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EME 311Mecânica dos Sólidos- CAPÍTULO 01 -- CAPÍTULO 01 -
Profa. PatriciaEmail: [email protected]
IEM – Instituto de Engenharia MecânicaUNIFEI – Universidade Federal de Itajubá
� 1.1 – Visão Global da Mecânica� 1.1.1 – Mecânica dos corpos rígidos� 1.1.2 – Conceitos
� 1.2 – Unidades de Medidas� 1.3 – Grandezas Escalares e Vetoriais
1 – INTRODUÇÃO
Capítulo 1 - Introdução 2
� 1.3 – Grandezas Escalares e Vetoriais� 1.3.1 – Operações vetoriais� 1.3.2 – Adição de forças vetoriais� 1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares� 1.3.4 – Vetores cartesianos
1.1 - Visão Global da Mecânica
� MECÂNICA
Ciência física aplicada que trata dos estudos das forças e dos movimentos.
Capítulo 1 - Introdução 3
estudos das forças e dos movimentos.
A Mecânica descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de
corpos sob a ação de forças.
1.1 - Visão Global da Mecânica
Capítulo 1 - Introdução 4
1.1.1 - Mecânica dos corpos rígidos
� Estática :� se refere aos corpos em repouso e estuda as
forças em equilíbrio, independentemente domovimento (velocidade constante) por elasproduzido.
Capítulo 1 - Introdução 5
produzido.
� Na Estática, os corpos analisados sãoconsiderados rígidos, consequentemente, osresultados obtidos independem daspropriedades do material.
� Dinâmica:� estuda a relação entre o movimento e a causa
que o produz (força);� Preocupa-se com o movimento acelerado dos
corpos.
1.1.1 - Mecânica dos corpos rígidos
Capítulo 1 - Introdução 6
corpos.� Estática é um caso particular da dinâmica, no
qual a aceleração é nula.
1.1.2 - Conceitos
MODELOS E IDEALIZAÇÕES
� Ponto material – possui massa, mas asdimensões são desprezíveis;
Capítulo 1 - Introdução 7
� Corpo rígido – corpo que não deforma sob efeitode carregamento;
� Forças concentradas – forças que atuam em umponto de um corpo.
LEIS DE NEWTON� Primeira Lei : uma partícula em descanso,
ou movendo-se a velocidade constante,tende a permanecer em seu estado(equilíbrio).
1.1.2 - Conceitos
Capítulo 1 - Introdução 8
(equilíbrio).
LEIS DE NEWTON� Segunda Lei : uma partícula de massa m
onde uma força F atua, ganha aceleração aque tem a mesma direção e magnitudeproporcional à força aplicada.
1.1.2 - Conceitos
Capítulo 1 - Introdução 9
proporcional à força aplicada.
LEIS DE NEWTON� Terceira Lei : forças mútuas de ação e
reação entre duas partículas são iguais,opostas e colineares.
1.1.2 - Conceitos
Capítulo 1 - Introdução 10
1.2 – Unidades de Medidas
Sistema Internacional de Unidades (SI)
� unidades básicas:� metro (m);� quilograma (kg); e
Capítulo 1 - Introdução 11
� quilograma (kg); e� segundo (s).
� unidades derivadas:� força, trabalho, pressão, etc...
Sistema Internacional de Unidades (SI)
� A unidade de força, chamada Newton (N), éderivada de F=ma (segunda Lei de Newton);
1.2 – Unidades de Medidas
Capítulo 1 - Introdução 12
� Então o Newton (N) é igual a força queimprime a aceleração de 1 m/s2 à massa de1 kg.� 1 N = 1 kg . 1 m/s2
Sistema Usual Americano(FPS – feet, pound, second – pé, libra, segundo)
� comprimento – pés (pés);� Força – libras (lb);� Tempo – segundos (s).
1.2 – Unidades de Medidas
Capítulo 1 - Introdução 13
Tempo – segundos (s).
� A unidade de massa, chamada slug, éderivada de F=ma.� 1 slug é igual à quantidade de matéria acelerada
de 1 pé/s2 quando acionada por uma força de 1 lb� 1 slug = 1 lb . s2/pé.
