Modelação Numérica 2017

Aula 10, 21/Mar

•  Equaçõesdiferenciaisàsderivadasparciais

h4p://modnum.ucs.ciencias.ulisboa.pt

Equações diferenciais às derivadas parciais

•  Muitosproblemasenvolvemasoluçãodeequaçõesdiferenciais.Asuasoluçãonuméricarequerasua:•  DiscreBzação:oteoremadaamostragemdevesersaBsfeito.

•  Transformaçãoemequaçõesalgébricas.

•  Nocasodasequaçõesdiferenciaisàsderivadasparciaisexistemduasoumaisvariáveisindependentes,podendoumadessasvariáveisserotempo.

•  Éconvenienteclassificarosproblemasrepresentadosporestasequaçõesemduasclasses:•  Problemasdecondiçõesiniciais(dependentesdotempo).

•  Problemasdecondiçõesfronteira(independentesdotempo).

Exemplos com primeiras e segundas derivadas

•  Equaçãodeadvecção(linear,1D):

•  Equaçãodadifusão(linear,1D):

•  EquaçãodePoisson(2D):

•  EquaçãodeLaplace(2D):

•  Equaçãodeondas(2D):

@T

@t

= �u

@T

@x

, u = const

@T

@t

= K

@

2T

@x

2, K = const

@

2V

@x

2+

@

2V

@y

2= f(x, y)

@

2T

@x

2+

@

2T

@y

2= 0

@

2u

@t

2= c

2

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

1

@T

@t

= �u

@T

@x

, u = const

@T

@t

= K

@

2T

@x

2, K = const

@

2V

@x

2+

@

2V

@y

2= f(x, y)

@

2T

@x

2+

@

2T

@y

2= 0

@

2u

@t

2= c

2

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

1

@T

@t

= �u

@T

@x

, u = const

@T

@t

= K

@

2T

@x

2, K = const

@

2V

@x

2+

@

2V

@y

2= f(x, y)

@

2T

@x

2+

@

2T

@y

2= 0

@

2u

@t

2= c

2

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

1

@T

@t

= �u

@T

@x

, u = const

@T

@t

= K

@

2T

@x

2, K = const

@

2V

@x

2+

@

2V

@y

2= f(x, y)

@

2T

@x

2+

@

2T

@y

2= 0

@

2u

@t

2= c

2

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

1

@T

@t

= �u

@T

@x

, u = const

@T

@t

= K

@

2T

@x

2, K = const

@

2V

@x

2+

@

2V

@y

2= f(x, y)

@

2T

@x

2+

@

2T

@y

2= 0

@

2u

@t

2= c

2

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

1

Equação de Navier-Stokes

•  Equaçãofundamentaldamecânicadefluídos,comaplicaçãonaMeteorologia,Oceanografia,etc.

•  Éumaequaçãodiferencialnãolineardesegundaordem.

•  Asoluçãonuméricadestasequaçõesrequerasuatransformaçãoemequaçõesalgébricasdiscretas.Existemváriosmétodos:diferençasfinitas,elementosfinitos,métodoespectral.

@T

@t

= �u

@T

@x

, u = const

@T

@t

= K

@

2T

@x

2, K = const

@

2V

@x

2+

@

2V

@y

2= f(x, y)

@

2T

@x

2+

@

2T

@y

2= 0

@

2u

@t

2= c

2

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

@u

@t

= �u

@u

@x

� v

@u

@y

� w

@u

@z

� 1

⇢

@p

@x

+ fv + v

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

1

Advecçãonãolinear Difusão

Diferenças finitas

•  SériedeTaylor:

@T

@t

= �u

@T

@x

, u = const

@T

@t

= K

@

2T

@x

2, K = const

@

2V

@x

2+

@

2V

@y

2= f(x, y)

@

2T

@x

2+

@

2T

@y

2= 0

@

2u

@t

2= c

2

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

@u

@t

= �u

@u

@x

� v

@u

@y

� w

@u

@z

� 1

⇢

@p

@x

+ fv + v

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

f(x0 +�x) = f(x0) +

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x

2 +1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0)� 1

2

⇣@

2f

@x

2

⌘

x=x0

�x

2 � 13!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

�x

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

� 1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

+O(�x)

