ENSINO PERSONALIZADO

GOVERNO DO ESTADO DO PARÁ

SECRETARIA DE ESTADO DE EDUCAÇÃO

DIRETORIA DE ENSINO PARA DIVERSIDADE E CIDADANIA

COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS

CENTRO DE ESTUDOS DE EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS “PROF. LUIZ

OTÁVIO PEREIRA”

ENSINO PERSONALIZADO

MATEMÁTICA − Nível Médio

MÓDULO 02

Belém - Pará

Governador do Estado do Pará

Simão Robison Oliveira Jatene

Secretário de Educação

Cláudio Cavalcanti Ribeiro

Direção

Miriam Augusta de Oliveira

Vice-Direção

Lúcia Emília Mendonça Tomás

Bianora Olmira Coelho dos Santos

Núcleo Pedagógico

Izabel Conceição Nascimento Costa dos Santos

Laura Daniela Miranda de Queiroz

Maria do Socorro Costa dos Santos

Maria do Socorro Ribeiro Barbosa

Maria da Conceição Sena

Marluce Batista Silva Cardoso

Pedrina Muniz Silva

Corpo Docente da Disciplina

Bruno David Borges Ferreira

Helda do Socorro Monteiro da Silva

Maurilo Sabino Cardoso dos Santos

Rodrigo Seabra Costa

Raimundo Ramos Ferreira Junior

Ulysses Coelho de Souza Junior

Apresentação

Este módulo introduz o leitor no universo das funções, particularmente a função afim e a

função quadrática, bem como algumas de suas aplicações.

Ementa

Sistema de eixos cartesianos. Introdução às funções. Função Afim e Função Quadrática.

Sumário

Funções

1. Sistema de Eixos Cartesianos 05

Par Ordenado

Produto Cartesiano

Exercícios Propostos

Relação Binária

2. Função 08

Definição

Análise Gráfica


Domínio, Imagem e Contradomínio de uma Função

Análise Gráfica de Domínio e Imagem

Zeros ou Raízes de uma Função

Análise Algébrica do Domínio


3. Função Afim 14

Valor Numérico

Zero ou Raiz da Função Afim

Valor inicial e Taxa de Variação

Crescimento

Gráfico da Função Afim

Casos Particulares da Função Afim


Inequações do 1º Grau


4. Função Quadrática 25

Definição

Concavidade

Zeros ou Raízes da Função Quadrática

Vértice

Forma Fatorada da Função Quadrática

Máximo, Mínimo e Imagem

Eixo de Simetria

Gráfico da Função Quadrática

Exercícios Porpostos



Respostas dos Exercícios Propostos 39

Referências Bibliográficas 40

5

Funções

1. Sistema de Eixos Cartesianos

O plano determinado pelas retas Ox e Oy é chamado de plano cartesiano. A interseção dessas retas

(o ponto )O é chamada de origem do sistema de eixos cartesianos. Esses eixos dividem o plano em

quatro regiões chamadas de quadrantes, conforme a figura abaixo.

A reta Ox é chamada de eixo das abscissas, enquanto que a reta Oy é chamada de eixo das

ordenadas.

Note que à direita do eixo y as abscissas são positivas, enquanto que à esquerda do eixo y as

abscissas são negativas. Analogamente, as ordenadas acima do eixo x são positivas, enquanto que abaixo

do eixo x as ordenadas são negativas.

Par Ordenado Um par de números reais x e y é dito ordenado quando está escrito sob a forma ( , )x y . A

representação geométrica de um par ordenado no sistema de eixos cartesianos é um ponto.

A figura mostra a representação do ponto ( , ),P a b com a e b sendo reais positivos.

Exemplo: Marque os pontos ( 2, 3),A ( 1, 4),B ( 3, 1),C (0, 3),D (0, 0),E (2, 0),F (1, 3)G e

(2, 3)H no sistema de eixos cartesianos.

6

Observações:

1ª) Note que todo ponto pertencente ao eixo das abscissas é da forma ( , 0),x enquanto que todo

ponto pertencente ao eixo das ordenadas é da forma (0, ).y 2ª) Todos os pontos sobre uma reta horizontal têm a mesma ordenada, enquanto que todos os

pontos sobre uma reta vertical têm a mesma abscissa.

Dois pares ordenados 1 1( , )x y e 2 2( , )x y são iguais se, e somente se, 1 2x x e 1 2.y y Assim, por

exemplo, ( 3, 2) (2, 3). Note que esses pares ordenados representam pontos distintos no plano.

Produto Cartesiano Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Chamamos produto cartesiano de A por B o conjunto

A B cujos elementos são pares ordenados ( , ),x y em que x pertence a A e y pertence a ,B ou seja,

{( , ) | e }.A B x y x A y B

O símbolo A B lê-se “ A cartesiano B ” ou “produto cartesiano de A por B ”.

Se A ou B forem vazios é impossível formar pares ordenados, pois o conjunto vazio não possui

elementos. Portanto, .A B Exemplo: Se {1, 2, 3}A

e {4, 5},B

temos que {(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}.A B

Observação: O produto cartesiano não é comutativo, isto é, .A B B A Se ,A B B A então

A B ou A ou .B Considere o exemplo anterior e determine .B A Para ilustrar, basta notar

que (1, 4) (4,1).

Número de elementos de A B

Se A e B forem conjuntos finitos, então o número de elementos do produto cartesiano de A por

B é dado por ( ) ( ) ( ),n A B n A n B em que ( )n A é o número de elementos de A e ( )n B é o

número de elementos de .B Exemplo: Sabendo que ( ) ,n A x ( ) 2n B x e ( ) 24,n A B determine o valor de .x

Solução: Temos que ( ) ( ) ( ) ( 2) 24.n A n B n A B x x Como x é um natural não nulo,

segue que os únicos naturais pares e consecutivos cujo produto é 24 são 4 e 6. Portanto, 4.x

Observação: Se A ou B são infinitos, então A B é um conjunto infinito.


1. Marque os pontos ( 4,1),A ( 2, 0),B ( 1, 3),C (0, 2),D (0, 4),E 121, ,5

F

(2, 1)G e

(3, 0)H no sistema de eixos cartesianos.

2. Dados { 1, 0}A e {2, 4},B determine:

a) A B b) B A c) 2A

7

Relação Binária Relação binária de A em B é todo subconjunto R de ,A B tal que os pares ordenados de R

satisfazem a uma “condição” dada.

R é relação binária de A em .B R A B A conjunto de partida da relação .R

B conjunto de chegada ou contradomínio da relação .R

Exemplo: Enumere os pares ordenados, represente por meio de flechas e faça o gráfico cartesiano da

relação binária de { 2, 1, 0,1, 2}A em { 3, 2, 1,1, 2, 3, 4},B definida por 2.x R y x y

Solução: Para enumerarmos os pares ordenados da relação ,R podemos encontrar todos os pares

ordenados de A B e verificar quais desses pares satisfazem a condição 2 .y x Observe que esse

processo é um tanto quanto demorado.

