Equações diferenciais com derivadas parciais -...

98
Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu ´ ıs Descalc ¸o Universidade de Aveiro Equac ¸˜ oes diferenciais – p. 1/49

Transcript of Equações diferenciais com derivadas parciais -...

Page 1: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equações diferenciais com derivadas

parciaisAlexander Plakhov e Luıs Descalco

Universidade de Aveiro

Equacoes diferenciais – p. 1/49

Page 2: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equações e separação das variáveis

• Equações da física-matemática

• Aplicação do método da separação das variáveis ou de Fourier

Equacoes diferenciais – p. 2/49

Page 3: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Definições e classificação

A equação diferencial parcial (EDP) é uma equação que envolve

uma função incógnita deduas (ou mais) variaveis, algumas

derivadas parciais desta função e variáveis independentes. A

função incógnita vai ser sempre denotada poru(x, y) (ou

u(x, t)).

Equacoes diferenciais – p. 3/49

Page 4: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Definições e classificação

A equação diferencial parcial (EDP) é uma equação que envolve

uma função incógnita deduas (ou mais) variaveis, algumas

derivadas parciais desta função e variáveis independentes. A

função incógnita vai ser sempre denotada poru(x, y) (ou

u(x, t)).

A ordem da EDP é ordem da derivada de maior ordem que

aparece na equação.

Equacoes diferenciais – p. 3/49

Page 5: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Forma genérica

A forma genérica da EDP de 1a ordem:

F (x, y, u(x, y),∂u

∂x(x, y),

∂u

∂y(x, y)) = 0;

ou, em notação mais compacta:F (x, y, u, ux, uy) = 0.

Equacoes diferenciais – p. 4/49

Page 6: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Forma genérica

A forma genérica da EDP de 1a ordem:

F (x, y, u(x, y),∂u

∂x(x, y),

∂u

∂y(x, y)) = 0;

ou, em notação mais compacta:F (x, y, u, ux, uy) = 0.

A equação genérica de 2a ordem:

F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0,

etc.

Equacoes diferenciais – p. 4/49

Page 7: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Forma genérica

A forma genérica da EDP de 1a ordem:

F (x, y, u(x, y),∂u

∂x(x, y),

∂u

∂y(x, y)) = 0;

ou, em notação mais compacta:F (x, y, u, ux, uy) = 0.

A equação genérica de 2a ordem:

F (x, y, u, ux, uy, uxx, uxy, uyy) = 0,

etc.Observacao. Lembramos que uma equação diferencialordinaria (EDO)

envolve uma função deumavariávelu(x) e as suas derivadas:

F (x, u(x), u′(x), . . .). Geralmente as EDP’s são mais complicadas do que

EDO’s.

Equacoes diferenciais – p. 4/49

Page 8: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Exemplos das EDP’s

1. ux = 0.

2. ux + uy = sin(x+ y).

3. u2x + u2y = 1.

4. uxx + uyy = 0 (equação de Laplace).

5. ux = uyy (equação do calor).

6. uy + uux + uxxx = 0 (equação de Korteweg - de Vries).

Equacoes diferenciais – p. 5/49

Page 9: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Exemplos das EDP’s

1. ux = 0.

2. ux + uy = sin(x+ y).

3. u2x + u2y = 1.

4. uxx + uyy = 0 (equação de Laplace).

5. ux = uyy (equação do calor).

6. uy + uux + uxxx = 0 (equação de Korteweg - de Vries).

Questao: Qual é a ordem de cada uma destas equações?

Equacoes diferenciais – p. 5/49

Page 10: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Resolver EDP’s

• Sistemas da forma∇F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)). Por

exemplo,

∇F (x, y) = (2xy2, 2x2y + 1).

Equacoes diferenciais – p. 6/49

Page 11: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Resolver EDP’s

• Sistemas da forma∇F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)). Por

exemplo,

∇F (x, y) = (2xy2, 2x2y + 1).

ObtemosF (x, y) = x2y2 + φ(y) usando a primeira equação,

Equacoes diferenciais – p. 6/49

Page 12: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Resolver EDP’s

• Sistemas da forma∇F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)). Por

exemplo,

∇F (x, y) = (2xy2, 2x2y + 1).

ObtemosF (x, y) = x2y2 + φ(y) usando a primeira equação,

e usando a segunda,2x2y + φ(y) = 2x2y + 1, donde

F (x, y) = x2y2 + y.

Equacoes diferenciais – p. 6/49

Page 13: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Resolver EDP’s

• Sistemas da forma∇F (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)). Por

exemplo,

∇F (x, y) = (2xy2, 2x2y + 1).

ObtemosF (x, y) = x2y2 + φ(y) usando a primeira equação,

e usando a segunda,2x2y + φ(y) = 2x2y + 1, donde

F (x, y) = x2y2 + y.

