Entropia Topológica e Aplicações à Teoria de Nós · à Régia e Pedro Henrique, que jamais os...

Entropia Topológica e

Aplicações à Teoria de Nós

Maria Alice Bertolim 1

Orientador: Prof. Dr. Oziride Manzoli Neto

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Compu-

tação da Universidade de São Paulo, como parte dos requisitos para obtenção do

título de "Mestre em Ciências - Área de Matemática".

USP - São Carlos

Janeiro - 1999

lEste trabalho teve suporte financeiro do CNPq

"Para tudo há um tempo, para cada coisa há um momento debaixo dos céus..." Ecle. 84

À minha grande família

Agradecimentos

Agradecer é uma tarefa difícil... É chegado o momento de lembrar das pessoas que de alguma forma contribuíram para que eu tivesse condições de chegar até aqui.

São muitas as pessoas que compartilharam esses momentos, mas agradeço em especial:

Ao Dide (Prof. Dr. Oziride Manzoli Neto) pela orientação, dedicação, incen-tivo, paciência, compreensão, e acima de tudo pela amizade, uma pessoa que sem dúvida mais que um orientador foi um grande amigo durante esse período.

Aos meus pais, Casemiro e Santina, meus irmãos Edson e Wilson, minhas cunhadas Shirlei e Mirian, minha avó Maria, enfim, à toda a minha família que mesmo distantes demonstraram seu apoio, carinho e compreenderam a minha ausência. Amo vocês!

Aos professores e funcionários da E.E.P.S.G."Ferdinando Ienny" de Ouro Verde onde iniciei os meus estudos.

Ao pessoal do Centro Cultural de Ouro Verde, com quem trabalhei por muitos anos.

Aos professores e funcionários da UNESP de Presidente Prudente pelo incen-tivo para que eu continuasse os estudos e aos amigos que lá encontrei, em especial à Régia e Pedro Henrique, que jamais os esquecerei.

Aos professores do ICMC-USP, em especial à Ires, Washington, Maria Apare-cida, Plácido, A. Conde, Biasi e Maria do Carmo, com os quais muito aprendi, e aos funcionários deste mesmo Instituto, em especial à Beth, Laura e Manta, pela atenção.

À Priscila pelos ensinamentos de Inglês. Agradeço do fundo do coração à minha "segunda famflia": Luciana, Fernan-

do e Vera, e aos amigos: Eliane, Márcio, José, Ana Cláudia, Alexandra, Regi-iene, Marcão, Aninha, José Hilário, Luis, Claudemir, Cláudia, Marcelo Polezzi, Rogério, Daniela, Kátia, Marta, Pedro, Victor, Monica, Miguel, Daniela Rebo-lho, Andréa, ... pelo convívio e amizade mesmo nos momentos em que conviver comigo foi tarefa difícil.

Aos pequenos: Gabriela, Felipe, Alessa e Mayna que sempre sorriram pra mim e tornaram esses dias mais bonitos.

Às pessoas que direta ou indiretamente colaboraram com esse trabalho. Agradeço enfim a Deus por estar presente a cada dia e por todas as oportu-

nidades.

Resumo

Nesta dissertação apresentamos com bastante detalhes e exemplos a noção de

entropia topológica e razão de crescimento exponencial, bem como relações entre

estes conceitos.

Baseados nestas noções é definida a entropia de um nó e apresentadas algumas

propriedades deste invariante.

Abstract

In this work we present the notion of topological entropy and the exponential

growth rate as well as the relations between these concepts with many details

and examples.

Based on these notions the entropy of a knot is defined and some properties

of this invariant are presented.

Sumário

Introdução 1

1 Preliminares 3

2 Entropia Topológica 12

2.1 Definições e Propriedades Gerais 12

2.2 Teoremas Gerais 21

2.3 Cálculo de entropia em espaços métricos 29

3 Entropia em Espaços Métricos e Razão de Crescimento Expo-

nencial 42

3.1 Entropia em Espaços Métricos 42

3.2 Razão de Crescimento Exponencial 48

4 Entropia de Nós 53

Referências Bibliográficas 67

Introdução

A possibilidade de um estudo matemático de nós provavelmente foi primeiro reconhecida por K. F. Gauss. Suas investigações de eletrodinâmica (1833) jun-tamente com uma formulação analítica do número de enlaçamentos, foram ferra-mentas básicas para a teoria de nós e outros ramos da topologia.

A primeira tentativa da classificação de nós foi feita por um grupo inglês cerca de 50 anos mais tarde. O desenvolvimento de nós e enlaçamentos teve que esperar pelo desenvolvimento da topologia e topologia algébrica, iniciado por H. Poincaré por perto da virada do século. Por sua vez, a teoria de nós proporciona considerável estímulo para o desenvolvimento de muitas idéias importantes na topologia algébrica, teoria de grupos e outros campos.

Recentemente, a teoria de nós tem atraído interesses renovados devido ao grande progresso da teoria em dimensões altas, bem como novas aplicações.

O estudo de nós baseia-se fortemente na obtenção de invariantes. O objetivo principal deste trabalho é o estudo detalhado de um invariante de

nó, hK , chamado entropia do nó. No capítulo 1 daremos definições básicas e alguns resultados necessários para

o desenvolvimento do trabalho. A principal referencia deste capítulo é o livro "Knots and Links" de D. Rolfsen.

No capítulo 2 introduziremos a noção de entropia como um invariante para funções contínuas. Consideraremos espaços topológicos compactos e todas as definições, propriedades e teoremas, serão feitos em função de coberturas. No final do capítulo daremos exemplos do cálculo de entropia em espaços métricos,

1

utilizando a definição dada por meio de coberturas. A referência básica deste capítulo é o artigo "Topological Entropy" de R. L. Adler, A. G. Konheim and M. H. McAndrew.

No capítulo 3 definiremos entropia topológica por meio de medidas, para con-juntos bem distribuídos e separados. Estudaremos também quando a definição dada no capítulo anterior coincide com a atual definição e daremos alguns exem-plos do cálculo de entropia a fim de que haja um maior entendimento de suas pro-priedades. Também será definida a razão de crescimento exponencial (EGR(a)) de um endomorfismo a de um grupo, preparando para uma análise de como EGR pode estimar a entropia de um nó (hK ) que será feita no capítulo 4. Este capítulo tem como referência básica o artigo "Knot invariants from topological Entropy" de Daniel S. Silver.

No capítulo 4 definiremos a entropia de um nó (hK ). Relacionaremos EGR com hK , apresentando dois teoremas que não serão demonstrados por envolverem resultados fortes de homeomorfismo pseudo-Anosov. Apresentaremos também uma forma de definir entropia para nós não fibrados. A partir do conceito de nós satélites definimos um sistema reduzido de nó. Assumiremos mais alguns re-sultados de homeomorfismo pseudo-Anosov para demonstrar o Teorema 4.0.3. A referência básica também foi o artigo "Knot invariants from topological Entropy" de Daniel S. Silver.

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Capítulo 1

Preliminares

Este capítulo contém notações básicas, definições e alguns resultados básicos necessários nos capítulos posteriores e que serão apresentados sem demonstração. Todas as variedades consideradas serão diferenciáveis (C") ou terão estrutura

"Piecewise Linear" (PL).

Definição 1.0.1. Seja X um espaço topológico cuja hornologia é zero a partir de um certo no E N. A característica de Euler x(X) é definida por

no

x(x)=E(---i)frankHi(x)), i=0

onde H(X) é o i-ésimo grupo de homologia de X.

Proposição 1.0.1. (Teorema da Classificação de Superfícies Orientadas) [20J Toda superfície conexa, orientada, compacta e sem bordo é horneomorfa à esfera ou à soma conexa de toros (51 x 51 ) (número finito). Duas superfícies compactas, conexas, orientadas e com bordo serão homeomorfas se o número de

componentes de bordo forem o mesmo e suas superfícies sem bordo associadas forem horneomorfas.

3

Definição 1.0.2. O número de toros (51 x Sl) como na Proposição 1.0.1 é

chamado genus da superfície.

Observação 1.0.1. A tabela abaixo mostra as superfícies, seus genus e carac-

terísticas de Euler.

O C-) o • • ••

superfície S2 T2 T2 liT2 ... T. ..T2

gentis O 1 2 ••• O

X 2 O -2 ... 2-2g

Definição 1.0.3. Um toro sólido V é um espaço homeomorfo a SI x D2. Um

homeomorfismo fixado f : x D2 V é chamado um framing de V.

Proposição 1.0.2. 1201 Seja V um toro sólido com bordo av e J uma curva

fechada simples essencial (não homotopicamente trivial) em av. Então são equi-

valentes as condições:

(a) J é homologicamente trivial em V (V=toro sólido),

(b) J é homotopicamente trivial em V

(c) J borda um disco D em V,

(d) para algum framing f : S1 x D2 V, J = f({1} x 81)2).

Definição 1.0.4. Uma curva simples fechada em av satisfazendo as condições

da Proposição 1.0.2 é chamada um meridiano de V. Uma longitude de V é

qualquer curva fechada simples em av da forma f (Si x {1}), para algum framing

f de V.

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Definição 1.0.5. Um nó em um espaço topológico X é um subespaço K C

X homeornorfo a alguma esfera SP. Um enlaçamento é um subespaço de X

hom,eornorfo à urna reunião disjunta (finita) de esferas 41 u... u S.

Dois nós ou enlaçamentos K1 e 1<2 em X são equivalentes se existe um

homeomorfismo f : X X tal que f(K) = 1<2; neste caso usaremos a no-

tação (X, Kl ) 1 -=-1- (X, 1<2 ). Outras definições de equivalência também aparecem

na literatura, por exemplo: Se fi : —› X e f2 : —+ X são mergulhos de

Sk que definem Kl e 1<2, podemos definir que fi e f2 são equivalentes se forem

isotópicos. No caso de enlaçamentos de duas ou mais componentes podemos de-

terminar uma ordem fixa fias componentes e exigir que f respeite esta ordem.

A classe de equivalência de um nó ou enlaçamento é chamada seu tipo de nó ou

tipo de enlaçamento. (Na maioria das vezes tomaremos X = R" ou X = 5"). Muitas vezes olhamos para o nó como sendo K c X, outras vezes olhamos para

o mergulho f :5k —+ X que o define.

Podemos considerar 93 como Sl*S1 (join). Os pontos da forma (x, y, cons-

tituem um toro T( 54 x SI) em 53. Dados p e g primos entre si, consideremos

o mergulho Tp,q : S1 51 * da forma Tp,q (0) = (pl gO ,

Definição 1.0.6. Tpa (ou sua imagem) em 53 é chamado nó toral (pois está contido no toro padrão T) do tipo (p, q).

Observe que se fixarmos os geradores padrões de T o nó 71 p dá p voltas na

direção longitudinal e g voltas na direção do meridiano ("dependendo da situação

do observador"). Por exemplo o nó trefoil é do tipo (2,3).

É fácil calcular o grupo destes nós usando-se a decomposição do seu comple-

mentar subjacente a decomposição de 53 pelo toro padrão acima e o teorema de

Van Kampen. Obtemos Gps = lx, y :9 = yqi, o grupo do nó T„,q .

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Proposição 1.0.3. /20.1 Dado um nó K" C S7H-2 existe uma variedade compacta,

conexa e orientável M"1 C 5'1-2 tal que am"-E, = K.

Definição 1.0.7. Qualquer variedade da forma acima é chamada Variedade de Seifert para o nó K.

Veja exemplo abaixo: (a) Para o nó trefoil abaixo a superfície desenhada (Faixa de Maius) não é

uma superfície de Seifert para o trefoil, pois não é orientável.

(b) O nó abaixo é o trefoil e a superfície que o borda (constituída por dois discos /4 e /4 colados por 3 retângulos torcidos) é orientável, e portanto é uma superfície de Seifert para o trefoil.

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Definição 1.0.8. O genus de um nó ou enlaçamento Kl em R3 ou 53 é o

menor genus de todas as superfícies Seifert do nó. Escreva g(K i ) para este valor.

Genus é um invariante do nó.

Observação 1.0.2. O genus de urna superfície com bordo é o genus de sua su-

perfície associada (isto é, a superfície fechada obtida colando-se um disco em cada componente de bordo).

Teorema 1.0.1. (Teorema do Toro Sólido) [20] Todo toro (Si x Si) mergu-lhado em 53, divide este espaço em duas componentes conexos e o fecho de pelo menos uma delas é um tom sólido (51 x 132 ).

Definição 1.0.9. (Espaços Lenticulares) Sejam dois toros sólidos V1 e V2 e um hotneotnorfistrto f: 8172 813.. A colagem VI Uh 14 = M3 é urna variedade compacta, conexa, orientóvel sem bordo de dimensão 3, que é chamada Espaço Lenticular.

Observação 1.0.3. Fixando-se longitude e meridiano padrões h e m1 para 813., e l2 e m2 para 8172, podemos escrever f. (m) = ph+ qmi onde p e q são inteiros coprimos. O espaço lenticular obtido é denotado L(p,q).

Em outras palavras, uma 3-variedade é um espaço lenticular se e somente se

contém um toro sólido cujo fecho do complemento é também um toro sólido.

Alguns escritores não consideram 53 e 2 x 51 como espaços lenticulares.

