Equaes de 2 grauDefinies Denomina-se equao do 2 grau na incgnitax, toda equao da forma:ax2+ bx + c =0;a,b,cIRe

Exemplo: x2- 5x + 6 = 0 um equao do 2 grau coma= 1,b= -5 ec= 6. 6x2- x - 1 = 0 um equao do 2 grau coma= 6,b= -1 ec= -1. 7x2- x = 0 um equao do 2 grau coma= 7,b= -1 ec= 0. x2- 36 = 0 um equao do 2 grau coma= 1,b= 0 ec= -36. Nas equaes escritas na formaax +bx+c= 0 (forma normalouforma reduzidade uma equao do 2 grau na incgnitax) chamamosa,becdecoeficientes.a sempre o coeficiente dex;b sempre o coeficiente dex,c o coeficiente ou termo independente.Equao completas e Incompletas Uma equao do 2 grau completaquandobecso diferentes de zero. Exemplos:x - 9x+ 20 = 0 e -x + 10x- 16 = 0 so equaes completas. Uma equao do 2 grau incompletaquandobouc igual a zero, ou ainda quando ambos so iguais a zero. Exemplos: x - 36 = 0(b= 0) x - 10x= 0(c= 0) 4x = 0(b=c= 0)

Razes de uma equao do 2 grauResolver uma equao do 2 grau significa determinar suasrazes.Raiz o nmero real que, ao substituir a incgnita de uma equao, transforma-a numa sentena verdadeira.

O conjunto formado pelas razes de uma equao denomina-seconjunto verdadeouconjunto soluo. Exemplos: Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais so razes da equaox -x- 2 = 0 ?Soluo Substitumos a incgnitaxda equao por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenas verdadeiras.Parax= -1(-1) - (-1) - 2 = 01 + 1 - 2 = 00 = 0(V)

Parax= 00 - 0 - 2 = 00 - 0 -2 = 0-2 = 0(F)

Parax= 11 - 1 - 2 = 01 - 1 - 2 = 0-2 = 0(F)

Parax= 22 - 2 - 2 = 04 - 2 - 2 = 00 = 0(V)

Logo, -1 e 2 so razes da equao. Determinepsabendo que 2 raiz da equao (2p- 1)x - 2px- 2 = 0.

SoluoSubstituindo a incgnitaxpor 2, determinamos o valor dep.

Logo, o valor dep.

Resoluo de equaes incompletas Resolver uma equao significa determinar o seuconjunto verdade. Utilizamos na resoluo de uma equao incompleta as tcnicas da fatorao e duas importantes propriedades dos nmeros reais:1 Propriedade:2 Propriedade:1 Caso:Equao do tipo. Exemplo: Determine as razes da equao, sendo.

SoluoInicialmente, colocamosxem evidncia: Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores tambm o seja. Assim: Obtemos dessa maneira duas razes que formam o conjunto verdade: De modo geral, a equao do tipotem para soluese.2 Caso:Equao do tipo Exemplos: Determine as razes da equao, sendoU=IR. Soluo De modo geral, a equao do tipopossui duas razes reais sefor um nmero positivo, no tendo raiz real casoseja um nmero negativo.

Resoluo de equaes completas Para solucionar equaes completas do 2 grau utilizaremos afrmula de Bhaskara. A partir da equao, em quea,b,cIRe, desenvolveremos passo a passo a deduo da frmula de Bhaskara (ou frmula resolutiva).1 passo:multiplicaremos ambos os membros por 4a.

2 passo:passar 4acpar o 2 membro.

3 passo:adicionaraos dois membros.

4 passo:fatorar o 1 elemento.

5 passo:extrair a raiz quadrada dois membros.

6 passo:passarbpara o 2 membro.

7 passo:dividir os dois membros por.

