Equações Diferencias Ordinárias

8/18/2019 Equações Diferencias Ordinárias

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Capítulo IV: Derivada de funções de uma variável real a valores

reais.

Muitos são os problemas matemáticos caracterizados pela determinação de

máximos e mínimos de funções reais de uma variável onde é imprescindível a

aplicação do conceito de derivada, o qual será estudado nesse capítulo.

§4.1. Derivação.

Sejam R X f : uma função contínua e X a . O quociente

a x

a f x f xq

)()()( tem sentido para a x , logo define uma função

Ra X q : , cujo valor q(x) é a inclinação da secante (reta que liga os

pontos (a, f(a)) e (x, f(x)) no gráfico de f).

No caso em que X X a ' então é natural considerar )(lim xqa x

, que

representa a inclinação da tangente ao gráfico de f(x) no ponto (a, f(a)).

Definição de derivada: Sejam R X f : e X X a ' . A derivada da função

f no ponto a é o limite:

h

a f ha f

a x

a f x f a f

ha x

)()(lim

)()(lim)(

0

'

.

Este limite pode existir ou não. Se existir, diz-se que f é derivável no ponto a,

e a derivada nesse ponto é o valor do limite.

Exemplo 1: Seja R R f : dada por3

)( x x f .

x

y

a xo

y=f(x)

(x, f(x)) (a, f(a))

Fig.1: Gráfico da secante e da tangente a f.


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89

222333limlim

)()(lim)(' a

a x

aax xa x

a x

a x

a x

a f x f a f

a xa xa x

.

Exemplo 2: Seja R R f : dada por )()( x sen x f , então,

aah

senh

h

a senh senaha sen

h

a senha sen

h

a f ha f a f

hh

hh

cos)cos(.lim)()()cos()cos()(

lim

)()(lim

)()(lim)('

00

00

Pois cos0 = 1, e, além disso, 1)(

lim0

h

h sen

h.

Observação: Quando existe a derivada f’(x) em todos os pontos X X x '

diz-se que a função R X f : é derivável no conjunto X e se obtém uma

nova função R X X f '' : , tal que )(' x f x chamada à função derivada

de f . Se f’ é contínua diz-se que f é de classe C 1 .

Exemplo 3: Seja R R f : dada por4

)( x x f .

A função derivada tem a forma, 34)(' x x f .

Teorema 1: Sejam as funções f, g: X R deriváveis no ponto, X X a ' . As

funções cf, f g, fg, g

c e

g

f (caso 0)( a g ) são também deriváveis no ponto

a, com:

(cf)’(a) = cf’(a).

)(')(')()'( a g a f a g f .

(fg)’(a)= f’(a)g(a)+ f(a)g’(a).

)(

)(')(

2

'

a g

acg a

g

c

)(

)(')()()(')(

2

'

a g

a g a f a g a f a

g

f

.

.


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90

D: Para o produto das funções f e g tem-se que,

a x

a g x g a f

a x

x g a f x f

a x

a g a f x g x f

a xa xa x

)]()()[(lim

)()]()([lim

)()()()(lim

(fg)’(a)=f’(a).g(a)+f(a).g’(a).

Para o quociente das funções f e g tem se:

)(

)(')()()('

)()(

))()()(()())()((

lim

)()(

)()()()(

lim))(())((

lim)(

2

0

'

a g

a g a f a g a f

a g x g

a x

a g x g a f

a x

a g a f x f

a x

a g x g

a f x g a g x f

a x

a g

f x

g f

a g

f

h

a xa x

Os demais casos se fazem de forma semelhante, ficam para o leitor.

§4.1.1. Tabela das derivadas das funções elementares:

1) 1' nn nx x .

2) x x 21'

.

3) (sen(x))’=cos(x).

4) (cos(x))’ = - sen(x).

5) )(sec)( 2' x xtg .

6) )(cos)(cot 2' xec x g .

7) 1,1

1)(

2

'

x x

xarcsen .

8) 1,1

1)arccos(

2

'

x x

x .

9) 2

'

1

1)(

x xarctg

.

10) 2

'

1

1)(

x xarcctg

.

11) aaa x x ln' .

12) x x ee ' .


4/34

91

13) x

x 1

)ln( ' .

Exemplo 4: Seja )()( 3

x sen x x f .

)cos()(3)(' 32 x x x sen x x f .

§4.1.2. Exercícios para calcular derivadas das funções.

188. 323 235 x x x y .

189. xa x y

3

5 .

190. x x

y ln2

.

191. xe x y 7 .

192. y = 3sen(x) + 5cos(x).

193. y = tg(x) – cotg(x).

194. y = arc tg(x) – arc ctg(x).

195. y = x.ctg(x).

196. y = x.arc sen(x).

197. x x

a y

x1

ln .

198.arcsenx

x y

2

199. xa x

x y x ln .

§4.1.3. Interpretação geométrica da derivada.

Foi indicado antes que a expressãoa x

a f x f xq

)()()( representa a inclinação

da secante a curva y=f(x) nos pontos P(a,f(a)) e Q(x,f(x)), quando se fala do

limite,

a x

a f x f x f

a x

)()(lim)(' ,


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92

Trata-se da inclinação da reta tangente à curva no ponto P(a,f(a)), e pode-se

dizer que a derivada da função y = f(x) no ponto P é o coeficiente angular ou

inclinação da reta tangente à curva nesse ponto P. Assim tem-se que;

tg a f )('

Onde é o ângulo formado pela parte positiva do eixo x com a tangente à

curva no ponto P(a, f(a)).

Exemplo 5: Achar o ângulo de inclinação da reta tangente à curva 2/2 x y

no ponto 2/1,1 .

)1(' f tg , mas f’(x) = x, assim tem-se que:

41

tg .

