EquaesEngenhariaProfa: Alessandra Stadler Favaro MisiakCascavel 2009FACULDADE ASSIS GURGACZ FAGIntroduo ao Clculo Engenharia FAGEquaesEquaes de primeiro grau Equao toda sentena matemtica aberta que exprime uma relao de igualdade. Apalavraequaotemoprefixoequa, queemlatimquerdizer"igual". Exemplos:2x + 8 = 05x - 4 = 6x + 8 3a - b - c = 0No so equaes:4 + 8 = 7 + 5 (No uma sentena aberta)x - 5 < 3 (No igualdade) (no sentena aberta, nem igualdade) A equao geral do primeiro grau:ax+b = 0ondeaebsonmeros conhecidos ea>0, seresolvedemaneirasimples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:ax = -bdividindo agora por a (dos dois lados), temos:Considera a equao 2x - 8 = 3x -10A letra a incgnita da equao. A palavra incgnita significa " desconhecida". Na equao acima a incgnita x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1 membro, e o que sucede, 2 membro.

Qualquer parcela, do 1 ou do 2 membro, um termo da equao.Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 2Introduo ao Clculo Engenharia FAGEquao do 1 grau na incgnita x toda equao que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b nmeros racionais, com a diferente de zero. Resoluo de uma equaoResolver umaequao consisteemrealizar umaespcie deoperaes de operaes que nos conduzem a equaes equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar as razes da equao. Na resoluo de uma equao do 1 grau com uma incgnita, devemos aplicar os princpios de equivalncia das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos: Resolva a equao. MMC (4, 6) = 12

-9x = 10=> Multiplicador por (-1) 9x = -10 . Resolva a equao 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4). Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicao: 2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8 2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 33x = -1

Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 3Introduo ao Clculo Engenharia FAGEquaes de 2 grauDefinies Denomina-se equao do 2 grau na incgnita x, toda equao da forma:ax2 + bx + c = 0; a, b, cIR e Exemplo: x2 - 5x + 6 = 0 um equao do 2 grau com a = 1,b = -5ec = 6. 6x2 - x - 1 = 0 um equao do 2 grau com a = 6,b = -1ec = -1. 7x2 - x = 0 um equao do 2 grau com a = 7,b = -1ec = 0. x2 - 36 = 0 um equao do 2 grau com a = 1,b = 0 e c = -36. Nas equaes escritas na forma ax + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equao do 2 grau naincgnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.a sempre o coeficiente dex;b sempre o coeficiente de x,c o coeficiente ou termo independente. Equao completas e Incompletas Umaequaodo2 graucompletaquandobecsodiferentesdezero. Exemplos:x - 9x + 20 = 0 e -x + 10x - 16 = 0 so equaes completas. Uma equao do 2 grau incompletaquando bou c igual a zero, ou ainda quando ambos so iguais a zero. Exemplos: x - 36=0(b = 0) x - 10x= 0(c = 0) 4x = 0(b = c = 0) Razes de uma equao do 2 grauResolver uma equao do 2 grau significa determinar suasrazes.Raiz onmeroreal que, aosubstituir aincgnitadeuma equao, transforma-a numa sentena verdadeira.Resoluo de equaes incompletasResolver uma equao significa determinar o seuconjunto verdade. Utilizamosnaresoluodeumaequaoincompletaastcnicasdafatoraoe duas importantes propriedades dos nmeros reais: 1 Propriedade: 2 Propriedade: 1 Caso: Equao do tipo .Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 4Introduo ao Clculo Engenharia FAG Exemplo: Determine as razes da equao , sendo .SoluoInicialmente, colocamosxem evidncia: Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores tambm o seja. Assim:

Obtemos dessa maneira duas razes que formam o conjunto verdade:

De modo geral, a equao do tipotem para soluese .2 Caso: Equao do tipo Exemplos: Determine as razes da equao, sendo U = IR. Soluo

