Equação do primeiro e segundo grau1

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Equações do 1° Grau Uma equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0, onde a e b são números reais conhecidos, com a ≠ 0, x representa uma incógnita e o expoente de x é 1, é chamada de equação do 1° grau a uma incógnita. Os números conhecidos são chamados coeficientes. Um valor que pode ser atribuído à incógnita, tal que torne a sentença verdadeira é chamado de raiz ou solução da equação.

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equação do primeiro e segundo grau

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Equações do 1° Grau

Uma equação que pode ser escrita na forma ax + b = 0, onde a e b são números reais conhecidos, com a ≠ 0, x representa uma incógnita e o expoente de x é 1, é chamada de equação do 1° grau a uma incógnita.

Os números conhecidos são chamados coeficientes.

Um valor que pode ser atribuído à incógnita, tal que torne a sentença verdadeira é chamado de raiz ou solução da equação.

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Forma Geral: ax + b = 0 a ≠ 0

Solução: ax = – ba

bx

2 – 2x = 8Ex.: ⇒ – 2x = 8 – 2 ⇒ – 2x = 6 . (– 1)

⇒ x = – 6 / 2 ⇒ x = – 3

1)

2) 2x-7 = 4x+15

Solução : Transpondo, resulta 2x-4x=7+15, isto é,

-2x = 22. Dividindo por (-2) ( ou seja, multiplicando por - ½)Vem x = -11

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Princípios Gerais para solução de equação do 1° grau

1) Numa equação podemos transpor um termo 9 isto é, mudá-lo de um membro da equação para outro), desde que o multipliquemos por -1.

Em suma, a + b =c → a = c-b.

Com efeito, a+b=c a+b+(-b)= c+(-b)a + 0 = c - b

2) Uma equação não se altera quando se multiplicam ambos os membros por um mesmo número diferente.

Em suma, se K ≠ 0, a=b → Ka = Kb

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Exercício Resolvidosxxxa 5)]1(2[3 )

3)1( 3

12535123

5]12[35)]1(2[3

xx

xxxxxx

xxxxxx

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EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO

1) 2x-[1-(x-2)] = 32) x + 1 = 1 - 3x3) 3x – 3 = 3(x-1)4) O valor de x que satisfaz a equação

a) 1 b)zero c)43/11 d)4 e)35/11

6) Dada a sentença , podemos afirmar que:

b) É falsa para todo x Є Rc) É verdadeira somente se x=0d) É falsa para todo x Є Ne) É verdadeira para todo x Є Rf) É falsa para x=0

3

25

2

33

xxx

)4(2

12

2x

x

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Equação tipo “produto” ou “quociente”

Definição

São equações dos tipos a.b =0 (produto) ou (quociente), com {a;b} está contido em R

0b

a

Resolução

Ao resolver equações destes tipos, lembrar-se das duas seguintes equivalências:

0bou 00. aba

0bou 00 ab

a

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Exemplo

Resolver a equação32³

)3)(1(

xx

xx

}3{3 032³

)3ou 1(032³

)03ou 01(032³

0)3)(1(032³

)3)(1(

Vxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xx

Page 8: Equação do primeiro e segundo grau1

Exercício de fixação

1.3x – [2 – (x – 1)] = 5x2.3(x – 2) – x = 2x – 6 3.2(x – 7) = x – (2 – x) 4.(x² + 1)(x – 1)(x + 1)=0

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Equações do 2º grau.Equações do 2º grau.

Professor :Alexandre da Silva Bonifácio

Page 10: Equação do primeiro e segundo grau1

Uma equação pode ser escrita na forma ax² +bx + c = 0 , onde a, b e c são números reais conhecidos, com a ≠ 0 e x representa uma incógnita, é chamada de equação do 2º grau a uma incógnita.

02 cbxax 0a

Page 11: Equação do primeiro e segundo grau1

Exemplos

352 2 xx

1223 2xxx

1223 22 xxx

01232 22 xxx

É uma equação

do 2º grau0332 xx

0352 2 xx

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Exemplo

22

2

251

2

43x

xxxx

222

2

1051

2

43x

xxxx

222 2105243 xxxxx

02104253 222 xxxxx

026 x É uma equação do 1º grau

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Exemplos de equações do 2º grau:

0342 2 xx

054 2 xx

0362 x

a=2, b=4 e c=3

a=4, b= -5 e c=0

a=1, b=0 e c= -36

Equação do 2º grau completa

Equações do 2º grau incompletas

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Resolução de equações do 2º grau incompletas (Revisões do 8º ano)

Problema 1: Determina o perímetro de um triângulo retângulo de catetos 6 cm e 8 cm.

