UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA

CENTRO DE CIÊNCIAS NATURAIS E EXATAS

CURSO MATEMÁTICA LICENCIATURA PLENA

Elizandre Medianeira Silva dos Santos

NÚMEROS COMPLEXOS: UM OLHAR POR MEIO DO

SOFTWARE GEOGEBRA

Santa Maria, RS

2016

Elizandre Medianeira Silva dos Santos

NÚMEROS COMPLEXOS: UM OLHAR POR MEIO DO SOFTWARE

GEOGEBRA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso

de Graduação em Matemática Licenciatura Plena do

Centro de Ciências Naturais e Exatas da Universidade

Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito

para obtenção do título de Graduado em Matemática.

Orientador: Prof.ª Alice de Jesus Kozakevicius

Coorientador: Prof.ª Carmen Mathias

Santa Maria, RS

2016

Elizandre Medianeira Silva dos Santos

NÚMEROS COMPLEXOS: UM OLHAR POR MEIO DO SOFTWARE

GEOGEBRA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao

Curso de Graduação em Matemática Licenciatura Plena

do Centro de Ciências Naturais e Exatas da Universidade

Federal de Santa Maria (UFSM, RS), como requisito

para obtenção do título de Graduado em Matemática.

Aprovado em 05 de julho de 2016:

____________________________________________________________

Alice de Jesus Kozakevicius, Dra. (UFSM). (Presidente/Orientador)

____________________________________________________________

Carmen Vieira Mathias. Dra. (UFSM) (Coorientador)

____________________________________________________________

Alex André Schmidt, PhD. (UFSM)

_____________________________________________________________

Luciane Gobbi Tonet, Dra. (UFSM).

Santa Maria, RS

2016

AGRADECIMENTOS

A conclusão deste trabalho se deu, fundamentalmente, pelo carinho, amizade,

compreensão, auxílio e dedicação de pessoas importantíssimas durante minha graduação.

Agradeço a todos que estiveram ao meu lado nesta caminhada me apoiando, criticando,

contribuindo para a conclusão desta etapa e desta pesquisa.

De maneira especial agradeço:

- À minha orientadora Alice de Jesus Kozakevicius, pela oportunidade de ser sua

orientanda, por toda a preocupação, ensinamentos, dedicação e tempo disponibilizado;

- À minha coorientadora Carmen Vieira Mathias, simplesmente por tudo;

- À Universidade Federal de Santa Maria pública e de qualidade pela oportunidade e

aos professores do curso de Matemática pela condução e ensinamentos durante a graduação;

- Às professoras Lidiane Buligon e Luciane Gobbi Tonet, pelos exemplos de ética,

profissionalismo, e sobre tudo de humanidade;

- Ao meu esposo Jair Moura dos Santos que esteve sempre ao meu lado, mesmo nos

momentos mais difíceis. Obrigada pelo amor, dedicação, paciência e compreensão, neles

encontrei a força necessária para não desistir;

- Aos meus pais, Dirlei Pedroso da Silva (In Memorian) e Maria de Lourdes Favero

Ignácio, e meus irmãos Eliane Medianeira Ignácio da Silva Brum e Cezar Rodrigo Ignácio da

Silva pelo amor a mim dedicado e por me fazerem acreditar que sou capaz de buscar meus

sonhos;

- Ao meu sobrinho Gustavo Ignácio Martins por me desafiar a correr atrás dos meus

sonhos.

- Ao Bernardo por fazer do mundo um lugar mais bonito;

- Aos meus colegas pelos momentos inesquecíveis que passamos juntos;

Enfim a todos os amigos e parentes que sempre estiveram ao meu lado, neste e em

todos os outros desafios que enfrentei. Peço – lhes que me perdoem pela ausência, mas eu

precisava me dedicar. Saibam que vocês são essenciais para esta caminhada na tentativa de

ser, a cada dia, um ser humano melhor.

RESUMO

NÚMEROS COMPLEXOS: UM OLHAR POR MEIO DO SOFTWARE

GEOGEBRA

AUTORA: Elizandre Medianeira Silva dos Santos

ORIENTADORA: Alice de Jesus Kozakevicius

COORIENTADORA: Carmen Vieira Mathias

Neste trabalho os números complexos são apresentados com uma abordagem diferenciada em

relação ao que é visto nos livros didáticos, pois são exploradas suas propriedades geométricas

por meio do aplicativo GeoGebra. São apresentadas algumas considerações sobre o ensino

dos números complexos e o uso das tecnologias de informação e comunicação. Além disso,

cinco livros didáticos são examinados e comparados quanto ao enfoque dado na introdução

dos conceitos sobre Números Complexos nos diferentes níveis de ensino, três dos quais

utilizados no Ensino Médio; os outros dois, no Ensino Superior. Trabalhos relacionados com

este tema são apresentados, indicando que a abordagem de números complexos por meio de

recursos computacionais e explorando aspectos interdisciplinares é há muito aceita pela

comunidade acadêmica. Além disso, alguns aspectos históricos sobre o conjunto complexo e

sua construção algébrica são mencionados. Como contribuição principal deste texto, são

propostas cinco atividades didáticas para serem resolvidas com o auxilio do GeoGebra,

explorando recursos visuais disponíveis que possibilitam a observação de propriedades e

particularidades deste conjunto numérico.

Palavras – chave: Números complexos. Operações e transformações. GeoGebra.

Simulações.

ABSTRACT

COMPLEX NUMBERS: A LOOK THROUGH THE SOFTWARE GEOGEBRA

AUTHOR: Elizandre Medianeira Silva dos Santos

GUIDANCE: Alice de Jesus Kozakevicius

COGUIDANCE: Carmen Vieira Mathias

In this work the complex numbers are presented with a different approach to the one given in

textbooks, since their geometric properties are explored by the software GeoGebra. Some

considerations are presented about the teaching of complex numbers and the use of

information and communication technologies. Furthermore, five textbooks from different

education levels are examined and compared with respect to the way they introduce the

concepts. Three of which used in high school, other two in higher education. Related works

are presented, showing that presenting complex numbers through computational resources and

interdisciplinary approach has long been accepted by the academic community. Still, some

historical aspects of the set of complex numbers and their algebraic construction are

mentioned. Five educational activities are proposed to be solved with the help of GeoGebra,

as the main contribution of the current study, exploring the available visualization resources

of the software, allowing the observation of properties and specific characteristics of this

numerical set.

Key - words: Complex Numbers. Operations and transformations. GeoGebra.

Simulations.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................. 8

1.1 OLHAR SOBRE O ENSINO DE NÚMEROS COMPLEXOS. ......................................................... 10

1.2 UM OLHAR SOBRE AS TIC ............................................................................................................... 13

2 CONSIDERAÇÕES A CERCA DOS NÚMEROS COMPLEXOS ........................... 15

2.1 UM BREVE APANHADO SOBRE A HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS .................... 15

2.2 CONSTRUÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS .............................................. 18

2.3 TRABALHOS RELACIONADOS ....................................................................................................... 19

3 OS NÚMEROS COMPLEXOS NOS LIVROS DIDÁTICOS .................................... 22

3.1 LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO ..................................................................................... 22

3.2 LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO SUPERIOR .............................................................................. 25

3.3 COMPARAÇÃO ENTRE AS REFERÊNCIAS DE ENSINO MÉDIO E ENSINO SUPERIOR ... 31

4 PROPOSTA PARA O ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS ........................... 33

4.1 ATIVIDADE 1 – ROTAÇÃO DE UM PONTO POR ÂNGULOS NOTÁVEIS ............................... 33

4.2 ATIVIDADE 2 – ROTAÇÃO DE UM PONTO POR UM ÂNGULO QUALQUER ....................... 36

4.3 ATIVIDADE 3 – ROTAÇÃO DE UM SEGMENTO .......................................................................... 39

4.4 ATIVIDADE 4 – POTÊNCIAS DE NÚMEROS COMPLEXOS ...................................................... 42

4.5 ATIVIDADE 5 – RAÍZES DA UNIDADE ........................................................................................... 44

4.6 REFLEXÃO SOBRE AS ATIVIDADES: ............................................................................................ 46

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................................... 47

8

1 INTRODUÇÃO

Para este trabalho de conclusão de curso, a motivação principal para se abordar

números complexos e buscar alternativas didático-pedagógicas envolvendo ferramentas

computacionais vem das experiências da autora enquanto aluna do curso de Licenciatura em

Matemática pela UFSM nestes dez últimos semestres.

Na grade curricular que era vigente quando a autora ingressou no curso de matemática

o conteúdo de Números Complexos fazia parte da ementa da disciplina MTM174 intitulada

Matemática Básica, a qual foi extinta com a reforma curricular ocorrida em 2013. Acredita-se

que a experiência trazida com os tópicos aprendidos na disciplina talvez não fosse suficiente

para ministrar uma aula com segurança para o terceiro ano do Ensino Médio. Desta forma, o

tema pareceu pertinente para ser aprofundado durante este trabalho de conclusão, o que

contribuiu ainda para que algumas lacunas de formação pudessem ser superadas.

Segundo Almeida (2013, p.3), após um estudo preliminar sobre os números

complexos, geralmente ficam alguns questionamentos por parte dos estudantes de Ensino

Médio: “Números Complexos existem?”, “Esse assunto serve para alguma coisa?”, “Há

algum problema físico no qual os números complexos possam ser aplicados?”. Neste sentido,

este trabalho procura apresentar uma proposta de atividades envolvendo recursos

computacionais na expectativa de trazer uma contribuição para o ensino e aprendizagem de

números complexos, mesmo que as respostas para estes questionamentos não sejam

totalmente comtempladas e novas perguntas sejam postas. As sugestões apresentadas aqui

buscam diminuir o distanciamento entre o material apresentado em textos básicos e os

conhecimentos realmente necessários para aqueles que desejam ingressar em cursos

superiores da área de ciências exatas, como por exemplo: Matemática ou Engenharias

Elétrica, de Computação, Acústica, etc. Outro objetivo deste trabalho é promover uma nova

percepção sobre recursos computacionais pouco explorados no contexto de números

complexos, em particular o aplicativo gratuito GeoGebra1.

