Equações de Movimento - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~pgamboa/pessoal/10375/apontamentos/02... · 1.4....

Equações de Movimento

Vibrações e Ruído (10375)

2016

Pedro V. Gamboa Departamento de Ciências Aeroespaciais

Faculdade de Engenharia

Universidade da Beira Interior

Vibrações e Ruído – 2014-2016

Departamento de Ciências Aeroespaciais

Pedro V. Gamboa 2

Tópicos

• Abordagem Newtoniana.

• Princípio de d’Alembert.

• Abordagem energética.

• Princípio dos trabalhos virtuais.

• Equações de Lagrange.





Pedro V. Gamboa 3

1. Formulação das Equações de

Movimento

Os sistemas físicos são representados através de modelos

matemáticos adequados constituídos por expressões que

definem os deslocamentos de coordenadas específicas associadas

à discretização desses sistemas.

A solução destas equações conduz-nos à resposta dinâmica do

sistema.

A formulação matemática pode ser feita por três processos

distintos: recorrendo à 2ª Lei de Newton, a uma abordagem

energética, ou então, ao princípio dos trabalhos virtuais.





Pedro V. Gamboa 4

1. Formulação das Equações de Movimento

1.1. Formulação de Newton

Para uma partícula aplicam-se as 3 Leis de Newton:

• 1ª Lei: se o somatório das forças que atuam numa partícula é

nulo, esta está em repouso ou tem um movimento retilíneo

uniforme;

• 2ª Lei: (Lei Fundamental da Dinâmica) uma partícula sujeita

a uma força F fica sujeita a uma aceleração expressa pela

equação F=m.a, sendo m a massa da partícula;

• 3ª Lei: se uma partícula A exerce uma força sobre uma

partícula B, então esta reage exercendo sobre a partícula A

uma força com a mesma direção e magnitude mas com

sentido oposto.





Pedro V. Gamboa 5



Assim, para um corpo rígido em translação:

e para um corpo rígido em rotação:

onde I é o momento de inércia relativamente ao eixo de rotação

e a é a aceleração angular em torno desse mesmo eixo.

(7)

zz

yy

xx

cmext

amF

amF

amF

amF

(8) a IMext





Pedro V. Gamboa 6



Usar a 2ª Lei de Newton para derivar as equações de movimento

O procedimento seguinte pode ser usado para derivar as

equações de movimento de um sistema de n DOF usando a

segunda lei de Newton:

• Definir coordenadas adequadas para descrever a posição de

vários pontos de massa e corpos rígidos no sistema. Assumir

sentidos positivos adequados para os deslocamentos,

velocidades e acelerações das massas e dos corpos rígidos;

• Determinar a configuração do equilíbrio estático do sistema e

medir os deslocamentos das massas e dos corpos rígidos a

partir da suas posições de equilíbrio estático;





Pedro V. Gamboa 7



• Desenhar os diagramas do corpo rígido para cada massa ou

corpo rígido do sistema. Indicar a mola, amortecedor ou força

externa que atua em cada massa ou corpo rígido quando um

deslocamento ou uma velocidade positivos são dados à massa

ou ao corpo rígido;

• Aplicar a segunda lei de Newton a cada massa ou corpo rígido

mostrado pelo diagrama do corpo livre com

para a massa mi.

j

ijii Fxm





Pedro V. Gamboa 8



Por exemplo, relativamente ao sistema mola-massa-amortecedor

da figura abaixo pode desenhar-se o diagrama do corpo livre da

massa mi indicando as forças nela aplicadas.





Pedro V. Gamboa 9



Exemplo 2.01: Derive as equações de movimento do sistema

mola-massa-amortecedor mostrado na figura.





Pedro V. Gamboa 10




mola-massa mostrado na figura.





Pedro V. Gamboa 11



Exemplo 2.03: Derive as equações de movimento livre do

sistema mola-massa mostrado na figura.





Pedro V. Gamboa 12


1.2. Princípio de d’Alembert

Existe uma outra forma de encararmos a 2ª Lei de Newton.

