En 2009 Resolvida 84

8/14/2019 En 2009 Resolvida 84

1/29

Questo

Os grficos das funes reaisfeg de varivel real, definidas porf(x) = 4 x2

e g(x)2

5 2x= interceptam-se nos pontos A = (a, f(a)) e B = (b, f(b)) , ab.

Considere os polgonos CAPBD onde C eD so as projees ortogonais de

A e B respectivamente sobre o eixox e P(x,y), axb um ponto qualquer do

grfico de f. Dentre esses polgonos, seja , aquele que tem rea

mxima. Qual o valor da rea de , em unidades de rea?

a)64

530b)

64

505c)

64

445d)

64

125e)

64

95

As abscissas dos pontos de interseco dos grficos de f e g so tais que

f(x) = g(x) 2

x5x4 2

= 2x2 x 3 = 0 x = -1 ou x =

2

3.

Logo, a = -1 f(a) = f(-1) = 3 e b =2

3 f(b) = f

2

3=

4

7.

y

P = (x, 4 x2)

A 3B

7/4

x0 x

01

alternativa B

MATEMTICA PROVA VERDE QUEST O 01 PSAEN 2009

-1 3/2

DC E

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2/29

A rea de APBDC a soma das reas dos trapzios APEC e PBDE. Dessaforma, temos:

rea (APBDC) =2

B D ) . E D ( P E

2

A C ) . C E ( P E ++

+=

=2

x )7 / 4 ) . ( 3 / 2 x( 42

1 )3 ) . ( x x( 4 22 ++++ =1 61 2 5

85 x

45 x 2 ++ .

Portanto, a rea mxima assumida pelo polgono APBDC ser dada por

yv=4 a

=

4

5-4 .

6 4

2 5 2 5 -

=6 4

5 0 5

.

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3/29

Questo

As circunferncias da figura abaixo possuem centro nos pontos T e Q, tm

raios 3cm e 2cm, respectivamente, so tangentes entre si e tangenciam os

lados do quadrado ABCD nos pontos P, R, S e U.

B S C

R

U T

A P B

Qual o valor da rea da figura plana de vrtices P, T, Q, R e D em cm2 ?

a)22

182(7 )+b)

8

232(50 )+c)

4

22(15 )+

d)4

252(30 )+ e)4

492(50 )+

Consideremos a figura a seguir:

B S C

R2

U 3

A P D

Os segmentos ATeQCso diagonais de quadrados de lados medindo 3 cm e2 cm respectivamente e a diagonal ACdo quadrado ABCD a soma

dos segmentos AT,TQeQC, logo:

AC = AT + TQ + QC 2 = 3 2+ 5 + 2 2 =2

2510+

02

alternativa E


Q

3

Q2

T

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4/29

A rea do polgonoPTQRD obtida subtraindo-se as reas dos tringulos TPAe CRQ da rea do tringulo CDA, logo:

A(CDA) A(TPA) A(TPA) =2

2.22

3.3

2

ll.=

2132 l

=

=2

132

2510 2

+

= 2

132

25075

+

=4

49250 +.

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5/29

Questo

Um tringulo retngulo est inscrito no crculo x2 + y2 6x + 2y 15= 0

e possui dois vrtices sobre a reta 7x +y + 5 = 0. O terceiro vrtice que

est situado na reta de equao 2 x + y + 9 = 0

a) (7,4) b) (6,3) c) (7, 4) d) (6, 4) e) (7, 3)

A equao x2+ y2 6x + 2y 15 = 0, posta na forma reduzida, resulta em(x 3)2+ (y + 1)2= 52, logo as coordenadas do centro O e a medida do raio, soO = (3, -1) e 5 respectivamente. Chamando de A, B e C os vrtices do tringulo,temos que a hipotenusa do mesmo coincide com o dimetro da circunferncia.

r A s

Como 7(3) -1 + 5 0, temos que (3,-1)no pertence reta 7x + y + 5 = 0, ouseja, esta reta est num dos catetos.