Definição 1.0.10. Seja Mm urna subvariedade de dimensão m de urna variedade N" de dimensão n. Então existe urna vizinhança de Mr" em IV' que localmente

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é da forma U x Dn-n. onde U é aberto de Mm. Esta vizinhança é chamadr

vizinhança tubular de Mm em Nn.

Quando o fibrado normal de M'n em Nn é trivial, então podemos obter uma vizinhança da forma Ar x Dn-m.

Observação 1.0.4. Nem sempre a vizinhança tubular de uma subvariedade M C N é trivial, isto é, nem sempre é da forma M x Dk. Por exemplo na faixa de

àbius, se tomarmos uma vizinhança tubular do círculo central da faixa, obtemos uma outra faixa de Màbius, ao passo que se tomarmos um círculo (hornotópico à constante) na faixa de Màbius, obteremos um cilindro.

Seja M uma variedade com bordo am( o). am é subvariedade, porem não possui vizinhança tubular, contudo possui urna "meia vizinhança tubular" chamada usualmente de colarinho.

Definição 1.0.11. Dada uma variedade M com bordo am um mergulho f : amx [O, co) —> M tal que f (x,O) = x é chamado um colarinho de am em M.

Proposição 1.0.4. (Teorema do Colarinho) [IV Para toda variedade M com bordo am existe um colarinho, e dois colarinhos são isotópicos.

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Definição 1.0.12. Seja M3 uma variedade de dimensão 3 e seja V um toro

sólido em M3, isto é, V é a vizinhança tubular de um nó em M3. Removendo

o toro de M3 e colando-o novamente por um homeomorfismo no bordo, obtemos

uma outra variedade N3. (Dependendo do homeomorfismo pode-se obter a mesma

M3 ). Esta operação é chamada de Dehn twist.

Definição 1.0.13. (Homeomorfismo Pseudo-Anosov) Assuma que f : S —r

S seja um certo homeomorfismo, que preserva orientação, de uma superfície orientada, compacta e conexa. O homeomorfismo f é redutível se f (C) = para alguma união não vazia C de curvas fechadas simples disjuntas essenciais tal que duas curvas não são homotópicas e nenhuma curva é homotópica a uma componente de bordo de S. Chamamos C uma 1-variedade redutora para f. Após

uma isotopia podemos assumir que f fixa uma vizinhança N(C) de C consistindo de anéis fechados disjuntos. Cada componente Si de S-intN(C) é invariante em relação à uma iteração mínima fk . Chamamos ri s; : si uma componente de f, e denotamos por b. Se f não é redutível, então olhamos b(= f) :8 —r S como a única componente. Um homeomorfismo f :5 —r 5 de uma superfície S compacta, conexa e orientável com característica de Euler negativa e possivel-mente com bordo é pseudo-Anosov se existe um par transverso de folheações f-invariantes mensuráveis tendo um numero finito de singularidades (com restri-

ções a tipo de singularidades no interior de 5) tal que f expande unifomemente as folhas de uma folheação pelo fator A e a outra folheação pelo fator )r-1. O fator está bem definido, e é chamado a dilatação de f.

Proposição 1.0.5. [231 Seja f :5 —r 8 um homeomorfismo que preserva ori-entação de uma superfície compacta, conexa e orientada com característica de Euler negativa e possivelmente com bordo. Após uma isotopia conveniente de f, uma das seguintes condições ocorre:

(i) f é periódica;

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(ii) f é pseudo-Anosov; f é redutível, e cada componente de f é periódica ou pseudo-Anosov.

Além disso, sobre cada componente de N(C) uma última iteração de f que deixa

componente invariante é um Dehn twist.

Observação 1.0.5. Se a 1-variedade redutora C na Proposição anterior (iii)

é mínima no sentido que ela não contém subvariedades próprias satisfazendo a conclusão da Proposição, então C é única a menos de isotopia.

Definição 1.0.14. Seja M uma 3-variedade e F uma superfície que está propria-

mente mergulhada em M ou contida em ani. Ditemos que F é incompressível

em M se nenhuma das seguintes condições ocorre: (i) F é uma 2-esfera que borda uma 3-célula homotópica em M, ou

F é uma 2-célula e, ou F C áM ou existe uma 3-célula homotópica X c M com ax c F U am, ou

(iii) existe uma 2-célula D C M com D n F = aD e com ar) não contraível

em F.

Definição 1.0.15. Um sistema dinâmico (clássico) é um par E = (X, ç), onde X é um espaço não vazio, compacto e Hausdorff, e o- : X —> X é uma aplicação contínua. E é um sistema inversível se o- é inversível.

Definição 1.0.16. Um sistema dinâmico E = (X,o- ) é equicontínuo se a

coleção {o' : n E Z} de transformações de X é equicontínua.

Proposição 1.0.6. (Teorema de Tychonoff): Um produto arbitrário de es-paços compactos é compacto na topologia produto.

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Proposição 1.0.7. [9] Seja (an)„>1 e (bn)tt>1 duas sequências com a,„ b„> O e

k > O. Temos:

(i) lira sup log(an + b„) = max(lim sup log a„, um sup log b„); (ii) lira sup log kan = Um sup log an;

um sup log ar, G fim sup k log(al + + an) max(0, fim sup log a„).

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Capítulo 2

Entropia Topológica

O conteúdo deste capítulo teve como referência básica o artigo [].]. Foram detalha-

das algumas demonstrações e feitos alguns exemplos. A proposta deste capítulo

é introduzir a noção de entropia como um invariante para aplicações contínuas.

2.1 Definições e Propriedades Gerais

Seja X um espaço topológico compacto.

Definição 2.1.1. Para qualquer cobertura aberta ft de X, seja N(1L) o número

de conjuntos em uma subcobertura de cardinalidade mínima. Uma subcobertura

de uma cobertura é mínima se nenhuma outra contém menos membros. Como X

é compacto e ft é uma cobertura aberta, existe sempre uma subcobertura finita.

Chamamos H(1L) = log N(ft) a entropia de

Definição 2.1.2. Para quaisquer duas coberturas li, 9 3, a cobertura ft V 93 a•

{AnBIAEll,BE93} chama-se join de fte93.

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Definição 2.1.3. Uma cobertura 03 é dita um refinamento de uma cobertura Si, e denotamos 41-< 03, se todo membro de 03 é um subconjunto de algum membro de IL.

Temos as seguintes propriedades básicas.

Propriedade 2.1.1. A operação V é comutativa e associativa.

Demonstração: Comutativa: Sejam li, 03 duas coberturas de X. Temos que:

51V 03 -a: {An.131,4651,B 603} {EnAl.13603,AESI} 03 V Si Portanto, 51V 03 03 Vil.

Associativa: Sejam li, 03 , C coberturas de X. Temos que: (51V03)Vit{(AnB) I A ElleBE03}VCE {(AnB)nC I (AnB) E ilV03 e CEC} .a:{(ilf1B)11CIAESI,BE03eCEC}{Arl(Br1C)IAESI,BE03 eCEC}={An(BnC)1AESie(BnC)E03vit}51v(03vit).

Portanto, (5.1 V 03) V C Si V (03 V C).

Propriedade 2.1.2. A relação -< é uma ordem parcial reflexiva sobre a família de coberturas abertas de X.

Demonstração: Seja 03 uma cobertura aberta de X, temos que 03 -‹ 03 , logo vale a propriedade reflexiva.

Sejam agora 03, li, C coberturas abertas de X tal que Si -‹ 03 e C -‹ 51-<03 -\/Be 03 , 9AESIIBCA it-<51VAE11,9CECIACC.

Assim V B E 03 , 3C ECIBC C. Logo C -‹ 03. Portanto, a relação -‹ é uma ordem parcial reflexiva.

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Propriedade 2.1.3. ti -< ti', 93 -< 93' 11V 93 -< ti' V 93'.

Demonstração: Considere A' n 13' E fil V 93', onde A' E 11' e /3' E 93'. Por hipótese temos que ft -< li' e 93 -< 93', assim existe A E ti e B E 93 tal que A' C A, B' C B .

Assim AlflECAr1BondeAr1B EILV93. Portanto ft V 93 -< ft' V 93'.

Observação 2.1.1. Com as próprias substituições de li, 93 e a cobertura X no enunciado acima (Propriedade 2.1.3) obtemos 41 -< tiV93 e93-</iV93 que revela que a família de coberturas abertas é um conjunto ordenado com respeito à relaçsio -<.

11 -< 41 , 41 -< 11 -< .41V93. -< 93 -< /IV 93.

Propriedade 2.1.4. 11 -< 93 N(4.1) < N(93), Mit) .S H(93).

Demonstração: Seja {Bi, ...,BN(w )} uma subcobertura mínima de 93. Como ft -< 93, existe uma subcobertura {A1, AN(»)} de li, tal que

Bi C Ai, B2 C A2,

BAr(si) C AN(»). Logo UBi C UAi, i = 1, 2, ..., N(93)

e como UBi cobre X temos que UAi cobre X. Mas {A1, AN(»)} não necessariamente é mínima.

Portanto N(41) < N(93). Como log é função .crescente, logN(41) < log N(93) e assim temos que

H(4.1) S H(93). •

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Propriedade 2.1.5. ft -< 93 Mit V 93) = N(93) e H(ft V 93) = H(93).

Demonstração: Pela Propriedade 2.1.3, temos que 93 -< ft V 93 e assim pela Propriedade 2.1.4 temos que N(93) < N(ILV 93).

Por outro lado, por hipótese ft -< 93 e sabemos que 93 -< 93, assim fIV 93 -< B. Portanto, novamente, pela Propriedade 2.1.4, temos que N(II V 93) < N(93). Logo N(II V 93) = N(93). Como H(ft V 93) log N(II V 93) e H(93) = log N(93), temos

H(ft V 93) = H(93). •

Propriedade 2.1.6. Mit V 93) < N(ft).N(93) e H(ft V 93) < H(II) + H(93).

Demonstração: Sejam {A1 , ...,ANg} uma subcobertura de ft e {B1 , —,BN(93)}

uma subcobertura de B. Então {Ai n E.; i = = 1, ..., N(93)} é urna subcobertura de II V 93.

Consequentemente N(ft V 93) < N(11).N(93). Como log é função crescente temos que

log N(ft V 93) < log[N(ft).N(93)] = log N(11) + log N(93) log Mit V 93) < log N(II) + log N(93). Portanto, H(11 V 93) < H(/..0 + H(93).

Seja 92 : X X uma aplicação contínua. Seja ft urna cobertura aberta de X então da continuidade de cp, a família de cp-11.1 = {w-lA 1 A E .f.i} é novamente uma cobertura aberta.

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Propriedade 2.1.7. ft -{ 93 cp-111 -{ cp-193.

Demonstração: Temos que:

ço'it = {ço'AAEit},

c/9-193 = {cp-1B I B E 93}.

Seja cp-1B cp-193. Como II -{ 93 dado B E 93,3A E II tal que B c A

cp-1B C cp-1A, onde cp-1A E cp-111.

Portanto, cp-11.1-{ cp-193. e

Propriedade 2.1.8. cp-1(11V 93) = cp-111V cp-193.


ilv 9 3 {An B A Ell,B E 93},

cp-1(11V 93) = {cp-1(AnB), onde Anil 93} e

cp-11.1=- {cp-1A A Eil} e cp-193 = {cp-1B I B EB}.

Assim,

cp-111 V cp-193 = {w-lAn(p-1B I cp-1A e cp-111 e cp-1B e cp-193} = {w-1(AnB) I AnBeilV93}=w-1(11V93).

Portanto w-111 V cp-193 = w-1(ft V 93). e

Propriedade 2.1.9. N > N(cp-111).

Demonstração: Seja {A1,..., Atkro.0} uma subcobertura mínima de Il. Como

{cp-1211,..., cio-Uni)} é urna cobertura, possivelmente não mínima, temos

N(cp-111) 5_ N(11). e

Observação 2.1.2. Quando cp é sobrejetora então N(11) = N(cp-lil), pois neste caso a cobertura {cp-1211,...,cp-I AN(ji)} é mznima já que se fosse possível eli- minar um de seus elementos a sua imagem também poderia ser eliminada de

{Ai, Am0.01.

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Propriedade 2.1.10.

n-1

H ( V (rica) k=0 lim

11(1.1 V cp-la V ... V w1)1) — fim n-écso n-éco 7/

existe e é finito.

Demonstração: (to -m-n+110 H(1.1 V ... V H(Ll V ... V cp-m+1S1V cp-9.1 V cp-m-111 V ... V cp-m-n+15...0

= H(1.1 v ... v cp—m±la V cp—m(1.1 V cria V ... V cp—n1-1.1.1))

< H (li V ... V cp—rn+1.5.1) + H(cp—m(11V ...V cp—n+111))

< H (il V ... V cp-m+111) ± H (li V ... V cp-n+111).

A segunda igualdade segue da Propriedade 2.1.8; a próxima desig-ualdade da

Propriedade 2.1.6; e a desigualdade final da Propriedade 2.1.9.

Portanto, H(51V... V cp-m-n+1.11) < H(11 V ... V cp-m+11.1) H(S1V ... V cp-n+1.11).

Seja Hn = H(1.1 V ... V cp-n+1.4.4. Assim temos Hm +n < Hm ± Hn e Hn > O,

para todo inteiro positivo m, ri.

Basta mostrar que

um — n-Poo 72, existe e é finito.