De modo geral, a equao do tipopossui duas razes reais sefor um nmero positivo, no tendo raiz real casoseja um nmero negativo.Resoluo de equaes completas Para solucionar equaes completas do 2 grau utilizaremos afrmula de Bhaskara.Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 5Introduo ao Clculo Engenharia FAG Podemos representar as duas razes reais por x' e x", assim: Exemplos: resolva a equao: Temos

Discriminante Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que representado pela letra grega (delta).Podemos agora escrever deste modo a frmula de Bhaskara: De acordo com o discriminante, temos trs casos a considerar:Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 6Introduo ao Clculo Engenharia FAG1 Caso: O discriminante positivo.O valor de real e a equao tem duas razes reais diferentes, assim representadas:Exemplo: Para quais valoresde kaequao x-2x +k-2= 0admite razesreais e desiguais?SoluoParaqueaequaoadmitarazesreaisedesiguais, devemoster

Logo, os valores de k devem ser menores que 3.2 Caso: O discriminante nuloO valor de nulo e a equao tem duas razes reais e iguais, assim representadas:

Exemplo: Determine o valor de p, para que a equao x - (p - 1) x + p-2 = 0 possua razes iguais. SoluoPara que a equao admita razes iguais necessrio que. Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 7Introduo ao Clculo Engenharia FAG

Logo, o valor de p 3.3 Caso: O discriminante negativo.O valor deno existe em IR, no existindo, portanto, razes reais. As razes da equao so nmero complexos. Exemplo: Para quais valores de m a equao 3x + 6x +m = 0 no admite nenhuma raiz real?SoluoPara que a equao no tenha raiz real devemos ter

Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.ResumindoDada a equao ax + bx + c = 0,temos:Para, a equao tem duas razes reais diferentes.Para, a equao tem duas razes reais iguais.Para, a equao no tem razes reais.EQUAES LITERAISAsequaesdo2graunavarivel xquepossuemalgunscoeficientesoualguns termos independentes indicados por outras letras so denominadasequaes literais.As letras que aparecem numa equao literal, excluindo a incgnita, so denominadas parmetros.Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 8Introduo ao Clculo Engenharia FAGExemplos: ax2+ bx + c = 0 incgnita: x parmetro: a, b, cax2 - (2a + 1) x + 5 = 0 incgnita: x parmetro: a COMPOSIO DE UMA EQUAO DO 2 GRAU, CONHECIDAS AS RAZES Considere a equao do 2 grau ax2 + bx + c = 0. Dividindo todos os termos por a, obtemos: Como, podemos escrever a equao desta maneira.x2 - Sx + P= 0 RELAES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAZES Considere a equao ax2 + bx + c = 0, com a0 e sejam x'e x'' as razes reais dessa equao. Logo: Observe as seguintes relaes: Soma das razes (S)

Produto das razes (P)

Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 9Introduo ao Clculo Engenharia FAG Como,temos: Denominamos essas relaes de relaes de Girard. Equaes literais incompletasAresoluodeequaesliteraisincompletassegueomesmoprocessodas equaes numricas.Observe os exemplos: Resolva a equao literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a varivel. Soluo 3x2 - 12m2 = 0 3x2 = 12m2 x2 = 4m2

x=Logo, temos: Resolva a equao literal incompletamy2- 2aby=0,comm 0, sendoya varivel. Soluomy2 - 2aby = 0y(my - 2ab)=0Temos, portanto, duas solues: y=0oumy - 2ab = 0my = 2aby= Assim: Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 10Introduo ao Clculo Engenharia FAG Nasoluodoltimoexemplo, teramoscometidoum errogravesetivssemos assim resolvido:my2 - 2aby= 0 my2 =2abymy = 2ab Desta maneira, obteramos apenas a soluo.O zero da outra soluo foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.Esta uma boarazo para termosmuitocuidado comos cancelamentos, evitando desta maneira a diviso por zero, que um absurdo.Equaes literais completasAs equaes literais completas podemser tambmresolvidas pela frmula de Bhaskara:Exemplo: Resolva a equao: x2 - 2abx - 3a2b2, sendo x a varivel. Soluo Temos a=1, b = -2ab e c=-3a2b2

