Equações Do Balanço de Massa

Fenmenos de Transporte II 2005 documento 5

Equaes do Balano de massa (Cap. 18 do Bird)

Obje os balanos de massa e tambm obter

equ is.

A equao de continuidade para uma mistura binria (A+B)

assa p ra a espcie A em um de

volu mistura inria de A e B est e

roduzido por reao qumica.

(ma sa de A)/(volume.tempo).

x

z

y

z

x

y

Coordenadas retangulares

As contribuies para o balano de massa so:

T

n

E

e

S

e

axa de acmulo de massa de A

o elemento de volume

ntrada de A pela superfcie do

lemento na posio x

ada de A pela superfcie do

lemento na posio x+x

de maneira anloga, introduzimos os

direes y e z.. No elemento de volume, A pode ser p

Faamos rA = taxa de produo de A sAplicando a lei de conservao de m

me xyz fixo no espao, no qual uma

tea

bzyxtA ...

zyxAx ..

zyxxAx ..

rmos de entrada e d elemento

scoando. tivo: Obter as equaes gerais para

aes simples para situaes especia(direo x)

(direo x)

e sada nas

36


Taxa de produo de A por reao qumica. r zyxA ...

qumica reao por produzida

A de taxa

direes 3 nassaindo A de taxa -

entrando A de taxa

zyx elemento no acumulando

A de massa

zyxryx

zxzyzyxt

AzzAzA

yyAyAxxAxAA

.....

.......

expandindo-se os termos na srie de Taylor, aplicando-se o limite para x,y,z 0 e dividindo-se a expresso por dx.dy.dz, ficamos com:

AAzAyAxA rzn

yn

xn

t

Equao de continuidade para o

componente A

notao vetorial

AAA rnt

. analogamente BBB rnt

.

Para massa total (mA + mB) BA rrnt

Onde: vnnn BA .

Pela lei de conservao de massa BA rr

0

v

t para corrente total do fluido

37


para =constante 0 v ou 0

zv

yv

xv zyx

Desenvolvimento semelhante para unidades molares

RA = taxa molar de produo de A por unidade de volume

CA = concentrao molar

NA = Fluxo molar

AAA RNtC

. analogamente BBB RNtC

Para massa total (mA + mB) BA RRNtC

Obs: como moles em geral noso conservados RA RB

BA RRvCtC

*.

________________________ Representaes dos fluxos nA e NA por expresses envolvendo gradientes de

concentrao.

AAA rnt

onde AABBAAA wDnnn ..

AAABAA rDvt

...

obs. AA

38


AAABAA rDvt

.... * eq. 18.1-14

analogamente

AAABAA RxDCvCtC

...*. * eq. 18.1-15

Estas equaes descrevem perfis de concentrao em sistemas binrios. As

restries so: ausncia de difuso trmica, de presso e foradas.

Simplificaes: ( e DAB) constantes

AAABAAA rDvvt

2.... Divergente do gradiente (Laplaciano)

se constante 0 v dividindo-se a expresso por MA, onde CA = A/MA

AAABAA RCDCvtC

2 Eq. 18.1-17

normalmente usada para difuso em soluo lquida diluda a T,P constante. Vide

Tabela 18.2.2 do Bird.

C e DAB constantes

AAABAA RxDCvCtC

...*.

AAABAAA RCDCvvCtC

..**. 2

e sendo BA RRCvtC

* BA RRC

1*v.

