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62 Funes

Matemtica

63Matemtica, Msica e Terremoto, O Que H Em Comum?

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MATEMTICA, MSICA E TERREMOTO, O QUE

H EM COMUM?Neusa Idick Scherpinski Mucelin1

1Colgio Estadual Joo Manoel Mondrone - EFM - Medianeira - Pr

uem no gosta de curtir uma msica num final de tarde? No carro, na balada, no quarto, e se o professor deixar, at na sala

de aula em alguns momentos os alunos escutam msica! Mas, o que a msica tem a

ver com terremoto? No o barulho!

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Voc pode no acreditar, mas a msica e os terremotos tm algo em comum. O som causa nas pessoas tanto sensaes boas como ruins. O incmodo causado por um rudo muito subjetivo. Um rudo intenso de uma porta batendo com o vento ou duas laminas de ao se tocan-do causa pavor e at arrepios em algumas pessoas; j o simples gotejar de uma torneira, noite, incomoda o sono de qualquer pessoa.

E o barulho dos alunos falando ao mesmo tempo numa sala de au-la incomoda?

Qual o limite suportvel do som no ouvido humano? Que tal medir o barulho tolervel numa sala de aula? Ou num ambiente de trabalho?

PESQUISA

O que provoca sensao de prazer quando ouvimos uma msica?

PESQUISA

Mas os sons quando harmnicos e com certa intensidade tambm provocam sensao de prazer.

Que tipo ou gnero de msica que voc mais gosta?

Tem alguma msica que te deixa alegre? E triste? Por qu?

O que faz os sons produzirem efeitos nos sentimentos?

A msica uma das artes mais populares do nosso planeta. Mas, o que pouca gente sabe, que por trs de um chorinho, ou de uma complexa sinfonia de Bach ou Villa-Lobos, existem relaes matemti-cas que ajudam a formar, ao lado da criatividade dos homens, o edif-cio sonoro da nossa msica.

Os sons utilizados para compor msicas constituem a escala musi-cal. Quando combinados de determinadas formas, podem produzir re-sultados agradveis aos nossos ouvidos. Mesmo que voc no toque nenhum instrumento, j ouviu falar das notas musicais d, r, mi, f, sol, l, si. Estas sete notas e mais cinco auxiliares (os bemis e susteni-dos) compem a base da msica ocidental.

Mas, qual a relao da matemtica com a msica?

Matemtica

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Por que relacionar matemtica e msica?

Um pequeno conjunto de notas musicais era conhecido como s-rie harmnica, com suas freqncias agradveis e audveis aos seres humanos. Pitgoras, que viveu no sculo VI a.C., esticou uma corda e analisou o som produzido atravs de sua vibrao. Descobriu que ao dividir a corda ao meio, a vibrao do som era a mesma da produzi-da com a corda inteira, mas uma oitava acima, produzindo um som mais agudo. A partir desta experincia, Pitgoras estabeleceu vrias re-laes, como o intervalo de quinta que por ser o mais consonante da srie, foi a base para a construo da maior parte das escalas musicais existentes no mundo.

Em 1635, Mersenne props um sistema de afinamento suave, conhe-cido como escala temperada. Neste sistema necessrio que as relaes de freqncia de quaisquer meio-tons adjacentes sejam constantes. Mas isto s foi aceito a partir das composies de O Cravo Bem Temperado, que foi composto de 1722 a 1744 por Bach (ABDOUNUR, 1999).

Mas quem foi Bach?

O compositor alemo Johann Sebastian Bach (1685-1750) consi-derado o precursor da msia moderna e um dos principais composito-res de todos os tempos. Ele percebeu que os sons das notas msicas podem ser mais, ou menos, agradveis conforme a maneira com que as notas so agrupadas. Veja, por exemplo, a escala de sete sons co-nhecidos: D, R, Mi, F, Sol, L, Si. A escolha da separao dos sons nestas 7 partes considerada agradvel. A proposta da escala tempe-rada era a de dividir a escala musical em 12 partes, doze sons que fos-sem agradveis ao ouvido e alma (NASCIMENTO, 2005).

Esta escala apresenta todos ou quase todos os intervalos ligeira-mente imprecisos, porm no distorcidos.

Como?