Portanto:

Assim, temos: V= { - ab, 3ab}. Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 11Introduo ao Clculo Engenharia FAG FORMA FATORADA Considere a equao ax2 + bx + c = 0.A forma fatorada da equao ax2 + bx + c = 0 :a.(x - x') . (x - x'') = 0 Exemplos: Escreva na forma fatorada a equao x2 - 5x + 6 = 0. SoluoCalculando as razes da equao x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:(x-2).(x-3) = 0EQUAES BIQUADRADAS Observe as equaes:x4 - 13x2 + 36 = 09x4 - 13x2 + 4 = 0x4 - 5x2 + 6 = 0 Note que os primeiros membros so polinmios do 4 grau na varivel x, possuindo um termo em x4, um termo em x2e um termo constante. Os segundos membros so nulos.Denominamos essas equaes de equaes biquadradas.Ou seja, equao biquadrada com uma varivel x toda equao da forma: ax4 + bx2 + c = 0 Exemplos:x4 - 5x2 + 4 = 0x4 - 8x2 = 03x4 - 27 = 0 Cuidado!x4 - 2x3 + x2 + 1 = 0 6x4 + 2x3 - 2x = 0x4 - 3x = 0Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 12Introduo ao Clculo Engenharia FAGAs equaes acima no so biquadradas, pois numa equao biquadrada a varivel x s possui expoentes pares. RESOLUO DE UMA EQUAO BIQUADRADANa resoluo de uma equao biquadrada em IR devemos substituir sua varivel, transformando-a numa equao do 2 grau.Observe agora a sequncia que deve ser utilizada na resoluo de uma equao biquadrada. Seqncia prtica Substitua x4 por y2 ( ou qualquer outra incgnita elevada ao quadrado) e x2 por y. Resolva a equao ay2 + by + c = 0 Determine a raiz quadrada de cada uma da razes ( y'e y'') da equao ay2 + by + c = 0. Essas duas relaes indicam-nos que cada raiz positiva da equao ay2 + by + c = 0 d origem a duas razes simtricas para a biquadrada:a raiz negativa no d origem a nenhuma raiz real para a mesma. Exemplos: Determine as razes da equao biquadrada x4 - 13 x2 + 36 = 0. SoluoSubstituindo x4 por y2 e x2 por y, temos: y2 - 13y + 36 = 0Resolvendo essa equao, obtemos: y'=4 ey''=9Como x2= y, temos: Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}. Determine as razes da equao biquadrada x4 + 4x2 - 60 = 0. SoluoSubstituindo x4 por y2 e x2 por y, temos: Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 13Introduo ao Clculo Engenharia FAG y2 + 4y - 60 = 0Resolvendo essa equao, obtemos: y'=6 ey''= -10Como x2= y, temos:

Logo, temos para o conjunto verdade: . Determine a soma das razes da equao. SoluoUtilizamos o seguinte artifcio:Assim: y2 - 3y = -2y2 - 3y + 2 = 0 y'=1ey''=2Substituindo y, determinamos:Logo, a soma das razes dada por:

Resoluo de equaes da forma: ax2n+bxn+ c = 0Esse tipo de equao pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.Para isso, substituimos xn por y, obtendo:Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 14Introduo ao Clculo Engenharia FAGay2 + by + c = 0, que uma equao do 2 grau.Exemplo: resolva a equao x6 + 117x3 - 1.000 = 0. SoluoFazendo x3=y, temos:y2 + 117y - 1.000 = 0Resolvendo a equao, obtemos:y'= 8ey''= - 125Ento: Logo, V= {-5, 2 }. Composio da equao biquadrada Todaequaobiquadradaderazesreaisx1, x2, x3ex4podeser compostapela frmula:(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0Exemplo: Compor a equao biquadrada cujas razes so: Soluoa) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0 x2(x2 -49) = 0 (x2-a2) (x2-b2) = 0 x4 - 49x2 = 0 x4 - (a2 + b2) x2 + a2b2 = 0 PROPRIEDADESDAS RAZES DA EQUAO BIQUADRADAConsideremos a equao ax4 + bx2 + c = 0, cujas razes so x1, x2, x3 e x4 e a equao do 2 grau ay2 + by + c = 0, cujas razes so y' e y''. De cada raiz da equao do 2 grau, obtemos duas razes simtricas para a biquadrada. Assim: Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades: Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 15Introduo ao Clculo Engenharia FAG 1 Propriedade: A soma das razes reais da equao biquadrada nula.