Se considerarmos o efeito das forças aplicadas, F, e das forças

de reação, f, podemos escrever esta Lei como:

Esta expressão traduz o princípio de d’Alembert que nos diz

que se em cada instante, a cada uma das partículas do sistema

além das forças aplicadas e de reação, se juntarem as forças de

inércia correspondentes, o sistema de forças estará em

equilíbrio e, então, poderemos aplicar-lhe todas as equações de

estática.

(9) 0 amfF





Pedro V. Gamboa 13


1.2. Princípio de d’Alembert

As vantagens desta interpretação são:

• Encaram-se as forças de inércia como forças ativas de modo a

reduzir o problema dinâmico a um estático;

• Quando se formulam as equações vetoriais de equilíbrio

dinâmico, as forças de inércia são incluídas nos diagramas de

corpo livre como forças exteriores aplicadas;

• Podemos aplicar o Princípio dos Trabalhos Virtuais ao caso

dinâmico.





Pedro V. Gamboa 14


1.3. Formulação Energética

Contrariamente à abordagem Newtoniana, esta formulação usa

quantidades escalares relacionando duas quantidades

fundamentais: o trabalho das forças e a energia cinética do

sistema.

• Teorema da Variação da Energia Cinética

A variação da energia cinética de um sistema resulta do trabalho

das forças externas ao sistema ou do trabalho das forças

internas, tal como representado na figura abaixo. As forças

internas podem produzir uma dissipação de energia cinética pelo

efeito do atrito dinâmico (de rolamento ou de escorregamento)





Pedro V. Gamboa 15



Assim, o teorema da energia cinética indica que

(10) dt

dW

dt

dW

dt

dT ext int





Pedro V. Gamboa 16



A energia cinética é uma quantidade escalar positiva dada, para

um corpo em translação, por

e para um corpo em rotação dada por

Desta forma, para um corpo a deslocar-se num plano tem-se

(11) 2

2

1mVT

(12) 2

2

1IT

(13) 22

2

1

2

1CMCM ImVT





Pedro V. Gamboa 17



• Teorema da Variação da Energia Mecânica:

Já vimos anteriormente que a energia potencial acumulada por

uma mola é dada por:

Por outro lado, a energia potencial associada a um corpo sujeito

a um campo gravítica é

Assim, a soma da Energia Potencial com a Energia Cinética é

denominada como a Energia Mecânica

(14) 2

2

1kxV

(15) mghV

VTU





Pedro V. Gamboa 18



Atentemos na figura

Como vemos, podem ocorrer transferências de Energia do

exterior para o sistema, sob a forma de calor ou trabalho.

O trabalho altera a Energia Mecânica, enquanto que o calor

altera a energia interna do corpo.





Pedro V. Gamboa 19



Dentro do sistema, pode ocorrer transformação de energia

mecânica em energia interna por dissipação de energia causada

por atrito.

Assim, podemos dizer que a variação instantânea da energia

mecânica de um sistema é

onde Wext,nc é o trabalho das forças externas não conservativas

(isto é, todas as forças exteriores com exceção do peso e das

forças exercidas por molas)

e Wint é o trabalho das forças internas associado à dissipação de

energia mecânica.

(16) dt

dW

dt

dW

dt

dU ncext int,





Pedro V. Gamboa 20



Exemplo: Vejamos um exemplo de aplicação do teorema da

energia mecânica aplicado ao movimento vibratório do corpo da

figura abaixo em torno do seu ponto de equilíbrio:

Do teorema da variação da Energia Mecânica vem

dt

dW

dt

dW

dt

VTd ncext int,





Pedro V. Gamboa 21



Note-se que neste caso sendo o corpo rígido, o trabalho das

forças internas é nulo, não havendo dissipação interna de

energia.

O trabalho das forças externas, com a exceção do peso e da

força da mola, e desprezando o atrito, é

pois a força N é perpendicular ao deslocamento do corpo.

Daqui resulta que a variação da energia total é

Integrando esta expressão em ordem ao tempo obtem-se U.

0, Nncext dWdW

0

dt

VTd





Pedro V. Gamboa 22



Assim

Pode ver-se, desta expressão, que a energia mecânica total

permanece constante ao longo do tempo.

O movimento do corpo pode ser obtido derivando a expressão

anterior em ordem ao tempo:

constkxxmconstVT 22

2

1

2

1

022

12

2

1

02

1

2

1 22

dt

dxxk

dt

xdxm

kxxmdt

d

0 kxxm





Pedro V. Gamboa 23




mola-massa mostrado na figura.