Assim, encontramos a frmula resolutiva da equao do 2 grau:

Podemos representar as duas razes reais por x' e x", assim:

Exemplos: resoluo a equao:Temos

Discriminante Denominamosdiscriminanteo radicalb2- 4acque representado pela letra grega(delta).

Podemos agora escrever deste modo a frmula de Bhaskara:

De acordo com o discriminante, temos trs casos a considerar:1 Caso:O discriminante positivo. O valor de real e a equao tem duas razes reais diferentes, assim representadas:

Exemplo: Para quais valores deka equaox-2x + k-2=0 admite razes reais e desiguais?

Soluo

Para que a equao admita razes reais e desiguais, devemos ter

Logo, os valores dekdevem ser menores que 3.2 Caso:O discriminante nulo O valor de nulo e a equao tem duas razes reais e iguais, assim representadas: Exemplo: Determine o valor dep, para que a equaox-(p -1) x + p-2 =0 possua razes iguais.Soluo

Para que a equao admita razes iguais necessrio que. Logo, o valor dep 3.

3 Caso:O discriminante negativo. O valor deno existe emIR, no existindo, portanto, razes reais. As razes da equao so nmero complexos. Exemplo: Para quais valores de m a equao 3x + 6x+m= 0 no admite nenhuma raiz real?

SoluoPara que a equao no tenha raiz real devemos ter Logo, os valores demdevem ser maiores que 3.ResumindoDada a equao ax + bx + c = 0, temos: Para, a equao tem duas razes reais diferentes. Para, a equao tem duas razes reais iguais. Para, a equao no tem razes reais.

EQUAES LITERAISAs equaes do 2 grau na varivel x que possuem alguns coeficientes ou alguns termos independentes indicados por outras letras so denominadasequaes literais.As letras que aparecem numa equao literal, excluindo a incgnita, so denominadasparmetros.Exemplos: ax2+ bx + c = 0 incgnita: xparmetro: a, b, c ax2- (2a + 1) x + 5 = 0 incgnita: xparmetro: aEquaes literais incompletas A resoluo de equaes literais incompletas segue o mesmo processo das equaes numricas. Observe os exemplos: Resolva a equao literal incompleta 3x2- 12m2=0, sendo x a varivel.Soluo 3x2- 12m2= 0 3x2= 12m2 x2= 4m2 x=Logo, temos: Resolva a equao literal incompletamy2- 2aby=0,comm0, sendoya varivel.Soluomy2- 2aby = 0 y(my - 2ab)=0Temos, portanto, duas solues:y=0oumy - 2ab = 0my = 2aby=Assim:

Na soluo do ltimo exemplo, teramos cometido umerro gravese tivssemos assim resolvido:my2- 2aby= 0 my2= 2aby my = 2abDesta maneira, obteramos apenas a soluo.O zero da outra soluo foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.Esta uma boa razo para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta maneira a diviso por zero, que um absurdo.

Equaes literais completasAs equaes literais completas podem ser tambm resolvidas pela frmula de Bhaskara:Exemplo: Resolva a equao:x2- 2abx - 3a2b2,sendo x a varivel.Soluo Temosa=1, b = -2ab e c=-3a2b2Portanto:Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.RELAES ENTRE OS COEFICIENTES E AS RAZESConsidere a equao ax2+ bx + c = 0, com a0 e sejam x'e x'' as razes reais dessa equao. Logo:Observe as seguintes relaes: Soma das razes (S)

Produto das razes (P)Como,temos:

Denominamos essas relaes derelaes de Girard.Verifique alguns exemplos de aplicao dessas relaes. Determine a soma e o produto das razes da equao 10x2+ x - 2 = 0.SoluoNesta equao, temos: a=10, b=1 e c=-2.A soma das razes igual a.O produto das razes igual aAssim: Assim: Determine o valor dekna equao x2+ ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas razes seja igual a 7.SoluoNesta equao, temos: a=1, b=2k e c=2. S= x1+ x2= 7

Logo, o valor dek -2.