(1)

1

@T

@t

= �u

@T

@x

, u = const

@T

@t

= K

@

2T

@x

2, K = const

@

2V

@x

2+

@

2V

@y

2= f(x, y)

@

2T

@x

2+

@

2T

@y

2= 0

@

2u

@t

2= c

2

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

@u

@t

= �u

@u

@x

� v

@u

@y

� w

@u

@z

� 1

⇢

@p

@x

+ fv + v

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

f(x0 +�x) = f(x0) +

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x

2 +1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0)� 1

2

⇣@

2f

@x

2

⌘

x=x0

�x

2 � 13!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

�x

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

� 1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

+O(�x)

(1)

f(x) = e

x

1

h4ps://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series

Diferenças finitas

•  Diferençasavançadas:

@T

@t

= �u

@T

@x

, u = const

@T

@t

= K

@

2T

@x

2, K = const

@

2V

@x

2+

@

2V

@y

2= f(x, y)

@

2T

@x

2+

@

2T

@y

2= 0

@

2u

@t

2= c

2

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

@u

@t

= �u

@u

@x

� v

@u

@y

� w

@u

@z

� 1

⇢

@p

@x

+ fv + v

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

f(x0 +�x) = f(x0) +

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x

2 +1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0)� 1

2

⇣@

2f

@x

2

⌘

x=x0

�x

2 � 13!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

�x

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

� 1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

+O(�x)

(1)

1

@T

@t

= �u

@T

@x

, u = const

@T

@t

= K

@

2T

@x

2, K = const

@

2V

@x

2+

@

2V

@y

2= f(x, y)

@

2T

@x

2+

@

2T

@y

2= 0

@

2u

@t

2= c

2

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

@u

@t

= �u

@u

@x

� v

@u

@y

� w

@u

@z

� 1

⇢

@p

@x

+ fv + v

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

f(x0 +�x) = f(x0) +

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x

2 +1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0)� 1

2

⇣@

2f

@x

2

⌘

x=x0

�x

2 � 13!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

�x

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

� 1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

+O(�x)

(1)

1

@T

@t

= �u

@T

@x

, u = const

@T

@t

= K

@

2T

@x

2, K = const

@

2V

@x

2+

@

2V

@y

2= f(x, y)

@

2T

@x

2+

@

2T

@y

2= 0

@

2u

@t

2= c

2

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

@u

@t

= �u

@u

@x

� v

@u

@y

� w

@u

@z

� 1

⇢

@p

@x

+ fv + v

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

f(x0 +�x) = f(x0) +

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x

2 +1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0)� 1

2

⇣@

2f

@x

2

⌘

x=x0

�x

2 � 13!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

�x

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

� 1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

+O(�x)

(1)

f(x) = e

x

f(x0 ��x) = f(x0)�✓@f

@x

◆

x=x0

�x+1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x

2 � 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

= �f(x0 ��x)� f(x0)� 1

2

⇣@

2f

@x

2

⌘

x=x0

�x

2 + 13!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

�x

=f(x0)� f(x0 ��x)

�x

+1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0)� f(x0 ��x)

�x

+O(�x)

(2)

1

@T

@t

= �u

@T

@x

, u = const

@T

@t

= K

@

2T

@x

2, K = const

@

2V

@x

2+

@

2V

@y

2= f(x, y)

@

2T

@x

2+

@

2T

@y

2= 0

@

2u

@t

2= c

2

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

@u

@t

= �u

@u

@x

� v

@u

@y

� w

@u

@z

� 1

⇢

@p

@x

+ fv + v

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

f(x0 +�x) = f(x0) +

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x

2 +1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0)� 1

2

⇣@

2f

@x

2

⌘

x=x0

�x

2 � 13!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

�x

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

� 1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

+O(�x)

