ENGD02 ListaExercicios2 Binomio Gabarito 2015.1

Universidade Federal da Bahia - UFBA Escola Politécnica

Departamento de Engenharia Química

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ENGD02 – Estatística na Engenharia 2013: Lista de Exercícios 2 – Prof. Marcio Nascimento

1) Um florista faz arranjos decorativos e, para isso, dispõe de 7 espécies de flores.

Quantos tipos de arranjos florais ele poderá fazer utilizando apenas 4 ou 5 tipos de flores?

𝐶47 + 𝐶5

7 =7!

4!3!+

7!

5!2!=

7.6.5.4!

4!3!+

7.6.5!

5!2!= 35 + 21 = 56

R: 56 tipos de arranjos

2) Desenvolver a potencia (x3)5 usando a fórmula do binômio de Newton.

(𝑥 − 3)1 1

(𝑥 − 3)2 1 2 1

(𝑥 − 3)3 1 3 3 1

(𝑥 − 3)4 1 4 6 4 1

(𝑥 − 3)5 1 5 10 10 5 1

(𝑥 − 3)5 = (−3)0𝑥5 + 5𝑥4(−3) + 10𝑥3(−3)2 + 10𝑥2(−3)3 + 5𝑥(−3)4 + (−3)5

(𝑥 − 3)5 = 𝑥5 − 15𝑥4 + 90𝑥3 − 270𝑥2 + 405𝑥 − 243

R: (x3)5 x

5 15x

4 90x

3 270x

2 405x

243

3) Determine a soma dos coeficientes do termo (xy)5 pelo desenvolvimento do

binômio.

(𝑥 + 𝑦)1 1

(𝑥 + 𝑦)2 1 2 1

(𝑥 + 𝑦)3 1 3 3 1

(𝑥 + 𝑦)4 1 4 6 4 1

(𝑥 + 𝑦)5 1 5 10 10 5 1

=1+5+10+10+5+1 = 32

R: 32




4) Um aposentado realiza diariamente, de segunda a sexta-feira, estas cinco atividades:

i) leva seu neto para a escola, às 13 horas;

ii) pedala 20 minutos na bicicleta ergonométrica;

iii) passeia com o cachorro da família;

iv) pega seu neto na escola, às 17 horas;

v) rega as plantas do jardim de sua casa;

Cansado, porém, de fazer essas atividades na mesma ordem, ele resolveu realizá-las em

uma ordem diferente. Nesse caso, o numero de maneiras possíveis de ele realizar essas

cinco atividades, em ordem diferente, é de quanto?

A = levar neto ---> B = buscar neto

1) A = 1ª atividade do dia (24 maneiras)

A __ __ __ E ----> 3! = 6

A __ __ E __ ----> idem

A __ E __ __ ----> idem

A E __ __ __ ----> idem

2) A = 2ª atividade do dia: (18 maneiras)



Total = 60

R: 60 maneiras

5) Numa corrida de Fórmula 1, dez pilotos chegaram ao final. De quantas maneiras

diferentes o pódio pode ser formado com três desses pilotos?

𝐴310 =

10!

7!= 10.9.8 = 720 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑖𝑟𝑎𝑠

R: 720 maneiras

6) Uma empresa é composta de 12 diretores. Quantas são as maneiras de escolher cinco

deles para compor uma comissão com presidente, vice-presidente e três supervisores?

12.11 = posição ocupada pelo presidente e vice-presidente.

𝐶10,3 = corrreponde ao número de acessores, usamos combinação porque não faz

diferença se ele é 1º ou 2º supervisor.

𝐶310 =

10!

3!7!=

10.9.8.7!

3.2.1.7!= 120

Como “e” indica multiplicação:

=12.11. 𝐶10,3 = 12.11.120 = 15.840

R: 15.840 maneiras

7) Uma linha de transporte ferroviário tem 11 estações e deve imprimir bilhetes para

cada tipo de viagem. Se cada bilhete deve conter o nome da estação de partida e o nome

da estação de chegada, quantos tipos de bilhete são necessários?

Ordem importa

𝐴211 =

11!

9!=

11.10.9!

9!= 110

R: 110 tipos de bilhetes




8) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em um

condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa, e todas elas devem ser

contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser atribuídos os trabalhos?

