Ensino Superior
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Ensino Superior
Matemática Básica
Unidade 1.1 – Teoria dos Conjuntos
Amintas Paiva Afonso
![Page 2: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/2.jpg)
INDICEINTRODUÇÃO
RELAÇÃO DE PERTINÊNCIA
DETERMINAÇÃO DE CONJUNTOS
DIAGRAMAS DE VENN
CONJUNTOS ESPECIAIS
RELAÇÕES ENTRE CONJUNTOS
CONJUNTOS NUMÉRICOS
UNIÃO DE CONJUNTOS
INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
DIFERENÇA DE CONJUNTOS
DIFERENÇA SIMÉTRICA
COMPLEMENTO DE UM CONJUNTO
PROBLEMAS
![Page 3: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/3.jpg)
Em matemática, o conceito de conjunto é considerado primitivo e não se dá uma definição deste, portanto, a palavra CONJUNTO deve aceitar-se logicamente como um termo não definido.
![Page 4: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/4.jpg)
Um conjunto se pode entender como uma coleção ou agrupamento bem definido de objetos de qualquer classe. Os objetos que formam um conjunto são chamados membros ou elementos do conjunto.
Exemplo:
Na figura ao lado temos um Conjunto de Pessoas
![Page 5: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/5.jpg)
NOTAÇÃOTodo conjunto se escreve entre chaves { } e se denota mediante letras maiúsculas A, B, C, ..., seus elementos se separam mediante ponto e vírgula.
Exemplo:
O conjunto das letras do alfabeto; a, b, c, ..., x, y, z. Se pode escrever assim:
L = {a; b; c; ...; x; y; z}
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Exemplo:
A = {a; b; c; d; e} seu cardinal n(A) =
B = {x; x; x; y; y; z} seu cardinal n(B) =
Na teoria de conjuntos não precisa repetir os elementos, por exemplo:O conjunto {x; x; x; y; y; z } simplemente será { x; y; z }.
Ao número de elementos que tem um conjunto Q chamamos CARDINAL DO CONJUNTO e se representa por n(Q).
5
3ÍNDICE
![Page 7: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/7.jpg)
Para indicar que um elemento pertenece a um conjunto se usa o símbolo: Se um elemento não pertenece a um conjunto se usa o símbolo: Exemplo: Seja M = {2; 4; 6; 8; 10}
2 M ... se lê 2 pertenece ao conjunto M
5 M ... se lê 5 não pertenece ao conjunto M
ÍNDICE
![Page 8: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/8.jpg)
I) POR EXTENSÃO
Há duas formas de determinar um conjunto, por Extensão e por Entendimento.
É aquela forma mediante a qual se indica cada um dos elementos do conjunto.
Exemplos:A) O conjunto dos números pares maiores que 5 e menores que 20.
A = { 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18 }
ÍNDICE
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B) O conjunto de números negativos ímpares maiores que -10.
B = {-9; -7; -5; -3; -1 }
II) POR ENTENDIMENTO
É aquela forma mediante a qual se dá uma propriedade que caracteriza a todos os elementos do conjunto.
Exemplo:
Se pode entender que o conjunto P está formado pelos números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
P = {os números dígitos }
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Outra forma de escrever é: P = { x / x = dígito } se lê “P é o conjunto formado pelos elementos x tal que x é um dígito”.
Exemplo:
Expressar por extensão e por entendimento o conjunto de dias da semana.
Por Extensão: D = {segunda; terça; quarta; quinta; sexta; sábado; domingo }
Por Entendimento: D = { x / x = dia da semana }
ÍNDICE
![Page 11: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/11.jpg)
Os diagramas de Venn que se devem ao filósofo inglês John Venn (1834-1883) servem para representar conjuntos de maneira gráfica mediante desenhos ou diagramas que podem ser círculos, retângulos, triângulos ou qualquer curva fechada.
