeto Sivam será implantado um radar com capacidade de
captar sinais num raio de 250km. Um técnico situou a ação desse radar
no sistema de coordenadas cartesianas, conforme a figura abaixo.
A equação dessa circunferência tangente aos eixos coordenados é:
a) (𝑥 − 500)2 + (𝑦 − 500)2 = 5002
b) (𝑥 − 250)2 + (𝑦 − 250)2 = 5002
c) (𝑥 − 250)2 + (𝑦 − 250)2 = 2502
d) (𝑥 − 500)2 + (𝑦 − 500)2 = 2502
e) 𝑥2 + 𝑦2 = 2502
x
y
338
4) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas são círculos cujas equações são x² +y² -2x -8y +13 = 0 e x² +y² +2x -8y +13 = 0 e se tangenciam no ponto O, como mostra a figura.
O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores. Com a instalação da nova antena, a medida da área de cobertura, em quilômetros quadrados, foi ampliada em:
a) 8 π b) 12 π c) 16 π d) 32 π e) 64
π
5) Uma embarcação destinada à pesca deparou-se com a situação de homem
ao mar (DHM), iniciando rapidamente uma manobra de resgate, cuja
trajetória é dada pela função x² + y² +4x -6y +4 = 0. A razão da área varrida
e o comprimento da manobra é: (Dados: 𝐴 = 𝜋𝑟2 𝑒 𝐶 = 2𝜋𝑟 )
a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3
6) A equação 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 8𝑦 + 11 = 0 representa uma região alagada em uma pequena cidade indicada no eixo cartesiano ortogonal abaixo. Sabendo que cada unidade do eixo cartesiano corresponde 200 metros, qual é a área dessa região alagada? (Dados: 𝐴 = 𝜋𝑟2 𝑒 𝜋 = 3,14)
y
339
APÊNDICE R – lista de questões 7
Título: Lista de Questões 7
Objetivo: Aprimorar os conhecimentos acerca de distância de um ponto a reta.
Material: folha de atividade de fixação 7, lápis ou caneta.
Procedimentos:
Resolver as questões abaixo:
1) Determine a distância do Ponto P(-2,-4) à reta r: -x +y +8 = 0.
2) Calcule a distância do Ponto P(1,3) à reta r: 5x +12y -2 = 0.
3) Determine a distância do Ponto P(1,5) à reta r: x –y -2 = 0.
4) Calcule a distância da origem do eixo cartesiano ortogonal a reta r: x +y
-10 = 0.
5) Calcule a distância da origem do eixo cartesiano ortogonal a reta r: 2x –
y +30 = 0
6) Encontre a distância da reta r: 3x +4y -25=0 a origem do eixo cartesiano
ortogonal que a reta r está inserida.
7) Sejam as retas r: x + y -4 = 0 e s: x + y – 14 = 0 pertencentes ao mesmo
plano cartesiano ortogonal. Determine a distância entre as retas r e s.
8) Calcule a distância entre as retas r: 3x +4y – 11 = 0 e s: 3x +4y +9 = 0.
9) Determine a distância entre as retas de equações 3x – y – 1 = 0 e
6x -2y +15 = 0.
x
340
APÊNDICE S – lista de questões 8
Título: Lista de Questões 8
Objetivo: Aprimorar os conhecimentos acerca da área de triângulo a partir do
vértice
Material: folha de atividade de fixação 8, lápis ou caneta.
Procedimentos:
Resolver as questões abaixo:
1) Determine a área do triângulo de vértices A(2,3), B(5,4), e C(6,-3).
2) Obtenha a área do triângulo dos vértices C(4,1), D(-3,1) e E(-1,-2).
3) Obtenha a área do triângulo cujo vértices são A(0,0), B(3,4) e C(-2,11).
a) A região de alcance de transmissão do sinal de uma operadora de
telefonia celular, em um pequeno município, está representada no mapa
pelo interior do quadrilátero ABCD. A origem do sistema de coordenadas
cartesianas coincide com o local onde está instalada a torre da operadora.
A unidade de medida considerada é o quilômetro. Qual é, em km², a área
da região do município que recebe o sinal da operadora?
5) Em uma região plana, os pontos E,F, G e H são vértices de um terreno quadrilateral onde será construído um aeroporto. Um sistema cartesiano ortogonal, cuja unidade adotada nos eixos é o quilômetro, foi associado ao plano dessa região, conforme mostra a figura:
341
Calcule a área do terreno destinada à construção do aeroporto.
6) Em relação à figura abaixo, podemos afirmar que sua área vale:
a) 3/2 u.a b) 5 u.a c) 7/2 u.a d) 6 u.a
e) 9 u.a
5
6
1
1
Y
X
4
-3 -1
-1
G
F
E
H
342
APÊNDICE T – lista de questões 9
Título: Lista de Questões 9 – Revisão Geral
Objetivo: Revisar os assuntos já estudados acerca de ponto, reta e
circunferência
Material: folha de atividade de fixação 9, lápis ou caneta.
