UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA

CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA

MANUTENÇÃO INDUSTRIAL

ENGENHARIA DE CONFIABILIDADE – (PARTE I)

ANÁLISE DE TEMPOS DE FALHAS

N O T A S D E A U L A S

Virgílio Mendonça da Costa e Silva

Agosto - 2017

ANÁLISE DE TEMPO DE FALHAS

Introdução

Confiabilidade, Disponibilidade e Mantenabilidade são palavras que

fazem parte do cotidiano de manutenção. Se analisarmos a conceituação

moderna de manutenção, verificamos que a Missão da Manutenção é “Garantir a

Disponibilidade” da função dos equipamentos e instalações de modo a atender a

um processo de produção ou de serviços com confiabilidade, segurança,

preservação do meio ambiente e custo adequado.

Origem da Confiabilidade

Confiabilidade (em inglês Reliability), na Manutenção se originou das

análises de falha em equipamentos eletrônicos de uso militar, durante a década

de 50 nos Estados Unidos.

Em 1960 (Federal Aviation Administration) ⇒ um grupo de estudo

para desenvolvimento de um programa de confiabilidade para a indústria

aeronáutica.

Em 1968 (Boeing - 747) ⇒ manutenção centrada na confiabilidade.

Conceitos Básicos

Confiabilidade em manutenção é a probabilidade de que um item ou

produto (peça, equipamento, circuito, máquina, sistema, componente, etc.),

fabricado de conformidade com dado projeto, possa desempenhar sua função

requerida, por um intervalo de tempo estabelecido, eventualmente o tempo de

vida útil, sem apresentar falhas identificáveis, sob condições definidas de

uso.

Observação:

Na definição anterior pressupõe-se que o item:

� esteja sujeito a manutenção de conformidade com as instruções do

fabricante;

� não tenham sofrido tensões superiores àquelas estipuladas por limites

indicados pelo fornecedor;

� não tenha sido exposta a condições ambientais adversas de

conformidade com os termos de fornecimento ou aquisição.

Em muitos casos estamos interessados em saber qual a probabilidade de

que um dado equipamento funcione no instante em que se precise dele, por

exemplo, no caso de um sistema de proteção ou de desarme. Em outros casos

estamos interessados em determinar qual a fração de um dado período de tempo

que o equipamento estará no estado operacional. No primeiro caso o atributo de

interesse é a disponibilidade instantânea do equipamento e no segundo caso é a

sua disponibilidade média. Define-se então:

� Disponibilidade Instantânea ⇒ probabilidade de que o equipamento

funcione com sucesso no instante em que for requerido.

� Disponibilidade Média ⇒ em um determinado período de tempo é

a fração do período durante o qual o equipamento funciona com sucesso.

Conceitos Agregados a Confiabilidade: probabilidade, função requerida,

condições definidas de uso, tempo e falha.

a) Probabilidade ⇒ razão entre o número de casos favoráveis sobre o número

de casos possíveis, associados a um intervalo de tempo.

� Confiabilidade Zero: Ausência Total de Confiabilidade

� Confiabilidade Um (100%): Totalmente Confiável

b) Função Requerida ⇒ patamar de admissibilidade abaixo do qual a função

não é mais satisfatória. (o mesmo que "cumprir a missão", "realizar o serviço

esperado" ou "atender o desempenho esperado").

c) Condições Definidas de Uso ⇒ a que condições operacionais está

submetido o equipamento. (ambiente em que está instalado, variações e grau de

agressividades, solicitações mecânicas, físicas, químicas, etc.).

Diferenças de temperaturas, presença de poeira, impurezas no produto e

uma série de outros fatores influenciam sobremaneira a confiabilidade de

equipamentos e nem sempre são levados em consideração quando são feitas

comparações com indicadores de equipamentos instalados em outras plantas ou

outros locais.

d) Intervalo de Tempo ⇒ período de tempo definido e medido. Como a

probabilidade varia com o tempo, a Confiabilidade para um intervalo de tempo t1

é diferente para um intervalo de tempo t2.

e) Desempenho ⇒ sabemos que todo equipamento é projetado segundo

uma especificação. Ou seja, todo equipamento é projetado segundo a função

básica que irá desempenhar. Normalmente o desempenho pode ser:

� Desempenho Inerente: desempenho que o equipamento é capaz de

fornecer.

� Desempenho Requerido: desempenho que queremos obter do

equipamento.

Quando o equipamento não apresenta o desempenho previsto, usamos o

termo falha para identificar essa situação.

f) Falha ⇒ cessação da função requerida de um item ou incapacidade de

satisfazer a um padrão de desempenho definido. Pode representar (ou ser

representada pela):

� interrupção da produção;

� operação em regime instável;

� queda da quantidade produzida;

� deterioração (perda da qualidade) do produto;

� perda da função de comando ou proteção.

Quanto maior o número de falhas menor a confiabilidade de um item,

para as condições definidas a priori. Por outro lado, quanto maior a

confiabilidade, melhor os resultados para os clientes ou usuários. Entretanto, a

confiabilidade só começa a ter sentido quando o lado financeiro está em questão.

Revisão de Estatística - Probabilidade

Um Pouco da História

As raízes da Teoria da Probabilidade, que pertence ao campo da

matemática pura, iniciaram-se com os jogos de azar, cuja origem remonta ao

século XVII, com Chevalier de Neré, Fermat e Pascal. Entretanto, quem

introduziu a base matemática da teoria foi Bernouilli, em 1713, fazendo a relação

entre probabilidade e frequência relativa, e foi Moivre, em 1718, quem ampliou

os horizontes da teoria, estendendo aqueles problemas de jogos de azar para

estudos de problemas de seguros, demografia, etc.

Posteriormente, Laplace em 1818 mostrou outras aplicações, e, Gauss e

Quetelet, ainda no Século XIX, publicaram trabalhos relacionados com a Teoria

de Erros e com Demografia.

Hoje em dia, essa teoria é amplamente aplicada em diversos campos da

atividade humana tais como, ciências exatas em geral, psicologia, economia,

comportamento de máquinas automáticas, métodos de previsão, testes de

aceitação, construção de represas, problemas de substituição, engenharia

industrial, análise da confiabilidade e mantenabilidade, etc.

Conceitos de Probabilidade

Numa experiência aleatória, os resultados podem apresentar variações

(incertezas) mesmo quando repetidos em condições uniformes, sem que se

tenha controle sobre os mesmos, isto é, a variabilidade irregular dos resultados

fica ligada unicamente ao fator intrínseco do acaso.

Existem duas maneiras (aproximações) para se fazer um modelamento de

incertezas usando a teoria das probabilidades:

1. Através de espaços amostrais e eventos sobre os espaços

amostrais.

2. Através de variáveis aleatórias e distribuição de probabilidades,

associadas às variáveis aleatórias.

Na Engenharia de Confiabilidade as falhas podem ser descritas como

eventos aleatórios.

Numa experiência aleatória, chamamos de:

Espaço Amostral (S) ao conjunto de todos os possíveis eventos

(resultados) relativos ao processo aleatório. Os resultados podem ser de

natureza quantitativa ou qualitativa.

{ }S = E1 ,E2 ,E3 , ,EnL

Evento (E) a qualquer subconjunto do espaço amostral, isto é, qualquer

resultado ou conjunto de resultados do espaço amostral.

Uma experiência é dita “uniforme”, quando todos os elementos do espaço

amostral são equiprováveis, ou seja, tem a mesma possibilidade de se

realizarem.

Qualquer evento tem uma probabilidade de ocorrência ( )P E , onde

( )0 P E 1≤ ≤ .

( )P E 0= ⇒ Evento Impossível (o evento não ocorrerá).

( )P E 1= ⇒ Evento certo (o evento ocorrerá).

Todo evento E tem associado um evento complementar E . Se E representa

falha ⇒ E representa não falha.

