Eo a2 técnicas de integração
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UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO
ESCOLA DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
ESTUDO ORIENTADO
CÁLCILO II
Jorge Alexandrino Borges
Francisco José de Souza
Rio de Janeiro, Novembro 2012
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JORGE ALEXANDRINO BORGES
Mat. 2011200355
Francisco José de Souza
Mat. 2011240163
ESTUDO ORIENTADO
CÁLCULO II
Trabalho da disciplina Cálculo II
Estudo Orientado para a A2
Professora: Antônio Fábio Serafim
Rio de Janeiro, Novembro 2012
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TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
Objetivos desta técnica
“Estudar integração por substituição e por partes, mostrando que estes processos são ferramentas poderosas para facilitar a integração de uma ampla classe de funções”.
INTEGRAL POR SUBSTITUIÇÃO
É importante sermos capazes de encontrar antiderivadas. Mas nossas fórmulas de antidiferenciação não mostram como calcular integrais do tipo:
Equação [1]
� 2 �2x � 4� . dx Uma maneira de calcularmos esta integral é expandir a expressão �2� � 4� e,
em seguida, integrar o integrando resultante termo a termo. Alternativamente, vejamos se é possível simplificar a integral fazendo uma mudança de variáveis.
Com o diferencial:
u = 2x + 4
u’=2
du = 2 . dx
Se substituirmos estas expressões na Equação [1], obtemos:
2 �2� � 4� � 2 �2� � 4� �2. ��� � � . ��
Assim resolvendo esta integral teremos:
���5 � 1 �� � ��
6 � 16 �� � �
Portanto, usando este resultado e substituindo u por u = 2x + 4, obtemos:
� ��� � ��� �� � �� ��� � ��� � �
Podemos verificar que o resultado que acabamos de obter está correto calculando
��� � �
� ��� � ��� � � � �� . � ��� � ���. � � � ��� � ���
e observando que este resultado é precisamente o integrante de [1].
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Se u = g(x) for uma função diferenciável cuja imagem é um intervalo I e f for contínua em I,
então:
!" ���#"$����� � �%��%
Observe que a Regra da Substituição para a integração foi provada usando-se a Regra da Cadeia para diferenciação. Note também que se u = g(x), então du = g ’(x) dx, portanto, uma forma de lembrar a Regra da Substituição é imaginar dx e du como diferenciais.
Assim, a Regra da Substituição estabelece que: é permitido operar com dx e du após os sinais de integrais como se fossem diferenciais.
APLICAÇÃO Um estudo preparado pelo departamento de marketing da Companhia Universal
Instrumentos projeta que, após a nova linha de computadores pessoais Galaxy ser introduzida no mercado, as vendas crescerão à taxa de 2000'1500()*,*, �0 - � - 60� unidades por mês. Encontre uma expressão que forneça o número total de computadores que serão vendidos x meses após se tornarem disponíveis no mercado. Quantos computadores a Universal venderá no primeiro ano em que eles estiverem no mercado?
Solução:
Denotemos por N(x) o número total de computadores que se espera que sejam
vendidos x meses após sua introdução no mercado. Então, a taxa de crescimento de vendas é dada por N ‘(x) unidades por mês. Assim, . ′��� � 2000 ' 1500()*,*,
. ′��� � 2000 ' 1500 ()*,*, ��
� 2000. �� ' 1500 ()*,*, ��
Calculando a segunda integral pelo método de substituição, obtemos:
.��� � 2000� � �***,* ()*,*, � � �/(01 � � '0,05�, (23ã4 �� � '0,05. ���
� 2000� � 30.000()*,*, � �
Para determinarmos o valor de K notemos que o número de computadores vendidos ao final do mês 0 é nulo, donde N(0) = 0. Isto fornece:
.�0� � 30.000 � 6 � 0 �7á 8�( (* � 1�
.��� � 2000� � 30.000()*,*, ' 30.000 � 2000� � 30.000�()*,*, ' 1�
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O número de computadores que a Universal espera vender no primeiro ano á dada por
.�12� � 2000�12� � 30.0009()*,*��:� ' 1; � 10.464 �2<�1�(=
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Cada regra de diferenciação tem uma regra correspondente de integração. Por exemplo, a Regra da Substituição para integração corresponde à Regra da Cadeia para diferenciação. A regra que corresponde à Regra do Produto para diferenciação é chamada de integração por partes.