Pedro V. Gamboa 24


1.4. Princípio dos Trabalhos Virtuais

Este é, também, um método que envolve apenas quantidades

escalares.

O princípio dos trabalhos virtuais (PTV) pode ser traduzido

matematicamente pela seguinte equação

Esta equação estabelece que a condição necessária e suficiente

para que o sistema esteja em equilíbrio estático é que o

trabalho realizado por todas as forças aplicadas ao longo de

deslocamentos virtuais arbitrários, mas que sejam compatíveis

com os constrangimentos de ligação, seja igual a zero.

(17) 01

n

i

ii rFW





Pedro V. Gamboa 25



A partir do Princípio de d’Alembert podemos estender o

princípio dos trabalhos virtuais ao caso dinâmico.

Para que uma partícula i esteja em equilíbrio dinâmico, ter-se-á

que verificar

Fazendo o produto interno por obtemos a condição de

equilíbrio da partícula em termos de trabalhos virtuais:

Como se viu anteriormente, o trabalho das forças de reação é

nulo

(18)

ir

0 iiii rmfF

(19) 0 iiiii rrmfF

0 ii rf





Pedro V. Gamboa 26



Então, para n partículas,

Daqui se conclui que

(21) 0 inérciaforçasreaisforças WWW

(20) 01

n

i

iiii rrmF





Pedro V. Gamboa 27


1.5. Equação Geral da Dinâmica

Segundo o Princípio de d’Alembert, os métodos da estática

podem ser utilizados para analisar o movimento dos sistemas.

Pode, então, aplicar-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais ao

estudo do movimento de um sistema mecânico ideal.

Assim, pode dizer-se que o trabalho virtual de todas as forças,

incluindo as de inércia, é nulo para qualquer deslocamento

virtual do sistema:

onde W representa o trabalho, os sobrescritos (a), (r) e (i)

representam as forças ativas, as reativas e as de inércia,

respetivamente, e qj representa o deslocamento virtual de qj.

(22) jira qWWW 0)()()(





Pedro V. Gamboa 28



Para um sistema ideal W(r)=0, portanto:

Assim, em qualquer instante do movimento de um sistema

mecânico ideal, o trabalho virtual de forças ativas e forças de

inércia é nulo para qualquer deslocamento virtual do sistema.

A equação (23) é chamada Equação Geral da Dinâmica.

Utilizando a equação (17), é possível escrever

e

(23) jia qWW 0)()(

n

j

ja

ja qQW

1

)()(

n

j

ji

ji qQW

1

)()(





Pedro V. Gamboa 29



Aqui, Qj(a) e Qj

(i) representam as forças generalizadas ativas e de

inércia, respetivamente.

Portanto, a Equação Geral da Dinâmica pode ser também escrita

na forma

ou então

jj

n

j

ij

aj qqQQ

01

)()(

(24) njQQ ij

aj ,1;0)()(





Pedro V. Gamboa 30


1.6. Equações de Lagrange

As equações de movimento de translação de um sitema em

coordenadas cartezianas toma a forma

onde m1, m2 e m3 tomam o valor da massa da primeira partícula,

m4, m5 e m6 são iguais à massa da segunda partícula e assim

sucessivamente.

A energia cinética do sistema é

Agora, sabendo que,

(25) njFxm jjj ,1;

(26) njxmTn

j

jj ,1;2

1

1

2

tqqqqxx nijj ,,,,,, 21





Pedro V. Gamboa 31



pode escrever-se

Daqui, vê-se que

Da equação (27) pode escrever-se

onde qj e qj são tratadas como variáveis independentes.