• Primitivação direta. Por exemplo,uxxy = 1 resolve-se

primitivando e obtemos a solução

u(x, y) = y x2

2+ a(x) + xb(y) + c(y)

ondea, b e c são funções arbitrárias de uma variável.

Equacoes diferenciais – p. 6/49

Page 14: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Resolver EDP’s

• Procurar soluções em formas dadas. Por exemplo, para a

equaçãouxx + 2uxy + uyy = 0, verificar queu(x, y) = erx+sy é

solução ser2 + 2rs+ s2 = 0.

Equacoes diferenciais – p. 7/49

Page 15: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Resolver EDP’s

• Procurar soluções em formas dadas. Por exemplo, para a

equaçãouxx + 2uxy + uyy = 0, verificar queu(x, y) = erx+sy é

solução ser2 + 2rs+ s2 = 0.

Basta derivaru na forma dada e substituir na equação.

Equacoes diferenciais – p. 7/49

Page 16: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Operadores

Já vimos o exemplo do operador∇ quando definimos o

gradiente e rotacional de um campo. Em geral, umoperadoré

uma aplicação (entre duas famílias de funções) que a uma função

faz corresponder outra função.

Equacoes diferenciais – p. 8/49

Page 17: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Operadores

Já vimos o exemplo do operador∇ quando definimos o

gradiente e rotacional de um campo. Em geral, umoperadoré

uma aplicação (entre duas famílias de funções) que a uma função

faz corresponder outra função.

Exemplos de operadores:

1. Lu = ux + uy (divergente).

2. Lu = u2x + u2y.

3. Lu = uxx − x2uyy.

Equacoes diferenciais – p. 8/49

Page 18: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Operadores

Já vimos o exemplo do operador∇ quando definimos o

gradiente e rotacional de um campo. Em geral, umoperadoré

uma aplicação (entre duas famílias de funções) que a uma função

faz corresponder outra função.

Exemplos de operadores:

1. Lu = ux + uy (divergente).

2. Lu = u2x + u2y.

3. Lu = uxx − x2uyy.

Definicao Um operador diz-selinear seL(u+ v) = Lu+ Lv e

L(λu) = λ · Lu, quaisquer que sejam funçõesu ev e o número

realλ.

Equacoes diferenciais – p. 8/49

Page 19: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Operadores

Já vimos o exemplo do operador∇ quando definimos o

gradiente e rotacional de um campo. Em geral, umoperadoré

uma aplicação (entre duas famílias de funções) que a uma função

faz corresponder outra função.

Exemplos de operadores:

1. Lu = ux + uy (divergente).

2. Lu = u2x + u2y.

3. Lu = uxx − x2uyy.

Definicao Um operador diz-selinear seL(u+ v) = Lu+ Lv e

L(λu) = λ · Lu, quaisquer que sejam funçõesu ev e o número

realλ.

Questao: Quais dos operadores no exemplo são lineares?

Equacoes diferenciais – p. 8/49

Page 20: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Propriedades das EDP lineares.

1. Soma de duas soluções de uma equação linear homogénea

também é solução:

Se Lu1 = 0 e Lu2 = 0 então L(u1+u2) = 0.

Equacoes diferenciais – p. 9/49

Page 21: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Propriedades das EDP lineares.

1. Soma de duas soluções de uma equação linear homogénea

também é solução:

Se Lu1 = 0 e Lu2 = 0 então L(u1+u2) = 0.

2. Seu é solução de uma equação linear homogénea, entãoλu

também é:

Se Lu = 0, então L(λu) = 0.

Equacoes diferenciais – p. 9/49

Page 22: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Propriedades das EDP lineares.

1. Soma de duas soluções de uma equação linear homogénea

também é solução:

Se Lu1 = 0 e Lu2 = 0 então L(u1+u2) = 0.

2. Seu é solução de uma equação linear homogénea, entãoλu

também é:

Se Lu = 0, então L(λu) = 0.

3. Seu1 é solução de uma EDP linear não

homogénea,Lu1 = f , eu2 é solução da equação homogénea

correspondente,Lu2 = 0, então a soma é solução da equação

não homogénea:L(u1 + u2) = f .

Equacoes diferenciais – p. 9/49

Page 23: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação linear de primeira ordem

Equação linear homogênea de primeira ordem com coeficientes

constantes

aux + buy = 0

Equacoes diferenciais – p. 10/49

Page 24: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação linear de primeira ordem

Equação linear homogênea de primeira ordem com coeficientes

constantes

aux + buy = 0

Metodo geometrico. Temos

aux + buy = 0 ⇔ (ux, uy) · (a, b) = 0 ⇔ D(a,b)u = 0.

Equacoes diferenciais – p. 10/49

Page 25: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação linear de primeira ordem

Equação linear homogênea de primeira ordem com coeficientes

constantes

aux + buy = 0

Metodo geometrico. Temos

aux + buy = 0 ⇔ (ux, uy) · (a, b) = 0 ⇔ D(a,b)u = 0.

