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Processamento Digital de Sinais - Lista de Exercícios Suplementares 2- Marcio Eisencraft– março 2012

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Processamento Digital de Sinais

Lista de Exercícios Suplementares 2 - 1° semestre 2012 1. (1072) (PROAKIS; MANOLAKIS, 1996, p. 370) Calcule a transformada de Fourier de

tempo discreto dos seguintes sinais:

(a) 6x n u n u n = − −

(b) 1

44

n

x n u n = +

2. (1071) (OPPENHEIM; WILLSKY; YOUNG; 1983, p. 376) Obtenha a transformada de

Fourier de tempo discreto do sinal [ ]x n a seguir.

RESP: ( ) 2 3 cos 2 cos 2 cos 3jX e ω ω ω ω= + + + .

3. (1071) (OPPENHEIM; WILLSKY; YOUNG; 1983, p. 555) No sistema mostrado a se-

guir, dois sinais ( )1x t e ( )2x t são multiplicados e o produto ( )w t é amostrado por um

trem de impulsos periódico. O sinal ( )1x t é limitado em banda a 1ω e ( )2x t é limitado

em banda a 2ω , isto é,

( )( )1 1

2 2

0,

0,

X j

X j

ω ω ω

ω ω ω

= >

= >.

Determine o máximo período de amostragem T tal que ( )w t possa ser recuperado a partir

de ( )pw t usando um filtro passa-baixas ideal.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

n

x[n

]


2

RESP: max1 2

Tπ

ω ω=

+.

4. (1071) (PROAKIS; MANOLAKIS, 1996, p. 440) Os primeiros cinco pontos de uma TFD

de oito pontos de uma sequência real são

( )0,25; 0,125 0,3018; 0; 0,125 0,0518; 0j j− − . Determine os três pontos restan-

tes.

RESP: 0,125 0, 0518; 0; 0,125 0, 3018j j+ + .

5. (1071) (PROAKIS; MANOLAKIS, 1996, p. 441) Determine a convolução circular entre

as sequências a seguir considerando-as periódicas com período 4:

[ ] [ ]

1

2

1; 2; 3; 1

4; 3; 2; 2

x n

x n

↑

↑

=

=

RESP: [ ] 17; 19; 22; 19y n↑

= .

6. (1062) (HAYES; 1999, p. 240) Considere a sequência:

[ ] [ ] [ ]2 5x n n nδ δ= + −

Calcule a Transformada de Fourier Discreta (TFD) deste sinal com 10N = pontos.

RESP: [ ] 3; 1; 3; 1; 3; 1; 3; 1; 3; 1X k↑

= − − − − − .


3

7. (1062) (OPPENHEIM; WILLSKY; NAWAB, 1998, p. 403) Calcule a Transformada de

Fourier de Tempo Discreto (TFTD) do sinal:

[ ] [ ] [ ]2 6x n u n u n= − − −

RESP: ( )2 6

1

j jj

j

e eX e

e

ω ωω

ω

− −

−

−=−

.

8. (1062) (OPPENHEIM; WILLSKY; NAWAB, 1998, p. 556) (1,5) Um sinal contínuo

( )x t é obtido na saída de um filtro passa-baixas ideal com frequência de corte

1000cω π= . Se for realizada uma amostragem com trem de impulsos sobre ( )x t ,

quais dos seguintes períodos de amostragem garantem que ( )x t poderá ser recuperado a

partir de sua versão amostrada utilizando-se um filtro passa-baixas?

(a) 30,5 10T −= × (b) 32 10T −= × (c) 410T −=

RESP: (a) e (c).

9. (1061) (OPPENHEIM; WILSKY; NAWAB, 1997, p. 403) A seguinte função é a trans-

formada de Fourier de tempo discreto de um sinal de tempo discreto.

( )

<≤≤≤

≤≤=

40,

4

3,0

4

3

4,1

πωπωπ

πωπωjeX

(a) Esboce ( )ωjeX no intervalo [ ]ππ 2,2− .