(1)

f(x) = e

x

f(x0 ��x) = f(x0)�✓@f

@x

◆

x=x0

�x+1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x

2 � 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

= �f(x0 ��x)� f(x0)� 1

2

⇣@

2f

@x

2

⌘

x=x0

�x

2 + 13!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

�x

=f(x0)� f(x0 ��x)

�x

+1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0)� f(x0 ��x)

�x

+O(�x)

(2)

1

Diferenças finitas

•  Diferençasretardadas:

f(x0 +�x)� f(x0 ��x) = 2

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+2

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)� 2

3!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

2�x

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

�23!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3

2�x

+ ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

+O(�x

2)

(3)

2

Diferenças finitas

•  Diferençascentradas:

@T

@t

= �u

@T

@x

, u = const

@T

@t

= K

@

2T

@x

2, K = const

@

2V

@x

2+

@

2V

@y

2= f(x, y)

@

2T

@x

2+

@

2T

@y

2= 0

@

2u

@t

2= c

2

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

@u

@t

= �u

@u

@x

� v

@u

@y

� w

@u

@z

� 1

⇢

@p

@x

+ fv + v

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

f(x0 +�x) = f(x0) +

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x

2 +1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0)� 1

2

⇣@

2f

@x

2

⌘

x=x0

�x

2 � 13!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

�x

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

� 1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

+O(�x)

(1)

f(x) = e

x

f(x0 ��x) = f(x0)�✓@f

@x

◆

x=x0

�x+1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x

2 � 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

= �f(x0 ��x)� f(x0)� 1

2

⇣@

2f

@x

2

⌘

x=x0

�x

2 + 13!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

�x

=f(x0)� f(x0 ��x)

�x

+1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0)� f(x0 ��x)

�x

+O(�x)

(2)

1

@T

@t

= �u

@T

@x

, u = const

@T

@t

= K

@

2T

@x

2, K = const

@

2V

@x

2+

@

2V

@y

2= f(x, y)

@

2T

@x

2+

@

2T

@y

2= 0

@

2u

@t

2= c

2

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

@u

@t

= �u

@u

@x

� v

@u

@y

� w

@u

@z

� 1

⇢

@p

@x

+ fv + v

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

f(x0 +�x) = f(x0) +

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x

2 +1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0)� 1

2

⇣@

2f

@x

2

⌘

x=x0

�x

2 � 13!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

�x

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

� 1

2

✓@

2f

@x

2

◆

x=x0

�x� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

+O(�x)

(1)

1

f(x0 +�x)� f(x0 ��x) = 2

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+2

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)� 2

3!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

2�x

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

�23!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3

2�x

+ ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

+O(�x

2)

(3)

2

Diferenças finitas

•  Diferençasavançadas:

•  Diferençasretardadas:

•  Diferençascentradas:

f(x0 +�x)� f(x0 ��x) = 2

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+2

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)� 2

3!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

2�x

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

�23!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3

2�x

+ ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

+O(�x

2)

(3)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

+O(�x)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0)� f(x0 ��x)

�x

+O(�x)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

+O(�x

2)

2

f(x0 +�x)� f(x0 ��x) = 2

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+2

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)� 2

3!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

2�x

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

�23!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3

2�x

+ ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

+O(�x

2)

(3)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

+O(�x)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0)� f(x0 ��x)

�x

+O(�x)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

+O(�x

2)

2

f(x0 +�x)� f(x0 ��x) = 2

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+2

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)� 2

3!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

2�x

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

�23!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3

2�x

+ ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

+O(�x

2)

(3)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

+O(�x)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0)� f(x0 ��x)

�x

+O(�x)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

+O(�x

2)

2

Modelação Numérica DEGGE

4

(𝑑𝑦𝑑𝑡)

𝑡=𝑎= 𝑦 (𝑎 + ∆𝑡) − 𝑦(𝑎)