Por outro lado, tomaremos todos os elementos do conjunto A e determinaremos suas imagens por

meio da condição 2 2x y y x (como a relação é de A em ,B segue que x A e ).y B

2 2 ( 2) 2 2 4 ( 2, 4)

1 2 ( 1) 2 1 3 ( 1, 3)

0 2 0 2 (0, 2)

1 2 1 1 (1,1)

2 2 2 0 (2, 0)

x y R

x y R

x y R

x y R

x y R

Dos pares ordenados obtidos, o único que não pertence à relação R é o último, já que zero não

pertence ao conjunto .B Portanto, {( 2, 4), ( 1, 3), (0, 2), (1,1)}.R O diagrama de flechas (ou diagrama sagital) da relação R é:

O gráfico cartesiano da relação R é:

8

2. Função

Função é qualquer relação em que todos os elementos do conjunto de partida tem um, e somente um,

correspondente no conjunto de chegada.

De modo geral, uma função pode expressar a correspondência entre objetos, uma transformação, uma

dependência (uma grandeza em função de outra) ou ainda o resultado de um movimento. Exemplos: Considere as relações cujos diagramas de flechas são dados abaixo.

a) c) e)

É função É função Não é função

b) d)

É função Não é função

Observação: No diagrama (d), 1x possui dois correspondentes em ,B e no diagrama (e) 3x não

possui correspondente em .B

Análise Gráfica Para verificarmos se a representação cartesiana (gráfico) de uma relação é uma função, basta

traçarmos retas paralelas ao eixo das ordenadas e observarmos se cada reta intersecta o gráfico em no

máximo um ponto. Exemplo: Considere os gráficos das relações binárias de A em .B a) b)

É função Não é função

Note que no exemplo (b) várias retas verticais intersectam o gráfico em dois pontos, contrariando,

assim, a definição de função (existem valores de x que apresentam mais de um correspondente ).y

9

Notação de Função Uma função é uma relação binária de A em .B Logo, toda função é um conjunto de pares ordenados.

A sentença aberta ( )y f x que expressa a lei mediante a qual, dado ,x A determina-se y B tal

que ( , )x y f é chamada de lei de correspondência.

Na lei ( )y f x dizemos que x é a variável independente e y é a variável dependente (de ).x

Exemplos: 5 4,y x

2( ) 3 7,f x x x etc.

Para indicarmos uma função ,f definida em ,A com imagens em B segundo a lei de

correspondência ( ),y f x usaremos as notações:

:f A B ou :f A B tal que ( )y f x

( )x f x

:f A B lê-se “ f de A em .B ”

Imagem de um Elemento Se ( , ) ,a b f o elemento b é chamado de imagem de a pela função f ou valor de f no elemento

,a e denotamos por ( )f a b (lê-se: “ f de a é igual a b ”). Exemplo: Seja a função : ,f definida por ( ) 5.f x x Então: a) a imagem de 0 pela aplicação f é 5, ou seja, (0) 0 5 5.f b) a imagem de 7 pela aplicação f é 2, ou seja, (7) 7 5 2.f


3. Em quais dos diagramas abaixo uma função de A em B está definida?

a) b) c)

4. Dados { 1, 0,1, 2}A e { 2, 0, 2, 4, 6},B verifique se {( , ) | 2 }R x y A B y x é uma

função de A em .B

Solução: Tomando os elementos do conjunto A e calculando suas imagens pela relação 2 ,y x

obtemos

1 2 ( 1) 2 ( 1, 2)

0 2 0 0 (0, 0)

1 2 1 2 (1, 2)

2 2 2 4 (2, 4)

x y R

x y R

x y R

x y R

Portanto, como todo elemento do conjunto A possui um, e somente um, correspondente no

conjunto ,B segue que R é uma função de A em .B

10

5. Qual das relações de em , cujos gráficos aparecem abaixo, é uma função da forma

( )?y f x

a) b)

Domínio, Imagem e Contradomínio Seja a função : .f A B

Chamamos de domínio o conjunto D dos elementos x A para os quais existe y B tal que

( , ) .x y f Como, pela definição de função, todo elemento de A goza dessa propriedade, temos que

.D A

Chamamos de imagem o conjunto Im dos elementos y B para os quais existe x A tal que

( , ) .x y f Portanto, ,Im B ou seja, o conjunto imagem é um subconjunto do contradomínio .B

Exemplo: No diagrama abaixo temos que {1, 2, 3},D {4, 5, 6}Im e {4, 5, 6, 7}.CD

É fácil ver que o conjunto imagem pode ser igual ao contradomínio. No exemplo anterior, retirando o

elemento 7 do conjunto ,B teríamos {4, 5, 6}.Im CD

Análise Gráfica de Domínio e Imagem Dado o gráfico de uma função ,f temos que o domínio é o conjunto das abscissas dos pontos do

gráfico de .f Exemplo: { | 4 3}D x x ou [ 4, 3[.D

11

Dado o gráfico de uma função ,f temos que a imagem é o conjunto das ordenadas dos pontos do

gráfico de .f Exemplo: { | 2 6}Im y y ou [ 2, 6[.Im

Zeros ou Raízes de uma Função Chamamos de zeros ou raízes de uma função :f A B aos valores de x A para os quais se tem

( ) 0.y f x Exemplo: Na figura abaixo, o gráfico de uma função :f D intersecta o eixo das abscissas nos

pontos 1( ,0),x 2( ,0),x 3( ,0)x e 4( ,0).x Temos que 1 2 3, ,x x x e 4x são os zeros de .f

O número de pontos de interseção do gráfico de uma função com o eixo das abscissas é igual ao

número de raízes reais da função. Portanto, se o gráfico de uma função não intersecta o eixo das

abscissas, então a função não possui raízes reais.

Análise Algébrica do Domínio Uma função f fica completamente definida quando são dados o seu domínio ,D o seu

contradomínio e a lei de correspondência ( ).y f x Veremos a seguir como determinar o domínio de algumas classes de funções. 1ª) Seja :f uma função polinomial definida por

1 21 2 1 0( ) ,n n

n nf x a x a x a x a x a

com 1 2 1 0, , , , , ,n na a a a a 0na e .n O domínio de uma função polinomial é o conjunto dos números reais. Exemplos: a) ( ) 2f x

Note que para qualquer número real x existe uma imagem real 2.y Portanto, .D b) ( ) 2 1f x x

Note que para qualquer número real x existe uma imagem real 2 1.y x Logo, .D

12

c) 3 2( ) 4 6 10f x x x x

Note que para qualquer número real x existe uma imagem real 3 24 6 10.y x x x Assim,

.D

2ª) Seja :f D uma função racional definida por ( )

( ) ,( )

g xf x

h x em que g e h são funções

polinomiais quaisquer.