39


AAABABAAA RCDCvRRCC

tC

..* 2

BAA

AAABAA RR

CCRCDCv

tC

..* 2 eq. 18.1-19

Se RA = -RB a equao 18.1-19 fica igual a equao 18.1-17

Para: v ou v* nula com rA, rB, RA, RB = 0

AABA CDtC .2

Eq. 18.1-20

2a lei de Fick de difuso

40


Tab. 18.2.1

A equao de continuidade do componente A em vrias coordenadas

Coordenadas retangulares:

Ct

Nx

N

yN

zRA Ax

Ay AzA

(A)

Coordenadas cilndricas:

(B)

C

t r rrN

rN N

zRA Ar

A AzA

1 1

Coordenadas esfricas:

C

t r rr N

rsinN sin

rsinN

RA Ar AA

A

1 1 12

2 (C)

Tab. 18.2.2

A equao de continuidade do componente A para e DAB constantes

Coordenadas retangulares:

Ct

vC

xv

Cy

vC

zD

C

x

C

y

C

zRA x

Ay

Az

AAB

A A AA

2

2

2

2

2

2 (A)

Coordenadas cilndricas:

Ct

vC

rv

rC

vC

zD

r rr

Cr r

C C

zRA r

A Az

AAB

A A AA

1 1 12

2

2

2

2 B)

Coordenadas esfricas:

Ct

vC

rv

rC

vrsin

C

Dr r

rC

r r sinsin

C

r sin

CR

Ar

A A A

ABA A

A

A

1 1

1 1 12

22 2 2

2

2

(C)

Ref. R.B. BIRD; STEWART,W.E. & LIGHTFOOT,E.N. - Transport phenomena, John Wiley & Sons, 1960

41


Coordenadas Retangulares

y

z

x

Coordenadas Cilndricas

C

x ry rz z

r x yarc y x

z z

.cos

.sen

tan /

2 2

y

z

x

roordenadas Esfricas

x ry rz r

r x y z

arc x y z

y x

.sen .cos

.sen .sen.cos

tan

arctan( / )

2 2 2

2 2

42

y

z

x

r


DIFUSO EM MEIO SLIDO

Leis de Fick: Tomemos como exemplo ilustrativo, o fenmeno de difuso de um componente A em uma placa plana (Figura), com coeficientes de difuso DA

constante e coeficiente de partio k unitrio.

CA1

t t*

CA1

CA2

t

xt=0

Mantendo-se fixas as concentraes de A (CA1 e CA2) nas superfcies do slido,

verifica-se a formao de perfis de concentrao, que variam com o tempo e com a

posio CA(x,t), at que se atinja o estado estacionrio a t= t*

Fluxo de massa por difuso:

jA [=] [quantidade (massa ou moles)]/[(rea).(tempo)]

jA = f(x,t) para t < t* (estado no estacionrio)

jA = constante para t t* (estado estacionrio)

1a lei de Fick: Se existe um gradiente de concentrao em um meio homogneo,

haver transferncia de massa por difuso.

j D dCdxA A

A (1)

2a. Lei de Fick: No estado no estacionrio CA = f(x,t).

Neste caso jA = f(x,t), acarretando acmulo de massa de A em funo do

tempo.

Fazendo-se um balano de massa em um elemento de volume (S).dx

43


SUPERFCIE PLANA ( ). ( ). ( ). .( ).

S j S j S dx CtA x A x dxA

S dx

( ). . ( ). .S dx j

xS dx C

tA

x

A

x x+dx

C

xD

dCdx

CtA

A A

para D constante CtAA

D C

xAA

2

2 (2)

Analogamente para:

SUPERFCIE CILNDRICA

j D dCdrA A

A

Ct

DC

r rC

rA

AA

2

21 A (3)

SUPERFCIE ESFRICA

j D dCdrA A

A

Ct

DC

r rC

rA

AA

2

22 A (4)

USO DAS EQUAES (1-4) EM PROBLEMAS PRTICOS - Determinao experimental do coeficiente de difuso do componente A no slido.

- Estimativa da quantidade do componente A que migra pela interface.