Desde que um evento e seu evento complementar ocorram

( )P E P(E) 1+ = ⇒ ( )P(E) 1 - P E=

Em muitos sistemas, tais como, amostragens de falhas em equipamentos,

as probabilidades podem ser determinadas de experiências estatísticas prévias.

Tipos e Associações de Eventos

Para utilizarmos os métodos estatísticos usados, é necessário entendermos

a notação básica e as regras de probabilidade, que são:

a) A probabilidade de se obter o evento “A ”, é denotada por ( )P A ,

e assim para outros eventos.

b) A probabilidade para que os eventos “A ” e “B ” ocorram, é

denotado por ( )P A B⋅ ou ( )P A B∩ .

c) A probabilidade para que os eventos “A ” ou “B ” ocorram, é denotado

por ( )P A B+ ou ( )P A B∪ .

d) A probabilidade condicionada de obter saída “A ” (evento), dada que:

“B ” tenha ocorrido, é denotada por ( )P A|B .

e) A probabilidade complementar do evento “A ”, isto é, de não ocorrer,

é denotada por ( ) ( )P A = 1 - P A .

f) Se ( )P A 0≠ a probabilidade condicional de um evento “A ” dado

que “B ” tenha ocorrido, ou vice-versa, é dada por:

( ) ( )( )

P A BP B|A =

P A⋅

Analogamente, se ( )P B 0≠

S

A B

P(A.B)

S

A BP(A+B)

( ) ( )( )

P A BP A|B =

P B⋅

Esta forma nos fornece uma formulação geral para calcularmos a

interseção se a condicional e a individual são conhecidas.

g) Dois eventos “A ” e “B ” são estatisticamente independentes se

e somente se:

( ) ( ) ( )P A |B = P A |B = P A

( ) ( ) ( )P B|A = P B| A = P B

Isto é, a probabilidade de ocorrer um deles não depende da ocorrência do

outro (ditos não condicionados). A informação adicional de que um dos eventos

já ocorreu em nada altera a possibilidade da ocorrência do outro.

h) A probabilidade da ocorrência de dois eventos “A ” e “B ”,

estatisticamente independentes, é igual ao produto individual das

probabilidades.

P(A B) P(A) P(B)⋅ = ⋅

Também chamado de regra do produto ou da série. Pode ser estendida

para qualquer número de eventos estatisticamente independentes.

Assim, se “ A ” e “ B ” são estatisticamente independentes, temos:

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )P A B P A P B

P A|B = = = P AP B P B

⋅ ⋅

i) Se os eventos “A” e “B ” são estatisticamente dependentes, temos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B| A P B P A|B⋅ = ⋅ = ⋅

onde ( )P A|B é a probabilidade de “A” ocorrer vezes à probabilidade de “

B ” ocorrer dado que “A” tenha ocorrido, ou vice-versa.

j) A probabilidade de “ A ” ou “ B ” ocorrer, se “ A ” e “ B ” são

estatisticamente independentes, é:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B = P A + P B - P A P B+ ⋅

Por outro lado:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B = P A + P B - P A|B P B+ ⋅

k) Se os eventos “ A ” e “ B ” são mutuamente exclusivos, isto é, “ A ”e

“ B ” não podem ocorrer simultaneamente, então:

( )P A B = 0⋅ e ( ) ( ) ( )P A B = P A + P B+

l) Formula de Bayes

A formula de Bayes envolve probabilidade condicional de dois eventos. Ela

pode ser derivada observando-se que:

( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

P A B P A B P B|A P AP A|B = = =

P B P B|A P A P B|A P AP B A B A

⋅ ⋅ ⋅

⋅ + ⋅⋅ ∪ ⋅ onde A B⋅ e B A⋅ são mutuamente exclusivos.

m) Se “n” eventos 1 2 3 nA , A , A , , AL constituem uma partição do

espaço amostral, isto é, eles são mutuamente exclusivos, dois a dois, e tais

que o evento soma dá o próprio espaço amostral. Além disso, ( )iP A > 0 ,

onde: i 1, 2, 3, , n= L .

Então:

S

A B

( ) ( ) ( )( ) ( )

i ii n

i ii = 1

P A P B|AP A |B =

P A P B|A

⋅

⋅ ∑

Teorema de Bayes

Onde B é um evento que só pode ocorrer como efeito de uma das

causas mutuamente exclusivas iA . Este resultado é também denominado

pela “Fórmula da Probabilidade das Causas ou dos Antecedentes”. Ela nos

dá a probabilidade de um evento particular iA ocorrer (isto é, uma causa),

desde que B tenha ocorrido. O Teorema de Bayes procura responder a

seguinte pergunta: “Supondo que o evento B tenha ocorrido, qual a

probabilidade de que esse evento tenha vindo de iA ?”.

Distribuições de Probabilidade

Consideremos uma variável "X", que assume um valor numérico cada vez

que ocorre um evento, estando cada um desses valores associados a uma certa

probabilidade. Esta definição é justamente o conceito de variável aleatória.

As variáveis aleatórias se subdividem em dois grupos principais, a saber:

Variáveis Aleatórias Discretas ⇒ quando podem assumir, com

probabilidade diferente de 0 (zero), um número finito de valores dentro de um

intervalo finito.

Variáveis Aleatórias Contínuas ⇒ quando podem assumir, mesmo

dentro de um intervalo finito, um número infinito de valores.

Dada uma série de eventos mutuamente exclusivos iA que constituem a

totalidade dos resultados possíveis numa experiência aleatória, isto é:

n

ii = 1

A = S∑

A cada evento iA , associamos um número real iX , e teremos como

consequência, que:

( )n

ii = 1

P X = 1∑

Um conjunto de valores ( )iP X , correspondentes a probabilidade de

ocorrer iX que somados igualam a unidade, constituem uma Distribuição

de Probabilidade.

Uma Distribuição de Probabilidade que determina a probabilidade de

cada valor de uma variável aleatória discreta ou determina a probabilidade de

um intervalo de valores de uma variável aleatória continua podem ser descritas

em termos de uma Função de Massa de Probabilidade ( )p x , no caso

de discreta, ou uma Função de Densidade de Probabilidade ( )f x , no

caso de contínua.

As funções de massa de probabilidade e funções de densidade de

probabilidade descrevem a forma da distribuição de probabilidade, enquanto que

a Função de Distribuição Cumulativa fornece a probabilidade acumulada.

Para ambas as distribuições de variáveis discretas e contínuas, define-se

respectivamente uma Função de Distribuição Cumulativa ( )P x ou ( )F x .

Para ambos os casos de variáveis, representa-se a Função de Distribuição

Cumulativa como ( ) ( )P x = P X x≤ ou ( ) ( )F x = P X x≤ . Por convenção as

letras maiúsculas representam a variável aleatória e as letras minúsculas

determinam um valor particular que a variável aleatória pode assumir.

Distribuições Discretas de Probabilidade

Para qualquer distribuição discreta, definiremos ( ) ( )p x = P X x= como a

função de massa de probabilidade. Então, a Função de Distribuição Cumulativa

será:

( ) ( )n

todos

P x = P X x = ξ

≤ ξ∑

( )P x é monotonicamente crescente com ( )0 P x 1≤ ≤ e em particular com

( )P 0 0= e ( )P 1∞ = . Para qualquer distribuição discreta tem-se:

( )0 p x 1≤ ≤

( )todos x

p x = 1∑

( )todos x

= x p xµ ⋅∑ É a média da distribuição.

( ) ( )22

todos x

= x- p xσ µ ⋅∑ é a variância da distribuição.

Duas distribuições são muitos usadas em Engenharia da Confiabilidade: A

Distribuição Binomial e a Distribuição de Poisson.