Assimu é constante na direção de(a, b) e por isso depende

apenas debx− ay.

Equacoes diferenciais – p. 10/49

Page 26: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação linear de primeira ordem

Equação linear homogênea de primeira ordem com coeficientes

constantes

aux + buy = 0

Metodo geometrico. Temos

aux + buy = 0 ⇔ (ux, uy) · (a, b) = 0 ⇔ D(a,b)u = 0.

Assimu é constante na direção de(a, b) e por isso depende

apenas debx− ay.

A solução é

u(x, y) = f(bx− ay)

ondef é uma função arbitrária de uma variável.

Equacoes diferenciais – p. 10/49

Page 27: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação linear de primeira ordem

aux + buy = 0

Equacoes diferenciais – p. 11/49

Page 28: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação linear de primeira ordem

aux + buy = 0

Metodo das coordenadas.Fazendo

s = ax+ by e t = bx− ay

Equacoes diferenciais – p. 11/49

Page 29: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação linear de primeira ordem

aux + buy = 0

Metodo das coordenadas.Fazendo

s = ax+ by e t = bx− ay

Obtemos

ux = aus + but euy = bus − aut

Equacoes diferenciais – p. 11/49

Page 30: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação linear de primeira ordem

aux + buy = 0

Metodo das coordenadas.Fazendo

s = ax+ by e t = bx− ay

Obtemos

ux = aus + but euy = bus − aut

Substituindo na equação obtemos

us = 0 ⇔ u = f(t) ⇔ u(x, y) = f(bx− ay)

Equacoes diferenciais – p. 11/49

Page 31: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação linear de segunda ordem

EDP’s lineares homogéneas de 2a ordem com coeficientes

constantes.:

Auxx + 2Buxy + Cuyy +Dux + Euy + Fu = 0.

Discriminante:∆ =∣

A B

B C

∣= AC − B2

Equacoes diferenciais – p. 12/49

Page 32: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação linear de segunda ordem

EDP’s lineares homogéneas de 2a ordem com coeficientes

constantes.:

Auxx + 2Buxy + Cuyy +Dux + Euy + Fu = 0.

Discriminante:∆ =∣

A B

B C

∣= AC − B2

TeoremaPor uma transformação linear das variáveis

independentesu(x, y) = u(αx+ βy, γx+ δy), a equação acima

pode ser reduzida a uma das três formas:

(i) uxx + uyy + E = 0 (equação elíptica), se∆ > 0;

(ii) uxx + E = 0 (equação parabólica), se∆ = 0;

(iii) uxx − uyy + E = 0 (equação hiperbólica), se∆ < 0.

ondeE é uma expressão que envolve apenasu, ux euy.Equacoes diferenciais – p. 12/49

Page 33: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equações da Física Matemática

As equações mais simples de cada um dos três tipos:

• utt = a2uxx (equação de corda)

• ut = a2uxx (equação de calor)

• uxx + uyy = 0 (equação de Laplace)

Equacoes diferenciais – p. 13/49

Page 34: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda infinita (1)

Vamos considerar a equação de corda, também conhecida como

equação da onda, numa corda infinita (fisicamente uma corda

muito longa)

utt − a2uxx = 0.

Equacoes diferenciais – p. 14/49

Page 35: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda infinita (1)

Vamos considerar a equação de corda, também conhecida como

equação da onda, numa corda infinita (fisicamente uma corda

muito longa)

utt − a2uxx = 0.

• Podemosfatorizar o operador ficando(

∂t− a

∂x

)(

∂t+ a

∂x

)

u = 0

Equacoes diferenciais – p. 14/49

Page 36: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda infinita (1)

Vamos considerar a equação de corda, também conhecida como

equação da onda, numa corda infinita (fisicamente uma corda

muito longa)

utt − a2uxx = 0.

• Podemosfatorizar o operador ficando(

∂t− a

∂x

)(

∂t+ a

∂x

)

u = 0

obtemos assim duas equações de primeira ordem

vt − avx = 0 eut + aux = v

Equacoes diferenciais – p. 14/49

Page 37: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda infinita (1)

A equaçãovt − avx = 0 tem solução geral

v(x, t) = h(x+ at) comh função arbirária de uma variável

Equacoes diferenciais – p. 15/49

Page 38: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda infinita (1)

A equaçãovt − avx = 0 tem solução geral

v(x, t) = h(x+ at) comh função arbirária de uma variável

Resta então resolver a equação completa

ut + aux = h(x+ at)

Equacoes diferenciais – p. 15/49

Page 39: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda infinita (1)

A equaçãovt − avx = 0 tem solução geral

v(x, t) = h(x+ at) comh função arbirária de uma variável

Resta então resolver a equação completa

ut + aux = h(x+ at)

A homogênea associada,

ut + aux = 0,

tem solução

u(x, t) = g(x− at)

ondeg é uma função de uma variável.