SISTEMAS DE UNIDADES
Nome Comprimento Tempo Massa Força
SI metro segundo quilograma Newton*
(m) (s) (kg) (N)
1.2 – Unidades de Medidas
Capítulo 1 - Introdução 14
(m) (s) (kg) (N)
(kg.m/s2)
FPS pé segundo slug* libra
(pé) (s) (lb.s2/pé) (lb)
* Unidade derivada
FATORES DE CONVERSÃO
QuantidadeUnidade de medida
(FPS)Igual a
Unidade de medida (SI)
Força lb 4,4482 N
Massa slug 14,5938 kg
1.2 – Unidades de Medidas
Capítulo 1 - Introdução 15
Massa slug 14,5938 kg
Comprimento pé 0,3048 m
� No sistema FPS:� 1 pé = 12 polegadas;� 1000 lb = 1 kip
(quilolibra)
� Outras conversões:� 1 polegada = 2,54 cm� 1 kgf = 9,81 N
Prefixos usados no SI
Forma exponencial Prefixo Símbolo SI
109 Giga G
106 Mega M
1.2 – Unidades de Medidas
Capítulo 1 - Introdução 16
106 Mega M
103 Kilo k
10-3 Mili m
10-6 Micro µ
10-9 Nano n
1.3 – Grandezas Escalares e Vetoriais
� ESCALAR – quantidade caracterizada porum número positivo ou negativo.� Ex.: massa, volume, comprimento, tempo.
Capítulo 1 - Introdução 17
� VETOR – quantidade que tem intensidade edireção.� Ex.: posição, força, momento.
CONVENSÃO� ESCALAR
� É representado por uma letra em itálico (A);
VETOR
1.3 – Grandezas Escalares e Vetoriais
Capítulo 1 - Introdução 18
� VETOR� Nas aulas (livros) é representado em
negrito (A);
� Em manuscritos é representado por umaletra com uma flecha em cima ( ).A
�
� Representação gráfica de um VETOR:� intensidade - comprimento da flecha;� direção - definida pelo ângulo entre o eixo de
referência e a reta de ação da flecha;sentido - indicado pela ponta da flecha.
1.3 – Grandezas Escalares e Vetoriais
Capítulo 1 - Introdução 19
� sentido - indicado pela ponta da flecha.
1.3.1 - Operações vetoriais
� Multiplicação e divisão de um vetor por um escalar:
SENTIDO OPOSTO
Capítulo 1 - Introdução 20
MESMO SENTIDO
� Adição vetorial:� R vai da origem á extremidade� R = A + B = B + A (comutativa)
1.3.1 - Operações vetoriais
Capítulo 1 - Introdução 21
� Subtração vetorial:� R’ = A - B = A + (- B)
1.3.1 - Operações vetoriais
Capítulo 1 - Introdução 22
� Exemplos de aplicação:� Determinar Vetor Resultante Força:
FR = F1+F2
1.3.1 - Operações vetoriais
Capítulo 1 - Introdução 23
� Exemplos de aplicação:� Determinar componentes de um vetor de força:
1.3.1 - Operações vetoriais
Capítulo 1 - Introdução 24
� Resultante de 3 forças F1, F2 e F3 sobre umponto O:� Determina-se a resultante de duas forças e
depois se adiciona essa resultante à terceiraforça.
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
Capítulo 1 - Introdução 25
força.� FR = (F1 + F2 ) + F3
LEI DO PARALELOGRAMO
Trigonometria:
� Procedimento pararesolver problemasque envolvam duas
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
Capítulo 1 - Introdução 26
que envolvam duasforças
Exemplo:
O gancho é submetido àduas forças, F1 e F2.Determinar a intensidade
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
Capítulo 1 - Introdução 27
Determinar a intensidadee direção da forçaresultante.
Resolução : Lei paralelogramo / Triângulo
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
Capítulo 1 - Introdução 28
Resolução :� Determinar força resultante:
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
Capítulo 1 - Introdução 29
Resolução :� Determinar direção força resultante:
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
Capítulo 1 - Introdução 30
Exemplo:
Determinar a intensidadedas componentes daforça de 600 lb aplicada
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
Capítulo 1 - Introdução 31
força de 600 lb aplicadana estrutura da figura noeixos u e v.
Resolução : Lei paralelogramo / Triângulo
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
Capítulo 1 - Introdução 32
Resolução :� Determinar a intensidade das componentes:
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
Capítulo 1 - Introdução 33
1.3.2 - Adição de forças vetoriais
� Usar a lei do paralelogramo para adicionarmais de duas forças requer cálculosextensos de geometria e trigonometria paradeterminar os valores numéricos daintensidade e direção da resultante;
Capítulo 1 - Introdução 34
intensidade e direção da resultante;
� Problemas deste tipo são mais facilmenteresolvidos usando-se o “método doscomponentes retangulares”.
