Equações do 2º grau

9º Ano

Fórmula resolvente

Professora Cristina Alves

⇔=++ 01682 xx ( ) ⇔=+ 04 2x

( ) ( ) ⇔=++⇔ 044 xx

Vejamos como podemos resolver equações do 2º grau completas

⇔=+∨=+⇔ 0404 xx

44 −=∨−=⇔ xx

04 ±=+⇔ x

⇔=+⇔ 04x

4−=⇔ x

{ }4.. −=SC

A partir de aqui podemos resolver esta equação por dois processos diferentes. Vejamos com atenção cada processo.

Vejamos como resolver outra equação do 2º grau

⇔=+− 0782 xx ⇔=++− 222 4748xx

( ) ⇔=++−⇔ 1671682 xx ( ) ⇔−=− 7164 2x

( ) ⇔=−⇔ 94 2x ( ) ⇔±=− 94x

⇔−=−∨=−⇔ 3434 xx

⇔+−=∨+=⇔ 4343 xx

17 =∨=⇔ xx{ }71,.. =SC

De um modo geral, dada uma equação do 2º grau completa temos:

⇔=++ 02 cbxax

⇔=++⇔ 02

a

cx

a

bx

2

2

a

b⇔

=+

++⇔

222

22 a

b

a

c

a

bx

a

bx

⇔−=

++⇔

a

c

a

b

a

bx

a

bx

2

222

42

⇔−=

+⇔

a

c

a

b

a

bx

2

22

42

Dividir ambos os membros da equação por a ≠ 0

Adicionar a ambos os membros da equação

Passar para o 2º membro o termoa

c

Factorizar o 1º membro da equação, usando os casos notáveis da multiplicação

⇔−±=+⇔2

2

4

4

2 a

acb

a

bx

⇔−±−=⇔2

2

4

4

2 a

acb

a

bx

a

acbbx

2

42 −±−=⇔

⇔−=

+⇔

a

c

a

b

a

bx

2

22

42

Fórmula Resolvente

Reduzimos o 2º membro ao mesmo denominador e escrevemos na forma de uma única fracção⇔−=

+⇔

2

22

4

4

2 a

acb

a

bx

Retiramos o quadrado do 1º membro com a noção de raiz quadrada

Isolamos a incógnita x e calculamos a raiz do denominador

F ó r m u l a R e s o l v e n t ePara resolver uma equação do 2º grau completa, basta aplicar a fórmula resolvente, isto é:

com a , b e c ∈ IR e a ≠ 0

02 =++ cbxaxa

acbbx

2

42 −±−=⇔

Vejamos um exercício prático: Exercício 1:

020142 2 =+− xx( ) ( )

⇔×

××−−±−−=⇔

22

20241414 2

x

Aplicando a F.R.

4

16019614 −±=⇔ x ⇔±=⇔4

3614x

⇔−=∨+=⇔±=⇔4

614

4

614

4

614xxx

254

8

4

20 =∨=⇔=∨=⇔ xxxx

{ }5,2.. =SC

Exercício 2:

Resolve as seguintes equações do 2º grau

completas usando a Fórmula Resolvente

a)

b)

c)

01222 2 =−+ xx

012 2 =−− xx

01272 =−+− xx

01222 2 =−+ xx( )

⇔×

−××−±−=⇔

22

122422 2

x

⇔±−=⇔+±−=⇔4

1002

4

9642xx

⇔−−=∨+−=⇔4

102

4

102xx

324

12

4

8 −=∨=⇔−=∨=⇔ xxxx

{ }2,3.. −=SC

012 2 =−− xx( ) ( ) ( )

⇔×

−××−−±−−=⇔

22

12411 2

x

⇔±=⇔+±=⇔4

91

4

811xx

⇔−=∨+=⇔4

31

4

31xx

2

11

4

2

4

4 −=∨=⇔−=∨=⇔ xxxx

−= 1,

2

1..SC

01272 =−+− xx( ) ( )

( ) ⇔−×

−×−×−±−=⇔

12

121477 2

x

⇔−±−=⇔

−−±−=⇔

2

17

2

48497xx

⇔−

−−=∨−

+−=⇔2

17

2

17xx

432

8

2

6 =∨=⇔−−=∨

−−=⇔ xxxx

{ }4,3.. =SC

Agora que já sabes resolver equações do 2º

grau completas, usando a Fórmula Resolvente,

deves praticar bastante para não cometeres

erros.