Ementa Guia Curricular - · PDF fileFORMULAÇÕES ESCALAR E VETORIAL. 3.2. O...

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  • Mecnica Geral 1 Captulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cludio S. Sartori 1

    1

    Ementa Sistemas de foras aplicadas equivalentes. Equilbrio da partcula. Equilbrio de corpos rgidos. Centride e centro de gravidade. Carregamento distribudo.

    Guia Curricular

    1 Introduo 1.1. VETORES DEFINIO E OPERAES. 1.2. VERSORES. NORMALIZAO. 1.3. DECOMPOSIO DE VETORES. 1.4. SISTEMAS DE UNIDADES

    2 EQUILBRIO DA PARTCULA 2.1. CONDIES DE EQUILBRIO. 2.2. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE 2.3. SISTEMAS DE FORAS COPLANARES. 2.4. SISTEMAS DE FORAS TRIDIMENSIONAIS.

    3 RESULTANTES DE UM SISTEMA DE FORAS. 3.1. MOMENTO DE UMA FORA. FORMULAES ESCALAR E VETORIAL. 3.2. O PRINCPIO DOS MOMENTOS. 3.3. BINRIOS. 3.4. REDUO DE UM CARREGAMENTO DISTRIBUDO SIMPLES.

    4. EQUILBRIO DOS CORPOS RGIDOS 4.1. CONDIES DE EQUILBRIO. 4.2. DIAGRAMAS DE CORPO LIVRE. 4.3. EQUAES DE EQUILBRIO.

    Bibliografia

    BIBLIOGRAFIA Bsica

    1. BEER, F. P.; JOHNSTON JUNIOR, E. R.

    Mecnica vetorial para engenheiros:

    cinemtica e dinmica 5 ed. 2v. So Paulo:

    Makron, 1994.

    2. HIBBELER, R. C. Dinmica: Mecnica para

    Engenharia. 8.ed. Rio de Janeiro Prentice Hall

    Brasil, 2004.

    3. KRAIGE,L.G.;MERIAN,J.L. Mecnica:

    dinmica. Rio de Janeiro: LTC,2004. 4. FRANA, L.N.F.;MATSUMURA,A.Z. Mecnica

    Geral.Edgar Blucher, 2005.

    5. GERE, J. Mecnica dos materiais. So Paulo: Pioneira

    Thomson Learning, 2003

    6. KAMINSKI, P.C. Mecnica geral para engenheiros.

    Edgar Blucher, 2000.

    7. SEARS,F.;YOUNG H. D. Fsica. vol.1, Mecnica.

    Addison Wesley, 2008.

    Cinemtica dos Slidos,Unip, Verso 2, 2009.

  • Mecnica Geral 1 Captulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cludio S. Sartori 2

    2

    1 Introduo 1.1. VETORES DEFINIO E

    OPERAES.

    1.2. VERSORES. NORMALIZAO.

    1.3. DECOMPOSIO DE VETORES.

    1.4. SISTEMAS DE UNIDADES

    Norma ou mdulo de um vetor

    A norma ou mdulo de um vetor ( , , )v x y z

    , denotado por ou v v definida por:

    2 2 2

    v x y z

    z

    z

    v ( , , )v x y z

    y y

    0

    x

    x

    Normalizao de um vetor:

    Dado um vetor u

    qualquer, o vetor de

    mdulo 1 que aponta na mesma direo e sentido de

    u

    dado por:

    u

    un

    u

    n

    Ou:

    2 2 2

    u u u

    u u u

    x i y j z kn

    x y z

    cos cos cosn i j k Dessa relao, obtm-se:

    2 2 2cos cos cos 1

    Importante:

    v

    um vetor, por tanto possui mdulo

    direo e sentido.

    v

    o mdulo do vetor v

    , sendo portanto

    um nmero.

    Determinao de foras

    Para determinar uma fora no espao R3

    devemos:

    1. Localizar o ponto de aplicao A. 2. Encontrar o vetor na direo da

    fora.

    AB B A 3. Normalizar o vetor.

    AB

    ABn

    AB

    4. Encontrar a fora:

    AB ABB

    F F n

    Vetor Unitrio e Versores.

    Um vetor unitrio aquele que possui norma ou

    mdulo 1:

    1v

    Dado um vetor ( , , )v x y z , para encontrarmos o vetor unitrio de mesma direo de

    v , denomina-se versor de v . Representaremos o

    versor de v por v :

    v

    vv

    O versor um vetor unitrio, pois:

    1 1

    vv v

    v v

    Chamamos de base no espao R3 um conjunto de

    trs vetores linearmente independente (LI), ou seja,

    nenhum deles pode ser obtido por uma combinao

    linear dos outros dois.

    1 2 3, ,v v v Um caso particular e de interesse na Geometria

    so as bases em que os vetores so unitrios e

    perpendiculares entre si. Essas bases denominam-se

    bases cannicas. Dizemos que tais vetores so

    ortonormais.