Resolução:1º) Desenhar o triângulo retângulo e equacionar o problema.

222 86 x

x

6

8

Caso b=0 e c≠ 0

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1010

100100

100

6436

86

2

2

222

xx

xx

x

x

x

2º) Resolver a equação do 2º grau incompleta

3º) Verificar se a ou as soluções da equação

são ou não solução do problema.

4º) Dar resposta ao problema

R: O perímetro do triângulo é 10cm + 6cm + 8cm = 24cm

-10 não é solução do problema

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Exercício de Fixação

1.Resolva as equações:a)x²- 4= 0b) x² = 9c) 4x² - 25 =0d)9x² = 16

Page 17: Equação do primeiro e segundo grau1

Resolução de equações do 2º grau incompletas (Revisões do 8º ano)

Problema 2: Resolver a seguinte equação, aplicando a Lei do Anulamento do Produto:

042 xx

000 baba

Recorda:

Um produto é zero se e só se um dos seus fatores for zero. a =0 ou b=0

Caso b≠o e c=0

Page 18: Equação do primeiro e segundo grau1

Resolução:1º) Fatorar o 1º membro;

2º) Aplicar a Lei do Anulamento do Produto;

3º) Resolver cada uma das equações do 1º grau e determinar o conjunto-solução

042 xx

04xx 040 xx

40 xx

40,.. SC

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Exercício de Fixação

1.Resolva as equações:a)x²- 2x= 0b) x² +5x = 0c) 3x² - x =0d)- x²+4x = 0e)-2x² - 7x = 0

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Exercício Propostos

a) 3x²-x-2 = 0b) 6x²-x-1 = 0c) x²- 5x + 6 = 0d) 6x²-13x+6 = 0e) 2x²- 6x = 0f) 3x²+ 12x = 0g) x²- 49 = 0

2) A maior raiz da equação -2x²+ 3x + 5 = 0 valea) -1 b)1 c)2 d)2,5 e)

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Propriedade das raízes

a) Sejam x’ e x’’ as raizes reais da equação ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0; sejam ainda, S e P a soma e o produto dessas raízes, respectivamente.

Pode-se demonstrar que:

a

cxxP

a

bxxS

'''.

'''

b) Obtenção de uma equação a partir das suas raízes

0² PSxx

Page 22: Equação do primeiro e segundo grau1

3

2P e 5S Resposta

3

2

a

c P produto o e

53

)15(

a

b-S soma a -2,c e -15b 3,a que Lembrando

Resolução

02-15x - 3x² equação da raízes das produto o e soma a Determinar a)

027²3

temosequação toda3por ndomultiplica

03

2

3

7²0)

3

1.2()

3

1(2 - x²

: temosa,apresentad teoriaa com acordo De

:Resolução3

1e 2 são raízes cujasgrau 2º do equação umaObter b)

xx

xxx

Page 23: Equação do primeiro e segundo grau1

Utilizando as propriedades da soma e produto da raízes, determinar os valores de m na equação 2x² - 24x + 2m – 1 =0 para que:a) uma raiz seja o dobro da outra

2

65

652

164264122.32122

128.4

2

12.

:Portanto

8 e 43

12123122

: temos1ª na equação 2ª da xdosubstituin

22

24

:Então

x2 xe raízes as xe xraizes as Sejam

:

21

21

1111

2

12

21

1221

m

m

mmm

mmxxP

xx

xxxx

xx

xx

resolução

Page 24: Equação do primeiro e segundo grau1

Exercício de Fixação

a) Para que a soma das raízes da equação (K-2)x² - 3Kx + 1= 0 seja igual ao seu produto devemos ter :

3

3e) 3d)

3

1c)

3

1b)

3

1) kkkkka

b) Se m e n são raízes da equação 7x² + 9x + 21=0 então (m + 7)(n + 7) vale:a)49 b)43 c)37 d)30 e) 30/7