Emerson Marcos Furtado - gopem.com.br · cubo de aresta unitária, ou seja, o cubo cuja medida da...

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Emerson Marcos Furtado Mestre em Métodos Numéricos pela Univer- sidade Federal do Paraná (UFPR). Graduado em Matemática pela UFPR. Professor do Ensino Médio nos estados do Paraná e Santa Catari- na desde 1992. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996. Professor da Universidade Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didáticos destinados a concursos públicos nas áreas de ma- temática, matemática financeira, raciocínio lógico e estatística. Sócio-diretor do Instituto de Pes- quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a 2007. Professor sócio do Colégio Positivo de Join- ville desde 2006. Sócio-diretor da Empresa Teore- ma – Produção de Materiais Didáticos Ltda. desde 2005. Autor de material didático para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro- fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de raciocí- nio lógico, estatística, matemática e matemática financeira. Consultor da Empresa Result – Con- sultoria em Avaliação de Curitiba de 1998 a 2000. Consultor em Estatística Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas áreas socioeconômi- ca, qualidade, educacional, industrial e eleições desde 1999. Membro do Instituto de Promoção de Capacitação e Desenvolvimento (Iprocade) desde 2008. Autor de questões para concursos públicos no estado do Paraná desde 2003. Este material é parte integrante do acervo do IESDE BRASIL S.A., mais informações www.iesde.com.br

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  • Emerson Marcos FurtadoMestre em Mtodos Numricos pela Univer-

    sidade Federal do Paran (UFPR). Graduado em Matemtica pela UFPR. Professor do Ensino Mdio nos estados do Paran e Santa Catari-na desde 1992. Professor do Curso Positivo de Curitiba desde 1996. Professor da Universidade Positivo de 2000 a 2005. Autor de livros didticos destinados a concursos pblicos nas reas de ma-temtica, matemtica financeira, raciocnio lgico e estatstica. Scio-diretor do Instituto de Pes-quisas e Projetos Educacionais Praxis de 2003 a 2007. Professor scio do Colgio Positivo de Join-ville desde 2006. Scio-diretor da Empresa Teore-ma Produo de Materiais Didticos Ltda. desde 2005. Autor de material didtico para sistemas de ensino do Grupo Positivo de 2005 a 2009. Pro-fessor do Concursos e Editora de Curitiba (CEC) desde 1992, lecionando as disciplinas de racioc-nio lgico, estatstica, matemtica e matemtica financeira. Consultor da Empresa Result Con-sultoria em Avaliao de Curitiba de 1998 a 2000.Consultor em Estatstica Aplicada com projetos de pesquisa desenvolvidos nas reas socioeconmi-ca, qualidade, educacional, industrial e eleies desde 1999. Membro do Instituto de Promoo de Capacitao e Desenvolvimento (Iprocade) desde 2008. Autor de questes para concursos pblicos no estado do Paran desde 2003.

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    Geometria espacial

    Nesta aula vamos estudar um dos assuntos mais importantes da Matem-tica: a geometria espacial, mais especificamente, a geometria dos slidos.

    Um slido geomtrico uma figura tridimensional, ou seja, uma figura que no espao pode ser observada em trs dimenses. Para nos familia-rizarmos com os slidos geomtricos, vamos iniciar nosso estudo com os prismas.

    Prismas Mas, o que um prisma?

    Para que possamos compreender exatamente o que vem a ser um prisma, vamos considerar dois planos paralelos distintos ( e ), e uma reta r que in-tersecta os planos e um polgono qualquer contido em um dos planos:

    r

    Denomina-se prisma o conjunto de todos os segmentos de reta paralelos reta r, com uma extremidade na regio poligonal e a outra no outro plano paralelo.

    r

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  • 356

    Geometria espacial

    Essa definio de prisma indica que os prismas esto presentes no nosso cotidiano de forma intensa. As caixas nas quais so vendidos os calados, por exemplo, tm a forma prismtica.

    Os elementos mais importantes de um prisma podem ser observados na ilustrao:

    r

    h

    D

    D

    Base

    Face lateral

    Diagonal

    Aresta da base

    Aresta lateral

    Bases: so as regies D e D, contidas nos planos e , respectivamente. Elas so caracterizadas por polgonos congruentes.