§4.1.4. Taxa de variação.

Se uma partícula percorre uma distancia s em um tempo t, então essa

dependência do espaço percorrido na unidade de tempo pode ser expressa

como uma função, logo s=f(t).

Para dois valores do tempo21,t t , o quociente,

12

12

t t

t f t f

,

Representa a velocidade media da partícula no intervalo de tempo 21,t t . Em

um momento dado arbitráriamente 0t , é razoável considerar que o limite,

Fig,2: Gráfico da interpretação geométrica da derivada.

x

y

a+Δxo

(a, f(a))

a+Δx a+Δx

(a+Δx, f(a+Δx))

α


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93

0

0

0

limt t

t f t f

t t

,

Representa a taxa de variação do espaço s com relação ao tempo t. Essa

taxa de variação é a velocidade instantânea da partícula no momento 0t .

Do mesmo jeito a taxa de variação da velocidade é a aceleração. Em forma

geral em um ponto genérico t no intervalo de definição da função tem-se que:

dt

dst f v )(' e

dt

dva .

Exemplo 6: Uma partícula se move de modo que, no instante t, a distância

percorrida é dada pela equação s(t) = 2t + 1.

2dt

dsv , é a velocidade da partícula, assim tem-se que a velocidade é

constante, então se tem que o movimento é retilíneo uniforme, para qualquer t

a velocidade será sempre a mesma, v=2.

§4.1.5. Exercícios para derivar funções e aplicar a taxa de variação.

200. Qual é o ângulo que forma a curva xe y 5.0 ao se intersecta com a

reta x = 2?

201. Em que ponto a reta tangente da parábola 372 x x y é paralela à

reta 5x+y-3=0?

202. Qual o ângulo que forma a reta tangente à curva2 x x y com o eixo

x, nos pontos x=0 e x=1.

203. Em que ponto da curva23 x y a reta tangente é perpendicular à reta

4x-3y+2=0?

204. Escrever a equação da reta tangente e da reta normal à parábola x y

no ponto de abscissa x=4.

205. Uma partícula se move de modo que no instante t a distância é dada por

t t t s 2)( 3 . Se o espaço é dado em Km e u tempo em horas, em que

instante sua velocidade é igual 48Km/h.

206. Um objeto se move sobre uma reta com velocidade dada pela função

54)( t t v , achar a aceleração no instante t=2.


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94

207. Uma partícula se move de modo que no instante t à distância percorrida

é dada por 2012)( 3 t t t s . Em que instante a velocidade é igual à

zero?

208. Determine a velocidade instantânea

h

Km

de uma Baleeira (transporte

fluvial) que vai de Tabatinga a Benjamin Constant no tempo t=0.2 h, se a

equação do movimento é 51015 2 t t s .

209. Um barco que viaja no trajeto Benjamin Constant a Tabatinga se

movimenta segundo a função s=24t+24, se a distância de Benjamin a

Tabatinga é de 36Km. Qual o tempo gasto nesse percurso, sabendo que

a velocidade é dada em Km/h.

§4.1.6. Derivadas de funções não dadas explicitamente.

Se a função é dada em forma paramétrica, é dizer:

)(

)(

t y y

t x x

,

Então a derivada de y em relação à x, pode-se expressar da seguinte forma:

dt

dxdt

dy

dx

dy ,

Exemplo 7: Calculardx

dy y ' , se:

3

12

t y

t x.

2

3 2t

dt

dxdt

dy

dx

dy .

Exemplo 8: Calculardx

dy y ' , se:


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95

t y

e x t

cos.

t e

sent

dt

dxdt

dy

dx

dy .

§4.1.7. Exercícios para derivar funções não dadas explicitamente.

Calculardx

dy y ' , se:

210.

t y

t t x

cos

2 2.

211.

22

t y

t x.

212.

t y

e x t

cos.

213.

t y

t x

ln

1

1

.

214.

t bsen y

t a x

2

2cos

.

115.

t

t

e y

e x

2 .

216.

)cos1(

)(

t a y

sent t a x

217.

t t y

te x t

cos


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96

218.

t

t y

t t x

ln

ln

4.1.8. Derivabiliade de funções.

Teorema2: A fim de que f: X R seja derivável no ponto aX’ X é

necessário e suficiente que exista um cR tal que se X ha então

f(a+h)=f(a)+ch+r(h), ondeh

hr

h

)(lim

0=0 no caso afirmativo, tem-se c=f’(a).

D: Seja Y={hR; a+hX}. Então 0Y Y’. Supondo que f’(a) existe define-se

r:Y R pondo r(h)= f(a+h)-f(a)-f’(a)h

Então

h

hr )(

h

a f ha f )()( -f’(a)

Logoh

hr

h

)(lim

0=0. A condição é necessária.

Reciprocamente se vale a condição, então.

ch

a f ha f

h

hr

)()()(

Logo

0)(

lim])()(

[lim00

h

hr c

h

a f ha f

hh, portanto f’(a) existe e é igual a c.

Corolário: Uma função é continua nos pontos em que é derivável.

D: Se f é derivável no ponto a então f(a+h)=f(a)+f’(a)h+[(h)/h]h, com

0)(

lim0

h

hr

h, logo )()(lim

0

a f ha f h

, ou seja f é contínua no ponto a.

Exemplo 9: A função f: RR;

x

xsen x f 1

)( em a = 0 não é derivável, pois.


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97

h sen

h

f h f

hhh

1lim

)0()0(lim

0 não existe . Mas

x

sen x x xf x g 1)()(

2 é

derivável em a, pois 01

lim)0()0(

lim0

hhsen

h

g h g

hhh. Quando x 0

x x xsen x g

1cos

12)(

' , não existe o limite )('lim0

x g x

, então a derivada

g’:R R não é contínua.

