Emerson Marcos Furtado - gopem.com.br · cubo de aresta unitária, ou seja, o cubo cuja medida da...

Emerson Marcos FurtadoMestre em Mtodos Numricos pela Univer-

sidade Federal do Paran (UFPR). Graduado em Matemtica pela UFPR. Professor do Ensino Mdio nos estados do Paran e Santa Catari-na desde 1992. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996. Professor da Universidade Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didticos destinados a concursos pblicos nas reas de ma-temtica, matemtica financeira, raciocnio lgico e estatstica. Scio-diretor do Instituto de Pes-quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a 2007. Professor scio do Colgio Positivo de Join-ville desde 2006. Scio-diretor da Empresa Teore-ma Produo de Materiais Didticos Ltda. desde 2005. Autor de material didtico para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro-fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de racioc-nio lgico, estatstica, matemtica e matemtica financeira. Consultor da Empresa Result Con-sultoria em Avaliao de Curitiba de 1998 a 2000.Consultor em Estatstica Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas reas socioeconmi-ca, qualidade, educacional, industrial e eleies desde 1999. Membro do Instituto de Promoo de Capacitao e Desenvolvimento (Iprocade) desde 2008. Autor de questes para concursos pblicos no estado do Paran desde 2003.

Este material parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informaes www.iesde.com.br

355

Geometria espacial

Nesta aula vamos estudar um dos assuntos mais importantes da Matem-tica: a geometria espacial, mais especificamente, a geometria dos slidos.

Um slido geomtrico uma figura tridimensional, ou seja, uma figura que no espao pode ser observada em trs dimenses. Para nos familia-rizarmos com os slidos geomtricos, vamos iniciar nosso estudo com os prismas.

Prismas Mas, o que um prisma?

Para que possamos compreender exatamente o que vem a ser um prisma, vamos considerar dois planos paralelos distintos ( e ), e uma reta r que in-tersecta os planos e um polgono qualquer contido em um dos planos:

r

Denomina-se prisma o conjunto de todos os segmentos de reta paralelos reta r, com uma extremidade na regio poligonal e a outra no outro plano paralelo.

r


356

Geometria espacial

Essa definio de prisma indica que os prismas esto presentes no nosso cotidiano de forma intensa. As caixas nas quais so vendidos os calados, por exemplo, tm a forma prismtica.

Os elementos mais importantes de um prisma podem ser observados na ilustrao:

r

h

D

D

Base

Face lateral

Diagonal

Aresta da base

Aresta lateral

Bases: so as regies D e D, contidas nos planos e , respectivamente. Elas so caracterizadas por polgonos congruentes.

Arestas das bases: so os lados das regies D e D.

Altura (h): a distncia entre os planos e .

Arestas laterais: so os segmentos paralelos reta r que unem vrtices correspondentes das regies D e D.

Faces laterais: so paralelogramos determinados por dois vrtices con-secutivos da regio D e os respectivos vrtices correspondentes da regio D.

Diagonais: todo segmento de reta que une dois vrtices no perten-centes a uma mesma face.

Os prismas podem ser classificados em retos ou oblquos.

No prisma reto as arestas laterais so perpendiculares s bases. Conse-quentemente, as faces laterais so retangulares, observe:


Geometria espacial

357

Prisma reto.

No prisma oblquo as arestas laterais no so perpendiculares s bases.

Prisma oblquo.

Neste captulo estudaremos apenas os prismas retos, devido sua ex-tensa utilizao nas mais diversas formas geomtricas encontradas no dia a dia.

De acordo com a quantidade de lados das bases, existem formas dife-rentes de se denominar um prisma. Por exemplo, se as bases de um prisma so tringulos, ele chamado de prisma triangular; se so quadrilteros, o prisma quadrangular, e assim sucessivamente.

Um prisma chamado regular quando satisfizer duas condies: for reto e apresentar bases formadas por polgonos regulares. Observe alguns exemplos:

Prisma triangular regular.

Prisma hexagonal regular.


358

Geometria espacial

Existem duas medidas principais que precisamos saber calcular quando estamos observando um prisma: a medida de sua rea e a medida de seu volume.

Para entendermos como podemos obter a medida da rea de um prisma, considere como exemplo uma caixa de bombons na forma de um prisma quadrangular, cujas dimenses so apresentadas na ilustrao:

8cm

10cm

20cm

Se a base um retngulo de dimenses 20cm e 10cm, e a altura mede 8cm, qual a quantidade de material utilizada para a construo dessa caixa?