CO

Como -2(3) + (-1) + 9 0, temos que (3,-1) no pertence a -2 x + y + 9 = 0.Dessa forma, {A} = rs, onde r 7x + y + 5 = 0 e s -2 x + y + 9 = 0.

O terceiro vrtice, que pode ser B ou C, pertence interseco de r com, oude s com. Nas alternativas apresentadas, verifica-se que somente (6,3)satisfaz simultaneamente as equaes de e s, logo {B} = {(6,3)} s.

Nota: Para se chegar alternativa correta sem o raciocnio acima descrito, bastanotar que somente o ponto (6,3) satizfaz a equao 2 x + y + 9 = 0.

03

alternativa B

B


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6/29

Questo

No sistema decimal, a quantidade de nmeros mpares positivos menores que

1000, todos com algarismos distintos

a) 360 b) 365 c) 405 d) 454 e) 500

Analisando a situao em dois casos, temos:

De 01 a 99:

Temos um total de 12

1-99+ = 50 nmeros mpares, dos quais excluiremos

11, 33, 55, 77 e 99, pois estes no satisfazem ao enunciado.Logo, entre 01 e 99, temos um total de 50 5 = 45 nmeros mpares com todosos algarismos distintos.

De 99 a 999:

1algarismo 2algarismo

8 . 8 . 5

Logo, entre 99 e 999 temos 8. 8 . 5 = 320 nmeros mpares de 3 algarismostodos distintos.

Portanto, a quantidade total pedida resulta em 45 + 320 = 365.

04

alternativa B


3algarismo (mpar)

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7/29

Questo

Coloque FFFF (falso) ou VVVV (verdadeiro) nas afirmativas abaixo, assinalando aseguir a alternativa correta.

( ) Se A e B so matrizes reais simtricas ento AB tambm simtrica

( ) Se A uma matriz real n n cujo termo geral dado por aij = (1)i+j ento A

inversvel

( ) Se A e B so matrizes reais n n ento A2 B2 = (A B) .(A + B)( ) Se A uma matriz real n n e sua transposta uma matriz inversvel

ento a matriz A inversvel

( ) Se A uma matriz real quadrada e A2 = 0 ento A = 0

Lendo a coluna da esquerda, de cima para baixo, encontra-se

a) (F) (F) (F) (F) (F) b) (V) (V) (V) (F) (V) c) (V) (V) (F) (F) (F)

d) (F) (F) (F) (V) (F) e) (F) (F) (V) (V) (V)

(F) Tomemos uma matriz A, simtrica 2 x 2 e B simtrica 3 x 3.Portanto, o produto AB no est definido, logo AB no poder ser simtrica.

(F) Tomemos n = 2, logo A 2 x 2. De acordo com o enunciado, se aij= (1)i+j

teremos

=

11-

1-1A . Como det(A) = 0, A no ser inversvel.

(F) Se A2 B2= (A B) .(A + B), ento A2 B2= (A B) .(A + B)

A2 B2= A2+ AB BA B2 BA = AB.

=

43

21ATomemos

=

11

11Be . Temos que

=

77

33AB e

=

64

64BA .

Portanto, BA AB e dessa forma A2 B2 (A B) .(A + B)

(V) Se At inversvel, logo det(At) 0. Mas det(At) = det(A), logo det(A) 0, eportanto A inversvel.

(F) Pois se A = ,1-1-

11

A2=

00

00, no implicando A = 0.

05


alternativa D

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8/29

M3 M1I

Questo

Considere o tringuloABC dado abaixo, onde M1 , M2 e M3so os pontos

mdios dos lados AC, BC e AB, respectivamente e k a razo da rea

do tringuloAIB para a rea do tringulo IM1M2 ef(x) = 21122

1 23

+ xxx .