Conforme vimos anteriormente, a divisão por zero é indeterminada ou impossível. Portanto, o

domínio de f é o conjunto dos números reais tais que ( ) 0,h x ou seja, { | ( ) 0}.D x h x Exemplos:

a) 7( )f xx

Temos que ( ) .h x x Logo, segue de imediato que 0x e, portanto, { | 0}D x x ou,

simplesmente, {0}.D

b) 1( )2 5

xf xx

Temos que ( ) 2 5.h x x Logo, impondo 2 5 0,x vem

2 5 0 2 5x x 5 0 5

2 5

2 5

2 2

5 .2

x

x

x

Portanto, 5|

2D x x

ou, simplesmente, 5 .2

D

Note que o resultado obtido significa que todo número real pertence ao domínio da função ,f

exceto o número 5

2. Observe ainda que 5

2 é a raiz da função ,h ou seja, o número real para o

qual ( ) 0.h x

3ª) Seja :f D a função definida por ( ) ( ),nf x g x com ,n 2n e :g sendo uma

função real qualquer em que figura a variável x . Chamamos f de função irracional.

Quando n for par { | ( ) 0},D x g x e quando n for ímpar .D Exemplos:

a) ( ) 4 8f x x

Temos que 2n é par. Assim, devemos ter ( ) 4 8 0g x x para que a função f esteja

definida, isto é,

4 8 0 4 8x x 8 0 8

4 8

4

x

4

x 8

4

2.x

13

Portanto, { | 2}D x x ou [2, [.D

Para fixar ideias, note que (1) 4 1 8 4 8 4 ,f ou seja, como a imagem de 1 não

é um número real, 1x não pertence ao domínio de .f

b) 6( ) 3 5f x x

Temos que 6n é par. Logo, devemos ter ( ) 3 5 0g x x para que a função f esteja

definida, isto é,

3 5 0 3x 5 3x 0 3

5 3 ( 1)

5 3

5

x

x

5

x 3

5

3 .5

x

Portanto, 3|5

D x x

ou 3, , .5

D

c) 4( ) 7f x x

Temos que 2n é par. Logo, devemos ter 4( ) 7 0g x x para que a função f esteja

definida. Contudo, observe que 4 0x para todo número real x e, assim, 4 7 0x para todo x

real. Por conseguinte, .D

d) 4 23( ) 7 9f x x x x

Temos que 3n é ímpar. Logo, .D


6. Determine os valores de x para os quais as funções abaixo estão definidas.

a) ( ) 1 5f x x

b) 2 43( ) 5 3g x x x

c) 26( ) 5 9h x x

d) 4( ) 3 8f x x

e) 25( ) 2 6g x x x

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3. Função Afim Chamamos de função afim a toda função :f definida por ( ) ,f x ax b com , .a b

O gráfico de uma função afim é uma reta (não vertical).

Exemplos: 2( ) 1, ( ) 4 7, ( ) ,3

f x x g x x h x x etc.

Valor Numérico Dada a função : ,f definida por ( ) ,f x ax b chamamos de valor numérico de f para

,x k o número real ( ) .f k ak b Exemplo: O valor numérico da função ( ) 2 1f x x para 3x é (3) 2 3 1 6 1 5.f

Zero ou Raiz da Função Afim O zero de uma função afim ( ) ,f x ax b é o número 0x para o qual 0( ) 0.f x

O ponto 0( , 0)x é o

ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo x. Exemplos: a) O zero da função afim definida pela lei ( ) 2f x x é tal que

( ) 0 2 0

2

f x x

x

2

0

0 2

2 ( 1)

2.

x

x

Alternativamente, bastaria observar que o oposto de 2 é 2 e, assim, a raiz de f é 2. b) O zero da função afim definida pela lei ( ) 4 7f x x é tal que

( ) 0 4 7 0

4 7

f x x

x

7 0 7

4 7

4

x

4

x

0

7

4

7 .4

x

Note que é possível encontrar o zero de f simplesmente por meio de uma fatoração:

( ) 0 4 7 0

74 0.4

f x x

x

Assim, como 744

x

só pode ser zero se 7

4x for igual a zero, segue que 0

7 ,4

x pois 7

4 é o

oposto de 7 .4

15

Em resumo, dada a função afim : ,f definida por ( ) ,f x ax b com 0,a temos que a

raiz 0x é o número real tal que

( ) 0 0

0,

f x ax b

ba xa

ou seja, 0 .bxa

Valor Inicial Dada a função afim ( ) ,f x ax b chamamos de valor inicial o número (0).b f O ponto (0, )b é o

ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo .y Exemplo: O valor inicial da função ( ) 3 5f x x é 5.b

0a 0a

Note que se 0b a reta intersecta o eixo y abaixo do eixo ,x enquanto que se 0b a reta

intersecta o eixo y acima do eixo .x

Taxa de Variação A taxa de variação ou taxa de crescimento da função afim pode ser compreendida como sendo a

velocidade de crescimento da variável y em relação à variável ,x ou seja, quanto maior a taxa de

variação, maior será o valor de y para um mesmo .x Por exemplo, se y é a receita arrecadada com a

venda de um produto e p é o preço de venda desse produto, segue que para 1 2,p p teremos 1 2y y

para uma mesma quantidade x vendida, ou seja, 1 1 2 2.y p x p x y Sejam 1 1( , )x y e 2 2( , )x y dois pontos do gráfico de ( ) .f x ax b

Então,

1 12 1 2 1

2 2

2 1 2 1

2 1

2 1

( )

.

y ax bax ax y y

y ax b

a x x y y

y ya

x x

Dizemos que a é a taxa de variação da função afim ( ) .f x ax b

16

Exemplo: Sabendo que o gráfico de uma função afim passa pelos pontos (1, 3) e (4, 6), determine

a taxa de variação dessa função.

Solução: Fazendo arbitrariamente 1 1( , ) (1, 3)x y e 2 2( , ) (4, 6),x y

segue que

2 1

2 1

6 ( 3) 9 3.4 1 3

y ya

x x

Crescimento

Considere a função : ,f D com .D A função f é dita:

a) crescente quando 1 2 1 2( ) ( )x x f x f x e

b) decrescente quando 1 2 1 2( ) ( ).x x f x f x

Isso significa dizer que f é crescente se, ao tomarmos valores cada vez maiores de ,x obtivermos

valores maiores para ( );f x e que f é decrescente se, ao tomarmos valores cada vez maiores de x

obtivermos valores menores para ( ).f x

Em particular, uma função afim é dita crescente quando 0,a isto é, quando sua taxa de variação é

positiva. Quando 0,a a função afim é dita decrescente. Exemplos:

a) A função : ,f definida por 1( ) 64

f x x é crescente, pois sua taxa de variação

1

4a

é positiva.

b) A função : ,f definida por ( ) 7 15f x x é decrescente, pois sua taxa de variação

( 7)a é negativa.