    Arestas das bases: so os lados das regies D e D.

    Altura (h): a distncia entre os planos e .

    Arestas laterais: so os segmentos paralelos reta r que unem vrtices correspondentes das regies D e D.

    Faces laterais: so paralelogramos determinados por dois vrtices con-secutivos da regio D e os respectivos vrtices correspondentes da regio D.

    Diagonais: todo segmento de reta que une dois vrtices no perten-centes a uma mesma face.

    Os prismas podem ser classificados em retos ou oblquos.

    No prisma reto as arestas laterais so perpendiculares s bases. Conse-quentemente, as faces laterais so retangulares, observe:

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  • Geometria espacial

    357

    Prisma reto.

    No prisma oblquo as arestas laterais no so perpendiculares s bases.

    Prisma oblquo.

    Neste captulo estudaremos apenas os prismas retos, devido sua ex-tensa utilizao nas mais diversas formas geomtricas encontradas no dia a dia.

    De acordo com a quantidade de lados das bases, existem formas dife-rentes de se denominar um prisma. Por exemplo, se as bases de um prisma so tringulos, ele chamado de prisma triangular; se so quadrilteros, o prisma quadrangular, e assim sucessivamente.

    Um prisma chamado regular quando satisfizer duas condies: for reto e apresentar bases formadas por polgonos regulares. Observe alguns exemplos:

    Prisma triangular regular.

    Prisma hexagonal regular.

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  • 358

    Geometria espacial

    Existem duas medidas principais que precisamos saber calcular quando estamos observando um prisma: a medida de sua rea e a medida de seu volume.

    Para entendermos como podemos obter a medida da rea de um prisma, considere como exemplo uma caixa de bombons na forma de um prisma quadrangular, cujas dimenses so apresentadas na ilustrao:

    8cm

    10cm

    20cm

    Se a base um retngulo de dimenses 20cm e 10cm, e a altura mede 8cm, qual a quantidade de material utilizada para a construo dessa caixa?

    Vamos desmont-la e planific-la para visualizar quais faces compem o prisma.

    10cm

    10cm10cm 20cm

    20cm

    20cm

    8cm

    Para calcular a medida da superfcie da caixa, basta adicionar as medidas das reas dos dois retngulos das bases com a rea de um retngulo forma-do pela juno das faces laterais.

    Assim, lembrando que a rea de um retngulo igual ao produto da medida da base pela altura, e sendo St a medida da superfcie total do prisma reto que representa a caixa de bombons, temos:

    St = (10 . 20) . 2 + (20 + 10 + 10 + 20) . 8

    St = 400 + 480

    St = 880cm2

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  • Geometria espacial

    359

    Portanto, so necessrios 880cm2 de material para confeccionar essa caixa.

    Observe que a superfcie lateral de um prisma reto sempre um retn-gulo no qual uma das dimenses a altura do prisma e a outra a soma dos comprimentos dos lados da base, ou seja, o permetro dessa base.

    Quanto ao volume, podemos dizer que volume de um corpo o espao ocupado por ele. Da mesma maneira que para medir o comprimento da sua sala podemos usar o metro como unidade de medida, o volume tambm precisa de uma unidade de medida.

    Vamos convencionar a unidade de medida de volume como sendo o cubo de aresta unitria, ou seja, o cubo cuja medida da aresta seja igual a 1 unidade de comprimento.

    1 u

    1 u

    1 u

    Portanto, se for conveniente utilizarmos o centmetro como unidade de medida de comprimento, o volume ser medido em cm3 (centmetros cbi-cos), se for o metro a unidade de medida de comprimento, o volume ser medido em m3 (metros cbicos), e assim sucessivamente.

    Pode-se provar que o volume de um prisma qualquer, cuja altura mede h e cuja superfcie da base tem rea SB , dado por:

    V = SB . h

    Exemplo:

    Um prisma reto tem por base um tringulo retngulo cujos catetos medem 3cm e 4cm. Se a altura desse prisma tem a mesma medida da hipo-tenusa do tringulo da base, qual a medida do seu volume em cm3?