Procedimentos:
1) Dados, num sistema de coordenadas cartesianas, os pontos A (4,1), B (1,1), C(4,5) e a reta r representada pela equação x + y – 2 = 0. Analise em Falso (F) ou verdadeiro (V).
a. O ponto médio do lado BC é o ponto M de coordenadas (5
2, 3).
b. A distância do ponto C à origem do sistema de coordenadas cartesianas é de 6 unidades.
c. A ponto A pertence à reta r. d. A reta s de equação -5x + 5y – 13 = 0 e a reta r são perpendiculares. e. A equação de reta que passa pelos pontos A e B é y – 1 = 0.
2) Dado uma circunferência de centro (2,4) de raio 3, qual é a sua equação?
3) Dado a equação da circunferência x² +y² +4x +2y -4 = 0, indique o valor do
raio nessa circunferência.
4) As casas de um condomínio estão distribuídas ao longo de três grandes avenidas retilíneas: A1, A2 e A3. No plano cartesiano seguinte, que é uma planta do condomínio feita com a escala 1:2000, estão representadas as posições dessas avenidas. A origem desse sistema representa uma rotatória que dá acesso às três avenidas:
343
Dois irmãos, Fábio e Gabriel, possuem casas nesse condomínio, indicadas,
respectivamente, pelos pontos F(4,0) e G, que está a 500 metros uma da outra.
No ponto P(-3,1) está representada a piscina do condomínio. Sabe-se que a
unidade de medida é o centímetro.
a) Determine as coordenadas do ponto G.
b) Determine a distância real entre a casa de Fábio até a piscina. Dados
√2 = 1,4 𝑒 √13 = 3,6.
c) Um grande amigo dos irmãos planeja comprar uma casa, na avenida 3,
no ponto A(4,4), logo qual será a equação que representa a avenida 3?
5) Dado duas retas s: ax + by + c = 0 e r:ax +by + c1 = 0, qual é a distância entre
essas duas retas sabendo que elas são paralelas?
6) Um engenheiro quer construir duas ruas paralelas em um condomínio
fechado. Ele faz um eixo cartesiano ortogonal para inserir as ruas como duas
retas e melhor visualizar a estrutura que pretende construir. Cada unidade
utilizada no eixo cartesiano representa 200 metros.
O engenheiro representa a rua 1 pela reta r e a rua 2 pela reta s. Qual será a
menor distância real, em metros, entre as ruas 1 e 2?
7) Qual é a distância da origem a uma reta r qualquer?
8) Um objeto se desloca em um plano, ao longo de uma reta. Esse objeto passa pelo ponto (2,4) e percorre a menor distância até interceptar a trajetória retilínea
r: 6x +8y - 1 = 0
s: 6x +8y +10 = 0
344
de outro objeto descrita pela equação y + 2x = 5, nesse mesmo plano. Qual é a equação da reta que representa o percurso do primeiro objeto?
9) Qual é a área da figura hachurada abaixo?
345
APÊNDICE U – QUADRO RESUMO DAS ATIVIDADES
Assuntos Exemplos Conclusões
Pontos sobre o eixo X
Ponto sobre o eixo Y
Ponto médio
Dados os pontos A(2,8) e B(4,10), o ponto
médio será: Pm =
Baricentro
Dados o triângulo A(2,4), B(2,10) e C(5, 18), o
ponto Baricentro (G) será: G =
Alinhamento dos
pontos sobre a reta
Os pontos A(2 ,2), B(4,4) e C(0,0) são alinhados?
Distância entre dois
pontos quaisquer
Dados os pontos A (2,4) e B(4,6), a distância
entre os dois pontos é:
dAB =
Declividade da reta
Dados os pontos A (2,4) e B(4,8), a declividade
da reta será:
Equação da reta por
meio da declividade
Dados os pontos A(3,13) e B(4,18), a equação
da reta será:
346
Equação da reta na
forma geral
Dados A(2, 5) e B(3,8), sabendo que esses
pontos são alinhados, sua equação da reta será:
Retas Paralelas Dados as retas r: y = 2x + 5 e s: -2x +y +4 = 0, as
retas são paralelas ou concorrentes?
Retas perpendiculares Dados as retas r: y = 2x + 1 e s: x + 2y +5 = 0, elas
são perpendiculares?
Equação da
Circunferência
Dado o centro da circunferência C(1,2) e raio
igual a 4. Qual é a equação da circunferência?
Distância de um ponto
a reta
Dado um ponto P(1,2) e uma reta r: 3x +4y -5=0,
a distância do ponto P até a reta r será:
Área do triângulo
A área do triângulo dado abaixo é:
347
Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação
Programa de Pós-Graduação em Educação Travessa Djalma Dutra, s/n – Telégrafo
CEP: 66113-200 Belém-PA www.uepa.br/mestradoeducacao