Observemos que Hin,„ < k Hm pois, por hipótese sabemos que

< Hm + H, para qualquer m, n. Em particular quando ri = m. Assim,

H,n+,„ = H2,n < Hif, ± Hm = 2H,, H2m <

H2m+,, = H3,, < H2,n < 2H,, ± Hm = 3H,, H31„ < 3H,,,

H(c-i)m±m = H km 11(k-i)m± Hm < (k —1) Hm + Hm = k Hm = Hkit, < kHm.

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Fixe m > O. Para cada j > O seja j = km + n onde O < n <m.

Então

H,24.km. < H„ Hk„, < H„ kg-a H„ +

H, + + — — — •

j n -E km km km km km km m Portanto,

H • H H < n m j — km m

Temos que m está fixo e n varia entre O e m, e quando j ao temos k --è ao. Assim

li

m sup 11 ; um sup + —) rn, 771) = lim sup + — = • 771 Km k—.00 K 771

H. Hm H. Hm Portanto, hm sup < — e daí Hm sup < inf , pois se é menor ou

j—.00 3 igual que qualquer tin é menor ou igual ao inf.

Hm H • Por definição liminf Hn = sup inf Hk. Logo, inf — < Hm inf 4 já que do n k>n 77/ /—.00 3

lado esquerdo da desigualdade temos o inf e do lado direito o sup dos inf.

Assim temos que:

H • Hm H • H • lim sup < inf — < lim inf —Hi lim sup < lim inf 4.

j m j-too

Além disso, sabemos que lim inf< um sup =. Assim temos que 3 5,00 3

Hi H H H. lim inf — = lim sup —14. Portanto temos, lim inf = inf = lim sup j—too 3 j—k,o j—*c.o 3 771

H • Assim concluímos que lim existe e é igual a inf

18

Definição 2.1.4. A entropia h(ç,11) de uma aplicação ço com respeito a uma

cobertura Si é definida corno

H(S.1 V cp-lit V ... V cp-n+111) h(cp,11) = fim

n—too 71

Propriedade 2.1.11. h(cp,II) < H(g.


h(cp,if) = lim H(11 v yo-lítV ...V ço-n±lit) — lim log N(11V 111V ... V yo-n+111) n—too 12 11-00 71

1 < lim 1 — [log [N (11).N (w-141)...N(p'±141)]] S fi m — [log[N(41).N(41)...Ngli n—roo n n

1 lim — [log N(.51)1 1 = lim — [nlog N(11)] 12 n--.co 7/

= lim log N(41) = log N(SI) = H(11). n—.00 Portanto,

hep,11) H(SI).

Observemos que a primeira desigualdade segue da Propriedade 2.1.6 e a se-gunda desigualdade segue da Propriedade 2.1.9.

19

Propriedade 2.1.12. 11 -< 93 h(cp,11) < h(cp, 93).

Demonstração: Como por hipótese II -< 93 temos pela Propriedade 2.1.7 que cp- lít w-193. Assim pela Propriedade 2.1.3 temos que II') cp- lít 93 V cp-193.

Podemos também generalizar

41 V w-lit V ... V w-n+141 -‹ 93 V w-193 V... V iso-n+1,3.

Pela Propriedade 2.1.4, temos que:

H(li V cp-lítV ...V cp-n+111)< H(93 V w-193 V ... V w-n+193).

Logo

lim H(liV cp-111V ...V cp-n+1.£) < lim H(93 V w-193 V ... V w-11+193)

n —.o° n —.co

h(cp,11) 5_

Propriedade 2.1.13. Se cp é um homeomorfismo, então h(ç,41)=. h(',41).

Demonstração: Temos que: H(41 V ... V cp'444.1) , H(cpn-1(ítV ...V cp-"14.1))

= H(pn-14.1V ...V cp-" ld-rt-lit)

=- H(it V (sag V ... V yon-141) = H(41 V (w-1 )-141V ...V (cp-1)-11+141).

H(ÁV ...V cp-"141). HOÁV (cp-1)-141V ...V (w-1)-"141). Assim,

H(41 V ... V w-11+14,0 11(41V (cp-1 )-lítV ...V ()- cp-1 n+141)

lim — lira

n —.o° 71 -• 00

h(cp,11) = h(ço-1,41),

onde a primeira igualdade segue da Propriedade 2.1.9.

20

Definição 2.1.5. A entropia h(çp) de uma aplicação cp é definida como o sup h(yo,Lt), onde o supremo é tomado sobre toda cobertura aberta il.

Definição 2.1.6. Uma sequência {.5.1n 1 n = 1,2,...} de coberturas abertas é refinada se

(1) lin -‹ 11,114, (2) Para toda cobertura aberta 93 existe it„ tal que 93 -‹

Uma sequência refinada de coberturas, quando existe, simplifica o cálculo de

entropia como a próxima Propriedade revela.

Propriedade 2.1.14. Se {i n } é uma sequência refinada de coberturas,

h(p) = lim h(p,it„).

Demonstração: Como {14} é uma sequência refinada, temos que

lin -{ 11„4.1 e V93,354, 1

Assim, pela Propriedade 2.1.12, temos que

h(yortin) 5_ h(yo,itn+i) e h(yo, 93) 5_ h(yo,itn ), V93.

Então h(,93) < h(cp,itn) h(çp,14+1).

Portanto sup h(yo, 1.4) = Em hep, 14) . n—too

e

2.2 Teoremas Gerais

Teorema 2.2.1. Entropia é um invariante por conjugação , ou seja, h(iftrtft-1) = h(cp), onde

: X X é contínua, : X X' é um homeomorfismo de X para algum X'.

21

Demonstração: Seja ft cobertura aberta de X. Como itft é um homeomorfismo

temos que 011 é cobertura aberta de X1. Além disso,

11V ço-ift V ... V ço-n±at= Oft V (o-10-1)Oft V ... V etftrn+10-1)0/1.

De fato:

Seja {Ai, As, E il V ÇO-111 V ... V ço-n+Ift, onde Ai U U A, = X.

Temos que Ai =-Rnsn...nT, onde R E ft, S E rift,...,T E (p-n+111.

Como (p é um homeomorfismo temos que

0,4.1 U 2M.2 U U /PA, = e 2PAi = O(R) n iift(s) n n 0(T),

onde Ift(R) E 0(54 0(S) E (1P,o— 10-1)011, • ••,0 (T) E (IPY-71+10-1)011. Assim temos que,

Moa v v (.p-1)-n-Flou) h(iip(pzp-1,2pu)=-- ilin n—,co 12

(*) miou v eipp-1-0-1)2puv ... V (zft(p-n+i,,p-i),,pil n-.00 12

mu v ço—lit V ... V ÇO—n+Iil) my,il). = n—poo

Portanto, h(', '½!) = h(ç, ft), para uma cobertura genérica.

Logo h(zftcpzP-1) = hep).

(*) (24.0-1)k = (IPT70-1)(0tor')... (or') = Otokiirl•

Teorema 2.2.2. h(pk ) = kh(ç), para todo k, inteiro positivo.

Demonstração: Temos por definição que:

-atVy -3.11V... \iço h(c,o,11) — H

n+15-1'1 e h(y) = sup h(p,51). n-,co 12

Assim,

h(pk ) h(pk ,5_1V (p-15_1. V ...V (p-k+15.1)

22

= Um 1 -[H(.4.1 V cio-1U V ... V 99-"14.1 V (pk )-1(.4.1V cio-14.1V ... V w-k-H.L0 v 71-00 n

...V (pk)-"±1(4.1V cp-14.1V ...V cp-k+1.£1))1

HW V ço-lit V ... V 99-k+14.1 V 99-al V ... V V w-el-1)/11. ... V 99-nk+1.4.1 w-2k+isi v ... v = k lim

= khep,f1).

Então h(pk ) kh(ç,i.1) para qualquer cobertura SI

Logo, h(ç k )?. khep).

Por outro lado, temos que

v ((pk). 1.11 V V ((pk)'+Ill II V V V w-nk-Elit. Logo,

H(4.1 V ço-ISIV ...V cp-m+1.4.1) H(.41V Cio/0 -141V ...V epk)-n+1/0

hep,LI)= lim > hm

n-wo nk n-.00 nk

1 H(.4.1V epk)-1.41V ...V eia /0'1+1LO 1 k

= = k

he 1c- p n00

E isso implica que h(p,LI) h(çok ,LI), para qualquer cobertura aberta Li.

Assim kh(c,o) h(çk).

Portanto h(pk) = kh(p).

nk

23

Corolário 2.2.1. Se q, é um homeomorfismo, então h(çok) = jkili(ço); para qual-

quer inteiro k.

Demonstração: Se k > O segue diretamente do Teorema 2.2.2. Se k < O temos que —k > O, assim pelo Teorema 2.2.2 temos que h(c,ok) =

kli(p), mas —k = kl já que k < O, logo 101 = Vk inteiro.

Teorema 2.2.3. Sejam X eY dois espaços topológicos compactos e : X X

e ç02 : Y Y aplicações contínuas. Então

h(c,oi x cp2 ) = heih) + h(992),

onde (' Xq)2): X x Y —> X x Y definida por (th x (p2)(x,Y) = (991.(x),(1)2(Y))•

Demonstração: Coberturas abertas de X x Y da forma li>< 93 {A x .8 tal que A E .41,B E 93} têm a propriedade que Nxxy(4.1 x 93) = Nx(41).Ny(93) e (4.1 x 93) V (41' x 93') = (uva') x (93 V 93'), onde 41,41' são coberturas de X e 93,93' são coberturas de Y.

De fato: Provemos inicialmente que N x x y (4.1 x 93) = Nx(.41)• NY (93)•

Escolhamos subcobertura de .4.1 minimal para X, ou seja, ela tem N x (41) ele-mentos, que denotaremos por A1, ...,ANic o.o. Escolhamos também subcobertura de 93 minimal para Y, que denotaremos por BI, ...,BNx(93 ). Então (444 x é cobertura de X x Y, possui Nx(4.1.).Ny (93) elementos e é uma subcobertura de .4.1x 93. Portanto temos que N x x y(li x 93) < N x (.41) • NY (93) •

Verifiquemos que nenhum elemento pode ser eliminado: Considere o elemento Aio x B 0 dessa subcobertura de .4.1. x 93, temos que:

3xi0 E Aio e xio 0 A , i io (senão Ai não seria minimal) 3yi0 E Bjc, e yio 0 B , j jo (senão Bi não seria minimal).

24

Portanto, o elemento (rio, yi0) E Aio x Bio não pertence a nenhum outro

x E3 , isto é, nenhum elemento dessa subcobertura de 41 x 93 pode ser elimi-nado. Portanto N x xy (it )< 93) = N x (1) .Ny (93) .

Provemos agora que (SI x 93) V (111' x 93') -= (it V 4.9) x (93 V 93'). De fato: Qualquer membro de (41 x 93) V (41' x 93') é da forma (A x B)n (A' x '), onde

(AxB) EUx93e(A'xi3')EU'x93',porém (AxB)n(A'xB')=(AnA')x (B n B'), onde (A n A') E (it Vitt) e (B nB') (93 V 93') (41x 93) V (41' x 93') C (1 V 411) x (93 V 93'). •

Analogamente, qualquer membro de (UVW) x (93 V 93') é da forma (A n A') x

(BnB') = (Ax B)n(A' x.13') e assim temos (UVW) x (93 V931) C (itx 93)V(it' x 93').

COMO Nx xy (it X 93) = Nx(41).Ny (93), temos que Hx x Y (it X 93) = (I) + Hy (93).

Consequentemente,

h(soi x y2 , x 93) = h/0p1,i° h(so2 , 93).

Observe que do lado esquerdo da igualdade temos uma cobertura de uma dada forma que no caso é o produto cartesiano das duas coberturas, e do lado direito da igualdade temos coberturas genéricas. Logo,

h(soi x so2 ) h(soi ) h(so2 ).

Para estabelecer a desigualdade no outro sentido precisamos apenas mostrar que para uma cobertura arbitrária C de X x Y existe um refinamento da forma SI x 93, onde 41 é uma cobertura de X e 93 é uma cobertura de Y. Como todo subconjunto aberto de X xYé uma união de conjuntos da forma A x B, A subconjunto aberto de X, B subconjunto aberto de Y, que denominaremos para facilidade "retângulos", escolhemos um refinamento de C consistindo apenas de

25

"retângulos" abertos e desta escolha obtemos uma subcobertura minimal C', isto é, €' = x x BN' (e) } e e e'.

Seja Az a intersecção de todos conjuntos de Si' que contém o elemento x E X

e By a intersecção de todos conjuntos de 93' que contém o elemento y E Y. Estes conjuntos definidos são ainda abertos, e podemos escolher um número

finito de pontos x i ,...,x„, em X e em Y tal que {Az„ ...,Az„,} e 93 = {By„...,By }

são coberturas de X e Y respectivamente. Considere qualquer conjunto Az, x Byj E 5.1 x 93. Como C' é uma cobertura

de X x Y, (x4, yd) E A$, x IA para algum inteiro k entre 1 e N(€'), e portanto, x4 E kl, e yi E BL. Segue que Az, C Atk e By, C IA, isto é, ./4„ x Byi c Aik x 13L

o que implica que C C' x 93. Obtemos, portanto, um refinamento da cobertura genérica por uma cober-

tura da forma /I x 93.

Teorema 2.2.4. Sejam X1 e X2 dois subconjuntos fechados de X tal que X = XI I. X2 eçoX . CX1, yoX2 C X2 para yo : X X contínua. Então

h(w) = max{h(wi),

onde (PI = (Pixi e (P2 = Wix2.