AMT
7
23
6
9
aei
o
u(1;3) (7;6)
(2;4) (5;8)84
1 5
ÍNDICE
![Page 12: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/12.jpg)
A = ou A = { } se lê: “A é o conjunto vazio” ou “A é o conjunto nulo “
CONJUNTO VAZIO
É um conjunto que não tem elementos, também se chama conjunto nulo. Geralmente se representa pelos símbolos: ou { }
Exemplos:
M = { números maiores que 9 e menores que 5 }
P = { x / }1
0X
![Page 13: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/13.jpg)
CONJUNTO UNITÁRIO
É o conjunto que tem um só elemento.
Exemplos:
F = { x / 2x + 6 = 0 } G = 2x /x 4 x 0
CONJUNTO FINITOÉ o conjunto com limitado número de elementos.
Exemplos:
E = { x / x é um número impar positivo menor que 10 }
N = { x / x2 = 4 }
;
![Page 14: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/14.jpg)
CONJUNTO INFINITOÉ o conjunto com ilimitado número de elementos.
Exemplos:
R = { x / x < 6 } S = { x / x é um número par }
CONJUNTO UNIVERSALÉ um conjunto referencial que contém todos os elementos de uma situação particular, geralmente se representa pela letra U
Exemplo:O universo ou conjunto universal
;
de todos os números é o conjunto dos NÚMEROS COMPLEXOS.
ÍNDICE
![Page 15: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/15.jpg)
INCLUSÃOUm conjunto A está incluso em outro conjunto B, se e somente se, todo elemento de A for também elemento de B.
NOTAÇÃO : A BSe lê : A está incluso em B, A é subconjunto de B, A está contido em B , A é parte de B.
REPRESENTAÇÃO GRÁFICA :
B A
![Page 16: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/16.jpg)
PROPRIEDADES:
I) Todo conjunto está incluido em si mesmo.
A A
II) O conjunto vazio se considera incluido em qualquer conjunto. A
III) A está incluido em B ( ) equivale a dizer que B contém A ( )
A BB A
IV) Se A não está incluido em B ou A não é subconjunto de B significa que pelo menos um elemento de A não pertence a B. ( )A B
V) Simbolicamente: A B x A x B
![Page 17: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/17.jpg)
CONJUNTOS COMPARÁVEISUm conjunto A é COMPARÁVEL com outro conjunto B se entre esses conjuntos existe uma relação de inclusão.
A é comparável com B se A U B = B U A
Exemplo: A = { 1; 2; 3; 4; 5 } e B = { 2; 4 }
1
23
4
5A
B
Observe que B está incluso em A, portanto, A e B são COMPARÁVEIS
![Page 18: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/18.jpg)
IGUALDADE DE CONJUNTOS
Dos conjuntos são iguais se têm os mesmos elementos.
Exemplo:
A = { x / x2 = 9 } y B = { x / (x – 3)(x + 3) =0 }
Resolvendo a equacão de cada conjunto se obtém em ambos os casos que x é igual a 3 ou -3, ou seja: A = {-3; 3} y B = {-3; 3}, portanto A = B
Simbolicamente : A B (A B) (B A)
![Page 19: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/19.jpg)
CONJUNTOS DISJUNTOSDois conjuntos são disjuntos quando não têm elementos comuns.
REPRESENTACÃO GRÁFICA :
A B
1
7
5 3
9
2
4
8
6
Como podemos observar os conjuntos A e B não têm elementos comuns, portanto são CONJUNTOS DISJUNTOS
![Page 20: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/20.jpg)
CONJUNTO DE CONJUNTOSÉ um conjunto cujos elementos são conjuntos.
Exemplo:
F = { {a}; {b}; {a; b}; {a; b; c} }
Observe que os elementos do conjunto F também são conjuntos.
{a} é um elemento do conjunto F então {a} F
É correto dizer que {b} F ? NÃO
Porque {b} é um elemento do conjunto F, o correto é {b} F
![Page 21: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/21.jpg)
CONJUNTO POTÊNCIAO conjunto potência de um conjunto A denotado por P(A) ou Pot(A) é o conjunto formado por todos os subconjuntos de A.
