Equacões da Continuidade e do Movimento

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31 31 MODULO IV Equações Fundamentais Equação do Movimento

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Mecanica dos Fluidosteoria e tabelas de coordenadas

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MODULO IV

Equações Fundamentais

Equação do Movimento

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“É mais fácil estudar o movimento dos astros celestes do

que o movimento de um riacho que corre a nossos pés”

Galileu Galilei

Equações Fundamentais

IV.1 – Introdução

Os fenômenos de transporte fundamentam-se essencialmente nas propriedades

conservativas. Na transferência de massa é a massa, na transferência de calor é a energia

e na mecânica dos fluidos é a quantidade de movimento. Os referencias podem ser

Lagrangeanos ou Eulerianos. No referencial Lagrangeano, o observador desloca-se com

o elemento de fluido e no Eulerano o observador encontra-se em um referencial fixo. É

importante ressaltar que a massa, a energia e a quantidade de movimento são

propriedades conservativas com relação ao referencial Lagrangeano.

Desta forma, na solução de problemas de escoamento de fluidos, a propriedade

conservativa que gera as equações diferenciais parciais é a quantidade de movimento e a

taxa de quantidade de movimento é a força. Nestas equações, é necessário definir as

equações constitutivas que representam o fluxo de quantidade de movimento devido ao

atrito entre as moléculas do fluido, sendo que as equações constitutivas dependem de

cada fluido estudado, caracterizando-se como uma propriedade material. Estas equações

são expressas em função do vetor velocidade.

Desta forma, os balanços de quantidade de movimento geram uma equação

vetorial, composta evidentemente por três componentes. As incógnitas são as três

componentes do vetor velocidade e a pressão. Neste caso, faz-se necessária uma quarta

equação para que o problema de escoamento tenha solução. A quarta equação é a

equação de conservação de massa, conhecida como equação da continuidade. Na

solução dos problemas de escoamento, a relação entre a densidade e a pressão é dada

por uma equação de estado. Evidentemente, a forma da equação do movimento depende

do sistema de coordenadas adotado. Geralmente, coordenadas retangulares, cilíndricas

ou esféricas. As mudanças de coordenadas podem ser efetuadas pelo operador

Jacobiano da Transformação.

Como foi dito acima, para descrevermos convenientemente um escoamento,

precisamos de expressões que relacionam as variáveis independentes com grandezas

que conseguimos medir fisicamente. As equações das grandezas conservativas são

baseadas nos balanços de massa, energia e quantidade de movimento. Estes balanços

serão efetuadas a partir do referencial Euleriano como expresso abaixo.

grandeza da

acúmulo de Taxa

grandeza da

geração de Taxa

grandeza da

saída de Taxa

grandeza da

entrada de Taxa

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Portanto, cada um dos balanços das grandezas citadas acima corresponde a uma lei

fundamental da física, e são válidas em todos os casos, exceto envolvendo a física

relativista. Logo concluímos que a maioria, senão todos, os problemas de mecânica dos

fluidos podem ser resolvidos usando os princípios da mecânica clássica.

IV.2 – Equação da Continuidade, conservação da massa

A equação da continuidade representa a lei de conservação de massa num sistema

considerando que não ocorrem reações nos problemas de escoamento de fluidos, assim

o termo de geração é nulo. Assim teremos:

massa de

acúmulo de Taxa

saí que

massa de Taxa

entra que

massa de Taxa

IV.2.1 – Forma Integral da Equação da Continuidade

dSnSd é o ângulo formado entre o vetor velocidade, v, e o vetor

normal, n, ao elemento de superfície dS.

A taxa de massa que atravessa dS na superfície de controle na direção v é dado

por:

Sdvdm , onde o termo v é o vetor fluxo de massa. Logo,

dSnvdm

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Integrando em toda a superfície de controle teremos a taxa líquida:

S

dSnv

controle

de volumeno

líquida Taxa

Quando

)cos(n v nv onde,

massa de saída , 0 nv

massa de entrada , 0 nv

A taxa de acúmulo de massa é dada por dVt

. Integrando em todo o volume de

controle,

dVt

controle

de volumeno

acúmulo de líquida Taxa

VC

0dSnvdVt

SVC

A equação acima é a equação de conservação de massa, equação da continuidade,

na forma integral aplicada a um V.C. fixo. O primeiro termo representa o acúmulo de

massa no VC e o segundo termo representa a variação líquida de massa que atravessa a

SC.