Distribuições Contínuas de Probabilidade

As seguintes relações são usadas para qualquer distribuição contínuas:

( )0 F x 1≤ ≤

( ) ( ) ( )x

-

F x = P X x = f d∞

≤ ξ ⋅ ξ∫

( ) ( )dF xf x =

dx

( )+

-

f x dx = 1∞

∞

⋅∫

( ) ( ) ( ) ( )b

a

P a x b = f x dx = F b - F a≤ ≤ ⋅∫

( ) ( )+

-

E x = = x f x dx∞

∞

µ ⋅ ⋅∫ é a média da distribuição ou valor esperado da

variável x .

( ) ( ) ( )+

22

-

Var x = = x- f x dx∞

∞

σ µ ⋅ ⋅∫ é a variância da distribuição.

Se n

i ii = 1

Y = a x⋅∑ onde ix são variáveis aleatórias independentes tendo média

iµ e variância 2iσ e os valores de ia são constantes, então:

( )n

i ii = 1

E Y = a ⋅ µ∑ e ( )n

2 2i i

i = 1

Var Y = a ⋅ σ∑

Em geral nós podemos descrever a distribuição de uma variável aleatória

em termos de sua função densidade de probabilidade ou sua função cumulativa

da probabilidade. Embora uma variável aleatória possa ser definida num

intervalo (-∞ , +∞), quando a variável aleatória representa tempo de falha ou de

reparo, somente valores positivos são permitidos. Então o domínio das variáveis

Aleatórias serão normalmente )0, + ∞ .

Quatro distribuições são muito usadas em Confiabilidade: A Distribuição

Exponencial, a Distribuição Normal, a Distribuição de Weibull e a

Distribuição de Lognormal.

Função Distribuição Cumulativa ou Acumulada - ( )F x

Define-se Função Distribuição de uma variável aleatória "X", no ponto x ,

como sendo a probabilidade de "X" ser menor ou igual a "x ".

Logo:

( ) ( )F x = P X x≤

( )F x é, portanto, a probabilidade acumulada desde “- ∞ ” até “ ix ”,

inclusive. Nos trabalhos relacionados à análise da confiabilidade, mantenabilidade e

disponibilidade geralmente o limite inferior é igual a 0 (zero).

Nada impede que esta função seja empregada também no caso de

variáveis discretas, quando resulta:

( ) ( )j

j ii = 1

F x = P x∑

isto é, a função distribuição no ponto jx é igual a soma das probabilidades

associadas a todos os valores de "x " menores ou iguais a jx .

Propriedades de ( )F x :

( )0 F x 1≤ ≤

( ) ( ) ( ) ( )b

a

P a x b = f x dx = F b - F a≤ ≤ ⋅∫

( ) ( )x +

F + = lim F x = 1→ ∞

∞

( ) ( )x -

F - = lim F x = 0→ ∞

∞

Função Densidade de Probabilidade - ( )f x

Seja uma variável aleatória contínua "x ". A probabilidade de "x " estar

Compreendida entre dois pontos “a ” e “b ”, é ( ) ( ) ( )P a x b = F b - F a≤ ≤

Dividindo-se esta probabilidade pela extensão do intervalo "b-a",

resulta:

( ) ( ) ( )P a x b F b - F a =

b-a b-a≤ ≤

A este quociente chamamos "Densidade Média de Probabilidade" no

intervalo [a ;b ]. Este quociente mede o grau de concentração de probabilidade

no intervalo considerado.

Para se ter a Densidade de Probabilidade em "a", basta passar-se ao

limite, fazendo "b " tender ao valor de "a", isto é:

( ) ( ) ( )b a

F b - F af a = lim

b-a→

Podemos notar que a ( )f a nada mais é que a derivada da função ( )F x no

ponto "a". Portanto, chama-se densidade de probabilidade no ponto "x ",

denotado por ( )f x , a derivada nesse ponto, ou seja:

( ) ( )dF xf x =

dx

A densidade de probabilidade é medida em termos da probabilidade por

unidade da grandeza variável.

Propriedades de ( )f x :

( )f x 0≥

( ) ( )x

-

F x = f x dx∞

⋅∫

( ) ( )+

-

F = f x dx = 1∞

∞

∞ ⋅∫

( ) ( ) ( ) ( )b

a

P a x b = f x dx = F b - F a≤ ≤ ⋅∫

( ) ( ) ( )b a

P x a = lim F b - F a = 0→

=

( ) ( )+

-

E x = = x f x dx∞

∞

µ ⋅ ⋅∫

onde µ é a média ou valor esperado da variável aleatória x .

( ) ( )+

22

-

= x- f x dx∞

∞

σ µ ⋅ ⋅∫

onde 2σ é a variância da distribuição.

Como falamos anteriormente, em engenharia de confiabilidade a nossa

variável aleatória e definida como falha, e a distribuição associada é conhecida

como distribuição de falha.

Função Confiabilidade (Reliability) - ( )R t

Confiabilidade é definida como a probabilidade de que um sistema

(componente, equipamento, planta industrial, etc.), não falhará em um intervalo

de tempo t . Para expressar matematicamente definimos a variável aleatória

continua T como sendo o tempo para falha do sistema (componente,

equipamento, planta industrial, etc.), T 0≥ .

Assim, a confiabilidade pode ser expressa como:

( ) ( )R t = P T t≥

onde ( )R t 0≥ , ( )R 0 = 1 e ( )

t lim R t = 0

→ ∞

Para um dado valor de t , ( )R t é a probabilidade de que o tempo de falha

do sistema é maior ou igual a t .

Com a definição acima, observa-se que a função cumulativa de

probabilidade ( )F t , definida anteriormente, pode ser colocada da forma:

( ) ( ) ( )F t = 1 - R t = P T t≤

onde ( )F 0 = 0 e ( )

t lim F t = 1

→ ∞ e que ( )F t é a propriedade de que a falha ocorre

após o tempo t .

Referimos a ( )R t como a função de confiabilidade e ( )F t como a função

de distribuição acumulativa de uma distribuição de falhas.

Assim a função densidade de probabilidade, pode ser escrita da forma:

( ) ( ) ( )dF t dR tf t = = -

dt dt

Função Taxa de Falha - λ

Em adição a função de probabilidade definida anteriormente, uma outra

função chamada de taxa de falha é frequentemente usada na engenharia de

confiabilidade. Ela fornece a taxa de falha instantânea no tempo t . Dada a

probabilidade no intervalo de tempo, representada matematicamente como:

( )P t T t+ t≤ ≤ ∆

e a probabilidade condicional da falha no intervalo de tempo t até t∆ , dado que o

sistema não tenha falhado em t .

( ) ( ) ( )( )

R t - R t tP t T t+ t | T t =

R t+ ∆

≤ ≤ ∆ ≥

então ( ) ( )

( )R t - R t t

R t t+ ∆

⋅ ∆ é a probabilidade condicional de falhas por unidade de

tempo.