Exemplo: Seja A = { m; n; p }
Os subconjuntos de A são:
{m}, {n}, {p}, {m;n}, {n;p},{m;p}, {m;n;p}, Φ
Então o conjunto potência de A é:
P(A) = { {m}; {n}; {p}; {m; n}; {m; p}; {n; p}; {m; n; p}; Φ }
QUANTOS ELEMENTOS TEM O CONJUNTO POTÊNCIA DE A ?
![Page 22: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/22.jpg)
Observe que o conjunto A tem 3 elementos e seu conjunto potência ou seja P(A) tem 8 elementos.
PROPRIEDADE:
Dado um conjunto A cujo número de elementos é n, então o número de elementos de seu conjunto potência é 2n.Exemplo:
Dado o conjunto B ={ x / x é um número par e5 < x < 15 }. Determinar o cardinal de P(B).
RESPOSTA
Se 5 < x < 15 e é um número par então
B = { 6; 8; 10; 12; 14 }
Observe que o conjunto B tem 5 elementos então:
Card P(B) = 2n
P(B) = 25 = 32
ÍNDICE
![Page 23: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/23.jpg)
Números Naturais (N) N = {1; 2; 3; 4; 5; ....}
Números Inteiros (Z) Z = {...; -2; -1; 0; 1; 2;....}
Números Racionais (Q) Q = {...; -2; -1; ; 0; ; ; 1; ; 2; ....}
Números Irracionais ( I ) I = {...; ;....}2; 3;
Números Reais ( R )
R = {...; -2; -1; 0; 1; ; 2; 3; ....}2; 3
12
15
12
43
Números Complexos ( C )
C = {...; -2; ; 0; 1; ; 2 + 3i; 3; ....}2; 312
![Page 24: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/24.jpg)
N
ZQ
I
RC
![Page 25: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/25.jpg)
EXEMPLOS:
Expressar por extensão os seguintes conjuntos:
A ) 2P x N /x 9 0
B )
C )
D ) T x Q /(3x 4)(x 2) 0
E ) B x I /(3x 4)(x 2) 0
2Q x Z /x 9 0 2F x R /x 9 0
P={3}
Q={-3;3}
F = { }
4T
3
B 2
RESPOSTAS
INDICE
![Page 26: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/26.jpg)
76
556
A B
O conjunto “A unão B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertenecem a A, a B ou a ambos os conjuntos.
A B
A B x /x A x B
Exemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
A B 1;2;3;4;5;6;7;8;9
![Page 27: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/27.jpg)
REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA UNÃO DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis
Se A e B são conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
B
AUB AUB
![Page 28: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/28.jpg)
PROPRIEDADES DA UNIÃO DE CONJUNTOS
1. A U A = A
2. A U B = B U A
3. A U Φ = A
4. A U U = U
5. (AUB)UC = AU(BUC)
6. Se A U B = Φ A = Φ e B = Φ
ÍNDICE
![Page 29: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/29.jpg)
76
556
A B
O conjunto “A intersecção B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e pertencem a B.
A B
A B x /x A x B
Exemplo:
A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
A B 5;6;7
![Page 30: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/30.jpg)
REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis
Se A e B são conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
A B A B = B
B
A B = Φ
![Page 31: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/31.jpg)
PROPRIEDADES DA INTERSECÇÃO DE CONJUNTOS
1. A A = A
2. A B = B A
3. A Φ = Φ
4. A U = A
5. (A B) C =A (B C)
6. A U (B C) =(A U B) (A U C)
A (B U C) =(A B) U (A C)
ÍNDICE
![Page 32: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/32.jpg)
76
556
A B
O conjunto “A menos B” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B.
A B
A B x /x A x B
Exemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
A B 1;2;3;4
![Page 33: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/33.jpg)
76
556
A B
O conjunto “B menos A” que se representa é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a B e não pertencem a A.