∆𝑡

Neste caso representam-se as diferenças finitas avançadas. Notar que esta expressão corresponde ao declive da recta tangente ao ponto y(a), tal como acima descrito. A escolha de um determinado método numérico exige algumas considerações prévias:

a) Precisão – relacionada com o erro de aproximação b) Estabilidade – o erro é estável? c) Convergência – a solução numérica converge para a solução analítica

quando ∆𝑡 → 0? De forma genérica, podem ainda definir-se três tipos de diferenças finitas: Avançadas

𝑑𝑦𝑑𝑡 ≈ 𝑦 (𝑡 + ∆𝑡) − 𝑦(𝑡)

∆𝑡 Retardadas

𝑑𝑦𝑑𝑡 ≈ 𝑦 (𝑡) − 𝑦(𝑡 − ∆𝑡)

∆𝑡 Centradas

𝑑𝑦𝑑𝑡 ≈ 𝑦 (𝑡 + ∆𝑡) − 𝑦(𝑡 − ∆𝑡)

2∆𝑡

AaproximaçãoémelhorquandoΔx->0

Diferenças finitas

•  Diferençasavançadas:

•  Diferençasretardadas:

•  Diferençascentradas:

f(x0 +�x)� f(x0 ��x) = 2

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+2

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)� 2

3!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

2�x

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

�23!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3

2�x

+ ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

+O(�x

2)

(3)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

+O(�x)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0)� f(x0 ��x)

�x

+O(�x)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

+O(�x

2)

2

f(x0 +�x)� f(x0 ��x) = 2

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+2

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)� 2

3!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

2�x

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

�23!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3

2�x

+ ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

+O(�x

2)

(3)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

+O(�x)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0)� f(x0 ��x)

�x

+O(�x)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

+O(�x

2)

2

f(x0 +�x)� f(x0 ��x) = 2

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+2

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)� 2

3!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

2�x

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

�23!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3

2�x

+ ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

+O(�x

2)

(3)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

+O(�x)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0)� f(x0 ��x)

�x

+O(�x)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

+O(�x

2)

2

Modelação Numérica DEGGE

4

(𝑑𝑦𝑑𝑡)

𝑡=𝑎= 𝑦 (𝑎 + ∆𝑡) − 𝑦(𝑎)

∆𝑡

Neste caso representam-se as diferenças finitas avançadas. Notar que esta expressão corresponde ao declive da recta tangente ao ponto y(a), tal como acima descrito. A escolha de um determinado método numérico exige algumas considerações prévias:

a) Precisão – relacionada com o erro de aproximação b) Estabilidade – o erro é estável? c) Convergência – a solução numérica converge para a solução analítica

quando ∆𝑡 → 0? De forma genérica, podem ainda definir-se três tipos de diferenças finitas: Avançadas

𝑑𝑦𝑑𝑡 ≈ 𝑦 (𝑡 + ∆𝑡) − 𝑦(𝑡)

∆𝑡 Retardadas

𝑑𝑦𝑑𝑡 ≈ 𝑦 (𝑡) − 𝑦(𝑡 − ∆𝑡)

∆𝑡 Centradas

𝑑𝑦𝑑𝑡 ≈ 𝑦 (𝑡 + ∆𝑡) − 𝑦(𝑡 − ∆𝑡)

2∆𝑡

Asdiferençascentradasdãoumaaproximaçãomaisexacta

Diferenças de ordens mais elevadas

•  CombinandosériesdeTaylorpara𝑓(𝑥0±𝑛Δ𝑥),podemestabelecer-seΔ𝑥),podemestabelecer-seaproximaçõesàsderivadasatéqualquerordem,implicandonoentantoqueocálculodeumaderivadarequervaloresdafunçãonumavizinhançacadavezmaisextensa,oquenãoépráBcoetrazproblemasquandonosaproximamosdafronteira.

•  Porexemplo,nocasodasdiferençascentradas,elassópodemsercalculadasempontosinteriores,devendoospontosdefronteirasercalculadosàparte(nacondiçãofronteira).