Se um cubo se expande de tal modo que num determinado instante sua

aresta mede 5 dm e aumenta razo de |f(k)| dm/min ento podemos

afirmar que a taxa de variao da rea total da superfcie deste slido,

neste instante, vale em dm2/min

a) 240 2

b) 330 2

c) 420 2

d) 940 2

e) 1740 2 B M2 C

Consideremos a figura a seguir:

B M2 C

Se M1, M2e M3so pontos mdios,Iser o baricentro de ABC, e dessa forma,

212

IMAI

2

== e consequentementek =)MIMrea(

AIB)rea(

21

=

2

2IMAI

= ( )22 =4.

Chamando del a aresta do cubo, a taxa de variao da aresta em funo dotempo

dada pordtdl

= |f(k)| = |f(4) |= 2112.44.421 23

+ =

= | 32 + 16 8 11|. 2= 29 (dm/min).

Dessa forma, a taxa de variao da rea total deste cubo ser equivalente a

dt)d(6 2l

que pela regra da cadeia, resultadtd

.12l

l , e que portanto, no

referido instante vale 12. 5. 29 2 =1740 2(em dm2/min).

06


alternativa E

A

M3 M1I

A

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9/29

Questo

Sejam:

a) f uma funo real de varivel real definida por )(xf = arctg

x

x

3

3

,x > 1 e

b)L a reta tangente ao grfico da funo y = )(1 xf no ponto (0, )(1 0f ).

Quanto mede, em unidades de rea, a rea do tringulo formado pela retaL e

os eixos coordenados?

a)2

3b) 3 c) 1 d)

3

2e)

3

4

Derivando em x a funo )(f = arctg

x

3x3

, x >1, temos:

)(xf = 23x

3x

1

1

+

(x2 1 ) . Fazendo 1f = g, temos que f (g(x)) = x

e logo, g(x) =(g(x))1

f. Uma possvel equao da reta L ser dada por

y g(0) = g(0).(x 0), de modo que g(0) = k 1f (0) = k f (k) = 0

arctg

k

3k3 = 0 k

3k3 = tg0 = 0 k = 3= g(0) (pois k >1).

Logo, g(0) =(g(0))1

f=

)3(1

f=

( )( )13

333

1

11

2

23

+

.

=21

e a

equao de L resulta em y 3= 21 (x 0) 3y32- x + = 1, reta esta que

forma com os eixos coordenados um tringulo retngulo de rea 32

332=

..

07

alternativa B


.

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10/29

Questo

Considere a funo real f de varivel real e as seguintesproposies:

I) Se f contnua em um intervalo aberto contendox = xo e tem um

mximo local emx = xo ento f (xo) = 0 e "f (xo) < 0.

II) Se f derivvel em um intervalo aberto contendox = xo e f (xo) = 0

ento f tem um mximo ou um mnimo local emx = xo .

III) Se f tem derivada estritamente positiva em todo seu domnio

ento f crescente em todo seu domnio.

IV) Se )(xfax

lim

= 1 e )(xgax

lim

infinito ento =

)())((

xg

ax

xflim 1.

V) Se f derivvel x IR, ento ).()()(

0

xx

fff

22s

2slim

s

=

Podemos afirmar que

a) todas so falsas b) todas so verdadeirasc) apenas uma delas verdadeira d) apenas duas delas so verdadeiras

e) apenas uma delas falsa

I. Falsa. Tomemos f(x) = x, contnua em IR e que possui mximo em x0= 0,porm, no existe f(x0) nem f (x0).

II. Falsa. f s ter mximo local ou mnimo local se, f(x0 ) = 0 e f(x0 ) < 0 (nocaso de mximo local) ou f(x0) = 0 e f(x0) > 0 (no caso de mnimo local). Acondio de que f(x0 ) < 0 ou f(x0) > 0 se faz necessria pois x0pode serabscissa de um ponto de inflexo.

III) Falsa. Se f tem derivada estritamente positiva em todo seu domnio

ento, f ser estritamente crescente.

08

alternativa A


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11/29

IV) Falsa. Se f(x) = ex e g(x)=x1

, por exemplo, temos que

1elimf(x)limx

xx==

++ 00 e == ++ x

1

limg(x)lim xx 00 ,

porm eelim)(elim(f(x))limx

x1

x

x

g(x)

x===

+++ 000

.