Vamos desmont-la e planific-la para visualizar quais faces compem o prisma.

10cm

10cm10cm 20cm

20cm

20cm

8cm

Para calcular a medida da superfcie da caixa, basta adicionar as medidas das reas dos dois retngulos das bases com a rea de um retngulo forma-do pela juno das faces laterais.

Assim, lembrando que a rea de um retngulo igual ao produto da medida da base pela altura, e sendo St a medida da superfcie total do prisma reto que representa a caixa de bombons, temos:

St = (10 . 20) . 2 + (20 + 10 + 10 + 20) . 8

St = 400 + 480

St = 880cm2


Geometria espacial

359

Portanto, so necessrios 880cm2 de material para confeccionar essa caixa.

Observe que a superfcie lateral de um prisma reto sempre um retn-gulo no qual uma das dimenses a altura do prisma e a outra a soma dos comprimentos dos lados da base, ou seja, o permetro dessa base.

Quanto ao volume, podemos dizer que volume de um corpo o espao ocupado por ele. Da mesma maneira que para medir o comprimento da sua sala podemos usar o metro como unidade de medida, o volume tambm precisa de uma unidade de medida.

Vamos convencionar a unidade de medida de volume como sendo o cubo de aresta unitria, ou seja, o cubo cuja medida da aresta seja igual a 1 unidade de comprimento.

1 u

1 u

1 u

Portanto, se for conveniente utilizarmos o centmetro como unidade de medida de comprimento, o volume ser medido em cm3 (centmetros cbi-cos), se for o metro a unidade de medida de comprimento, o volume ser medido em m3 (metros cbicos), e assim sucessivamente.

Pode-se provar que o volume de um prisma qualquer, cuja altura mede h e cuja superfcie da base tem rea SB , dado por:

V = SB . h

Exemplo:

Um prisma reto tem por base um tringulo retngulo cujos catetos medem 3cm e 4cm. Se a altura desse prisma tem a mesma medida da hipo-tenusa do tringulo da base, qual a medida do seu volume em cm3?


360

Geometria espacial

A medida da hipotenusa do tringulo retngulo pode ser encontrada por meio do teorema de Pitgoras:

h2 = 32 + 42

h = 9 + 16

h2 = 25

h = 5cm

Assim, o volume do prisma V dado por:

V = S . h

V = 6 . 5

V = 30cm

B

3

V =

3 42

5.

.

Agora que j conhecemos mais os conceitos geomtricos, podemos ex-plorar outros slidos geomtricos que se destacam.

Um slido geomtrico de grande importncia o cilindro.

Cilindro Voc consegue imaginar algum slido geomtrico

de contato quase que dirio possuindo a forma de um cilindro?

A caneca de caf que voc v, por exemplo, tem a forma de um cilindro.

Shut

ters

tock

.


Geometria espacial

361

Para fundamentar melhor o que vem a ser um cilindro, vamos considerar dois planos e e uma reta que intersecta esses dois planos determinando entre os planos um segmento AB , em que A um ponto de e B um de .

A

B

O

Dado um crculo C contido em , definimos como cilindro circular o con-junto de todos os segmentos de reta paralelos e congruentes ao segmento AB com origem no crculo C e extremidade no plano .

A

B

O

Eixo

Geratriz h

Os principais elementos do cilindro so:

Bases: so os crculos contidos nos planos e .

Altura (h): a distncia entre os planos e .

Geratrizes (g): so os segmentos paralelos ao segmento AB que tm ex-tremidades nos pontos das circunferncias que limitam as bases.

Eixo (e): a reta determinada pelos centros das bases.

Se o eixo for perpendicular aos planos das bases, o cilindro dito reto. Caso o eixo no seja perpendicular ao plano das bases, o cilindro oblquo.

Devido sua importncia, estudaremos apenas os cilindros retos.