Demonstração: Seja i = 1 ou 2. Para qualquer cobertura aberta Si de X a família (U)4 = {A n X4 1 A E ft} define uma cobertura aberta de X4, aberta no subespaço topolOgico X. Empregando índices à N para indicar o espaço cuja cobertura está sendo contada, temos Ar4((g4) < N(11).

Para coberturas abertas /I e 93 de X temos também (ft V 93)4 = V pois, para C E (11. V 93)i, temos que C = (A n B) n X4, onde (A n B) E Si V 93. Mas C = (A n B) n xi = (A n xi) n (B n xi ) E (51), V (93)i. Além disso, cp4-1(U)4 = (w-15_1) 4. Seja 5.1.4 uma cobertura aberta arbitrária de X4, aberta no subespaço topológico X-4 (cada elemento B desta cobertura é da forma A n x-4,

26

onde A é aberto de X). Considerando estes A's e mais o aberto X — Ai obtemos uma cobertura aberta 11 de X tal que @Ai =1.1i, isto é, a =11; U (X — Xi), onde os elementos de II; são abertos de X que interceptados com Xi nos definem os abertos de 14.

Ni (V 92i -k ) = Ni (V (92-1%9i ) = Ni ((V 92-k11))N V 92-k1.1). (n-1 n-1 n-1 n-1

n-1 n-1 Portanto, Ni (V 92».1.4) N (V 92-191).

k=0 k=0

Assim h(92i,5.1i) h(92,11). Logo h(924 ) h(92).

Por outro lado, para qualquer cobertura aberta 1.1 de X temos

C

N 92-k11) M (V (92-19-01)+ N2 k=0 k=0 k=0

e como anteriormente

( n-1 n-1

Ni V SO- kil Ni V Sei -k (1)i 3 i — 1, 2;

assim,

N ( n-1 n-1 n-1

V 92-191) 5_ Ni(V (Pi k (Uh) + N2 (V (P2 k(102) •

k=0 k=0 k=0

Consequentemente,

n-1 n-1 n-1

log N (V 92-k11) log [Ni (V (92i-kgi) + N2 (V (92/ k (102)1 • k=0 k=0 k=0

Agora passando o limite e aplicando o Lema 1.0.7, temos

k=0 k=0 k=0 k=0

k=0 k=0

27

h(cp, max{ Wh), (1-)2)}.

Tomando o supremo, temos

h(cp) = max{h(ep1) , h(ç2)} • e

Teorema 2.2.5. Seja — uma relação de equivalência sobre um conjunto compacto X. Seja cp : X —+ X uma aplicação contínua, tal que se x y ç(x) cp(y). Se ç3 : --+ X/r.P definida por (ror = irço onde ir : X —+ é a projeção, então

h(To) h(cp).

Demonstração: Seja ft uma cobertura aberta de XI Então clit é uma cobertura aberta de X, já que ir é contínua e sobrejetora. Assim

= Nxt...(f1).

Portanto, h(ç,ir -lã) = h(ç,f1).

Logo,

h(ç) = sup h(ç,U) sup hep, = sup h(,5,ft) =11 Li iii

Portanto h(ç) h(çà ). e

28

2.3 Cálculo de entropia em espaços métricos

Nesta seção X é um espaço métrico compacto com a métrica d.

Definição 2.3.1. O diâmetro d(f1) de uma cobertura it de X é definido por

d (ft) = sup d (A) AEll

onde d(A) é o diâmetro do conjunto A.

Proposição 2.3.1. (Lema da Cobertura de Lebesgue) Para toda cobertura

aberta li de um espaço métrico compacto X existe e > O tal que se A é um

conjunto com d(A) < e, então A está contida em um dos membros de it. O

supremo de todos tais números e é chamado o número de Lebesgue de fl.

Corolário 2.3.1. Se ft e 93 são coberturas abertas de X e se d(93) é menor que

o número de Lebesgue de li, então ft --< B.

Corolário 2.3.2. Se Sin é uma sequência de coberturas abertas tal que

(2) 414 O, quando ri oo,

então 51,„. é uma sequência de coberturas refinada.

Demonstração: Por definição, uma sequência {ff.,‘ 1 n = 2,...} de coberturas

abertas é refinada se

(1) -< (2) Para toda cobeitura aberta 93 existe 14, tal que 93 --<

A primeira condição do Corolário segue da definição.

29

Sejam 93 uma cobertura aberta e 5 o seu número de Lebesgue. Como

d(íln) —) O, 3n0 I d(u1„0) < 1, denotamos esta cobertura {tenso } e temos

93 -‹ • no •

Observação 2.3.1. O corolário 2.3.2 assegura a existência de sequências refi-nadas em espaços métricos. Por exemplo, a sequência {i n }, onde 14 é o con-junto de todas as bolas de diâmetro menor que k, é refinada. Além disso, dada qualquer sequência {93} de coberturas satisfazendo a condição (2) do corolário

2..9.2, podemos construir {11.„} tal que 14 = V 93k que satisfaz (1) e (2) e assim k=0

é refinada.

Vamos agora dar alguns exemplos do cálculo de entropia de funções em espaços

métricos.

Exemplo 2.3.1. Se cp : X —) X é uma isometria (sobrejetora), então h(ç) = 0.

Demonstração: Seja up a família de todos os conjuntos abertos de diâmetro menor que 1. Uma tal família possui a propriedade que Ur V /fp = £1,, , pois qualquer membro de ui, V Ur é da forma U n U', onde U, U' E 1.11, , ou seja, U n U' tem diâmetro menor que 1, logo U n U' E lir, portanto .4.17, Vil,, C lir . Analogamente, lir V1.11, D Ur. Como cp é uma isometria, cp-11.12 = Ur . Isto implica que up ..tip V 92-11,12 V ... V 99-n+11.12, pois cio-lup = up e ui, V £1,, =

Então

H(111, V yo-15.17, V ... V cp-12+15.17,) H(5.1p ) hep,11p ) = lim =lim n~co

log = lim =0.

n--•oo

Portanto, hep, = 0.

30

Como {ftp} é uma sequência de coberturas abertas tal que (1) /ir -<4.17,±1, (2) d(ítp) O quando p —> oo,

temos pelo Corolário 2.3.2, que flp é uma sequência refinada. Assim pela Propriedade 2.1.14, temos que h(w) = lim h(w,417,) = lim O = O. Logo h(w) = O. •

Exemplo 2.3.2. Seja (X, w) um sistema dinâmico compacto equicontínuo, então h(w) = O.

Demonstração: A métrica d' definida por d(x, y) = supd(wnx, wny) é equiva- nEZ

lente a d.

a) Provemos que dado Bd(xo,r) existe Bd i (xo, r) C Bd(xo,r). (Observe que d'(x,y) d(x,y)).

Dado x E Bdi(xo,r) = {x E X f d'(xo,x) < r} temos que d'(xo,x) < r d(xo,x) <r x E Bd(xo,r).

b) Verifiquemos agora que Bd(xo,r) C Bell (X0) 6) •

Observe que fixado x0 podemos construir a função e : (X, d) —> IR dada por e(x) = [d'(xo ,x) — d(xo ,x)]. Por equicontinuidade e é continua. De fato: Já sabemos que d(xo , x) é continua, falta verificar que di(x0 , x) é continua. Para isso podemos definir a sequência dn(xo ,x) = sup d(Wi(xo),wi (x)) então

—n<i<n

d'(xo,x) = lim dn (x0 , x) = n—too ieZ

Portanto, e = lim en, onde en(x) = [dn (x0 , x) — d(x0, x)]. n~oo

Observe que eind(ro,r) tem máximo igual a t. Seja x E Bd(xo,r) x E

Dd(xo, r) = d'(xo,x) — d(xo,x) < t = d'(xo ,x) < d(xo,x) + t x E Bdi(xe, 6 ), onde 6 = d(xo,x) + t.

Assim temos que d' é equivalente a d.

31

Com respeito a essa nova métrica, w é uma isometria:

d' (Y)) = sup d(Wn+1(x), 99+1(Y)) -co<n<i-co

sup d(so'i(x),t(y)) -00<u<+00

Sendo so uma isometria temos, pelo Exemplo 2.3.1, que h(so)= O.

Exemplo 2.3.3. Seja X um grupo topológico compacto separável e g, : X X definida por so(x) = axb, onde a,b E X. Então h(w) = O.

Demonstração: X é metrizável, digamos com a métrica d . A "rotação" w é

uma isometria com respeito a métrica d' definida por d'(x,y) = sup d(uxv, uyv) u,vax

que é equivalente a d. Vejamos que so é isometria:

d(so(x),w(y)) =- sup d(uw(x)v,u5o(y)v) = sup d(UxT.2,17.y17) nivex nevEx

= sup detixii,ityr7) = d'(x,y), onde "ft = ua e i7 = bv.

Portanto,

d'ep(x),5o(y)) = d'(x,y).

Logo, d' é isometria.

Assim, pelo Exemplo 2.3.1, temos que h(w) = O.

Exemplo 2.3.4. Seja X o círculo unitário. Se c, o : X X é um homeomorfismo, então h(w) = O.

Demonstração: Seja uma cobertura de X por intervalos de comprimento

de arco 1. A cobertura 11, V so-litp V ... V w-n+ é uma cobertura de X por

intervalos e

32

N(Up V (p-Ifip V ... V ço-n+atp) nN04).

Assim,

h(W)U) — lim H(11 V ço-aip V ... V w-n-Http )

p n—éco

= log N(112, V (p-Ilip V ... V ço-n+1.lip) < lim log(nnip)) lim 11-.00 n—éco

1= lim [log + log N(Up)] = li..m [ ogn l og N(fip)-1 =0. 11. -PCO n—rco ri ri j

Logo, h(w, Ui)) = 0. Como {112, 1 p = 1,2, ...} é refinada, temos pela Propriedade 2.1.14 que

h(w) = p1.1%) h(p,11p) = = 0.

Portanto, h(w) = 0.

Exemplo 2.3.5. Expressando o espaço das sequências de 'zeros e uns', indexa-das em Z, por

onde X = {0, 1} e Xi com a topologia discreta, o espaço X é compacto na topologia do produto cartesiano pelo Teorema de Tychonoff. (Proposição 1.0.6)

Podemos também expressar X como X -= x {0, 1} x {0, 1} x {0, 1} x Assim um elemento de X é da forma (...,1,0, 1, O, O, ...), onde o traço sob um dos valores determina a posição zero. Uma outra forma também usada é como função

00

quase-nula 95 Z —> U X:, onde X: = i x X. i=-00

33

Seja (xi ) a i-ésima componente da sequência x E X. Então a topologia do

produto cartesiano sobre X é a mesma que a determinada pela métrica d, onde

d(x,y) =Ê I(x)i 11 ("1 , 21*

Veja demonstração na Observação 2.3.4 no final desse Exemplo. Considere o horneornorfismo ço: X X chamado o "shift" (translação) e

definida por ((px)i = (x) +i . É fácil ver que (p é horneornorftsmo. Seja it =- {A0 ,130 }, onde Ao = {(xi) 1 (x)o = O}, Bo = {(xi) 1 (x)0 = 1} e

11P = V cpkit, p = O, 1, 2, ... . k=-p

Veremos que d(11p ) O quando p oo, e portanto a sequência {1.11,} é refinada. De fato:

Temos que:

• 21i1 21i1 Z-1 21111 - Z-1 21i1" Temos que A0n.B0 =O eil0 UB0 = X. Além disso,

°‘`-‘) 1 111 4

+ + + 2 2 4 i=-00,i#o

Como d(x,y)-Ê 1(x)i Eci° Fl e d(A0 )= sup{d(x,y),x,y E Ao}, -00 -00

temos que d(A0 ) = 2 e da mesma forma d(B0 ) = 2. Assim d(5.10 ) = sup{d(A0), d(B0)} = 2.

Agora it1 = V = 99-151 V it V (01, ou seja, teremos k=-1

99-IA0 V A0 V (pAo e (p-1.80 V Bo V (pB0 (todas as possíveis intersecções). Temos que:

d(Ao fly'(Ao)fly(Ao)j=.+++... =1 e d(Bo n 99-1(B0) n 99(B0)) =

34

• • • + + + • • • = 1 e portanto d(1.11 ) = 1. 2

Para 112 = V (pkIl teremos k= -2

2A0 V (p- 1 "10 \I Ao V (pAo V (p2 Ao e (p-2 Bo V cp-1 Bo V 110V (pao V (,02 Bo•

Logo d(112 ) = 0,5. E assim sucessivamente, temos que d(117,) O quando p co.

Como {gr } é refinada temos que

h((p,11) _5_ h((p,S1p ) H (n\ kgp)

k=0

-= liM n -too

P p-1

W kítV V "ti v v V k=-p k=-p-1 k=-p-n-1-1

wkil)

Da Propriedade 2.1.5 e dos cálculos feitos na Observação M.E, após esse Exemplo segue que

h(W,111)) = ihn n oo

H( 1\21 ("ti)

=l1111 n-•00

— lim 7I-.00

V W H CL-I-1 h(cp,11)

h (w, up) = h (w, 11).

35

Os "cálculos" feitos na Observação 2.3.3 mostram que

N (

-n+1 V = 2". k=0

Portanto,

-n+1 log N (V w-kft)

k=0 log 2" a1°g 2

h(cp,U) = lim — hm

n-too n n-.00 n n-too n

= lim,. log 2 = log 2, isto é,

h(w,4.0 = log 2.