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  • 360

    Geometria espacial

    A medida da hipotenusa do tringulo retngulo pode ser encontrada por meio do teorema de Pitgoras:

    h2 = 32 + 42

    h = 9 + 16

    h2 = 25

    h = 5cm

    Assim, o volume do prisma V dado por:

    V = S . h

    V = 6 . 5

    V = 30cm

    B

    3

    V =

    3 42

    5.

    .

    Agora que j conhecemos mais os conceitos geomtricos, podemos ex-plorar outros slidos geomtricos que se destacam.

    Um slido geomtrico de grande importncia o cilindro.

    Cilindro Voc consegue imaginar algum slido geomtrico

    de contato quase que dirio possuindo a forma de um cilindro?

    A caneca de caf que voc v, por exemplo, tem a forma de um cilindro.

    Shut

    ters

    tock

    .

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  • Geometria espacial

    361

    Para fundamentar melhor o que vem a ser um cilindro, vamos considerar dois planos e e uma reta que intersecta esses dois planos determinando entre os planos um segmento AB , em que A um ponto de e B um de .

    A

    B

    O

    Dado um crculo C contido em , definimos como cilindro circular o con-junto de todos os segmentos de reta paralelos e congruentes ao segmento AB com origem no crculo C e extremidade no plano .

    A

    B

    O

    Eixo

    Geratriz h

    Os principais elementos do cilindro so:

    Bases: so os crculos contidos nos planos e .

    Altura (h): a distncia entre os planos e .

    Geratrizes (g): so os segmentos paralelos ao segmento AB que tm ex-tremidades nos pontos das circunferncias que limitam as bases.

    Eixo (e): a reta determinada pelos centros das bases.

    Se o eixo for perpendicular aos planos das bases, o cilindro dito reto. Caso o eixo no seja perpendicular ao plano das bases, o cilindro oblquo.

    Devido sua importncia, estudaremos apenas os cilindros retos.

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  • 362

    Geometria espacial

    rea superficial de um cilindro reto

    Para entendermos como se pode obter a medida da rea de um cilindro reto, considere um cilindro reto e oco, feito com cartolina, cuja altura mede 10cm e cujo raio da base mede 5cm:

    R = 5cm

    h = 10cm

    Se voc recortasse as bases e desenrolasse a superfcie lateral, iria obter trs figuras planas:

    10cm

    (2 5)cm

    5cm

    5cm

    As bases so circulares. Logo, a rea de cada uma das bases pode ser obtida por meio de:

    SB = R2

    SB = . 52

    SB = 25cm2

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  • Geometria espacial

    363

    A rea lateral um retngulo cuja altura a do cilindro e cuja base o permetro da base do cilindro. Assim, o retngulo que constitui a rea lateral tem rea igual a:

    SL = 2R . h

    SL = 2 . 5 . 10

    SL = 100cm2

    Assim, a medida da superfcie total de um cilindro reto igual soma das medidas das reas de dois crculos com a medida da rea de um retngulo, cujas dimenses so a altura do cilindro e o comprimento da circunferncia que limita a base, ou seja:

    ST = 2 . R2 + 2R . h

    ST = 2 . SB + SL

    ST = 150cm2

    Em termos de volume, o cilindro pode ser interpretado como um prisma de base circular. Assim, o volume de um prisma igual ao produto das medi-das da rea da base pela altura:

    V = R2 . h

    Pirmides A palavra pirmide normalmente nos evoca o formato das famosas cons-

    trues egpcias, monumentos fantsticos que documentam historicamente a extraordinria capacidade arquitetnica daquela civilizao e que vm en-cantando a humanidade h milhares de anos.

    No entanto, nosso estudo parte de um conceito mais amplo para pirmide.

    Seja D uma superfcie poligonal contida em um plano e V um ponto no pertencente a esse plano.

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  • 364

    Geometria espacial

    D

    v

    O conjunto de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra em D denominado pirmide.

    D

    v

    Os principais elementos da pirmide so:

    D

    vVrtice

    Aresta lateral

    Face lateral

    h

    Aresta da base

    Base

    Vrtice: o ponto V no pertencente ao plano .

    Base: a regio D contida no plano .

    Arestas da base: so os lados da regio D.

    Arestas laterais: so os segmentos que unem os vrtices da regio D e o ponto V.

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  • Geometria espacial

    365

    Faces laterais: so tringulos determinados pelo ponto V e dois vrtices consecutivos da regio D.