Se a é um ponto de acumulação pela direita, isto é, aX’ X, pode-se tomar

o limite )(lim)(' xqa f a x

. Quando existe este limite, chama-se derivada à

direita de f no ponto a.

Analogamente define-se a derivada à esquerda )(lim)(' xqa f a x

aX’ X.

Se a é um ponto de acumulação bilateral, aX’ X’ X,

)(')(')(' a f a f a f .

Exemplo 10: A função f:RR; x x f )( em a=0 não é derivável, pois:

0,

0,,

)( sex x

x se x

x x f

Assim,

1)0(',,1)0(' f e f .

§4.1.9. Exercícios para calcular as derivadas laterais.

Determinar a derivada das seguintes funções no ponto indicado ou conclua

que não existe.

219. xm y em a = 0.

220. x x y em a = 0.

221.

0,,

0,,1

xquandoe

xquando x y

x em a = 0.

222.

1,,)1(1,,1

2

xquando senx x xquando x y em a = 1.


11/34

98

223.

e xquando xe

e xquando x x y

x ,,

0,,ln)2( em a = e.

§4.1.10. Regra de L’Hospital.

Se f e g são deriváveis e0

0

)(

)(lim

x g

x f

a x, ou

)(

)(lim

x g

x f

a x pela definição de

derivadaa x

x f a f

a x

)(lim)(' , então se g’(a) 0,

)('

)('

)(lim

)(lim

)(

)(

)(

)(

lim)(

)(lim

a g

a f

a x

x g a x

x f

a x

x g

a x

x f

x g

x f

a x

a x

a xa x

.

A continuação se aplicará a regra de L’Hospital ao cálculo de limite para o

caso das diferentes indeterminações. Já antes foi usado o limite fundamental

algébrico, aqui será provado esse resultado.

Observação: O limite x x

x

1

0)1(lim

é o caso de indeterminação

1 , para o

qual aplica-se logaritmo neperiano à expressão anterior.

Será visto diferentes casos de indeterminação fazendo uso desseprocedimento.

Proposição: e x x x

1

0)1(lim .

D: Seja x x x f 1

1)( , então,

x x

x f 1ln1

)(ln , Assim,

001lnlim)(lnlim 00 x x x f x x Indeterminação.

Aplicando a regra de L’Hospital, tem-se que,

11

1lim)(lnlim

00

x x f

x x.

Mas 1ln1)(lnlim0

L x f x

, então L = e.

Exemplo 11: Calcular

x x x x

33lim 20


12/34

99

Aqui se tem que

x x x x33

lim20

Indeterminação.

1

3

1

133332

x x

x

x x

x

x x x,

Logo,

0

03lim

31lim

2020

x x

x

x x x x x Indeterminação.

Agora, aplicando L’Hospital, tem-se que,

312

3lim

3lim

020

x x x

x

x x.

§4.1.11. Exercícios para calcular limites aplicando a Regra de L’Hospital.

Calcular os seguintes limites

224. x

x x

1

lim

.

225. x

x x ln4

3

lim

.

226.2

cos

1)1(lim

x

x x

.

227. x

xctgx ln

1

0)(lim

.

228.tgx

x x)

1(lim

0.

229. x x

x

lnlim

.

230.

2

lim0 xctg

x x

.

231.

senx

senmx

x ln

lnlim

0 .


13/34

100

232.

x x

x

x ln

1

1lim

1.

233.

6

5

3

1lim

2

3 x x x x.

234.

xctgx

x

x cos2lim

2

.

4.1.12. Derivadas de funções compostas.

Existem muitos problemas que para determinar sua solução é preciso achar a

derivada de funções compostas, aqui o método ideal é usar a regra da cadeia.

Teorema 3 (Regra da cadeia): Sejam f: X R, g: YR, ' X X a

'Y Y b , Y X f )( e f(a) = b. Se f é derivável no ponto a e g é derivável no

ponto b então, gof: XR é derivável no ponto a, com (gof)’(a) = g’(f(a))f’(a).

D: Devido a que Y X f )( , tem-se que para cada x do conjunto X, existe um

y do conjunto Y, tal que y=f(x). Para determinar (gof)’(a), considere-se a

expressão,

].))(())((

[lim))(())((

lim)()'(a x

b y

b y

a f g x f g

a x

a gof x gof a gof

a xa x

Mas pela continuidade de f no ponto a quando o x tende para a o y tende para

b, assim,

).(')).((')(').('

)()(

lim.

)()(

lim].

))(())((

[lim

a f a f g a f b g

a x

a f x f

b y

b g y g

a x

b y

b y

a f g x f g

a xb ya x

O que prova o teorema.

Corolário: Seja f: XY uma bijeção entre os conjuntos X, Y R, com inversa

g = f 1 :Y X. Se f é derivável no ponto aX’ X e g é contínua no ponto

b=f(a) então g é derivável no ponto b se, e somente se, f’(a) 0. No caso

afirmativo tem-se)('

1)('

a f b g .


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101

D: Aqui se tem que bY’ Y, e g é derivável no ponto b, e como 1 f g se

satisfaz a igualdade g(f(x)) = x válida para todo xX, juntamente com a regra

da cadeia, fornece g’(b)f’(a)=1, e por conseguinte, f’(a) 0. Reciprocamente,

se 0)(' a f então,

)()(lim

)()(lim)('

a f x f

a x

b y

b g y g b g

a xb y

Pois y=f(x), b=f(a) e f e g são funções inversas, assim tem-se que,

1

1

)]('[)()(

lim)()(

lim)()(

lim)('

a f a x

a f x f

a f x f

a x

b y

b g y g b g

a xa xb y

Exemplo 12: Dado y = f(x) = senx, achar a derivada de .)(1 arcsenx x f

f ’(x)=cosx, mas22 11cos y x sen x . Como que

)('

1)]'([

1

x f x f ,

tem-se que:2

1

1

1]'[)]'([

xarcsenx x f

.

