Escola municipal são José

• Prof:Zaqueu Oliveira

• Revisão geral

Equações do 2º Grau

ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0

Definição:

  Denomina-se equação do 2º grau, na incógnita x, toda equação da forma: ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0.Observe que:

a representa o coeficiente de  x²;b representa o coeficiente de x;c representa o termo independente.Exemplos:x2 - 5x + 6 = 0, onde a = 1, b = -5 e c = 6.

7x2 - x = 0, onde a = 7, b = -1 e c = 0. x2 - 36 = 0, onde a = 1, b = 0 e c = -36.

Equações Completas do 2º Grau

Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

x² - 9x + 20 = 0, onde a = 1, b = -9 e c = 20.

-x² + 10x - 16 = 0, onde a = -1, b = 10 e c = -16.

Equações Incompletas do 2º Grau

Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda, quando ambos são iguais a zero.

Equações da forma ax² +bx = 0, (c = 0)

x² - 3x = 0, onde a = 1, b = -3. -2x² + 4x = 0, onde a = -2, b = 4.

Equações da forma ax² +c = 0, (b = 0)

3x² - 2 = 0, onde a = 3, c = -2. x² + 5 = 0, onde a = 1, c = 5.

ATIVIDADE-1

1. Obtenha os coeficientes das equações do 2° grau:

a) 5x²-7x-3=0 a:5 b:-7 c:-3

b) x²-4x +2=0 a:1 b:-4 c:2

c) x²-x-1=0 a:1 b:-1 c:-1

d) 2x²+7x+8=0 a:2 b:7 c:8

e) x²-7x=0 a:1 b:-7 c:0

f) x²-25=0 a:1 b:0 c:-25

2. Forme as equações do 2° grau em x:

• a=1; b=-6 ; c= 5x²-6x+5=0

b) a=3; b=7 ; c= 8 3x²+7x+8=0

c) a=8; b=0 ; c=0 8x²=0

d) a=1; b=-3 ; c= 4 x²-3x+4=0

Resolução de Equações Incompletas

Equações da forma:ax² +bx = 0, (c = 0)

De modo geral, a equação do tipo ax² +bx = 0 tem para soluções:

x = 0e

x = - b a

Equações da forma:ax² +c = 0, (b = 0)

De modo geral, a equação do tipo ax² +c = 0:possui duas raízes

reais se:- c for um nº positivo

anão possui raiz real se:- c for um nº negativo

a

ATIVIDADE-2 1.Determine o conjunto verdade das equações:x²-7x = 0 Δ=b²-4.a.c x=7+7=14/2=7 Δ=7²-4.1.0 x=7-7=0/2=0 Δ=49

b) 3x²-6x = 0 Δ=b²-4.a.c x=6+6=12/6=2 Δ=-6²-4.3.0 x=6-6=0/2=0 Δ=36 c) x² +5x = 0 Δ=b²-4.a.c x=-5+5=0/2=0 Δ=5²-4.1.0 x=-5-5=-10/2=-5 Δ=25

2.Determine o conjunto verdade das equações:

X² - 49 = 0 a=1 Δ=0²-4.1.49 x=14/2=7 Δ=196

2x² -32 = 0 Δ=0²-4.2.32 x=16/4 =4 Δ= 0+256 Δ=256

5x² - 20 = 0 Δ=0²-4.5.-20 Δ=400 x= 0+20=20/10=2

Composição de uma Equação do

2º Grau, Conhecidas as Raízes

Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.Dividindo todos os termos por a, a ≠ 0, obtemos:

ax2 + bx + c = 0 x2 + bx + c = 0 a a a a a

Como: S = x’+ x” = -b e P = x’. x” = c a a

Podemos escrever a equação desta maneira:

x2 - Sx + P = 0

Exercício sobre Composição

Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.

 

Solução: 

A soma das raízes corresponde a: 

S = x1 + x2 = -2 + 7 = 5 

O produto das raízes corresponde a: 

P = x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14 

A equação é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S = 5 e P = -14.