Determine o valor demna equao4x2- 7x + 3m = 0,para que o produto das razes seja igual a -2.SoluoNesta equao, temos: a=4, b=-7 e c=3m. P= x1. x2= -2Logo, o valor dem. Determine o valor dekna equao 15x2+kx + 1 = 0, para que a soma dos inversos de suas razes seja igual a 8.SoluoConsidere x1e x2as razes da equao.A soma dos inversos das razes corresponde a.Assim:Logo, o valor dek -8. Determine os valores dempara os quais a equao ( 2m - 1) x2+ ( 3m - 2) x + m + 2 = 0 admita:a) razes simtricas;b) razes inversas.SoluoSe as razes so simtricas, ento S=0.Se as razes so inversas, ento P=1.

COMPOSIO DE UMA EQUAO DO 2 GRAU, CONHECIDAS AS RAZESConsidere a equao do 2 grauax2+ bx + c = 0.Dividindo todos os termos por a, obtemos:

Como, podemos escrever a equao desta maneira.x2- Sx + P= 0

Exemplos: Componha a equao do 2 grau cujas razes so -2 e 7.SoluoA soma das razes corresponde a:S= x1+ x2= -2 + 7 = 5O produto das razes corresponde a:P= x1. x2= ( -2) . 7 = -14A equao do 2 grau dada por x2- Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.Logo, x2- 5x - 14 = 0 a equao procurada. Formar a equao do 2 grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das razes .SoluoSe uma equao do 2 grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz, a outra raz ser.

Assim:

Logo,x2- 2x - 2 = 0 a equao procurada.FORMA FATORADAConsidere a equao ax2+ bx + c = 0.Colocandoaem evidncia, obtemos:

Ento, podemos escrever:

Logo, a forma fatorada da equaoax2+ bx + c = 0 :a.(x - x') . (x - x'') = 0

Exemplos: Escreva na forma fatorada a equao x2- 5x + 6 = 0.SoluoCalculando as razes da equao x2- 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2- 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:(x-2).(x-3) = 0 Escreva na forma fatorada a equao 2x2- 20x + 50 = 0.SoluoCalculando as razes da equao 2x2- 20x + 50 = 0, obtemos duas razes reais e iguais a 5.Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2- 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2=0 Escreva na forma fatorada a equao x2+ 2x + 2 = 0.SoluoComo o, a equao no possui razes reais.Logo, essa equao no possui forma fatorada em IR.

EQUAES BIQUADRADASObserve as equaes:x4- 13x2+ 36 = 09x4- 13x2+ 4 = 0x4- 5x2+ 6 = 0Note que os primeiros membros so polinmios do 4 grau na varivel x, possuindo um termo em x4, um termo em x2e um termo constante. Os segundos membros so nulos.Denominamos essas equaes deequaes biquadradas.Ou seja, equao biquadrada com uma varivel x toda equao da forma:ax4+ bx2+ c = 0

Exemplos:x4- 5x2+ 4 = 0x4- 8x2= 03x4- 27 = 0Cuidado! x4- 2x3+ x2+ 1 = 0 6x4+ 2x3- 2x = 0 x4- 3x = 0As equaes acimano sobiquadradas, pois numa equao biquadrada a varivel x s possui expoentes pares.RESOLUO DE UMA EQUAO BIQUADRADA Na resoluo de uma equao biquadrada em IR devemos substituir sua varivel, transformando-a numa equao do 2 grau. Observe agora a sequncia que deve ser utilizada na resoluo de uma equao biquadrada.Seqncia prtica Substitua x4por y2( ou qualquer outra incgnita elevada ao quadrado) e x2por y. Resolva a equao ay2+ by + c = 0 Determine a raiz quadrada de cada uma da razes ( y'e y'') da equao ay2+ by + c = 0.