17

Gráfico da Função Afim Uma reta fica determinada por dois de seus pontos, isto é, dados dois pontos do plano, existe uma

única reta que passa por esses pontos. Logo, para esboçarmos o gráfico de uma função afim, precisaremos

conhecer no mínimo dois pontos de seu gráfico. O gráfico de uma função afim passa pelos pontos (0, )b e 0( , 0),x em que b é o valor inicial e 0x é a

raiz da função. Exemplo: Esboce o gráfico das funções abaixo.

a) 2 1y x

Solução: Como 1,b segue que (0, ) (0, 1).b

Calculando a raiz da função, encontramos

10 2 1 0 2 0.2

y x x

Logo, 01

2x e, portanto, 0

1( , 0) , 0 .2

x

Marcando esses pontos no sistema de eixos cartesianos e traçando uma reta passando por eles,

obtemos:

b) 5y x

Solução: Como 5,b segue que (0, ) (0,5).b

Calculando a raiz da função, encontramos

0 5 0 ( 5) 0.y x x

Logo, 0 5x e, portanto, 0( , 0) (5, 0).x

Marcando esses pontos no sistema de eixos cartesianos e traçando uma reta passando por eles,

obtemos:

18

Casos Particulares da Função Afim 1º) Função Constante Chamamos de função constante a toda função : ,f definida por ( ) ,f x b com .b

Note que a função constante é um caso particular da função afim, quando 0.a

Para traçarmos o gráfico de uma função constante, basta marcarmos o ponto (0, )b e conduzirmos por

esse ponto uma reta paralela ao eixo .x

Exemplos: a) 4y b) 3y

2º) Função Linear

Chamamos de função linear a toda função : ,f definida por ( ) ,f x ax com .a

Note que a função linear é um caso particular da função afim, quando 0.b

Para construirmos o gráfico de uma função constante, tomamos um valor conveniente de x e

calculamos sua imagem. A seguir, conduzimos uma reta passando pelo ponto encontrado e pela

origem.

Exemplos:

a) ( ) 2f x x

Tomando arbitrariamente 1,x obtemos 2 1 2 (1,2).y Logo, o gráfico de f é

19

b) 1

3y x

Tomando arbitrariamente 3,x obtemos 1 3 1 (3, 1).3

y Assim, o gráfico de f é

3º) Função Identidade

Chamamos de função linear a função : ,f definida por ( ) .f x x

Note que a função linear é um caso particular da função afim, quando 1a e 0.b

A função identidade é única e seu gráfico está representado abaixo.

20


7. (PUCMG-2004) Em certa cidade, durante os dez primeiros dias do mês de julho de 2003, a

temperatura, em graus Celsius, foi decrescendo de forma linear de acordo com a função

( ) 2 18,T t t em que t é o tempo medido em dias. Nessas condições, pode-se afirmar que, no

dia 8 de julho de 2003, a temperatura nessa cidade foi:

a) 0°C b) 2°C c) 3°C d) 4°C

8. (UNIRIO-1997) O gráfico da função ,y mx n em que m e n são constantes, passa pelos

pontos (1, 6)A e (3, 2).B A taxa de variação média da função é:

a) –2 b) 1

2 c) 1

2 d) 2 e) 4

9. (UNICAMP-1995) Para transformar graus Fahrenheit em graus centígrados usa-se a fórmula:

5( 32)

9

FC

em que F é o número de graus Fahrenheit e C é o número de graus centígrados.

a) Transforme 35 graus centígrados em graus Fahrenheit.

b) Qual a temperatura (em graus centígrados) em que o número de graus Fahrenheit é o dobro do

número de graus centígrados?

10. (FGV-2003) Uma fábrica de bolsas tem um custo fixo mensal de R$ 5.000,00. Cada bolsa

fabricada custa R$ 25,00 e é vendida por R$ 45,00. Para que a fábrica tenha um lucro mensal de

R$ 4.000,00, ela deverá fabricar e vender mensalmente x bolsas. O valor de x é: a) 300 b) 350 c) 400 d) 450 e) 500

Solução: O custo variável da produção de x bolsas é dado por ( ) ,CV x pc x em que pc é o

preço de custo unitário. Assim, ( ) 25 .CT x x

O custo total da produção de x bolsas é a soma do custo variável com o custo fixo, isto é,

( ) 25 5000.CT x x

Por outro lado, a receita total obtida com a venda de x bolsas a um preço de venda unitário ,pv é

dada por ( ) 45 .RT x pv x x O lucro total é definido como sendo a diferença entre a receita total e o custo total, ou seja, ( ) ( ) ( ).LT x RT x CT x

Portanto, sabendo que o lucro mensal foi de R$ 4.000,00, vem

4000 45 (25 5000) 4000 45 25 5000

4000 20 5000

20 4000

x x x x

x

x

4000 20x 20x 5000 4000

20 9000 ( 1)

20 9000

20

x

x

20

x 9000

20

450.x

21

11. (UNICAMP-1998) O preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa,

denominada “bandeirada”, e uma parcela que depende da distância percorrida. Se a bandeira custa

R$ 3,44 e cada quilômetro rodado custa R$ 0,86, calcule: a) o preço de uma corrida de 11km;

b) a distância percorrida por um passageiro que pagou R$ 21,50 pela corrida.

12. (CESGRANRIO-1997) Uma barra de ferro com

temperatura inicial de 10 C foi aquecida até

30 C. O gráfico ao lado representa a variação da

temperatura da barra em função do tempo gasto

nessa experiência.

Calcule em quanto tempo, após o início da

experiência, a temperatura da barra atingiu 0 C. a) 1 min d) 1 min e 15 seg

b) 1 min 5 seg e) 1 min e 20 seg

c) 1 min e 10 seg

13. (FATEC-1995) Uma pessoa, pesando atualmente 70kg, deseja voltar ao peso normal de 56kg.

Suponha que uma dieta alimentar resulte em um emagrecimento de exatamente 200g por

semana. Fazendo essa dieta, a pessoa alcançará seu objetivo ao fim de a) 67 semanas. c) 69 semanas. e) 71 semanas.

b) 68 semanas. d) 70 semanas.

14. (UFES-1999) O preço de uma certa máquina nova é R$10.000,00. Admitindo-se que ela tenha

sido projetada para durar 8 anos e que sofra uma depreciação linear com o tempo, ache a fórmula

que dá o preço ( )P t da máquina após t anos de funcionamento, 0 8,t e esboce o gráfico da

função P.

15. (UFRN-1999) Na figura ao lado, tem-se o gráfico de

uma reta que representa a quantidade, medida em

mL, de um medicamento que uma pessoa deve tomar

em função de seu peso, dado em kgf , para

tratamento de determinada infecção.

O medicamento deverá ser aplicado em seis doses.

Assim, uma pessoa que pesa 85kgf receberá em

cada dose:

a) 7 mL b) 9 mL c) 8 mL d) 10 mL

16. (FGV-2002) Uma fábrica de camisas tem um custo mensal dado por 5000 15 ,C x em que x é

o número de camisas produzidas por mês. Cada camisa é vendida por R$ 25,00.

Atualmente, o lucro mensal é de R$ 2.000,00. Para dobrar esse lucro, a fábrica deverá produzir e

vender mensalmente: a) o dobro do que produz e vende

b) 100 unidades a mais do que produz e vende

c) 200 unidades a mais do que produz e vende

d) 300 unidades a mais do que produz e vende

e) 50% a mais do que produz e vende

22

17. (UNESP-2001) Apresentamos ao lado o gráfico do

volume do álcool em função de sua massa, a uma

temperatura fixa de 0°C.

Baseado nos dados do gráfico, determine:

a) a lei da função apresentada no gráfico;

b) qual é a massa (em gramas) de 330cm de álcool.

Inequações do 1º Grau Sejam :f e :g funções afins.