 

Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.

Componha a equação do 2º grau cujas raízes são:

• 5 e 2 • R=x²-sx+p=0• x²-7x+10=0• -2 e -3 • R= x²-sx+p=0• x²+5x-6=0 • 4 e -5 • R=x²-sx+p=0• x²+1x - 20=0 => x² + x – 20 = 0• -5 e 5 • R= x² -sx+p=0 • x²-25=0

ATIVIDADE – 4

Representação gráfica de função 1º grau

Função de 1º grau é toda função do tipo

y = f(x) = ax + b

Em que a e b são constantes reais, com a ≠ 0.

Se b = 0, temos a função y = f(x) = ax, chamada, também, função linear.

Características da função de 1º grau y = f(x) = ax + b.

• A fórmula que a define é um polinômio de 1º grau; seu termo independente pode ser nulo ou não.

• Se b = 0, temos a função f(x) = ax, chamada de função linear.

• A constante real a, não-nula, é o coeficiente angular. Ela é a mesma, qualquer que seja o intervalo considerado.

Características da função de 1º grau y = f(x) = ax + b.

• A constante real b é o coeficiente linear.

• Seu gráfico cartesiano é uma linha reta, não paralela aos eixos. Ela pode conter a origem (caso b = 0) ou não conter origem (caso b ≠ 0).

• O crescimento ou o decrescimento da função estão relacionados com o sinal de a. A reta é ascendente para a > 0 e descendente para a < 0.

Crescimento e decrescimento.

a > 0 ⇒ função crescente ⇒ reta ascendente (sobe da esquerda p/ direita)

a < 0 ⇒ função decrescente ⇒ reta descendente (desce da esquerda p/ direita)

Exemplos • Veja o gráficos das funções y = x; y = 2x e y = x/2.

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–3

–2

–14 5–4–5

–5

–4

4

5y = x

y = x/2

y = 2xa > 0

Exemplos • Veja o gráficos das funções y = –x; y = –2x e y = –x/2 em que

x

y

0 1 2 3–3 –2 –1

1

2

3

–3

–2

–14 5–4–5

–5

–4

4

5

y = –x

y = –x/2

y = –2x

a < 0

A temperatura de uma substância é 30 ºC. Sua temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, aumentando 10 ºC por minuto.

t(min) 0 1 2 3 4 5

T(oC) 30 40 50 60 70 80

Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a minuto.

A taxa de variação da temperatura é positiva (10 oC/min).

Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é,

T = 30 + 10.t

Veja o gráfico cartesiano da função

t(min) T(oC)

0 30

1 40

2 50

3 60

4 70

5 80

t(min)

T(oC)

0 1 2 3 4

20

40

60

80

5T = 30 + 10.t

A temperatura de uma substância é 30 ºC Sua temperatura varia com o tempo de maneira uniforme, diminuindo 10 ºC por minuto.

t(min) 0 1 2 3 4 5

T(oC) 30 20 10 0 –10 – 20

Veja as temperaturas da substância, medidas minuto a minuto.

A taxa de variação da temperatura é negativa (10 oC/min).

Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é,

T = 30 – 10.t

Veja o gráfico cartesiano da função

t(min) T(oC)

0 30

1 20

2 10

3 0

4 –10

5 –20

t(min)

T(oC)

0 1 2 3 4

–20

–40

20

40

5

T = 30 – 10.t

60

Função do

2°grau

Definição Chama-se função quadrática, ou função polinomial do

2º grau, qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a 0.Vejamos alguns exemplos de função quadráticas:

f(x) = 3x2 - 4x + 1, onde a = 3, b = - 4 e c = 1 f(x) = x2 -1, onde a = 1, b = 0 e c = -1 f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5 f(x) = - x2 + 8x, onde a = -1, b = 8 e c = 0 f(x) = -4x2, onde a = - 4, b = 0 e c = 0

Pontos notáveis da parábola Os pontos de interseção com o eixo Ox (se

existirem) Para resolvê-la, utilizamos a fórmula de

Bhaskara : em que,

Se > 0 , temos duas reízes reais distintas. Se < 0 , não temos raízes reais. Se = 0 , temos duas raízes reais e iguais.

x =

2

> 0

a > 0 a < 0

= 0

a > 0 a < 0

< 0

a > 0 a < 0

Raízes ou zeros da função

• Denominam-se zeros ou raízes de uma função de 2° grau os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x)=0

• As raízes da função nada mais é onde a parábola corta no eixo do x.