(27) njt

xq

q

xx

jn

i

i

i

j

j ,1;1

tqqqqqqqqxx ninijj ,,,,,,,,,,,, 2121

(28) i

j

i

j

q

x

q

x





Pedro V. Gamboa 32



Também se podia ter usado a regra de L’Hôpital que diz que

Então, usando a definição de derivada

tem-se

i

j

qi

j

q q

x

q

x

ii

00limlim

i

j

i

j

q

x

q

x

i

j

qi

j

q

x

q

x

i

0lim

i

j

qi

j

q

x

q

x

i

0lim





Pedro V. Gamboa 33



Multiplicando a equação (28) por xj e derivando em ordem ao

tempo obtém-se

Agora, sabe-se que

e que

(29)

i

j

j

i

j

j

i

j

j

i

j

jq

x

dt

dx

q

xx

q

xx

dt

d

q

xx

dt

d

(30) tq

xq

qq

x

q

x

dt

d

i

j

k

n

k ki

j

i

j

2

1

2

i

j

j

i

j

j

i

j

jjj

ii

j

q

xx

q

xx

q

xxxx

qq

x

2

1

2

1

2

1

2

12





Pedro V. Gamboa 34



pelo que, da relação (28), se obtém

Logo, usando as equações (27) e (30) obtém-se

(31) i

j

j

i

j

j

i

j

q

xx

q

xx

q

x

2

2

1

(32)

i

j

j

i

j

k

n

k ki

j

j

j

k

n

k k

j

i

j

i

j

j

i

j

q

x

dt

dx

tq

xq

qq

xx

t

xq

q

x

qx

q

xx

q

x

2

1

2

1

2

2

1

(30)

tq

xq

qq

x

q

x

dt

d

i

j

k

n

k ki

j

i

j

2

1

2

(27)

t

xq

q

xx

jn

i

i

i

j

j

1





Pedro V. Gamboa

Substituindo as equações (31) e (32) na equação (29)

tem-se

35



(33) i

j

i

j

j

i

j

q

x

q

xx

q

x

dt

d

22

2

1

2

1

i

j

j

i

j

j

i

j

j

i

j

jq

x

dt

dx

q

xx

q

xx

dt

d

q

xx

dt

d

i

j

j

i

j

q

xx

q

x

2

2

1

(31)

i

j

j

i

j

q

x

dt

dx

q

x

2

2

1

(32)





Pedro V. Gamboa

Pegando na equação anterior, multiplicando por mj e somando

para todos os j tem-se

Podemos observar que o termo da esquerda é a derivada em

ordem ao tempo da derivada da energia cinética em ordem à

variável qi.

O segundo termo da direita é a derivada da energia cinética em

ordem à variável qi.

Assim, usando a equação (25) e a (26) fica-se com

36



n

j i

j

j

n

j i

j

jj

n

j i

j

jq

xm

q

xxm

q

xm

dt

d

1

2

11

2

2

1

2

1

(34) i

n

j i

j

j

i q

T

q

xF

q

T

dt

d

1





Pedro V. Gamboa

Daqui, usando a equação das forças generalizadas

e sabendo que, para um sistema dinâmico conservativo,

então

Substituindo a equação (35) na equação (34) fica-se com

37



n

j i

j

jiq

xFQ

1

(38) i

i

i q

TQ

q

T

dt

d

(35)

jj

jx

V

x

WF

(36)

i

n

j i

j

j

iq

V

q

x

x

VQ

1

(37)





Pedro V. Gamboa

e substituindo a equação (36) na anterior obtém-se

É conveniente, agora, introduzir a função de Lagrange L, ou a

Lagrangiana, que é definida como a diferença entre a energia

cinética e a energia potencial do sistema dinâmico:

Uma vez que V é claramente independente de qi, a equação (39)

pode ser reescrita na forma

38



(39) iii q

T

q

V

q

T

dt

d

VTL (40)

ii q

VT

q

VT

dt

d





Pedro V. Gamboa

ou ainda como

Esta é a Equação de Lagrange.

De acordo com a derivação acima, se pudermos expressar a

energia cinética e a energia potencial do sistema dinâmico

apenas em função das coordenadas generalizadas e as suas

derivadas, então pode escrever-se imediatamente as equações

de movimento do sistema expressas em termos das coordenadas

generalizadas usando a equação de Lagrange.

Infelizmente estas equação só funciona para sistemas

conservativos.

39



(41) 0

ii q

L

q

L

dt

d





Pedro V. Gamboa

Se no sistema dinâmico em questão houver forças dissipativas,

então a equação de Lagrange tem que ser alterada para incluir o

seu efeito.