São chamadas de inequações do 1º grau as seguintes desigualdades:

( ) ( ), ( ) ( ), ( ) ( )f x g x f x g x f x g x e ( ) ( ).f x g x Exemplo: Resolva as inequações abaixo, em . a) 3 10 4x

Solução: Temos que

3 10 4 3 10x x 10 4 10

3 14

3 14

3 3

14 .3

x

x

x

Portanto, o conjunto solução da inequação é 14| .3

S x x

b) 2( 3) 5(2 1) 6 4x x x

Solução: Temos que

2( 3) 5(2 1) 6 4 2 6 10 5 6 4

12 1 6 4

12 1

x x x x x x

x x

x

1 4 6 4x x 1 4x

16 7

16

x

16

7

16

7 .16

x

x

Portanto, o conjunto solução da inequação é 7| .16

S x x

23


18. (PUCMG-2004) Para se tornar rentável, uma granja deve enviar para o abate x frangos por dia, de

modo que seja satisfeita a desigualdade 1,5 80 2,5 20.x x Nessas condições, pode-se afirmar

que o menor valor de x é:

a) 100 b) 200 c) 300 d) 400

19. (PUCSP-2002) Fábio quer arrumar um emprego de modo que, do total do salário que receber,

possa gastar 1

4 com alimentação, 2

5 com aluguel e R$ 300,00 em roupas e lazer. Se, descontadas

todas essas despesas, ele ainda pretende que lhe sobrem no mínimo R$ 85,00, então, para que

suas pretensões sejam atendidas, seu salário deve ser no mínimo

a) R$ 950,00 b) R$ 980,00 c) R$ 1000,00 d) R$ 1100,00 e) R$ 1500,00

20. (UNESP-1996) Um professor trabalha em duas faculdades, A e B, sendo remunerado por aula. O

valor da aula na faculdade B é 4

5 do valor da aula da faculdade A. Para o próximo ano, ele

pretende dar um total de 30 aulas por semana e ter uma remuneração semanal em A maior que a

remuneração semanal em B. Quantas aulas no mínimo, deverá dar por semana na faculdade A?

21. (UFPE-2003) Um provedor de acesso à Internet oferece dois planos para seus assinantes:

Plano A ‒ Assinatura mensal de R$ 8,00 mais R$ 0,03 por cada minuto de conexão durante

o mês.

Plano B ‒ Assinatura mensal de R$10,00 mais R$ 0,02 por cada minuto de conexão

durante o mês. Acima de quantos minutos de conexão por mês é mais econômico optar pelo plano B?

a) 160 b) 180 c) 200 d) 220 e) 240

Solução: No plano ,A o assinante pagará mensalmente ( ) 0,03 8Ac x x reais, com x sendo o

número de minutos de conexão. Analogamente, no plano ,B o assinante pagará

( ) 0,02 10.Bc x x Portanto, o plano B é mais econômico do que o plano A para x tal que

( ) ( ) 0,02 10 0,03 8

0,02 10

B Ac x c x x x

x

10 0,03 0,03x x 0,03x 8 10

0,01 2 ( 100)

200,

x

x

ou seja, acima de 200 minutos.

22. (UNIRIO-1998) Num concurso, a prova de Matemática apresentava 20 questões. Para cada

questão respondida corretamente, o candidato ganhava 3 pontos e, para cada questão respondida

erradamente ou não respondida, perdia 1 ponto. Sabendo-se que para ser aprovado deveria

totalizar, nessa prova, um mínimo de 28 pontos, o menor número de questões respondidas

corretamente para que o candidato fosse aprovado era de:

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

23. (UNESP-1997) Por uma mensagem dos Estados Unidos para o Brasil, via fax, a Empresa de

Correios e Telégrafos (ECT) cobra R$1,37 pela primeira página e R$ 0,67 por página que se

segue, completa ou não. Qual o número mínimo de páginas de uma dessas mensagens para que

seu preço ultrapasse o valor de R$10,00?

a) 8. b) 10. c) 12. d) 14. e) 16

24

24. (UFPE-2004) O preço da corrida de táxi na cidade R é calculado adicionando um valor fixo de

R$ 2,50 a R$1,30 por cada quilômetro rodado, enquanto na cidade S o preço é obtido

adicionando um valor fixo de R$ 3,40 a R$1,25 por quilômetro rodado. A partir de quantos

quilômetros rodados, o táxi da cidade R deixa de ser mais barato que o da cidade S?

25. (UNESP-2004) Carlos trabalha como disc-jóquei (dj) e cobra uma taxa fixa de R$100,00, mais

R$ 20,00 por hora, para animar uma festa. Daniel, na mesma função, cobra uma taxa fixa de

R$ 55,00, mais R$ 35,00 por hora. O tempo máximo de duração de uma festa, para que a

contratação de Daniel não fique mais cara que a de Carlos, é:

a) 6 horas. b) 5 horas. c) 4 horas. d) 3 horas. e) 2 horas.

26. (UNESP-1995) Uma pessoa obesa, pesando num certo momento 156 kg, recolhe-se a um SPA

onde se anunciam perdas de peso de até 2,5kg por semana. Suponhamos que isso realmente

ocorra. Nessas condições:

a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, ,P que essa pessoa poderá atingir após n

semanas.

b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no SPA para

sair de lá com menos de 120 kg de peso.

27. (FGV-1999) Uma empresa A paga a cada um de seus vendedores uma remuneração mensal que é

função do 1° grau de suas vendas mensais. Quando ele vende R$ 50.000,00 sua remuneração é

R$1.800,00 e quando vende R$80.000,00 sua remuneração é R$ 2.400,00. a) Obter a remuneração AR em função das vendas (x).

b) Uma outra empresa B paga a cada um de seus vendedores uma remuneração mensal BR dada

por:

1500 0,01 ,BR x em que x são as vendas mensais Para que valores de x a remuneração mensal do vendedor em A é superior à do vendedor em B?

25

4. Função Quadrática

Chamamos de função quadrática a toda função :f definida por 2( ) ,f x ax bx c com

,a b e c e 0.a

O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

Exemplos: 2 2 2 23( ) 3 5, ( ) 8, ( ) 5 4 , ( ) ,5

f x x x g x x h x x x j x x etc.

Concavidade

Se 0,a a parábola tem concavidade para cima. E, se 0,a a parábola tem concavidade para baixo.

Exemplos:

a) A parábola da função 2( ) 3 5f x x x tem concavidade voltada para cima, pois 1 0.a

b) A parábola da função 2( ) 8g x x tem concavidade voltada para baixo, pois 1 0.a

Zeros ou Raízes da Função Quadrática

Seja a função quadrática 2( ) .f x ax bx c As raízes reais de f (caso existam) são calculadas pondo-se ( ) 0.f x Desse modo, nosso problema

resume-se ao cálculo das raízes de uma equação do 2º grau.

Podemos encontrar os zeros de f por meio da Fórmula de Resolução da Equação do 2º grau:

Sendo 2 4b ac o discriminante da equação 2 0,ax bx c temos que as raízes de f são dadas

por

12

bx

a

e 2 .