(b) Determine o sinal [ ]nx correspondente a esta transformada.

RESP: (b) [ ]( ) ( )3

sin sin4 4n n

x nn

π π

π

−= .

10. (1061) Um sinal de tempo discreto é composto por apenas duas amostras: [ ]

=

↑banx , .

Determine a TFD [ ]kX deste sinal.

RESP: [ ] ;X k a b a b↑

= + − .


4

11. (1061) Deseja-se adicionar um efeito de eco a uma música gravada a uma taxa de 44,1kHz

(qualidade de CD). Deseja-se que o eco esteja atrasado de 0,1 segundo e atenuado de 0,7

em relação ao som principal.

(a) Escreva uma equação de diferenças que represente um filtro que implemente este efeito;

(b) Supondo que as amostras do sinal musical tenham sido lidas e guardadas no vetor x, es-

creva comandos que permitam implementar o efeito de eco descrito e tocar o som resultante

nos alto-falantes do PC.

RESP: (a) [ ] [ ] [ ]0,7 4410y n x n x n= + − .

12. (1052) (HAYKIN; VEEN, 2001, p. 78) Use a equação de definição da TFTD para obter a

representação de domínio de frequência do sinal seguinte. Esboce os espectros de magni-

tude e fase.

[ ] [ ]42

1 −

= nunxn

.

13. As respostas ao impulso de dois sistemas de tempo discreto são dadas por

[ ] [ ] [ ]( )

[ ] [ ] [ ]( )12

1

12

1

2

1

−−=

−+=

nnnh

nnnh

δδ

δδ

Encontre a resposta em frequência de cada sistema e trace graficamente as respostas em mó-

dulo.

14. Encontre uma expressão para a resposta em frequência do sistema de tempo discreto com

resposta ao impulso

[ ] ( ) [ ]nuanh n−=

supondo que 1<a .

15. Com relação ao sinal [ ] ( ) [ ]nunx n2,0= , responda:

(a) este sinal possui TFTD?

(b) se sim, calcule-a usando a definição.

16. Encontre a TFTD dos sinais:

(a) [ ] [ ]( )103

1 −−

nunu

n


5

(b) [ ]0nn −δ

(c) ( ) [ ]nunan0cosω , 1<a .

17. (2021) Um sinal analógico ( )ts modulado em AM DSB-SC tem espectro de Fourier mos-

trado a seguir.

Este sinal é amostrado para produzir a sequência [ ] ( )nTsnx = , sendo T o período de amos-

tragem.

(a) Supondo que T seja escolhido de forma que não ocorra “aliasing”, esboce a TFTD

( )ωjeX da sequência [ ]nx .

(b) Qual é a menor frequência de amostragem T que pode ser usada sem que ocorra nenhuma

distorção por “aliasing”, isto é, de forma que ( )ts possa ser recuperado a partir de [ ]nx ? Justi-

fique sua resposta.

18. (3021) Um sinal analógico ( )tx tem transformada de Fourier ( )ωjX mostrado a seguir

sendo ω dado em rad/s.


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Pergunta-se:

(a) Qual o maior intervalo de amostragem ST com que este sinal pode ser amostrado de forma

a não ocorrer “aliasing”?

(b) Esboce a TFTD do sinal amostrado [ ] ( )SnTxnx = supondo que não ocorre “aliasing”.

19. Use a equação de definição da SFTD para avaliar a representação da SFTD dos seguintes

sinais. Esboce os espectros de magnitude e fase.

(a) [ ]

+=613

6cos

ππnnx

(b) [ ] 121

10cos

21

4sin +

+

= nnnxππ

20. Use a definição da SFTD para determinar os sinais de tempo representados pelos seguin-

tes coeficientes da SFTD.