Estudos apontam (Silva, 2014; Almeida, 2013; Contini, 2014) que os números

complexos são usados na resolução de problemas envolvendo tópicos de Geometria Analítica

e Geometria Plana e também na compreensão das operações elementares e suas interpretações

1Disponível em: https://www.geogebra.org/

9

geométricas no plano. Caldeira (2012) apresenta o ensino dos Números Complexos por meio

dos aspectos históricos do conteúdo ressaltando que uma perspectiva histórica favorece o

entendimento dos conceitos a serem desenvolvidos quando se trata de Ensino Médio. Além disso,

Caldeira (2012) também salienta a importância da contextualização por meio da exploração de suas

relações transversais com outros conteúdos. Neste intuito serão propostas algumas simulações

com o aplicativo GeoGebra na expectativa de ilustrar propriedades dos números complexos,

suas operações e seu potencial como recurso em diferentes aplicações.

Para estruturar, formatar e apresentar este trabalho foram seguidas as normas

apresentadas no Manual de Normas Técnicas (MDT) da Universidade Federal de Santa Maria

(UFSM, 2015). O software de domínio público GeoGebra foi utilizado para construir as

simulações e exemplos que originaram as figuras presentes no texto e que estão disponíveis

no repositório Geogebratube disponível na internet, cuja conta de acesso é Elizandre (Santos,

2015).

Segundo Araújo (2011), o aplicativo GeoGebra foi desenvolvido em 2001, como

objeto da tese de doutorado de Markus Hohenwarter na Universidade de Salzburgo, Áustria.

Este aplicativo de Matemática Dinâmica, inicialmente utilizado para o ensino de geometria,

vem se tornando cada vez mais uma alternativa eficiente para o desenvolvimento de material

de apoio para outras disciplinas.

O presente trabalho está dividido em seis capítulos. No segundo são apresentados

alguns aspectos sobre o ensino dos números complexos na educação básica e o uso dos

recursos tecnológicos. O terceiro capítulo está dividido em três seções. Na primeira são

apresentados, de maneira sucinta, alguns aspectos históricos sobre a construção do conjunto

dos números complexos; na segunda seção são revisados alguns textos relacionados com o

tema deste trabalho. Finalmente, na terceira seção, é apresentada a construção algébrica deste

conjunto. O quarto capítulo está subdividido em três seções nas quais são feitas algumas

considerações a cerca da literatura utilizada nos níveis médio e superior para o ensino de

números complexos. Concluindo este trabalho, no quinto capítulo, são propostas cinco

atividades para o ensino dos números complexos com grau crescente de complexidade,

através da utilização do software livre GeoGebra. Estas atividades exploram diferentes

recursos disponíveis no software que possibilitam abordar o conteúdo sobre números

complexos de forma muito mais interessante e ilustrativa.

10

2 CONSIDERAÇÕES SOBRE O ENSINO DE NÚMEROS

COMPLEXOS E O USO DAS TECNOLOGIAS DE INFORMAÇÃO E

COMUNICAÇÃO (TIC).

Nessa seção, são feitas algumas considerações sobre o que dizem os documentos

oficiais a cerca do ensino de números complexos e sobre o ensino desse tópico em nossa

universidade. Também são abordados alguns aspectos relevantes sobre o uso de recursos

computacionais, em particular sobre o GeoGebra, com o intuito de justificar sua utilização

nessa proposta didática.

2.1 OLHAR SOBRE O ENSINO DE NÚMEROS COMPLEXOS.

Sabe-se que alguns tópicos no Ensino Médio são negligenciados em detrimento de

outros que serão cobrados com maior ênfase em exames de acesso ao Ensino Superior. Um

exemplo disso dentro da disciplina de Matemática são os Números Complexos.

O fato do conteúdo sobre Números Complexos não ser contemplado na Matriz de

Referência de Matemática e suas Tecnologias do Exame Nacional do Ensino Médio (Brasil,

2012), que atualmente tende a ser a porta de entrada da grande maioria das universidades

brasileiras, também contribui para um distanciamento entre o que é visto no Ensino Médio e

os pré-requisitos necessários para os estudantes da área de ciências exatas. Além disso, apesar

de vários esforços para a contextualização de conteúdos de Matemática, ainda há nas escolas

nacionais uma dificuldade com relação ao ensino de Números Complexos e em como

conectá-los aos demais conteúdos do Ensino Médio. Quando se fala em conexões

multidisciplinares, este se torna um desafio ainda maior. E a lacuna criada neste processo é

traduzida no impacto inicial que os estudantes sofrem quando ingressam no Ensino Superior.

Na Universidade Federal de Santa Maria (UFSM), o conteúdo sobre Números

Complexos faz parte atualmente da súmula de algumas disciplinas ministradas pelos docentes

do Departamento de Matemática. Para os cursos de Licenciatura em Matemática é ofertada a

disciplina MTM1042, Trigonometria e Números Complexos. As disciplinas MTM1069 e

MTM310, ambas denominadas Variável Complexa, são ofertadas para o curso de

11

Bacharelado em Matemática e para os cursos de Engenharia Elétrica, Engenharia da

Computação e Engenharia Acústica.

Uma perspectiva em relação às dificuldades enfrentadas pelos alunos nas disciplinas

de Trigonometria e Números Complexos e Variável Complexa pode ser evidenciada por meio

de um levantamento inicial, feito entre 2013 e 2015, junto às coordenações dos cursos de

Matemática e Engenharia Elétrica. Conforme a Tabela 1, o índice de reprovação, obtido por

meio do número de vagas ocupadas e o número de reprovados, é alto, e sinaliza a necessidade

de intervenção.

Tabela 1 – Índice de reprovação Trigonometria e Números Complexos e Variável Complexa

Disciplina Curso Ano Semestre Vagas

Ocupadas Reprovados

Índice de

Reprovação (%)

Trigonometria e

Números

Complexos

MTM1042

Matemática

Licenciatura e

Bacharelado

2013 2º 40 9 22,5

2014 1º 53 19 35,85

2014 2° 40 9 22,5

2015 1° 58 30 51,7

Variável Complexa

MTM1069

Matemática

Bacharelado

2014 1º Não houve turma

2015 1º 7 5 71

Variável Complexa

MTM310

Engenharia

Elétrica

2014 1º 27 10 37,03

2014 2º 15 9 60

2015 1º 24 6 25

Fonte: Coordenação dos cursos de Engenharia Elétrica e Matemática Bacharelado e Licenciatura

Mesmo sendo índices para um período de apenas quatro semestres, eles motivam uma

reflexão sobre a relevância em se desenvolver alternativas pedagógicas que possam motivar

os estudantes quanto a essas disciplinas, tornando mais acessível e eficiente o processo de

ensino e aprendizagem para Números Complexos.

Com o objetivo de articular as competências gerais que se projeta para o Ensino

Médio, o Ministério da Educação publicou as Orientações Educacionais Complementares aos

Parâmetros Nacionais, Brasil (2002, p. 111), no qual foram apresentadas sugestões de práticas

educativas e de organização curricular, em termo nacional, a saber:

12

Aprender Matemática de uma forma contextualizada, integrada e relacionada a

outros conhecimentos traz em si o desenvolvimento de competências e habilidades

que são essencialmente formadoras, à medida que instrumentalizam e estruturam o

pensamento do aluno, capacitando-o para compreender e interpretar situações, se

apropriar de linguagens específicas, argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões

próprias, tomar decisões, generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua

formação.

Brasil (2002, p. 112) destaca a importância da resolução de problemas, nos quais o

aluno é colocado como investigador, como protagonista do processo de aprendizagem.

A resolução de problemas é peça central para o ensino de Matemática, pois o pensar

e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado

ativamente no enfrentamento de desafios. Essa competência não se desenvolve

quando propomos apenas exercícios de aplicação dos conceitos e técnicas

matemáticos, pois, neste caso, o que está em ação é uma simples transposição

analógica: o aluno busca na memória um exercício semelhante e desenvolve passos

análogos aos daquela situação, o que não garante que seja capaz de utilizar seus

conhecimentos em situações diferentes ou mais complexas.

Portanto, percebe-se que a Matemática do Ensino Médio deve proporcionar ao aluno a

aquisição de uma parte importante do conhecimento, a fim de que ele possa ler e interpretar a

realidade. Acredita-se que trazer a Matemática para o cotidiano dos alunos fará com que estes

entendam que o mundo que os cerca pode ser considerado como um grande laboratório no

qual tudo que se aprende em sala de aula é posto em prática.

Ainda Brasil (2002, p. 122), quando se refere aos Números Complexos afirma:

Tradicionalmente, a Matemática do ensino médio trata da ampliação do conjunto

numérico, introduzindo os números complexos. Como esse tema isolado da

resolução de equações perde seu sentido para os que não continuarão seus estudos

na área, ele pode ser tratado na parte flexível do currículo das escolas.

O estudo dos Números Complexos no Ensino Médio, em algumas situações, é

elencado como um tema de segundo plano, e um dos motivos que leva a esta percepção é o

fato deste conteúdo não ser indicado com relevância máxima e obrigatoriedade pelos

Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN). Conforme Carneiro (2004, p.1)

Os números complexos ocupam uma posição muito singular no ensino da

matemática. Não merecem grande atenção nos cursos de Licenciatura e Bacharelado

13

em matemática, por serem considerados como “assunto elementar” de nível médio.

