Equações Diofantinas Bom quem nunca se deparou com uma equação com mais de uma variável na hora da aula e o professor falou: “É gente chegamos em uma equação Diofantina” e na primeira vez, todos ficamos. AH! COMO? HEIN!? Equação diofantinas são equações normalmente tem mais de uma variável, levaram esse nome em Homenagem ao matemático grego Diofano, e que geralmente tem soluções inteiras.

FICA DE OLHOS ABERTOS NOS PROBLEMAS RESOLVIDOS Problema 1. Sejam os números formados de tal maneira que 3 2 10x y+ = , determine todas as soluções inteiras. Solução:

10

2 log3 2 10

3

.

veja é par

y é par ox y

x deve também

ser par

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪+ = ⇒ ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Com isso: ( )21 48 6 ; 20 0x y se x y são soluções de I são soluções de+ =

( )

( ) ( )

2

2 10 63 2 2 10

5 3

, 2 ;5 3

x k

y kk y

y k

assim nossa solução é x y k k

== −⎧

+ = ⎨ = −⎩= −

Podemos então generalizar para problema do tipo ax by c+ = Vejamos então: Proposição: A equação ax by c+ = , com a, b e c inteiros tem uma solução nos inteiros

( );x y se, e somente se, ( ),mdc a b d= e divide c

Entretanto se ( );0 0x y é solução inteira

,0

,0

bkx x

dak

y yd

⎧ = +⎪⎪⎨⎪ = −⎪⎩

Observações importantes

Veja os casos particulares, depois generalize Use sempre que possível as desigualdades Observe as propriedades das constantes das equações

Assim

( )

( )

1 3 2

1 3 5 3

1 3 2 5

1 2 18 5 3 5

1 2 18 5 7

= −⎧⎪ = − −⎪⎪ = × −⎨⎪ = − × −⎪⎪ = × − ×⎩

Logo

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

1 18 2 5 7 48

:

48 18 96 5 336

; 96; 3360 0

temos

x y

⎧ = × + × − ×⎪⎨⎪ = × + × −⎩

= −

96 5 336 180x t e y t= + = − − Como queremos as positivas temos:

( ) ( )

96 5 0 336 18 0

5 96 18 336

96 336

5 18

t e t

t t

t I t II

+ > − − >> − < −

> − < −

Por I e II temos 19t = − Assim

( )( )

96 5 19 1

336 18 19 6

x

y

⎧ = + − =⎪⎨

= − − − =⎪⎩

Problema 2. Encontre todas as soluções inteiras da equação 21 48 6x y+ = Solução:

( )21 48 6 ; 20 0x y se x y são soluções de I são soluções de+ =

( )

( )( )

0 0 0 0

1 00 0 0 0

10 01 1 00 0

10 0

dm n d dm dn

d m n m n

dSe m m

nd m nd

Se n nm

+ = +

− − + =

= → =− − =

= → =

( ) ( )

( )

: 21 48 6 3

7 16 2

2 162 16 0; ;0 0 07 7

I x y

x y

yyx x y y

+ = ÷+ =

−− ⎛ ⎞= → = ⎜ ⎟⎝ ⎠

Problema 3. Resolva a equação Diofantina 39 26 105x y+ = Solução:

( )39;26 13 13 105o mdc e não divide=

Problema 4. (Rússia – 95)Sejam m e n inteiros positivos tais que [ ] [ ], ,mmc m n mdc m n m n+ = + .

Prove que um deles divide o outro. Solução:

Seja ( ) ( )0, , 10 00

m dmd mdc m n então com m n

n dn

=⎧= =⎨ =⎩

Então a equação dada corresponde a

( )

( )( )

0 0 0 0

1 00 0 0 0

10 01 1 00 0

10 0

dm n d dm dn

d m n m n

dSe m m

nd m nd

Se n nm

+ = +

− − + =

= → =− − =

= → =

Aplicação de congruência a polinômios Bom todos os polinômios divisíveis ou redutíveis podem ser escrito na notação de módulo.

por exemplo

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( )

10 9 8 71 1 . ... 1

:

9 8 7( ) ... 1 1

9 8 71 . ( ) 1 ... 1

:

10 1 1 . ( )

10 1 mod ( )

999 888 777 111( ) ... 1

9 990 8 880 7( ) . .

x x x x x x

com isso

D x x x x x x

x D x x x x x x

temos

x x D x

assim

x D x

observamos que o polinômio

p x x x x x

p x x x x x x

− = − + + + + +

= + + + + + × −

− = − + + + + +

− = −

≡

= + + + + +

= + +

( ) ( ) ( ) ( )( )