x1 + x2 + x3 + x4 = 0 2 Propriedade:A soma dos quadrados das razes reais da equao biquadrada igual a - . 3Propriedade:Oprodutodasrazesreaiseno-nulasdaequaobiquadrada igual a.EQUAES IRRACIONAISConsidere as seguintes equaes:Observe que todas elas apresentamvarivel ou incgnita no radicando. Essas equaes so irracionais.Ou seja:

Equao irracional toda equao que tem varivel no radicando. RESOLUO DE UMA EQUAO IRRACIONALA resoluo de uma equao irracional deve ser efetuada procurando transform-lainicialmentenumaequaoracional, obtidaaoelevarmosambosos membros da equao a uma potncia conveniente.Em seguida, resolvemos a equao racional encontrada e, finalmente, verificamos se as razes da equao racional obtidas podem ou no ser aceitas como razes da equao irracional dada ( verificar a igualdade).Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 16Introduo ao Clculo Engenharia FAGnecessriaessaverificao, pois, aoelevarmososdoismembrosdeuma equaoaumapotncia, podemaparecer naequaoobtidarazesestranhas equao dada.Observe alguns exemplos de resoluo de equaes irracionais no conjunto dos reais.Soluo

Logo, V= {58}. Soluo

Logo, V= { -3}; note que 2 uma raiz estranha a essa equao irracional. SoluoProf Alessandra Stadler Favaro Misiak 17Introduo ao Clculo Engenharia FAGLogo, V= { 7 }; note que 2 uma raiz estranha a essa equao irracional. Soluo