A forma diferencial da equação da continuidade pode ser obtida aplicando o

teorema de Gauss na equação da forma integral.

O enunciado do teorema da divergência de Gauss é diz o seguinte:

dV)B(dSnBVCSC

,

No nosso caso, tem-se que vB , vetor fluxo de massa.

Aplicando o teorema de Gauss no termo de integral de superfície da forma

integral, tem-se que:

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0dV)v(dVt

VCVC

0dV)vt

(VC

Para que a integral seja nula, o integrando deve ser zero, gerando a equação da

continuidade na forma diferencial.

0vt

Na tabela a seguir são apresentadas algumas das formas particulares da equação da

continuidade.

Tipo de

Escoamento

Forma integral Forma diferencial

Transiente e

Compressível 0dSvdVt

SVC

0vt

Transiente e

Incompressível 0dSvS

ou

N

1i

ii 0Sv

0v

Permanente e

Compressível 0dSvS

ou

N

1i

ii 0Sv

0v

Permanente

Incompressível 0dSvS

ou

N

1i

ii 0Sv

0v

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IV.3 – Equação do Movimento, conservação de quantidade de

movimento.

A equação do movimento representa um balanço de forças que atuam num dado

volume de fluido e que esse balanço de forças é baseado na segunda lei de Newton,

amF .

A quantidade de movimento é definida por vmQM , onde m é a massa e v a

velocidade. A taxa de variação da QM é a força, )vm(dt

d

dt

dQMF . Como a massa

se conserva, amvdt

dmF .

Através das fronteiras do volume de controle o fluxo de QM pode ser devido ao

movimento do fluido, vv ou por transporte molecular, representada pelo tensor

tensão,

.

O fluxo convectivo tem 9 componentes sendo representado por,

zzyzyz

zyyyxy

zxyxxx

ji

vv vv vv

vv vv vv

vv vv vv

vv

,

lembrando que ).t,z,y,x(

O tensor tensão também tem 9 componentes;

zzzyzx

yzyyyx

xzxy xx

ij

,

onde i é a direção da normal ao plano de atuação da tensão e j é a direção da própria

tensão.

Portanto, τij representa o fluxo de quantidade de movimento na direção j

perpendicular à superfície cujo vetor normal tem a direção i.

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Como a propriedade conservativa é a taxa e não o fluxo, deve-se multiplicar estes

termos pelos elementos de área perperdiculares ao vetor fluxo.

Ainda existem as focas de campo e de superfície que podem atuar nos problemas

de escoamento de fluido.

Para um elemento de volume ∆x∆y∆z pode-se escrever o balanço de forças da

seguinte forma.

VC no QM de

acúmulo de Taxa

VC o sobre atuam

forças outras das Soma

VC no Q.M. de

saída de Taxa

VC no Q.M. de

entrada de Taxa

FLUXOS CONVECTIVOS: Temos os seguintes termos

de entrada e saída convectivos:

a) A taxa convectivo que entra no volume controle em x e sai em x+∆x é dado

por

yx)vv -vv(

zx)vv -vv(zy)vv - vv(

zzxzzxz

yyxyyxyxxxxxxx

,

b) A taxa convectivo que entra no volume controle em y e sai em y+∆y é dado

por

c) A taxa convectivo que entra no volume controle em z e sai em z+∆z é dado

por

A seguir, complete a figura abaixo com as componentes de entrada e saída para a

direção x utilizando as definições de fluxo convectivo.

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FLUXOS DIFUSIVOS: Temos os seguintes termos

de entrada e saída molecular:

a) Componente x da taxa molecular que entra no volume controle em x e sai em

x+∆x é dado por

yx) -(zx) -(zy) - zzzxzzxyyyxyyxxxxxxxx

b) Componente y da taxa molecular que entra no volume controle em y e sai em

y+∆y é dado por

c) Componente z da taxa molecular que entra no volume controle em z e sai em

z+∆z é dado por

A seguir, complete a figura abaixo com as componentes de entrada e saída para a

direção x utilizando as definições de fluxo molecular.

