Equações do 2° grauÉ toda equação do tipo:

ax² + bx + c =0 Com a diferente de zero e a, b e c números

reais.

Obs: O grau de uma equação é dado pelo maior expoente de x.

3x -1 = 14 é uma equação de 1° grau.

x² -2x +1 =0 é uma equação do 2° grau

x³ + x² + 2x -3 =0 é uma equação do 3° grau.

Existe 4 tipos de equação do 2°grau ax² + bx + c = 0

Equação completa do 2° grau;

• ax² + bx =0 Equação Incompleta do 2° grau,

com c =0

ax² + c = 0

Equação incompleta do 2° grau com b=0

Ax² = 0

Equação incompleta do 2° grau com b e c =0

Coeficientes da equação do 2° grau a, b e c são os coeficientes da equação do 2° grau.

O coeficiente a é sempre o coeficiente de x²;

ax² + bx + c=0 2x² + bx + c = 0 a = 2

O coeficiente b é sempre o coeficiente de x;

ax² + bx + c =0 ax² -13x + c = 0 b=(-13)

c é o termo independente. (não tem x com ele)

ax² + bx + c =0 ax² + bx + 15 = 0 c =15

Resumidamente: Na equação: 2x² -13x + 15 = 0

A=2 b=(-13) c = 15

Exercícios 1 – Identifique as equações do 2° grau.

a) 3x² -5x +8 =0 i) (x – 2)² = 49

b) 0x² -5x + 6 =0 j) kx² + k = 0 (k≠0)

c) 2x + 10 =0 k) mx + 3 =0 (m≠0)

d) -2x -5 + x² =0

e) 3x² -1 =0

f) x² + 5x =0

g) (y + 3).(y-1) =4

h) 3t² = 81

2 – Verifique quais das equações abaixo são do

2°grau e diga se são completas ou incompletas:

a) (x + 3).(x -3)= 5x -9

b) x²(x + 2) = 0

c) 3t² - 3t = -1

d) (y – 2).(y – 4) = (3y -1)²

e) x² + x(1 – x) + 5 =0

f) kx² = -2x -1 (k≠0)

g) (x + 3)² = x – 2

h) ( x – 4)² =0

i) (x +3).(x – 2)=0

5 – Qual deve ser o valor de m para que a

equação: mx² -3x + 4 =0 seja do 2° grau?

6 – Escreva as equações de cada item na forma

geral ax² + bx + c =0, sabendo que:

a) a =1, b = 5 e c = -4

b) a= 3, b = 0 e c = 0

c) a= 2, b = 3 e c = -2

d) a = 4, b = 8 e c = 4

e) A = 1, b = -6 e c = 5

f) A = 6, b = -5 e c = -6

Resolução da equação do 2° grau Resolver uma equação do 2° grau é encontrar suas

raízes ou soluções.

Raiz de uma equação é o número que torna a

sentença verdadeira.

Assim, qual é o número que substituído pela

incógnita x na equação: x² - 5x + 6 dá resultado 0?

1, 2 ou 3?

Verificação: x² -5x + 6 = 0 verificando para x = 2

2² -5.2 + 6 = 0

4 -10 + 6 = 0

10 – 10 = 0

0 = 0

(O número 2 torna a sentença verdadeira, logo 2 é

raiz da equação).

Verificando para x = 3 x² -5x + 6 = 0 (substituímos a incógnita x por 3)

3² -5.3 + 6 = 0

9 – 15 + 6 = 0

-6 + 6 = 0

0 = 0

O número 3 também torna a sentença verdadeira,

logo 3 é raiz da equação.

Verificando para x = 1 x² -5x + 6 = 0 (substituímos x por 3)

1² - 5.1 + 6 = 0

1 -5 + 6 = 0

7 – 5 = 0

2 ≠ 0 Sentença falsa, logo 1 não é raiz da

equação.

Quantas raízes tem uma equação? Equação do 1° grau = uma raiz

Exemplo:

3x - 2 = 10

3x = 10 + 2

3x = 12

x = 12/3

x = 4

E a equação do 2° grau? Como vimos, as raízes da equação: x² -5x + 6 = 0

São 2 e 3, portanto a equação do 2° grau tem duas

raízes, chamadas de: x1 e x2.

Já a equação do 3° grau tem 3 raízes; a

equação do 4° grau 4 raízes e assim por diante.

Existe equação do 2° grau sem solução? Sim. Existe equações do 2° grau que não tem

solução no conjunto dos números reais.

Exemplo:

x² = -4

x = √-4

Não existe raiz quadrada de número negativo em R.

√-4 faz parte do conjunto dos números complexos

que será estudado no ensino médio.

Exercícios 7 - Verifique e responda:

a) 2 é raiz da equação t² - 2t + 1 = 0 ?

b) Existe raiz da equação y² + 9 = 0 ?

c) 4/5 é raiz da equação 5x² = 8x – 16/5 ?

d) -4 e 4 são raízes da equação p² = 16 ?

E) -3 e 2 são raízes da equação x² + x – 6 = 0?

8 – Associe cada equação do 2° grau com suas raízes:

a) x² -3x + 2 = 0 I) Raízes 3 e 4

B) y² -7y + 12 = 0

c) x² -5x – 6 = 0

d) t² +6t + 8 = 0

II) raízes -1 e 6

III) Raízes -2 e -4

IV) Raízes 1 e 2.