Ensino Superior

8. Integrais DuplasMomentos e Centro de Gravidade

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 3

Momentos de primeira ordem ou Momentos Estáticos

As integrais pertinentes ao cálculo das coordenadas do Centróide recebem o nome de Momentos de Primeira Ordem em relação aos eixos y e x, respectivamente, cuja notação é expressa por:

 

 

Cabe ressaltar que tais integrais podem ser entendidas, por analogia aos momentos dos pesos, como momentos das áreas em relação aos eixos coordenados, motivo pelo qual são denominadas Momentos Estáticos.

mx my

mx

my

mx

my

mx my

mx my

mx

my

mx

my

mx

my

Aplicações

Baricentros e centróides

Superfície de espessura constante

Peso total P, dividida em n elementos , de pesos individuais ΔPO peso total P da superfície, conforme se sabe, é dado por:

sendo que, no limite:

1 2 ... nP P P P

P dP

Baricentros e centróides

Para determinar as coordenadas do ponto de aplicação da resultante P, denominado Baricentro ou Centro de Gravidade da superfície, basta escrever somatórios de momentos dos pesos em relação aos eixos , ou sejam:

Levando tais expressões ao limite, tem-se:

Analogamente às considerações feitas para o Peso P, tem-se:  onde as coordenadas , denominadas Centróide ou Centro Geométrico da superfície A, neste caso particular, coincidemcom as do Baricentro.

1 1 2 2

1 1 2 2

...

...c n n

c n n

Px x P x P x P

Py y P y P y P

c cP x xdP P y ydP

c c

xdA ydAA dA x y

A A

Momento e Centro de Gravidade de Áreas Planas

Exercícios

1) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da

Região limitada no 1º Quadrante por y = x 3 e y = 4x.

Resposta:

Exercícios

2) Determinar as coordenadas do centro de gravidade da

Região limitada no 1º Quadrante por y 2 = x, x + y = 2

e y = 0.

Resposta:

Momentos de segunda ordem ou Momentos de Inércia

De modo análogo aos Momentos de Primeira Ordem, cujas

expressões contêm funções x e y, as integrais do tipo abaixo são denominadas Momentos de Segunda Ordem ou Momentos

Inércia em relação aos eixos x e y respectivamente, em notação dada por:

2 2 x yI dA I dAy x

FÓRMULA PARA CÁLCULO DE INTEGRAL DUPLA

2

1

y x

y x

0x 1x

1 2

0 1

( )

( )

, ,x x

A x x

f x y dA f x y dy dx

Nestas integrais, a exemplo do cálculo de áreas, nota-se que é um problema de integração dupla. Para calculá-las, basta ter em conta a definição de integral dupla de uma função qualquer no domínio A localizado entre duas curvas, conforme mostra a figura seguinte:

Momentos de segunda ordem ou Momentos de Inércia

Efetuando-se o cálculo do momento de inércia de um retângulo em relação à sua base, localizada no eixo x, conforme mostra a figura:

 

onde

 

  

Para calcular, basta ter em conta a definição de integral dupla de uma função qualquer no domínio A localizado entre duas curvas.

De maneira análoga, para o eixo y:

b

h

x

y

21 20 ,x x h f x y y

32

0 0 3

b h

x

bhI y dy dx

3

3y

b hI

Cálculo dos Momentos de Inércia

Fazemos o cálculo dos momentos de inércia mediante a integral:

dmrmrI iimi

22

0lim

Para um objeto tridimensional é conveniente utilizar a densidade do volume:

dV

dm

V

mV

0

lim

Então: dVrI 2

Teorema dos Eixos Paralelos

O teorema dos eixos paralelos estabelece que o momento de inércia ao redor de qualquer eixo que é paralelo e que se encontra a uma distância D do eixo que passa pelo centro de massa é

I = ICM + MD2

Exemplos de Momento de Inércia

Aro ou casca cilíndrica 2MRICM

Cilindro sólido ou disco 2

21 MRICM

Cilindro oco 2

22

121 RRMICM

Placa retangular

22121 baMICM

Longa Haste fina com eixo de rotação que passa pelo centro. 2

121 MLICM

Esfera sólida

252 MRICM

Esfera oca2

32 MRICM

231 MLI

Longa haste fina com o eixo de rotação que passa pelo fim

Cálculo dos Momento de Inércia

Exercício 1

Determinar os momentos de inércia Ix ; Iy e I0 da região

limitada pelas curvas y 2 = 4x; x = 4 e y = 0, no 1º Quadrante.

Resposta: 107,28

Exercício 2

Determinar os momentos de inércia Ix ; Iy e I0 da região limitada

pelas curvas y 2 = 4x; x + y = 3 e y = 0, no 1º Quadrante.

Resposta: 8,97