Método dos componentes retangulares� componentes vetoriais que são mutuamente
perpendiculares.
1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares
Capítulo 1 - Introdução 35
F = Fx + Fy
Método dos componentes retangularesPela lei do paralelogramo
1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares
Capítulo 1 - Introdução 36
F’ = F’ x + F’ y
F = Fx + Fy
F = F i + F j
Método dos componentes retangularesEm termos dos vetores cartesiano unitários: i e j .
1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares
Capítulo 1 - Introdução 37
F = Fx i + Fy j
Em manuscritos: ˆ ˆx yF F i F j= +
�
escalar
F’ = F’ x + F’ y
Método dos componentes retangularesEm termos dos vetores cartesiano unitários: i e j .
1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares
Capítulo 1 - Introdução 38
F’ = F’ x i + F’ y (-j)
F’ = F’ x i - F’ y j
Em manuscritos: ˆ ˆx yF F i F j= −
�
Qual a resultante?
1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares
Capítulo 1 - Introdução 39
Usando:
Qual a resultante?
1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares
Capítulo 1 - Introdução 40
NOTAÇÃO VETORIAL CARTESIANA
F1 = F1x i + F1y j
F = - F i + F j
Em termos das componentes:
1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares
Capítulo 1 - Introdução 41
F2 = - F2x i + F2y j
F3 = F3x i - F3y j
FR = F1 + F2 + F3
= F1x i + F1y j - F2x i + F2y j + F3x i - F3y j
Qual a resultante?
1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares
Capítulo 1 - Introdução 42
= F1x i + F1y j - F2x i + F2y j + F3x i - F3y j
= (F1x - F2x + F3x ) i + (F1y + F2y - F3y ) j
= (FRx) i + (FRy) j
Usando:
Qual a resultante?
1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares
Capítulo 1 - Introdução 43
NOTAÇÃO ESCALAR
FRx =
= F - F + F
xF∑
Em termos das componentes:
1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares
Capítulo 1 - Introdução 44
= F1x - F2x + F3x
FRy =
= F1y + F2y - F3y
yF∑
Pelo teorema de Pitágoras:
2 2R Rx RyF F F= +
1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares
Capítulo 1 - Introdução 45
Ry
Rx
Ftg
Fθ =
A resultante produz o mesmo
efeito de tração no
1.3.3 – Adição de um sistema de forças coplanares
Capítulo 1 - Introdução 46
efeito de tração no suporte que os quatro cabos.
Determine a intensidade da força resultante e a suadireção, medida no sentido anti-horário a partir do eixoxpositivo.
Exemplo 1
Capítulo 1 - Introdução 47
Determine a grandeza da força resultante e sua direção,medida no sentido anti-horário a partir do eixox positivo.
Exemplo 2
Capítulo 1 - Introdução 48
1.3.4 - Vetores cartesianos
Regra da mão
Capítulo 1 - Introdução 49
Regra da mão direita
x y zA A A= + +A i j k
1.3.4 - Vetores cartesianos
Vetor:
Capítulo 1 - Introdução 50
2 2 2x y zA A A A= + +
Intensidade:
Direção:Um modo fácil de obter oscossenos diretores de A écriar um vetor unitário nadireção de A.
1.3.4 - Vetores cartesianos
ûA
Capítulo 1 - Introdução 51
A
yx z
AAA A
A A A
=
= + +
Au
i j k
yxAA
cos cosα β= =
Direção:Os componentes de uA sãoos cossenos diretores de A.
1.3.4 - Vetores cartesianos
ûA
Capítulo 1 - Introdução 52
yx
z
AAcos cos
A AA
cosA
α β
γ
= =
=
1.3.4 - Vetores cartesianos
Capítulo 1 - Introdução 53
( )ˆA AA A Au
A cos cos cosα β γ= == + +
A u
i k
�
1.3.4 - Vetores cartesianos
ûA
Capítulo 1 - Introdução 54
x y z
Acos Acos
Acos
A A A
α βγ
= + ++
= + +
i j
k
i j k
1.3.4 - Vetores cartesianos
Capítulo 1 - Introdução 55
A força F que o cabo de amarração da aeronave exerce sobre o apoio em O é orientada ao longo do cabo
Exemplo 3
Determine a intensidade e os ângulos diretorescoordenados da força resultante que atua sobre o anel.
Capítulo 1 - Introdução 56