    Altura(h): a distncia entre o ponto V e o plano .

    De acordo com o nmero de lados da base de uma pirmide, esta recebe um nome especial. Se a base for um tringulo, chama-se pirmide triangular, se for um quadriltero, a pirmide quadrangular, e assim sucessivamente.

    Para que uma pirmide seja denominada regular, necessrio que satis-faa duas condies: a base seja um polgono regular e a projeo ortogonal do ponto V seja um ponto V tal que V esteja no centro da base.

    Aptema da pirmide

    v'

    v

    Em uma pirmide regular, as arestas laterais so congruentes e, em con-sequncia disso, as faces laterais so tringulos issceles congruentes. Nesse caso, costuma-se chamar aptema da pirmide a altura de cada face lateral.

    Para aprendermos como podemos obter a medida da rea de uma pir-mide, considere, como exemplo, uma pirmide quadrangular regular, cuja altura e aptema medem 8cm e 10cm, respectivamente.

    Qual a medida da rea total dessa pirmide?

    Observe que possvel visualizar um tringulo retngulo cuja hipotenu-sa o aptema da pirmide, um dos catetos a altura e o outro cateto a metade da aresta da base:

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  • 366

    Geometria espacial

    10cm

    8cm

    v

    2l

    l

    2

    10cm8cm

    Utilizando o Teorema de Pitgoras, temos:

    10 82

    2 22

    = +

    l

    Resolvendo, obtemos:

    l =12cm

    A base um quadrado de lado medindo 12cm. Logo, a medida da rea da base igual a:

    SB = 122 = 144cm2

    Observe que a superfcie lateral da pirmide formada por quatro trin-gulos issceles e congruentes. Assim, a medida da superfcie lateral da pir-mide igual a:

    412 10

    2240 2

    = cm

    Assim, a medida da superfcie total da pirmide igual soma das medi-das da rea da base com a rea lateral:

    144 + 240 = 384cm2

    Para calcular a expresso do volume de uma pirmide, vamos inicialmen-te decompor um prisma triangular reto em trs pirmides, observe:

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  • Geometria espacial

    367

    A B

    C

    D

    I B

    E

    FF

    D

    II B

    C

    D

    III

    F

    As pirmides I e II tm bases congruentes (ABC e DEF) e alturas congruen-tes ( AD e BE ). Logo, seus volumes so iguais.

    Por outro lado, as pirmides I e III tm bases congruentes (ACD e FDC) e alturas congruentes (distncia entre o vrtice B e o plano que contm a face ACDF). Portanto, seus volumes tambm so iguais.

    Assim, sendo V1, V2 e V3 os volumes das pirmides I, II e III, temos:

    V1 = V2 = V3

    Mas, se o volume do prisma igual ao produto das medidas da rea da base pela altura e as trs pirmides possuem o mesmo volume, ento, ne-cessariamente, o volume de cada pirmide igual a um tero do volume do prisma que possui a mesma base e a mesma altura:

    V S hB=13

    . .

    Cones Outro slido geomtrico de destaque o cone. Um cone pode ser inter-

    pretado como sendo uma pirmide de base circular. Evidentemente, algu-mas adaptaes nos formulrios sero importantes.

    Observe a ilustrao na qual podemos identificar os principais elementos formadores de um cone:

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  • 368

    Geometria espacial

    v

    g

    e

    h

    Vrtice: o ponto V.

    Base: a regio circular contida no plano .

    Altura (h): a distncia entre o ponto V e o plano .

    Geratrizes (g): so os segmentos com extremidades no ponto V e em um ponto da circunferncia que limita a base.

    Eixo (e): a reta determinada pelo ponto V e pelo centro da base.

    Se o eixo for perpendicular ao plano da base, o cone dito reto. Caso o eixo no seja perpendicular ao plano da base, o cilindro oblquo. Estudare-mos aqui apenas os cones retos.

    Para calcular a medida da superfcie total de um cone reto, podemos rea-lizar um procedimento anlogo quele realizado para um cilindro reto.