V. Falsa. Se f(x) = x, temos que f(x) = 1 2 f(x) = 2.

12s2s

2s2s)(xx

2s2s)f(xf(x)

==

= , e dessa forma, temos que

lim2s

2s)f(xf(x) = lim1 = 1, ou seja lim2s

2s)f(xf(x) 2 f(x)

Portanto, todas as proposies so falsas.

s 0 s 0 s 0

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12/29

Questo

O raio de uma esfera em dm igual posio ocupada pelo termo

independente de x no desenvolvimento de( )

54

cosx12

xsen

2

1

525

2

+

+

quando

consideramos as potncias de expoentes decrescentes de

2

xsen

2

1 2

25 . Quantomede a rea da superfcie da esfera?

a) 10,24 m2 b) 115600cm2 c) 1444 dm2

d) 1296 dm2 e) 19,36 m2

A binmio( )

54

cosx12x

sen21

5252

+

+

equivalente a( )

54

cosx12x

sen

552

+

+

cujo

termo geral pode ser expresso como Tp + 1 =( )( )

pcosx1

p54

2x

sen

55p

54 2+

. .

Lembrando que 1 + cosx = cos

2

2

x

+ sen

2

2

x

+ cos

2

2

x

sen

2

2

x

= 2 cos

2

2

x

,temos que:

Tp + 1 =

p

2x

2cos

p54

2x

sen 22

55p

54

. = 5p

54.

Para que o termo obtido seja independente de x, o expoente de 5 deve resultar

em um nmero real sem os termos cos22x

e sen22x

. Dessa forma, temos que

(54 p ) = 2 p p = 18, o que implica que a ordem do termo independente, econsequentemente o raio, seja p + 1 = 18 + 1 = 19.

Portanto a rea da superfcie esfrica resulta em 4(19)2= 1444(dm2).

09

alternativa C


2x

2p.cosx

p).sen-(54 22 +

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13/29

Questo

Considere as funes reais f e g de varivel real definidas por

)ln(4

1e)(

2

12

xx

x

=

f e x.xx1

e=)(g respectivamente, A e B

subconjuntos dos nmeros reais, tais que A o domnio da

funo f e B o conjunto onde g crescente. Podemos afirmar

que AB igual a

a) [1, 3 [ ] 3 , + [

b) [1, 2 [ ] 2, + [

c) ] 2, + [

d) [1, 3 [ ] 3 , 2 [

e) ] 3 , + [

A funo)xln(41e

xf2

12x

=

)( est definida para e2x 1 1 0, 4 x2> 0 e ainda

ln(4 x2) 0. Logo:

e2x 1 1 0 e2x 1 1 e2x 1 e0 x 21

,

21

4 x2> 0 x2< 4 2 < x < 2 ]2 , 2 [

ln(4 x2) 0 (4 x2) 1 x 3 e x 3.

Portanto A =

,

21

[ [2,2 { }33, = ] [2,33,21

A funo g ser crescente se g(x) 0, para todo x interior a um intervalo ondeg contnua, logo:

g(x) = x. x1

e g(x) =

x

ee

x1

x1

e g(x) > 0 e

ex1

x1

0

x1

1 0 x

1x 0 x < 0 ou x 1, logo B = ] [ [ [ 1,0,

10

alternativa D


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14/29

21

3 2

A x

0 1B x

A B x1 3 2

Portanto A B =[ 1, 3 [ ] 3, 2[ .