Segue da Propriedade 2.1.14 e do fato que a sequência {Ur } é refinada que

h(w) = log 2,

pois h(w)= lim h(w,S.17,). P-.00

Observação 2.3.2. Temos que Agora

p-1 p-n+1 V WkitV V wilIV ...V V Wkit =

k=-p k=-p-1 k=-p-n-1-1

= V W-19±1li V ... Vil V Wil V ... V V ÇOI34 V[W-19-1li V W-Pit V ... V Ít V (MV ...V yoP-11V ...V [cp-P-n+lit v v v v v v ÇOP-n+liti =

= k=-p-n+1

-P O Além disso, V çaki" V Wicit.

k=-p-n+1 k=-n+1

36

-- (n+ 1 Observação 2.3.3. Mostremos que N (Pkit)

2. Precisamos calcular k=0

N(II V c),-1 V ...V cp-n+111). Temos:

= {Ao, Bo}

Ao = {*... * O* ...*}

Bo = {*... * 1* ...*}

ço-11.1 = {Ai , Bi } = {*... * 1* * ...*}

fn—n cr +1 {d = B—n-1-1} A—n.+1 = = {*„.1...***„.*}

(-n-t-1)-posição (-n+1)-posição Logo a intersecção de n elementos genéricos, usando apenas um de cada

família (de dois) acima, terá a forma:

(-n-/-1) (-n+2) -I O onde nas posições marcadas acima podemos escolher O ou 1, conforme a inter-secção que escolhermos.

Temos portanto 2' escolhas, o que nos dará N(5.1V cp-1 V ...V cp-71+111) = 2'.

Observação 2.3.4. Provemos que a topologia produto sobre X é a mesma que a determinada pela métrica d, onde

d( s y) = 2I1

Demonstração: Seja Cp a topologia produto em X e seja Cd a topologia gerada pela métrica d.

(i) Mostremos que Ç, C çl•

Dado .5.1 um aberto básico de X na topologia produto, temos que :

37

onde Aa„..., A n são abertos em Xai, X, respectivamente e Ai = X , para

i ai. Dado um x E ff, então (x)i E Ai para cada i. Seja e < min*, j = 1, ..., n.

Afirmamos que x E .13(x, e) C 11,

De fato, dado y E B(x,e), temos que

d(x, < e i(x)i27.1 Mi! <

— < e,Vi.

Em particular, (x)ai (Y)cti <

21 4

para j = 1,...,n. Então, como 1(x)„1 — = O ou 1, temos que se

(x)as (y)ai para algum j = 1,...,n, então iLr — /(x)ar(Y)ai I 2

< E, lai I 2 9

absurdo, pois e < mmn , j = 1, ...,n. Portanto, (x) „i = (y)as , Vj = 1, ...,n. Lo-

go, (y)a, E Piai , j = 1, ...,n e como Ai = Xi, para i ai temos que (y)i E Ai, Vi.

Portanto, yelle assim B(x, e) C li, logo ep C ed• (ii) Mostremos agora que Cd C Cp. Seja um aberto básico B(x,e) de X na topologia da métrica.

+0° C 1 x-1, 1 +c° 1 e N 1 j. e e 2_, - convergem, 3N > O tal que E < e E 57; <

i=0 i=-oo 4=Ar i=-co

Assim

1 E C e. 211I iii>N+1

(*)

Considere

38

onde Ai = Xi, para i {—N, ...,N} e Ai .= {(x)i } para j Ø {—N,...,N}. Então 1.1 é um aberto na Topologia Produto e x E il. Mostremos que II c B(x, e). De fato: Dado y E U, temos que (y)i = (x)i para j E Assim

l(x)i — = O para j E {—N N}. Logo,

) = 00

i(x)i E i(x)i2; (y)4 < E <e, d(x,y i--00 2"

por N. Portanto y E B(x, 11 c B(x,e). Logo, Cd C Ç. Por (i) e (ii) temos Ç = C.d. e

Observação 2.3.5. SeX = {0,1,...,N— 1} no exemplo anterior, então h(ço). log N. Além disso, se Xi é algum espaço compacto Hausdorff contendo um número infinito de pontos, então h(,o). co.

Exemplo 2.3.6. Seja X um toro de dimensão 2, isto é, X = onde E2 é o plano euclidiano e é a relação de equivalência que identifica dois pontos no plano se suas coordenadas correspondentes diferem por inteiros. A métrica sobre X pode ser definida em termos da métrica sobre E2 tomando a distância entre dois pontos de X como a menor distância entre quaisquer representativos destes pontos em E2. Um automorfismo contínuo de grupos yo de X tem uma

( representação yo : (z,y) 4- (ax by,CX 4- dy) (adição mod 1) onde (a b

é c d)

uma matriz unimodular A, isto é, uma matriz de inteiros com determinante ±1. Suponha que A tenha dois vetores característicos linearmente independentes a, /3, associados com valores característicos A e µ onde IAI > 1. Então h(w) = log

39

Demonstração: Considere uma cobertura de E2 por todos os paralelogramos

abertos com lados paralelos aaefle tendo comprimento pl. Cada conjunto é

um representativo de uma classe de equivalência de conjuntos em relação a -. Seja 11, uma cobertura aberta de X por estas classes de equivalência. Se A é

um dos paralelogramos acima , então yo-n A é equivalente a um paralelogramo tendo lados de comprimento a'n e 2-'12 que são novamente paralelos aos vetores característicos. Considerando um paralelogramo equivalente a um dos conjuntos de 14, p> 1, podemos ver que "precisamos lAin-1" paralelogramos para cobri-1o, que são equivalentes aos conjuntos em cp-n+in 24 Assim

"up y v w-a+154) i .x ia--1"u4

logp2INn-1 log N(./.4 V w-alp V ... V cp-n+1.117,) log IN(14)

2 log p+(n-1) log IÁI < log NalpVw-15.12,V ...Vw-n+111p ) .5_ (n-1) log +log N(5.13,)

um

2 logp + (n - 1) log

< fim log N(./.4 V w-1.117, V ...V w-n+1112,) n—Poo n -

1) log log Nair ) n—Poo n n )

*log h(cp,14,) < log AI

hep, = log IN para p > 1.

Como {14 1 p = 1,2, ...} é uma sequência refinada temos

h(w) = plim h(w,112,) = Um log lAl =- log 1À1

h(w) = log 1À1.

40

Observação 2.3.6. Se X é um toro n-dimensional e irb um automorfismo de X determinado por uma matriz nx n unimodular tendo valores característicos reais A1, ..., 4 e n vetores característicos linearmente independentes, então com um

argumento similar temos

h(ç ) = E log IA!.

Uma curiosidade baseada nas técnicas deste trabalho é a seguinte:

Proposição 2.3.2. Seja X um espaço métrico compacto com um número infinito de pontos. Seja (p : X -+ X uma aplicação contínua. Para qualquer cobertura aberta 11 existe um número 6> O (dependendo de II e (p) tal que

d(p-111V (p-211V ...V (p-nit) > > O, para todo a

Demonstração: Suponhamos d(p-111V (p-25.1V ...V (p-nít) O quando n ao.

Existe um inteiro N tal que se n > N então de9 -111V 99-211V ...V 99-111.0 < número

de Lebesgue de Il. Portanto .41 -< (p-111V (p-211V ... V (p-91,n> N (Corolário do

Lema Cob. de Lebesgue 2.3.1).

Assim N (.5.1 V ço- il v ço-sa v v ço-n = "p~. 1.5iV (p - 2.11V ... V W-nil) (pela Propriedade 2.1.5). Mas pela Propriedade 2.1.9, Nep-1.51 V 99-211 V ... V 99-90 =-N(5.1 V 9cl/1V (p-25.1 V ... V 99 -n-1-110.

Por indução, MIIV(p-IIIV99-2.41V...V(p-91) = N(11V(p-lítV99-211V para n > N; isto é, N(11 V (p-111. V ço-2.5.1 V ... V ÇO-ní) é limitado, digamos pelo número M. Escolha M +1 pontos distintos x1,...,xm+1 e seja n tão grande que 4( V (p-lil v ço-sil v v - - nif) < min d(xi ,x j ). Isto é uma contradição, i<i<jcw+i pois para cobrir xl, ...,xm±i com conjuntos cujos diâmetros são menores que

mm d(xi ,x j ) são necessários no mínimo M 1 conjuntos. ici<jcw+i

Observação 2.3.7. N(11V (p-111V (p-2.5.1V ...V (p-(n-1).5.1) < N(.5.1V (p-111V (p-2.5.1V ...V 99-n11) = N (99-111V ço-211V ...V 99-91) < Mil V W-1.11 V W-2.11 V ... V -'»'£0 (Propriedades 2.1.5 e 2:1.9). Portanto MU V (p-111 V 99-2.11 V ... V < Mil V 99-111V (p-211v

41

Capítulo 3

Entropia em Espaços Métricos e Razão de Crescimento Exponencial

Este capítulo tem como referência básica o artigo [23]. Apresentaremos uma definição de Entropia Topológica para espaços métricos, a definição da Razão de Crescimento Exponencial e relações importantes entre estes conceitos. Também serão estudadas algumas relações entre as duas definições de Entropia Topológica.

3.1 Entropia em Espaços Métricos

Em 1965 Adler, Konheim e McAndrew em [1] introduziram o conceito de entropia topológica para uma aplicação contínua w: X iC de um espaço topolOgico compacto, que detalhamos no Capítulo 2.

Veremos neste capítulo uma formulação devido a Bowen [5] no caso que X também é métrico.

Definição 3.1.1. Sejam nENee> O. Um subconjunto E c X é dito (n,e)-bem distribuído para ço se para todo ponto x E X, existe um ponto y E E tal que cl(sok(x),sok(y)) < e para O k

42

A compacidade de X nos garante que E pode ser escolhido finito; denotamos

a cardinalidade mínima de um tal conjunto E por r(n, e).

A definição de Bowen para entropia é:

Definição 3.1.2. A entropia topológica h(w) de ço é definida corno

lim lim sup1 log r (n, E). n-hro

Daremos agora uma definição dual de entropia topológica. Esta definição

usará a idéia de conjuntos separados que é dual a noção de conjuntos bem dis-

tribuídos.

Definição 3.1.3. Sejam nENeE>0. Um subconjunto Ec X é dito (n,e)- separado para ço se x,y E Qx y implica dn(x,Y) > E onde cl.„(x,y) = max d(wi (x),çoi (y)); denotamos a cardinalidade máxima de qualquer 0<i<n-1 subconjunto de X (n,,e)-separado por .s(n,e).

Proposição 3.1.1. r(n,e) < s(n,e) < r(n,e12) e logo s(n,e) < ao.

Demonstração: Se E é um subconjunto (ti, e)-separado de X de cardinali-

dade máxima, então E é um conjunto (ti, e)-bem distribuído para X. Portanto

r(n, e) < s(n,e). Para mostrar a outra desigualdade, suponha que E é um sub-

conjunto (ti, e)-separado de X eF é um conjunto (ti, e/2)-bem distribuído para

X. Defina : I' escolhendo para cada x E E, algum ponto 0(x) E F com

d(x , çb(x)) < E/2. Então çb é injetiva. De fato:

Seja ei e2 E E. Provemos que A ----- 0(61) 0(62) = f2.

43

Temos: d(ei, < d(621 f2) <

d(0(ei.), O(A)) <

d(0(e2),0(.f2)) < • • •

< 5 Se fi = f2, temos para k = 1, 2, ..., (n — 1)

d(cfik cfik (e2)) d(c, (ei), 95k (h)) + (e2)) 95k (f2)) < + = 6' Mas max d(çbk(ei), 0(62)) > e. Absurdo!

Como 95 é injetiva temos que a cardinalidade de E não é maior que a de F. Logo, s(n, e) r (n, E/2). •

Observação 3.1.1. Se 61 <62, então s(n,61 ) > s(n,62 ).

Definição 3.1.4. A entropia topológica h(w) de cp é definida neste caso como

fim lim sup —1 log s(n, e). e-,co n-.00 fl

Logo, h(w) pode ser definida usando conjuntos bem distribuídos ou conjuntos separados.

Bowen provou que h(w) não muda se a métrica sobre X é substituída por uma métrica equivalente. De fato:

Teorema 3.1.1. [27J Quando X é compacto, a definição de Bowen (de entropia) coincide com a definição por cobertura aberta.

Demonstração: Seja hs(p,5.1) a entropia topolOgica de uma aplicação : X —> X contínua com respeito a uma cobertura aberta ft e h*(w) a entropia

de ço, que ocorre na definição de entropia topológica por coberturas abertas. Seja ft = {A1, Ap} uma cobertura aberta de X e h(w) a definição dada acima.

44

Mostremos que hly , ff) < h(y) . Seja 5 um número de Lebesgue para SI Seja E um conjunto (n, 5/2)-bem distribuído para X de cardinalidade mínima. Para y E E escolha Aio (y), (y) em SI tal que BI (yk(y)) C Ai, (y). Seja C(y) = Aio (Y) fl (P-iAii(v) n n (p(' -1)Ain_1(y), que é um membro de SI V y-14.1 V ... V y-fr4-1)4.1.

Temos que X = U C(y), já que se x E X, 3y E E tal que o zigc d(yi(x), (y)) yEE

Logo, x E (1)-1° (13 f(yh (y))) C y- Ai, (y) , O k n —1; assim x E C (y).