B A
B A x /x B x A
Exemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
B A 8;9
![Page 34: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/34.jpg)
REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DA DIFERENÇA DE CONJUNTOS
Se A e B são não comparáveis Se A e B são comparáveis
Se A e B são conjuntos disjuntos
U
U
U
A
A
A B
B
A - B A - B
B
A – B = A
ÍNDICE
![Page 35: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/35.jpg)
76
556
A B
O conjunto “A diferença simétrica B ” que se representa é el conjunto formado por todos os elementos que pertencem a (A - B) ou (B - A).A B
A B x /x (A B) x (B A)
Exemplo: A 1;2;3;4;5;6;7 yB 5;6;7;8;9
9
87
3
1
4
2
A B 1;2;3;4 8;9
![Page 36: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/36.jpg)
Também é correto afirmar que:
A B (A B) (B A)
A B (A B) (A B)
A BA - B B - A
A B
![Page 37: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/37.jpg)
Dado um conjunto universo U e um conjunto A, se chama complemento de A ao conjunto formado por todos os elementos do universo que não pertencem ao conjunto A.Notacão: A’ ou AC
Exemplo:
U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} A = {1; 3; 5; 7; 9}e
Simbolicamente: A ' x /x U x A
A’ = U - A
![Page 38: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/38.jpg)
12 3
45
6
78
9
U AA
A’ = {2; 4; 6; 8}
PROPRIEDADES DO COMPLEMENTO
1. (A’)’ = A
2. A U A’ = U
3. A A’ = Φ
4. U’ = Φ
5. Φ’ = U
ÍNDICE
![Page 39: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/39.jpg)
PROBLEMA 1PROBLEMA 2PROBLEMA 3PROBLEMA 4PROBLEMA 5FIM
![Page 40: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/40.jpg)
Dados os conjuntos: A = { 1; 4; 7; 10; ... ; 34} B = { 2; 4; 6; ...; 26} C = { 3; 7; 11; 15; ...; 31}a) Expressar B e C por entendimentob) Calcular: n(B) + n(A)c) Achar: A B , C – A
SOLUÇÃO
![Page 41: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/41.jpg)
Os elementos de A são:Primeiro analisemos cada conjunto
1 3x1
tt4tt1 3x2
tt7tt1 3x3
tt tt101 3x11
tt3 tt4
1 3x0
tt1tt
...
A = { 1+3n / nZ / 0 n 11}
Os elementos de B são:
2x2
tt4tt2x3
tt6tt 2x4
tt8tt 2x13
tt tt262x1
tt2tt ...
B = { 2n / nZ / 1 n 13} n(B) = 13
n(A) = 12
![Page 42: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/42.jpg)
Os elementos de C são:
3 4x1
tt7tt3 4x2
tt tt113 4x3
tt tt153 4x7
tt tt31
3 4x0
tt3tt
...
C = { 3 + 4n / nZ / 0 n 7 }
a) Expressar B e C por entendimentoB = { 2n / nZ / 1 n 18}
C = { 3+4n / nZ / 0 n 7 }
b) Calcular: n(B) + n(A)
n(C) = 8
n(B) + n(A) = 13 +12 = 25
![Page 43: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/43.jpg)
A = {1;4;7;10;13;16;19;22;25;28;31;34} B = {2;4;6;8;10;12;14;16;18;20;22;24;26}C = {3;7;11;15;19;23;27;31}
c) Achar: A B , C – A
A B = { 4; 10; 16; 22 }
C – A = { 3; 11; 15; 23; 27 }
Sabemos que A B é formado pelos elementos comuns de A e B, então:
Sabemos que C - A é formado pelos elementos de C que não pertencem a A, então:
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Se : G = { 1; {3}; 5; {7;10}; 11 }Determinar se é verdadeiro ou falso:a) Φ Gb) {3} Gc) {{7}; 10} Gd) {{3}; 1} Ge) {1; 5; 11} G
SOLUÇÃO
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Observe que os elementos de A são:
1 ; {3} ; 5 ; {7;10} ; 11
es VERDADERO
Então:
é VERDADEIRO porque Φ estáincluso em todos os conjuntos
é VERDADEIRO porque {3}é um elemento de G
é FALSO porque {{7};10} não é elemento de G
é FALSO
a) Φ G ....
b) {3} G ...
c) {{7}; 10} G ...
d) {{3}; 1} G ...
e) {1; 5; 11} G ...