    Considere um cone reto e oco, cuja altura mede 8cm e cujo raio da base mede 6cm:

    8cm

    6cm

    Utilizando o Teorema de Pitgoras, podemos obter a medida da geratriz do cone:

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  • Geometria espacial

    369

    g2 = 82 + 62

    g2 = 64 + 36

    g2 = 100

    g = 10cm

    Se planificssemos esse slido, separando a base da rea lateral e abrin-do essa rea lateral, teramos as seguintes figuras planas:

    6cm

    10cm

    (2. 6)cm

    10cm

    Se a base um crculo de 6cm de raio, a medida da rea da base dada por:

    SB = R2

    SB = . 62

    SB = 36cm2

    A planificao da rea lateral determina um setor circular cujo arco tem comprimento igual ao permetro da base do cone. Assim, a rea lateral de um cone dada por:

    A r gl = p

    Resolvendo, obtemos:

    A

    A cm

    l

    l

    =

    =

    p

    p

    6 10

    60 2

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  • 370

    Geometria espacial

    A concluso a de que a medida da superfcie total de um cone igual soma da medida da rea de um setor circular, cujo raio igual geratriz do cone e cujo comprimento do arco igual ao permetro da base do cone, com a medida da rea do crculo da base.

    Da mesma forma que relacionamos prismas e cilindros, podemos relacio-nar pirmides com cones. O volume de um cone pode ser obtido conside-rando-o como sendo uma pirmide regular em que a base um crculo e o aptema da pirmide a geratriz do cone.

    O volume de um cone qualquer, cuja altura mede h e cujo raio da base mede R, dado por:

    V R h=13

    2p. .

    Esferas O formato esfrico est presente nas bolas da maioria dos esportes, em

    algumas frutas e em diversas situaes. At mesmo nosso planeta aproxi-madamente esfrico.

    Para compreendermos o conceito de esfera, vamos considerar um ponto P do espao e um segmento de medida R.

    Chama-se esfera com centro no ponto P e raio de medida R o conjunto dos pontos do espao cuja distncia ao ponto P menor do que ou igual a R.

    R O Esfera de centro O e raio R

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  • Geometria espacial

    371

    Pode-se provar que a medida da rea de uma esfera de raio R e a medida do volume de uma esfera so dadas, respectivamente, por:

    S = 4 R2p

    pV R=43

    3.

    Inscrio e circunscrio de slidos geomtricos O objetivo desse contedo desenvolver as relaes espaciais entre dois

    slidos geomtricos em que um deles est inscrito em outro.

    Esfera e cubo

    Considere uma esfera cujo raio mede R inscrita em um cubo cujas arestas tm medida a.

    a

    R

    Existe uma relao entre as medidas das arestas do cubo e do raio da esfera. Como a superfcie esfrica intersecta o cubo em seis pontos, loca-lizados nos centros das faces, temos trs pares de pontos diametralmente opostos. Assim, a medida de cada aresta do cubo igual ao dobro da medida do raio da esfera.

    a = 2R

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  • 372

    Geometria espacial

    Em uma outra situao, considere um cubo cujas arestas medem A, inscri-to em uma esfera cujo raio tem medida R

    R A

    Observe que os vrtices do cubo pertencem superfcie esfrica. Assim, a medida da diagonal do cubo igual ao dobro da medida do raio da esfera.

    D = 2R ou cubo a R3 2=

    Esfera e cilindro

    Considere uma esfera, cujo raio mede R, inscrita em um cilindro circular reto.

    R

    Como a superfcie esfrica intersecta as bases do cilindro nos seus centros e o crculo mximo da esfera congruente s bases do cilindro, ento as me-didas do raio e da altura do cilindro so iguais, respectivamente, a R e 2R, ou seja, o cilindro equiltero.

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  • Geometria espacial

    373

    Vamos analisar agora outra situao. Observe a figura a seguir:

    R

    Rr

    h

    Nesse caso, como podemos estabelecer uma relao entre as medidas do raio da esfera, do raio do cilindro e da altura do cilindro?

    A partir do tringulo retngulo, de catetos medindo h e 2r, onde h e r so as medidas da altura e do raio do cilindro, e de hipotenusa medindo 2R, podemos escrever:

    2 2

    4 4

    2 2 2

    2 2 2

    R r h

    R r h

    ( ) =( ) += +

    Esfera e cone reto

    Da mesma forma como o cubo e o cilindro, em um cone tambm pos-svel inscrever ou circunscrever uma esfera. Vamos, inicialmente, considerar uma esfera de raio r inscrita em um cone de raio R e altura h.

