Energia IME

7/26/2019 Energia IME

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Resistência dos Materiais II

• Trabalho de deformação.• Trabalho específico de deformação em um ponto.• Trabalho de distorção.

SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃOMAJ MONIZ DE ARAGÃO



Trabalho de Deformação

Trabalho elementar:

R e f :

B e e r e

J o

h n s

t o n ,

R e s

i s t ê n c

i a d o s M

a t e r i a

i s ,

3 ª E d

. P á g .

9 7 5

dx P dU

Trabalho ou Energia de Deformação: 1

0

x

dx P U

N m = J = joule




R e f :

B e e r e

J o

h n s

t o n ,

R e s

i s t ê n c

i a d o s M

a t e r i a

i s ,

3 ª E d

. P á g .

9 7 5

Trabalho de deformação linear e elástica:

21

02

11

xk dxkxU

x

112

1 x P U




R e f :

B e e r e

J o

h n s

t o n ,

R e s

i s t ê n c

i a d o s M

a t e r i a

i s ,

3 ª E d

. P á g .

9 7 5

Trabalho de deformação específica:

11

00

x

x x

x

d L

dx

A

P

V

U u

dV

dU

V

U u

V

0

limEnergia por unidade de volume

necessária para provocar a rupturado material

Energiarecuperável

Energiaperdida




R e f :

B e e r e

J o

h n s

t o n ,

R e s

i s t ê n c

i a d o s M

a t e r i a

i s ,

3 ª E d

. P á g .

9 7 5

Módulo de resiliência:

E E

d

E d E

u x

x x

x

x x

2

221

0

21

0

1

1

Trabalho de deformação específica:

E

f u

y

res

2

2

onde f y tensão de escoamento




Tensões Normais

(para A cte)

R e f :

B e e r e

J o

h n s

t o n ,

R e s

i s t ê n c

i a d o s M

a t e r i a

i s ,

3 ª E d

. P á g .

9 7 5

dx AdV

dV uU

E u

2

2

1

Trabalho de deformação para carga axial:

dV EA

P

dV E U 2

221

22

L

dx EA P U

0

2

2

EA

L P U

2

2




Tensões Normais

R e f :

B e e r e

J o

h n s

t o n ,

R e s

i s t ê n c

i a d o s M

a t e r i a

i s ,

3 ª E d

. P á g .

9 7 5

dxdAdV

dV uU

E u x

2

2

Trabalho de deformação na flexão:

dV EI

y M

dV E U

x

2

222

22

I

My x

L L

dx

EI

M dxdA y

EI

M U

0

2

0

2

2

2

22




Tensões Normais - Exemplos

R e f :

B e e r e

J o

h n s

t o n ,

R e s

i s t ê n c

i a d o s M

a t e r i a

i s ,

3 ª E d

. P á g .

9 7 5




Tensões Cisalhantes

R e f :

B e e r e

J o

h n s

t o n ,

R e s

i s t ê n c

i a d o s M

a t e r i a

i s ,

3 ª E d

. P á g .

9 8 6

Trabalho específico de deformação para um material submetido a

tensões cisalhantes:

1

0

x

x x d u

xy

xy xy d u

0

Abaixo do limite de proporcionalidade:

GGu

xy

xy xy xy 22

1

2

12

2

dV uU

dV GU

x

2

2

Trabalho de deformação :




Tensões Cisalhantes

R e f :

B e e r e

J o

h n s

t o n ,

R e s

i s t ê n c

i a d o s M

a t e r i a

i s ,

3 ª E d

. P á g .

9 7 5

Trabalho de deformação na torção:

(para A, T cte)

J

T

dx AdV

dV uU

Gu

xy

xy

2

2

L

dxdAGJ

T

dV GJ

T

U 0

2

2

2

2

22

22

GJ

LT U

2

2




Tensões Cisalhantes - Exemplos

R e f :

B e e r e

J o

h n s

t o n ,

R e s

i s t ê n c

i a d o s M

a t e r i a

i s ,

3 ª E d

. P

á g .

9 9 0

GA

L P

EI

L P

5

3

6

232

U U U

desprezível




Caso Geral de Tensões

R e f :

B e e r e

J o

h n s

t o n ,

R e s

i s t ê n c

i a d o s M

a t e r i a

i s ,

3 ª E d

. P

á g .

9 9 0

Expressão geral do trabalho de deformação:

Expressão geral do trabalho em função das tensões principais:

Trabalho específico: u = uv + ud

variação volumétrica “reta”

distorção: mudança de forma




Teoremas de Castigliano

Primeiro Teorema de Castigliano:

,

0 ,

i jii

i ji

i

P d P dU

d d U

dU

ii

U

P

Segundo Teorema de Castigliano:

i

i P

U

ji

P

i j

ij

U U k

i

2

não realizam trabalho

Def. coef. de rigidez





R e f :

B e e r e

J o

h n s

t o n ,

R e s

i s t ê n c

i a d o s M

a t e r i a

i s ,

3 ª E d

. P

á g .

1 0 4 7

P

U y B

8060 ,

BD BD

,

BC BC

P

F

AE

BD F

P

F

AE

BC F

2º Teo Castigliano:

P F BC 6,0pois P F BD 8,0e

EA

PL y B 728,0

EA

L P ,U

2

3640





B B B B x yC D B x DC B yr

5

4

5

3ˆcosˆcos1

ou ainda 1º Teo Castigliano:

1r

B B x yr

5

3

5

42

1r

B y

B x





1º Teo Castigliano (cont.): 222

211

2

1

2

1r k r k U

2

2

2

1 22 r BD

EA

r BC

EA

U

2

2

2

1 6,12,1 r L

EA

r L

EA

22

5

3

5

4

61

1

5

4

5

3

21

1 B B B B x y

,

x y

, L

EA

22758020007000 B B B B x , x y , y ,

L

EA





1º Teo Castigliano (cont.):

EA PL y B 728,0

P

y

U

B

B B x , y ,

L

EA2041

0

B x

U B B x , y ,

L

EA517120

B B y , , x51712000

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