362

Geometria espacial

rea superficial de um cilindro reto

Para entendermos como se pode obter a medida da rea de um cilindro reto, considere um cilindro reto e oco, feito com cartolina, cuja altura mede 10cm e cujo raio da base mede 5cm:

R = 5cm

h = 10cm

Se voc recortasse as bases e desenrolasse a superfcie lateral, iria obter trs figuras planas:

10cm

(2 5)cm

5cm

5cm

As bases so circulares. Logo, a rea de cada uma das bases pode ser obtida por meio de:

SB = R2

SB = . 52

SB = 25cm2


Geometria espacial

363

A rea lateral um retngulo cuja altura a do cilindro e cuja base o permetro da base do cilindro. Assim, o retngulo que constitui a rea lateral tem rea igual a:

SL = 2R . h

SL = 2 . 5 . 10

SL = 100cm2

Assim, a medida da superfcie total de um cilindro reto igual soma das medidas das reas de dois crculos com a medida da rea de um retngulo, cujas dimenses so a altura do cilindro e o comprimento da circunferncia que limita a base, ou seja:

ST = 2 . R2 + 2R . h

ST = 2 . SB + SL

ST = 150cm2

Em termos de volume, o cilindro pode ser interpretado como um prisma de base circular. Assim, o volume de um prisma igual ao produto das medi-das da rea da base pela altura:

V = R2 . h

Pirmides A palavra pirmide normalmente nos evoca o formato das famosas cons-

trues egpcias, monumentos fantsticos que documentam historicamente a extraordinria capacidade arquitetnica daquela civilizao e que vm en-cantando a humanidade h milhares de anos.

No entanto, nosso estudo parte de um conceito mais amplo para pirmide.

Seja D uma superfcie poligonal contida em um plano e V um ponto no pertencente a esse plano.


364

Geometria espacial

D

v

O conjunto de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra em D denominado pirmide.

D

v

Os principais elementos da pirmide so:

D

vVrtice

Aresta lateral

Face lateral

h

Aresta da base

Base

Vrtice: o ponto V no pertencente ao plano .

Base: a regio D contida no plano .

Arestas da base: so os lados da regio D.

Arestas laterais: so os segmentos que unem os vrtices da regio D e o ponto V.


Geometria espacial

365

Faces laterais: so tringulos determinados pelo ponto V e dois vrtices consecutivos da regio D.

Altura(h): a distncia entre o ponto V e o plano .

De acordo com o nmero de lados da base de uma pirmide, esta recebe um nome especial. Se a base for um tringulo, chama-se pirmide triangular, se for um quadriltero, a pirmide quadrangular, e assim sucessivamente.

Para que uma pirmide seja denominada regular, necessrio que satis-faa duas condies: a base seja um polgono regular e a projeo ortogonal do ponto V seja um ponto V tal que V esteja no centro da base.

Aptema da pirmide

v'

v

Em uma pirmide regular, as arestas laterais so congruentes e, em con-sequncia disso, as faces laterais so tringulos issceles congruentes. Nesse caso, costuma-se chamar aptema da pirmide a altura de cada face lateral.

Para aprendermos como podemos obter a medida da rea de uma pir-mide, considere, como exemplo, uma pirmide quadrangular regular, cuja altura e aptema medem 8cm e 10cm, respectivamente.

Qual a medida da rea total dessa pirmide?

Observe que possvel visualizar um tringulo retngulo cuja hipotenu-sa o aptema da pirmide, um dos catetos a altura e o outro cateto a metade da aresta da base:


366

Geometria espacial

10cm

8cm

v

2l

l

2

10cm8cm

Utilizando o Teorema de Pitgoras, temos:

10 82

2 22

= +

l

Resolvendo, obtemos:

l =12cm

A base um quadrado de lado medindo 12cm. Logo, a medida da rea da base igual a:

SB = 122 = 144cm2

Observe que a superfcie lateral da pirmide formada por quatro trin-gulos issceles e congruentes. Assim, a medida da superfcie lateral da pir-mide igual a:

412 10

2240 2

= cm

Assim, a medida da superfcie total da pirmide igual soma das medi-das da rea da base com a rea lateral:

144 + 240 = 384cm2

Para calcular a expresso do volume de uma pirmide, vamos inicialmen-te decompor um prisma triangular reto em trs pirmides, observe:


Geometria espacial

367

A B

C

D

I B

E

FF

D

II B

C

D

III

F

As pirmides I e II tm bases congruentes (ABC e DEF) e alturas congruen-tes ( AD e BE ). Logo, seus volumes so iguais.