770 110. ... . 1

99 88 77 119 10 8 10 7 10 10( ) . . . ... 1

9 8 7( ) ... 1 mod ( )

x x x

p x x x x x x x x x

p x x x x x D x

+ + +

= + + + + +

= + + + + +

( )( )

( )( )

( ) ( )

4 3 21 1 1

4 3 2( ) 1 1 1

4 4 3 21 0 mod 1 1 0 mod 1

x x x x x

assim teríamos

p x x x x x x

contudo

x x ou x x x x

− = − + + +

= − = − + + +

− ≡ − − ≡ + + +

FICA DE OLHOS ABERTOS NOS PROBLEMAS RESOLVIDOS Problema 1.

Calcular o reto da divisão de 5 3( ) 1 1p x x x por x= + + − . Solução:

( )3 31 mod 1bom x x≡ −

( ){

( ) ( )3

5 2 3( ) 1 1

1mod 1

2 3( ) 1 mod 1

assim p x x x x x x

x

p x x x x

⎛ ⎞⎜ ⎟

= + + ≡ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟≡ −⎝ ⎠

≡ + + −

Problema 2.

Calcular o resta da divisão de 10 8 7 3 2 3( ) 3 2 1p x x x x x x x por x x= + + − + + − + Solução: Bom do mesmo modo temos:

( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

3 30 mod

3 3mod

3 2 23 2 3 3 3 2( ) 3 2 1

3 2 22 3 2( ) 3 2 1

2 3 3( ) 3 2 1

2 2 2( ) 3 2 1

2( ) 2 1

x x x x

x x x x

p x x x x x x x x x x

p x x x x x x x x x x

p x x x x x x x

p x x x x x

p x x x

+ ≡ +

≡ − +

= + + − + + −

≡ − + − + − − + + −

≡ + − + − + −

≡ − + + −

≡ − + −

Problema 3.

(Ime)Provar que 999 888 777 111( ) ... 1p x x x x x= + + + + + é divisível pelo polinômio 9 8 7( ) ... 1D x x x x x= + + + + + .

Solução: De acordo com os artifícios matemáticos temos:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( )

10 9 8 71 1 . ... 1

:

9 8 7( ) ... 1 1

9 8 71 . ( ) 1 ... 1

:

10 1 1 . ( )

10 1 mod ( )

999 888 777 111( ) ... 1

9 990 8 880 7( ) . .

x x x x x x

com isso

D x x x x x x

x D x x x x x x

temos

x x D x

assim

x D x

observamos que o polinômio

p x x x x x

p x x x x x x

− = − + + + + +

= + + + + + × −

− = − + + + + +

− = −

≡

= + + + + +

= + +

( ) ( ) ( ) ( )( )

770 110. ... . 1

99 88 77 119 10 8 10 7 10 10( ) . . . ... 1

9 8 7( ) ... 1 mod ( )

x x x

p x x x x x x x x x

p x x x x x D x

+ + +

= + + + + +

= + + + + +

Calculo do resto e o algarismo das unidades por congruência Veja que as propriedades estudadas nas teoria das congruências tem como objetivo principal atender as necessidades dos bons alunos que não se interessam por olimpíadas de matemática (puro e simplesmente), mas querem descobrir novos métodos para tornar simples questões difíceis, que à priori exigiriam muito raciocínio e genialidade. Portanto, vamos desenvolver algumas técnicas para calcular o resto que vão ajudar muito na hora da resolução de questões mais elaboradas, pois a partir de agora será possível substituir números grandes, pelos seus restos na divisão em questão.

FICA DE OLHOS ABERTOS NOS PROBLEMAS RESOLVIDOS Problema 1.

Calcular o resto da divisão de ( ) ( )2 21 1 1x y y x− + − = ( )20052006 20042006 2004+ por 5.

Solução: Vejamos que:

( )2006 5

1resto = e ( )

2004 5

1resto = −

Portanto:

( ) ( ) ( )20052005 2006 20062006 2004 20052006 2004 1 1 2⎛ ⎞+ ≡ + − ≡⎜ ⎟⎝ ⎠

. Mas ( )416 2 1 mod 5 ,= ≡

podemos escrever ( ) ( ) ( )501 5012005 2004 42 2 .2 2 .2 1 .2 2= = ≡ ≡ .

Logo ( )20052006 20042006 2004+ deixa resto 2 na divisão por 5.

Problema 2.