O sentido temperado refere-se ao tempero igual em que se divi-de o intervalo de uma oitava em 12 semitons associados s relaes de freqncias exatamente iguais. O temperamento no ocorreu como um processo repentino, se desenvolveu de diversas maneiras ao lon-go do tempo.

A escala temperada foi dividida desta forma:

NOTA D D# R R# MI F F# SOL SOL# L L# SI D

Temperado 1 21/12 22/12 23/12 24/12 25/12 26/12 27/12 28/12 29/12 210/12 211/12 2

Escala

Pitagrica1/1 9/8 5/4 4/3 3/2 5/3 15/8 2/1

Fonte: adaptado de NASCIMENTO (2005)

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Observe que as 12 notas da escala temperada pode ser explicada utilizando logaritmos de base 2, por exemplo,

Calcule os valores correspondentes s escalas temperada e pitagrica. Use 6 casas decimais.

Compare as notas destas escalas.

O que voc observou?

ATIVIDADE

A grande semelhana existente entre as notas destas escalas tam-bm ocorre entre seus sons.

A diviso das notas musicais em logaritmos na escala temperada pos-sibilitou a construo de instrumentos com maior amplitude sonora e a formao de grupos musicais maiores, como os das grandes orquestras e at mesmo em consertos de Rock. Antes deste novo afinamento, os es-petculos musicais eram limitados e s algumas pessoas tinham o privi-lgio de ouvir msica, ocorriam em ambientes pequenos e fechados e, na maioria das vezes, somente a Igreja e os Nobres tinham acesso.

Os logaritmos surgiram a partir da necessidade do homem de re-solver problemas relacionados aos nmeros muito grandes - como os que encontramos ao estudar astronomia - ou nmeros muito pequenos - como os que aparecem no estudo das molculas. A fim de facilitar operaes de multiplicao e diviso entre os nmeros, foram desen-volvidas as teorias sobre logaritmos. A criao dos logaritmos atribu-da ao matemtico John Napier, em 1614.

Atualmente, o estudo dos logaritmos tem contribuies de calcula-doras cientficas e outros recursos computacionais. No entanto, vrios fenmenos fsicos, qumicos, biolgicos, econmicos e diversas leis matemticas so relacionados com os logaritmos, o que torna seu es-tudo de grande importncia.

A aplicao da funo logartmica ocorre em fenmenos que cres-cem muito lentamente. No cotidiano, freqentemente, precisamos com-parar a velocidade de crescimento de dois ou mais fenmenos, como, por exemplo: quando se pretende medir a variao da intensidade do barulho de um debate numa sala de aula, ou quando se pretende ve-rificar o barulho provocado pelos automveis numa rua de trfego in-tenso em uma cidade.

Essas comparaes tornam-se mais fceis quando sabemos compa-rar a velocidade de crescimento de funes simples, como as funes polinomiais e exponenciais j conhecidas. Como por exemplo:

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Para perceber a variao das funes , podemos construir uma tabela e um grfico para cada uma delas.

Utilizando a calculadora, complete a tabela:

x x2 x3 x4 2x ex ln x log x

1

2

3

10

100

1000

O que ocorre com as funes polinomiais medida que x vai aumentando?

E com as funes exponenciais?

Compare as funes exponenciais com as logartmicas. O que ocorre?

Como voc classifica a velocidade de crescimento da funo logartmica?

Mas, o que isto tem em comum com a msica?

Como a nossa percepo do som?

ATIVIDADE

Para poder detectar os sons, o ouvido possui um mecanismo bas-tante complexo, que envolve ossculos, cavidades e milhares de ner-vos. O elemento principal na deteco das oscilaes dos sons a c-clea, uma pequena estrutura em espiral que atua seletivamente. Ao longo dela, existem milhares de fibras nervosas que agem como senso-res, e transferem ao crebro a percepo das oscilaes e intensidade dos sons. E essa caracterstica exata da percepo do som pelo ou-vido que faz com que a Msica seja uma arte mais baseada em condi-es fisiolgicas do que em psicolgicas (RATTON, 2005).

A intensidade do som captada pelo ouvido corresponde sensao denominada popularmente de volume do som. Quando o som tem uma intensidade mnima, ou seja, o som mais fraco que o ouvido hu-mano pode captar, chamado de limiar de audio. Quando a inten-sidade elevada, o som provoca uma sensao dolorosa. A intensida-de mnima a que um som provoca sensao dolorosa tem o nome de limiar da dor.