§4.1.113. Exercícios para aplicar a regra da cadeia no cálculo dasderivadas de funções.

Calcular as derivadas das seguintes funções.

235. 4223 x y .

236. 2223 bxa y .

237.2

1 x y .

238. 523 senx y .

239. arcsenx y 1 .

240.3

)(arcsenxarctgx y .

241. x xe y x .

242. 1ln x y .


15/34

102

243.5

cos23 x senx y

.

244.2

xaa

x y

.

§4.2. Funções deriváveis num intervalo.

Se uma função é derivável num intervalo é possível estudar o crescimento

concavidade e convexidade do gráfico, entre outras propriedades, elementos

importantes no estudo do esboço gráfico de uma função.

Teorema 4: Se f: X R é derivável à direita no ponto aX X’ , com

0)(' a f , então existe um 0 tal que X x , a xa )()( x f a f .

D: Tome-se 0)(')()(

lim

a f a x

a f x f

a x, pela definição de limite à direita,

tomando )(' a f L , obtém-se:

)()(0)()(

,,0 x f a f a x

a f x f a xa X x

Corolário 1: Se f: X R é monótona não decrescente então suas derivadas

laterais, onde existem são não negativas.

D: Se alguma derivada lateral, digamos 0)(' a f então o análogo ao

teorema daria que se x X, a < x então f(a) > f(x), uma contradição.

Corolário 2: Seja a X um ponto de acumulação bilateral. Se f: X R é

derivável em a com f’ (a) > 0, então existe > 0 tal que x, y X,

)()()( y f a f x f a ya xa .

Diz-se que uma função f: X R tem um máximo local no ponto a X

quando existe > 0 tal que x X, a x < f(a) f(x); se f(x) < f(a), diz-

se que o máximo local é estrito. Definições análogas para mínimo local.


16/34

103

Quando a X é tal que f(x) f(a) x X, diz-se que a é um ponto de

mínimo absoluto. Analogamente para máximo absoluto.

Corolário 3: Se f: X R é derivável à direita no ponto a X X’ e tem um

máximo local então f’(a) 0.

D: Se f fosse tal que f’ (a) > 0 então f(a) < f(x) para todo xX, a < x < a + ,

logo f não teria um máximo no ponto a.

Corolário 4: Seja a X um ponto de acumulação bilateral. Se f: X R é

derivável no ponto a e a função possui um máximo ou mínimo local então

f’(a)=0.

D: Suponha-se 0)(' a f e 0)(' a f . Como )(')(')(' a f a f a f , segue-

se que 0)(' a f .

Um ponto cX chama-se ponto crítico da função derivável f: X R quando

f’(c) = 0.

Se cX’ X’

X é um ponto de mínimo ou de máximo, então c é um ponto

crítico.

Teorema 5 (Teorema de Darboux): Seja Rba f ],[: derivável. Se

f’(a)


17/34

104

D: Pelo teorema de Weierstrass, f atinge seu máximo M e seu mínimo m em

pontos do conjunto compacto [a,b]. Se esses pontos forem a e b então m = M

e f será constante, daí f’(x) = 0 para todo x(a,b). Se um desses pontos m ouM estiver em (a, b) e, denote-se por c, então f’(c) = 0.

Teorema7(Teorema do valor médio de Lagrange): Seja f:[a, b]R

contínua. Se f é derivável em (a,b), existe um ),( bac tal que

ab

a f b f c f

)()(

)(' .

D: Considere-se a função auxiliar g: [a, b] R, dada por g(x) = f(x) - dx, onde

d é escolhido de modo que g(a) = g(b), ou seja,ab

a f b f d

)()(

. Pelo Teorema

de Rolle existe c (a, b) tal que g’(c)=0=f’(c)-d. Isto éab

a f b f d c f

)()(

)(' .

Fig.3: Gráfico de Teorema de Rolle

x

y

a bo

y=f(x)

C1C2

Fig.4: Gráfico do Teorema do valor médio

x

y

a bo

y=f(x)

c


18/34

105

Corolário 1: Uma função f: I R contínua no intervalo I, com derivada f’(x) =

0 para todo xintI, é constante.

D: Dados x, yI quaisquer, existe c entre x e y tal que

f(y) - f(x) = f’(c)(y - x) = 0(y - x) = 0

logo f(y) = f(x).

Corolário 2: Se f,g: I R contínuas, deriváveis em intI com f’(x) = g’(x) para

todo xintI então existe cR tal que g(x) = f(x) + c para todo xI.

D: Basta considerar h(x) = g(x) - f(x).

Corolário 3: Seja f: I R derivável no intervalo I, se I xk x f Rk )(';

então x yk x f y f I y x )()(, .

D: Dados x, y I, f é contínua no intervalo fechado cujos extremos são x, y e

diferenciável no seu interior. Logo, existe z entre x e y tal que

f(y)-f(x) = f’(z)(y-x),

Donde

x yk x y z f x f y f )(')()( .

Corolário 4: A fim de que a função derivável f: I R seja monótona não

decrescente no intervalo I é necessário e suficiente que f’(x) 0 para todo

x I. Se f’(x) > 0 para todo x I então f é uma bijeção crescente de I sobre

um intervalo J e sua inversa g=f 1 :J I é derivável, com)('

1)('

x f y g para

todo y = f(x) J.