Já no Ensino Médio, são evitados, sendo taxados de estranhos, de compreensão

difícil e, sobretudo, inúteis.

Acredita-se que se o olhar dado ao ensino de Números Complexos fosse diferente,

trazendo aos alunos uma nova perspectiva sobre este conteúdo, talvez fossem encontradas

respostas para as questões e inquietações inicialmente colocadas neste trabalho.

2.2 UM OLHAR SOBRE AS TIC

A utilização das tecnologias (TIC) pode ser considerada uma ferramenta tida como um

facilitador para que o educador possa propor ao educando estratégias que o levem a desenvolver seu

raciocínio lógico, estimulando sua criatividade com o intuito de motivá-lo a aprender.

Atualmente, utilizam-se os recursos tecnológicos como instrumento de ensino, para

que a Matemática se torne mais atrativa para os alunos. Ao utilizá-los na abordagem dos

conteúdos, dinamiza-se o ensino trazendo aos alunos uma maneira diferente e até mesmo

divertida para que estes aprendam conteúdos básicos da Matemática.

Segundo Giraldo (2013, p.49)

Um ganho pedagógico em apresentar novas formas de representação está

em convidar os alunos a investigarem características e propriedades dos objetos

matemáticos de pontos de vista diferentes daqueles com os quais estão acostumados.

Assim, pode - se estabelecer para os estudantes oportunidade de revisitar, sob uma

nova ótica, objetos matemáticos familiares e de conhecer novos conceitos. As ideias

e conclusões que surgem a partir de explorações desse tipo, desde que

cuidadosamente orientadas pelo professor, contribuem para um aprofundamento

significativo da aprendizagem.

Os recursos computacionais estão presentes em praticamente todos os momentos do

dia a dia dos estudantes. Com o intuito de propor aos alunos um novo olhar sobre os Números

Complexos, utiliza-se o software GeoGebra a fim de facilitar a visualização de propriedades e

particularidades do conteúdo, aguçando a curiosidade e o interesse dos estudantes para

aprender Matemática, supondo assim uma aprendizagem mais efetiva dos conceitos

estudados. Nesse sentido, Almeida (2013, p.6) destaca

14

torna-se trabalhoso para o professor que utiliza apenas o lápis e o quadro,

representar os complexos no Plano de Argand-Gauss e esperar que o estudante

“imagine” a rotação, a translação etc, entre tais números. Portanto, recomendamos o

uso de “softwares” de geometria dinâmica.

O uso do software contribui nas atividades cognitivas relacionadas à Matemática além

de estimular os alunos no processo de aprendizagem. Porém para que se possa obter êxito

neste processo, o preparo e domínio do professor, nas situações propostas, são fundamentais,

pois apenas dominar o GeoGebra, utilizando suas ferramentas, sem embasamento teórico para

elaborar as soluções não é suficiente para conduzir o aluno ao conhecimento. Acredita-se que

o uso dos recursos tecnológicos associado ao conhecimento matemático seja um facilitador no

processo educacional possibilitando o aprofundamento no conteúdo.

15

3 CONSIDERAÇÕES A CERCA DOS NÚMEROS COMPLEXOS

3.1 UM BREVE APANHADO SOBRE A HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS

Ao longo da história, grandes matemáticos foram resistentes para admitirem a

existência dos números complexos, mesmo já os utilizando de forma indireta. Isso mostra o

quanto pode demorar até que um conceito fundamental possa ser aceito, compreendido e

posteriormente rigorosamente formulado. Para escrever esta seção tomou-se por base o escrito

por Carmo, 1999; Smole, 2003; Caldeira, 2012 e Dante, 2005.

Por volta da metade do século XVI Nicolo Fontana, apelidado devido a um defeito na

fala de Tartáglia (gago em italiano), apresentou um modo para resolver equações do tipo

³ 0x ax b . Este método foi publicado na Ars Magna (A Grande Arte, 1545), por

Girolamo Cardano (1501 – 1576) ao quebrar um juramento feito a Tartáglia de que não

revelaria sua fórmula para a resolução da equação 𝑥3 − 𝑀𝑥 + 𝑁 = 0, com coeficientes M e N

valores reais, cuja expressão é dada por:

2 3 2 3

3 3

2 2 3 2 2 3

N N M N N Mx

CARMO (1999, P.109) descreve o momento histórico da matemática:

Quando isto aconteceu, os matemáticos não tinham nem ainda esclarecido os

conceitos de números negativos e irracionais. Assim, o desenvolvimento do conceito

de número não foi algo progressivo, dando – se na ordem que nos parece natural, e

que é exposta nos textos: números naturais, inteiros, racionais, reais e por fim

complexos. Até o século XIX, quando Gauss com a sua autoridade divulgou a

interpretação geométrica dos números complexos, a qual lhes deu “direito a

cidadania”, ainda havia matemáticos que discutiam se números negativos realmente

existiam ou não!

Em sua obra, Cardano resolve o problema de dividir 10 em duas partes cujo produto é

40. Este problema reduz – se a resolver a equação de segundo grau ² 10 40 0x x ,

utilizando o método de completar quadrados.

16

² 10 40 0

( 5)² 25 40 0

( 5)² 25 40

( 5)² 15

5 15

5 15

x x

x

x

x

x

x

A resolução transcorre como se os números encontrados fossem números reais.

Segundo Cardano. “deixando de lado toda a tortura mental envolvida, multiplique (5 15)

por (5 15) . O produto é 25 ( 15) 40(...) . Assim progride a sutileza aritmética cujo

objetivo, como afirmado, é tão refinado quanto inútil”.

Em 1560, Rafael Bombelli, discípulo de Cardano, em seu livro L’Algebra Parte

Maggiore dell’Arithmetica, propôs uma saída para casos de equações que possuem soluções

“estranhas”. A equação𝑥3 − 15𝑥 − 4 = 0, por exemplo, quando resolvida segundo a fórmula

de Cardano, com 𝑀 = 15 e 𝑁 = 4, resulta:

2 3 2 3

3 3

2 3 2 3

3 3

3 3

2 2 3 2 2 3

4 4 15 4 4 15

2 2 3 2 2 3

2 121 2 121

N N M N N Mx

x

x

Bombelli acreditou ser possível operar com essa nova espécie de radical. Em vez de

escrever 2 121 como “dois mais a raiz quadrada de menos 121”, ele escrevia “dois mais

de menos a raiz quadrada de 121”, desta maneira “mais de menos” se tornou código para

somar raiz quadrada de um número negativo. Analogamente, subtrair tal raiz quadrada

tornou-se “menos de menos”. Ele também se referia a isso como “dois mais de menos 11”.

Comparando sua forma de explicar as regras com a interpretação atual chega-se ao Quadro 4:

Quadro 4 – Comparação da explicação das regras nas diferentes épocas

Bombelli Atual

Mais de menos vezes mais de menos faz menos i vezes i é -1

Menos de menos vezes menos de menos faz menos -i vezes -i é -1

Mais de menos vezes menos de menos faz mais i vezes -i é 1. Fonte: CALDEIRA (2012)

17

O discípulo de Cardano começou a operar com raízes quadradas negativas aplicando

as regras usuais da Álgebra e mostrou que trabalhar com tais raízes era necessário para

encontrar soluções reais. Passou a desenvolver regras para operar com esses novos números

chamando – os de números fictícios, impossíveis, místicos ou imaginários.

A partir daí, outros matemáticos passaram a utilizar as raízes quadradas de números

negativos de forma mais sistematizada, mesmo que ainda o fizessem com certa desconfiança.

Sempre que possível, utilizavam as mesmas propriedades dos números reais em relação às

operações elementares.

Em 1629 o símbolo 1 foi introduzido por Albert Girardi (1590 – 1633). As raízes

quadradas de números negativos eram escritas na forma 𝑎 + 𝑏√−1. Em 1637, René Descartes

(1596 – 1650) define 𝑎 como a parte real e 𝑏 como a parte imaginária de 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖.

Leonhard Euler (1707 – 1783), em 1777, utilizou o símbolo i pela primeira vez para

representar a 1 . Assim, as raízes quadradas de números negativos passaram a ser escritas

na forma a bi . Impresso, o i apareceu pela primeira vez em 1794.

No final do século XVII, o uso de tal símbolo por Karl Friedrich Gauss (1777 – 1855),

foi o que o tornou amplamente aceito entre os matemáticos, e também é devido a Gauss o

termo “números complexos”.

Alguns anos mais tarde, William Rowan Hamilton apresentou a proposta de uma nova

abordagem na qual inicialmente, utilizando o plano de Gauss, definia a adição e a

multiplicação de pares ordenados de maneira conveniente o que resultava em algo que era

idêntico aos Números Complexos. Esta proposta coloca fim ao misterioso 𝑖, pois ele

simplesmente correspondia ao ponto (0,1).

Neste período, Hamilton remodelou partes significativas da Física, utilizando os

Números Complexos. Enquanto Euler e Gauss evidenciaram a utilidade dos complexos na

Álgebra e na teoria dos números. Riemann, Weierstrass e outros tornaram os números

complexos numa ferramenta matemática importante tanto na Matemática Pura quanto na

Matemática Aplicada.

18

3.2 CONSTRUÇÃO DO CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

A elaboração deste capítulo foi embasada em Ferreira (2011). A obra trabalha com a

rigorosidade das construções dos conjuntos numéricos estudados desde o Ensino

Fundamental, dos números naturais aos complexos.