Assim, definimos a função taxa de falha instantânea como:

( ) ( ) ( )( )t 0

R t - R t tt = lim

R t t∆ →

+ ∆λ

⋅ ∆

( ) ( ) ( )( )t 0

- R t t - R t 1t = lim

t R t∆ →

+ ∆ λ ⋅∆

( ) ( )( )

( )( )

- dR t f t1t = =

dt R t R tλ ⋅

A expressão anterior pode ser usada para determinarmos a confiabilidade

em função da taxa de falha, para um intervalo t . Ou seja:

( ) ( )( )

- dR t t =

R t dtλ

⋅

Integrando

( ) ( )( )

( )R tt

0 1

- dR tt dt =

R tλ ⋅∫ ∫

onde ( )R 0 = 1 estabelece o limite inferior. Então

( ) ( ) ( )( )

t

0

t - t dt

0

- t dt = ln R t R t = eλ ⋅∫

λ ⋅ ⇒∫

Tempo Médio Entre Falhas – TMEF

De acordo com a expressão de valor esperado ou médio de uma variável

aleatória, definido anteriormente, podemos escrever:

( ) ( )0

TMEF = E t = = t f t dt∞

µ ⋅ ⋅∫

ou seja ( )

0

dR tTMEF = - t dt

dt

∞

⋅ ⋅∫

Usando a integração por partes

( ) ( )+

00

TMEF = - t R t | + dR t dt∞

∞ ⋅∫

Desde que

( )( )

t

0

- t dt

t t lim t R t = lim t e = 0

λ ⋅

→ ∞ → ∞

∫⋅

e

( )0 R t = 0⋅

temos:

( )+

0

TMEF = R t dt∞

⋅∫

Variância da Distribuição - σ2

Outra medida que é frequentemente usada para descrever as

características de uma distribuição é a variância, que representa uma média

quadrática de falhas no tempo. De acordo com os resultados anteriores, pode-se

escrever:

( ) ( )+

22

0

= t - TMEF f t dt∞

σ ⋅ ⋅∫

de onde chega-se facilmente a:

( )+

2 2 2

0

= t f t dt - TMEF∞

σ ⋅ ⋅∫

Tempo

Referência: United Air Lines (> 30 Anos de Pesquisa)

Observações:

1. A, B e C - Características de falhas por fadiga ou corrosão. 2. D, E e F – Características de falhas de sistemas hidráulicos e eletrônicos.

3. B e F – Características de sistemas que apresentam mortalidade infantil

4. 89 % das falhas não crescem com a idade.

5. 11 % das falhas crescem com a idade, o que justifica substituição

ou restauração preventiva.

6. 4 % obedecem a tradicional curva da banheira historicamente assumida

como Modelo Universal de Falhas.

7. 95 % apresentam características de Taxas de Falhas Constantes

durante a maior parte de sua vida útil. É duvidoso nestas condições que

qualquer tipo de restauração pudesse produzir resultados benéficos,

podendo inclusive piorar seu desempenho com a introdução de falhas por

mortalidade infantil, justificado pela grande presença de componentes

elétricos e eletrônicos nos sistemas modernos, que apresentam falhas

elevatórias.

8. Componentes X Curvas:

A - Maquinas a pistão, Discos Aerofólios, etc.

B - Motores Elétricos, Engrenagens, Controles, etc.

C – Turbinas, Compressores, Selos de Ar, Engrenagens, Rolamentos, etc.

D – Flaps de Turbinas, Itens pré-testados, etc.

E – Lâmpadas

F – Placas Eletrônicas, Software, etc.

Com base na pesquisa apresentada anteriormente, podemos assumir que

em parque fabril temos a maior parte dos equipamentos com:

( )tλ = λ Taxa de Falha Constante

( ) - tR t e λ= Função Confiabilidade

( ) - tF t 1 - e λ= Função Cumulativa ou Acumulativa de Falhas

( ) - tf t t e λ= ⋅ Função Densidade de Falhas

Para Tempo Médio Entre Falhas teremos:

( )0

TMEF = t f t dt∞

⋅ ⋅∫

( )0

TMEF = R t dt∞

⋅∫

- t

0

1TMEF = e dt =

∞λ ⋅

λ∫

As funções acima correspondem a Distribuição Exponencial. Exemplo:

Um fabricante de lâmpadas de bulbo está interessado em estimar a vida

média dos bulbos. Coloca 200 bulbos em teste acelerados de vida (os bulbos são

testados a 6 volts, enquanto que em operação normal são utilizados 3 volts). Os

bulbos são observados e o número de falhas com um intervalo de 1000 horas é

mostrado na tabela a seguir. Esboce os gráficos correspondentes às funções

densidade de falha, taxa de falhas, acumulativa de falhas e confiabilidade.

Intervalo de Tempo [horas] Número de Falhas no Intervalo 0 - 1000 100

1000 – 2000 40 2000 – 3000 20 3000 – 4000 15 4000 – 3000 10 5000 – 6000 8 6000 – 7000 7

TOTAL 200

Solução:

Sabemos que:

1. Função Acumulativa ( ) ( )F t = P T t≤

2. Função Confiabilidade ( ) ( )R t = P T t≥

( ) ( )F t + R t = 1 ⇒ ( ) ( )F t = 1 - R t ου ( ) ( )R t = 1 - F t

3. Função Densidade de Probabilidade

( ) ( ) ( ) ( ) ( )dF t dR t F t R tf t = = - = ~ = ~ -

dt dt t t∆ ∆

∆ ∆

4. Taxa de Falhas ( ) ( )( )

( )( )

dR t f t1t = - =

dt R t R tλ ⋅

Como ( )t = λ λ (lâmpadas ⇒ constant)

( )( )

t

0

- t dt- t R t = e = e

λ ⋅λ⋅

∫⇒

0 2000 4000 6000 8000 0 2000 4000 6000 8000

Tempo Tempo

F (t

) f (t)

R(t

) La

mbd

a (t

)

5. Tempo Médio Entre Falhas ⇒ - t

0

1TMEF = e dt =

∞λ ⋅

λ∫

Tempo [h]

Número de

Falhas

Frequência Relativa

F(t) ∇F

R(t) − ∇R(t )

f(t) λ(t )

0

1000

100

0.500

0

0.500

0.500

1

0.500

0.500

5 ⋅ 10 −4

5 ⋅ 10 −4

2000

40

0.200

0.700

0.200

0.300

0.200

2 ⋅ 10 −4

4 ⋅ 10 −4

3000

20

0.100

0.800

0.100

0.200

0.100

1⋅ 10−4

3.33 ⋅ 10 −4

4000

15

0.075

0.875

0.075

0.125

0.075

0.75 ⋅ 10 −4

3.75 ⋅ 10 −4

5000

10

0.050

0.925

0.050

0.075

0.050

0.5 ⋅ 10 −4

4 ⋅ 10 −4

6000

8

0.040

0.965

0.040

0.035

0.040

0.4 ⋅ 10 −4

5.33 ⋅ 10−4

7000

7

0.035

1

0.035

0

0.035

0.35 ⋅ 10 −4

10 ⋅ 10 −4

∑ 200 - - - - - - -

Funçao Cumulativa 1

Confiabilidade 1

0.8

0.8

0.6 0.6

0.4 0.4

0.2 0.2

0 0 2000 4000 6000

0 0 2000 4000 6000

-4

x 10 6

Funçao Densidade

-4

x 10 10

Taxa de Falha

8 4

6

2 4

0 2

Taxas de Falhas

Taxa de Falhas ⇒ É definida para um período de tempo estabelecido da

vida de um item. É a relação do número total de falhas para o período de tempo

acumulado observado. Outra forma de calcular a taxa de falhas, usadas

geralmente pelos fabricantes, é considerar o número de itens testados

multiplicado pelo número total de horas de teste.

por:

Se “λ” é a taxa de falha de “N” itens, então o valor observado, é dado

K =

Tλ ou

teste

K =

u Tλ

⋅

onde:

“K ”⇒ número de falhas

“T ” ⇒ período considerado

“ testeT ” ⇒ número de horas de teste

“u ” ⇒ unidades testadas

O valor de “ λ ” indica que “K / T ” é somente uma estimativa da taxa

de falhas. O valor verdadeiro será revelado somente quando todos os “N”

itens tenham falhado.