Equacoes diferenciais – p. 15/49

Page 40: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda infinita (1)

Sef é uma função tal quef ′(x) = h(s)2a

então

u(x, t) = f(x+ at)

é solução particular da equação completaut + aux = h(x+ at).

Equacoes diferenciais – p. 16/49

Page 41: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda infinita (1)

Sef é uma função tal quef ′(x) = h(s)2a

então

u(x, t) = f(x+ at)

é solução particular da equação completaut + aux = h(x+ at).

Como esta equação é linear, todas as funções da forma

u(x, t) = f(x+ at) + g(x− at)

são soluções (sol. particular da completa + geral da homogênea)

Equacoes diferenciais – p. 16/49

Page 42: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda infinita (2)

• Para obter a solução geral da equação

utt − a2uxx = 0,

Equacoes diferenciais – p. 17/49

Page 43: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda infinita (2)

• Para obter a solução geral da equação

utt − a2uxx = 0,

podemos efetuar amudanca de variaveis

ξ = x+ at, η = x− at.

Equacoes diferenciais – p. 17/49

Page 44: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda infinita (2)

• Para obter a solução geral da equação

utt − a2uxx = 0,

podemos efetuar amudanca de variaveis

ξ = x+ at, η = x− at.

Temos∂u

∂x=∂u

∂ξ+∂u

∂ηe∂u

∂t= a

∂u

∂ξ− a

∂u

∂η.

Equacoes diferenciais – p. 17/49

Page 45: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda infinita (2)

Substituindo na equação fatorizada(

∂t− a

∂x

)(

∂t+ a

∂x

)

u = 0

Equacoes diferenciais – p. 18/49

Page 46: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda infinita (2)

Substituindo na equação fatorizada(

∂t− a

∂x

)(

∂t+ a

∂x

)

u = 0

obtemos

uηξ = 0 ⇔ uη = h(η) ⇔ u = f(η) + g(ξ)

Equacoes diferenciais – p. 18/49

Page 47: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda infinita (2)

Substituindo na equação fatorizada(

∂t− a

∂x

)(

∂t+ a

∂x

)

u = 0

obtemos

uηξ = 0 ⇔ uη = h(η) ⇔ u = f(η) + g(ξ)

donde

u(x, t) = f(x+ at) + g(x− at)

comf eg funções artbitrárias.

Equacoes diferenciais – p. 18/49

Page 48: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda finita

Vamos considerar a equação de corda para ilustrar o método da

separação das variáveis (ou método de Fourier).

Equacoes diferenciais – p. 19/49

Page 49: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda finita

Vamos considerar a equação de corda para ilustrar o método da

separação das variáveis (ou método de Fourier).

Consideremos uma corda de comprimentoL > 0 cuja dinâmica

é descrita por uma funçãou, sendou(x, t) é a deslocação

transversal do pontox ∈ [0, L] da corda no instantet.

Equacoes diferenciais – p. 19/49

Page 50: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação da onda para uma corda finita

Vamos considerar a equação de corda para ilustrar o método da

separação das variáveis (ou método de Fourier).

Consideremos uma corda de comprimentoL > 0 cuja dinâmica

é descrita por uma funçãou, sendou(x, t) é a deslocação

transversal do pontox ∈ [0, L] da corda no instantet.

A corda é presa nas extremidadesx = 0 ex = L, ou seja,

u(0, t) = 0 eu(L, t) = 0 (condicoes laterais).

Equacoes diferenciais – p. 19/49

Page 51: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

A corda

0 L x

x

u(x, t)

y

A configuração da corda no instantet

Equacoes diferenciais – p. 20/49

Page 52: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

O problema

Vamos considerar o seguinte problema:

(a) utt = a2uxx, x ∈ [0, L], t ≥ 0

(b) u(0, t) = 0 = u(L, t), t ≥ 0

(c) u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x), x ∈ [0, L].

Equacoes diferenciais – p. 21/49

Page 53: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

O problema

Vamos considerar o seguinte problema:

(a) utt = a2uxx, x ∈ [0, L], t ≥ 0

(b) u(0, t) = 0 = u(L, t), t ≥ 0

(c) u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x), x ∈ [0, L].

A funçãoϕ descreve a configuração inicial da corda eψ descreve

a velocidade inicial (transversal) dos pontos da corda.

Equacoes diferenciais – p. 21/49

Page 54: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Séries de Fourier

Se a funçãof satisfaz as condições de Dirichlet no intervalo

]− L,L[ (tem um número finito de descontinuidades e de

extremos), então para os pontos de continuidade da função

verifica-se

f(x) =a0

2+

∞∑

m=1

am cosπmx

L+

∞∑

m=1

bm sinπmx

L

com

am =1

L

∫ L

−L

cosπmx

Lf(x) dx (m = 0, 1, 2, . . .) e

bm =1

L

∫ L

−L

sinπmx

Lf(x) dx (m = 1, 2, . . .)