Demonstre que 5555 22222222 5555+ é divisível por 7. Solução:

( )( )( )

( ) ( )( )

2222 3 mod 7

5555 4 mod 7

53 5 mod 7 ,

1111 11115555 2222 5555 2222 5 22222 5555 3 4 3 4

:

5555 2222 1111 11112222 5555 5 5 0 mod 7

e agora vejamos

com isso

≡

≡

≡

+ ≡ + ≡ +

+ ≡ − ≡

Problema 3.

Mostre que 19876 31− é divisível por 37. Solução: Vejamos que:

( )

( ) ( ) ( )

26 1 mod 37

,

993 9931987 1986 26 6.6 6. 6 6. 1 6 31 mod 37

então podemos escrever

≡ −

≡ ≡ ≡ − ≡ − ≡

Logo, ( )19876 31 0 mod 37− ≡ .

Problema 4. Determinar qual é o algarismo das unidades na representação decimal do número

( )20072007 20072006 2005.2007N = + .

Solução: Determinar o algarismo das unidades de um número qualquer é o mesmo que determinar o resto da divisão por 10, pois qualquer número inteiro N pode ser

escrito sob a forma 10N k b= + , com k e b inteiros. Logo, fazendo a congruência módulo 10 temos:

( )( )

( )

06 1 mod 10

16 6 mod 10

26 36 6 mod 10 começa a repetir

⎧ ≡⎪⎪ ≡⎨⎪⎪ ≡ ≡⎩

Logo qualquer potência de 6 com expoente positivo e inteira deixa resto 6 na divisão por 10. Portanto:

( ) {

2007100320072007 2007 2007 22006 2005.2007 6 5. 7 .7

1N

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= + ≡ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟≡−⎝ ⎠⎝ ⎠

Assim:

( ) ( )( ) ( ) ( )

2007 20072007 20076 35 6 5

2007 200720076 5 6 5 1 mod 10

N

N

≡ − ≡ −

≡ − ≡ − ≡

Logo o algarismo das unidades de N é 1. Problema 5. Determinar qual é o algarismo das unidades na representação decimal do número

( ) ( )33333 4444455555 22222 77777 3333322222 55555 33333 77777N = + + + .

Solução: Caro aluno para encontrarmos o algarismos das unidades basta fazermos congruência de módulo 10. Observamos que:

{ { {

4444433333 3888 16666138884 3 22222 2 22 .2 5 3 .3 7 .71 1 15

N

⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟= + + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟≡ ≡− ≡−⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠≡⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠142 43

Com isso:

( ) ( ) ( ) ( )33333 44444 33333 444448 5 3 7 3 10N ≡ + + + ≡ +

Assim

{

1666623 .3 31

N

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟≡ ≡⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟≡−⎝ ⎠⎝ ⎠

. Logo o algarismo das unidades de N é 3.

OBSERVAÇÃO: Veja que a grande vantagem de aprendermos teoria dos números é a possibilidade da substituição das bases pelos seus restos na divisão desejada que vai simplificar cada vez mais as nossas contas.

SESSÃO NÓ CEGO 01)(RUSSIA - 1997) Se a e b são reais tais que a3 – 3a2 + 5a = 1 e b3 – 3b2 + 5b = 5, determine a + b RESP.: 02

02)(CANADÁ - 98) Resolva a equação 3)1( 2

22 =

++

x

xx

RESP.: 1 5 3 3;

2 2

iS

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞± − ±⎪ ⎪= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

03)(O.M.ISRAEL – 1997)Determine as soluções reais da equação 3413 44 =−++ xx RESP.: { }12 ; 3S = −

04)(O.M.AUSTRIA – 1997)Sabe-se que o número de soluções reais do sistema

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=−++=−+

)1()1)(6(

)1()1)(6(22

22

yxyx

xyxyé finito. Prove que ele é par.

05)(OMABCSP – 2004)Os números naturais não nulos a e b tais que a + ab + b = 322

são:

a) 15 e 17 b) 17 e 19 c) 18 e 20 d) 16 e 18 e) 20 e 22

06)(OBM - 1997) Uma das soluções inteiras e positivas da equação 19x + 97y = 1997 é, evidentemente, ( x0 , y0) = (100, 1). Além desse, há apenas mais um par de números inteiros e positivos, (x1 ,y1), satisfazendo a equação. O valor de x1 + y1 é: a) 23 b) 52 c) 54 d) 101 e) 1997 RESP.: A

07)(OBM)Calcule o valor inteiro da equação x2 + x – 18 = 0 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 RESP.: D 08)(O.B.M – 1997)O número de pares (x, y) de inteiros que satisfazem a equação x + y + xy = 120 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 RESP.: E

09)(OBM – 2002) Qual é o dígito das unidades de , onde aparecem 2002 setes

A) 7 B) 9 C) 3 D) 1 E) 5

10)(OMSE – 1999) Calcular 99999992.