A taxa de falhas é algumas vezes expressa como uma porcentagem de

1000 horas, e algumas vezes tem um número multiplicado por uma potência

negativa de dez (10). Por exemplo:

8500 por 109 horas (8500 fits) onde: 1 fit = 10-9 horas

8,5 por 1012 horas

0,85 % por 1000 horas

0,0085 por ano

CURVA DA BANHEIRA PARA O MODELO II

2.3

2.1

III I II

1.9

1.7

1.5

1.3 .100 .300 .500 .700 .900 1.100 1.300 1.500 1.700 1.900 2.100 2.300 2.500

.200 .400 .600 .800 1 1.200 1.400 1.600 1.800 2 2.200 2.400 2.600

Tempo "t"

Tax

a de

Fal

ha e

m F

unçã

o do

Tem

po

Curvas de Falhas

Colocando-se um grupo de componentes idênticos em teste, pode-se

verificar que o gráfico do número de componentes que falham por unidade de

tempo dividido pelo número de componentes sobreviventes em cada instante,

tem a forma da mostrada abaixo.

De uma maneira geral as curvas de falhas podem ser representadas pela

seguinte função:

( ) ( ) bc 1 b -1 tt k c t + 1-k b t e− β⋅λ = ⋅ α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ β ⋅

para: b,c, , 0β α > 0 k 1 ≤ ≤ t 0≥ c 0.5= b 1= onde:

“b ” e “c ” são parâmetros de forma

“ α ” e “ β ” são parâmetros de escala

“t” é o tempo

São considerados casos especiais da equação acima:

k 1= ⇒ Weibull

k 0= ; b 1= ⇒ Valor Extremo

c 0.5= ; b 1= ⇒ Curva da Banheira

c 1= ; b 1= ⇒ Distribuição de Makeham

Para o caso particular da “Curva da Banheira - Modelo B”, temos:

( ) ( ) ( ) bb -1 tt b t e β⋅λ = ⋅ β ⋅ ⋅ β ⋅

onde: b 0.5= e 1β =

O nome “Curva da Banheira (Bathtub Curve)” é devido a sua forma, e

o parâmetro cuja variação temporal ela descreve é denominada de taxa de falha,

representado por ( )tλ .

Esta curva mostra que a taxa de falha de um componente pode ser:

decrescente (I), constante (II) ou crescente (III) correspondente aos três

períodos indicados na figura, a saber:

� Período I - mortalidade infantil, burn-in, amaciamento (taxa de falha

decrescente).

� Período II - vida útil ou vida de uso (taxa de falha constante).

� Período III - desgaste (taxa de falha crescente).

O período de mortalidade infantil está associado com defeitos de projeto,

deficiências do processo de fabricação e garantia da qualidade (falhas em soldas,

juntas, conexões, ajuste e posicionamentos incorretos, isolamento, etc.), e até

mesmo ser oriunda de problemas de instalação. Do ponto de vista de projeto, o

enfoque para reduzir a taxa de falhas é minimizar este período ao máximo ou

eliminá-lo por completo antes da utilização real do componente, e consiste do

emprego de testes de melhoramento ou crescimento da confiabilidade durante o

desenvolvimento do projeto seguido por testes controlados junto ao controle de

processo, assim como, melhorar os serviços de inspeções durante a fabricação.

As falhas que ocorrem durante o período de vida útil são causadas

principalmente pela ocorrência aleatória de esforços que excedem os níveis de

resistência do componente, fadiga ou corrosão acelerada fruto de interações de

materiais com o meio. Um modo bastante utilizado para minimizar a ocorrência

deste tipo de falha consiste no emprego de componentes de maior resistência do

que a exigida nominalmente para aquela utilização inicial (técnica de derating).

O aumento da taxa de falhas que ocorre no período de desgaste deve-se a

ocorrência gradual de mudanças físicas e químicas na estrutura interna do

componente resultando numa redução acentuada do nível de resistência deste.

De um modo geral os componentes são sempre substituídos quando já

apresentam um determinado nível de desgaste específico.

Do ponto de vista de manutenção, deve ser considerado que a taxa de

mortalidade infantil será tanto maior quanto pior for o trabalho desenvolvido nas

fases que antecedem a entrada em operação de qualquer equipamento ou

sistema. Normalmente a manutenção arca com todo o ônus do trabalho malfeito

nas etapas anteriores, mas, independente disto, as consequências se traduzirão

em baixa confiabilidade e lucros cessantes para a planta.

A tabela a seguir, mostra que participação deve ter a manutenção nas

fases que antecedem à operação.

Participação da Manutenção nas Fases que Antecedem à Operação

Fases

Especificação e Projeto

Colocação da Compras

Análise de Propostas

Projeto da Instalação

Fabricação, Testes e Ensaios

Transporte e Armazenamento

Instalação e Testes

Operação

O que a Manutenção deve Fazer

Opinar

Parecer Baseado na Experiência

Parecer Técnico

Parecer

Acompanhar

Orientar

Acompanhar

Rotina

Tempos de Falhas e de Reparos

Para melhor caracterizar os conceitos de confiabilidade, disponibilidade e

mantenabilidade, que são os principais atributos da manutenção, é importante

conceituar algumas variáveis importantes.

� Tempo Total ⇒ é o tempo total que o equipamento poderia ficar

disponível para operação.

� Tempo de Funcionamento ⇒ é a parcela do tempo total em que a

instalação ou equipamento estava em funcionamento.

� Tempo de Não Funcionamento ⇒ é a parcela do tempo total em

que o equipamento (ou instalação), embora disponível não foi utilizada

pela produção e ficou parado (não funcionou).

Pelas definições acima, deduzimos que ao longo do tempo total “T ”

teremos, então, tempos disponíveis para a produção, com o equipamento (ou

instalação) funcionando ou não, e tempos em que o equipamento está em

manutenção, ou seja, indisponível para produção.

Das definições acima extraímos dois importantes atributos de tempos,

objetos de estudo, quando da análise da confiabilidade, ou seja:

� Tempo Médio Para Falhar (TMPF) ou Mean Time To Failure (MTTF)

� Tempo Médio Entre Falhas (TMEF) ou Mean Time Between

Failure (MTBF)

As técnicas de análise da confiabilidade, no seu sentido mais amplo, são

conhecidas em inglês como RAM (Technologies Reliability, Availability and

Maintainability) ou simplesmente como “R&M”.

Tempo Médio Entre Falhas

Para um período estabelecido de tempo na vida de um item o valor médio

do comprimento de tempo entre falhas consecutivas é calculado como uma

relação do tempo total acumulado observado, para o total de número de falhas.

Assim, o TMEF de “N” itens observados, é dado por:

TTMEF

K=

onde:

“K ” ⇒ número de falhas

“T ” ⇒ tempo em que o equipamento ficou disponível para

produzir, (funcionando ou não).

“ testeT ” ⇒ número de horas de teste

“u ” ⇒ unidades testadas

A igualdade, acima, só é válida para os casos onde a taxa de falhas é

constante.

Tempo Médio Para Falhar

Para um período estabelecido de tempo na vida de um item é a relação do

tempo acumulado para o número total de falhas. Isto é, T /K . A única

diferença entre “TMEF” e “TMPF” esta no seu uso.

O “TMPF” é utilizado para aqueles itens que não podem ser reparados. Por

exemplo: rolamentos, transistores, resistores, lâmpadas, fusíveis, mangueiras,

etc.

O “TMEF” é utilizado para os itens reparáveis, tais como: motores

elétricos, transformadores, geradores, turbos, etc.

Exemplo:

Um sistema é composto de 40 motores elétricos e durante o período de

1(um) mês foram observadas 13 falhas. Determinar a taxa de falha e o TMEF

para cada motor elétrico e para o sistema “motores elétricos”.

Solução:

� Taxa de Falha 1λ da cada motor elétrico é dada por:

1

n 13 = = 0,000451 falhas/hora

N T 40 720λ =

⋅ ⋅

� Tempo Médio Entre Falhas (TMEF) de cada motor elétrico é igual a

isto é: 2.215,38 horas.

11/ λ

� Taxa de Falha 40λ do sistema formado por 40 motores elétricos:

1

n 13 = = 0,018056 falhas/hora

T 720λ =

� Tempo Médio Entre Falhas (TMEF) do sistema formado por 40 motores

elétricos: é igual a 401/ λ , isto é: 55.38 dias.