Logo, V={9}; note que uma raiz estranha a essa equao irracional.Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 18Introduo ao Clculo Engenharia FAGExerccios1. Existemtrs nmeros inteiros consecutivos comsoma igual a393. Que nmeros so esses?R: 130, 131 e 132.2. Resolva as equaes a seguir:a)18x - 43 = 65b) 23x - 16 = 14 - 17xc) 10y - 5 (1 + y) = 3 (2y - 2) - 20d) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x2 + 12e) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4f) 4x (x + 6) - x2 = 5x2 Respostas a: x = 6 b: x = c: y = 21d:x =2 e: x = -21 f: x = 123. Determineum nmeroreal "a"paraqueasexpresses(3a +6)/ 8e(2a + 10)/6 sejam iguais. R: a =224. Resolver as seguintes equaes (na incgnita x):a) 5/x - 2 = 1/4 (x0) b) 3bx + 6bc = 7bx + 3bcRespostas: a: x = 20/9 b: x = 3c/45. Identifique os coeficientes de cada equao e diga se ela completa ou no:a) 5x2 - 3x - 2 = 0b) 3x2+ 55 = 0c) x2 - 6x = 0d) x2 - 10x + 25 = 0Resposta a: a = 5 ; b = -3 ; c = -2 Equao completab:a=3; b=0; c=55 Equao incompleta c: a = 1 ; b = -6 ; c = 0 Equao incompletad:a = 1 ; b = -10 ; c = 25 Equao completa6. Achar as razes das equaes: a) x2 - x - 20 = 0b) x2 - 3x -4 = 0 c) x2 - 8x + 7 = 0Resposta a: x' = 5 e x'' = -4b: x' = 4 e x'' = -1c: x' = 7 e x'' = 17.Dentre os nmeros -2, 0, 1, 4, quais deles so razes da equao x2-2x-8= 0? R: -2 e 48. O nmero -3 a raz da equao x2 - 7x - 2c = 0. Nessas condies, determine o valor do coeficiente c: R: c = 159. Se voc multiplicar um nmero real x por ele mesmo e do resultado subtrair 14, voc vai obter o quntuplo do nmero x. Qual esse nmero? R: x = 7 ou -2Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 19Introduo ao Clculo Engenharia FAG10. Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45 2mde parede. Qual a medida do lado de cada azulejo? R: 15 cm11. Areadeumretngulode642cm . Nessas condies, determineas dimensesdoretngulosabendoqueocomprimentomede(x+6) mea largura mede (x- 6) m. R: 16 cm e 4 cm12. Sevocmultiplicar umnmeropositivopor elemesmoe, doresultado, subtrair 9, voc obter 112. Qual o nmero? R: 1113.Qual deve ser o valor real de y para que as fraes 3 y5 y e21 2++++yy sejam numericamente iguais? R:7 t14. Sevocadicionar acadaumadasseguintesexpressesumdeterminado nmero, elassetransformaroemumtrinmioquadradoperfeito. Nessas condies, escreva um nmero para cada expresso:a)x x 42+ R: 4 b)x x 202 R: 100 c)x x 162 R: 64d)x x 142+ R: 49 e)x x 32+ R: 4 9f)x x 72 R: 4 4915. Asequaesseguintesestoescritasnaformanormal reduzida. Calculeo discriminante de cada uma e identifique o tipo de razes que cada equao apresenta.a)0 5 42 x x R:36 A equao tem duas razes reais diferentes.b)0 20 82 + +x x R:16 A equao no tem razes reaisc)0 4 62 +x x R:52 A equao tem duas razes reais diferentes.d)0 1 6 92 + +x x R:0 A equao tem uma nica raiz reale)0 1 3 52 + x x R:11 A equao no tem razes reais16. Encontrar o conjunto-soluo de cada equao do 2o grau abaixo:a)0 16 62 x x R: { } 8 , 2 b)0 5 62 x x R: )' 1 ,65c)0 1 10 252 + + x x R: )'51d)0 2 4 32 + + x x R: { }e)0 64 162 + y y R: {} 817. NumCongresso havia 50 pessoas entre homens e mulheres. Descubra quantas mulheres equantos homens estavampresentes, sabendoqueo produto das quantidades dos dois grupos igual a 621 e que a quantidade de mulheres maior do que a quantidade de homens. Justifique a resposta pelo mtodo da equao do 2o grau. R: 27 mulheres e 23 homens18. Determineosvaloresreaisdexparaqueovalor numricodaexpresso x x 42+seja igual a - 3. R: x= - 1 oux= - 3Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 20Introduo ao Clculo Engenharia FAG19. . Quais os valores reais de y para que as expresses1 2y e 3 y2+ sejam iguais? R: 5 - 1 y ou 5 1 + y20. Quais os valores reais de x que tornam verdadeira a equao 2143+ ,_