A Regra do Produto estabelece que se “f” e “g” são funções diferenciáveis, então >
>, !?���@���# � ?���@$��� � @���?$���
Na notação para integrais indefinidas essa equação torna-se
�!?���@$��� � @���?$���#�� � ?���@��� ou � ?���@$��� � � @���?$��� � ?���@���
Podemos rearranjar essa equação como
� ?���@′����� � ?���@��� ' � @���?$����� ! 1 # A fórmula [ 1 ], chamada fórmula de integração por partes, é mais facilmente lembrada com a seguinte notação: seja u = f (x) e v = g (x). Então as diferenciais são du = f ‘(x) dx e dv = g’(x), e assim, pela Regra da Substituição, a fórmula da integração por partes torna-se formula de integração por partes
� �. �A � �. A ' � A. �� ! 2 # Exemplo
Calcule � �(,��
Nenhum método de integração desenvolvido até agora nos permite calcular uma integral indefinida desta forma. Portanto, tentaremos escrevê-la em termos de uma integral indefinida mais fácil de ser calculada. Vamos usar a fórmula de integração por partes [ 2 ] fazendo
u = x e dv = (,
de modo que
du = dx e v = (,
Portanto, � �. (,�� � � �. �A � �. A ' � A. �� � �(, ' � (, . ��
� �. B� ' B� � � � B��� ' �� � �
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O sucesso do método de integração por partes depende da escolha apropriada de u e dv. Por exemplo, se tivéssemos escolhido
u = (, e dv = x.dx
no exemplo anterior, então
�� � (, e A � �: �:
Logo, [ 2 ] teria resultado em
� �(,�� � � �. �A � �. A ' � A. �� � �� ��. B� ' � �
� ��. B� . ��
Como a integral indefinida no lado direito desta equação não é facilmente calculada (ela é de fato mais complicada que a integral original), a escolha de u e de dv feita não nos ajudou a calcular a integral indefinida dada.
Em geral, podemos usar as seguintes diretrizes:
Escolha u e dv, tais que
1. du é mais simples que u;
2. dv é mais fácil de integrar
APLICAÇÃO
A taxa estimada de produção de petróleo de certo poço t anos após a produção ter começado é dada por C�3� � 1003()*,�D milhares de barris por ano. Encontre uma expressão que descreva a produção total de petróleo ao final do ano t.
Solução: Seja T(t) a produção total de petróleo do poço ao final do ano E�E F G�
Então, a taxa de produção de petróleo será dada por T’(t) barris de petróleo por ano. Logo, H�3� � C�3� � 1003()*,�D
H�3� � 1003()*,�D. �3 � 100 3()*,�D. �3
Usando a técnica de integração por partes para calcular esta integral. Sejam � � 3 ( �A � ()*,�D. �3
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de modo que �� � �3 ( A � ' �*,� ()*,�D � '10()*,�D
Portanto, H�3� � 100!'103()*,�D � 10 � ()*,�D. �3# � 100!'103()*,�D ' 100()*,�D# � � � '�GGGB)G,�E�E � �G� � �
INTEGRAL DEFINIDO Definição
Seja função não negativa e contínua no intervalo fechado [a; b]. A área delimitada pelo gráfico de f, pelo eixo dos xx’s e pelas retas x = a e x = b e representada
por ÁJ(1 � � ?���. ��KL
A expressão � ?���. ��KL é o integral definido de f de “a” a “b”; a é o limite de
inferior de integração e b é o limite superior de integração. Exemplo:
3�:
�. �� � !�M#� � 5M ' 1M � 125 ' 1 � 124
APLICAÇÃO
O lucro marginal de um produto tem como modelo N$��� � >O>, ' 0,005� �
12,2. Calcule a variação do lucro quando as vendas aumentam de 100 para 101 unidades. Solução:
�'000,5� � 12,2�. �� � !'00025�: � 12,2�#�**�*��*�
�**
� !�'00025. 101:� � �12,2.101� ' 9'0,00025. 100:� � 12,2.100;# P 12,15 Bibliografia: www.somatematica.com.br/superior/integrais/integrais5.php
www2.ufersa.edu.br/portal/view/uploads/setores/72/integraçã_por_partes.pdf