Essas duas relaes indicam-nos que cadaraiz positivada equao ay2+ by + c = 0 d origem a duas razes simtricas para a biquadrada: araiz negativano d origem a nenhuma raiz real para a mesma.Exemplos: Determine as razes da equao biquadrada x4- 13 x2+ 36 = 0.SoluoSubstituindo x4por y2e x2por y, temos: y2- 13y + 36 = 0Resolvendo essa equao, obtemos: y'=4 e y''=9Como x2= y, temos:Logo, temos para conjunto verdade: V={ -3, -2, 2, 3}. Determine as razes da equao biquadrada x4+ 4x2- 60 = 0.SoluoSubstituindo x4por y2e x2por y, temos: y2+ 4y - 60 = 0Resolvendo essa equao, obtemos: y'=6 e y''= -10Como x2= y, temos:Logo, temos para o conjunto verdade:.

Determine a soma das razes da equao.SoluoUtilizamos o seguinte artifcio:

Assim: y2- 3y = -2 y2- 3y + 2 = 0 y'=1 e y''=2Substituindo y, determinamos:

Logo, a soma das razes dada por:Resoluo de equaes da forma:ax2n + bxn + c = 0Esse tipo de equao pode ser resolvida da mesma forma que a biquadrada.Para isso, substituimos xnpor y, obtendo: ay2+ by + c = 0, que uma equao do 2 grau.

Exemplo: resolva a equao x6+ 117x3- 1.000 = 0.SoluoFazendo x3=y, temos: y2+ 117y - 1.000 = 0Resolvendo a equao, obtemos: y'= 8 e y''= - 125Ento:Logo, V= {-5, 2 }.

Composio da equao biquadradaToda equao biquadrada de razes reais x1, x2, x3e x4pode ser composta pela frmula:(x -x1) . (x - x2) . (x - x3) . (x - x4) = 0

Exemplo: Compor a equao biquadrada cujas razes so:Soluoa) (x - 0) (x - 0) (x + 7) (x - 7) = 0 b) (x + a) (x - a) (x + b) (x - b) = 0x2(x2-49) = 0 (x2-a2) (x2-b2) = 0x4- 49x2= 0 x4- (a2+ b2) x2+ a2b2= 0PROPRIEDADES DAS RAZES DA EQUAO BIQUADRADA Consideremos a equao ax4+ bx2+ c = 0, cujas razes so x1, x2, x3e x4e a equao do 2 grau ay2+ by + c = 0, cujas razes so y' e y''. De cada raiz da equao do 2 grau, obtemos duas razes simtricas para a biquadrada. Assim:

Do exposto, podemos estabelecer as seguintes propriedades:1 Propriedade:A soma das razes reais da equao biquadrada nula.x1+ x2+ x3+ x4 =0

2 Propriedade:A soma dos quadrados das razes reais da equao biquadrada igual a -.

3 Propriedade:O produto das razes reais e no-nulas da equao biquadrada igual a.

EQUAES IRRACIONAISConsidere as seguintes equaes:

Observe que todas elas apresentam varivel ou incgnita no radicando. Essas equaes soirracionais.Ou seja: Equao irracional toda equao que tem varivel no radicando.

RESOLUO DE UMA EQUAO IRRACIONAL A resoluo de uma equao irracional deve ser efetuada procurando transform-la inicialmente numa equao racional, obtida ao elevarmos ambos os membros da equao a uma potncia conveniente. Em seguida, resolvemos a equao racional encontrada e, finalmente, verificamos se as razes da equao racional obtidas podem ou no ser aceitas como razes da equao irracional dada (verificar a igualdade). necessria essa verificao, pois, ao elevarmos os dois membros de uma equao a uma potncia, podem aparecer na equao obtidarazes estranhas equao dada.Observe alguns exemplos de resoluo de equaes irracionais no conjunto dos reais. SoluoLogo, V= {58}. SoluoLogo, V= { -3}; note que 2 uma raiz estranha a essa equao irracional. Soluo

Logo, V= { 7 }; note que 2 uma raiz estranha a essa equao irracional. SoluoLogo, V={9}; note que uma raiz estranha a essa equao irracional.