    No espao R3, a base cannica representada

    por:

    , ,i j k Onde:

    0,0,1 i

  • Mecnica Geral 1 Captulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cludio S. Sartori 3

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    0,1,0 j

    1,0,0 k

    Definido os versores, podemos escrever um

    vetor ( , , )v x y z como sendo:

    kvjvivv zyx

    Produto Escalar entre dois vetores:

    Definio: O produto escalar dos vetores

    u u uu x i y j z k

    v v vv x i y j z k

    representado por u v e dado por:

    u v u v u vu v x x y y z z

    Propriedades do produto escalar:

    i. u v v u

    ii. u v w u v u w

    iii. u v u v u v

    iv. 0 0 e 0 0u u u u u u

    v. 2

    u u u

    Observaes:

    1. u u chamado de quadrado escalar do

    vetor u

    2. 2 2 2

    2u v u u v v

    3. 2 2

    u v u v u v

    Definio Geomtrica do produto escalar:

    Dados dois vetores e u v e o ngulo entre eles definimos o produto escalar como sendo:

    cosu v u v

    Aplicando a Lei dos cossenos:

    2 2 2

    cos2

    v u v u

    v u

    2 2 22 cosv u v u v u

    Utilizando a propriedade 2:

    2 2 2

    2u v u u v v

    2 2 2 22 2 cosu u v v v u v u

    2 2 cosu v v u

    cosu v v u

    ngulos diretores e cossenos diretores de um vetor.

    Dado um vetor u u uu x i y j z k no

    nulo chama-se ngulo diretor aos ngulos que o

    vetor u forma com os versores , ,i j k .

    v u

    y

    x

    z

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    Determinao dos ngulos , , :

    cos arccosu ux x

    u u

    cos arccosu uy y

    u u

    cos arccosu uz z

    u u

    ngulo entre dois vetores. Dados dois vetores:

    u u uu x i y j z k

    v v vv x i y j z k

    Podemos encontrar o ngulo entre os

    vetores por meio da equao:

    cosx x y y z zu v u v u v

    u v

    arccosx x y y z zu v u v u v

    u v

    Projeo de um vetor sobre outro.

    Dados dois vetores:

    u u uu x i y j z k

    v v vv x i y j z k

    e o ngulo entre eles, chama-se de

    projeo do vetor u sobre a direo do vetor v o vetor dado por:

    2v

    u vproj u v

    v

    z

    y

    x

    u

    z

    y

    x

    u

    x

    y

    z

    zu

    u

    yu

    xu

    v

  • Mecnica Geral 1 Captulo 1: Vetores - Prof. Dr. Cludio S. Sartori 5

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    Interpretao Geomtrica do produto escalar de dois vetores.

    Considerando o vetor v um vetor unitrio (com

    norma 1, 1v ), podemos fazer:

    2

    1

    1v

    v

    u v vproj u v u v

    v vv

    vproj u u v v Portanto, se tomarmos agora o mdulo do vetor

    projeo, teremos:

    v vproj u u v v proj u u v

    Ou seja, o comprimento do vetor projeo

    de u sobre a direo do vetor v sendo o vetor v

    unitrio, igual ao mdulo do produto escalar de u

    com o vetor v .

    Aplicaes do Produto escalar na Fsica:

    Um conceito importante utilizado na Fsica

    envolvendo a anlise vetorial o produto escalar de

    dois vetores.

    Considere um corpo que se desloca a uma

    distncia r ao longo de uma trajetria descrita pela

    curva C. Em cada instante deste deslocamento h

    uma fora F atuando sobre o corpo de massa m.

    Definimos o trabalho da fora F ao longo da curva C pela integral de linha:

    C

    W F dl

    Aqui dl aponta no sentido da orientao da curva, tem direo tangente ela e representa um

    deslocamento infinitesimal do corpo de massa m.

    No caso da fora ser constante:

    cosW F r W F r Onde r o vetor que possui origem em O e

    termina no ponto de aplicao de F e o ngulo

    entre a fora F e o vetor r .

    cosW F d W F d

    Outro conceito importante que envolve a o

    produto escalar de dois vetores a potncia

    instantnea de uma fora. Como a potncia dada

    por:

    0 0lim lim

    t t

    W F dP P

    t t

    0lim

    t

    v

    dP F

    t

    P F v

    SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES DE MEDIDA (SI); 1971 14

    a conferncia geral de pesos e medidas

    Sistema Internacional de unidades (SI).

    Quantidade

    Fundamentais Nome da

    unidade

    Smbolo

    Comprimento metro m

    Massa kilograma kg

    Tempo segundo s

    Prefixos para o sistema SI:

    Fator Prefix Smbolo Fator Prefix Smbolo

    1024

    yotta Y 10-24

    yocto y

    1021

    zetta Z 10-21

    zepto z

    1018

    exa 10-18

    Atto a

    1015

    peta P 10-15

    femto f

    1012

    tera T 10-12

    Pico p

    109 giga G 10

    -9 Nano n

    106 mega M 10

    -6 micro

    103 kilo k 10

    -3 Milli m

    102 hecto h 10

    -2 centi c

    101 deka da 10

    -1 Deci d

    Prefixos mais usados:

    Fator Prefix Smbolo

    106 mega M

    103 kilo k

    10-2

    centi c

    10-3

    Milli m

    10-6

    micro

    10-9

    Nano n

    Alguns fatores de converso:

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    6

    Massa Comprimento Volume

    1kg=1000g=6.02.1023

    u

    1m=100cm=39.4in

    =3.28ft

    1m3=1000l=35,3ft3=

    264gal

    1slug=14,6kg 1mi=1.61km=5280ft

    Tempo

    1u=1,66.10-27kg 1 in=2.54cm 1d=86400s

    Densidade

    1nm=1