Considerações:

Há situações em que podemos trabalhar com a ( )tλ . É o caso

quando analisamos as falhas de equipamentos que não seguem o modelo de

falhas de uma distribuição exponencial negativa (taxa de falha constante).

A distribuição exponencial negativa é igual a: ( ) ( )F t = 1 - Exp - tλ ⋅ .

Esta função é dita aleatória e a sua média é igual ao desvio padrão. É muito

utilizada para representar falhas de equipamentos eletrônicos e para estudos

de confiabilidade de forma simples. “ ( )F t ” é a probabilidade acumulada de

falhas e “ ( ) ( )R t = 1 - F t ” é a confiabilidade (probabilidade do equipamento

não falhar em um dado intervalo de tempo, sob certas condições operacionais).

Predição da Confiabilidade

Embora exista uma série de modelos probabilísticos utilizados em análise

de dados de confiabilidade, alguns deles ocupam uma posição de destaque por

sua comprovada adequação a situações práticas. Entre estes, podemos citar o de

Distribuição Exponencial e o de Distribuição de Weibull. Neste texto usamos

estes modelos para o cálculo do Tempo Médio Entre Falhas.

A probabilidade de um item falhar no intervalo de tempo “t ” e “ t+dt

”, pode ser descrita de duas maneiras:

I - A probabilidade de falha no intervalo “t ” a “ t+dt ” dado que

tenha sobrevivido até o tempo “t ”. Isto é: ( )t dtλ ⋅ ⇒ taxa de falhas em

função do tempo.

II - A probabilidade de falha no intervalo de “t ” a “ t+dt ”

incondicionalmente. Isto é: ( ) ( ) f t dt f t ⋅ ⇒ é a função densidade de

probabilidade de falhas.

Exemplo:

Oitocentos componentes hipotéticos foram colocados num teste de vida.

O sistema foi observado por 30 horas seguidas a intervalos de 3 horas e o

número de falhas foram anotados de acordo com a tabela abaixo. Determine a

densidade de falhas e a taxa de falhas dos componentes.

CONFIABILIDADE DE CADA MOTOR ELÉTRICOTAXA DE FALHA = 0,000451 FALHAS/HORA

TEMPO (horas)

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0 1000 2000 3000 4000

C O N F I A B I L I D A D E

Intervalo de Tempo [h]

Número de Falhas no Intervalo

Densidade de Falhas f(t)

Taxa de Falhas

λ(t)

0 → 3 185 0,0771 0,0771

3 → 6 42 0,0175 0,0227

6 → 9 36 0,0150 0,0209

9 → 12 30 0,0125 0,0175

12 → 15 17 0,0071 0,0112

15 → 18 8 0,0033 0,0054

18 → 21 14 0,0058 0,0097

21 → 24 9 0,00375 0,0064

24 → 27 6 0,0025 0,0044

27 → 30 3 0,0013 0,0022

Total 350 - -

A probabilidade de sobrevivência no tempo “t ” é definida como a

confiabilidade, “ ( )R t ”. A regra de probabilidade condicional, diz que:

( ) ( )( )

f t dtt dt =

R t⋅

λ ⋅

( ) ( )( )

f tt =

R tλ

Entretanto, se “ ( )f t ” é a probabilidade de falhas em “dt ”, então:

( ) ( ) ( )t

0

F t = 1 - R t = f t∫

onde: “ ( )F t ” ⇒ é a probabilidade de falha no intervalo de 0 (zero) a “t ”.

Dados de Falhas de Oitocentos Componentes Hipotéticos

Diferenciando-se: ( ) ( )F t = 1 - R t , temos:

( ) ( )dR tf t = -

dt

Substituindo-se, temos:

( ) ( )( )

( )

( )

dR t- f t dtt = =

R t R tλ

( ) ( )( )

dR t 1- t =

dt R tλ ⋅

Integrando-se, os dois lados, obtemos:

( ) ( )( )

( )R tt

0 1

1- t dt = dR t

R tλ ⋅ ⋅∫ ∫

Uma explicação com relação aos limites de integração torna-se necessária

neste ponto. ( )tλ é integrado com relação ao intervalo de “0 (zero)” a “t

”. Porém, “ ( )1 /R t ” está sendo integrado com relação a “ ( )R t ”. Portanto,

quando “t 0= ”, temos “ ( )R t 1= ”, e para um tempo “ t ” a confiabilidade “

( )R t ” é, por definição, ( )R t . Integrando-se, obtemos:

( ) ( ) ( ) ( )t

R t1

0

- t dt = Ln R t | = Ln R tλ ⋅∫

Logo:

( ) ( )t

0

R t = Exp - t dt

λ ⋅ ∫

Se a taxa de falhas é constante (não depende do tempo), temos:

( ) ( )t

- t

0

R t = Exp - t dt = e λ⋅ λ ⋅

∫

Veremos mais tarde que o modelo de Distribuição Exponencial

representado pela equação acima é equivalente ao modelo de Distribuição de

Weibull quando o parâmetro de forma é unitário.

Para determinarmos o “TMEF”, sabemos que:

( ) sNR t =

N

( )sN t é o número de itens sobreviventes (não falharam) no período de

tempo “t ”.

N é o número de itens. Logo, o “TMEF” será dado por:

( )s

0 0

NTMEF = dt = R t dt

N

∞ ∞

⋅ ⋅∫ ∫

No caso especial

( ) ( )t

- t

0

R t = Exp - t dt = e λ⋅ λ ⋅

∫

1TMEF =

λ

Note que, se invertermos a taxa de falha obtemos o “TMEF”. Isto, só é

válido, quando a taxa de falhas é constante, ou seja, não varia com o tempo.

Exemplo:

Na figura abaixo, está representado um tanque de armazenamento de um

produto químico sujeito a transbordamento. A proteção é feita pela colocação de

um dispositivo de desligamento da bomba quando é detectado nível alto no

tanque. Supondo que ocorre nível alto do tanque 10(dez) vezes por ano, que o

dispositivo mencionado é testado semanalmente, e que a taxa de falha do

mesmo é igual a 2,0 falhas por ano. Determine a máxima probabilidade de

ocorrer transbordamento do tanque?

Solução:

t 1 semana = 168 horas=

Nivel Alto = 10/ano = 0.0011 falhas / horaλ

Dispositivo = 2/ano = 0.0002 falhas / horaλ

Para que ocorra transbordamento do tanque é preciso que dois eventos

ocorram simultaneamente, ou seja, que ocorra nível alto e que o dispositivo de

proteção esteja em falha. O diagrama de blocos é apresentado abaixo:

Agora, basta determinarmos as probabilidades de ocorrer nível alto e o

dispositivo apresentar falha em 168 horas.

NA - t 0.0011 168NA NAP = 1 - R = 1 - e = 1 - e = 0.1687λ ⋅ ×

NA Nível Alto

Dispositivo não opera

D

LSH TANQUE

BOMBA

D - t - 0.0002 168D DP = 1 - R = 1 - e = 1 - e = 0.0330λ ⋅ ×

Logo:

Transbordar NA DP = P P = 0.1687 0.0330 = 0.0056⋅ ×

Sistemas Coerentes

Devido a grande complexidade dos sistemas modernos, é possível, durante

as fases iniciais de projeto que alguns de seus componentes sejam irrelevantes

para o perfeito funcionamento do sistema, ou seja, o funcionamento ou falha do

sistema independe do comportamento daqueles componentes. Obviamente, após

uma nova análise do projeto, os componentes irrelevantes são eliminados. Um

exemplo simples de um componente irrelevante é apresentado a seguir:

Podemos observar, que o funcionamento ou não do componente “C” em

nada vai comprometer o sistema. Na prática, somente por falhas de projeto, é

que um componente irrelevante pode ser encontrado em algum sistema.