2

bx

a

O símbolo é a quarta letra do alfabeto grego e lê-se delta.

Exemplos: Determine as raízes reais das funções abaixo, caso existam.

a) 2( ) 5 6f x x x

Solução: Pondo ( ) 0,f x vem 2 5 6 0.x x Como o discriminante da equação é

2 24 ( 5) 4 1 6 25 24 1,b ac

segue que

1

2

5 1 6 3( 5) 1 2 25 1 .

5 1 42 2 1 2 22 2

xb

xa x

26

Portanto, os zeros da função f são 2 e 3.

b) 2( ) 2 1f x x x

Solução: Pondo ( ) 0,f x vem 2 2 1 0.x x Como o discriminante da equação é

2 24 2 4 1 1 4 4 0,b ac

segue que

1 2

2 0 2 1.2 2 1 2

bx x x

a

Portanto, o zero da função f é 1.

c) 2( ) 1f x x x

Solução: Pondo ( ) 0,f x vem 2 1 0.x x Como o discriminante da equação é

2 24 1 4 1 1 1 4 3,b ac

segue que

1 3 1 3.

2 2 1 2

bx

a

Note que 3 não é um número real, conforme vimos anteriormente. Logo, 1

1 3

2x

e

2

1 3

2x

não são números reais e, portanto, f não possui raízes reais.

Observação: Alguns autores de livros didáticos ainda chamam a fórmula 2

bx

a

de fórmula

de Bhaskara. Porém, não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do 2º

grau. Um artigo bastante esclarecedor sobre esse mau hábito de alguns autores brasileiros, pode ser

encontrado na Revista do Professor de Matemática, n. 39.

27

Estudo do Discriminante

Lembrando que o número de raízes reais de uma função corresponde ao número de pontos de

interseção do gráfico da função com o eixo ,x temos os seguintes casos a considerar, dependendo do

valor assumido pelo discriminante: 1º) Se for positivo, então a função quadrática terá duas raízes reais e diferentes, ou seja,

1 20 ,x x com 1 2, .x x

2º) Se for zero, então a função quadrática terá duas raízes reais e iguais, ou seja, 1 20 ,x x

com 1 2, .x x

3º) Se for negativo, então a função quadrática não terá raízes reais, ou seja, 1 20 , .x x

Observação: Note que o ponto de interseção da parábola com o eixo das ordenadas é o ponto (0, ).c

28

Vértice

O vértice da parábola é o ponto , .2 4

bVa a

Exemplo: Determine o vértice da parábola 2 5 6.y x x Solução: Temos que a abscissa do vértice é dada por

5 5 .2 2 1 2

vbxa

A ordenada do vértice é

2( 5) 4 1 6 25 24 1 .

4 4 1 4 4vy

a

Portanto, 5 1, .2 4

V

Forma Fatorada da Função Quadrática

Dada a função quadrática : ,f definida por 2( ) ,f x ax bx c podemos escrever f sob a

forma

1 2( ) ( )( ),f x a x x x x

sendo 1x e 2x os zeros de .f Exemplo: Considere uma função quadrática cujas raízes são 3 e 5. Encontre a lei dessa função,

sabendo que seu gráfico passa pelo ponto (1, 8).

Solução: Queremos encontrar a lei 2( ) ,f x ax bx c ou seja, precisamos determinar os

coeficientes ,a b e .c Como a parábola passa pelo ponto (1, 8) e as raízes de f são 1 3x e 2 5,x

segue que

8 (1 3) (1 5) 8 ( 2) ( 4)

8 8

1.

a a

a

a

Portanto, substituindo agora apenas as raízes e o valor de a na forma fatorada de ,f vem

2 2( ) 1 ( 3)( 5) 5 3 15 8 15.f x x x x x x x x

29

Máximo, Mínimo e Imagem.

Seja :f uma função quadrática definida por 2( ) .f x ax bx c

Se 0,a a função f tem para valor mínimo a ordenada do vértice, ou seja, .vy Isso significa que f

não possui nenhuma imagem menor do que .vy Consequentemente, o conjunto imagem de f é

[ , [.Im yv O vértice da parábola é chamado de ponto de mínimo.

Se 0,a a função f tem para valor máximo a ordenada do vértice, ou seja, .vy Isso significa que

f não possui nenhuma imagem maior do que .vy Consequentemente, o conjunto imagem de f é

] , ].Im yv O vértice da parábola é chamado de ponto de máximo.

Exemplos: Determine o valor máximo ou mínimo, o conjunto imagem e o ponto de máximo ou

mínimo das funções seguintes.

a) 2( ) 5 6f x x x

Solução: Como 1 0,a segue que f possui valor mínimo igual a .vy Logo, 1

4vy e

1 , .4

Im

Além disso, 5 1,2 4

V

é o ponto de mínimo de .f

Note que não foi necessário calcular nem vy nem ,vx pois já havíamos encontrado esses valores

num exemplo anterior.

b) 2( ) 4 3g x x

Solução: Como 4 0,a segue que f possui valor máximo igual a .vy Logo,

20 4 ( 4) 3

34 4 ( 4)

vya

e ] , 3].Im Além disso, 0 02 2 ( 4)

vbxa

e, portanto (0, 3)V é o ponto de máximo

de .g

30

Eixo de Simetria


O eixo de simetria do gráfico de f é a reta .vx x

Exemplo: O eixo de simetria do gráfico da função 2( ) 5 6f x x x é a reta 5 5 .2 2 1 2

bxa

Gráfico da Função Quadrática

O gráfico de uma função quadrática tem as seguintes características:

a) Intersecta o eixo y no ponto (0, ).c

b) Intersecta o eixo x nas raízes (o número de intersecções depende do número de raízes reais).

c) Tem como ponto fundamental o vértice.

Exemplo: Esboce o gráfico da função 2( ) 5 6.f x x x

Solução: Como 1 0,a segue que a parábola tem concavidade para cima. Temos que o ponto

(0, )c é igual a (0, 6). Além disso, os zeros de de f são 1 2x e 2 3.x

Sabendo ainda que o vértice da parábola é 5 1, ,2 4

V

obtemos o gráfico de :f

31


28. (USC) Dada a função quadrática 2( ) ( ) 2f x m n x nx m com , ,m n o conjunto dos

valores para os quais o gráfico dessa função volve sua concavidade para baixo é: a) m n b) m n c) m n d) m n e) m n

29. (CESGRANRIO-1990) O gráfico de 2 8y x x corta o eixo Ox nos pontos de abscissa: a) 2 e 6. b) –1 e –7. c) 0 e –8. d) 0 e 8. e) 1 e 7.

30. (UFSM-2000) Um laboratório testou a ação de uma droga em uma amostra de 720 frangos.