Equacoes diferenciais – p. 22/49

Page 55: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Séries de Fourier

Seam = 0, m = 0, 1, 2, . . . entãof é par e temos

f(x) =∞∑

m=1

bm sinπmx

L

com

bm =2

L

∫ L

0

sinπmx

Lf(x) dx (m = 1, 2, . . .)

Equacoes diferenciais – p. 23/49

Page 56: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

O método de separação das variáveis

Vamos então agora aplicar o método da separação das variáveis

para resolver o nosso problema com a equação da corda.

Procuramos uma solução na formau(x, t) = X(x) · T (t)

(portanto separando as variáveis), com o uso das alíneas (a)e (b),

e ignorando por agora a alínea (c).

Equacoes diferenciais – p. 24/49

Page 57: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

O método de separação das variáveis

Vamos então agora aplicar o método da separação das variáveis

para resolver o nosso problema com a equação da corda.

Procuramos uma solução na formau(x, t) = X(x) · T (t)

(portanto separando as variáveis), com o uso das alíneas (a)e (b),

e ignorando por agora a alínea (c).

(a) utt = a2uxx, x ∈ [0, L], t ≥ 0

(b) u(0, t) = 0 = u(L, t), t ≥ 0

Equacoes diferenciais – p. 24/49

Page 58: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

O método de separação das variáveis

(a) ⇒ X(x) · T ′′(t) = a2X ′′(x) · T (t), donde

T ′′(t)

a2T (t)=

X ′′(x)

X(x)∀x ∈ [0, L], ∀t ≥ 0.

Equacoes diferenciais – p. 25/49

Page 59: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

O método de separação das variáveis

(a) ⇒ X(x) · T ′′(t) = a2X ′′(x) · T (t), donde

T ′′(t)

a2T (t)=

X ′′(x)

X(x)∀x ∈ [0, L], ∀t ≥ 0.

A parte esquerda desta equação depende apenas det, e a parte

direita, dex, logo ambas as partes são iguais a uma constante.

Deste modo,

(i)X ′′(x)

X(x)= λ, (ii)

T ′′(t)

a2T (t)= λ.

Equacoes diferenciais – p. 25/49

Page 60: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

O método de separação das variáveis

Notemos que,

(b) ⇒ X(0) · T (t) = 0 = X(L) · T (t) ∀t ≥ 0,

logo

X(0) = 0 e X(L) = 0,

pois caso contrário a funçãoT seria identicamente nula.

Equacoes diferenciais – p. 26/49

Page 61: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

O método de separação das variáveis

Notemos que,

(b) ⇒ X(0) · T (t) = 0 = X(L) · T (t) ∀t ≥ 0,

logo

X(0) = 0 e X(L) = 0,

pois caso contrário a funçãoT seria identicamente nula.

Vamos primeiro considerar a equação (i):

X ′′(x) = λX(x).

Consideremos três casos:(a) λ > 0, (b) λ = 0 e (c) λ < 0.

Provemos que os casos(a) e (b) são impossíveis.

Equacoes diferenciais – p. 26/49

Page 62: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Caso(a)

λ > 0. Sejaλ = k2 comk 6= 0. Neste caso a solução geral desta

equação (linear homogénea de coeficientes constantes) é

X(x) = α1ekx + α2e

−kx. Temos

X(0) = 0 ⇒ α2 = −α1 ( logoα1 6= 0).

Equacoes diferenciais – p. 27/49

Page 63: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Caso(a)

λ > 0. Sejaλ = k2 comk 6= 0. Neste caso a solução geral desta

equação (linear homogénea de coeficientes constantes) é

X(x) = α1ekx + α2e

−kx. Temos

X(0) = 0 ⇒ α2 = −α1 ( logoα1 6= 0).

Por outro lado

X(L) = 0 ⇒ α1ekL − α1e

−kL = 0 ⇒ ekL = e−kL

o que é impossível, poisk 6= 0 eL 6= 0.

Equacoes diferenciais – p. 27/49

Page 64: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Caso(b)

λ = 0. A solução geral da equaçãoX ′′ = 0 éX(x) = α1x+ α2.

Equacoes diferenciais – p. 28/49

Page 65: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Caso(b)

λ = 0. A solução geral da equaçãoX ′′ = 0 éX(x) = α1x+ α2.

Temos

X(0) = 0 ⇒ α2 = 0 (logoα1 6= 0) e X(L) = 0 ⇒ α1L = 0

o que também é impossível poisα1 6= 0 eL 6= 0.