Quando os números complexos são ministrados ao Ensino Médio, estes são

introduzidos a partir da chamada “unidade imaginária” 𝑖, observando que 2 1i . Assim os

números complexos são definidos como expressões da forma 𝑎 + 𝑏𝑖, onde 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, para as

quais valem as regras das operações conhecidas para os números reais com a condição extra

de que 2 1i .

Sobre a notação utilizada, FERREIRA (2011) diz:

Os complexos do tipo 𝑎 + 𝑏𝑖 com 𝑏 ≠ 0, chamam - se números imaginários, e, se

além disso, 𝑎 = 0, obtemos os imaginários puros. Essas denominações tem sua

origem na resistência histórica em se admitir os complexos como números. Observe

que o termo “imaginários” vem no sentido de contraposição a “reais”.

Geralmente, aprende-se que dois números complexos 𝑎 + 𝑏𝑖 e 𝑐 + 𝑑𝑖 são iguais se e

somente se 𝑎 = 𝑐 e 𝑏 = 𝑑, o que lembra a igualdade entre os pares ordenados (𝑎, 𝑏) e (𝑐, 𝑑).

Esta semelhança será tomada como ponto de partida para a construção do conjunto dos

números complexos, a partir do conjunto dos números reais.

Definem-se as seguintes operações (𝑎 + 𝑏𝑖) + (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)𝑖 e

(𝑎 + 𝑏𝑖). (𝑐 + 𝑑𝑖) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑) + (𝑎𝑏 + 𝑏𝑐)𝑖.

Admitindo um número complexo como sendo um par ordenado de números reais,

podem-se redefinir as operações acima como segue:

(𝑎, 𝑏) + (𝑐, 𝑑) = (𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) e (𝑎, 𝑏). (𝑐, 𝑑) = (𝑎𝑐 − 𝑏𝑑, 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐).

Assim, formalmente é obtida a seguinte definição:

Definição: Considere o conjunto ℝ 𝑥ℝ = ℝ2 e nele define-se a adição e a

multiplicação como acima. O conjunto ℝ2, dotado com essas operações, será denominado

conjuntos dos números complexos e denotado por ℂ.

No teorema a seguir são enumeradas as propriedades das operações em ℂ.

Teorema: As operações em ℂ têm as seguintes propriedades: a adição e a

multiplicação são comutativas, associativas e tem elemento neutro: (0,0) para a adição e

19

(1,0) para a multiplicação. Além disso, dado (a, b) ∈ ℂ, seu simétrico existe, −(a, b) e é

(−a, −b) e, se (a, b) ≠ (0,0), seu inverso existe, (a, b)−1e é (a

a2+b2 ,−b

a2+b2). Finalmente, a

multiplicação é distributiva em relação à adição.

Um número complexo arbitrário ( , )a b poder ser escrito como

( , ) ( ,0) ( ,0)(0,1)a b a b , com pares ordenados onde a segunda coordenada é nula (𝑎, 0) e

(𝑏, 0) além do número complexo especial (0,1). Desta forma ℝ é incluso em ℂ. Conforme

destaca o teorema.

Teorema: Seja a função 𝑘: ℝ → ℂ, onde ,0k x x . Esta função é injetora e

preserva as operações de adição e multiplicação, isto é, k x y k x k y e

. .k x y k x k y . Em particular, ℂ é não enumerável2.

Em outras palavras ℂ é uma cópia algébrica de ℝ, 𝑘(ℝ), o que permite identificar ℝ

com 𝑘(ℝ) e, portanto, considerar ℝ ⊂ ℂ. Pode-se voltar ao visto no Ensino Médio adotando o

símbolo i para o número complexo 0,1 . Observe ainda que 22 0,1 1,0i , que se

identifica com o real 1! .

3.3 TRABALHOS RELACIONADOS

Uma interpretação que se faz neste momento referente a um dos fatores que poderia

contribuir negativamente para que o conteúdo de Números Complexos fosse negligenciado no

Ensino Médio é a falta de destaque dado a este tópico nos PCN. Na verdade, verifica–se que

existe uma preocupação com este fato por parte de vários pesquisadores e educadores uma

vez que são encontrados vários estudos que tratam sobre os Números Complexos, cada um

com um foco particular, porém todos enfatizando o distanciamento deste assunto na

abordagem feita no Ensino Médio, tanto com relação à formulação básica, quanto com relação

à sua aplicabilidade.

Silva (2014, p. 20) destaca uma deficiência em se explorar a relação entre a Geometria

Analítica e os Números Complexos. Em seu trabalho são apresentadas propostas para que os

2 Segundo LIMA (2014, p.7) Um conjunto 𝑋 diz – se enumerável quando é finito ou quando existe uma

bijeção 𝑓: ℕ → 𝑋. Assim, quando não existir tal bijeção 𝑋 é dito não enumerável.

20

Números Complexos sejam utilizados como ferramenta de apoio na resolução de problemas

envolvendo Geometria Analítica.

Almeida (2013, p.5) propõe uma metodologia de ensino que visa a melhorar a

abordagem dos Números Complexos no Ensino Médio para resolver problemas de geometria

plana. Sua estratégia é propor uma sequência de atividades com exercícios resolvidos e

comentados, divididos em três capítulos. No primeiro é feita uma contextualização histórica.

No segundo capítulo são sugeridos problemas que remontam a linha de raciocínio necessária

para se construir e formalizar os conceitos básicos sobre Números Complexos. São vistas

ainda sua representação no plano cartesiano e algumas operações aritméticas com estes

números, embasando, de forma não rigorosa, o conteúdo que será explorado via aplicações no

terceiro capítulo. É destacada então a relação dos Números Complexos com rotações,

translações, simetrias, contrações e expansões no plano complexo.

Neste sentido, o trabalho desenvolvido neste estudo procura complementar a

abordagem proposta por Almeida (2013), estendendo sua análise e desenvolvendo simulações

ilustrativas que reforçam os conceitos já apresentados.

Uma abordagem histórica também é apresentada em Caldeira (2012), na qual é traçada

a trajetória do ensino dos Números Complexos no Brasil, salientando que uma perspectiva

histórica favorece o entendimento dos conceitos a serem desenvolvidos quando se trata de

Ensino Médio. Em seu artigo, é discutido o papel dos Números Complexos ao longo dos

tempos, ressaltando ainda a importância de sua contextualização através da exploração de

suas relações transversais com outros conteúdos.

Esta visão contextualizada promovida por Caldeira (2012) é resgatada nesta pesquisa

quando se exploram relações e propriedades pouco enfatizadas no Ensino Médio, mas que

promovem uma maior criatividade e liberdade de interpretação de conteúdos que geralmente

não são apresentados de forma integrada.

Contini (2014) propõe a compreensão de que a adição e a multiplicação de Números

Complexos podem ser respectivamente visualizadas, gráfica e dinamicamente, como

translação e rotação no plano complexo (plano Argand-Gauss) com o uso do software livre

GeoGebra. CONTINI (2014, P.2) justifica sua abordagem da seguinte forma:

21

Tal visão dinâmica, no nosso entender, pode cumprir dois papéis na aprendizagem

dos números complexos: que o aluno adquira um conhecimento algébrico e

principalmente que ele faça a conexão da Álgebra com a Geometria, aprendendo

duas formas importantes e diferentes de representar a adição e a multiplicação.

Os movimentos de rotação e translação, no plano de Argand – Gauss, foram

fundamentais neste trabalho quando sugerido um olhar matemático sobre fenômenos da

natureza, como o desabrochar de uma flor ou o crescimento das conchas e búzios marinhos.

As pesquisas citadas acima trazem relatos e propostas para serem aplicados com os

alunos de Ensino Médio, porém em nenhum dos casos fica evidenciada a prática destas

propostas em salas de aula. Este trabalho tem sua metodologia baseada no desenvolvimento

de material de apoio usando recursos computacionais e neste sentido, inicialmente

direcionado para ser divulgado entre os professores do Ensino Médio. Pelas restrições de

tempo, a vivência dentro de sala de aula, que permitiria uma ampla coleta de informações com

relação à aceitação do material proposto tanto por parte de professores quanto de alunos do

Ensino Médio, se torna inviável.

22

4 OS NÚMEROS COMPLEXOS NOS LIVROS DIDÁTICOS

4.1 LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO MÉDIO

Nesta seção é apresentado um quadro comparativo com relação à forma com que o

conteúdo de números complexos é tratado nos livros de Ensino Médio. Foram elencadas três

referências, Dante (2005), Paiva (2013) e Smole (2003), aprovadas pelo Programa Nacional

do Livro Didático - PNLD como texto utilizado na Educação Básica ao longo da última

década em escolas da rede pública do Estado do Rio Grande do Sul.

Com o objetivo de averiguar como é a abordagem dos números complexos em todas

as modalidades do Ensino Médio, foi verificada, ainda, uma bibliografia distribuída pelo

governo do Estado do Rio Grande do Sul, para alunos da Educação de Jovens e Adultos

(EJA) Scrivano (2013). Porém neste livro os números complexos não são abordados. A

comparação entre estas três referências é feita a partir dos tópicos: introdução, definição,

representações e operações, apresentadas no Quadro 1.

Ao estudar esse assunto nos livros do Ensino Médio pode-se observar que em geral

são colocadas apenas as fórmulas, sem as devidas demonstrações, o que faz com que o aluno

se acostume a receber tudo pronto, sem a necessidade de raciocinar, sem se dar conta do por

que nem de onde vêm tais resultados.

Da mesma maneira que os estudantes não são motivados a raciocinar nos textos,

também nos exercícios observa-se esta metodologia, uma vez que a grande maioria das

atividades propostas é de aplicação direta das fórmulas.