(a) [ ]

= kkX17

6cos

π

(b) [ ]

+

= kjkkX21

4sin

21

10cos

ππ

21. Suponha que sua saída de um sistema seja

( ) ≤≤

=contrário aso ,0

20,sin

c

ttty

Obtenha [ ]ny resultado da amostragem de ( )ty entre 0 e 4s com um período de amostragem

25,0=ST s.

22. Sendo 2,1=Sf kHz discuta se ocorrerá aliasing na reconstrução de senóides com frequên-

cias 400=f Hz, 800=f Hz, 1200=f Hz, 1600=f Hz, 2100=f Hz e 2600=f Hz e

determine Af .

23. (1032) O impulso unitário [ ]nδ juntamente com a operação de convolução pode ser usado

para representar matematicamente sinais periódicos. Seja o sinal de tempo discreto mos-

trado a seguir.


7

(a) Esboce [ ] [ ] [ ]nnxnya δ∗=

(b) Esboce [ ] [ ] [ ] [ ]( )5−+∗= nnnxnyb δδ

(c) Esboce [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( )105 −+−+∗= nnnnxnyc δδδ

(d) Esboce [ ] [ ] [ ]∑∞

−∞=

−∗=ℓ

ℓ5nnxnyp δ

(e) Calcule [ ] [ ] [ ]nynyna pp ⊗=

24. (1032) Um filtro digital tem resposta ao impulso dada por [ ] [ ]nunhn

=2

1.

(a) Determine sua resposta em frequência. Este filtro é passa-altas ou passa-baixas?

(b) Este filtro é FIR ou IIR? Justifique.

(d) Escreva uma série de comandos que poderiam ser utilizados no Matlab para obter um grá-

fico da resposta deste filtro a uma entrada [ ] [ ]nunnx

=4

cosπ

para 1000 ≤≤ n . Considere

apenas os 50 primeiros pontos da resposta ao impulso para obter o seu resultado.

RESP: (a) ( ) ωω

jj

eeH −−

=2

2; (b) Filtro passa-baixas.

25. (1032) Um DSP possui em sua entrada um amostrador com frequência de amostragem

12kHz. Coloca-se em sua entrada uma senóide ( ) ( )ttx Ω= cos . Para cada um dos valores

de Ω a seguir, escreva se haverá aliasing e, em caso positivo, em qual frequência apare-

cerá.

a) 1,5kHz; (b) 3kHz; (c) 5kHz; (d) 11kHz; (e) 19kHz; (f) 35kHz.

RESP: (a) não; (b) não; (c) não; (d) 1=af kHz; (e) 5=af kHz; (f) 1=af kHz.


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26. (1032) Calcule a TFD [ ]kX com 6=N pontos do sinal [ ] 1,0,0,0,0,1=nx e

esboce o seu módulo.

27. (1041) [OPPENHEIM, p. 253] Determine a saída do filtro mostrado na figura a seguir

para cada uma das seguintes entradas periódicas:

(a) [ ] ( )nnx 11 −=

(b) [ ]

++=48

3sin12

ππnnx

Figura 1 – Resposta em frequência de um filtro digital [OPPENHEIM]

RESP: (a) [ ] 0=ny ; (b) [ ]

+=48

3sin

ππnny .

28. (1041) [OPPENHEIM, p. 400] Use a equação de análise da transformada de Fourier

(TFTD) para calcular a transformada de:

[ ] [ ]12

11

−

=−

nunxn

.

Esboce e coloque escala em um período da magnitude da transformada.

29. (P1-2°semestre 2004) [MITRA, p. 181] (1,0) Determine a TFTD da seguinte sequência:

[ ]

≤≤−

=contrário caso,0

,11

NnNny .

RESP: ( )

+

=

2sin

2

12sin

1 ω

ωω

N

eY j.

30. [OPPENHEIM, p. 556] Sabe-se que um sinal real ( )tx pode ser unicamente determinado

por suas amostras quando a frequência de amostragem é πω 10000=S . Para que valores

de ω pode-se garantir que ( )ωjX é nula? JUSTIFIQUE.

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