Assim

onde D é a função dissipativa dada por

40



(42) 0

iii q

D

q

L

q

L

dt

d

(43) njqcDn

j

jj ,1;2

1

1

2





Pedro V. Gamboa 41




mola-massa mostrado na figura usando a equação de Lagrange.





Pedro V. Gamboa 42




ilustrado na figura, desprezando o atrito entre o bloco e a mesa.

A massa do bloco A é M, a massa do ponto B é m e o

comprimento do fio é l.





Pedro V. Gamboa 43



Exemplo 2.07: A máquina de Atwood consiste em 2 massas, m1

e m2, ligadas por um fio inextensível e leve de comprimento l,

que passa por uma roldana de raio a (muito inferior a l) e

momento de inércia I. Derive as equações de movimento do

sistema, desprezando o atrito na roldana.





Pedro V. Gamboa 44



Exemplo 2.08: Considere o caso de uma massa m a deslizar por

um plano inclinado liso de massa M que, por sua vez, é livre de

deslizar numa superfície horizontal lisa. Este sistema tem 2DOF.

Derive as equações de movimento do sistema.





Pedro V. Gamboa 45

2. Movimento Harmónico

O movimento harmónico é um movimento oscilatório simples do

tipo periódico, podendo ser representado por funções circulares

do tipo seno ou cosseno, assim, o movimento harmónico simples

pode ser representado como a projeção do movimento de um

ponto que se desloca com velocidade constante sobre uma

circunferência de raio A, tal como vísivel na figura abaixo.





Pedro V. Gamboa 46


Como se vê, T corresponde ao período constante definido como

o mínimo intervalo de tempo ao fim do qual o movimento se

repete, de tal forma que

Portanto, a lei de variação do movimento harmónico é dada por

Da figura anterior, vemos que este movimento pode ser expresso

em função da velocidade re rotação resultando na expressão

)()( Ttxtx

(44)

t

TAx

2sin

(45) fT

comtAx

22

sin





Pedro V. Gamboa 47


onde é a frequência circular em [rad/s] e f em [Hz].

Note-se que qualquer combinação das funções seno ou cosseno

pode ser utilizada para representar um movimento harmónico

simples.

De facto, se

Então, com

obtém-se

(45)

t

X

Xt

X

XXtXtXtx cossincossin)( 21

21

aaa tXttXtx sinsincoscossin)(

1

222

21 arctan;

X

XXXX a





Pedro V. Gamboa 48


A partir da função x(t) podemos obter a velocidade e a

aceleração da massa do sistema, calculando, respetivamente, as

derivadas de primeira e segunda ordem.

Assim, por exemplo,

Deslocamento:

Velocidade:

Aceleração:

Relembrar da trigonometria:

sin(a+b)=sina.cosb+cosa.sinb

(46)

tXtXtx

tXtXtx

tXtx

coscos)(

2cossin)(

cos)(

22





Pedro V. Gamboa 49


Como se vê, a velocidade e a aceleração são também

“movimentos” harmónicos com a mesma frequência, embora

tenham uma amplitude diferente (através do fator =constante)

e apresentem um desfazamento de 90º e 180º, respetivamente,

em relação ao deslocamento.

Combinando as expressões do deslocamento e da aceleração,

obtém-se a expressão que descreve, de uma forma genérica, um

movimento harmónico simples:

ou

xx 2

(47) 02 xx





Pedro V. Gamboa 50


Note-se que a soma de duas funções harmónicas com a mesma

frequência mas com diferentes ângulos de fase é também uma

função harmónica da mesma frequência, como se vê através do

seguinte exemplo.





Pedro V. Gamboa 51


Exemplo 2.09: Considere dois movimentos harmónicos

representados por

a) Verificar que a soma dos dois movimentos resulta num

movimento harmónico de frequência .

b) Representar graficamente os três movimentos sabendo que

X1=1, X2=2, =2 rad/s e a=/4 rad.

a

tXx

tXx

cos

cos

22

11

Relembrar da trigonometria:

cos(a+b)=cosa.cosb-sina.sinb





Pedro V. Gamboa 52


Exemplo 2.09: Gráfico: x=Xcos(t+b), X=2.789, b=0.53rad.