D: Já se sabe que f é monótona não decrescente então f’(x) 0 para todo

I x . Reciprocamente, vale esta condição então, para quaisquer x, y I,

tem-se f(y) - f(x) = f’(z)(y - x) onde z I está entre x e y. Como f’(z) 0 se vê

que f(y) - f(x) 0, isto é x < y em I f(y) f(x). Do mesmo modo suponha-

se, f’(x) > 0 para todo x I, tem-se f crescente. As demais afirmações foram

provadas anteriormente.


19/34

106

Na epígrafe 4.1 foi visto que, quando existe a derivada f’(x) em todos os

pontos X X x ' diz-se que a função R X f : é derivável no conjunto X e

se obtém uma nova função R X X f '' : , tal que )(' x f x chamada à

função derivada de f. Se f’ é derivável pode-se determinar sua derivada,

obtendo assim uma nova função R X X f ':" , ou2

2

dx

f d , no caso que as

derivadas existam, este processo pode ser continuado, obtendo assim, as

derivadas de ordem superior , ou derivadas de ordem n para um n natural

qualquer.

A seguir serão aplicadas as derivadas de segunda ordem para o estudo dos

máximos e mínimos de funções.

§4.3. Máximos e mínimos de uma função.

Uma função tem um máximo relativo em c, se existir um intervalo aberto I,

c I tal que f(x) < f(c) para todo I x

Uma função tem um mínimo relativo em c, se existir um intervalo aberto I,

c I tal que f(c) < f(x) para todo I x

Na gráfica os pontos x1 e x3 são pontos de máximo local, entretanto x2 e x4

são pontos de mínimo local.

Exemplo 13: Seja a função f(x) = -x 2 + 4.

Tem um máximo em x = 0.

Fig. 5: gráfico de máximos emínimos locais


20/34

107

Exemplo 14: Seja a função f(x)= x 2 + 2x - 3.

Tem um mínimo em x = -1.

Proposição: Suponha-se que f’(x) existe para todos os valores de x em (a,b)

e que tem um extremo relativo em c, onde a < c < b. Se f’(c) existe então

f’(c)=0.

Se f '(c) existe, a condição f’(c) = 0 é necessária para a existência de um

extremo relativo em c. Esta condição não é suficiente.

Definição: O ponto c do domínio de f tal que f’(c) = 0 ou f’(c) não existe, é

chamado pon to crític o de f. Portanto, uma condição necessária para a

existência de um extremo relativo em um ponto c é que c seja um pontocrítico.

É interessante verificar que uma função definida num dado intervalo pode

admitir diversos pontos extremos relativos.

Exemplo 15: Seja 3)( x x f então 23)(' x x f , da condição f’(c) = 0

c = 0, que é o único ponto crítico de f.

Exemplo 16: f(x) = (x - 2)(x + 1)(x + 3), aqui se tem que, f(2)=f(-1)=f(-3), e

pelo teorema de Rolle, existem dois pontos onde a derivada anula-se, um no

intervalo (-3,-1) e um outro no intervalo (-1,2).

652)( 23 x x x x f ,

e sua derivada,

543)(' 2

x x x f ,e assim os pontos críticos de f são:

3

192,

3

19221

x x

Diz-se que f(c) é o máximo absoluto da função se )( f Dc e f(c) > f(x) para

todos os valores de x no domínio de f.

Diz-se que f(c) é o mínimo absoluto da função se )( f Dc e f(c) < f(x) para

todos os valores de x no domínio de f.


21/34

108

Exemplo 17: A função f(x) = x 2 + 6x - 3 tem um mínimo absoluto igual a

-12 em c = -3.

Exemplo 18: A função f(x) = -x 2 + 6x - 3 tem um máximo absoluto igual a 6

em c = 3.

§4.4. Funções crescentes e decrescentes.

Diz-se que uma função f, definida num intervalo I, é crescente, neste intervalo

I se para quaisquer ,,, 2121 x x I x x tem-se )()( 21 x f x f .

Diz-se que uma função f definida num intervalo I, é decrescente nesse

intervalo I se para quaisquer ,,, 2121 x x I x x tem-se )()( 21 x f x f .

Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no

intervalo (a, b) e cumpre-se que:

(i) Se f’(x) > 0 para todo x em (a, b) então f é crescente em [a,b];

(ii) Se f’(x) < 0 para todo x em (a, b) então f é decrescente em [a,b].

Teorema 8 (Critério da derivada primeira para determinação de

extremos): Seja f uma função contínua num intervalo fechado [a,b] que

possui derivada em todos os pontos do intervalo (a,b), exceto possivelmente

num ponto c, sendo c um ponto crítico de f:

-Se f ’(x) > 0 para todo x < c e f’ (x) < 0 para todo x > c, então f tem um máximo

relativo em c.

-Se f ’(x) < 0 para todo x < c e f ’(x) > 0 para todo x > c, então f tem um mínimo

relativo em c.

Exemplos 19: Seja 6)( 2 x x f , f’(x) = 2x, x = 0 é um ponto crítico de f.

Para x < 0, f’(x) < 0, e para x > 0, f’(x) > 0, então a função dada tem um

mínimo relativo em x=0.

Teorema 9 (Critério da 2º derivada para determinação de extremos de

uma função): Seja f uma função derivável num intervalo (a,b), c um ponto


22/34

109

crítico de f neste intervalo, isto é, f'(c) = 0, com a < c < b. Se f admite a

derivada de segunda ordem em (a,b), tem-se:

(i) Se f”(c) < 0, então se tem um valor máximo relativo de f, no ponto x=c.

(ii) Se f”(c) > 0, então se tem um valor mínimo relativo de f, no ponto x=c.

Exemplo 20: Seja 3)( 2 x x f , f’(x) = - 2x, então x = 0 é um ponto crítico.

f”(x) = - 2, assim f”(0) = - 2, a função tem um máximo relativo em x = 0.