8/14/2019 En 2009 Resolvida 84

15/29

Questo

Qual o valor de sen6x cosx dx ?

a) c2

5cos5

2

7cos7+

xx b) c2

5sen5

2

7sen7++

xx c) c10

5sen

14

7sen++

x

d) c10

5cos

14

7cos+

xxe) c

2

5cos5

2

7cos7+

xx

Temos que sen(6x).cosx = cos

6x

2 .cosx (I)

Usando a identidade cos

+

2qp . cos ( )qcospcos

21

2qp

+=

em (I), temos

que

6x2qp

=

+

12xqp =+ 5x2p =

x2

qp=

2xqp = 7x

2q =

Logo, sen(6x). cosx =

+

7x

2cos5x

2cos

21 = ( ) e7xsen5xsen

21

+

dessa forma, sen(6x).cosx dx =( )7xsen5xsen2

1+ dx =

= c7

7xcos5

5xcos21

+

= c

105xcos

147xcos

+

11

alternativa D


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16/29

Questo

Seja S o subconjunto de IR cujos elementos so todas as solues de

+

+

>+

05x3x5x)-(1

4)(x

1-4x32xlog

5 23

53

1

3

1log

. Podemos afirmar que S um subconjunto de

a) ] , 5 [ ] 1, + [

b) ] , 3 ] [ 3, + [c) ] , 5 [ ] 3, + [

d) ] , 3 ] [ 2, + [

e) ] , 2 [ [ 4, + [

De acordo com o sistema, temos que 1-4xlog32xlog31

31

>+ , cujas

condies de existncia esto restritas a x 3 e x 41 . Logo:

I) 1-4xlog32xlog31

31

>+ 1-4x32x

8/14/2019 En 2009 Resolvida 84

17/29

y3> 0 pois 3x2 x + 5 > 0 xIR

4

+ +

S2 +

4

Logo, S2=] , 4] ]

5

1 , +[ e dessa forma, temos que:

S = S1S2=] , 4] ] 2, +[

Analisando as alternativas, constatamos que S ] , 3] [ 2, +[.

y1

y2

y3

51

+++ + +

51

8/14/2019 En 2009 Resolvida 84

18/29

Questo

Ao escrevermos

22

2

211

2

1

4

2 CA

1 cxbxa

Dx

cxbxa

Bx

x ++

++

++

+=

+onde

ai , bi, ci (1 i 2) e A, B, C e D so constantes reais, podemos

afirmar que22 CA + vale

a)8

3b)

2

1c)

4

1d)

8

1e) 0

Fatorando-se a expresso x4+ 1, temos:

x4+ 1 = x4+ 2x2+ 1 2x2= ( x2+ 1)2 ( x)2= ( x2 2x + 1). ( x2+ x + 1)

Logo,1)x21).(xx2(x

x1x

x22

2

4

2

+++=

+e dessa forma,

os polinmiosa1 x2+b1 x +c1e a2 x

2+b2 x +c2 podem ser associados a

x2 2x + 1 e x2+ x + 1. Assim, temos:

1x2xDCx

1x2xBAx

1xx

224

2

++

++

+

+=

+

1x

DBC)xA2D2(BD)xB2C2(AC)x(A

1x

x4

23

4

2

+

+++++++++=

+

Logo, A + C = 0 A =22

1

B + D = 0 B = 0

A 2 C 2 + B + D = 1 C =22

1

B 2 D 2 + A + C = 1 D = 0

Portanto A2+ C2=

22

221

221

+

=

41

81

81

=+ .

13

alternativa C


8/14/2019 En 2009 Resolvida 84

19/29

Questo

Considere :

a)1

v ,2

v ,3

v e4

v vetores no nulos no IR3

b) a matriz [vij] que descreve o produto escalar de iv por jv , 1 i4,

1j4 e que dada abaixo:

c) o tringulo PQRPQRPQRPQR onde QP =2

v e QR =3

v .

Qual o volume do prisma cuja base o tringuloPQRPQRPQRPQR e a altura h igual a

duas unidades de comprimento?

a)45 b)

453 c) 52 d)

554 e) 5

Do enunciado, temos pelo item b que [v22] = 2 e [v33] = 3. Logo 2v . 2v = 2

220cos ==222

vvv .. . Analogamente, temos que 3=3

v .

14


[ ]

=

4323

1

3312

3

2123

22

31

23

3221

ijv

alternativa E

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20/29

Temos ainda que [v23 ] = 1 2v . 3v = 1 1cos = .. 32 vv

61-

cos1-cos32 == .. , onde o ngulo formado pelos

lados QP e QR no tringulo PQR, que corresponde aos vetores2

v e

3v respectivamente.