SISTEMAS DE EQUAES DO 2 GRAUObserve o seguinte problema:Uma quadra de tnis tem a forma da figura, com permetro de 64 m e rea de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.

De acordo com os dados, podemos escrever:8x + 4y = 642x . ( 2x + 2y) = 1924x2+ 4xy = 192

Simplificando, obtemos:2x + y = 161x2+xy = 482Temos a umsistema de equaes do 2 grau, pois uma das equaes do 2 grau.Podemos resolv-lo pelo mtodo a substituio:Assim: 2x + y = 161 y = 16 - 2xSubstituindo y em2, temos: x2+ x ( 16 - 2x) = 48 x2+ 16x - 2x2= 48 - x2+ 16x - 48 = 0Multiplicando ambos os membros por -1. x2- 16x + 48 = 0x'=4 e x''=12Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:y'=16 - 2 . 4 = 8y''=16 - 2 . 12 = - 8As solues do sistema so os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimenses da quadra: Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m Largura =2x = 2. 4 = 8mVerifique agora a soluo deste outro sistema:Isolando y em1y - 3x = -1y = 3x - 1Substituindo em2 x2 - 2x(3x - 1) = -3 x2- 6x2+ 2x = -3 -5x2+ 2x + 3 = 0Multiplicando ambos os membros por -1. 5x2- 2x - 3 = 0x'=1 e x''=-Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:As solues do sistema so os pares ordenados ( 1, 2) e.Logo, temos para conjunto verdade:

PROBLEMAS DO 2 GRAUPara resoluo de problemas do 2 grau, devemos seguir etapas:Sequncia prtica Estabelea a equao ou sistema de equaes que traduzem o problema para a linguagem matemtica. Resolva a equao ou o sistema de equaes. Interprete as razes encontradas, verificando se so compatveis com os dados do problema.Observe agora, a resoluo de alguns problemas do 2 grau: Determine dois nmeros inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja.SoluoRepresentamos um nmero por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos sero representados por.Temos esto a equao:.Resolvendo-a:Observe que a raizno utilizada, pois no se trata de nmero inteiro.Resposta:Os nmeros pedidos so, portanto, 6 e o seu consecutivo 7. Um nmero de dois algarismos tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtm-se um nmero que o excede de 27 unidades. Determine esse nmero, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos 18.SoluoRepresentamos um nmero por 10x + y, e o nmero com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.Observe:Nmero:10x + yNmero com a ordem dos algarismos trocada:10y + x.Temos, ento, o sistema de equaes:Resolvendo o sistema, temos:Isolando y em1: -x + y = 3y= x + 3Substituindo y em2:xy = 18x ( x + 3) = 18x2+ 3x = 18x2+ 3x - 18 = 0x'= 3 e x''= -6Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos: y'= 3 + 3 = 6 y''= -6 + 3 = -3Logo, o conjunto verdade do sistema dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para soluo do problema o nmero36 ( x=3 e y=6).Resposta: O nmero procurado 36.

Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.SoluoConsideremos x o tempo gasto para a 1 torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2 torneira encher o tanque.Em uma hora, cada torneira enche a seguinte frao do tanque:Em uma hora, as duas torneiras juntas encherodo tanque; observe a equao correspondente:Resolvendo-a, temos: 6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 ) 6x + 30 + 6x = x2+ 5x x2- 7x - 30 = 0 x'= - 3 e x''=10Como a raiz negativa no utilizada, teremos como soluo x= 10.Resposta:A 1 torneira enche o tanque em 10 horas e a 2 torneira, em 15 horas. Num jantar de confraternizao, seria distribudo, em partes iguais, um prmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acrscimo de R$ 400,00 no seu prmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar?SoluoPodemos representar por:Resolvendo-a:Resposta:Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, ento 15 pessoas estavam presentes no jantar.