INFORMAES NECESSRIAS: - DA = constante ou DA = f(CA) - k = coeficiente de partio = razo entre as concentraes de equilbrio do

componente A nas fases em contato. - Tipo de superfcie (plana, cilndrica ou esfrica) - Condies iniciais e de contorno. SOLUO: - ANALTICA - Combinao de variveis - Separao de variveis - uso de transformadas de Laplace - NUMRICA - Mtodo das diferenas finitas (Crank-Nicholson) * apropriada para casos em que o coef. de difuso no

constante

44


SOLUES ANALTICAS 1 CASO (Slido semi infinito)

para CAi= constante e DA = constante - o slido considerado semi infinito, quando a frente de concentrao no atinge a posio x=L. - aplicvel apenas para o intervalo de tempo em que CA(L,t)=CA

CtA

D C

xAA

2

2

com condies iniciais e de contorno: p/ t=0 CA = CA p/ x 0 p/ x=0 CA = CAi p/ t 0 p/ x=l CA = CA p/ t

t

CAI

CA

x=0 x=L

combinao de variveis xD tA4

C x t C

C Ce d erfA Ai

A Ai

( , ). (

22

0

) onde erf() = funo erro

Fluxo de massa na interface (x=0) j D dCdxA x A

A

x

00

.

Fluxo instantneo na interface j tD

tC CA x

AAi A( ) .

.

0

Fluxo mdio no intervalo t=0 a t=t j tD

tC CA

x

AAi A

__( )

..

02

massa total transferida pela interface M tD t

C CA Ai A( ).

.

2

em

(massa/rea)

45


APLICAES: 1.a) Contato entre 2 meios slidos de mesmo material (e de mesma dimenso) com concentraes iniciais diferentes do componente A.

mesmo material k=1 e D1 = D2

C

C CAi

A A

1

2 2 (conc. na

interface) CAi = constante dentro do perodo de tempo em que os slidos podem ser considerados semi infinitos.

CAi

2 1

(CA)

(CA)

x x

Soluo: C x t CC C

erfxDt

A Ai

A Ai

( , )( )

2 4 para meio (2)

C x t CC C

erfxDt

A Ai

A Ai

( , )( )

1 4 para meio (1)

D t

C CA Ai A( ).

.

2

M t quantidade total migrada pela

interface (molar ou mssica) _____________________________________ 2.a) Contato entre 2 meios slidos diferentes. Um contendo concentrao inicial Co e outro contendo concentrao nula.

k 1 (ex k=1/2) D1 D2 (ex D2 = 4D1)

kCC

i

i

eq

1

2

k

DD

2

1

1 2/

C Ci o2 1

C k Ci o1 1

.

MD t

C CD t

CC

t o i oo

2 2

12

22

M C D tt o

21

2

soluo: idem anterior com os respectivos D e CAi

C2i

C1i

Co

2 1

0 x x

46


3.a) Slido com concentrao uniforme CAo confinado entre dois meios slidos (de mesmo material) com concentrao CA=0

C

0 -h 0 h x

C x tC

erfh x

Dterf

h xDt

Ao( , )

2 2 2

obs: erf(-Z) = -erf(Z) 2 CASO (Volume finito de slidos, mantendo constante a concentrao na superfcie CAi) o caso de um slido imerso em um meio lquido bem agitado de volume infinito

condies iniciais e de contorno t=0 CA= CAo para -a x a x = a CA= CAi para t 0

x=0

CxA

x

00

CAi CAi

CAo

2a

Soluo do tipo EC C

C CC qA Ai

Ao Ain n

n

_

exp 21

47


onde: concentrao mdia no slido CA_

= (no. de Fick) D ta

.2

a = semi espessura D = difusividade no slido __________________________________________________________________ SUPERFCIE q n Cn __________________________________________________________________

PLANA 2 12

n .

82 1

22 2 2n q n

.

__________________________________________________________________

CILNDRICA J qo n( ) 0 * 4

2qn

__________________________________________________________________

ESFRICA n

62n

__________________________________________________________________ * q J qn n raizes positivas no nulas de o ( ) J = funo de Bessel de 1a. espcie e de ordem zero o PLACA PLANA:

En

e e e en

n

8 1

2 18 1

91252 2

2 1 22

41 2

2

49

2

425

2

4

( ). . . ...

( ) . .