Como N (SI V cp-141 V ... V y-(11-1)1.0 < lEi = r (n, 12) temos que

log N(SI V y-141 V ... V y-frt-1)221 < logr (n,5 12)

lim log N(SI V cp-141 V . n-.00 1 lim — log N(SI V y-14.1 V .. n—kozi n,

< lim log r (n, 5/2) n—.0o

. V (p—(71-1)51) n1.121711 log r (n, 5/2

Logo h* (y , < lim sup 1 — log r (n, 5/2) h(y). n—roo 71

Portanto, h* (y) h(y)

Para provar a recíproca, seja 5> O. Escolha uma cobertura aberta SI = {A1, Av } de X tal que diam(A.) <

para todo i. Seja F um subconjunto (n, 5)-separado de X com cardinalidade máxima. Dois membros de F não podem pertencer ao mesmo elemento de SI V

n-1 y-14.1 V ... V (p—(n-1)51 pois se x,yE fl yA 3 , x,y E F, então

j=0 max d(y) (x), (y)) < S e assim x = y. 0<j<n-1

Logo,

N (SI y y-141 V ... V y- (n —1) > F¡ = s(n, á).

log N(SI V cp-141 V ... V y-(71-1)51) > log s (n, .5)

45

Um log N(Lt V cp-In V ... V c,o±-1)51.) > Um log s(n,6)

n—too n—P00

Um —1 log NOI. V so-lit V ... V C,0—(n-1)10 > um 1log s(n, 6).

n—P00 71 n—>co n

Portanto, h* (so) > tt* (c,o , Si) Um —1

log s(n, 6). ,% co n

Fazendo 6 —) 0 temos 11*(w) h(4°)•

Como, quando X é compacto, a definição de entropia topológica de Bowen

coincide com a definição por coberturas abertas, isto significa que, neste caso, a

entropia topológica h(w) é independente da métrica, ou seja, h(w) não muda se

a métrica sobre X é substituída por uma métrica equivalente.

Podemos ver h(w) como uma medida da complexidade de c,o. É possível veri-

ficar que:

(1) A entropia topológica de qualquer aplicação periódica é zero,

(2) A entropia topológica de qualquer homeomorfismo de superfície pseudo-

Anosov é positiva.

Vejamos alguns exemplos do cálculo de entropia com esta definição:

Exemplo 3.1.1. Consideremos X =10,1] , c,o = id

id : [0, 1] [0, 1]

temos que h(c,o) = 0.

Demonstração: Sejam e = e>0enE N. Tomemos E C X tal que

2 m E — {m1+1' m+ 1"" m+ 1 j Temos que para todo x E X = [0,1] existe um ponto y E E tal que

46

d(id(x),id(y))= d(x, y) <e = rn

pois d( = < _

M-1-1 2 M-1-1 In

Assim temos:

Se x E E, então x é da forma com 1 < i < m Basta tomar y = x e m+J. — — • teremos d(x, y) =-• O < e.

Se x E X — E, então x E Cki, ej com 1 < i < rn. Bastatomary=41

e teremos d(x, y) < e.

Portanto, E é (n, e)-bem distribuído. Temos também que r(n, < m que é

a cardinalidade de E. Então

um (um sup 1 — log r(n, e)) sup 1 log rrt) = sup log rn) 6-0 n—too 71

1 = Em (logrn. Em sup —) = lim (logrn. lim —

1) m—).co n—poo m—>co n--*co 71

= lim (logrn.0) lim 0 = 0. M—.00 771.--P00

Portanto a entropia topológica h(cp)= 0. e

Exemplo 3.1.2. Seja cp : [0,1] [0,1] definida por cp(x) = Co. Temos que

h(w) = O.

Demonstração: Sejam e .= ,e>0enE N. Tomemos E como no exemplo

anterior.

Temos que para todo x E X = [0,1], existe um ponto y E E tal que:

d(cpk(x),"(Y)) =d(Co,Co) = O <E

Portanto E é (n, 4-bem distribuído. Temos também que r(n, e) < rn, onde

m é a cardinalidade de E. Então, como anteriormente h(cp)= 0.

47

Entropia topológica tem muitas propriedades interessantes, entre elas, a in-

variância de h(cp) em relação a conjugação topológica (isto é, conjugação por um

homeomorfismo) descrita pelo próximo lema. Os dois lemas a seguir estão em [1]

e foram detalhados no capitulo 2.

Lema 3.1.1. Seja cpi : X1 —> X1 e cp2 : X2 -> X2 aplicações contínuas de

espaços métricos compactos. Se existe g :X1 —> X2 contínua e sobrejetora tal

que gcpi = cp2q, então h(csoi)> h(cp2). Em particular, se g é um horneornorfismo, então h(cpi ) = h(cp2 ).

Lema 3.1.2. Se cp : X —> X é um horneornorfisrno de um espaço compacto, então h(csok) = lkih(cp) para qualquer inteiro k. Em particular, h(c1 ) = h(w).

Observemos que por este lema, no Exemplo 3.1.1, a entropia h(Id) tem que

ser zero, pois, se tivéssemos h(Id) O então pelo lema acima teríamos h(Id') =

ikili(Id), mas /dk = Id, então temos h(Id) = que só é válido se

h(Id) = O.

3.2 Razão de Crescimento Exponencial

Bowen introduziu em [4] a razão de crescimento exponencial de endomorfismo

de grupo para estimar entropia topológica. Uma versão logarítmica descrita por

Fathi e Shub em [9] é revista aqui.

Seja G grupo com um conjunto finito de geradores gl, g„, e seja a : (7 —, G um endomorfismo. A razão de crescimento exponencial EGR(a) é definida

como

1 sup hm sup log lak (g)l, gEG IC

48

onde IgI denota o comprimento da menor palavra em , g„±1. representando

g. Observemos que o supremo na definição pode ser substituído pelo máximo

sobre os geradores gi, 1 < i < n.

De fato:

Sabemos que

1 sup lim sup -

1 log lak(gi)I sup lim sup log I ah (g)I.

k gec k—nzo X g:

Ou seja,

- 1 max lim su

1p - log I ah (gi )I < sup lim sup - log Iak (g)I,

gj k-too k 9EG k-nzo k

já que supri, = maxra pois estamos considerando um número finito de geradores.

Mostremos que:

1 1 k lim sup log lak (g)I max lim sup log Ia (g)I. k—tco gi k—.co X

Observe que existe índice 41, tal que 1 max lim sup

1 - log ¡ah (gi)I = lim sup - log I ah (gio)I, para algum gio.

gi k—.co k k

Seja g E G com IgI = r, então g = g:: .g :22 ...g: " , onde ei E {-1, 1}.

Temos que: 1

lim sup log (g)I = lim sup 1

log I ak (g:: -01 = k-.co X k—.co X 1 1 = lim sup log ¡ah (g:11 ).Cth (g:: )...ak (g:r)I < Hm sup logr I ak (gio )I k-.co X r k—nzo X

= lim sup r log Iak (gio )1]. lim sup -1" log ¡ah (gio) I = k-nzo X k-hoo k

= max lim sup 1 - log I Cek

91 k-tco k

onde a intima igualdade é devido a observação.

49

Também, EGR(a) é finito, independente do conjunto de geradores, e não

muda se a é composto com um automorfismo interno de G. De fato: Vejamos inicialmente que EGR(a) é finito, independente do conjunto

dos geradores.

Dado um grupo G com apresentação I igh 92, • • • , gn : ri, ..., 7-si e g E G, sejam = {gi , ...,g,.} e Glyi= a dois conjuntos de geradores de G, então pelo

que observamos anteriormente temos que

1 sup lim

1 log I ak (g)I = max lim log lak (gi)1,

geG 1c—too A. DiEGi k -+00

mas também temos

sup lim 1 log lak(g)I = max lim —log lak(ga I.

geG k--too k k—woo k

Portanto EGR(w) não depende do conjunto dos geradores, e este valor é fini-

to, pois estamos trabalhando com um número finito de geradores.

Mostremos agora que EGR(a) não muda se a é composta com um automor-

fismo interno de G.

Se a : G é um endomorfismo e g E G, defina gar i :C --> G por [gag-1](x) = ga(x)g-1. Mostremos que EGR(a) = EGR(gag-1 ). (Aten- ção: (g ar 1 )' (gang-1))

Se x E G temos:

(9019-1 )n(x) = (gag-i )n-1(ga(x)g-1 ) = (9019-1 )1-2 [9a(a(x)9-1 )9-1] = = (gar i ) -9.9(a(9)012(x)a(9-1))9-11= (gar l ) -3 [9a(ga(g)ce2(x)a(9-1)999-11= = (gart-3[9(a(g)a2(9)a3(x)422 (g-i)a(9-1))9-11 =

= (gag-I)iga(ga(g)a(9)0/3(x)(12(9-1)0 (g-1)9-1)g-11 =

= (gag-i ) -4 [9a(9)a2(9)013(9)a4(x)013(9-1 )a2(9-1)a(9-1)9-19-11 = = ••• = ga(9)012 (9)—(2!-1(9)an(x)an-1(9-1 )•••a2(9-1 )a(9-1 )9-1.

50

(a) Suponhamos que a"(g) = e = &0(g') = [a" (g)] -1 = e. Então para N >> no, temos que

(gag-i(x) = ga(g)a2(g)...ano-i(g)an(x)ano-i(g-i)...a2(g-i)a(g-i)g-i.

Logo, 1 (gag-1)(x)IN = constante -Ele(x)1. Portanto pela Proposição 1.0.7 (i): lim sup log 1 (gag-1)n (x)I lim sup log[ct+

1 an(x)1] = max{lim sup log(ct), lim sup log l&(x)1} = lim sup log I&(x)I.

(b) Se &(g) e para cada n > 1, temos an(g)1 > 1 para cada n > 1. Logo, limsup log lan(g)1 0.

Temos que: l(gag-i)(x) IN = iga(g )a2(g)...aN-1(g )aN ( x )aN-1(g-1)...a2(g-1)a(g-l)g-11 <

< iga(g)a2(g)...aN-1 (g) I + iaN(x)i a'(g )...&(g ')a(g')g I. g-

Observemos que 1ga(g)a2(g)...aN-1(g)I _< igi la(g) 1 la 1(g)j. Assim, pela Proposição 1.0.7 (i) e temos que: 11 lim sup log laN -1 (g)1 lim sup N — log (1g1 1a(g)1 laN-1(g)1)

N-•oo IV N-.co

max{0, lim sup 1-log laN-1(g)1}. N-)co N

Mas sabemos que limsup log lan(g)I 0. Logo, 1 max{0 hm sup — 1oglaN-1(g)l} = lim sup —1 log 1 aN-1 (g)I}

Além disso, Iga(9)422(9)—aN-1(9)1 = laN-1(9-1).-422(9-1)a(9-1)9-11.

Portanto, 1 (gag-1)(x)IN 2Iga(g)a2(g)...aN-1(g)I laN (x)I.

Logo, também pela Proposição 1.0.7,

lim sup —1 log 1 (g ag-1)N (x)I < lim sup —1 log (2Iga(g)a2 (g)...aN-1 (g)I laN (x)i) N ->oo 71 N-)oo 71

lim sup —1 log [2IaN-1(g)I IaN (x)Il N-.00 n

1 1 < max{lim sup — log 1 aN (g)l, lim sup —n log laN(x)1}.

Assim temos que EGR(gag-1) < E GR(a) e por simetria, temos E GR(gag') = EGR(a), como queríamos.

51

Bowen, em [5], provou que se w : M -+ M é qualquer aplicação contínua

em uma variedade compacta, então a razão de crescimento exponencial do en-

domorfismo induzido (mi : 7r1(M) -+ iri(M) é um lirnitante inferior da entropia

topológica h(w). É tentador olhar razão de crescimento exponencial como entropia na categoria

dos grupos finitamente gerados já que muitas propriedades da entropia topológica

valem para razão de crescimento exponencial, como demonstra o lema seguinte

análogo ao Lema 3.1.1.

Lema 3.2.1. [9] Seja al :G1 -+ G1 e a2 : G2 -+ G2 endomorfismos de grupos

finitamente gerados. Se existe um epimorfismo : G1 -) G2 tal que fiai = a2 /3,

então EGR(ai ) > EGR(a2 ). Em particular, se fl é um isomorfismo, então EGR(at ) = EGR(a2 ).

Contudo nem todas as propriedades de entropia topológica valem para razão

de crescimento exponencial. Por exemplo, se a : G -) G é um automorfismo de

um grupo finitamente gerado, então EGR(a) não precisa ser igual a EGR(a-1). Observe outra diferença significante entre entropia topológica e razão de cresci-

mento exponencial. Se w : X -+ X é uma aplicação contínua de um espaço

compacto e A C Xé um subespaço fechado de X que é rinvariante (isto é,

w(A) C A), então h(wI A ) < h(w) [1] (Teorema 4). Por outro lado, se a: G G

é um endomorfismo de um grupo finitamente gerado eHc Gé um subgrupo

a-invariante finitamente gerado, então EGR(aI ll ) pode exceder EGR(a) (ver

[22] (p.219).

De fato:

Mergulhe G em G* .< G,t I tgt-1 = a(g),g E G > e estenda a a um

automorfismo a* : G* G",t t. Como (a* )k (9) cek(9) = thgrk para cada g E G, então EGR(&) = O .