Na pgina onde foi tratado o temaRelaes entre Coeficientes e Razes em Equaes do 2 Grau, foi comentado que as relaes deAlbert Girard, em alguns casos, nos permitem obter mentalmente as razes de uma equao do segundo grau, mas como assim? Vamos estudar o tema, atravs da utilizao de alguns exemplos.Observe a seguinte equao:x2-5x+6=0Agora me diga: Quais so os dois nmeros que somados totalizam5e que multiplicados resultam em6? muito provvel que mentalmente voc tenha identificado rapidamente que os dois nmeros procurados so2e3, pois2+3=5e2.3=6.Mas de onde surgiu a questo"Quais so os dois nmeros que somados totalizam5e que multiplicados resultam em6?"?SegundoGirard, vimos quex2-Sx+P=0, ondeSrepresenta asoma das razes da equaoePrepresenta oproduto destas razes.Neste nosso exemploSest sendo representado pelo coeficiente5, assim comoPest sendo representado pelo coeficiente6, por isto me referi a5como sendo a soma das razes e a6, como sendo o seu produto.Para conferncia, vamos aos clculos pelo mtodo tradicional:

Como no poderia deixar de ser, as razes encontradas so exatamente2e3.Vamos a outros exemplos para que voc tenha uma melhor compreenso do assunto e elimine qualquer possvel dvida.

Exemplos de Identificao Mental das Razes de uma Equao do 2 grauEncontre as razes da equao do segundo graux2-6x+5=0.Podemos nos perguntar:"Quais so os dois nmeros cuja soma igual a6e cujo produto igual5?".Sem qualquer esforo podemos chegar a1e5. Conferindo atravs da frmula temos:

Portanto1e5so as razes da equaox2-6x+5=0.

Encontre as razes da equao do segundo graux2+2x-8=0.Podemos nos perguntar:"Quais so os dois nmeros cuja soma igual a-2e cujo produto igual-8?".Neste caso, com um pouquinho mais de esforo, j que h o envolvimento de nmeros negativos, chegamos a-4e2, pois-4+2=-2e-4.2=-8. Conferindo via frmula:

Portanto-4e2so as razes da equaox2+2x-8=0.

Encontre as razes da equao do segundo grau4x2-12x+8=0.Neste outro exemplo temos uma situao um pouco diferente. Note que nos casos anteriores, o coeficienteaera sempre igual a1, o que simplificava a utilizao deste artifcio, mas neste caso ele igual a4.SegundoGirarda soma das razes dada por:

E o produto dado por:

Assim sendo, paraStemos:

E paraPtemos:

Podemos ento nos perguntar:"Quais so os dois nmeros cuja soma igual a3e cujo produto igual2?".Facilmente chegamos a1e2, pois1+2=3e1.2=2. Conferindo via frmula:

Portanto1e2so as razes da equao4x2-12x+8=0.

Quais as razes da equaox2+4x+12=0.Para finalizar este tema, vamos resolver este ltimo exemplo.Veja que por mais que voc se esforce em descobrir quais so os nmeros que somados totalizam-4e que multiplicados do12, jamais conseguir encontr-los dentre os nmeros reais, simplesmente porque eles no existem. Sabe por qu?Calculemos ento o discriminante da equao:

Como = -32, isto , como o discriminante da equao negativo, a mesma no possui razes reais.Portanto a equaox2+4x+12=0no possui razes reais.

Como pudemos perceber, dependendo de nossas habilidades com os nmeros, este um recurso que podemos utilizar, sempre que possvel, nos casos onde facilmente encontramos as razes, s de "bater os olhos" na equao. Em outros casos melhor procurarmos um outro mtodo mais adequado.Com um pouco de treino, este um recurso que pode nos ajudar bastante na busca pelas razes de equaes do segundo grau.