Vértice da parábola

Vértice da parábola V (Xv, Yv)

Xv =

Yv =

Raízes ou zeros da função

• Denominam-se zeros ou raízes de uma função de 2° grau os valores de x que anulam a função, ou seja, que tornam f(x)=0

• As raízes da função nada mais é onde a parábola corta no eixo do x.

Valor mínimo da função

• Mínimo :• Se a > 0, yv = é o valor mínimo da função

Im= {y Є IR / y ≥ }

Valor máximo da função

• Máximo:• Se a < 0, yv = é o valor máximo da função

Im= {y Є IR / y ≤ }

EXEMPLO:

Estudar o sinal da função f(x)= x2 - 5x + 6. x2 - 5x + 6 = 0 (determina-se a raiz da função) (marcam-se as raízes em uma reta e analisa-se

a concavidade da parábola) (faz-se o estudo do sinal) f(x) > 0, para x<2 ou x>3 f(x)=0, para x=2 ou x=3 f(x) < 0, para 2 < x < 3

Gráficos• O gráfico das Funções Quadráticas:

• O gráfico de uma função quadrática, f(x)=ax2+bx+c, com a diferente de 0, é uma curva chamada parábola. Ao construir um gráfico de uma função quadrática f(x)=ax2+bx+c, notaremos sempre que:

• a>0, a parábola tem a concavidade voltada para cima (U)• a<0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo

Y = X2 + X

x y-3 6-2 2-1 0

0 01 22 6

1.RAZÃOArazão de dois números a e b, com b 0, é o quociente

do primeiro pelo segundo:

OBSERVAÇÃO:

Apalavra razão vem do latim ratio, quesignifica divisão.

Exemplos

2.RAZÃO DE DOIS SEGMENTOSChamamos razão de dois segmentos a razão ou quocienteentre os números que exprimem as medidas dessessegmentos, tomados na mesma unidade.

Exemplos:

Determinar a razão entre os segmentos AB e CD, sendoAB = 6 cm e CD = 12 cm.(Lembre-se :AB representa amedida do segmento AB.)

Exemplos:1) Verifique se os segmentosAB =4 cm, CD = 6 cm, EF =8 cm e GH = 12 cm formam, nessa ordem, uma proporção.

Podemos afirmar que os segmentos, nessa ordem, sãoproporcionais.

3.SEGMENTOS PROPORCIONAISDizemos que quatro segmentos, AB, CD, EF e GH, nessaordem, são proporcionais, quando a razão entre os doisprimeiros for igual à razão entre os dois últimos, ouseja:AB, CD, EF e GH são, nessa ordem, proporcionaisse, e somente se:

2) Verifique se os segmentos AB = 7 cm, CD = 10cm, EF =12 cm e GH = 5 cm formam, nessa ordem, uma proporção.

Podemos afirmar que os segmentos, nessa ordem, não sãoproporcionais.

5x = 60

x= 12

3) Quatro segmentos AB, MN, PQ e RS, nesta ordem, sãoproporcionais. SeAB=5 cm, MN= 15 cm e PQ= 4 cm, quala medida de RS?

Que tal você tentar resolver oProblema abaixo usando a relaçãoEntre as alturas propostas por Tales1) (Saresp) Um prédio projeta uma sombra de 40 m ao mesmo

tempo que um poste de 2 m projeta uma sombra de 5 m.Então, a altura do prédio é

A)B)C)D)

10 m.12 m.14 m.16 m.