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Para perceber a onda sonora, o tmpano humano necessita que ele tenha no mnimo intensidade fsi-ca corresponde a 1012 w/m2 (potncia por rea), a chamada limiar de audibilidade, e, no mximo, de at 1 w/m2 para a limiar da dor.

A grandeza nvel sonoro obedece a uma escala logartmica, sendo definida por:

N = 10 log II0

Em que I a intensidade do som e I0 um nvel de referncia definida por conveno internacional,

que utilizada como o limiar da audibilidade.

A unidade mais utilizada o decibel (dB) em homenagem a Alexandre Graham Bell (1847-1922), que inventou o telefone.

Em decibis (dB), como fica o limiar da audio?

E o limiar da dor (dB)?

ATIVIDADE

Os sons muito intensos so desagradveis ao ouvido humano. Sons com intensidades acima de 130 dB provocam uma sensao dolorosa e sons acima de 160 dB podem romper o tmpano e causar surdez.

Nas festas de finais de ano ou quando um ttulo conquistado pelo nosso time favorito comum algumas pessoas estourarem fogos de ar-tifcios, como forma de comemorao. Voc j observou o que ocorre com os ces durante o estouro ensurdecedor dos fogos de artifcios?

Por que ser que eles se incomodam tanto com o barulho?

Qual a freqncia sonora dos ces?

Voc sabia que alguns animais so capazes de perceber os ultra-sons, que um som com uma freqncia superior quela que um ser humano pode perceber? Por esse motivo, comum o uso de ces para detectar a presena de invasores, pois eles conseguem ouvir sons no detectados pelo ouvido humano.

Pesquise sobre as freqncias sonoras de ces e outros animais.

PESQUISA

O ouvido tem a caracterstica de responder aos estmulos sonoros no de uma forma linear. Se uma fonte sonora dobra a potncia emiti-da, o ouvido no percebe que o aumento foi o dobro.

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A intensidade sonora de um cozinho latindo de 3,18 x 106 w/m2 numa distncia de 5 metros. Qual ser o nvel de intensidade do latido?

E se dois cezinhos estiverem latindo ao mes-mo tempo, ser que o nvel de intensidade tam-bm dobra?

Faa as contas.

Quando se dobra a intensidade do som, no se dobra o nvel de in-tensidade, explique por que ocorre esse fato.

ATIVIDADE

Quais devem ser os cuidados numa sala de aula, em ambientes de trabalho e na vida cotidiana pa-ra que o som no prejudique a nossa audio e o nosso humor?

Quando o som considerado poluio sonora?

Voc sabe o que diz a lei municipal da poluio sonora no seu municpio?

Procure saber mais a respeito desta lei. Ela adequada? Por qu?

PESQUISA

FONTE dB Descrio

0 Limiar da audio

Respirao normal 10 Quase inaudvel

Sussurros de folhagens 20

Murmrio (5 m) 30 Muito silencioso

Biblioteca 40

Escritrio tranqilo 50 Silencioso

Conversao normal 60

Trfego pesado 70

Fbricas em geral 80

Caminho pesado 90 Prejudicial a audio

Ronco de uma pessoa dormindo ?

Metr antigo 100

Construo civil (3 m) 110

Concerto de rock (2 m) 120 Limiar da audio dolorosa

Metralhadora 130

Decolagem de um jato. 150

Motor de um foguete de grande porte. 180

A tabela a seguir apresenta os nveis de intensidade de algumas fontes sonoras comuns em dB.

FONTE: Adaptado de TIPLER, 1984.

Foto: Icone Audiovisual

Foto: Icone Audiovisual

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Observando a tabela anterior, responda:

a) Qual aproximadamente a intensidade sonora dos rudos normais da sua sala de aula?

b) Quantas vezes a intensidade do som de uma banda de rock superior intensidade de uma conversao normal?

c) Qual o limite do som tolervel numa sala de aula?

ATIVIDADE

Mas afinal de contas, o que o som tem em comum com terremotos? Calma, j chegamos l!