Equacoes diferenciais – p. 28/49

Page 66: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Caso(c)

Deste modo, ficamos com o caso(c): λ < 0. Sejaλ = −k2 com

k 6= 0. A solução geral da equaçãoX ′′ = −k2X é

X(x) = α1 cos kx+ α2 sin kx.

Equacoes diferenciais – p. 29/49

Page 67: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Caso(c)

Deste modo, ficamos com o caso(c): λ < 0. Sejaλ = −k2 com

k 6= 0. A solução geral da equaçãoX ′′ = −k2X é

X(x) = α1 cos kx+ α2 sin kx.

Temos

X(0) = 0 ⇒ α1 = 0 (logo α2 6= 0).

X(L) = 0 ⇒ sin kL = 0, logo k =πm

L, m ∈ Z.

Equacoes diferenciais – p. 29/49

Page 68: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Caso(c)

Deste modo, ficamos com o caso(c): λ < 0. Sejaλ = −k2 com

k 6= 0. A solução geral da equaçãoX ′′ = −k2X é

X(x) = α1 cos kx+ α2 sin kx.

Temos

X(0) = 0 ⇒ α1 = 0 (logo α2 6= 0).

X(L) = 0 ⇒ sin kL = 0, logo k =πm

L, m ∈ Z.

Deste modo,

X(x) = α2 sinπmx

L, com m inteiro.

Equacoes diferenciais – p. 29/49

Page 69: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação (ii)

Consideremos agora a equação (ii) (comλ = −k2, k = πmL

):

T ′′(t) = −π2m2a2

L2T (t).

Equacoes diferenciais – p. 30/49

Page 70: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação (ii)

Consideremos agora a equação (ii) (comλ = −k2, k = πmL

):

T ′′(t) = −π2m2a2

L2T (t).

A sua solução é:

T (t) = β1 cosπmat

L+ β2 sin

πmat

L.

Equacoes diferenciais – p. 30/49

Page 71: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação (ii)

Temos então, fazendoα2β1 = γ1 e α2β2 = γ2:

u(x, t) = X(x)·T (t) = sinπmx

L

(

γ1 cosπmat

L+ γ2 sin

πmat

L

)

,

ondem = 1, 2, 3, . . . (sem = 0, a solução é trivial; as soluções

comm = −1, −2, −3, . . . são idênticas às que se obtêm comm

positivo).

Equacoes diferenciais – p. 31/49

Page 72: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Solução na forma de série

Esta solução genérica satisfaz as alíneas (a) e (b); para satisfazer

a alínea (c), vamos procurar a solução na forma da série (soma

infinita destas soluções):

(∗) u(x, t) =∞∑

m=1

sinπmx

L

(

am cosπmat

L+ bm sin

πmat

L

)

.

Equacoes diferenciais – p. 32/49

Page 73: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Solução na forma de série

Esta solução genérica satisfaz as alíneas (a) e (b); para satisfazer

a alínea (c), vamos procurar a solução na forma da série (soma

infinita destas soluções):

(∗) u(x, t) =∞∑

m=1

sinπmx

L

(

am cosπmat

L+ bm sin

πmat

L

)

.

A derivadaut é

ut(x, t) =∞∑

m=1

sinπmx

L

(

−amπma

Lsin

πmat

L+ bm

πma

Lcos

πmat

L

)

.

Equacoes diferenciais – p. 32/49

Page 74: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Solução na forma de série

Fazendot = 0 obtemos

u(x, 0) =∞∑

m=1

am sinπmx

L, ut(x, 0) =

∞∑

m=1

bmπma

Lsin

πmx

L.

Equacoes diferenciais – p. 33/49

Page 75: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Solução na forma de série

Fazendot = 0 obtemos

u(x, 0) =∞∑

m=1

am sinπmx

L, ut(x, 0) =

∞∑

m=1

bmπma

Lsin

πmx

L.

Usando a alínea (c), obtemos as séries de Fourier

∞∑

m=1

am sinπmx

L= ϕ(x),

∞∑

m=1

bmπma

Lsin

πmx

L= ψ(x),

com as funçõesϕ eψ conhecidas.

Equacoes diferenciais – p. 33/49

Page 76: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Solução na forma de série

Os coeficientes destas séries são dados por:

(∗∗) am =2

L

∫ L

0

sinπmx

Lϕ(x) dx,

(∗ ∗ ∗) bmπma

L=

2

L

∫ L

0

sinπmx

Lψ(x) dx.

A fórmula (*), com os coeficientes dados por (**) e (**), dá-nos

a solução para o nosso problema.

Equacoes diferenciais – p. 34/49

Page 77: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Exercício 1

Resolva o problema

utt = uxx, x ∈ [0, π], t ≥ 0

u(0, t) = 0 = u(π, t), t ≥ 0

u(x, 0) = 0, ut(x, 0) = sin x, x ∈ [0, π].