Por outro lado, as pirmides I e III tm bases congruentes (ACD e FDC) e alturas congruentes (distncia entre o vrtice B e o plano que contm a face ACDF). Portanto, seus volumes tambm so iguais.

Assim, sendo V1, V2 e V3 os volumes das pirmides I, II e III, temos:

V1 = V2 = V3

Mas, se o volume do prisma igual ao produto das medidas da rea da base pela altura e as trs pirmides possuem o mesmo volume, ento, ne-cessariamente, o volume de cada pirmide igual a um tero do volume do prisma que possui a mesma base e a mesma altura:

V S hB=13

. .

Cones Outro slido geomtrico de destaque o cone. Um cone pode ser inter-

pretado como sendo uma pirmide de base circular. Evidentemente, algu-mas adaptaes nos formulrios sero importantes.

Observe a ilustrao na qual podemos identificar os principais elementos formadores de um cone:


368

Geometria espacial

v

g

e

h

Vrtice: o ponto V.

Base: a regio circular contida no plano .

Altura (h): a distncia entre o ponto V e o plano .

Geratrizes (g): so os segmentos com extremidades no ponto V e em um ponto da circunferncia que limita a base.

Eixo (e): a reta determinada pelo ponto V e pelo centro da base.

Se o eixo for perpendicular ao plano da base, o cone dito reto. Caso o eixo no seja perpendicular ao plano da base, o cilindro oblquo. Estudare-mos aqui apenas os cones retos.

Para calcular a medida da superfcie total de um cone reto, podemos rea-lizar um procedimento anlogo quele realizado para um cilindro reto.

Considere um cone reto e oco, cuja altura mede 8cm e cujo raio da base mede 6cm:

8cm

6cm

Utilizando o Teorema de Pitgoras, podemos obter a medida da geratriz do cone:


Geometria espacial

369

g2 = 82 + 62

g2 = 64 + 36

g2 = 100

g = 10cm

Se planificssemos esse slido, separando a base da rea lateral e abrin-do essa rea lateral, teramos as seguintes figuras planas:

6cm

10cm

(2. 6)cm

10cm

Se a base um crculo de 6cm de raio, a medida da rea da base dada por:

SB = R2

SB = . 62

SB = 36cm2

A planificao da rea lateral determina um setor circular cujo arco tem comprimento igual ao permetro da base do cone. Assim, a rea lateral de um cone dada por:

A r gl = p

Resolvendo, obtemos:

A

A cm

l

l

=

=

p

p

6 10

60 2


370

Geometria espacial

A concluso a de que a medida da superfcie total de um cone igual soma da medida da rea de um setor circular, cujo raio igual geratriz do cone e cujo comprimento do arco igual ao permetro da base do cone, com a medida da rea do crculo da base.

Da mesma forma que relacionamos prismas e cilindros, podemos relacio-nar pirmides com cones. O volume de um cone pode ser obtido conside-rando-o como sendo uma pirmide regular em que a base um crculo e o aptema da pirmide a geratriz do cone.

O volume de um cone qualquer, cuja altura mede h e cujo raio da base mede R, dado por:

V R h=13

2p. .

Esferas O formato esfrico est presente nas bolas da maioria dos esportes, em

algumas frutas e em diversas situaes. At mesmo nosso planeta aproxi-madamente esfrico.

Para compreendermos o conceito de esfera, vamos considerar um ponto P do espao e um segmento de medida R.

Chama-se esfera com centro no ponto P e raio de medida R o conjunto dos pontos do espao cuja distncia ao ponto P menor do que ou igual a R.

R O Esfera de centro O e raio R


Geometria espacial

371

Pode-se provar que a medida da rea de uma esfera de raio R e a medida do volume de uma esfera so dadas, respectivamente, por:

S = 4 R2p

pV R=43

3.

Inscrio e circunscrio de slidos geomtricos O objetivo desse contedo desenvolver as relaes espaciais entre dois

slidos geomtricos em que um deles est inscrito em outro.

Esfera e cubo

Considere uma esfera cujo raio mede R inscrita em um cubo cujas arestas tm medida a.

a

R

Existe uma relao entre as medidas das arestas do cubo e do raio da esfera. Como a superfcie esfrica intersecta o cubo em seis pontos, loca-lizados nos centros das faces, temos trs pares de pontos diametralmente opostos. Assim, a medida de cada aresta do cubo igual ao dobro da medida do raio da esfera.

a = 2R


372

Geometria espacial

Em uma outra situao, considere um cubo cujas arestas medem A, inscri-to em uma esfera cujo raio tem medida R

R A

Observe que os vrtices do cubo pertencem superfcie esfrica. Assim, a medida da diagonal do cubo igual ao dobro da medida do raio da esfera.