Uma função f é dita côncava para cima no intervalo (a,b), se f’(x) é crescente

neste intervalo.

Uma função f é côncava para baixo no intervalo (a,b), se f'(x) for decrescente

neste intervalo.

Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável até

segunda ordem no intervalo (a,b):

-Se f "(x) > 0 para todo x em (a,b), então f é côncava para cima em (a,b).

-Se f "(x) < 0 para todo x em (a,b), então f é côncava para baixo em (a,b).

Um ponto P(c,f(c)) do gráfico de uma função contínua f é chamado um ponto

de inflexão, se existe um intervalo (a,b) contendo c, tal que uma dasseguintes situações ocorra:

(i) f é côncava para cima em (a,c) e côncava para baixo em (c,b),

(ii) f é côncava para baixo em (a,c) e côncava para cima em (c,b).

Exemp lo 21: (0,0) é um ponto de inflexão de3)( x x f .

Pois f”(x) = 6x, e para )0,( , f”(x) < 0, quer dizer que f é côncava para baixo;

e para ),0( , f”(x)>0, quer dizer que f é côncava para cima.

§4.5. Assíntotas verticais e obliquas.

A reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de y = f(x), se:

)(lim x f a x

A reta y = mx + b é uma assíntota oblíqua do gráfico de y = f(x), se:

i) m x x f

x

)(lim


23/34

110

ii) bmx x f x

])([lim

De forma análoga para x .

Exemp lo 22: Seja2

7)(

x

x f .

2

7lim

2 x x e

2

7lim

2 x x,

então x = 2 é uma assíntota vertical.

Exemp lo 23: Seja 92

1)(

x

x x f

92

1lim

2

9 x

x

x

e

92

1lim

2

9 x

x

x

,

Então,2

9 x é uma assíntota vertical.

0)92(

1lim

x x

xm

x

e2

1

92

1lim

x

xb

x

,

Assim tem-se uma assíntota horizontal2

1 y .

§4.6. Esboço dos gráficos.

Utilizando todos os itens citados na análise do comportamento de uma função,

pode-se fazer um resumo das atividades que se terá em conta para o esboço

dos gráficos, esses são:

1) Determinar o D(f)

2) Calcular os pontos de intersecção com os eixos.

3) Encontrar os pontos críticos.

4) Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f.

5) Encontrar os máximos e mínimos relativos.

6) Anlisar a concavidade e os pontos de inflexão de f.

7) Encontrar as assíntotas verticais e oblíquas.

8) Esboçar o gráfico.


24/34

111

EExxeemmpplloo2244:: 1

)(2

x

x x f

11)) DD((f f )) == RR -- {{11}}

22)) PPaar r aa xx == 00,, yy == 00..

33)) 2

2

)1(

2)('

x

x x x f

--PPoonnttooss ccr r ííttiiccooss:: xx == 00,, xx == 11,, xx == 22..

44)) CCr r eesscceennttee::

DDeeccr r eesscceennttee:: ]2,1()1,0[

55)) ((00,,00)) -- ppoonnttoo ddee mmááxxiimmoo llooccaall.. ((22,,44)) -- ppoonnttoo ddee mmíínniimmoo llooccaall..

66)) CCoonnccaavviiddaaddee::

3)1(

2)(''

x x f

)1,( -PPaar r aa eemmbbaaiixxoo,, ppooiiss nneessssee iinntteer r vvaalloo f f ””((xx)) 00..

77)) A Assssíínnttoottaass::

1

2

1

lim x

x

x

,, 1

2

1lim

x

x

x

xx == 11 éé uummaa aassssíínnttoottaa vveer r ttiiccaall..

11

lim)(

lim

x

x

x

x f m

x x

11

lim)(lim2

x

x

x x x f b

x x

yy == xx ++ 11 éé uummaa aassssíínnttoottaa oobbllííqquuaa..

),2[]0,( U


25/34

112

§4.7. Problemas de maximização e minimização.

O primeiro passo para solucionar estes problemas é escrever precisamente

qual a função que deverá ser analisada. Esta função poderá ser escrita em

função de uma ou mais variáveis. Quando a função é de duas variáveis deve-

se procurar expressar uma das variáveis em função da outra.

Exemplo 25: Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser construídade forma que o seu volume seja 8m3. O material da base vai custar R$ 4,00

por m2 e o material dos lados R$ 2,00 por m2. Encontre as dimensões da

caixa, de modo que o custo do material seja mínimo.

Observando a Figura 6, escreve-se a função que dá o custo do material:

C = x 2 .4 + 4xy.2

V = x 2 y = 8 cm3 ,

Isolando o y e substituindo em C,

tem-se que,

y=2

8

x

080)('648

)(' 3

2

3

x xC x

x

xC i x

i x

x

21

21

2

3

2

1

- Não é possível.

x x xC

644)(

2

Figura 6: Gráfico da função.

x

y

2

4

o

y=x +1x =1

Fig.7: Gráfico da caixa

xx

y


26/34

113

24

8 y

4.7.1. Aplicação no amazonas da maximização e minimização.

Exemplo 26: Se quer construir uma oca (figura 8) cujas dimensões são

mostradas no gráfico (figura 9), onde l é altura lateral, h é altura do telhado

cônico e 2r diâmetro da parte inferior, se coloca a restrição adicional h=r,

também é conhecida a sua área e se deseja maximizar seu volume.

O volume da oca é a soma dos volumes do cone e o cilindro

V=Vcone+Vcili=3

2

3

r r l

,

A área da oca é A=Acone+Acili=22 2r rl , como a área total da oca é

conhecida e isolando l na fórmula da área se obtém2

2

2

A r l

r

e

substituindo na fórmula do volume. Fica o volume como função de uma

variável (r),3

32/ 2

3 2

r V rA r

Calculando a primeira derivada e igualando a zero obtém-se a equação para

determinar os possíveis pontos extremos, veja.