23

Quadro 1 – Obras do Ensino Médio

Obra/tópico Dante Paiva Smole

Introdução Apresenta a teoria dos conjuntos

enfatizando que estes foram sendo

criados a partir das necessidades da

humanidade e que desta forma, também,

surgiu o conjunto dos números

complexos. Cita a necessidade de se

procurar um conjunto no qual o quadrado

de certo número pudesse ser negativo

para a resolução de equações do 2º grau.

Apresenta a construção do conjunto

dos números complexos dada por um

problema que chega a uma equação

que pode ser resolvida pelo método

que Tartáglia propôs por volta de

1535 para mostrar a insuficiência dos

números reais diante de certas

situações concretas ou imaginárias.

Verifica que no conjunto dos números

reais não se encontram raízes quadradas

de números negativos, e neste sentido

conta um pouco sobre a história dos

números complexos.

Definição São definidos de acordo com a proposta

de Gauss em 1831 que foi reforçada por

Hamilton em 1837, segundo a qual o

conjunto dos números complexos é um

conjunto de pares ordenados de números

reais em que são definidas a igualdade, a

adição e a multiplicação.

Define número complexo, de maneira

algébrica identificando as partes real e

imaginária de z a bi . Neste

capítulo a igualdade entre números

complexos e a definição de números

complexos conjugados são

apresentadas.

Aborda um número complexo por um par

ordenado ,a b e que pode ser escrito na

forma (𝑎 + 𝑏𝑖), chamada de forma

algébrica. Define ainda que em z a bi ,

quando 𝑏 ≠ 0 e 𝑎 = 0 então 𝑧 é dito

imaginário puro e no caso 𝑏 = 0 então 𝑧

é um numero real. Associa a cada 𝑧 um

ponto 𝑃 do plano, sendo o eixo das

abscissas denominado eixo real e o eixo

das ordenadas, o eixo imaginário. Define

afixo de 𝑧 como o ponto 𝑃

correspondente a este número complexo.

Representações Separa as representações dos números

complexos em dois capítulos: Um

destinado à forma algébrica e outro à

geométrica. Para a forma algébrica,

mostra que o par ordenado (𝑎, 0)

representa um número real, cria um nome

e um símbolo para o número complexo,

Associa a cada número complexo um

ponto do plano de Argand - Gauss.

Define neste plano o eixo das

abscissas como o eixo real e o eixo

das ordenadas como o eixo

imaginário. Cada ponto 𝑃 determina a

imagem ou afixo de 𝑧.

Apresenta as formas algébrica e

trigonométrica de um número complexo.

Antes de determinar sua forma polar,

define argumento de um número

complexo. Trabalha com a representação

geométrica dos complexos na forma

trigonométrica, apenas nos exemplos.

24

definindo a unidade imaginaria. Todo

número complexo pode ser escrito na

forma algébrica 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖. Na

Representação Geométrica, associa o

número complexo ao par ordenado de

números reais (𝑎, 𝑏) e que este define um

único ponto no plano.

Operações São definidas a igualdade, a adição e a

multiplicação dos números complexos.

As propriedades da adição e da

multiplicação são enunciadas como

observações. A divisão entre dois

complexos se dá pela multiplicação do

numerador e do denominador pelo

conjugado do denominador. O autor

apresenta a potenciação como uma

multiplicação de fatores iguais e a partir

daí deduz a fórmula de Moivre.

Antes de apresentar as operações com

números complexos, ressalta que elas

foram definidas como extensões das

operações nos reais e que são

conservadas as propriedades destas

operações. Por meio de um exemplo a

multiplicação de dois números

complexos na forma trigonométrica e

após faz a generalização. Na divisão,

apenas usa a definição de

multiplicação pelo conjugado. O

Teorema de Moivre é enunciado após

ser deduzida a generalização da

potenciação de números complexos

na forma trigonométrica.

Define as operações com números

complexos de maneira algébrica.

Apresenta um exemplo da representação

geométrica da subtração entre dois

complexos. Afirma que a definição de

multiplicação não é natural e que, no

decorrer do capítulo, serão vistas

consequências interessantes sobre esta

operação. Para definir a divisão dá a

definição do conjugado 𝑧̅ e apresenta

suas propriedades gráficas. As operações

multiplicação, divisão, potenciação e

radiciação são definidas na forma

trigonométrica. A primeira fórmula De

Moivre não é demonstrada na subseção

de potenciação de complexos. Para a

radiciação de números complexos

apresenta a segunda fórmula De Moivre,

e a demonstra. Apresenta as propriedades

geométricas das raízes n-ésimas de um

número complexo.

Fonte: Autor.

25

4.2 LIVROS DIDÁTICOS DO ENSINO SUPERIOR

Neste capítulo, é apresentada uma revisão dos capítulos introdutórios das referências

bibliográficas utilizadas nas disciplinas que têm como pré-requisito a familiaridade com os

números complexos. Procura-se destacar a maneira com que estas referências conduzem a

introdução dos conteúdos na teoria das funções de uma variável complexa.

A primeira referência analisada é a terceira edição da obra Variáveis Complexas e

aplicações de Geraldo Ávila. No prefácio desta obra, Ávila (2013, p. vii) salienta que “A

teoria das funções de uma variável complexa é uma extensão natural da teoria das funções

reais e é de importância fundamental, tanto em matemática pura como nas aplicações”. A

segunda referência é a obra de Ruel V. Churchill: Variáveis Complexas e suas Aplicações.

Assim como realizado na seção anterior, a comparação entre os tópicos iniciais de

cada obra é apresentada no formato de um quadro, com o objetivo de possibilitar uma melhor

visualização dos itens fundamentais para a introdução sobre o conjunto dos números

complexos.

No capítulo estudado nos livros do Ensino Superior pode-se verificar a constante

presença das demonstrações dos resultados, em momento algum foram encontradas fórmulas

prontas. Durante a realização dos exercícios foi observado que as demonstrações são

copiosamente cobradas, inclusive algumas que exigem o domínio de conteúdos de outras

disciplinas.

26

Quadro 2: Referências para cursos envolvendo Variável Complexa no Ensino Superior

Tópico/ Obra Ávila Churchill

Definição

No conjunto dos números reais não é

possível obter raízes para todas as equações do

2° grau, sendo necessária à ampliação deste

conjunto.

Observa que 𝑧 = 𝑎 + 0𝑖 tem comportamento

idêntico ao dos números reais em relação à

adição e à multiplicação, o que torna o conjunto

dos números complexos uma extensão natural

dos números reais.

Identifica o complexo 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑖 como um

ponto 𝑃(𝑥, 𝑦) do plano, pois por meio desta

representação pode-se identificar 𝑧 com o vetor

OP .

z x iy é o conjugado de z .

Mostra a propriedade 2

.z z z salientando

que a mesma nos permite calcular o quociente

entre dois complexos 1z e 2z com 2 0z ,

definido pra condição 𝑧. 𝑧2 = 𝑧1.

Define os números complexos como sendo um par

ordenado ,x y de números reais

1 1 2 2 1 2 1 2, ,x y x y x x e y y

Define as operações de adição e o produto de dois

números complexos e demonstra as leis da subtração e

da divisão por meio da aplicação da definição de

números complexos e das operações adição e

multiplicação.

Nos números complexos a divisão por zero também

não é definida.

Mostra a validade das leis comutativas e

associativas para a adição e multiplicação e da lei

distributiva da multiplicação em relação à adição. Se o

produto de dois números complexos é nulo, então pelo

menos um dos fatores deve ser nulo.

O conjugado do complexo representado por z é a

reflexão do ponto 𝑧 no eixo 𝑥, ou seja, o ponto z é

simétrico ao ponto 𝑧 em relação ao eixo 𝑥.

Afirma que a operação de tomar conjugados é

distributiva em relação às quatro operações básicas, ou

seja, o conjugado da soma é a soma dos conjugados, o

conjugado da subtração é a diferença dos conjugados e

assim sucessivamente.

A soma de um número complexo com seu

conjugado é um número real e que, em contra partida,

sua diferença é um imaginário puro.

27

Representações

Define o argumento de z ( 0z ) como o ângulo

formado pelo eixo Ox e o vetor Oz . Sendo

cosx z e siny z determina-se a

representação polar ou trigonométrica dos números

complexos.

(cos )z r isen , r z

Utilizando a forma polar acima, deduz a regra para

a multiplicação de complexos: o produto de dois

números complexos é o número cujo módulo é o

produto dos módulos dos fatores e cujo argumento é

a soma dos argumentos dos fatores.

Analogamente deduz o seguinte resultado para a

divisão: para dividir números complexos basta fazer

o quociente dos módulos e a diferença dos

argumentos.

Define a forma polar dos números complexos a partir de

suas coordenadas polares e de seu argumento, o ângulo .

Algumas vezes se faz necessário o uso da representação

polar em torno de certo ponto 0z . Assim a representação é

0 cosz z isen , onde é a distância entre 𝑧 e

𝑧0 e 𝜙 é o ângulo de inclinação do vetor.

Associa o número complexo ,x y às coordenadas

cartesianas retangulares de um ponto no plano. Cada

complexo corresponde a um único ponto e reciprocamente.

Ressalta que com frequência o número complexo z é

tratado como ponto 𝑧 ou como vetor 𝑧.

Salienta que o produto de dois números complexos é um

número complexo e não um produto escalar ou vetorial

como no cálculo vetorial.

Formula De Moivre

Estende a multiplicação para um número qualquer

de fatores complexos.

Seja cosj j j jz r isen , com 1,2,...,j n ,

então:

1 2 1 2 1 2 1 2... ... cos ... ...n n n nz z z r r r isen

Em particular a formula De Moivre é definida para

o caso em que todos os fatores são iguais e de

modulo unitário.

cos cosn

isen n isen

Indica que o produto de n números complexos de raio

igual a 1 origina o teorema de De Moivre para expoentes

inteiros positivos e a partir do quociente conclui que o

teorema vale também para expoentes inteiros negativos.