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OUTRAS FORÇAS: Forças de pressão e de campo:

Ainda existem as forças de campo gravitacional e de pressão que atual no

elemento de volume de fluido, representadas por:

a) componente x,

zyxgzy)P - P xxxx

b) componente y,

zyxgzx)P - P yyyy

c) componente z,

zyxgyx)P - P zzzz

A pressão do fluido movimento esta relacionada a densidade do fluido por uma

equação de estado.

A taxa de acumulo de momento dentro do volume de controle é dada por

)v(t

zyx x

.

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EQUAÇÃO DO MOVIMENTO

Para as direções x, y e z são realizados os bancos de quantidade de movimento

para o volume de codntrole, sendo as mesmas válidas de forma discreta. Para que elas

possam ser aplicadas o sistema completo, dividi-se as mesmas por ∆x∆y∆z e calcula-se

o limite tendendo a zero. As equações encontradas são diferenciais parciais e descritas

por:

- componente x,

xzxyxxx

xzxyxxx

gPx

)zyx

(

)vvz

vvy

vvx

()v(t

- componente y,

yzyyyxy

yzyyyxy

gPy

)zyx

(

)vvz

vvy

vvx

()v(t

- componente z,

zzzyzxz

zzzyzxz

gPz

)zyx

(

)vvz

vvy

vvx

()v(t

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Reescrevendo as equações na forma vetorial,

g][P]vv[)v(t

Onde,

)v(t

é o termo representa a taxa de acúmulo de movimento por unidade de

volume;

]vv[ representa a taxa de momento por convecção por unidade de volume;

P representa o termo a ação das forças de pressão sobre o elemento de volume;

][ representa a taxa de momento por transferência viscosa por elemento de

volume e

g representa as força de gravitacional sobre o elemento de volume.

A equação apresentada na forma vetorial pode ser reescrita utilizando a equação

da continuidade da seguinte forma.

0vt

,

Sendo que vv)v(v)vv( e ainda,

tvv

t)v(

t , desta forma,

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g][Pvv)v(vt

vvt

.

Rearranjando a equação acima,

g][P))v(vt

v()vvvt

(

O primeiro termo é a derivada substantiva da velocidade definida por

vvvtDt

vD

, (aceleração local + aceleração convectiva). O segundo termo é

nulo devido à equação da continuidade na forma diferencial, resultando:

g][PDt

vD

A equação acima é válida para qualquer fluido em escoamento laminar.

IV.4 – Equação do Movimento para Fluidos Ideais

No caso do escoamento de um fluido ideal as forças de superfície são

representadas unicamente pelas forças de pressão, visto que para um fluido ideal não

existem forças viscosas, logo

gPDt

vD

(Equação de Euler)

A Equação de Euler representa a equação do escoamento de um fluido inviscito e

representa um balanço entre as forças de pressão e de campo tendo como resultante

deste balanço de forças a força de inércia.

IV.5 – Equação da Estática de Fluidos

Caso o fluido esteja em repouso, não existe o termo de aceleração e de tensão

viscosa, assim,

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gP

IV.6 – Equação do Movimento para Fluidos Newtonianos

Para que a Equação g][PDt

vD seja aplicada, é

necessário que se conheça uma expressão para o tensor tensão.

A forma do tensor tensão deve ser estabelecida por uma equação constitutiva que

no caso dos fluidos Newtonianos é dada pela expressão

v (fluido incompressível), logo

gvPDt

vD 2 (Equação de Navier-Stokes)

Caso o fluido seja compressível,

)v(v .

A seguir são apresentas a equação da continuidade, a equação do movimento e dos

tensores de Reynolds em coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas, (Bird et al.,

1966).

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TABELAS COM AS EQUAÇÕES BÁSICAS DA

MECÂNICA DOS FLUIDOS, DA TRANSFERÊNCIA DE

CALOR E DA TRANSFERÊNCIA DE MASSA

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