Equacoes diferenciais – p. 35/49

Page 78: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Exercício 1

Do exposto resulta que a solução do problema é da forma

u(x, t) =

∞∑

m=1

sin(mx) (am cos(mt) + bm sin(mt)) ,

onde os coeficientesam e bm são determinados por:

am =2

π

∫ π

0

sin(mx).0 dx

e

bm =2

∫ π

0

sin(mx) sin x dx.

Equacoes diferenciais – p. 36/49

Page 79: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Exercício 1

Do exposto resulta que a solução do problema é da forma

u(x, t) =

∞∑

m=1

sin(mx) (am cos(mt) + bm sin(mt)) ,

onde os coeficientesam e bm são determinados por:

am =2

π

∫ π

0

sin(mx).0 dx

e

bm =2

∫ π

0

sin(mx) sin x dx.

Daqui resulta de imediato queam = 0, para todo om ≥ 1.

Equacoes diferenciais – p. 36/49

Page 80: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Exercício 1

Por outro lado (integrando por partes),∫ π

0

sin(mx) sinx dx =[

− sin(mx) cosx]π

0+

∫ π

0

m cos(mx) cosx dx

= m

∫ π

0

cos(mx) cosx dx

= m([

cos(mx) sinx]π

0+m

∫ π

0

sin(mx) sinx dx)

,

Equacoes diferenciais – p. 37/49

Page 81: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Exercício 1

Por outro lado (integrando por partes),∫ π

0

sin(mx) sinx dx =[

− sin(mx) cosx]π

0+

∫ π

0

m cos(mx) cosx dx

= m

∫ π

0

cos(mx) cosx dx

= m([

cos(mx) sinx]π

0+m

∫ π

0

sin(mx) sinx dx)

,

ou seja,

(1−m2)

∫ π

0

sin(mx) sinx dx = 0.

Sem > 1,∫ π

0

sin(mx) sinx dx = 0 =⇒ bm = 0

Equacoes diferenciais – p. 37/49

Page 82: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Exercício 1

Sem = 1,∫ π

0

sin x sin x dx =

∫ π

0

sin2(x) dx =

∫ π

0

1− cos(2x)

2dx =

π

2,

logo,b1 = 2π

π2= 1.

Equacoes diferenciais – p. 38/49

Page 83: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Exercício 1

Sem = 1,∫ π

0

sin x sin x dx =

∫ π

0

sin2(x) dx =

∫ π

0

1− cos(2x)

2dx =

π

2,

logo,b1 = 2π

π2= 1.

Assim, a solução do problema dado é

u(x, t) = sin x sin t.

Equacoes diferenciais – p. 38/49

Page 84: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação de calor

Estudaremos a distribuição de temperatura numa barra de

comprimentoL.

Os pontos da barra são marcados porx ∈ [0, L].

Nas extremidades da barra a temperatura é nula:

u(0, t) = 0, u(L, t) = 0 (t ≥ 0).

A distrubuição inicial de temperatura é

u(x, 0) = ϕ(x).

É preciso encontrar a funçãou(x, t)

(que descreve a propagação de calor).

Equacoes diferenciais – p. 39/49

Page 85: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação de calor

O problema:

ut = a2uxx, x ∈ [0, L], t ≥ 0

u(0, t) = 0 = u(L, t), t ≥ 0 (condições laterais)

u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [0, L] (condição inicial).

O coeficientea > 0 depende das propriedades físicas da barra.

Equacoes diferenciais – p. 40/49

Page 86: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação de calor

O problema:

ut = a2uxx, x ∈ [0, L], t ≥ 0

u(0, t) = 0 = u(L, t), t ≥ 0 (condições laterais)

u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ [0, L] (condição inicial).

O coeficientea > 0 depende das propriedades físicas da barra.

Diferenças entre este problema e o anterior:

(i) na 1a alínea temosut em vez deutt e

(ii) na 3a alínea temos apenas uma condição inicial, em vez de

duas.

Equacoes diferenciais – p. 40/49

Page 87: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Aplicação do método de separação das variáveis.

Procuramos uma solução na formau(x, t) = X(x) · T (t). Temos

X(x) · T ′(t) = a2X ′′(x) · T (t), logo

T ′(t)

a2T (t)=

X ′′(x)

X(x)∀x ∈ [0, L], ∀t ≥ 0.

Daqui conclui-se que ambas as partes da equação são iguais a

uma constanteλ, logo

X ′′ = λX, T ′ = λa2T.

Equacoes diferenciais – p. 41/49

Page 88: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Aplicação do método de separação das variáveis.

Procuramos uma solução na formau(x, t) = X(x) · T (t). Temos

X(x) · T ′(t) = a2X ′′(x) · T (t), logo

T ′(t)

a2T (t)=

X ′′(x)

X(x)∀x ∈ [0, L], ∀t ≥ 0.