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Dados os conjuntos:P = { xZ / 2x2 + 5x – 3 = 0 }M = { x/4N / -4 < x < 21 } T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 }a) Calcular: M - ( T – P )b) Calcular: Pot(M – T )c) Calcular: (M U T) – P
SOLUÇÃO
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P = { xZ / 2x2 + 5x – 3 = 0 }
Analisemos cada conjunto:
2x2 + 5x – 3 = 02x – 1
+ 3x(2x-1)(x+3)=0
2x - 1 = 0 x = 1/2x + 3 = 0 x = -3
Observe que xZ , então: P = { -3 }
M = { x/4N / -4 < x < 21 }Como x/4 N então os valores de x são: 4; 8; 12; 16; 20 porém os elementos de M se obtêm dividindo x entre 4, portanto :
M = {1; 2; 3; 4; 5 }
![Page 48: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/48.jpg)
T = { xR / (x2 - 9)(x - 4) = 0 }
Igualamos cada fator a zero e calculamos os valores de x
x – 4 = 0 x = 4x2 – 9 = 0 x2 = 9 x = 3 ou x = -3
Portanto: T = { -3; 3; 4 }
a) Calcular: M - ( T – P )
T – P = { -3; 3; 4 } - { -3 } T – P = {3; 4 }
M - (T – P)= {1; 2 ;3 ;4 ;5 } - {3; 4 }
M - (T – P)= {1; 2; 5 }
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b) Calcular: Pot( M – T )
M – T = {1; 2; 3; 4; 5 } - { -3; 3; 4 } M – T = {1; 2; 5 }
Pot( M – T ) = { {1}; {2}; {5};
{1;2};{1;5};{1;2;5};
{2;5};Φ }
c) Calcular: (M U T) – P
M U T = {1; 2; 3; 4; 5 } U { -3; 3; 4 } M U T = { -3; 1 ; 2 ; 3; 4; 5 }
(M U T) – P = { -3; 1; 2; 3; 4; 5 } - { -3 }
(M U T) – P = {1; 2; 3; 4; 5 }
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Expressar a região sombreada em termos de operações entre os conjuntos A, B e C.
A B
C
A
B
C
SOLUÇÃO
![Page 51: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/51.jpg)
A B
C
A B
CA
B
C
AB
C
[(AB) – C]
[(BC) – A]
[(AC) – B]
U U
![Page 52: Ensino Superior](https://reader036.fdocumentos.com/reader036/viewer/2022062516/56812c25550346895d909130/html5/thumbnails/52.jpg)
A B
A
B
C
Observe como se obtém a região sombreada
Toda a zona de amarelo é AUBA zona de verde é AB
Então, restando se obtém a zona que se vê na figura: (AUB) - (AB)
C
Finalmente, lhe agregamos C e se obtém:
[ (AUB) - (AB) ] U C ( A B ) U C=
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Segundo as preferências de 420 pessoas que assistem os canais A, B ou C se observa que 180 assistem o canal A, e 240 assistem o canal B e 150 não assistem o canal C, os que assistem pelo menos 2 canais são 230. Quantos assistem os três canais?
SOLUÇÃO
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O universo é: 420
Assistem A: 180 Assistem B: 240Não assistem C: 150Então, se assistem o canal C: 420 – 150 = 270
A B
C
a
d
(I) a + e + d + x = 180
be
xf
(II) b + e + f + x = 240
c
(III) d + c + f + x = 270
Fato: Assistem por lo menos dos canales 230, entonces:
(IV) d + e + f + x = 230
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(I) a + e + d + x = 180 (II) b + e + f + x = 240(III) d + c + f + x = 270
Somamos as equações (I), (II) e (III)
Sabemos que: a + b + c + d + e + f + x = 420230
então: a + b + c = 190
a + b + c + 2(d + e + f + x) + x = 690190 230
190 + 560 + x =690 x = 40
Isto significa que 40 pessoas assistem os tres canais
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