    R

    r

    r

    g

    h - r

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  • 374

    Geometria espacial

    Sendo g a medida da geratriz do cone, podemos, por meio de uma seme-lhana de tringulos, estabelecer a seguinte proporo:

    rR

    h rg

    =-

    Se o cone for equiltero, no h necessidade de utilizar a proporo ante-

    rior. Basta lembrar que a medida do raio da esfera igual a 13

    da medida da

    altura do cone, ou seja, h = 3r. A figura a seguir ilustra essa situao:

    R

    r

    2r 2R

    Assim, por meio do teorema de Pitgoras, temos:

    2 3 4 9

    3 9 3

    2 2 2 2 2 2

    2 2

    R R r R R r

    R r R r

    ( ) = +( ) = +

    = =

    Em uma nova situao, considere agora uma esfera de raio R, circunscre-vendo um cone de raio r e altura h.

    R

    R

    r

    h - R

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  • Geometria espacial

    375

    No tringulo retngulo em destaque, podemos escrever:

    R2 = r2 + (h R)2

    Existem outras relaes entre as medidas do raio da esfera, do raio da base do cone, da altura e da geratriz do cone. Porm, no existe necessidade de conhec-las, pois, por meio da relao anterior, podemos obter quaisquer outras medidas.

    Se o cone equiltero, a medida do raio da esfera igual a 23

    da medida

    da altura do cone, ou seja, hR

    =32

    .

    r

    2r23R

    Logo, por meio do teorema de Pitgoras, temos:

    232

    49

    4

    39

    4

    2 22

    2 22

    22

    2

    r rR

    r rR

    rR

    r

    ( ) = +

    = +

    =

    == =3

    43

    2

    2Rr

    R

    Cilindro e cone retos

    Considere um cilindro de altura h e raio da base R. Inscrevendo-se nele um cone reto, temos a seguinte figura:

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  • 376

    Geometria espacial

    R

    h

    Note que o vrtice do cone coincide com o centro de uma das bases do cilindro e a base do cone coincide com a outra base do cilindro. Sendo assim, os raios das bases do cone e do cilindro so, evidentemente, congruentes, da mesma forma que as medidas das alturas.

    Observe um cilindro reto, com raio da base r e altura h, inscrito em um cone reto de raio da base R e altura H:

    H

    hh

    H - h

    G - g

    R - rr

    R

    g

    Gr

    Pela semelhana existente entre trs tringulos da figura, podemos escre-ver as seguintes propores:

    rR

    H hH

    gG

    rR r

    H hh

    gG g

    R rR

    hH

    G gG

    =-

    =

    -=

    -=

    -

    -= =

    -

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  • Geometria espacial

    377

    Resoluo de questes 1. (Esaf ) Em uma superfcie plana horizontal, uma esfera de 5cm de raio est

    encostada em um cone circular reto em p com raio da base de 5cm e 5cm de altura. De quantos centmetros a distncia entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfcie?

    a) 5.

    b) 7,5.

    c) 5 5 22

    + .

    d) 5 2 .

    e) 10.

    2. (UFU) Sabendo-se que a interseco entre um plano e uma esfera S de raio 10cm uma circunferncia de raio 6cm, ento, a distncia do centro da esfera S at o plano igual a:

    a) 4cm.

    b) 5cm.

    c) 7cm.

    d) 8cm.

    3. (UFC) Um vaso em forma de cilindro circular reto tem medida de raio da base 5cm, altura 20cm e contm gua at a altura de 19cm (despreze a espessura das paredes do vaso). Assinale a alternativa na qual consta o maior nmero de esferas de ao, de 1cm de raio cada, que podemos colo-car no vaso a fim de que a gua no transborde.

    a) 14.

    b) 15.

    c) 16.

    d) 17.

    e) 18.

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  • 378

    Geometria espacial

    4. (UFSM) A rea da superfcie de uma esfera e a rea total de um cone cir-cular reto so iguais. Se o raio da base do cone mede 4cm e o volume do cone 16cm3, o raio da esfera dado por:

    a) 3cm.

    b) 2cm.

    c) 3cm.

    d) 4cm.

    e) 4 + 2 cm.