Temos ainda que cos =61-

sen2 +

61

= 1 sen =65

,

pois 0

8/14/2019 En 2009 Resolvida 84

21/29

Questo

Nas proposies abaixo, coloque, na coluna esquerda (V) quando a

proposio for verdadeira e (F) quando for falsa.

( ) Dois planos que possuem 3 pontos em comum so coincidentes.( ) Se duas retas r e s do IR3 so ambas perpendiculares a uma reta t,

ento r e s so paralelas.( ) Duas retas concorrentes do IR3 determinam um nico plano.

( ) Se dois planos A e B so ambos perpendiculares a outro plano C,ento os planos A e B so paralelos.

( ) Se duas retas r e s no IR3 so paralelas a um plano A ento r e s so

paralelas.

Lendo a coluna da esquerda, de cima para baixo, encontra-se

a) F F V F F b) V F V F F c) V V V F F d) F V V F V e) F F V V V

(F) Os planos mencionados podem ser CONCORRENTES.

(F) Considere o cubo da figura a seguir:

As retas r e s so perpendiculares reta t, mas no so paralelas entre si.

15

alternativa A


A B

D Cr

E

FG

H

t

s

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22/29

(V) Q r

{P} = rs, PQR. Logo, os 3 pontos P, Q e R

no esto alinhados e determinam um nico plano.

s

(F) No cubo da figura a seguir, se chamarmos de A, B e C os planosdeterminados pelas faces INOJ, JKPO e IJKL respectivamente , verificamosque A e B so perpendiculares a C, mas no obrigatoriamente paralelos entre si.

(F) No cubo da figura a seguir, chamando de A o plano da face MNOP, temosque as retas r e s so paralelas ao plano A, mas r no obrigatoriamenteparalela a s.

I J

L K

M

N

O

P

I J

L K

M

NO

P

r

s

R

P

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23/29

Questo

A figura abaixo mostra-nos um esboo da viso frontal de uma esfera,

um cilindro circular reto com eixo vertical e uma pirmideregular de base quadrada, que foram guardados em um armriocom porta, que possui a forma de um paraleleppedo retngulo

com as menores dimenses possveis para acomodar aquelesslidos. Sabe-se que estes slidos so tangentes entre si; todos

tocam o teto e o fundo do armrio; apiam-se a base do armrio;todos so feitos com material de espessura desprezvel; que a

esfera e a pirmide tocam as paredes laterais do armrio;

4 11 dm a medida do comprimento da diagonal do armrio;e a porta pode ser fechada sem resistncia, ento, a medida do

volume do armrio no ocupado pelos slidos vale

a) 354

dm3

522 )(

b) 354

m

3

522 )( +

c) 334

dm5

522 )(

d) 364

dam6

1022 )( +

e) 364

dm6

1022 )(

De acordo com o enunciado e figura, temos que duas das 3 dimenses do slidoso iguais. Chamando essas dimenses de x, temos que:

Diagonal = 4 11 114(12)(x)(x) 222 =++ x = 4

Logo, o raio da esfera e o raio da base do cilindro mediro (dm)224=

enquanto o lado da base da pirmide, a altura da mesma e a altura do cilindromediro 4 dm. O volume procurado ser: V(armrio) V(esfera) V(cilindro) V(pirmide) =

= 4 .4 .12 ( )32

34 .(2)

2.4 ( ) 4.431 2 = 192

332 16

364 =

=3

80512 =3

)5(22 54 (dm3 ) ou6

)10(22 64 (dm3).

16

alternativas A e E


armr io

120 cm

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24/29

Questo

Um paraleleppedo retngulo tem as dimenses x, y e z expressas em

unidades de comprimento e nesta ordem, formam uma P.G de razo 2.