Então, temos os trabalhos a, b, c e d e as empresas x, y e z:

Caso x fique com a e b, temos 2 maneiras distintas, pois o c pode ficar ou em y ou em

z e o d também.

Caso x fique com a e c, temos mais 2 maneiras distintas.

Caso x fique com a e d, temos outras 2 maneiras diferentes.

Até agora temos 6.

Caso x fique com b e outra que não a, temos mais 4 maneiras diferentes.

Caso x fique com c e d, temos 2 maneiras diferentes.

Então, caso seja a empresa x a ficar com 2 trabalhos, temos 12 maneiras distintas de

colocar os trabalhos, mas como nós não sabemos que empresa é que vai fazer os dois

trabalhos:

Caso y faça 2 trabalhos, temos 12 maneiras distintas.

Caso z faça 2 trabalhos, temos mais 12 maneiras diferentes.

Assim chegamos à conclusão que temos 36 maneiras diferentes de distribuir os

trabalhos.

Ou por análise combinatória:

Sabemos que uma delas tem 2 trabalhos, logo 𝐶4,2 =4!

2!(4−2)!=

4.3.2!

2.1.2!= 6

Depois de atribuídos os 2 trabalhos à primeira temos duas formas de atribuir às outras

duas, logo *2.

Como são 3 empresas temos 3 possibilidades para atribuir os 2 primeiros trabalhos,

logo *3.

𝐶4,2.2.3=36.

R: 36 maneiras

9) Um professor deve ministrar 20 aulas em 3 dias consecutivos, tendo, para cada um

dos dias, as opções de ministrar 4, 6 ou 8 aulas. O número de diferentes distribuições

possíveis dessas 20 aulas, nos 3 dias, é de quanto?

Para a 1ª aula tem-se 3 opções: 4, 6 e 8

Para a 2ª duas opções

Para a 3ª apenas uma.

Então: 3 x 2 x 1 = 6

R: 6 maneiras




10) Diz a lenda que os cavaleiros da távola redonda eram em numero de 15. Se o líder

sempre se sentava no mesmo lugar e todas as cadeiras eram ocupadas, de quantos

modos os cavaleiros podiam se acomodar nas cadeiras restantes?

Como o líder estava fixo, sobravam 14 lugares.

Raciocinando de forma genérica, para m pessoas se acomodarem ao redor de uma

mesa circular (considerando-se uma ordem de colocação na mesa) teremos:

A primeira pessoa poderá escolher qualquer lugar da mesa. Restam (m – 1) pessoas

que poderão se acomodar de (m-1)(m-2)(m-3). ... .1 = (m-1)! maneiras possíveis.

Portanto, m pessoas poderão sentar-se ao redor de uma mesa circular, de

(m – 1)! formas distintas, (no caso de considerarmos uma ordem de colocação na

mesa).

Assim : 𝑃14! = (14 − 1)! = 13! R: 13 ! = 6.227.020.800 modos

11) De uma urna que contém 5 bolas pretas e 3 bolas azuis, devem-se sortear todas as

bolas. Quantos são os resultados possíveis se as bolas sorteadas forem colocadas em

fila?

Neste exercício temos uma permutação de 8 elementos. Caso fossem todos

distintos, a resposta seria 8!.

No entanto, o número de permutações com repetição de 5 bolas pretas e 3 bolas azuis

será menor, porque as bolas não estão numeradas.

Assim, para cada “arrumação” de 5 bolas pretas temos 5! = 120 permutações que são

repetidas, ou seja, não fazem qualquer diferença no caso das bolas serem iguais e, para

cada “arrumação” de 3 bolas azuis temos 3! = 6 permutações que são repetidas.

Concluímos, então, que as maneiras de se retirar uma a uma 5 bolas pretas e

3 bolas azuis, sem contar as repetições, é:

8!

3! 5!=

8.7.6.5!

3! 5!=

8.7.6

3!=

8.7.6

6= 56

Agora vamos á 2ª parte do problema:

- COLOCAÇÃO EM FILA

Note que quando for sorteada a primeira bola da urna, ela vai,

OBRIGATORIAMENTE, ocupar o 1º lugar na FILA a segunda bola a ser sorteada vai

ocupar o 2º lugar na FILA e assim sucessivamente, pelo que a fila fica limitada às 56

combinações possíveis de sorteio da urna.

R: 56 resultados possíveis

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