x x x? R: No existem esses valores reais de x.21. Determine o conjunto-soluo da equao .513 xx R: { } 422. Sabendoqueaexpressoxxxx 2` 1++igual a1, determineosvalores reais de x. R:3 - 1 oux 3 1 + x23. Sendox' ex" as razesdaequaox xx +81 , determineovalor de ( ) ( ) . " '2 2x x +R: 2024. A soma de um nmero real com seu quadrado d 30. Qual esse nmero?R: 5 ou - 625. Doquadradodeumnmeroreal vamos subtrair oqudruplodomesmo nmero. O resultado encontrado 60. Qual esse nmero? R: 10ou- 626. Sevocadicionar umnmerointeirodiferentedezerocomoinversodo nmero, vai obter 417. Qual esse nmero inteiro? R: 427. A soma S dos n primeiros nmeros inteiros positivos pode ser calculada pela frmula 2) 1 ( +n nS . Nessas condies, determine a quantidade de nmeros inteiros positivos que d 120 como soma. R: 1528. AdistnciaentreCuritibaeFlorianpolis de300km. Paracobrir essa distncia,a certa velocidade mdia,umautomvelgastou x horas. Sabe-se que a mesma distncia seria percorrida em 2 horas a menos se o automvel aumentasse de 40 km/h a sua velocidade mdia. Qual o tempo x gasto para percorrer os 300 km?Lembre-se: velocidade mdia= tempodistncia.R: 5 h29.A equao0 16 42 x axtem uma raiz cujo valor 4. Nessas condies, qual o valor do coeficiente a? R: 230. ] Verifique se o nmero( ) 3 2 raiz da equao 0 1 42 + x x . R: Sim31. . Qual deve ser o valor do coeficiente c para que a equao 0 5 102 + c x xtenha razes reais iguais? R: 85Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 21Introduo ao Clculo Engenharia FAG32. Na equao 0 122 + mx x , uma das razes 6. Qual o valor de m? R:-433. Uma das razes da equao0 22 + + n mx x 1. Nessas condies, qual o valor de m+n? R: - 234. Determine o valor de k para que a equao0 6 4 32 + + k x x tenha razes reais e diferentes. R: k < 32235. Determine o valor de k para que a equao0 3 32 + +kx x tenha uma nica raiz real. R:3 2 t36. Determine a soma e o produto das razes de cada uma das seguintes equaes, sem resolver cada equao:a)0 3 32 + x x R: - 1/3e- 1 b)0 1 6 92 + +x x R: - 2/3e1/9c)0 9 62 x x R: 3/2e0 d)0 3 10 62 + x x R: 5/3e1/2e)0 8 22 + x x R: - 2e- 8 f)0 3 2 82 x x R: 1/4e- 3/837. Dada a equao 2112 xx, escreva a equao na forma normal e determineasomaeoprodutodos inversos das razes, semresolver a equao. R: 103-,0 10 32 x x38. Naequao0 1 32 + k x x , oprodutodasduasrazes5/6. Nessas condies, calcule o valor de k. R: 7/230. Qualdeve ser o valor do coeficiente b na equao0 1 102 bx x para que a soma de suas razes seja igual a 5/4? R: 25/239. Naequao 0 1 2 10 32 + k x x , asomadasrazesigual aoproduto. Nessas condies, calcule o valor de k. R: 11/240. Na equao( ) 0 3 5 22 + + x x k , uma das razes igual ao inverso da outra. Nessas condies, calcule o valor de k. R: 141. . Ao se inscrever para participar de uma feira, umexpositor recebeu a informaodequeseuestandedeveriaocupar umareade21,25m2, ter formatoretangular epermetroigual a22m. Quedimensesseuestande deveria ter? R: 8,5 mx 2,5 m42. Vamos determinara equao do 2ograu, na incgnita x, cujas razes so os nmeros reais seguintes:a) 7 e 12 R: x2 - 19x + 84 = 0 b) - 10e- 3 R: x2 +13x+30=0c) 4/7e- 3 R: 7x2 + 17x - 12 = 0 d) 9e- 6 R: x2 - 3x - 54 = 0e) - 8e+ 8 R: x2 - 64 = 0 f) 0e- 4/9 R: 9x2 + 4x = 0Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 22Introduo ao Clculo Engenharia FAG43. Qual a equao do 2o grau na incgnita x cujas razes reais so os nmeros 3 1t ? R: x2 - 2x - 11 = 044. Escreva a equao do 2ograu naincgnita x que nos permite calcular dois nmeros reais quando a soma desses nmeros 7/2 e o produto 3/2.R: 2x2 - 7x + 3 = 045. Resolva as seguintes equaes nos nmeros reais: 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.46. Resolva, no conjunto dos nmeros reais, as equaes biquadradas: 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.Prof Alessandra Stadler Favaro Misiak 23