11)(OMSE – 1999) Simplificar:

12)(OMSE – 1999) Determine com quantos zeros consecutivos termina a representação decimal do número

13)(OBM – 1999) Qual o 1999o algarismo após a vírgula na representação decimal de

?

a)0 b) 1 c) 2 d) 7 e) 8

14)(OBM – 1999) Quantos são os possíveis valores inteiros de x para que seja um número inteiro?

a)5 b) 10 c) 20 d) 30 e) 40

15)(OBM – 1999) O número N = 11111 . . . 11 possui 1999 dígitos, todos iguais a 1. O resto da divisão de N por 7 é:

a)1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

16)(OBM – 1999) Quantos são os pares (x, y) de inteiros positivos que satisfazem a equação 2x +3y = 101 ?

a)13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

17)(OBM – 2000) Quantos números inteiros e positivos menores do que 1.000.000 existem cujos cubos terminam em 1?

A) 1.000 B) 10.000 C) 50.000 D) 100.000 E) 500.000

18)(OBM - 1997) A soma das raízes de : 0133 23 éxxx =−++ a) – 3 b) 3 21− c) 1 d) 1 23 − e) 3

19)(OBM-2001) Quantos dígitos tem o menor quadrado perfeito cujos quatro últimos dígitos são 2001?

A) 9 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

20)(EUA) Sabendo que a, b, c e d assume valores inteiros positivos na equação a5 = b4, c3 = d2 e c – a = 19. Determine d – b

21)(CANADÁ) Sabendo que a expressão

8

....2207

12207

12207

12207

12207

−−

−−

−

tem sua resposta na forma d

cba +, quando a, b, c e d são inteiros. Calcule a + b + c +

d. RESP.: 11 22)(OMRJ – 2005) Encontre todas as soluções inteiras de 2 3 2 34 4x x x y y y+ − = + − .

23)(OMRJ – 1998)

a) Encontre todas as soluções inteiras e positivas de pyx

111 =+ , onde p é um número

primo [cada solução é um par ordenado ( )yx; ].

b) Encontre pelo menos 5 soluções inteiras e positivas de .1998

111 =+yx

24)(OMRJ – 2000) De quantas maneiras se pode escrever 2000 como a diferença de

dois quadrados perfeitos (isto é, quadrados de números inteiros)?

25)(OMRJ – 2001) Achar o menor inteiro positivo que dividido por 29 deixa resto 5 e dividido por 31 deixa resto 28.

26)(OMCAMPINENSE – 1999)Quantos pares (m,n) de inteiros satisfazem a equação m . n = m + n ?

a)2 b)1 c)3 d)4 e)mais que 4

27)(OMCAMPINENSE – 1999)Para quantos valores do coeficiente a as equações

têm uma raiz real comum?

a)1 b)2 c)3 d)4 e)infinitos valores

28)(OMCAMPINENSE – 1999) Quantos pares (a,b) de números reais não nulos

satisfazem a equação 1 1 1

a b a b+ =

+?

a)1 b)2 c)um par para cada d)dois pares para cada e)nenhum

29)(OMCAMPINENSE – 2001) Quantos pares ),( yx de números inteiros não

negativos são soluções da equação 14=++ xyyx ?

X) 4 B) 1 C) 8 D) 2 E) 3

30)(OMCAMPINENSE – 2001) Seja P um número inteiro. Encontre todos os

valores de P de modo que a equação 02 =+− PPxx tenha as duas raízes inteiras.

31)(OMCAMPINENSE – 2002) A quantidade de inteiros positivos a tais que 1−a

a

também é inteiro positivo é igual a :

A) 2 B) 3 C) 4 X) 1 E) 5

32)(OMCAMPINENSE – 2004) Encontre todos os inteiros positivos n tal que

4 55 5 5n− + + seja um quadrado perfeito (isto é, quadrado de números inteiros).

33)(OMCAMPINENSE – 2004) Dada a equação do 2o grau

2 ( 1) 2 1 0.x m x m+ + + − = Quantos são os valores inteiros de m para que as raízes

desta equação sejam inteiros?

A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1

34)(OMCAMPINENSE – 2004) Dada a expressão 3 3 ,a b ab c− = onde e a b são

números inteiros quaisquer. Então, o número c é sempre divisível por:

A) 4 B) 2 C) 5 D) 7 E) 8

35)(OMCAMPINENSE – 2004) O número de pares de inteiros ( , )x y que satisfazem a

equação 2 210x x y y+ + = + é igual a:

A) 4 B) 5 C) 1 D) 8 E) 3

36)(OMCAMPINENSE – 2004) Dada a equação do 2o grau 2 ( 4) 0.x m x m+ − + =

Determine os valores de m para que as duas raízes da equação sejam números inteiros.