D = 2R ou cubo a R3 2=

Esfera e cilindro

Considere uma esfera, cujo raio mede R, inscrita em um cilindro circular reto.

R

Como a superfcie esfrica intersecta as bases do cilindro nos seus centros e o crculo mximo da esfera congruente s bases do cilindro, ento as me-didas do raio e da altura do cilindro so iguais, respectivamente, a R e 2R, ou seja, o cilindro equiltero.


Geometria espacial

373

Vamos analisar agora outra situao. Observe a figura a seguir:

R

Rr

h

Nesse caso, como podemos estabelecer uma relao entre as medidas do raio da esfera, do raio do cilindro e da altura do cilindro?

A partir do tringulo retngulo, de catetos medindo h e 2r, onde h e r so as medidas da altura e do raio do cilindro, e de hipotenusa medindo 2R, podemos escrever:

2 2

4 4

2 2 2

2 2 2

R r h

R r h

( ) =( ) += +

Esfera e cone reto

Da mesma forma como o cubo e o cilindro, em um cone tambm pos-svel inscrever ou circunscrever uma esfera. Vamos, inicialmente, considerar uma esfera de raio r inscrita em um cone de raio R e altura h.

R

r

r

g

h - r


374

Geometria espacial

Sendo g a medida da geratriz do cone, podemos, por meio de uma seme-lhana de tringulos, estabelecer a seguinte proporo:

rR

h rg

=-

Se o cone for equiltero, no h necessidade de utilizar a proporo ante-

rior. Basta lembrar que a medida do raio da esfera igual a 13

da medida da

altura do cone, ou seja, h = 3r. A figura a seguir ilustra essa situao:

R

r

2r 2R

Assim, por meio do teorema de Pitgoras, temos:

2 3 4 9

3 9 3

2 2 2 2 2 2

2 2

R R r R R r

R r R r

( ) = +( ) = +

= =

Em uma nova situao, considere agora uma esfera de raio R, circunscre-vendo um cone de raio r e altura h.

R

R

r

h - R


Geometria espacial

375

No tringulo retngulo em destaque, podemos escrever:

R2 = r2 + (h R)2

Existem outras relaes entre as medidas do raio da esfera, do raio da base do cone, da altura e da geratriz do cone. Porm, no existe necessidade de conhec-las, pois, por meio da relao anterior, podemos obter quaisquer outras medidas.

Se o cone equiltero, a medida do raio da esfera igual a 23

da medida

da altura do cone, ou seja, hR

=32

.

r

2r23R

Logo, por meio do teorema de Pitgoras, temos:

232

49

4

39

4

2 22

2 22

22

2

r rR

r rR

rR

r

( ) = +

= +

=

== =3

43

2

2Rr

R

Cilindro e cone retos

Considere um cilindro de altura h e raio da base R. Inscrevendo-se nele um cone reto, temos a seguinte figura:


376

Geometria espacial

R

h

Note que o vrtice do cone coincide com o centro de uma das bases do cilindro e a base do cone coincide com a outra base do cilindro. Sendo assim, os raios das bases do cone e do cilindro so, evidentemente, congruentes, da mesma forma que as medidas das alturas.

Observe um cilindro reto, com raio da base r e altura h, inscrito em um cone reto de raio da base R e altura H:

H

hh

H - h

G - g

R - rr

R

g

Gr

Pela semelhana existente entre trs tringulos da figura, podemos escre-ver as seguintes propores:

rR

H hH

gG

rR r

H hh

gG g

R rR

hH

G gG

=-

=

-=

-=

-

-= =

-


Geometria espacial

377

Resoluo de questes 1. (Esaf ) Em uma superfcie plana horizontal, uma esfera de 5cm de raio est

encostada em um cone circular reto em p com raio da base de 5cm e 5cm de altura. De quantos centmetros a distncia entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfcie?

a) 5.

b) 7,5.

c) 5 5 22

+ .

d) 5 2 .

e) 10.