    5. (UFPE) Derretendo uma pea macia de ouro de forma esfrica, quantas peas da mesma forma se pode confeccionar com esse ouro, se o raio das novas peas um tero do raio da anterior? Admita que no houve perda de ouro durante o derretimento.

    a) 3.

    b) 9.

    c) 18.

    d) 21.

    e) 27.

    6. (UECE) Um cone circular reto, cuja medida da altura h, seccionado, por um plano paralelo base, em duas partes: um cone cuja medida da altura

    h5

    e um tronco de cone, conforme a figura.

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  • Geometria espacial

    379

    A razo entre as medidas dos volumes do cone maior e do cone menor :

    a) 15.

    b) 45.

    c) 90.

    d) 125.

    7. (UECE) Como mostra a figura, o cilindro reto est inscrito na esfera de raio 4cm.

    4cm

    Sabe-se que o dimetro da base e a altura do cilindro possuem a mesma medida. O volume do cilindro :

    a) 18p 2cm3.

    b) 24p 2cm3.

    c) 32p 2cm3.

    d) 36p 2cm3.

    8. (Fatec) A interseco de um plano com uma esfera de raio R a base comum de dois cones circulares retos, como mostra a regio sombreada da figura a seguir.

    G

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  • 380

    Geometria espacial

    Se o volume de um dos cones o dobro do volume do outro, a distncia do plano ao centro O igual a:

    a) R5

    .

    b) R4

    .

    c) R3

    .

    d) 25R.

    e) 23R.

    9. (MACK) A rea da superfcie lateral de um cone equiltero inscrito numa esfera de raio R :

    a) pR2 32

    .

    b) pR2 33

    .

    c) 34

    2pR .

    d) 32

    2pR .

    e) 3 2pR .

    10. (PUC-Campinas) Considerando-se a Terra como uma esfera cujo dimetro equatorial 12 800km, e a Lua tambm uma esfera cujo dimetro equato-rial 27% do da Terra, a razo entre as superfcies terrestre e lunar, nessa ordem, um nmero:

    a) maior que 13,9.

    b) compreendido entre 13,8 e 14,1.

    c) compreendido entre 13,5 e 13,6.

    d) compreendido entre 13,6 e 13,8.

    e) inferior a 13,5.

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  • Geometria espacial

    381

    Dica de estudo A maioria dos problemas relacionados com a Geometria, quer seja no

    plano, quer seja no espao, requer sempre do estudante a resoluo de uma boa dose de exerccios para que a viso espacial e a habilidade em observar as relaes geomtricas sejam desenvolvidas. Para iniciar, procure dominar a geometria plana, sobretudo as figuras geomtricas elementares (tringulo retngulo, tringulo equiltero, quadrado, hexgono regular e cr-culo). Procure entender a origem das frmulas e pratique resolvendo muitos exerccios. Em seguida, estude a geometria espacial, principalmente as figu-ras desta aula. No raro ocorrer de a soluo de uma questo de geometria espacial estar baseada na geometria plana.

    Referncias BOYER, Carl B. Histria da Matemtica. 12. ed. So Paulo: Edgard Blcher Ltda., 1996.

    GAERTNER, Rosinete (Org.). Tpicos de Matemtica para o Ensino Mdio. Blu-menau: FURB. (Coleo Aritthmos 2.)

    LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemtica e outras Histrias. Rio de Janei-ro: Sociedade Brasileira de Matemtica. (Coleo do Professor de Matemtica.)

    LIMA, Elon Lages et al. A Matemtica do Ensino Mdio. Rio de Janeiro: Socieda-de Brasileira de Matemtica, 2001. v. 1.

    LINTZ, Rubens G. Histria da Matemtica. Blumenau: FURB, 1999. v. 1.

    TAHAN, Malba. O Homem que Calculava. 40. ed. Rio de Janeiro: Record, 1995.