Agora se a : G -) G é um endomorfismo de grupo livre eHc Gé um

subgrupo finitamente gerado tal que a(H) C H, então EGR(a) > EGR(aIH)•

52

Capítulo 4

Entropia de Nós

Neste capitulo estaremos trabalhando na categoria de variedades diferenciáveis

(C"). Um ti-nó é uma ti-esfera K mergulhada numa esfera homológica E de

dimensão rt -I- 2. Dois n-nós K1 C El e 1<2 C E2 são equivalentes se existe

um difeomorfismo w : El —> E2 tal que ço(Ki) = K2. Dois ti-nós equivalentes

são vistos como o mesmo. Um n,-n6 I< CE e trivial se ele é o bordo de uma

(n+ 1)-bola em E.

O exterior de um n-nó K C E éo fecho X(K) de E menos uma vizinhança

tubular de K. Vemos o bordo axen como K x S. Qualquer curva fechada

simples p x S1 em &ruo é chamado um meridiano de K. O n-nó K é fibrado

se a projeção K x 51 —› Sa se estende para uma fibração localmente trivial

çb : X(K) —* 51. Chamamos 0 uma fibração de K. Neste caso, para cada 9 E 51

a pré-imagem 0-1(0) é uma cópia de alguma (n+1)-variedade compacta, conexa

F com aF = K chamada a fibra de Ø , e X(K) é difeomorfo a um "mapping

torus" M = F x [0,11(x, O) r.s (so(x),1), onde ço F —> F é um difeomorfismo

chamado uma monodromia de Ø. Qualquer monodromia de 0 pode ser descrita

como em [10] por:

(1) selecionando um. fluxo em X(K) que é transversal a cada fibra de 0;

(2) identificando 0-1(0) com F, e para x E 0-1(0) seguindo a linha do fluxo

através de x na direção que corresponde a valores decrescentes de 9 E 51 até

53

chegar à um ponto, definido por yo(x), em 0-1(1) = 0-1(0). A coleção de todas as monodromias de d) é a classe de isotopia de w. Seja K C E um ti-nó fibrado, e assuma que w é uma monodromia de alguma

fibração de K. Não é difícil obter a entropia topológica h(w) arbitrariamente grande modificando w por isotopia. Por outro lado, a não-negatividade da en-tropia topológica nos permite fazer a seguinte definição:

Definição 4.0.1. Se K é um n-nó fibrado, então a entropia de K, denotada por hi c, é inf{h(w) j yo é monodromia de alguma fibração de K }.

Por exemplo: Consideremos um nó clássico, isto é, 51 c S. Seja K = Im(Si) c S3, X(K) = 53 —V(K), onde V (K), vizinhança tubu-

lar de K e OX(K) =Kx Si. Fixe um meridiano p x Si em ax(K). Suponha que o nó K é fibrado e seja d) : X(K) Si uma fibração. Para cada ponto O E 51,0-1(0) é uma cópia de alguma superfície compacta,

conexa F chamada fibra de 0.

sl

O

0•1

X(K)— F x [O, 27r]

54

Para se obter X (K) novamente de F x [O, 27r] considere a monodromia

w: F F dando origem à w: F x {O} x {27r}, então

F x[0,271 x(K).

Então temos o seguinte esquema:

K, nó fibrado —> cp : F —› F, monodromia —> h(cp), entropia ou seja, a partir de um nó fibrado, obtemos monodromias de fibras e calculamos então a entropia dessas monodromias.

Tomando-se o ínfimo dessas entropias, obtemos a entropia do nó fibrado K.

É fácil ver que hK é um invariante do nó, isto é, ela depende da classe de K e se K1 •-••• K2 temos h(K1 ) = h(K2 ).

Para qualquer 1-nó fibrado K, um teorema de Blank e Laudenbach [3] nos permite calcular hK considerando uma única fibração de K. Pelo teorema, se

01 e 02 são quaisquer fibrações de K, então 42 é isotópica a 4.1 ou —41. Conse- quentemente, se cpi : Fi e cp2 : F2 —Y F2 são monodromias das respectivas fibrações 4.1 e 4.2 de K, então ou gcpi = ç4g ou gcprl = ç4g para alguma mo-nodromia cp'2 de 02 e difeomorfismo g :F1 --+ F2. Pelos Lemas 3.1.1 e 3.1.2 as entropias topológicas h(cpi) e h(q4) são iguais. Segue que inf{h(cpi) Jcpi é uma monodromia de 4.1} e inf{h(cp2) 1 cp2 é uma monodromia de 02} são os mesmos.

Se K é um ti-nó fibrado com ti > 1, então fibras de diferentes fibrações de K não precisam ser difeomorfas.

Lema 4.0.2. Suponhamos que cpi : Fl. e W2 : F2 F2 são monodromias de fibraçães dos respectivos n-nós Kl e K2. Se o exterior X(K1 ) e X(K2 ) são equivalentes hornotópicos, então existe urna equivalência hornotópica g :F1 —› F2 tal que ou gcpi ou gcprl é homotópica a cp2g.

55

Observação 4.0.1. Uma aplicação contínua yo : X Y chama-se urna equi-

valência homotópica quando existe g :y —› X contínua tal que g o yo c-4 idx e w o g c idy . Neste caso dizemos que X e Y tem o mesmo tipo de homotopia.

Embora seja difícil calcular hK para um n-nó fibrado arbitrário K, há uma boa

razão para se estudar este invariante hK , pois o mesmo é extremamente sensível, isto é, detecta muitas complicações.

Temos também que a razão de crescimento exponencial vista no Capítulo 3 pode ser usada para estimar a entropia hK de um n-11.6 K.

Assuma que K é qualquer n-nó, orientado, e denote seu grupo s-i (X (K)) pelo símbolo 0K. Seja t E GK representado por algum meridiano de K de preferência com orientação induzida por K.

Então a conjugação x txt-1, x E Gio , induz um automorfismo Pt , do sub-grupo comutador G. Se G'R. é finitamente gerado (como é o caso de nós fibrados), então EGR(p.t ) está definido. Em [22] temos algumas das propriedades acima mencionadas da razão de crescimento exponencial para se provar que EGR(p,t ) é um invariante PYK de ri-nós orientados K. Se, além disso, K é fibrado com monodromia w : F F, então podemos identificar Gil( com s-i(F), e a menos de composição com um automorfismo interno de GtK podemos identificar pt com wg

ou (61 (dependendo da direção do fluxo usada para definir w). Pelo Lema 3.1.2 juntamente com o Teorema de Bowen, Gromov, Manning e Shub, ryK < h(w). Como yo é uma monodromia arbitrária de K, o invariante ryK é um limitante inferior de hK. Além disso, se revertermos a orientação de K, assim obtendo o n-nó orientado que denotamos por rK, então 7,.K < hK pelo mesmo argumento. Logo temos os seguintes teoremas:

Teorema 4.0.1. Se K é um n-nó fibrado orientado, então max{7K,7rK} < hK .

Teorema 4.0.2. Se K é qualquer 1-nó fibrado, então hK = enc.

56

Quando um nó não é fibrado não podemos usar os resultados anteriores. No entanto, existe uma forma de contornar esta situação.

Seja K um nó com exterior X. Em [15] Kakimizu provou que X contém uma subvariedade compacta, conexa de codimensão O, X0 tal que cada componente do bordo 0X0 é incompressível em X, e tal que:

OX = (K x 51 ) c O X0 , (ii) a prOjeção K x 51 SI se estende à uma abração ct. : X0 —+ (HO Xo é maximal e única (a menos de isotopia em X) com respeito às con-

dições (i) e (ü). Da mesma forma que em [15], chamaremos Xo a subvariedade mwdmal

fibrada de K. Qualquer fibração ct. como na condição (ii) será chamada uma fibração maximal de K. Kakimizu provou em [15] que uma fibra So de ct. pode ser realizada como uma subsuperfície de alguma superfície de Seifert incom-pressível S de K. Ele também mostrou que

= ZEZ

onde t é a classe de um meridiano * x 51 c OX. Note em particular que como So é compacta, 7ri (So, *) é finitamente gerado (livre). Também, o automorfismo ji de ak definido por pt(x) = txt-1 (ver Capítulo 3) se restringe a um automorfismo de 71-1(So, *).

Exemplo 4.0.1. Um nó K é fibrado se e somente se X0 •=. X.

Exemplo 4.0.2. Se K não é fibrado e X é atoroidal (isto é, qualquer toro incompress(vel em X é paralelo ao bordo), então X0 = (colarinho de OS) x 51. Neste caso, a subvariedade maximal fibrada X0 é dita trivial .

57

Se : Xo 81 é uma fibração maximal de um nó K, então uma monodromia

: 80 Sio de é definida como no caso de ti-nós fibrados.

Definição 4.0.2. A entropia de um nó K, denotada por hK , é dada por

inf{h(w) : yo é uma monodromia de alguma fibração maximal de K}.

Recordemos o conceito de um nó satélite, introduzido por Schubert [21].

Assuma que k é um nó contido em um toro sólido (padrão) V em ,93

homeomorfo a SI x D2), mas não contido em qualquer 3-bola de V. Assuma

que k é um segundo nó não trivial, e seja g :17 N(k) um difeomorfismo de

12 sobre uma vizinhança tubular de k, levando uma longitude de V sobre uma

longitude do nó k. (Uma longitude de I? é uma curva simples fechada essencial

em aN(k) que é homologicamente nula em X(k )). A imagem K = g(k) é um

nó não trivial que é dito nó satélite com modelo (V, k) e nó companheiro k. Dizemos que K foi composto de k e k ou que se decompõe em k e I? (Ver [20]).

Alguns casos de decomposição vale a pena citar. Se I? é um nó toral que

fica no bordo de um toro sólido VI c V tal que 121 e V tem um círculo central

comum, então o nó satélite K é também chamado um cabo de k. Se k é apenas

o círculo central de 17, então K = k, e dizemos que a decomposição satélite é

trivial. Finalmente, se I? é o resultado de "amarrar" localmente o nó no círculo

central de V (isto é, em uma pequena 3-bola em V), então o nó satélite K é o nó

produto (ou soma conexa) de k e k. Se K é qualquer nó satélite com modelo (V, k) e nó companheiro k, então

como em [13] denotamos o nó k C ,93 como um "quociente" Kik de K por

K. Esta terminologia e notação concorda com a intuição que k e k são menos

complicados do que K. Não é difícil ver que um nó K tem uma decomposição satélite se e somente

se seu exterior X contém um toro incompressível que não é paralelo ao bordo.

Equivalentemente, K tem apenas a decomposição trivial exatamente quando X é atoroidal; neste caso, K é dito simples.

58

Assuma que K é um nó com exterior X e uma subvariedade maximal fibrada

não trivial X0. Então axo — ax é um conjunto finito r (possivelmente vazio)

de tons incompressíveis em X0, nenhum dos quais é paralelo ao bordo. Como

discutido em [16], cada toro T E 7- borda um toro sólido enodado V C S3 contendo

K, logo determina uma decomposição satélite não trivial de K.

Seja 9IK o conjunto de nós companheiros que surgem, isto é, seja 91K o con-

junto (possivelmente com repetição) de nós realizados por círculos centrais dos

vários toros sólidos V com av em 7-. Por [16], cada nó em 9IK tem uma sub-

variedade maximal fibrada. Se o próprio K é uma subvariedade maximal fibrada

trivial, então 91K é definida por {K}. Como em [16], 9IK será chamado o sis-

tema reduzido de nó de K Naturalmente, se K é fibrado, então seu sistema

reduzido de nó é vazio.

Formalizem. os esta noção:

Definição 4.0.3. Um sistema reduzido de nó é um conjunto finito 91 (pos-

sivelmente vazio) de nós não fibrados, cada um tendo uma subvariedade maximal

fibrada trivial.

A coleção de todos os sistemas reduzidos de nós é parcialmente ordenada por

inclusão. Um conjunto de sistemas reduzidos de nós é limitado se existe um

sistema reduzido de nó 91 tal que 91 < 9r, para qualquer 91 no conjunto.

Lembremos que o genus de um nó é o menor genus da superfícies de Seifert

do nó.

Lema 4.0.3. Seja S urna superfície compacta, conexa e orientóvel, possivelmente

com bordo, tendo característica de Euler negativa. O número de classes conju-

gadas topológicas de homeomorfismos periódicos de S é finito. Também, o número

de classes conjugadas topológicas de homeomorfisrnos pseudo-Anosov de S tendo

dilatação limitada é finito.

59

A primeira parte do enunciado do lema 4.0.3 pode ser provado usando [2]

(Teorema 1) junto com resultados sobre espaço Teichmüller. [8]

A segunda afirmação do Lema 4.0.3 segue imediatamente de dois resultados

conhecidos:

(1) o número de classes conjugadas de homeomorfismos pseudo-Anosov de S

tendo dilatação fixa é limitado, uma afirmação de Thurston em [25] que pode ser

provada usando partições de Markov (ver [26]);

(2) o conjunto de dilatações de todos os homeomorfismos pseudo- Anosov de

S é um subconjunto discreto de R (ver [6], por exemplo).