2. (UFU) Sabendo-se que a interseco entre um plano e uma esfera S de raio 10cm uma circunferncia de raio 6cm, ento, a distncia do centro da esfera S at o plano igual a:

a) 4cm.

b) 5cm.

c) 7cm.

d) 8cm.

3. (UFC) Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida de raio da base 5cm, altura 20cm e contm gua at a altura de 19cm (despreze a espessura das paredes do vaso). Assinale a alternativa na qual consta o maior nmero de esferas de ao, de 1cm de raio cada, que podemos colo-car no vaso a fim de que a gua no transborde.

a) 14.

b) 15.

c) 16.

d) 17.

e) 18.


378

Geometria espacial

4. (UFSM) A rea da superfcie de uma esfera e a rea total de um cone cir-cular reto so iguais. Se o raio da base do cone mede 4cm e o volume do cone 16cm3, o raio da esfera dado por:

a) 3cm.

b) 2cm.

c) 3cm.

d) 4cm.

e) 4 + 2 cm.

5. (UFPE) Derretendo uma pea macia de ouro de forma esfrica, quantas peas da mesma forma se pode confeccionar com esse ouro, se o raio das novas peas um tero do raio da anterior? Admita que no houve perda de ouro durante o derretimento.

a) 3.

b) 9.

c) 18.

d) 21.

e) 27.

6. (UECE) Um cone circular reto, cuja medida da altura h, seccionado, por um plano paralelo base, em duas partes: um cone cuja medida da altura

h5

e um tronco de cone, conforme a figura.


Geometria espacial

379

A razo entre as medidas dos volumes do cone maior e do cone menor :

a) 15.

b) 45.

c) 90.

d) 125.

7. (UECE) Como mostra a figura, o cilindro reto est inscrito na esfera de raio 4cm.

4cm

Sabe-se que o dimetro da base e a altura do cilindro possuem a mesma medida. O volume do cilindro :

a) 18p 2cm3.

b) 24p 2cm3.

c) 32p 2cm3.

d) 36p 2cm3.

8. (Fatec) A interseco de um plano com uma esfera de raio R a base comum de dois cones circulares retos, como mostra a regio sombreada da figura a seguir.

G


380

Geometria espacial

Se o volume de um dos cones o dobro do volume do outro, a distncia do plano ao centro O igual a:

a) R5

.

b) R4

.

c) R3

.

d) 25R.

e) 23R.

9. (MACK) A rea da superfcie lateral de um cone equiltero inscrito numa esfera de raio R :

a) pR2 32

.

b) pR2 33

.

c) 34

2pR .

d) 32

2pR .

e) 3 2pR .

10. (PUC-Campinas) Considerando-se a Terra como uma esfera cujo dimetro equatorial 12 800km, e a Lua tambm uma esfera cujo dimetro equato-rial 27% do da Terra, a razo entre as superfcies terrestre e lunar, nessa ordem, um nmero:

a) maior que 13,9.

b) compreendido entre 13,8 e 14,1.

c) compreendido entre 13,5 e 13,6.

d) compreendido entre 13,6 e 13,8.

e) inferior a 13,5.


Geometria espacial

381

Dica de estudo A maioria dos problemas relacionados com a Geometria, quer seja no

plano, quer seja no espao, requer sempre do estudante a resoluo de uma boa dose de exerccios para que a viso espacial e a habilidade em observar as relaes geomtricas sejam desenvolvidas. Para iniciar, procure dominar a geometria plana, sobretudo as figuras geomtricas elementares (tringulo retngulo, tringulo equiltero, quadrado, hexgono regular e cr-culo). Procure entender a origem das frmulas e pratique resolvendo muitos exerccios. Em seguida, estude a geometria espacial, principalmente as figu-ras desta aula. No raro ocorrer de a soluo de uma questo de geometria espacial estar baseada na geometria plana.

Referncias BOYER, Carl B. Histria da Matemtica. 12. ed. So Paulo: Edgard Blcher Ltda., 1996.

GAERTNER, Rosinete (Org.). Tpicos de Matemtica para o Ensino Mdio. Blu-menau: FURB. (Coleo Aritthmos 2.)

LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemtica e outras Histrias. Rio de Janei-ro: Sociedade Brasileira de Matemtica. (Coleo do Professor de Matemtica.)