Valor Absoluto

Define o módulo de z x iy como a distância de z a origem. São destacadas as seguintes

propriedades do valor absoluto:

, 0 0z o z z ;

O valor absoluto de z é o comprimento do vetor z .

Observa que a desigualdade 1 2z z significa que o

ponto 1z está a maior distância da origem do que 2z ,

porém salienta que não tem sentido afirmar que 1 2z z ,

28

3 Demonstração disponível na referência.

z z ; · Re z z ,

Im z z ;

1 2 1 2z z z z ;

Desigualdade Triangular3·: 1 2 1 2z z z z .

pois esta noção não se aplica ao conjunto dos números

complexos e assim a afirmação 1 2z z só terá significado

se 1z e 2z forem ambos números reais.

Raízes n-ésimas

Define as raízes n-ésimas de um número complexo

𝑎 ≠ 0 por nz a .

2 2cosnn k k

z a r isenn n

.

A partir da fórmula das raízes n-ésimas,

considerando 1a tem-se que o ângulo é nulo e

assim define as raízes n-ésimas da unidade:

2 2cos

k kz isen

n n

Assim quando 1k obtém-se

2 2cos isen

n n

. Fazendo uso da fórmula de

De Moivre, verifica que as raízes n-ésimas da

unidade são dadas por 2 11, , ,..., n

e salienta

que essas raízes são os vértices de um polígono

regular de n lados.

Para extrairmos as raízes n-ésimas 1 nz de um número

complexo z é necessário resolver a equação 0

nz z .

Geometricamente, o comprimento de cada um dos n

vetores 1 nz é o numero positivo

n r . O argumento desses

vetores é obtido dividindo – se por n e os demais

argumentos são obtidos por adição de múltiplos de 2

n

a

n

. As raízes da unidade são escritas como

1 2 21 cosn k k

isenn n

com 0,1,..., 1k n .

Quando 1k na expressão que define as raízes n-ésimas

da unidade, a raiz correspondente, denotada por , é dada

por 2 2

co   s isenn n

e pelo teorema de De Moivre

estas raízes são 2 11, , ,..., n

.

Operações É evidenciada a necessidade de o alunado conhecer

conceitos, estudados nos cursos de Cálculo, como

as funções trigonométricas, a constante de Euler, a

função exponencial e em particular o

desenvolvimento dessas funções em série de

Mostra que, geometricamente, o produto n números

complexos tem seu comprimento igual ao produto dos

comprimentos e o ângulo de inclinação do vetor produto é

a soma de seus ângulos. Analogamente define que a

divisão de números complexos tem módulo dado pelo

29

Maclaurin válidos para todos os valores reais da

variável x . Após define a função exponencial ze

para um complexo qualquer.

quociente de seus comprimentos e seu ângulo de inclinação

é a diferença de seus ângulos.

Conjuntos de pontos

no plano

Esclarece que as noções aqui apresentadas são as

mesmas do plano euclidiano, uma vez que estas se

baseiam na noção de distância de dois pontos

1 1 1z x iy e 2 2 2z x iy , dada por

1 2 1 2,d z z z z , que equivale à distância

denominada euclidiana 2 2

1 2 1 2x x y y .

Disco aberto de centro 0z um complexo qualquer e

raio 0r ao conjunto 0rD z de todos os números

complexos que estão a uma distância menor do que

r do ponto 0z . E de disco fechado o conjunto que

inclui a fronteira dada pelo círculo.

Define a vizinhança de um ponto 𝑧0 como todo

conjunto V que contém um disco de centro 0z . E

que quando excluímos o ponto 0z da vizinhança,

então esta é chamada de vizinhança perfurada.

Chame 0z de ponto interior de um conjunto C se

este conjunto é vizinhança de 0z . Quando todos os

pontos de C são interiores, então C é aberto e assim

C é vizinhança de cada um dos seus pontos. Um

conjunto F é fechado quando o seu complementar

é aberto.

Como nenhum ponto interior de um conjunto pode

ser ponto da fronteira e nenhum ponto de fronteira

pode ser inferior conclui-se que um conjunto é

Define alguns termos técnicos como: vizinhança, ponto de

acumulação, ponto interior, ponto de fronteira, regiões

aberta, limitada, ilimitada e fechada e região conexa.

Salienta a definição de domínio como uma região aberta e

conexa.

30

Fonte: Autor

4 A definição de arco é encontrada no capítulo 3 na referência em questão.

aberto se e somente se ele não contém pontos da sua

fronteira. Por outro lado segue que um conjunto é

fechado se e somente se ele contém todos os pontos

de sua fronteira.

O ponto 0z é dito ponto de acumulação de um

conjunto C se qualquer vizinhança de 0z contém

infinitos pontos de C . Os pontos deste conjunto

que não são pontos de acumulação são chamados de

pontos isolados de C . Pode-se dizer que um

conjunto é fechado se e somente se ele contém

todos os seus pontos de acumulação.

Um conjunto aberto é conexo se quaisquer dois de

seus pontos podem ser ligados por um arco4 todo

contido no conjunto. Assim região é todo conjunto

aberto e conexo.

31

4.3 COMPARAÇÃO ENTRE AS REFERÊNCIAS DE ENSINO MÉDIO E ENSINO

SUPERIOR

No Quadro 3, comparam-se as referências estudadas, destacando-se as diferenças entre

as abordagens dos números complexos nos Ensinos Médio e Superior.

Quadro 3: Comparação entre a literatura dos níveis médio e superior

Nível

Tópico/ Obra

Ensino Médio Ensino Superior

Dante Paiva Smole Ávila Churchill

Referência à história dos números

complexos X X X

Introdução a partir da resolução

de equações do 2º grau com 0 X X

Definição algébrica X X

Definição por par ordenado

(geométrica) X X X

Ênfase para a representação

Geométrica no texto (operações

com números complexos)

X X X

Ênfase para a representação

Geométrica nos exercícios X X X X X

Fórmula De Moivre X X X X X

Raízes da unidade X X

Exercícios de aplicação dos

números complexos

(percentual aproximado)

7% 6% 8% 0% 0%

Exercícios teóricos

(demonstrações) X X X

Fonte: Autor

Em todas as obras de Ensino Médio houve a preocupação de se apresentar, seja na

introdução ou em apêndice, a história dos números complexos. A definição e a ênfase da

maioria dos livros foram sobre a forma algébrica, porém todos cobraram em seus exercícios a

representação geométrica. Apenas 7% dos exercícios nos livros de Ensino Médio eram de

aplicação dos números complexos em questões interdisciplinares. Este tipo de exercício não

foi contemplado no primeiro capítulo dos livros de Ensino Superior averiguados.

Já exercícios teóricos que exigem um raciocínio formal por parte do leitor, propondo

demonstrações ou deduções, são praticamente ausentes da literatura de Ensino Médio

enquanto nas referências de Ensino Superior são abundantemente cobrados.

32

Em nenhuma das referências utilizadas no Ensino Médio é destacada a possibilidade de

se aplicar as operações como uma transformação de vários pontos do plano. Em nenhum texto

é deixada uma semente do potencial da aplicação dos números complexos em contextos que

serão abordados em textos mais avançados. As questões de multidisciplinaridade não são

exploradas, apenas em exercícios pouco enfáticos com relação a outros conteúdos. Apenas na

referência Smole (2003) há uma seção com desafios, na qual uma figura com peixes é

apresentada com o objetivo de se identificar uma possível simetria, rotação e proporção entre

as figuras, o que induziria a uma diferente percepção sobre multiplicação de números

complexos.

33

5 PROPOSTA PARA O ENSINO DOS NÚMEROS COMPLEXOS

As atividades apresentadas neste capítulo foram elaboradas como uma opção para

alunos do 3º ano do Ensino Médio e a alunos dos cursos de graduação que possuem em suas

grades curriculares as disciplinas Trigonometria e Números Complexos ou Variável

Complexa. O objetivo destes exercícios é proporcionar uma abordagem que permita realizar a

conexão dos conceitos estudados algebricamente com sua representação geométrica.

Com esta abordagem não se pretende menosprezar o ensino dos números complexos

por meio da álgebra, porém tem-se a intenção de propor uma abordagem geométrica a este

tópico para elucidar a relação das operações básicas dos números complexos com

movimentos de rotação, translação, compressão e expansão no plano de Argand - Gauss.

Nas soluções apresentam-se os procedimentos utilizados para a resolução de cada

construção, pois esta foi uma dificuldade enfrentada pela autora no decorrer deste trabalho e

pode servir como um tutorial àqueles que pretendem utilizar e ou construir as atividades que

são descritas na sequência.

Observa-se que na resolução da maioria das atividades serão utilizados controles

deslizantes. O controle deslizante é uma ferramenta oferecida pelo aplicativo GeoGebra que

permite alterar alguns parâmetros. Esse dinamismo apresentado na interação com o aplett faz

com que os exercícios propostos se tornem diferentes dos que são apresentados nos livros

didáticos, pois ilustram a visualização das situações propostas. Outro recurso do GeoGebra

utilizado nestas atividades é a ferramenta cores dinâmicas que se acredita tornar a

apresentação das mesmas esteticamente mais atrativa.

5.1 ATIVIDADE 1 – ROTAÇÃO DE UM PONTO POR ÂNGULOS NOTÁVEIS

Como visto na revisão das referências de Ensino Médio e Superior, o produto de dois

números complexos pode ser representado nas formas algébrica e trigonométrica. Para a

resolução desta atividade utilizou-se a forma algébrica, pois mesmo sendo fundamentais os

dados fornecidos pela forma trigonométrica, tem-se o auxílio do GeoGebra para a obtenção

do resultado solicitado.

