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Formulação Variacional para vigas

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• Viga : o comprimento é bem maior queas dimensões da seção transversal.

• Interesse no estudo de vigas: reside em ações de movimento chamadas ações de flexão, ou seja, deslocamentos transversais na direção do eixo y associados a rotações das seções transversais em torno do eixo z.

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• Dois modelos: Euler-Bernoulli e Timoshenko.

• Diferença Euler-Bernoulli não considera a deformação de cisalhamento presente nas seções transversais, ao passo que o modelo de Timoshenko irá considerar tal deformação.

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• Eixos de referência para uma viga

Definição da Cinemática • Hipóteses: seções permanecem planas,

indeformadas e ortogonais ao eixo longitudinal x da viga ( como em barra)

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• Em cada seção ocorrerá um deslocamento vertical v(x) e uma rotação em z, que só dependem da coordenada x.

• Devido a esse deslocamento, ocorrerá • também um deslocamento axial u(x), não

existindo um deslocamento na direção z.• Δu = deslocamento na direção x• Δv= deslocamento na direção y• Estes deslocamentos estão expressos na

figura.

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• Coloque um referencial no ponto escolhido• P=(0,0,0)• P`=(0, y,0)• P”= (-Δx, y-Δv, 0)• Logo o deslocamento será dado por P”-P• Δu = -Δx • tgα = Δx/ y-Δv = -Δu/ y-Δv = -u(x)/ y-Δv

no triângulo maior• tgα = Δv/Δx no triangulo menor.

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• Logo, igualando as duas equações temos que:

• Δv/Δx = -u(x)/ y-Δv • U(x)= -y (Δv/Δx) + (Δv*Δv/Δx)• Mas Δv*Δv/Δx é desprezível para Δv

pequeno. Aplicando-se o limite para Δx tendendo a zero teremos

• u(x) = -y (dv(x)/d(x))

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• Sendo assim, é possível definir o campo vetorial u(x), que descreve o deslocamento de uma viga.

• Portanto, a cinemática (V) para uma viga será definida como

• V={u I u1= -y*dv(x)/dx , u2 = v(x), u3=0}

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• Rotação para a viga sob a ação de um momento fletor positivo

• dv(x)/dx = θz(x) >0

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Análise da Deformação• Assim como ocorre em barras, existe uma

deformação específica longitudinal, dada por εxx. No caso de barra,

εxx=du(x)/dx• Foi demonstrado que

u(x)= -ydx(x)/dx• Logo a deformação em vigas será dada por

εxx.= - y*dv2(x)/dx2

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• Para a componente em y da deformação, temos um caso análogo ao da barra, onde o operador que relaciona a cinemática à deformação é a derivada de primeira ordem.

εyy=dv(x)/dx

• Se toda a seção sofrer a mesma variação transversal v(x), εyy será 0, como se pode comprovar. Só existirá translação do corpo.

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Movimento de corpos rígidos

• Já analisamos o caso de εyy para v(x) = cte. Vamos analisar agora para εXX.

• Sabemos que εxx= - y*dv2(x)/dx2

• Para um corpo rígido a deformação longitudinal será 0 e portanto teremos que

- y*dv2(x)/dx2 = 0 , o que implica em dv(x)/dx = cte.

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• θz(x) = dv(x)/dx = cte . Todo o corpo sofre a mesma rotação em z.

• O subconjunto dos movimentos rígidos pode ser definido como :

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Potência Interna • Devemos lembrar que a potência interna

relaciona os esforços internos (estado de tensão) com as deformações. Como desconsidera-se a tensão de cisalhamento, a única componente de deformação será εXX.

• Sendo assim, a Potência Interna será dada por:

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• Lembre-se que o sinal negativo é uma mera convenção.

• Substituindo a deformação εXX, teremos:

• E abrindo a integral de volume em termos do comprimento e da área.

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• Denominaremos a integral entre parênteses de momento fletor Mz

• Essa integral pode ser escrita como

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• A Potência Interna em termos de momento ficaria sendo:

• Integra-se duas vezes por partes:

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• Observe que

• Lembrando que θz(x) = dv(x)/dx , temos:

• Expandido temos que

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Aplicação do PPV• Sabemos que para o equilíbrio, Pi = Pe.

Logo:

• Logo, deverá haver o seguinte correlação

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Caracterização dos Esforços Externos• Observando a expressão final para potência

interna, observamos que deve existir uma densidade de força distribuída, além de forças cortantes e momentos fletores em ambas as extremidades, para que o corpo permaneça em equilíbrio.

• Vo, VL Forças Cortantes nas extremidades

• Mo, ML Momentos Fletores nas extremidades • q(x) carregamento transversal distribuído

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• Substituindo esses esforços na equação do PPV e rearranjando teremos:

• O que implica em:

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• Exercício Prático 1 : Determinar as equações de força cortante e momento, para a viga da figura abaixo.

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• Exercício Prático 2 : Determinar as equações de força cortante e momento, para a viga da figura abaixo.

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Aplicação da Equação Construtiva• Sabemos que σxx = E εxx e que

substituindo a deformação teremos

• Sendo o momento fletor dado por

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• Pode-se fazer a substituição e se obter

• A integral representa o momento de inércia de área. Sendo assim, teremos que

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• Substituindo essa equação na equação básica para viga obtida por formulação variacional, teremos que:

• 1a Integral Força Cortante• 2a Integral Momento Fletor• 3a Integral Rotação em relação a z• 4a Integral Flecha da viga

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• As restrições cinemáticas ( espaço Kinv )

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• Relação extremamente importantes

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Convenções de Sinais para Forças e Momentos.

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• A linha que passa pelo centróide da viga e determina um estado nulo de tensão é chamada de linha neutra.

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Dimensionamento de Viga• Determinar dimensões para que a viga

permaneça na fase elástica.1. Determinar os diagramas pela equação

diferencial.2. Determinar Mzmax pelo diagrama e a

coordenada ymax

3. Aplicar a expressão

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• Wz = Módulo de resistência a flexão

• Wz = Iz/ymax

• Dimensionamento calcula-se Iz e depois determina-se a seção.

• Retângulo Iz = (b*h3)/12• Seção Circular = (π *d3/64)• Perfil I : Calcular o momento de Inércia• Verificação da viga

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• Exercício Prático 1: Determinar as equações de força cortante, momento, rotação e flecha para a viga da figura abaixo.

Q0 =100N/m

100N

200N/mL , Iz

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• Exercício Prático 2: Determinar a) equações de força cortante, momento, rotação e flecha b) reações de apoio c)dimensão mínima B para que os requisitos de tensão e flecha sejam respeitados. σ= 200N/mm2 E=2x106N/mm2, q0 = 10.000 N/m, L= 5m, vmax= L/1000 , viga com formato Bx3B. Redimensione para uma seção circular.

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• Exercício Prático 3: Considerações sobre vigas com ou sem rótulas. Viga bi-engastada com carregamento distribuído qo. A primeira viga não possui rótula e a segunda possui na distancia L/2. (Olhar 6.4 na apostila)