-3.00

-2.00

-1.00

0.00

1.00

2.00

3.00

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20 1.40 1.60 1.80 2.00

x1

x2

x





Pedro V. Gamboa 53

3. Funções Sinusoidais

As funções sinusoidais podem ser relacionadas com a função

exponencial tratando-as como funções complexas na forma de

Euler:

Usando uma representação vetorial no plano de Argand-Gauss, o

vetor girante Z, com uma amplitude A, é rodado a uma

velocidade angular e assume a forma

(48) sincos iei

(49) tAitAAeZ ti sincos





Pedro V. Gamboa 54


A utilização da forma exponencial oferece várias vantagens,

sendo relativamente simples proceder à operação de números

complexos, tais como:

Multiplicação:

Divisão:

Potência:

Diferenciação:

21

2211 e ii

eAZeAZ

2111

11

2

1

2

1

2121

1

1

21

21

i

innn

i

i

eAZ

eAZ

eA

A

Z

Z

eAAZZ





Pedro V. Gamboa 55


Desta forma, considerando que um movimento harmónico é dado

por

ou na forma exponencial

então, as expressões para a velocidade e a aceleração são

obtidas por derivação

tiAeZ

(50) tAtx sin

2sincossin

tAtAtA

dt

dtx (51)

2

ti

eAZ





Pedro V. Gamboa 56


e

tAtAtAdt

dtx sinsincos 22 (52)

tieAZ 2





Pedro V. Gamboa 57

4. Equivalência de Sistemas

Por forma a poder-se analisar sistemas elásticos complexos,

normalmente estruturas, por meio da redução dos graus de

liberdade é conveniente encontrar constantes elásticas

equivalentes.

A rigidez de um sistema vibratório pode ser calculada para uma

mola por

Mk

x

Fk

deslocamento linear

deslocamento angular





Pedro V. Gamboa 58


Vamos considerar uma viga encastrada numa extremidade

sujeita à flexão com uma massa M na outra extremidade.

A rigidez deste sistema vibratório pode ser calculada aplicando

uma força F na ponta livre e obtendo a deflexão correspondente.

Sabe-se que a deflexão máxima da viga é dada por

onde

L é o comprimento da viga

E é o módulo de Young

I é o segundo momento de área em torno de um eixo

perpendicular à força F

EI

FLy

3

3

max





Pedro V. Gamboa 59


Portanto, a constante elástica equivalente da viga à flexão é

dada por

Também se sabe que o ângulo de torção máximo da viga é dado

por

onde

G é o módulo elástico de corte

J é o momento de área polar

T é o momento torsor

33max

3

3

L

EI

EI

FL

F

y

Fk

GJ

TLmax





Pedro V. Gamboa 60


Portanto, a constante elástica equivalente da viga à torção é

dada por

O cálculo da rigidez equivalente keq pode também efetuar-se

igualando a energia potencial do modelo de parâmetros

concentrados com o somatório da energia potencial de todos os

componentes do sistema real.

Assim

L

GJ

GJ

TL

TTk

max

j

j

i

iieq jkxkxkV 222

2

1

2

1

2

1





Pedro V. Gamboa 61


Resumindo algumas constantes elásticas:

Tipo de mola Constante da mola

Barra à tração

Mola helicoidal

d – diâmetro do varão

D – diâmetro médio da mola

N – nº de espiras

Viga à flexão

Viga à torção





Pedro V. Gamboa 62


Exemplo 2.10: Determine a constante elástica equivalente de

uma viga encastrada numa extremidade e livre noutra quando

sujeita a uma força uniformemente distribuída ao longo do seu

comprimento.





Pedro V. Gamboa 63


Exemplo 2.11: Determine a rigidez equivalente do sistema da

figura usando o deslocamento da massa como coordenada

generalizada.





Pedro V. Gamboa 64


Exemplo 2.12: Tendo em consideração o sistema da figura, e

recorrendo a uma abordagem energética, determine os

parâmetros equivalentes do sistema, i.e., meq, keq e ceq. Use a

coordenada x associada ao movimento do centro de rotação do

disco de massa m (que roda sem escorregar) como coordenada

generalizada.

Equações de Movimento - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~pgamboa/pessoal/10375/apontamentos/02... · 1.4....

Documents

Transcript of Equações de Movimento - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~pgamboa/pessoal/10375/apontamentos/02... · 1.4....