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Equações do 2º grauEquações do 2º grau As equações do segundo grau são

abordadas na história da matemática desde a época dos egípcios, babilônios, gregos, hindus e chineses.

O primeiro registro das equações polinomiais do 2º grau foi feita pelos babilônios. Eles tinham uma álgebra bem desenvolvida e resolviam equações de segundo grau por métodos semelhantes aos atuais ou pelo método de completar quadrados. Como as resoluções dos problemas eram interpretados geometricamente não fazia sentido falar em raízes negativas. O estudo de raízes negativas foi feito a partir do século XVIII.

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Os BabilôniosOs BabilôniosOs Babilônios foram um povo da

Antiguidade que viveu no Médio Oriente.  Escreviam os símbolos numéricos com caracteres cuneiformes, ou seja, em forma de cunha, gravados em placas de argila que depois eram cozidas.

     

As equações do 2º grau ou equações quadráticas são da

forma:                           

  ax² + bx +  c = 0,

em que a, b e c são números reais com a diferente de zero.

                             a é o coeficiente de x²                           b é o coeficiente de x c é o termo independente.    

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Equações Completas Completas do 2 ºgrauºgrau

Uma equação do 2 º grau éº grau é completa quando a, b e c são

diferentes de zero.

Exemplos:2 x² - 7x + 5 = 0 ( a = 2,b = -7,c = 5 )

3 x² + x + 2 = 0 ( a = 3,b = 1,c = 2 )

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Equações incompletas do 2 ºº grau

Exemplos:4 x² + 6x = 0 ( a = 4, b = 6, c = 0 )-3 x² - 9 = 0 ( a = -3, b = 0, c = -9 )

2 x² = 0 ( a = 2, b = 0, c = 0 )

Uma equação do segundo grau é incompleta se b = 0 ou c = 0 ou b = c =

0. Na equação incompleta o coeficiente a é diferente

de zero.

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Raízes de uma equação do 2º 2º graugrau

Resolver uma equação do 2º grau 2º grau significa determinar suas raízes.significa determinar suas raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa

sentença verdadeira.O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução.

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Resolução de Equações Resolução de Equações IncompletasIncompletas

Equações do tipo ax² + bx = 0: Neste caso, fatoramos a equação para obter: x (ax + b) = 0 e a equação terá duas raízes:

x' = 0   ou    x" = -b/a.

Equações do tipo ax² = 0: Basta dividir toda a equação por a para obter: x² = 0. Significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

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Equações do tipo ax² + c = 0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo membro para obter:

x² = -c/a.

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.

Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.

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Fórmula Geral

Um fato curioso é que a fórmula acima, também conhecida como Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele, mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós ( nessas resoluções todos os cálculos eram expressos em palavras) . No Brasil, costuma-se chamar de fórmula de Bhaskara à fórmula que dá as soluções da equação do segundo grau. Além de ser historicamente incorreto, esta nomenclatura não é usada em nenhum outro país.

2a4acbb

x2 −±−=

Resolução de Equações Completas

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Delta ou DiscriminanteDelta ou Discriminante

                                                                        

De acordo com o valor de delta, é possível tirar algumas conclusões sobre a equação.•Se                 , a equação terá duas raízes reais e distintas.

•Se               , a equação terá duas raízes reais e iguais.

•Se                , a equação terá duas raízes complexas.

O polinômio dentro da raiz da fórmula resolutiva ou geral é chamado de delta ou discriminante.

Dessa forma, a fórmula geral pode ser escrita na forma:

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Relações entre os coeficientes e Relações entre os coeficientes e as raízes de uma equação do 2º as raízes de uma equação do 2º

graugrau  

Soma das raízes (S )

                 

Produto das raízes (P )

 Denominamos essas relações de relações de Girard.

P = xP = x'' . x" = c/a. x" = c/a

S = xS = x'' + + x" = -b/ax" = -b/a

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Composição de uma equação do Composição de uma equação do 2º grau, conhecidas as raízes2º grau, conhecidas as raízes  

xx²² - Sx + P = 0 - Sx + P = 0

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Não foi um único povo, nem uma única pessoa que inventou a fórmula da equação do 2º grau. Matemáticos de várias regiões do Velho Mundo, entre eles François Viéte, Thomas Harriot e René Descartes, acabaram deduzindo uma fórmula única, que tornou possível a resolução de qualquer equação do 2º grau, proporcionando assim aos estudantes de hoje conseguirem resolver em poucos minutos problemas que os mais brilhantes matemáticos da Antiguidade levavam meses para resolver!

François ViéteThomas Harriot René Descartes