37)(OBM – 2005) (a) Fatore a expressão 22 89 yxyx +− .

(b) Determine todos os pares de inteiros (x; y) tais que 200589 22 =−− yxxy .

38)(OMRN – 1997) Os números 1, 2, 3, ...., 19, 20 são escritos no quadro negro. Apague quaisquer dois desses números e escreva o novo número a + b + ab. Que número aparecerá no quadro negro depois de 19 dessas operações? (a) 199.964 (b) 210 (c) 198.876 (d) 105 (e) Nenhuma correta 39)(OMRN – 1996)Dado f(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1, o resto da divisão de f(x5) por f(x) é: a) 1 b) x4 + 1 c) 3 d) x5 + 1 e) 5

40)(OMCAMPINENSE – 2005)Mostre que 3

142005 − é um número inteiro.

41)(OMMG – 2004)Seja x um número que satisfaz a equação x2 + x – 1 = 0, determine o valor da expressão x8 – 7x4 + 1. 42)(EUA) Calcule o valor de 3x2y2 tal que x e y são inteiros satisfazendo a equação y2 + 3x2y2 = 30x2 + 517 43)(O.M.IRLANDA – 1997)) Quantas pares ordenados (x;y) com x e y inteiros positivos, são soluções da equação 1 + 1996x + 1998y = xy 44)(OMRJ - 1998) Quantas pares ordenados (x;y) com x e y inteiros positivos, são

soluções da equação 124 =+yx

45)(EUA – 1983) Sabendo que g(x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1. Calcule o resto da divisão entre os polinômios g(x12) por g(x) 46)(OMSP – 2002)Mostre que 4647 + 4847 é divisível por 472

47)(AIME – 87)Calcule :

)32452)(32440)(32428)(32416)(3244(

)32458)(32446).(32434).(32422).(32410(44444

44444

++++++++++

48)(PERU/2000)O resto da divisão

1

1

15

199

−−

++

x

x

xx é igual a:

a) x2(x – 1) b) x3(x – 1) c) x(x + 1) d) –x2(x + 1) e) x4(x + 1) RESP.: D 49)(EUA - 1989)Achar a se a e b são inteiros tais que x2 – x – 1 é fator de ax17 + bx16 + 1.

50)(PERU-2002)Achar o resto da divisão: 1

122

119

+−+

xx

x

a) x – 3 b) 4 -2x c) 3 – 2x d) 2x – 3 e) 3 – x

51)(OBM – 1998)Para quantos valores reais de p a equação x3 – px2 + px – 1 = 0 tem todas as raízes reais e inteiras? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 ou mais 52)(HONG KONG – 1990)O resto da divisão 13 + 23 + 33 + ...... + 19903 por 7 é igual a: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 53)(HONG KONG – 1990)Se a n = 6n + 8n . Então o resto da divisão de a1989 por 49 é igual a: a) 1 b) 7 c) 14 d) 21 e) 35 54)(OMPARA – 2003) a) Determine dentre os 100 primeiros termos da seqüência an = n n, 1 n 100, quantos são quadrados perfeitos. b) Determine o algarismo das unidades de 11 + 22 + 33 + 44 + 55 + 66 + 77 + 88 + 99. c) Determine o algarismo das unidades de 11 + 22 + 33 + 44 + 55 + ... + 9898 + 9999. 55)(HONG KONG – 1992)O numero de soluções inteiras positivas que satisfaz a

equação 1992=+ yx

xy é igual a:

a) 36 b) 48 c) 54 d) 63 e) 72 56)(HONG KONG – 1995)Calcule o valor real de x que satisfaz a equação

xx =+++ 111

57)(ESTÔNIA)Sejam a e b inteiros positivos primos entre si tais que a b

a b

+−

também seja

um numero inteiro positivo. Prove que pelo menos um dos números ab+ 1 e 4ab + 1 é um quadrado perfeito.

58)(TORNEIO DAS CIDADES)Sejam a e b inteiros positivos. Se 2 2a b+ é divisível por ab, prove que a = b. 59)(INDIA)Determine todas as soluções inteiras e não – negativas ( );x y que satisfaz a

equação ( )2 2 27xy x y− = +

60)(POLISH MATHEMATICAL OLYMPIAD)Encontre todas as soluções inteiras

( );x y que satisfaz a equação ( ) ( )2 21 1 1x y y x− + − = .