2 2( 3 ) 02 2

dV Ar

dr , de onde

(3 2 2)

Ar

, calculando a segunda

derivada para verificar qual dos valores de r é o máximo da função volume

h

l

r

Fig.9: Gráfico das dimensõesFig.8: Gráfico da oca.


27/34

114

2

2 (3 2 2)

d V r

d r , a segunda derivada é negativa no ponto

(3 2 2)

Ar

,

onde se tem um máximo. Então a oca com área A alcança seu máximo

volume quando (3 2 2)

A

r , e

( 2 1) ( 2 1)(3 2 2)

Al r

§4.8. Método de Newton-Raphson.

Sabe-se que as equações polinomiais de 1a até 4a ordem tem fórmulas gerais

para determinar sua solução, para o caso particular das equações de 3a e 4a

ordem, onde essa fórmula quase não se utiliza, para as equações de 5a

ordem e superior não tem fórmulas gerais, o qual foi demonstrado por Galois

no século XIX, para as equações transcendentes, por exemplo,

04/)1(10/)1(1)1(105 2 harcsenhh , que é uma equação com

relação h, não se tem fórmulas e se têm que aplicar outros métodos para

resolvê-la.

Aqui aparecem os métodos numéricos, que permitem construir sequências

convergentes de soluções aproximadas, quando satisfeitas determinadas

condições. Aqui será visto o método de Newton-Raphson, o qual é muito

importante.

Seja a equação y=f(x), e suponha-se que tem o seguinte gráfico.

Observe que f(x) = 0 em um valor próximo de 4, com um pacote matemáticodar para acompanhar uma aproximação e com zoom sucessivos alcançar

Fig10: Gráfico de Newton-Raphson.

x

y

o

y=f(x)

-2

4


28/34

115

aproximações imprecisas , para obter melhores aproximações é necessário

um método numérico.

O método de Newton –Raphson graficamente mostra-se na figura a seguir

f(x)

x1x2

x1 e x2 serão as aproximações convergentes à raiz, se construirá a fórmula

para calcular os valores, o método consiste em tomar um ponto inicial na

curva, (x0,f(x0)), onde se calcula a reta tangente, sabe-se que a primeira

derivada da função f(x) avaliada no ponto x0, representa geometricamente o

coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto (x0,f(x0)), também se

conhece que dado um ponto e o coeficiente angular, a equação da reta se

pode determinar pela fórmula y - f(x0) = m(x - x0), como m = f’(x0) se tem quey-f(x0)=f’(x0)(x-x0), em x1 a reta tangente anula-se então tem-se

f(x0)=f’(x0)(x1-x0), isolando x1 (se f’(x0) ≠ 0) , obtém-se a fórmula

01 0 1

0

( )

( )

f x x x

f x , para obter x2 conhecendo x1 se aplica a mesma fórmula

12 1 1

1

( )

( )

f x x x

f x e assim sucessivamente a fórmula geral fica 1 1

( )

( )

nn n

n

f x x x

f x ,

como se vê na fórmula; não se pode aplicar o método no caso que a derivada

se anule. Também se tem duas situações que o método não funciona que

Fig.10:Gráfico dos passos dométodo de Newton-Raphson


29/34

116

uma aproximação fique fora do domínio da função o tenha lugar em uma

repetição cíclica entre duas raízes.

Teorema 10: Seja r a raiz de f(x) = 0 no intervalo [a,b]. Sejam f’(x) e f’’(x)

continuas e diferentes de zero em [a,b]. Seja x0 um ponto de [a,b] tal que

f’(x0)f’’(x0) > 0. Então se 1 1( )

( )

nn n

n

f x x x

f x para n= 1,2,3,...se tem lim n

n x r

.

Sobre o critério de parada do método esta associada ao erro. Se desejar obter

uma solução com um erro absoluto menor que ε, então o método de Newon-

Raphson se desenvolve até a aproximação xn que satisfaz, |xn – xn-1| < ε.

§4.8.1. Aplicação no amazonas no Método de Newton-Raphson.

Exemplo 27: Em uma comunidade indígena para ter água acumulada na

época da estiagem, tem um tanque de água da forma mostrada (fig.11) que é

um cilindro circular colocado em forma horizontal, mais para controlar a água

que têm em cada momento eles querem medir com uma vara atravessando o

eixo radial.

Utilizando geometria básica pode-se modelar o problema para encontrar

diferentes valores de unidades cúbicas de água que tem o tanque e colocar

altura h da vara, este processo é conhecido como aferimento, à equação

transcendente mostrada ao início do assunto é um caso particular deste

problema.

vara

Fig. 11: Gráfico do tanque.

r


30/34

117

A área C calculando e subtraindo ao quadrante inferior esquerdo a área do

triângulo retângulo B e o setor circular A, tem-se.

Área (A) =2

( )

2

r r harcsen

r

, Área (B)= 2 2

( )( )

2

r hr r h

, portanto

Área (C) =2 2

2 2( ) ( )( )

4 2 2

r r h r r hr r h arcsen

r

O volume de água será duas vezes essa área pelo comprimento L do cilindro,

se terá finalmente o modelo matemático em forma de equação transcendente

para determinar altura para um volume dado do cilindro.

2 22 2( ) ( )

2 ( ( ) )4 2 2

r r h r r hV L r r h arcsen

r

,

Observe que quando h > r os elementos A e B aparecem e é preciso somá-los

e neste caso o sinal das expressões de suas áreas mudam.