O objetivo dessa atividade é oportunizar uma visualização geométrica do produto de

dois números complexos, sendo um deles fixo e outro, variável.

34

Exercício: Determine a rotação obtida quando se multiplica um número complexo qualquer

por:

a. 2 2

2 2z i

b. 1 0z i

c. 𝑧 = 0 − 𝑖

d. 𝑧 = 0 + 𝑖

Solução:

a. Como se trata de um número complexo qualquer, inicialmente existe a necessidade de criar

dois controles deslizantes 𝑎 e 𝑏. Após, utilizando o comando ponto e a caixa de entrada,

determina-se o número complexo 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖. Para determinar o produto por 2 2

2 2z i

digita-se a expressão 𝑧. 𝑧1 na caixa de entrada, obtendo 𝑧2. Para determinar o ângulo entre os

números complexos 𝑧1e 𝑧2, utiliza-se a ferramenta ângulo. Observa-se que ao mover os

controles deslizantes é possível verificar que, para quaisquer valores de 𝑎 e 𝑏, o valor do

ângulo entre os números complexos é sempre o mesmo, ou seja, a rotação obtida é de 45º ,

conforme apresenta a Figura 1.

Figura 1 – Rotação de 45°

Fonte: Autor

35

b. Realizando os mesmos procedimentos descritos anteriormente, ou seja, criando os controles

deslizantes 𝑎 e 𝑏, determinando 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖, multiplicando por 𝑧 = −1 + 0𝑖, obtém-se o

número complexo 4z . Determinando o ângulo, podem-se mover os controles deslizantes e

verificar que, para quaisquer valores de 𝑎 e 𝑏, a rotação obtida é de 180°, conforme apresenta

a figura 2.

Figura 2 – Rotação de 180°

Fonte: Autor

c. Multiplicando 𝑧1 = 𝑎 + 𝑏𝑖 por −𝑖, determinado após a criação dos controles deslizantes 𝑎 e

𝑏 obtém-se o complexo 5z . Movimentando os controles deslizantes é possível verificar que

para quaisquer valores de 𝑎 e 𝑏, a rotação obtida é de 270º como se pode observar na Figura

3.

Figura 3 – Rotação de 270°

Fonte: Autor

36

d. Analogamente verifica-se que multiplicando 𝑧1 por 𝑧 = 𝑖 obtém-se uma rotação de 90°

(Figura 4).

Figura 4 – Rotação de 90°

Fonte: Autor

5.2 ATIVIDADE 2 – ROTAÇÃO DE UM PONTO POR UM ÂNGULO QUALQUER

Essa atividade é dividida em duas partes. Primeiramente, a multiplicação de dois

números complexos é realizada da forma tradicional e com o uso do aplicativo. Na segunda

parte, utilizar-se-á as representações algébrica e polar da multiplicação de números

complexos, uma vez que se deve apresentar a rotação do ponto por um ângulo qualquer e

neste sentido, como será visto, a utilização da forma polar é fundamental. O objetivo da

atividade é proporcionar uma visualização do efeito geométrico produzido ao multiplicar um

número complexo qualquer pelo número imaginário 𝑖.

Exercício 1: Determine as coordenadas de um ponto qualquer após uma rotação de 90º no

sentido anti-horário em relação à origem,

a) sem o uso do aplicativo.

b) com o uso do aplicativo.

37

Solução:

a) Sabe-se que o ponto 𝐴(𝑎, 𝑏), representa o número complexo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖. Dessa forma,

toma-se (apenas para facilitar os cálculos) como exemplo o ponto 𝐴(3,4) representando o

número complexo 𝑧1 = 3 + 4𝑖. Como foi visto na atividade anterior, para a obtenção da

rotação de 90º é necessário multiplicar 𝑧1 = 3 + 4𝑖 por 𝑖, assim:

2 1

2

2

2

2

2

.

(3 4 ).

3 4

3 4

4 3

z z i

z i i

z i i

z i

z i

Portanto, quando se efetua este produto, gera-se o ponto 𝐴′ (−4,3) que representa as

coordenadas do ponto A após a rotação de 90º.

Generalizando, tem-se:

2 1

2

2

2

2

2

.

( ).

z z i

z a bi i

z ai bi

z ai b

z b ai

Assim, quando se efetua este produto, obtém-se o ponto ' ,A b a que representa as

coordenadas do ponto A após a rotação de 90º.

b) Para resolver geometricamente, com o auxílio do GeoGebra, segue-se os seguintes

procedimentos:

Inicialmente constroem-se dois controles deslizantes 𝑎 e 𝑏 e digita-se na caixa de entrada

A a bi , para determinar no plano o ponto A . Após efetua-se o produto .Ai , determinando

2z, que representa o ponto 'A . Com a ferramenta ângulo presente no GeoGebra, verifica-se o

valor do ângulo 'AÔA . Observa-se que, na Figura 5, o ponto A representa o número

1 3 4z i , mas poderia representar outro número complexo qualquer.

38

Figura 5 – Rotação de um ponto por um ângulo de 90°

Fonte: Autor

Exercício 2: Ilustre o resultado obtido no exercício 1, indicando como se deve proceder para

rotacionar o ponto A em um ângulo qualquer?

Solução:

Para rotacionar o ponto A por um ângulo qualquer, pode-se pensar na forma polar do

número complexo z que representa o ponto A no plano complexo. Para isso, cria-se via o

aplicativo, um ponto qualquer A e na opção Propriedades, altera-se sua condição para

complexo.

Feito isso, constrói-se no GeoGebra três controles deslizantes, sendo um para o ângulo

e dois para números 𝑎 e 𝑏. Após determina-se o número complexo 𝑧2 = 𝑎 + 𝑏𝑖 utilizando

a caixa de entrada.

O módulo de 2z é obtido utilizando o comando 𝑎𝑏𝑠(𝑧2) resultando o número c .

Considera-se 1z como a forma polar de 2z escrita da seguinte forma: 1 (cos )z c isen ,

utilizando para isso a caixa de entrada.

Para obter as rotações solicitadas, deve-se multiplicar A por 1z , obtendo o número

complexo 3z . Animando o controle deslizante , observa-se a rotação de que 3z representa

as novas coordenadas A , para 0º 360º . Verifica-se que 3z descreve uma circunferência

cujo raio é o seu módulo. A figura 6 representa um exemplo da rotação do ponto 𝐴 por um

ângulo de 76°.

39

Figura 6 – Rotação de um ponto por um ângulo qualquer

Fonte: Autor

5.3 ATIVIDADE 3 – ROTAÇÃO DE UM SEGMENTO

Nesta atividade serão usadas as formas algébrica e polar fazendo nossa opção

conforme nossa necessidade. Apresenta-se este exercício com o intuito de fazer com que os

alunos percebam que, a partir dos procedimentos do exercício anterior, pode-se rotacionar um

segmento.

Exercício 1: Dado um segmento AB qualquer, determine suas novas coordenadas, após uma

rotação de 90º no sentido anti-horário em relação ao ponto A .

Solução:

Constrói-se o segmento AB utilizando a ferramenta segmento do GeoGebra. Para que

se operar com estes pontos altera-se, na opção propriedades, a condição coordenada cartesiana

para números complexos, conforme apresenta a Figura 7.

40

Figura 7: Alteração das propriedades dos pontos A e B.

Fonte: Autor

Inicialmente observa-se que as extremidades do segmento AB necessariamente não

coincidirão com a origem do sistema de coordenadas. Assim sendo, deve-se transladá-lo com

o intuito de que uma de suas extremidades coincida com a origem. Para isso, define-se o

ponto B A = 3z e constrói-se o segmento com extremidades (0,0)O e 3z.

Como a rotação solicitada é de 90º no sentido anti-horário em relação ao ponto A ,

multiplica-se 3z por 𝑖 obtendo dessa forma o complexo 4z .

Finalmente, para obter a extremidade do segmento rotacionado, basta somar A a 3z

determinando 5z . Assim, o segmento 5Az , observado na Figura 8, é o segmento solicitado no

exercício.

Figura 8 – Rotação de um segmento por um ângulo 90°

Fonte: Autor

41

Vale salientar que existe a possibilidade de transladar o segmento 𝐴𝐵, como feito

anteriormente, devido à possibilidade de associar os números complexos a vetores, que são

representações de um feixe de segmentos orientados.

Exercício 2: Com o intuito de generalizar o exercício acima encontre as novas coordenadas

do segmento AB , para uma rotação qualquer, em relação ao ponto A .

Solução:

Assim como no exercício anterior, deve-se iniciar construindo o segmento AB

utilizando a ferramenta segmento do GeoGebra. Para que seja possível operar com estes

pontos alteram-se as propriedades de coordenadas cartesianas para números complexos.

Como observado na atividade anterior existe a necessidade de que uma das extremidades seja

a origem do sistema, assim como realizado translada-se o segmento, que terá extremidades

(0,0)O e 1z .

Como a rotação realizada é por um ângulo qualquer, multiplica-se 1z por

3 (cos )z isen obtendo o complexo 4z

.

Vê-se que 3z foi tomado com módulo unitário, pois o objetivo é rotacionar o segmento

AB sem alterar seu comprimento. Finalmente, para obter a extremidade do segmento

rotacionado, deve-se somar A a 4z determinando 5z . Assim, o segmento 5Az é o segmento

solicitado no exercício (Figura 9).