Diagramas de Bloco da Confiabilidade

A avaliação da confiabilidade de um sistema utilizando modelos estáticos é

uma forma de análise preliminar, sendo usado para que se possam calcular as

possíveis configurações do projeto e também para determinar os níveis

necessários de confiabilidade para os subsistemas, itens e componentes.

A B

C

A medida que o projeto progride na direção de seu estágio final, uma

análise mais detalhada pode ser feita e, finalmente, protótipos são construídos

com o intuito de se verificar a confiabilidade do projeto. Logo, podemos

representar um sistema completo dividindo-o em subsistemas, itens e

componentes, onde se supõe que uma “caixa preta” pode estar em um dos dois

estados: “operando” ou em “falha”.

Abaixo apresentamos um diagrama de bloco da confiabilidade e uma de

suas possíveis divisões:

Como exemplo, consideremos um circuito interruptor dual, conforme

mostrado no diagrama de bloco funcional, dado abaixo:

Acionador

Chave A

Chave B

1

A

5

432

D C B E

vi

vi

v

iv iii iii

vi

xr

c

cclc

dx

d

d

d

Nível 1Sistema Global

Nível 2Sistema

Nível 3Subsistema

Nível 4Componentes

Se nossa preocupação básica se relaciona ao fechamento do circuito

quando necessário, então o diagrama de bloco seria um arranjo em série.

Por outro lado, se a preocupação fundamental fosse que o circuito

estivesse aberto quando necessário, o diagrama de bloco seria um arranjo em

paralelo.

É importante observar que um diagrama de blocos é construído para a

determinação do sucesso operacional e não para mostrar o conjunto das funções

de um circuito.

Configurações de Confiabilidade

Aqui iremos descrever as cinco configurações básicas da confiabilidade.

I - Configuração Série

Subsistemas ou componentes ligados em série. Para efeito de

manutenção, um sistema é considerado em série quando o mesmo é constituído

por um número arbitrário de subsistemas (componentes) funcionalmente

interligados e uma falha em qualquer um deles dá origem a falha no conjunto,

que fica impedido de exercer suas funções.

É possível se estabelecer, para cada componente ou item do sistema um

valor para o gradiente de falha que exprime, de forma quantitativa, uma

característica física inerente que determina a vulnerabilidade do item sob as

tensões funcionais e ambientais a que o mesmo estará sujeito.

Chave A

Chave B

Chave A

Chave B

Se as falhas dos componentes de um sistema em série são

estatisticamente independentes então a confiabilidade do sistema “ SR ”, com

componentes diferentes, é dada por:

n

S ii = 1

R = R∏

onde:

n ⇒ número de componentes

iR ⇒ confiabilidade do enésimo componente

Se os tempos para falhar dos componentes seguem uma distribuição

exponencial (componentes com taxa de falha constante) então a confiabilidade

do enésimo é obtida por:

( ) i - tiR t = e λ ⋅

Substituindo-se na equação acima:

i

n - t

Si = 1

R = e λ ⋅∏

n

ii i = 1

n - t - t

Si = 1

R = e = eλ ⋅

λ ⋅ ∑∏

O “TMEF” é dado por:

n

ii = 1

- t

S n0

ii = 1

1TMEF = e dt =

∞ λ ⋅∑⋅

λ∫

∑

R1 R2 R3 RN

n

ii = 1

- t

S0

TMEF = e dt∞ λ ⋅∑

⋅∫

A equação anterior mostra que o “TMEF” de um sistema série é o inverso

do somatório das taxas de falha de cada componente.

Exemplo:

Duas bombas diferentes são necessárias para o funcionamento de um

sistema para o fluxo de uma carga pré-determinada. Assumir que as bombas

têm taxas de falha constantes iguais a 1 0,0001 falhas /horaλ = ” e

2 0,0002 falhas /horaλ = , respectivamente. Calcular o TMEF deste

sistema e a confiabilidade para 100 horas de operação. Considerar que as

bombas começam a operar no instante de tempo t 0= .

Solução:

1- Cálculo da confiabilidade

( ) ( )( )S 1 2R t = Exp - + tλ λ ⋅

( ) ( )( )SR 100 = Exp - 0.0001 + 0.0002 100 = 0.97045⋅

2- Cálculo do TMEF

S1 2

1 1TMEF = = = 3.333,3 horas

+ 0.0001 + 0.0002λ λ

II - Configuração Paralela

Subsistemas ou componentes ligados em paralelo. Para efeito de

manutenção, um sistema é considerado em paralelo quando o mesmo é

constituído por um número arbitrário de componentes funcionalmente

interligados e um defeito em qualquer deles dá origem a defeito no conjunto,

mas não impede o sistema de exercer suas funções, embora em condições

precária. Neste caso, o sistema irá falhar, se e somente se, todos os subsistemas

ou componentes falharem.

O modelo está baseado em que todas as unidades do sistema estão ativas

e compartilhando carga. Em adição é assumido que as falhas dos componentes

são estatisticamente independentes. A confiabilidade de uma configuração em

paralelo PR , com componentes diferentes, é dada por:

( )n

P ii = 1

R = 1 - 1 - R∏

onde:

n ⇒ número de componentes

iR ⇒ confiabilidade do enésimo componente

Se as taxas de falhas dos componentes são constantes temos:

( )i

n - t

Pi = 1

R = 1 - 1 - e λ ⋅∏

Logo:

O TMEF é obtido, integrando-se esta equação no intervalo de [0,∞].

( )n n - 1 n

n + i

P ni = 1 i = 1 j = i+1i i j

ii = 1

1 1 1TMEF = - + + - 1

+ ⋅

λ λ λ λ∑ ∑ ∑

∑L

R1

R2

R3

RN

( )i

n - t

P Pi = 10 0

TMEF = R dt = 1 - 1 - e dt∞ ∞

λ ⋅ ⋅ ⋅

∏∫ ∫

( )

P1 2 n 1 2 1 3 2 3

n + 1

n1 2 3 1 2 4

ii = 1

1 1 1 1 1 1TMEF = + + + - + + +

1 1 1 + + + - 1

λ λ λ λ + λ λ + λ λ + λ

⋅ λ + λ + λ λ + λ + λ λ∑

L

L

Para um sistema em paralelo com 3 (três) componentes, temos:

P1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 2 3

1 1 1 1 1 1 1TMEF = + + - - - +

λ λ λ λ + λ λ + λ λ + λ λ + λ + λ

Para componentes idênticos, a equação acima se reduz para:

n

Pi = 1

1 1TMEF =

i⋅

λ ∑

Exemplo:

Supor que dois motores idênticos estão operando numa configuração

redundante. Se um dos motores falhar o motor remanescente pode ainda operar

para a carga total do sistema. Assumir que os motores são idênticos, com taxa

de falha constante e as falhas dos motores são estatisticamente independentes.

Se os motores começam a operar no instante de tempo t 0= , determine:

1- A confiabilidade do sistema para 1 0,0005λ =

falhas /hora e t 400 horas= (tempo de operação).

2- O TMEF.

Solução:

1- Cálculo da confiabilidade para t 400 horas=

( ) ( )2

P ii = 1

R t = 1 - 1 - R∏

( ) ( ) ( )P 1 2R t = 1 - 1 - R 1 - R⋅

( ) ( ) ( )1 2 - t - tPR t = 1 - 1 - e 1 - eλ ⋅ λ ⋅⋅

( ) ( )1 21 2 - + t - t - tPR t = e + e - e λ λ ⋅λ ⋅ λ ⋅

Se 1 2 = = λ λ λ , temos:

( ) - t - 2 tPR t = 2 e - eλ⋅ λ⋅

( ) - 0.0005 400 - 2 0.0005 400

PR 400 = 2 e - e = 0.9671× × ×

2- Cálculo do TMEF

n

Pi = 1

1 1TMEF =

i⋅

λ ∑

P

1 1 3TMEF = 1 + =

2 2 ⋅ λ ⋅ λ

P

3TMEF = = 3000 horas

2 0.0005×

III - Redundância Com Standby (Reserva)

Este tipo de redundância representa a situação na qual uma unidade está

operando e n unidades estão em standby (reserva).