Daqui conclui-se que ambas as partes da equação são iguais a

uma constanteλ, logo

X ′′ = λX, T ′ = λa2T.

Repetindo o que foi dito anteriormente, conclui-se que

λ = −k2, k =πm

L, X(x) = α sin

πmx

L, ondem = 1, 2, . . . .

Equacoes diferenciais – p. 41/49

Page 89: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Aplicação do método de separação das variáveis.

Além disso,T (t) = β exp(−π2m2a2

L2 t), logo a solução genérica

é

u(x, t) = X(x)·T (t) = αβ sinπmx

Le−

π2m

2a2

L2t, m = 1, 2, 3, . . . .

Equacoes diferenciais – p. 42/49

Page 90: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Aplicação do método de separação das variáveis.

Além disso,T (t) = β exp(−π2m2a2

L2 t), logo a solução genérica

é

u(x, t) = X(x)·T (t) = αβ sinπmx

Le−

π2m

2a2

L2t, m = 1, 2, 3, . . . .

Procuramos a solução do problema na forma da série

u(x, t) =∞∑

m=1

cm sinπmx

Le−

π2m

2a2

L2t

Equacoes diferenciais – p. 42/49

Page 91: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Aplicação do método de separação das variáveis.

Substituindot = 0, temos

∞∑

m=1

cm sinπmx

L= ϕ(x),

os coeficientescm desta série de Fourier são

cm =2

L

∫ L

0

sinπmx

Lϕ(x) dx.

Equacoes diferenciais – p. 43/49

Page 92: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Exercício 2

Resolva o problema de calor

ut = 4uxx

u(0, t) = u(2π, t) = 0, t ≥ 0

u(x, 0) = sin x2

(

1 + cos x2

)

, x ∈ [0, 2π].

Equacoes diferenciais – p. 44/49

Page 93: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação de Laplace:

uxx + uyy = 0.

(O operador∆u = uxx + uyy chama-seoperador de Laplace.)

Equacoes diferenciais – p. 45/49

Page 94: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Equação de Laplace:

uxx + uyy = 0.

(O operador∆u = uxx + uyy chama-seoperador de Laplace.)

Vamos estudar o problema

uxx + uyy = 0, (x, y) ∈ D

u⌋C = ϕ (x, y) ∈ C,

ondeD ⊂ R2 é uma região,C é uma fronteira deD eϕ é uma

função definida emC. A segunda alínea também pode ser escrita

como

u(x, y) = ϕ(x, y) quando(x, y) ∈ C.

Equacoes diferenciais – p. 45/49

Page 95: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Interpretações físicas

1. Posição de equilíbrio de uma membrana elástica com a

fronteira fixa (de acordo com a funçãoϕ).

2. Distribuição de equilíbrio de temperatura numa lâmina,

com a temperatura fixa (mantida a igual aϕ).

3. Potencial de um campo eléctrico dentro da regiãoD gerado

por uma distribuição de carga eléctrica ao longo do

perímetroC.

Equacoes diferenciais – p. 46/49

Page 96: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

O método de separação das variáveis

Restringimo-nos ao problema no círculoD = BR(0, 0). Nas

coordenadas polares, a função incógnita tem forma

u(r, θ) = u(r cos θ, r sin θ). O operador de Laplace fica com a

forma

∆u = urr +1

rur +

1

r2uθθ

O método de separação das variáveis leva-nos às seguintes

soluções elementares:

u(r, θ) = rk cos kθ; rk sin kθ, r−k cos kθ, r−k sin kθ,

k = 1, 2, 3, . . . .

Equacoes diferenciais – p. 47/49

Page 97: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Fronteira

Se a condição de fronteira é dada por uma série de Fourier

ϕ(r cos θ, r sin θ) = a0 +

∞∑

k=1

ak cos kθ +

∞∑

k=1

bk sin kθ,

então a solução do problema é a série composta das soluções

elementares:

u(r, θ) = a0 +∞∑

k=1

ak

( r

R

)k

cos kθ +∞∑

k=1

bk

( r

R

)k

sin kθ.

Equacoes diferenciais – p. 48/49

Page 98: Equações diferenciais com derivadas parciais - SIACUAsiacua.web.ua.pt/calculo3/recursos/09_EDPs.pdf · Equações diferenciais com derivadas parciais Alexander Plakhov e Lu´ıs

Exercício 3

Resolva o problema

∆u = 0 se x2 + y2 ≤ 1

u(x, y) = x2 − y2 se x2 + y2 = 1.

Sugestao A condição de fronteiraϕ(x, y) = x2 − y2 é definida

na circunferênciax = cos θ, y = sin θ e pode ser escrita como

ϕ(cos θ, sin θ) = cos2 θ − sin2 θ = cos 2θ.

Equacoes diferenciais – p. 49/49