Como definido anteriormente, um enlaçamento é uma união finita L de nós,

disjuntos dois a dois em 83. Dois enlaçamentos L1 e L2 são equivalentes se existe

um difeomorfismo f : 53 —) 53 tal que f(Li ) =1/2. Enlaçamentos equivalentes,

assim como nós equivalentes, são vistos como o mesmo. Um enlaçamento é trivial

se ele é composto de nós triviais localizados no interior de 3-bolas disjuntas duas

a duas. O exterior de um enlaçamento L é o fecho X(L) de 53 menos uma

vizinhança tubular de L.

Observação 4.0.2. Se f é um homeomorfismo que satisfaz a conclusão da Proposição 1.0.5, então diremos que f estd na forma canônica. Para cada compo-nente A, 1 < < m, seja Ai a dilatação de A se a componente é pseudo-Anosov; se A é periódica, então seja Ai =1. Por [9], EGR(fq) = log max{Aliki, gtki"}

= h(f) (Isto está provado em [9] quando f é pseudo-Anosov. Os outros casos seguem usando [1] (Teorema 4) juntamente com o fato de que qualquer Dehn twist tem entropia topo lógica zero).

Lema 4.0.4. Seja L = K1 U U K4, um enlaçamento, e ki r -, k,. nós não triviais. Assuma que M é a 3-esfera homológica obtida colando os exteriores X(t), X(4) a X(L) ao longo dos bordos, identificando um meridiano (res-pectivamente, longitude) de ki com uma longitude (respetivamente meridiano) de ...,n. Se M = S3 , então o enlaçamento L é trivial.

60

Demonstração: Seja N(L)= N(If i )u ...0 N(K) uma vizinhança tubular de

L. Considere a sequência Mo = S3, M1, •••, Mn = M de 3-esferas homológicas

definidas indutivamente: Mi+1 é obtido de Mi removendo o interior de N(K)

de Mi e substituí-lo por X(k) (colando os bordos da maneira prescrita pelo

enunciado do lema). Note que o restante das componentes N(Ki+i),

de N(L) aparecem em M. Também, uma longitude de qualquer Ki em S3,

i < j < n, continua uma longitude do nó em

Pelo Teorema de J.W.Alexander [20](pág.107) qualquer toro mergulhado em

S3 borda um toro sólido no mínimo em um lado.

Suponha que alguma componente de L, por exemplo K1, após re-rotular é

não trivial. Como cada lado do toro mergulhado T = 3N(K1) em M1 borda o

exterior de um nó não trivial, então MI S. Agora considere o toro mergulhado

T2 = 3N(K2) em M2. Por um lado, T2 borda o exterior X(k2). Se o outro lado

de T2 for um toro sólido, então a 3-esfera homológica M1 seria uma união de dois

toros sólidos colados ao longo de seus bordos e logo seria um espaço lenticular.

Como S3 é a única 3-esfera homológica que é também um espaço lenticular,

seria S3, que nós sabemos que não é o caso. Logo M2 S3. Continuando dessa

maneira, eventualmente concluímos que M.„ S3, uma contradição. Portanto,

cada componente do enlaçamento L deve ser trivial.

Provemos agora por indução sobre n que as componentes de L podem ser

separadas por 3-bolas disjuntas. Se n = 1, então não há nada a provar. Assuma

que a afirmação é verdadeira quando n < N, e suponha que L é um enlaçamento

satisfazendo as hipóteses do lema e tendo exatamente N componentes Kb ..., KN .

Seja D um 2-disco em S3 com bordo K1 . Se alguma outra componente de L, por

exemplo K2 , após re-rotulada, não pode ser modificada por uma isotopia de forma

a não tocar D, então assumimos que K2 fica no toro sólido S3 —intN(Ki ) mas não

está contida em nenhuma 3-bola do toro sólido. Em M1 = S3 a componente K2

aparece como um nó satélite com nó companheiro 1̂(2; em particular, é não trivial

em S3. Segue que M2 será alguma 3-esfera homológica diferente de S3, e como

61

no argumento anterior, MN não será S3 , uma contradição. Portanto, o 2-disco D

pode ser encontrado no exterior de 1<2U ...0 KN , e assim Kl pode ser envolvido

por uma 3-bola que é disjunta de 1<2 U U KN . O argumento no parágrafo

anterior mostra que a 3-esfera homológica obtida colando X(k2 ),..., X(RN ) ao

exterior de 1<2U ...0 K,,, na maneira prescrita pelo lema é S3. Pela hipótese de

indução, o subenlaçamento 1<2U ...0 KN é trivial. Como Kl pode ser separado

do subenlaçamento, L é trivial.

Teorema 4.0.3. Existe apenas um número finito de nós distintos tendo um dado gentis, um sistema reduzido de nó e entropia menor que um dado limite.

Demonstração: Seja 91* algum sistema reduzido de nó não-vazio, e seja B uma

constante positiva. É suficiente provar a seguinte afirmação:

"A coleção C de nós distintos K tal que 91K < 91* e max{genus(K), hK } B finita." (*)

Podemos estabelecer a validade de (*) provando o seguinte enunciado para

cada m > O:

"A coleção Cm de nós distintos K tal que 91K < 9r , hK < B e genus(K) = m finita." (*)m

Vamos provar por indução sobre rn.

(a) Caso m = O. Se genus(K) = O (K borda um disco), então K e trivial.

Logo a afirmação Mo é obviamente verdadeira.

(b) Caso O < m < M. Assuma que Mu, é verdadeira para todos os va-

lores de m menores que M. Se a subvariedade maximal fibrada trivial de um

nó K E Cm é trivial, então K deve estar contida em 9r, um conjunto finito.

Portanto, é suficiente considerar apenas aqueles nós K E Cm com subvariedade

maximal fibrada não trivial. Podemos considerar (após isotopia) que qualquer

monodromia ço : So —) So para uma fibração maximal de um tal nó tem uma

componente (pis, :S1 —> S1 tal que S1 n ax(K) o. Segue facilmente pelos

argumentos de [21] ou pela pr.ova do [16] (Lema 1.3) que S1 pode ser estendida a

62

uma superfície de Seifert de genus mínimo para K através da colagem apropriada

de superfícies (Seifert) ao longo de as,, uma superfície para cada componente

de as, —5,. n ax(K). Como o genus de 51 mais o número de componentes de

asa — S n ax(K) é claramente limitado por M, o número de possibilidades para

SI a menos de difeomorfismo é finito. Usando resultados do Capítulo 3, vemos que

h(çls, ) < h(cp) = hic < B. Consequentemente, se (pis, é pseudo-Anosov, então

sua dilatação é limitada por eB. Pelo Lema 4.0.3 o número de possibilidades a

menos de isotopia e conjugação topológica para (é:1s,, é finito quando for pseudo-

Anosov ou periódica. Logo o número de possibilidades para o "mapping torus"

X1 de wls, a menos de homeomorfismo (por [19] (Teorema 6.3)) é também finito.

Olhamos X1 como uma subvariedade de X(K), exterior do nó.

Para contar os nós K E Cm, fazemos o seguinte para cada uma das possíveis

variedades X1. Se axa é conexo, então X1 deve ser o exterior de algum nó

(fibrado) K E em; de fato, pelo teorema de Gordon e Luecke [12], K é unicamente

determinado. Se ax, consiste de mais do que uma componente, prosseguimos

em três passos:

(1) Enumere as componentes de ax, como 710, T1, ...,T„ tomando To = ax (K) para algum K E em. Colando toros sólidos VI, ..., 17,, a X. ao longo dos bordos de

tal forma que o meridiano de Vi é identificado com uma componente de S,n Ti ,i = 1, n. A 3-variedade resultante X' é o exterior de um nó K'. Como na prova de

[7] (Proposição 2.1), X' resulta de "desplicing" do exterior de algum nó K E C,,,

ao longo do toro To, T1, T. (2) O nó K' é fibrado, e sua fibra é difeomorfa a S/ "tampada" por algum

número de 2-discos. Se o genus de Si é positivo, então K' deve ser não trivial, e

por [12] um meridiano mo c ar para K' é único a menos de isotopia. Neste caso,

podemos recuperar (83;K',14,...,Vn) colando um toro sólido 170 (visto como uma

vizinhança tubular de K') a X' ao longo dos bordos, identificando um meridiano

de 170 com mo. Se o genus de Si é zero, então K' é um nó trivial, e X' é um

toro sólido. Neste caso, existem infinitas escolhas do meridiano mo para o qual

63

(S3 ; K',V1,...,14,) pode ser recuperado colando um toro sólido 14 como acima.

Faça uma tal escolha e realize a colagem. Os círculos centrais de 3/4, V,., então

formam um enlaçamento.L C s3 , o fecho de uma n-trança geométrica fl com eixo

da trança K'. Diferentes escolhas de mo correspondem às n-tranças ckfl, k E Z,

onde c é uma torção total positiva de todos os fios da trança. Veremos logo que todos, exceto 2 valores de k, podem ser eliminados.

(3) Para cada i = 1, ...,n, selecione um nó k não-trivial, em 01 U U €A1_1,

um conjunto que é finito pela hipótese de indução. Faça a seleção de tal maneira que o gentis (SI) + 9 n(i).genus(if i ) = M, onde n(i) é o número de componentes de Ti n S1. Também, verifique que a união de todos os sistemas reduzidos de nós de ifn é um subconjunto de 91.. Seja Mi, ii c ax(ki ) um par meridiano, longitude de k. Remova o interior de cada toro sólido Vi de S3 , e substitua-o por

X(ifi), identificando mi (respectivamente c Ti = avi com (respectivamente

'Mi) C ax(ki), onde mi e l são, respectivamente, o meridiano e a longitude padrão para V. Se o genus de S1 é positivo, então o resultado é S3, e K' transformado em algum K E (Claramente, a subvariedade maximal fibrada de K tem uma fibra com genus no mínimo M. Que o genus não é maior que M é uma consequência da unicidade da subvariedade maximal fibrada [15]). Se o genus de S1 é zero, então pelo Lema 4.0.4 o resultado é S3 se e somente se o enlaçamento L no passo (2) é trivial; por [11] (Lema 3) existem no máximo duas escolhas para mo tal que este é o caso, e logo obtemos no máximo dois possíveis nós K E 0„,. Pela recíproca do procedimento acima não é difícil ver que todo nó em 0„, pode ser produzido pelos passos (1), (2), (3).

Como o número de escolhas em cada passo é finito, assim é em. e

O seguinte corolário é uma consequência imediata do Teorema 4.0.3 junto com o fato anteriormente observado que o conjunto de dilatações de homeomorfismos

pseudo-Anosov de uma superfície fixada é discreto em R.

64

Corolário 4.0.1. Se K„ é uma sequência infinita de nós fibrados distintos com

gentis limitado, então limkG, = co.

Observação 4.0.3. À primeira vista o Corolário 4.0.1 é surpreendente. Esperava-se que (após isotopia para a forma canônica) uma rnonodrornia ço, para qualquer nó fibrado não simples K, produzisse infinitas rnonodrornias correspondendo a fi-braç5es de nós distintos variando-se o número de Dehn tvrists entre componentes de ço, logo seriam obtidos infinitos nós fibrados distintos com a mesma entropia. Isto é verdade, mas os nós resultantes estariam necessariamente contidos em 8-esferas hornológicas mio simplesmente conexas e não em S3.

Se K é um nó fibrado hiperbólico e cp é uma monodroraia para uma fibração de K, então ço é isotópica a um homeomorfismo pseudo-Anosov com alguma dilatação A. Neste caso, hK = log.X.

O Corolário 4.0.1 estabelece que para qualquer sequência de nós fibrados hiperbólicos, é possível distinguir seus membros se pudermos calcular as dila-tações relevantes.

Da mesma maneira, como hK = gyK para qualquer nó fibrado K, o Corolário 4.0.1 prediz que gyK seria um invariante igualmente efetivo, mais que isso, um invariante computável. (Exemplos que demonstram a sensibilidade de ÀK estão contidos em [221)

Sequências de nós fibrados hiperbólicos como acima são muitas vezes construí-dos de um único nó fibrado usando uma certa construção "twist" de Lyon [18] e Stallings [24]. Recordemos a construção. Seja K um nó fibrado e seja cio : F —* F uma monodroraia para alguma fibração de K. Assuma que Cc Fé uma curva fechada simples que é essencial em F mas não enodado. em S3. Assuma também que C tem número de enlaçamento zero com uma cópia C+ de C obtida puxando-se C para dentro de F. Seja D uni. 2-disco cujo bordo estendido através de C+ é transverso a K. Defina K,,, como o nó obtido de K dando In' voltas completas

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passando através de D, voltas à direita se TI > O e à esquerda, caso contrário. Diremos que a sequência (duplamente infinita) de nós {K,,}„Ez é obtida de K pela construção "twist de Lyon- Stallings". O significado da construção é que cada um dos nós Kn é fibrado, de fato, uma monodromia para uma fibração de Kn pode ser obtida de uma monodromia de uma fibração de K compondo com n. Dehn twists ao longo de C.

Na construção acima não é difícil ver que K encontra o disco D em no mínimo dois pontos. De [17] (Teorema 3.2) nenhum nó na sequência {K,i}„Ez aparece infinitas vezes. Como todos os nós Kn têm o mesmo genus, isto é, o de K, temos o seguinte resultado:

Corolário 4.0.2. Se {Kn}nEz é qualquer sequência de nós obtida de um único nó fibrado K pela construção twist de Lyon-Stallings, então

um hK„ = lim h_K„ = oo. t. n-oo n—wo

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Entropia Topológica e Aplicações à Teoria de Nós · à Régia e Pedro Henrique, que jamais os...

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