Figura 9 – Rotação de um segmento por um ângulo qualquer

Fonte: Autor

42

5.4 ATIVIDADE 4 – POTÊNCIAS DE NÚMEROS COMPLEXOS

É sabido, desde o ensino fundamental, que a potenciação é um caso particular da

multiplicação no qual todos os termos são iguais. Assim, esta atividade tem como objetivo

mostrar, geometricamente, uma consequência deste fato, ou seja, mostrar que a potência de

um número complexo de ordem 𝒏 é o número complexo de módulo igual do número elevado

a 𝒏 (varia em progressão geométrica) e o argumento é igual ao argumento do número

multiplicado por 𝒏 (varia em progressão aritmética) o comportamento de uma potência com

base complexa.

Exercício 1: Determine o comportamento do número complexo 𝒛𝒏 e justifique o resultado

obtido:

Solução:

Para realizar essa atividade, constrói-se um ponto 𝐶 sobre o segmento 𝐴𝐵,

previamente determinado a partir das ferramentas do aplicativo. Modifica-se na caixa

propriedades o ponto C de coordenadas cartesianas para Número Complexo.

Na caixa exibir seleciona-se a opção planilha. Nessa planilha, digita-se na célula 𝐴1,

= 𝐶 na célula e na célula 𝐴2 digita-se = 𝐴1 ∗ 𝐴$1. Após seleciona-se esta célula copia-se as

informações, arrastando-a até a célula 𝐴100.

Para verificar que as potências tem comportamento espiral, anima-se o ponto 𝐶 sobre

o segmento, como apresenta a Figura 10.

Figura 10 – Comportamento espiral do número complexo zn

Fonte: Autor

43

A disposição dos pontos na forma espiral se deve ao fato do módulo dos produtos

realizados, variarem em progressão geométrica e argumentos em progressão aritmética. Pode-

se também movimentar o segmento 𝐴𝐵.

Observa-se que quando se traçam segmentos que unem os números complexos

(pontos) que representam estas potências um efeito, que se julga interessante, é obtido. Para

determinar os segmentos, basta digitar na célula 𝐵2 = 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜[𝐴1, 𝐴2]. Depois se

seleciona esta célula e arrasta-se até a célula 𝐵100. A figura 11 apresenta a construção

realizada.

Figura 11 – Pontos que representam as potências unidas por segmentos

Fonte: Autor

Como se está trabalhando em um aplicativo computacional e podem-se utilizar as

ferramentas que o mesmo oferece, realiza-se o seguinte questionamento: E se para unir estas

potências fossem usados semicírculos? Para isto na célula 𝐶2 digita-se

= 𝑆𝑒𝑚𝑖𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜[𝐴1, 𝐴2], seleciona-se esta célula e arrasta-se até a célula 𝐶100. A figura 12

apresenta 4 momentos distintos da mesma construção, que são obtidas ao animar o ponto 𝐶.

44

Figura 12 - Potências ligadas por semicírculos

Fonte: Autor

Vale ressaltar que apenas os pontos representam as potências, estão sendo utilizados

segmentos e semicírculos apenas como ilustração.

5.5 ATIVIDADE 5 – RAÍZES DA UNIDADE

Esta atividade tem como objetivo verificar que os afixos das raízes da unidade de um

número complexo pertencem à circunferência de raio unitário e ainda que esta circunferência

fica divida em 𝑛 partes congruentes entre si, ou seja, determinam polígonos regulares de 𝑛

lados inscritos na circunferência.

Exercício 1: Obtenha as raízes da unidade para ângulos inteiros de um número

complexo qualquer.

45

Solução:

Constrói-se uma circunferência de centro na origem e raio 1. Cria-se um controle

deslizante 𝑑 que representará o ângulo. Sobre a circunferência insere-se um ponto 𝐵. Muda-se

as propriedades de B para complexo e como realizado na atividade 3, exercício 2, determina-

se 𝐵′, rotação do ponto 𝐵 por um ângulo 𝑑. Outra forma de realizar a mesma construção é

utilizando a ferramenta rotação em torno de um ponto. Para tanto deve- se marcar o ponto 𝐵,

que será rotacionado, o ponto 𝐴 em torno do qual se deseja a rotação e finalmente o ângulo de

rotação 𝑑, obtendo assim o ponto 𝐵′.

Exibe-se a planilha, e digita-se na célula na célula 𝐴1 = 𝐵′ e na célula 𝐴2, = 𝐴1 ∗

𝐴$1. Após deve-se selecionar esta célula e arrastar até a célula 𝐴200.

Observam-se, na Figura 13, que todos os pontos estão sobre a circunferência de raio

unitário, estas são as raízes da unidade. Atente para o fato de que o número de raízes varia

conforme varia o ângulo 𝑑.

Figura 13 – Raízes da unidade

Fonte: Autor

Usufruindo dos recursos oferecidos pelo GeoGebra é possível visualizar alguns

polígonos regulares inscritos obtidos ligando as raízes obtidas por segmentos. Assim, digita-

se na célula 𝐵2 = 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜[𝐴1, 𝐴2]. Seleciona-se esta célula e arrasta-se até a célula 𝐵3.

Novamente até a célula 𝐵4. Sugere-se arrastar lentamente e, observar a construção até célula

𝐵200. Neste processo verifica-se que a cada iteração o segmento une raízes diferentes.

A Figura 14 apresenta o comportamento destes segmentos para o ângulo 𝑑 = 45°.

Movimentando o controle deslizante 𝑑 pode-se determinar outras representações.

46

Figura 14 – Raízes da unidade ligadas por segmentos

Fonte: Autor

5.6 REFLEXÃO SOBRE AS ATIVIDADES:

Durante a elaboração da atividade 1 teve-se a preocupação de escolher os números

complexos acima, por representarem rotações pelos ângulos notáveis os quais são solicitados

com frequência nos exercícios dos livros de Ensino Médio revisados. Vale observar que já no

cabeçalho do exercício é dito para o aluno verificar a rotação produzida. Não é dada ao aluno

a oportunidade de refletir sobre o efeito obtido com esta operação.

A atividade 2 foi dividida em duas partes, a primeira, realizada sem o uso do

aplicativo com o intuito de introduzir aos alunos uma generalização; e a segunda com o

objetivo de ilustrar, mesmo que parcialmente, o resultado obtido no primeiro item.

Com a atividade 3 procurou-se mostrar que, a partir dos procedimentos anteriores que

ilustraram a rotação de pontos por meio da multiplicação de números complexos, também se

pode rotacionar segmentos. Nesta atividade foi utilizado o fato dos números complexos terem

seus afixos associados a vetores.

Para a elaboração da atividade 4 trabalhou-se com a potenciação de base complexa

utilizando a Fórmula de Moivre intencionou-se ilustrar o comportamento espiralado dessa

operação. Aproveitando os recursos oferecidos pelo GeoGebra, as potências obtidas foram

ligadas por segmentos e por semicírculos para tornar as simulações mais atraentes, porém

novamente ressalta-se que apenas os pontos representam as potências.

Enfim, com estas atividades foi possível ilustrar a rotação produzida quando se

multiplica dois números complexos. Movimento, este gerado pela soma dos argumentos dos

números envolvidos na operação.

47

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A contribuição principal deste trabalho é a abordagem dos números complexos dando

ênfase às simulações realizadas por meio do software GeoGebra. Cada uma das atividades

propostas teve como objetivo proporcionar uma melhor compreensão e visualização dos

resultados de diferentes operações, com especial destaque para a operação de multiplicação e

radiciação de números complexos, dependendo do módulo dos números considerados.

Ao longo deste processo, houve também o desafio de se utilizar o software

GeoGebra no contexto de números complexos, uma vez que este aplicativo tradicionalmente

é utilizado para aplicações em geometria e funções. O módulo disponível para aritmética

complexa possui várias funcionalidades, mas que para a realização das simulações desejadas

não se mostrou eficiente. Desta forma, a ferramenta para utilização de planilhas, acoplada ao

GeoGebra, possibilitou a utilização do conceito de lugar geométrico fundamental para a

obtenção das iterações de semicírculos. Esse recurso abre, na verdade, a possibilidade de se

obter a manipulação de outros objetos através da aritmética complexa de forma mais eficiente.

Inicialmente, desejava-se comparar movimentos da natureza, como o desabrochar de

uma flor, ou o crescimento de conchas e plantas, com a operação de multiplicação entre

números complexos. Acredita-se que os resultados preliminares obtidos neste trabalho são um

bom indicativo de que se está na direção certa. Além da parte computacional, este trabalho

apresenta um apanhado histórico sobre a evolução do pensamento matemático com relação à

criação e axiomatização do conjunto dos números complexos. Pôde-se perceber que houve

grande resistência pelos matemáticos quanto à aceitação da existência destes números.

Acredita-se que, de certa forma, esta resistência acaba sendo refletida ainda nos dias de hoje,

devido ao menor enfoque dispensado a este assunto inclusive pelos PCN.

Além disso, neste trabalho apresenta-se uma estatística preliminar com relação

aos índices de reprovação em disciplinas de graduação da UFSM que envolvem conteúdos

sobre números complexos. Estes dados foram obtidos junto às coordenações dos cursos de

Matemática e Engenharia Elétrica para quatro semestres (entre 2013 e 2015). A compreensão

da problemática com relação aos altos índices de reprovação nestas disciplinas e sabidamente

nas demais disciplinas de matemática nos cursos técnicos está além do escopo deste trabalho.

No entanto procura-se realizar uma análise entre três livros didáticos utilizados no

Ensino Médio e dois para as disciplinas de graduação na expectativa de se propor atividades e

exercícios que possam ilustrar de forma alternativa conteúdos que são essenciais para a

assimilação dos conteúdos futuros vistos em disciplinas da graduação.

48

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