LIMA, Elon Lages et al. A Matemtica do Ensino Mdio. Rio de Janeiro: Socieda-de Brasileira de Matemtica, 2001. v. 1.

LINTZ, Rubens G. Histria da Matemtica. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.

TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.


382

Geometria espacial

Gabarito 1. Observe a ilustrao:

A B

C D

T

O tringulo CDT retngulo, pois a tangente circunferncia forma ngulo reto com o raio ( CT ) no ponto de tangncia T. O tringulo CDT issceles, pois os ngulos TCD e TDC tm a mesma medida. Como CT = 5, ento DT = 5. Logo, CD pode ser obtido por meio do teorema de Pitgoras no tringulo CTD:

(CD) = (CT) + (DT) (CD) = 5 + 5

(CD) = 25 + 25 (CD)

2 2 2 2 2 2

2

22 = 50

= =

=

CD CD

CD

50 5 2

5 2

2 .

Como BD = AC, necessariamente, AB = CD. Assim, a distncia entre o cen-tro da base do cone e o ponto em que a esfera toca a superfcie plana igual a 5 2 cm.

Resposta: D


Geometria espacial

383

2.

C

BA r = 6

r = 10

Sendo d a distncia do centro da esfera ao plano , temos:

102 = 62 + h2

d2 = 64

h = 8cm

Resposta: D

3. O volume no ocupado pela gua no interior do cilindro igual a p p. .5 1 252 3= cm

O volume de cada esfera igual a 43

143

3 3. .pp

= cm

Assim, a maior quantidade de esferas que podem ser colocadas no vaso

sem que a gua transborde igual a 2543

253

4754

18 75pp

pp

= = =. ,

Resposta: E

4. Sendo h a medida da altura do cone, temos que:

1613

4 32p p= =. . . h h cm

Sendo g a medida da geratriz do cone, temos que g2 = 32 + 42 g = 5cm


384

Geometria espacial

Sendo R a medida do raio da esfera, temos que:

4 4 4 5

4 5 3

2 2

2

. . . . .p p pR

R R cm

= +

= + =

Resposta: C

5. O volume de uma esfera cujo raio mede R igual a 43

3. .p R

O volume de uma esfera cujo raio mede R3

igual a

43 3

43 27

3 3

. . . .p pR R

=

Assim, podem ser feitas 27 peas com o ouro derretido.

Resposta: E

6. Toda seco em um cone reto, efetuada por meio de um plano paralelo base, determina um cone reto menor, semelhante ao primeiro. Utilizando o conceito de semelhana entre figuras geomtricas, observadas no cone maior e no menor, possvel provar que a razo entre os volumes dos cones maior e menor igual ao cubo da razo entre as medidas corres-pondentes das alturas dos cones. Dessa forma, sendo V e v os volumes dos cones maior e menor, respectivamente, temos:

Vv

hh

Vv

=

=

5

125

3

Resposta: D


Geometria espacial

385

7. Observe a figura a seguir:

2R

2R8cm

Por meio do teorema de Pitgoras, temos:

82 = (2R)2 + (2R)2

64 = 8R2

R2 = 8

R = 2 2

Assim, o volume do cilindro igual a p p. ( ) .2 2 4 2 32 22 3= cm .

Resposta: C

8. O volume do cone maior igual ao dobro do volume do cone menor. Sendo d a distncia do plano ao centro da esfera e r a medida do raio da base comum dos dois cones, temos:

13

213

2 2 33

2 2. . . ( ) . . . . ( )p pr R d r R d

R d R d d R dR

+ = -

+ = - = =

Resposta: C


386

Geometria espacial

9. Sendo h a medida da altura do cone equiltero, g a medida da geratriz do cone e r a medida do raio da sua base, temos:

(2r) = r + 3r r = r =2 2 2 232

94

34

32

2 2 2R R R R

Assim, a rea lateral do cone igual a

p p pp

. . . . . .r g r rR R R

= = =23

22 3

23

2

2

Resposta: D

10. A medida do raio da Terra aproximadamente igual a 6 400km e a me-dida do raio da lua aproximadamente igual a 0,27 . 6 400 = 1 728 km. Assim, a razo entre as reas das superfcies terrestre e lunar igual a

4 6 400

4 1 7283 7 13 69

2

2

2. .

. ., ,

p

p

( )( )

@( ) =

Resposta: D


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