1

2

3

4

5

A confiabilidade do sistema é dada por:

( ) ( )i - tn

Sti = 0

t eR t =

i !

λ⋅ λ ⋅ ⋅

∑

onde:

n = N - 1 (número de unidades em standby - não ativas) A equação acima

é verdadeira, se:

o A unidade de chaveamento é perfeita (R=1 em qualquer instante do

tempo).

o As unidades são idênticas.

o As taxas de falhas são constantes.

o As unidades standby estão tão boas quanto novas.

o As falhas das unidades são estatisticamente independentes.

O TMEF é dado por:

( )St0

TMEF = R t dt∞

⋅∫

( )i - tn

i = 00

t eTMEF = dt

i !

λ⋅∞ λ ⋅ ⋅ ⋅

∑∫

Exemplo:

Assumir um sistema que contém três unidades idênticas onde uma está

operando e as outras duas estão em standby. Pede-se determinar:

1. A confiabilidade do sistema para 400 horas de operação, sabendo-se que

a taxa de falhas das unidades é igual a 0.003 falhas/hora.

2. O TMEF do sistema.

Solução:

1. Cálculo da confiabilidade para 400 horas:

( ) ( ) ( )2 - t - t - t

St

t eR t = e + t e +

2

λ⋅λ⋅ λ⋅ λ ⋅ ⋅

λ ⋅ ⋅

( ) ( ) ( )2

- tSt

tR t = e 1 + t +

2λ⋅

λ ⋅ ⋅ λ ⋅

( )StR 400 = 0.3012 1.5840 = 0.4771×

2. Cálculo do TMEF:

( ) ( )2 - t - t - t

0

t eTMEF = e + t e + dt

2

λ⋅∞λ⋅ λ⋅

λ ⋅ ⋅ λ ⋅ ⋅ ⋅ ∫

3 3TMEF = = = 1000 horas

0.003λ

IV - Configuração “K” de “N”

É utilizada onde um número “k” de unidades deve estar operando para

o sucesso do sistema. As configurações série e paralelo nos itens anteriores

são casos especiais desta configuração, onde “k n= ” e “k 1= ”, respectivamente.

1

n

2K/N

A confiabilidade do sistema é dada por:

( ) ( )n

n - in ik/n i

i = k

R t = C R 1 - R⋅ ⋅∑

onde:

n ⇒ número total de unidades no sistema

k ⇒ número de unidades requeridas para o sucesso do sistema

R ⇒ confiabilidade de cada unidade

niC ⇒ combinação de “n ”, “i ” a “i ”

O TMEF é dado por:

n - k + 1TMEF =

K ⋅ λ

Para os tempos de falha distribuídos exponencialmente (taxa de falha

constante) para uma configuração com K 2= e N 4= a equação resultante torna-

se:

( ) ( )4

4 - i4 i2/4 i

i = 2

R t = C R 1 - R⋅ ⋅∑

Para unidades com taxa de falha constante λ , a equação acima se torna:

( ) ( ) ( )4 i 4 - i4 - t - t

2/4 ii = 2

R t = C e 1 - eλ⋅ λ⋅⋅ ⋅∑

Exemplo:

Determine a confiabilidade de um sistema com unidades independentes e

idênticas, numa configuração “2” de “4” para 100 horas de operação. As taxas

de falha são constantes e iguais a 0.005 falhas/hora.

Solução:

Para unidades com tempos para falhar distribuídos exponencialmente

(taxa de falha constante), e com uma configuração “2” de “4”, a equação

resultante torna-se:

( ) ( ) ( ) ( )2 1 04 2 4 3 4 42/4 2 3 4R t = C R 1 - R + C R 1 - R + C R 1 - R⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( ) ( )22 3 42/4R t = 6 R 1 - R + 4 R 1 - R + R⋅ ⋅ ⋅ ⋅

( ) 2 3 42/4R t = 6 R + 8 R + 3 R⋅ ⋅ ⋅

Ou seja:

( ) - 4 t - 3 t - 2 t2/4R t = 3 e - 8 e + 6 e⋅λ⋅ ⋅λ⋅ ⋅λ⋅× × ×

Logo, para “ - tR=e λ⋅ ”, o valor de “ ( )2/4R 100 0.8282= ”. Considerando,

para os dados do problema, 0.005 falhas/horaλ = e t 100 horas= .

V - Configuração em Ponte

O elemento crítico da configuração, está rotulado com o “no 3”. Para

unidades diferentes e independentes, a confiabilidade das cinco (5) unidades em

ponte é dada por:

( )b 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5

1 2 3 5 1 2 3 4 1 3 5 2 3 4 1 4 2 5

R t = 2 R R R R R - R R R R - R R R R - R R R R

- R R R R - R R R R + R R R + R R R + R R + R R

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Para o caso de unidades idênticas, a equação acima se torna:

( ) 5 4 3 2bR t = 2 R - 5 R + 2 R + 2 R⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Para unidades com taxa de falha constante, temos:

( ) - 5 t - 4 t - 3 t - 2 tbR t = 2 e - 5 e + 2 e + 2 e⋅λ⋅ ⋅λ⋅ ⋅λ⋅ ⋅λ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

O TMEF é obtido, integrando-se a equação acima no intervalo [0, ∞],

e obtemos:

( )b0

TMEF = R t dt∞

⋅∫

49 1TMEF =

60⋅

λ

Exemplo:

Calcule a confiabilidade de um sistema para 100 horas de operação e seu

“TMEF” sabendo-se que 5(cinco) unidades idênticas e independentes estão

ligadas numa configuração ponte. A taxa de falha decada unidade é igual a “

0.0005 falhas/horaλ = ”. Todas as unidades começam a operar para “t 0= ”.

Solução:

( ) - 0.25 - 0.2 - 0.15 - 0.1bR 100 = 2 e - 5 e + 2 e + 2 e⋅ ⋅ ⋅ ⋅

O seguinte “TMEF” é obtido, pela simples substituição do valor de lambda λ

49TMEF = = 1.633,4 horas

60 0.005×

Exercício:

Um sistema de bombeamento para refrigeração de um determinado

equipamento está representado a seguir:

Este sistema opera em ciclos de 10 horas. Sabendo-se que a taxa de

falha da válvula de retenção (VR1) é de 10-4 falhas por hora, das bombas (B1 e

B2) é de 10-2 falhas por hora e das válvulas manuais (VM1 e VM2) é de

10-3 falhas por hora, pede-se determinar a confiabilidade do sistema para

um ciclo completo, sabendo-se que uma válvula manual e uma bomba operando

são suficientes para garantir a operação normal do sistema.

Solução:

t 100 horas=

- 4VR1 = 10 falhas/horaλ ⇒ ( ) - 4- t - 10 10R t = e = e = 0.999λ⋅ ⋅

- 2B1 B2 = = 10 falhas/horaλ λ ⇒ ( ) - 2- t - 10 10R t = e = e = 0.9048λ⋅ ⋅

- 3VM1 VM2 = = 10 falhas/horaλ λ ⇒ ( ) - 3- t - 10 10R t = e = e = 0.99λ⋅ ⋅

A confiabilidade do sistema para um ciclo completo, sabendo-se que

uma válvula manual e uma bomba operando, são suficientes para garantir a

operação normal do sistema é de 0.9881.

0.9990 0.9890 0.9881

VR1

B1

VM2

VM1

B2

0.9990

0.8958

0.8958

B1

B2

VR1

VM 1

VM 2