Constatou-se que a lei de sobrevivência do lote de frangos era dada pela relação 2( ) ,v t at b em

que ( )v t é o número de elementos vivos no tempo t (meses). Sabendo-se que o último frango

morreu quando 12t meses após o início da experiência, a quantidade de frangos que ainda

estava viva no 10º mês é a) 80 b) 100 c) 120 d) 220 e) 300 Solução: No início do teste 720 frangos estavam vivos, ou seja,

2(0) 720 0 720 720.v a b b

Por outro lado, se o último frango morreu após 12 meses, então após 12 meses nenhum frango

estava vivo, isto é,

2(12) 0 12 720 0

144 720

v a

a

720 0 720

144 720

144

a

144

720

144

5.

a

a

Portanto, 2( ) 5 720v t t e, assim, o número de frangos vivos no 10º mês era

2(10) 5 10 720 5 100 720 500 720 220.v

31. (UFMG-1997) Um certo reservatório, contendo 372m de água, deve ser drenado para limpeza.

Decorridas t horas após o início da drenagem, o volume de água que saiu do reservatório, em 3m ,

é dado por 2( ) 24 2V t t t . Sabendo-se que a drenagem teve início às 10 horas, o reservatório

estará completamente vazio às:

a) 14 horas b) 16 horas c) 19 horas d) 22 horas

32. (UNIRIO-2000) Em uma fábrica, o custo de produção de x produtos é dado por 2( ) 22 1.c x x x Sabendo-se que cada produto é vendido por R$10,00, o número de

produtos que devem ser vendidos para se ter um lucro de R$44,00 é: a) 3 b) 10 c) 12 d) 13 e) 15

33. (CESGRANRIO-1993) O vértice da parábola 2y x x é o ponto:

a) ( 1, 0) b) 1 1,2 4

c) (0, 0) d) 1 3,

2 4

e) (1, 2)

32

34. (UFMG-1997) O ponto de coordenadas (3, 4) pertence à parábola de equação 2 4.y ax bx A

abscissa do vértice dessa parábola é:

a) 1

2 b) 1 c) 3

2 d) 2

35. (UEL-1994) A função real f, de variável real, dada por 2( ) 12 20,f x x x tem um valor a) mínimo, igual a –16, para 6x

b) mínimo, igual a 16, para 12x

c) máximo, igual a 56, para 6x

d) máximo, igual a 72, para 12x

e) máximo, igual a 240, para 20x

36. (FGV-1995) A função f, de em , dada por 2( ) 4f x ax x a tem um valor máximo e

admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, ( 2)f é igual a

a) 4 b) 2 c) 0 d) 1

2 e) –2

37. (PUCSP-2000) Se x e y são números reais tais que 2 8,x y o valor máximo do produto x y é a) 24 b) 20 c) 16 d) 12 e) 8

38. (UFPE-1996) O custo ,C em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado

por: 22510 100 .C n n

Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo?

39. (UNESP-2001) Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinado hotel

para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada

passagem é R$20,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de

R$1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa de ônibus, em cada

viagem, é dado pela função ( ) (40 )(20 ),f x x x em que x indica o número de lugares vagos

(0 40).x Determine:

a) quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha

faturamento máximo;

b) qual é o faturamento máximo obtido em cada viagem.

40. (PUCSP-1996) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma

unidade de certo produto é 10,x sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. A quantidade

vendida, a cada mês, depende do preço de venda e é, aproximadamente, igual a 70 .x

Nas condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda do produto é, aproximadamente, uma

função quadrática de x, cujo valor máximo, na unidade monetária usada, é a) 1200 b) 1000 c) 900 d) 800 e) 600 Solução: O lucro total é dado pelo produto do lucro unitário pela quantidade vendida, ou seja,

2

2

( ) ( 10)(70 )

70 700 10

80 700.

LT x x x

x x x

x x

Portanto, o lucro máximo é dado por

33

máx

2

4

80 4 ( 1) ( 700)

4 ( 1)

6400 2800

4

3600

4

R$ 900,00.

LTa

41. (UFRN-2000) Após uma análise de mercado, concluiu-se que um produto seria vendido de

conformidade com a fórmula 2000 100 ,Q P na qual Q representa a quantidade que será

vendida ao preço unitário P.

Sabendo que o lucro por unidade vendida é 10,P encontre

a) uma fórmula que determine o lucro total, em função de P;

b) o valor de P, para que o lucro total seja o maior possível.

42. (PUCCAMP-2001) Considere a função dada por 23 6 24,y t t na qual y representa a altura,

em metros, de um móvel, no instante t, em segundos.

O valor mínimo dessa função ocorre para t igual a a) –2 b) –1 c) 0 d) 1 e) 2

43. (UFSCAR-2001) Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de

futebol, teve sua trajetória descrita pela equação 2( ) 2 8h t t t ( 0),t em que t é o tempo

medido em segundos e ( )h t é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute: a) o instante em que a bola retornará ao solo;

b) a altura máxima atingida pela bola.

44. (PUCCAMP-1996) Suponha que a soma da idade de um pai com o dobro da idade de seu filho

seja igual a 80 anos. A idade do filho que torna máximo o produto das idades dos dois é a) 18 anos. b) 20 anos. c) 21 anos. d) 23 anos. e) 24 anos.

45. (PUCMG-1997) A temperatura, em graus centígrados, no interior de uma câmara, é dada por 2( ) 7 ,f t t t em que t é medido em minutos e é constante. Se, no instante 0,t a

temperatura é de 10°C, o tempo gasto para que a temperatura seja mínima, em minutos, é: a) 3,5 b) 4,0 c) 4,5 d) 6,5 e) 7,5

46. (PUCCAMP-1996) A soma e o produto das raízes de uma função quadrática são,

respectivamente, 6 e 5. Se o valor mínimo dessa função é – 4, então seu vértice é o ponto

a) (3, 4) b) 11, 42

c) (0, 4) d) ( 4, 3) e) ( 4, 6)

47. (UFMG-1995) A função quadrática f tem raízes 3 e 1. A ordenada do vértice da parábola,

gráfico de ,f é igual a 8.

A única afirmativa verdadeira sobre ( )f x é a) ( ) 2( 1)( 3)f x x x d) ( ) ( 1)( 3)f x x x

b) ( ) ( 1)( 3)f x x x e) ( ) 2( 1)( 3)f x x x

c) ( ) 2( 1)( 3)f x x x

34

48. (UFRGS-1996) Um menino chutou uma bola. Esta atingiu altura máxima de 12 metros e voltou

ao solo 8 segundos após o chute. Sabendo que uma função quadrática expressa a altura y da bola

em função do tempo t de percurso, esta função é

a) 2 8y t t c) 23 64

y t t

e) 22 16

3 3y t t

b) 23 38

y t t d) 21 24

y t t

49. (UEL-1999) Seja a função f, de em , dada pelo gráfico abaixo.

O conjunto imagem de f é a) c) { | 0 1,8}y y e) { | 1,8}y y

b) { | 0 1,5}y y d) { | 2}y y

50. (FAAP-1994) Com relação ao gráfico da função 2( ) 2( 1) 4f x x são feitas as seguintes

afirmações:

I. é uma parábola com concavidade voltada para cima;

II. é uma parábola cujo vértice é o ponto ( 2, 4);

III. o ponto de intersecção com o eixo y é (0, 2). Nestas condições: a) somente a afirmação I é verdadeira.

b) somente a afirmação III é verdadeira.

c) as afirmações I, II e III são verdadeiras.

d) as afirmações I e III são verdadeiras.

e) as afirmações II e III são verdadeiras.