Em 8 de outubro de 2005, foi registrado um terremoto de 7,6 graus na escala Richter no Sul da sia. Pelo menos 39.422 pessoas mortas, 65.038 feridos e muitas cidades completamente destrudas no norte de Paquisto. Na ndia e Afeganisto houveram, pelo menos, 800 vtimas fatais. Com uma estimativa de 2,5 milhes de pessoas desabrigadas, o terremoto tambm danificou estradas e pontes que bloqueiam o aces-so para muitas das cidades atingidas. Esse foi o segundo terremoto de grande escala registrado na sia em menos de um ano.

As aplicaes dos logaritmos so utilizadas para descrever fenme-nos cujas medies so muito grandes, muito pequenas, ou que se si-tuam em intervalos com uma amplitude muito grande. Um desses fe-nmenos o sismo que ocorre em um terremoto. A energia liberada por um sismo no seu epicentro medida pelos sismlogos em uma es-cala, a escala de Richter, definida pela seguinte equao:

M = 0,67 log10 E 7,9

A letra E, na frmula anterior, representa a energia liberada e M cor-responde a magnitude na escala de Richter.

Em 1976, um terremoto de 8,9 na escala de Richter atingiu a Gua-temala matando 23 000 pessoas. Qual foi a energia liberada pelo ter-remoto?

Se a energia liberada por um sismo for 10 vezes maior que a do ou-tro, qual a diferena entre as respectivas magnitudes?

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Local e data Escala Richter

So Francisco, 1906 8,3

Argentina, 1922 8,5

Chile, 1960 9,5

Mxico, 1985 8,1

So Francisco, 1989 7,1

Ir, 1990 7,3

Sudeste Asitico, 2004 9,0

Chile, 2005 7,9

Sul da sia e Paquisto, 2005 7,6

Baseado nos dados acima compare a intensidade dos terremotos de So Francisco, de 1989, com o do terremoto do Sul da sia, em outu-bro de 2005.

Compare tambm a intensidade do terremoto do Ir, de 1990, com o ocorrido no Chile, em 2005.

E ento, j descobriu o que terremotos e msica tm em comum?

Que tal agora ouvir uma boa msica para alimentar a alma!

A escala Richter, utilizada para medir a magnitude dos terremotos, baseada nos logaritmos de base 10. As medidas das intensidades de terremotos crescem exponencialmente. Isso significa dizer que se x a magnitude de um terremoto, ento a intensidade de Y = 10x.

O quadro a seguir apresenta alguns terremotos registrados ao lon-go do tempo na escala Richter:

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Referncias BibliogrficasABDOUNUR, O. J. Matemtica e msica: o pensamento analgico na construo de significados. So Paulo: escrituras editora, 1999. 333 p.

NASCIMENTO, M. Matemtica com prazer. Disponvel em: < http://www. geocities.com>. Acesso em: 20 setembro 2005.

RATTON. M. Msica e matemtica. Disponvel em: < http://www.tvebrasil.com.br>. Acesso em: 18 novembro 2005.

Obras ConsultadasCARNEIRO, V. C. Funes elementares: 100 situaes-problema de matemtica. Porto Alegre: Universidade, 1993, 134 p.

TIPLER, P. A. Fsica. Rio de Janeiro: Ganabara, 1984. v. 2, 587 p.

BOYER, C. Histria da matemtica. So Paulo: ed USP, 1974.

EVES, H. Introduo histria da matemtica. Traduo: Hygino H. Domingues. Campinas: Unicamp, 1989, 415 p.

FLORIANI, J. V. Funo logartmica. 2. ed. Blumenal: Editora Furb, 2000.

GIMNEZ, C. C.; PIQUET, J. D. Funciones y grficas. Madri: Sntesis, 1990. 176p.

LIMA, E. L. Logaritmos: coleo do professor de matemtica. 2. ed. Rio de Janeiro: SBM 1996. 107 p.

MIORIM, M. A. Os logaritmos na cultura escolar brasileira. Natal: SBHMAT, 2002.

WISNIK, J. M. O Som e o sentido: Uma Outra Histria das Msicas. So Paulo: Cia. das Letras, 1999.

Documentos Consultados On-lineMAIA, A. Msica e matemtica: uma antiga relao. Disponvel em: < http://www. comciencia.br>. Acesso em: 19 novembro 2005.

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