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  • 382

    Geometria espacial

    Gabarito 1. Observe a ilustrao:

    A B

    C D

    T

    O tringulo CDT retngulo, pois a tangente circunferncia forma ngulo reto com o raio ( CT ) no ponto de tangncia T. O tringulo CDT issceles, pois os ngulos TCD e TDC tm a mesma medida. Como CT = 5, ento DT = 5. Logo, CD pode ser obtido por meio do teorema de Pitgoras no tringulo CTD:

    (CD) = (CT) + (DT) (CD) = 5 + 5

    (CD) = 25 + 25 (CD)

    2 2 2 2 2 2

    2

    22 = 50

    = =

    =

    CD CD

    CD

    50 5 2

    5 2

    2 .

    Como BD = AC, necessariamente, AB = CD. Assim, a distncia entre o cen-tro da base do cone e o ponto em que a esfera toca a superfcie plana igual a 5 2 cm.

    Resposta: D

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  • Geometria espacial

    383

    2.

    C

    BA r = 6

    r = 10

    Sendo d a distncia do centro da esfera ao plano , temos:

    102 = 62 + h2

    d2 = 64

    h = 8cm

    Resposta: D

    3. O volume no ocupado pela gua no interior do cilindro igual a p p. .5 1 252 3= cm

    O volume de cada esfera igual a 43

    143

    3 3. .pp

    = cm

    Assim, a maior quantidade de esferas que podem ser colocadas no vaso

    sem que a gua transborde igual a 2543

    253

    4754

    18 75pp

    pp

    = = =. ,

    Resposta: E

    4. Sendo h a medida da altura do cone, temos que:

    1613

    4 32p p= =. . . h h cm

    Sendo g a medida da geratriz do cone, temos que g2 = 32 + 42 g = 5cm

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  • 384

    Geometria espacial

    Sendo R a medida do raio da esfera, temos que:

    4 4 4 5

    4 5 3

    2 2

    2

    . . . . .p p pR

    R R cm

    = +

    = + =

    Resposta: C

    5. O volume de uma esfera cujo raio mede R igual a 43

    3. .p R

    O volume de uma esfera cujo raio mede R3

    igual a

    43 3

    43 27

    3 3

    . . . .p pR R

    =

    Assim, podem ser feitas 27 peas com o ouro derretido.

    Resposta: E

    6. Toda seco em um cone reto, efetuada por meio de um plano paralelo base, determina um cone reto menor, semelhante ao primeiro. Utilizando o conceito de semelhana entre figuras geomtricas, observadas no cone maior e no menor, possvel provar que a razo entre os volumes dos cones maior e menor igual ao cubo da razo entre as medidas corres-pondentes das alturas dos cones. Dessa forma, sendo V e v os volumes dos cones maior e menor, respectivamente, temos:

    Vv

    hh

    Vv

    =

    =

    5

    125

    3

    Resposta: D

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  • Geometria espacial

    385

    7. Observe a figura a seguir:

    2R

    2R8cm

    Por meio do teorema de Pitgoras, temos:

    82 = (2R)2 + (2R)2

    64 = 8R2

    R2 = 8

    R = 2 2

    Assim, o volume do cilindro igual a p p. ( ) .2 2 4 2 32 22 3= cm .

    Resposta: C

    8. O volume do cone maior igual ao dobro do volume do cone menor. Sendo d a distncia do plano ao centro da esfera e r a medida do raio da base comum dos dois cones, temos:

    13

    213

    2 2 33

    2 2. . . ( ) . . . . ( )p pr R d r R d

    R d R d d R dR

    + = -

    + = - = =

    Resposta: C

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  • 386

    Geometria espacial

    9. Sendo h a medida da altura do cone equiltero, g a medida da geratriz do cone e r a medida do raio da sua base, temos:

    (2r) = r + 3r r = r =2 2 2 232

    94

    34

    32

    2 2 2R R R R

    Assim, a rea lateral do cone igual a

    p p pp

    . . . . . .r g r rR R R

    = = =23

    22 3

    23

    2

    2

    Resposta: D

    10. A medida do raio da Terra aproximadamente igual a 6 400km e a me-dida do raio da lua aproximadamente igual a 0,27 . 6 400 = 1 728 km. Assim, a razo entre as reas das superfcies terrestre e lunar igual a

    4 6 400

    4 1 7283 7 13 69

    2

    2

    2. .

    . ., ,

    p

    p

    ( )( )

    @( ) =

    Resposta: D

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