Considerando o caso particular e calculando a altura (h) para que o cilindro

tenha um volume de água determinado, para um tanque de dimensões

10 L , r = 1 a que altura h se alcançará quatro unidades cúbicas de água?

Ter-se-ia a equação original do início. Para o cálculo da raiz h para que o

volume de água do cilindro seja V = 4 unidades cúbicas.

2( ) 5 10(1 ) 1 (1 ) / 10 (1 ) / 4 0 f h h h arcsen h

20 ( 2)'( )

h h f h

Então substituindo na fórmula do método obtém-se o esquema de cálculo

2

0 0 0

1 0

0 0

5 10(1 ) 1 (1 ) / 10 (1 ) / 4

20 ( 2)

h h arcsen hh h

h h

,

Precisa-se de uma primeira aproximação que satisfaça o teorema da

convergência.

Fig. 12: Gráfico das dimensões do tanque

rh

A B

C


31/34

118

20( 1)''( )

( 2)

h f h

h h

.

Colocando h = 0,2 se terá que, f’(0,2) f’’(0,2) = 32,42 > 0, portanto como h fica

no intervalo [0,1;0,9] e [1,2;1,9] onde as funções possuem derivadas continuas

e não são zeros, então se terá garantida a convergência do método.

Sabe-se que em V(0) = 0, V(1) = 5, V(2) = 10 unidades cúbicas.

Aplicando o método (existem muitos programas que o calculam)

Obtém-se na terceira iteração h3 = 0.84226385544913873193,

Na quarta iteração h4 = 0.84226380619998442167

|h4-h3| = 4,92491543103.10-8, que garante uma solução com um erro menor

que 10-6.

Portanto se aproxima na altura h = 0.842 o cilindro terá 4 unidades cúbicas de

água.

Se for preciso calcular para outros volumes, por exemplo, 1,2,3,5,6,7,8, e 9

unidades cúbicas as alturas para aferir a vara, será necessário resolver aequação para cada um de esses valores.

§4.9. Exercícios gerais do capítulo.

245. Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o

maior possível.

246. Determinar o ponto P situado sobre o gráfico da hipérbole xy = l, queestá mais próximo da origem.

247. Determine o ponto da reta y = x - 1 mais próxima do ponto (2,0).

248. Seja s uma reta que passa pelo ponto (4, 3) formando um triângulo com

a parte positiva dos eixos coordenados. Qual a equação de s para que a área

desse triângulo seja mínima?

250. Um fabricante, ao comprar caixas de embalagens, retangulares, exige

que o comprimento de cada caixa seja 2m e o volume 3m3. Para gastar a

menor quantidade de material possível na fabricação das caixas, quais devem

ser suas dimensões?


32/34

119

251. Um cacique possui 500 Km de arame para delimitar um terreno, a dois

fios, em forma retangular. Quais devem ser as dimensões dos lados para que

a área seja máxima?

252. Para cortar a quinta parte de um queijo de forma cilíndrica de r = 20 cm,

determine aproximadamente a que distância do centro deve ser dada o corte.

Sugestão: Aplicar variante do exemplo 16.

EEssbbooççaar r oo ggr r ááf f iiccoo ddaass sseegguuiinntteess f f uunnççõõeess::

225533.. 4

4)(

x x f

225544..

x

x x f

2

13)(

225555.. x x x x f 23)( 23

225566.. 1

5)(

x

x x f

225577.. x

x x f 2

)(

225588.. 23)( x x x f

22

55

99

.

.

)1ln()( xe x f

226600.. 4)(1

xe x f

226611..

21

2

2

4

2)(

x

x x f

226622.. x

x x f

ln)(

226633.. 1)( xe x f

226644.. )1ln()( xe x f

226655.. senx x x f )(

266. Sejam f, g, h: X R tais que f(x) g(x) h(x) xX. Se f e h são

deriváveis no ponto aX’ X, com f(a) = h(a) e f’(a) = h’(a), prove que g é

derivável nesse ponto, e g’(a) = f’(a).

Sugestão: Use duas vezes o teorema do sanduíche.


33/34

120

267. Seja I um intervalo aberto. Uma função f: I R diz-se de classe

C 2 quando é derivável e sua derivada f’: I R é de classe C 1 . Prove que se

f(I) J e g: J R também é de classe C 2 então a composta gof: I R é de

classe C 2 .

Sugestão: Use a segunda derivada da função composta.

268. Seja I um intervalo aberto com centro 0. Uma função f: I R chama-se

par quando f(x) = f(-x) par todo xI. Prove que se f é par, suas derivadas de

ordem par são pares, e as derivadas de ordem ímpares são ímpares.

Enuncie resultado análogo para f impar.

Sugestão: Use a derivada de uma função composta.

269. Seja f: I R derivável no intervalo I. Um ponto crítico cI chama-se

não degenerado quando 0)(" c f . Prove que todo ponto crítico não

degenerado é um ponto de máximo ou de mínimo local.

Sugestão: Valore os diferentes sinais da segunda derivada.

270. Seja f: R R definida por f(x) = (lnx)/x, indique os intervalos de

crescimento e decrescimento de f, seus pontos críticos e seus limites

quando x0 e quando x + .

271. Prove que )1,1()2

,2

(:

sen , )1,1(),0(:cos e R sen )2

,2

(:

são bijeções com derivadas diferentes de zero em todos os pontos e calcule

as derivadas das funções inversas: )2

,2

()1,1(: arcsen ,

),0()1,1(:arccos e )2

,2

(: Rarctg .

Sugestão: Aplique a fórmula da derivada da função inversa.

272. Sejam f, g, h: X R tais que f(x) g(x) h(x) xX. Se f e h são

deriváveis no ponto aX’ X, com f(a) = h(a) e f’(a) = h’(a), prove que g éderivável nesse ponto, e g’(a) = f’(a).


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Equações Diferencias Ordinárias

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