CILINDRO:

Eq

e e e en

q nn

41

41

5 7831

30 4721

74 88722

15 30,472 74 887.

, ,.

,. ...,783 ,

ESFERA:

En

e e e enn

6 6 1

4192

2

1 2

2 4 2 9 2

( ). . . ...( ) .

48


3 CASO (Volumes finitos das fases) Difuso em um slido em contato com uma soluo lquida bem agitada de volume limitado.

x

2a

2a a - concentrao na interface = f(t)

- coeficiente de partio kCC

s

L

eq

VV k

L

s .

- VL = volume de lquido (constante) e Vs = volume de slidos (constante) t=0 conc. inicial no slido = Cs

o e conc. inicial no lquido = C Lo

t 0 e x=0

C r tr

s

x

( , )

00

t 0 e x=a VC t

tk A D

C x txL

Ls s

s

x a

_( )

. . .( , )

soluo do tipo EC t C

C C

C t C

C CC qL L

Lo

L

s s

so

sn n

n

( ) ( ).exp .

_2

1

onde: CL concentrao de A no lquido

concentrao mdia de A no slido Cs_

CL concentrao de A no lquido aps t (fases em equilbrio)

concentrao de A no slido aps t (fases em equilbrio) Cs

D ta

s.2

49


__________________________________________________________________ SUPERFCIE qn(raizes positivas no nulas de:) Cn __________________________________________________________________

PLANA q qn n tan( )

2 11 2

( )( ) ( . )

qn

__________________________________________________________________ CILNDRICA q J q

J qnn

o n

2 1. ( )

. ( ) * 4 1

4 1 2

( )( ) (

qn )

ESFRICA q q qn n( ). tan( )3

3

2 n

6 19 1 2

( )( ) ( )

q n

__________________________________________________________________ * J J funes de Bessel de 1a. espcie de ordem 0 e 1, respectivamente. o e 1 balano de massa para clculo de C e C L

s

C C V C V C V C VL L s s L

oL s

os

. . . . = conhecido e C k Cs L

.

VALORES PARA ZEROS APROXIMADOS DAS

Cso

Lo CL

o

t

ou ou

CL CL

CL

Cs

Cs Cs

k 1 k = 1 k 1

FUNES DE BESSEL DE 1a ESPCIE

n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 2,4048 3,8317 5,1356 6,3802 7,5883 8,7715 9,9361 5,5201 7,0156 8,4172 9,7610 11,0647 12,3386 13,5893

Jn(x)=0 8,6537 10,1735 11,6198 13,0152 14,3725 15,7002 17,0038 11,7915 13,3237 14,7960 16,2235 17,6160 18,9801 20,3208 14,9309 16,4706 17,9598 19,4094 20,8269 22,2178 23,5861 18,0711 19,6159 21,1170 22,5827 24,0190 25,4303 26,8202

50


51

Tabela da funo erro d( ) exp .

2 2

0erf

erf erf erf

0.00 0 0.65 0.642029 1.60 0.976348 0.05 0.056372 0.70 0.677801 1.70 0.983790 0.10 0.112463 0.75 0.711156 1.80 0.989091 0.15 0.167996 0.80 0.742101 1.90 0.992790 0.20 0.222703 0.85 0.770668 2.00 0.995322 0.25 0.276326 0.90 0.796908 2.10 0.997021 0.30 0.328627 0.95 0.820891 2.20 0.998137 0.35 0.379382 1.00 0.842701 2.30 0.998857 0.40 0.428392 1.10 0.880205 2.40 0.999311 0.45 0.475482 1.20 0.910314 2.50 0.999593 0.50 0.520500 1.30 0.934008 2.60 0.999764 0.55 0.563323 1.40 0.952285 2.70 0.999866 0.60 0.603856 1.50 0.966105 2.80 0.999925

Equaes do Balano de massa \(Cap. 18 do BirA equao de continuidade para uma mistura binPara massa total (mA + mB)Desenvolvimento semelhante para unidades molares

Para massa total (mA + mB)

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