Diferenças de ordem mais elevada

Modelação Numérica 12

Combinando series de Taylor para 𝑓 𝑥0 ± 𝑛Δ𝑥 , podem estabelecer-se aproximações às derivadas até qualquer ordem, implicando no entanto que o cálculo de uma derivada requer valores da função numa vizinhança cada vez maisextensa, o que não é prático e traz problemas quando nos aproximamos da fronteira.

Por exemplo, no caso das diferenças centradas, elas só podem ser calculadas empontos interiors, devendo os pontos de fronteira ser calculados à parte (nacondição fronteira)

𝑓𝑘 𝑓𝑘+1𝑓𝑘−1

Ponto de fronteira

𝜕𝑓𝜕𝑥 𝑥𝑘

≈1Δx 𝑓𝑘+1 + 𝑓𝑘−1

𝜕𝑓𝜕𝑥

≈?

Exterior

Considerações iniciais

•  AprecisãodométodouBlizadonadiscreBzaçãoésóumadaspropriedadesrelevantesaconsiderar.

•  Sejaqualforaprecisão,ummétodoconsistentedeveconvergirparaasoluçãoanalíBcanolimiteΔ𝑥⟶0.

•  Independentementedaprecisão,ummétodosóéúBlsefornumericamenteestável,i.e.seoerronãocrescerexponencialmente.Estecritérioémuitorelevanteparaproblemasqueevoluemnotempo.

•  Oerrodeummétodoprecisadesercaracterizadoemdetalhe.Porexemplo:comosetraduznarepresentaçãodapropagaçãodeondas(velocidadedefaseedegrupo),comodiscriminaosdiferentescomprimentosdeonda(dispersão),etc..

•  Oteoremadaamostragemérelevante!

•  Estestópicosserãoimportantesnosexemplosdestecurso.

Equação de advecção (linear, 1D)

•  Aequaçãoélinearse𝑢=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡etem,nessecaso,soluçãoanalíBca.

•  Trata-sedeumproblemadevaloresiniciais.I.e.,dadaadistribuiçãoinicial𝑇(𝑥,𝑡=0)calcular𝑇(𝑥,𝑡>0).

•  VamosdiscreBzarafunção𝑇(𝑥,𝑡)≈𝑇𝑛Δ𝑡kΔx≡𝑇𝑛kΔ𝑡kΔx≡𝑇𝑛kkΔx≡𝑇𝑛k

(Oíndicesuperiorrepresentatempo,oinferioroespaço).VamosexperimentarumasoluçãopordiferençasfinitasusandoométododeEuler,comdiferençasavançadasnotempoecentradasnoespaço:

•  Trata-sedeummétodocom1nível(ocálculodasoluçãonopassodetempo𝑛sódependede1passoanterior𝑛−1).

•  Trata-sedeummétodoexplícito:𝑇𝑛+1kdependedocamponopassodetempoanterior(enãodoseuvalornoutrospontosem𝑡=𝑛Δ𝑡).Δ𝑡).

@T

@t

= �u

@T

@x

, u = const

@T

@t

= K

@

2T

@x

2, K = const

@

2V

@x

2+

@

2V

@y

2= f(x, y)

@

2T

@x

2+

@

2T

@y

2= 0

@

2u

@t

2= c

2

✓@

2u

@x

2+

@

2u

@y

2

◆

1

f(x0 +�x)� f(x0 ��x) = 2

✓@f

@x

◆

x=x0

�x+2

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

3 + ...

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)� 2

3!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3 + ...

2�x

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

�23!

⇣@

3f

@x

3

⌘

x=x0

�x

3

2�x

+ ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

� 1

3!

✓@

3f

@x

3

◆

x=x0

�x

2 + ...

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

+O(�x

2)

(3)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0)

�x

+O(�x)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0)� f(x0 ��x)

�x

+O(�x)

✓@f

@x

◆

x=x0

=f(x0 +�x)� f(x0 ��x)

2�x

+O(�x

2)

T

n+1k

� T

n

k

�t

= �u

T

n

k+1 � T

n

k�1

2�x

) T

n+1k

= T

n

k

� u�t

T

n

k+1 � T

n

k�1

2�x

2