51. (UFMG-1999) Observe a figura, que representa o gráfico de 2 .y ax bx c

Assinale a única afirmativa falsa em relação a esse gráfico.

a) ac é negativo. b) 2 4b ac é positivo. c) b é positivo. d) c é negativo.

35

52. (UFSM-2001)

Na produção de x unidades mensais de um certo produto, uma fábrica tem um custo, em reais,

descrito pela função quadrática, representada parcialmente na figura. O custo mínimo é, em reais. a) 500 b) 645 c) 660 d) 675 e) 690

53. (UNESP-2000) Duas plantas de mesma espécie, A e B, que nasceram no mesmo dia, foram

tratadas desde o início com adubos diferentes. Um botânico mediu todos os dias o crescimento,

em centímetros, destas plantas. Após 10 dias de observação, ele notou que o gráfico que

representa o crescimento da planta A é uma reta passando por (2, 3) e o que representa o

crescimento da planta B pode ser descrito pela lei matemática 224 .

12

x xy Um esboço desses

gráficos está apresentado na figura.

Determine: a) a equação da reta;

b) o dia em que as plantas A e B atingiram a mesma altura e qual foi essa altura.

36



Chamamos de inequações do 2º grau as seguintes desigualdades:

( ) 0, ( ) 0, ( ) 0f x f x f x e ( ) 0.f x

Para resolvermos cada uma das inequações acima, devemos estudar o sinal de .f Temos os seguintes

casos para o estudo do sinal de :f

Exemplos: Resolva, em , as inequações abaixo.

a) 2 5 6 0x x

Solução: Como 1 0,a temos que a concavidade da parábola é voltada para cima. Além disso,

sabemos que os zeros de 2( ) 5 6f x x x são 1 2x e 2 3.x Desse modo, o estudo de sinal

da função é:

Portanto, como queremos os valores de x para os quais 2 5 6 0,x x segue que o conjunto

solução da inequação é { | 2 3}.S x x

b) 2 6 9 0x x

Solução: Como 1 0,a temos que a concavidade da parábola é voltada baixo. Além disso,

temos que

2

1 2

6 6 4 ( 1) ( 9) 6 03.

2 ( 1) 2x x

37

Daí, o estudo de sinal da função é:

Portanto, como queremos os valores de x para os quais 2 6 9 0,x x segue que o conjunto

solução da inequação é { | 3}.S x x

c) 2 5 0x

Solução: Como 2 0x para todo número real ,x segue que 2 5 0x para todo número real .x

Portanto, .S


54. (PUCMG-1997) O gráfico da função ,f definida por 2( ) 2f x x mx m está todo acima do

eixo das abscissas. O número m é tal que:

a) 0m ou 1m b) 0m c) 1 0m d) 1 1m e) 0 1m

55. (CESGRANRIO-1991) A menor solução inteira de 2 2 35 0x x é:

a) 5. b) 4. c) 3. d) 2. e) 1.

56. (UFRGS-1997) A equação 2 12 02

mx mx possui 2 raízes reais distintas. Então,

a) 0m b) 0m c) 4m d) 0m ou 4m e) 0 4m

57. (MACK-2001) Se 22 2 0,x ax a qualquer que seja ,x o maior valor inteiro que a pode

assumir é:

a) 15 b) 16 c) 18 d) 20 e) 22

58. (UFMG-2000) Seja M o conjunto dos números naturais n tais que 22 75 700 0.n n

Assim sendo, é correto afirmar que

a) apenas um dos elementos de M é múltiplo de 4.

b) apenas dois dos elementos de M são primos.

c) a soma de todos os elementos de M é igual a 79.

d) M contém exatamente seis elementos.

59. (MACK-1996) Se a função real definida por 2 2( ) (4 )f x x k possui um máximo positivo,

então a soma dos possíveis valores inteiros do real k é:

a) –2. b) –1. c) 0. d) 1. e) 2.

38

60. (UNICAMP-1998) O índice I de massa corporal de uma pessoa adulta é dado pela fórmula:

2

MIh

em que M é a massa do corpo, dada em quilogramas, e h é a altura da pessoa, em metros.

O índice I permite classificar uma pessoa adulta, de acordo com a seguinte tabela:

Homens Mulheres Classificação

20 25I 19 24I Normal

25 30I 24 29I Levemente Obeso

30I 29I Obeso

a) Calcule o índice I para uma mulher cuja massa é de 64,0kg e cuja altura 1,60m. Classifique-

a segundo a tabela anterior.

b) Qual é a altura mínima para que o homem cuja massa é de 97,2kg não seja considerado

obeso?

61. (FGV-1997) O lucro mensal de uma empresa é dado por 2 30 5,L x x em que x é a

quantidade mensal vendida.

a) Qual o lucro mensal máximo possível?

b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a 195?

39

Respostas dos Exercícios Propostos

1.

2. a) {( 1, 2), ( 1, 4), (0, 2), (0, 4)} b) {(2, 1), (2, 0), (4, 1), (4, 0)}

c) {( 1, 1), ( 1, 0), (0, 1), (0, 0)}

3. (a) e (b) 5. (a)

6. a) 1|5

x x

b) c) d) 8|3

x x

e)

7. B 8. A 9. a) 95F b) 160C 11. a) R$12,90 b) 21 km 12. D 13. D 14.

( ) 1250 10000P t t (0 8)t

15. B 16. C 17. a) 5 , 04

V m m b) 24 g 18. A

19. D 21. 14 22. A 23. D 24. 18km 25. D 26. a) 156 2,5P n b) 15 semanas 27. a) ( ) 0,02 800AR x x b) Superior a R$ 70.000,00. 28. B 29. D 31. B 32. E 33. B 34. C 35. C 36. E 37. E 38. 50

39. a) 10 b) R$ 900,00

41. a) 2100 3000 20000TL P P b) 15 42. D 43. a) 4 s b) 8 m

44. B 45. A 46. A 47. A 48. C 49. D

50. D 51. C 52. D 53. a) 3

2y x b) 6º dia, 9cm

54. E 55. B 56. D 57. A 58. A 59. C 60. a) 25;I levemente obesa b) 1,8 m

61. a) 220 b) 10 20x

40

Referências Bibliográficas

ALENCAR FILHO, Edgard de. Funções numéricas. São Paulo: Nobel, 1985.

CONNALLY, Eric A. et al. Funções para modelar variações: uma preparação para o cálculo. Rio de

Janeiro: LTC, 2009.

HARSHBARGER, Ronald J.; REYNOLDS, James J. Matemática aplicada: administração, economia,

ciências sociais e biológicas. 7. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 2006.

IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de matemática elementar. 7. ed. rev. e ampl. São

Paulo: Atual, 1993. v. 1.

LIMA, Elon Lages et al. A matemática do ensino médio. 5. ed. Rio de Janeiro: SBM, 2001. v. 1.

MACHADO, Antonio dos Santos. Conjuntos numéricos e funções. 2. ed. São Paulo: Atual, 1988.

REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA. São Paulo: SBM, n. 39.

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