Sabendo que a rea total do paraleleppedo mede 252 unidades de rea, qual

o ngulo formado pelos vetores u = (x 2 ,y 2 ,z 4) e w = (3, 2, 1) ?

a) arc cos42

14b) arc sen

126

145c) arc tg 52

d) arc tg 55 e) arc sec3

14

Se x, y e z esto em P.G de razo 2, temos que x =2y e z = 2y. Dessa forma,

temos que a rea total do paraleleppedo pode ser expressa de modo que:

6y2524y2yy2522yy2y2y

y2y

2 222 ==++=

++

ementeconsequent12,62.ze326

xPortanto ====

8).4,(1,)4-122,-62,-(3 ==u

Desse modo, 9841 222 =++=u , 141(-2)3 222 =++=w e

3.8.14.(-2)1.31)2,-8).(3,4,(1, =++==wu .

Portanto, cos = ===4214

1431

1493

wu

wu

.

. = arc cos 414

17

alternativa A


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Questo

Considerex1,x2 ex3IR razes da equao 64x3 56x2 + 14x 1 = 0.

Sabendo quex1,x2 ex3 so termos consecutivos de uma P.G e esto em

ordem decrescente, podemos afirmar que o valor da expressosen[(x1 +x2)] + tg[(4 x1x3)] vale

a) 0 b)2

2c)

2

22 d) 1 e)

2

22 +

Se x1, x2e x3so termos consecutivos de uma P.G decrescente,

temos: x1 =qk

, x2= k e x3= k.q , de modo que q < 1.

Aplicando as relaes de Girard equao dada:

64(-1)(-1)xxx 3

321=

641kqk

qk =

641k3 =

41k =

Dessa forma, x1 =4q1 , x2=

41 e x3=

4q

k = , logo:

64(-56)-

xxx 321 =++ 6456

4q

41

4q1

=++ 85

4q

4q1

=+

2q2 5q + 2 = 0 q = 2 (no convm, pois q < 1) ou q81

=

Consequentemente x121

21

4.

1== , x2

41

= e x381

421

== e portanto:

sen[(x1 + x2)] + tg[(4 x1 x3)] = sen

+

41

21

+ tg

81

21

4 =

= sen 43

+ tg 4

= +

=+ 22122

18

alternativa E


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26/29

Questo

Considere um tanque na forma de um paraleleppedo com baseretangular cuja altura mede 0,5 m, contendo gua at a metade de sua

altura. O volume deste tanque coincide com o volume de um tronco depirmide regular de base hexagonal, com aresta lateral 5 cm e reas das

bases 54 3 cm2 e 6 3 cm2 respectivamente. Um objeto, ao ser imersocompletamente no tanque faz o nvel da gua subir 0,05 m. Qual o volume do

objeto, em cm3 ?

a)10

351 b)

10

363 c)

10

378 d)

10

387 e)

10

391

A rea S de um hexgono regular de lado L dada por S =2

33L2 , de modo que

L = 33

2S. Dessa forma, os lados L e

l

das bases desse tronco sero

respectivamente iguais a 633

)32(54= e 2

33)32(6= .

Aplicando Pitgoras aos tringulosformados, temos:

h2+ 42= 52 h = 3

O volume do tronco de pirmide de altura h e bases paralelas cujas reas so

B e b, ser: ( )bB.bB3h

++ = ( )363.635435433

++ = 78 3

19

alternativa C


A B

CD CD

B

5

2l

2L

A

5

D

B

5

4

4

A

5

44

h h

12

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Como o tronco e o paraleleppedo possuem o mesmo volume 78 3cm3, a rea

da base do paraleleppedo ser dada por cm50

378cm50cm378

m0,5cm378 33

== .

O volume do objeto em questo o volume de gua existente entre os nveisinicial e final, correspondentes a antes e depois da imerso do objeto.

Portanto, V 322 cm10

378cm.5cm

50378

m.0,05cm50

378=

=

= .

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Questo

Sabendo que a equao 2x = 3 sec,

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Outro modo:

Se 2x = 3 sec cos2x3

= , logo, construindo um tringulo retngulo

hipottico, temos:

Assim,

sen = sen 1 =2x

94x2x

94x 22 =

, pois x < 0 e

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